Tài liệu Phương pháp stein cho xấp xỉ chuẩn

LỜI MỞ ĐẦU Đời sống khoa học ngày càng phát triển thì nảy sinh càng nhiều bài toán thực tế đòi hỏi toán học giải quyết. Một trong những nhu cầu thực tế là làm các phép toán mà ước lượng được sai sè. Vào năm 1972, trong một kết quả đăng trên tạp chí Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium,Stein đã đưa ra phương pháp để có thể xác định mức độ chính xác của một xấp xỉ chuẩn tới phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc thoả mãn điều kiện mixing. Kể từ đó rất nhiều nhà toán học đã tham gia nghiên cứu mở rộng các kết quả về xấp xỉ chuẩn của Stein và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Bản luận văn đã chọn đề tài : “Phương pháp Stein cho xấp xỉ chuẩn” làm đề tài nghiên cứu của mình. Nội dung bản luận văn gồm 3 chương: Chương I: Giới thiệu phương pháp cơ bản của Stein, đưa ra các tính chất nghiệm của phương trình Stein vào xây dựng các đẳng thức Stein. Chương II: Trình bày bài toán xấp xỉ chuẩn với hàm trơn trong các trường hợp các biến ngẫu nhiên độc lập, các biến ngẫu nhiên phụ thuộc địa phương, các biến ngẫu nhiên thay đổi được. Chương III: Trình bày về cận Berry - Esseen đều trong trường hợp bị chặn và trường hợp độc lập; cận Berry - Esseen không đều trường hợp độc lập. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo TS. Trần Quang Vinh người tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. 1 Tác giả xin chân thành cảm ơn tới các thầy trong tổ Toán ứng dụng khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã dìu dắt tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tá lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến bổ sung quý báu góp phần làm luận văn được hoàn thiện. Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học nên bản luận văn này không tránh khỏi thiếu sót. Tôi kính mong các thầy cô cùng bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, năm 2009. 2 CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN CỦA STEIN 1.1. Giới thiệu Phương pháp Stein là cách ước lượng độ chính xác một xấp xỉ của một phân phối xác suất bởi một phân phối xác suất khác, được thực hiện bởi cách so sánh kỳ vọng như trong chuyên khảo “Approximate computation of expectations” của Stein xuất bản năm 1986. Mét cận trên sẽ được tính cho hiệu kỳ vọng, tính theo 2 phân phối khác nhau, của một hàm trong họ các hàm test. Chẳng hạn, nếu họ các hàm test chứa các hàm chỉ tiêu của tất cả các tập đo được thì độ chính xác được cho bởi khoảng cách biến phân toàn phần dTV giữa 2 phân phối dTV (P,Q) := sup ∫ hdP - ∫ hdQ h∈H = sup P(A) -Q(A) A ở đó H = {1A : A đo được}. Nếu phân phối xác định trên R và hàm test là hàm chỉ tiêu trên nửa đường thẳng thì độ chính xác được xác định bởi khoảng cách Kolmogorov: d K (P,Q) := sup ∫ hdP − ∫ hdQ = sup P −Q (−∞;z] (−∞,z] z∈¡ h∈H ở đó H = { 1( −∞,z] : z ∈ R} . Nếu hàm test là hàm Lipschitz đều với cận trên là hằng số 1 thì độ chính xác được xác định bởi khoảng cách Wassserstein d W (P,Q) := sup ∫ hdP − ∫ hdQ h∈H g(x) . ở đó H = { h : R → R, h ≤ 1} với g ký hiệu sup x∈¡ Nếu hàm test là hàm bị chặn đều và Lipschitz đều thì độ chính xác được xác định bởi khoảng cách Wassserstein d BW( k ) (P,Q):= sup ∫ hdP − ∫ hdQ h∈ H 3 ở đó H = { h : R → R, h ≤ 1, h ′ ≤ k} . Phương pháp Stein áp dụng cho tất cả các khoảng cách trên. Với xấp xỉ chuẩn trên R, Stein bắt đầu với việc nhận thấy với mọi hàm bị chặn f có đạo hàm bị chặn và Z là biến ngẫu nhiên chuẩn tắc thì E { f ′(Z) − zf (Z)} = 0 (1.1) Thật vậy,ta có: 1 2π +∞ ∫ f ( x) e ' - x2 2 -∞ +∞ x   1 1 dx=  f ( x) e 2  + 2π  -∞  2π 2 +∞ ∫ xf ( x ) e - -∞ 2 +∞ x − 1 = xf ( x ) e 2 dx ∫ 2π −∞ Tuy nhiên, bằng cách giải phương trình vi phân f ′(x) − xf (x) = g(x), lim x↓−∞ 2 −x f (x)e 2 =0 với g là một hàm bị chặn ta có y ∫ g( x) e − x2 2 y dx = −∞ ∫ { f ' ( x ) − xf ( x ) } e − x2 2 dx −∞ x − d   = ∫ f ( x ) e 2 dx  −∞  2 y = f ( y) e −   dx   y2 2 và do đó f ( y) = e y2 y 2 ∫ g( x) e − x2 2 dx −∞ f ( y ) = 0 vì Chó ý rằng f thực sự thỏa mãn ylim ↓−∞ Khi 4 (1.2) x2 2 dx y 2 2 x y − − 1 1 2 Φ ( y) = e dx ~ e 2 thì ∫ 2π −∞ y 2π +∞ Vậy f bị chặn khi và chỉ khi ∫ g(x)e − x2 2 y ↓−∞. dx = 0 hoặc tương đương Eg(Z) = −∞ 0. Vậy, với hàm bị chặn h, hàm fh định nghĩa bởi f h (x) = e x 2 +∞ 2 ∫ { h(t) − Eh(Z)} e − t2 2 dt (1.3) −∞ thỏa mãn (1.2) với g(x) = h(x) – Eh(Z). Thay thế x bởi biến ngẫu nhiên W trong (1.2) và lấy kỳ vọng ta được E { f h′ (W) − Wf h (W)} = Eh(W) − Eh(Z) (1.4) Vậy đặc trưng (1.1) của phân phối chuẩn tắc đã đưa ra một cận trên cho xấp xỉ chuẩn đối với một trong các khoảng cách định nghĩa như trên: Với mọi líp H các hàm test h sup Eh(W) - Eh(Z) = sup E { f h′ (W) - Wf h (W)} h∈H (1.5) h∈H 1.2. Đặc trưng Cho Z là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc, Cbd là tập các hàm ' f : R → R liên tục và có đạo hàm liên tục trên từng đoạn thỏa mãn E f ( Z ) < ∞ . Phương pháp Stein dùa trên đặc trưng quan trọng sau: Bổ đề 1.1: Cho W là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực. Khi đó, W có phân phối chuẩn tắc khi và chỉ khi với mọi hàm f ∈ Cbd ta có: Ef ' (W) = E { Wf (W)} (1.6) Chứng minh: Điều kiện cần: Nếu W có phân phối chuẩn tắc thì với f ∈Cbd ta có: 5 Ef ' ( W ) = 1 +∞ ' f ( ω ) .e ∫ 2π − ω2 2 dω −∞ x ω  − 1 0 ' 1 +∞ '  ∞ − x2  2 = f ( ω ) . ∫ ( − x ) .e dx ÷÷dω + ∫0 f ( ω )  ∫ω x.e dx ÷÷dω 2π −∞∫ 2 π −∞     2 2 Theo định lý Fubini, ta có: x x − −   1 0 0 ' 1 +∞  x ' ' 2 2 Ef ( W ) = f ω d ω − x .e dx + f ω d ω .x.e dx ∫ ( ) ÷ ∫ ( ) ÷( ) ∫ ∫ 2π −∞  x 2 π 0 0   2 2 2 x − 1 +∞ = f ( x ) − f ( 0 )  x.e 2 dx = E ( W.f ( W ) ) . ∫ 2π −∞ Điều kiện đủ: Với z ∈ R cố định, đặt f ( ω) := f z ( ω) là nghiệm của phương trình: f ' ( ω ) − ω f ( ω ) = 1( −∞ ;z  ( ω ) − Φ ( z ) .  Nhân cả hai vế (2.2) với −e− ' ω2 2 ta được: ω  −ω  −  e 2 f ( ω )  = −e 2 1( −∞;z  ( ω ) − Φ ( z )    2 2 suy ra fz ( ω) =e ω2 ω 2 ∫ 1( −∞;z] ( x ) −Φ( z ) e − x 2 2 dx −∞ = −e − x2  e 2 dx ω2 +∞ 2 ∫ 1( −∞;z] ( x ) − Φ ( z )  ω 6 (1.7) ω2   2π .e 2 Φ ( ω ) 1 − Φ ( z )  = ω2  2  2π .e Φ ( z ) 1 − Φ ( ω )  ω≤z (1.8) ω≥z Bằng Bổ đề 2.2 dưới đây, fz là hàm liên tục bị chặn và khả vi liên tục trên từng đoạn. Giả sử (1.6) đúng với mọi f ∈ C bd . Từ đó áp dông cho hàm fz thì từ (1.7) ta có: 0 = E f z' ( W ) −Wf z ( W )  = E 1( −∞;z] ( ω) −Φ( Z )  = P ( W≤z ) − Φ ( z )       Nh vậy W có phân phối chuẩn. Phương trình (1.7) là một trường hợp đặc biệt của phương trình Stein tổng quát f ' ( ω ) − ω f ( ω ) = h ( ω ) − Eh ( Z ) (1.9) mà nã sẽ được giải cho f với mét hàm h đo được nhận giá trị thực cho trước thỏa mãn E h ( Z ) < ∞ . Tương tù (1.8), nghiệm f = f h được cho bởi f h( ω) = e −ω2 2 ω = −e ∫ h ( x ) − Eh ( Z ) e − x2 2 dx −∞ ω2 ∞ 2 ∫  h ( x ) − Eh ( Z )  e −x2 2 (1.10) dx ω 1.3. TÝnh chất của nghiệm Chóng ta trình bày mét vài tính chất cơ bản của nghiệm các phương trình (1.8) và (1.10) liên quan tới phương trình Stein (1.7) và (1.9). Bổ đề 1.2: Giả sử fz là hàm được định nghĩa bởi (1.8). Khi đó, ωfZ (ω) là một hàm tăng của ω. Hơn nữa, với mọi sè thùc ω , u và v ta có: 7 (1.11) ω f z ( ω ) ≤ 1; ω f z ( ω ) − uf z ( u ) ≤ 1 (1.12) f z' ( ω) ≤1; f z' ( ω) − f z' ( v ) ≤1 (1.13)  2π 1  0 < f z ( ω ) ≤ min  ; ÷ 4 z÷   (1.14) và:  2π  u +v) ( ω +u ) f z ( ω + u ) −( ω + v ) f z ( ω + v ) ≤  ω + ÷ ÷( 4   (1.15) Chứng minh: Vì f z (ω) = f − z (−ω) nên ta chỉ cần xét trường hợp z ≥ 0 . Với ∞ ∫e x2 − 2 dx ≤ ω ∞ x ∫ω ω e x2 − 2 e dx = − ω > 0 thì ω2 2 ω và từ đó 2 ∞ − x 2 2 (1 + ω ) ∫ e ω dx ≥ ω e − ω2 2 Bằng cách so sánh đạo hàm hai hàm có : − ω2 2 − ω2 2 ωe e ≤ 1 − Φ ω ≤ ( ) ω 2π ( 1 + ω2 ) 2π (1.16) suy ra ω2   ω  2  2π ( 1 − Φ ( z ) )  ( 1 + ω ) e 2 Φ ( ω ) + ÷  ÷ 2 π    ′ ( ωf z ( ω ) ) =  2 ω   ω  2 2 2 πΦ z 1 + ω e 1 − Φ ω − ( ) ( )  ÷ ( ) ( )   ÷ 2 π    suy ra ( ωf z ( ω) ) ≥ 0 ' ( ta chứng minh được (1.11) ) 8 ω≤ z ω> z Ta có lim ωf z ( ω) = Φ ( z ) − 1 và lim ωf z ( ω) = Φ ( z ) x →∞ (1.17) x →−∞ Kết hợp với (1.11) ta có (1.12) . T ừ (1.7) ta có: f z' ( ω) =ωf z ( ω) + I{ ω≤z} −Φ( z ) ωf ( ω) +1 −Φ( z ) khiω< z = z khiω> z ωf z ( ω) −Φ( z ) 1 2  ω   2πωe 2 Φ( ω) +1 ÷( 1 −Φ( z ) ) khiω< z   = (1.18) ω2    2πωe 2 1 −Φ ω −1 Φ z khiω> z ( )) ÷ (   ÷ ( )   Từ ωfz ( ω ) là một hàm tăng đối với ω kết hợp (1.16) và (1.17) ta có: 0 < f z' ( ω) ≤ zf z ( z ) + 1 − Φ ( z ) < 1 với ω < z (1.19) −1 < zf z ( z ) − Φ ( z ) ≤ f z' ( ω) < 0 khi ω > z (1.20) và Do đó với bất kỳ ω và v ta có: ( ) f z' ( ω) − f z' ( v ) ≤ max 1,zf z ( z ) + 1 − Φ ( z ) − ( zf z ( z ) − Φ ( z ) ) = 1 điều này suy ra (1.13) Để ý rằng ,từ (1.19) và (1.20) , f z đạt giá trị lớn nhất tại z.Thật vậy ta có: z2 2 0 < f z ( ω) ≤ f z ( z ) = 2πe Φ ( z ) ( 1 − Φ ( z ) ) Từ (1.16), f z ( z ) ≤ 1 . Để hoàn thành chứng minh (1.14), đặt z 1 − g ( z) = Φ( z) (1 − Φ ( z) ) − e 4 z2 2 và g1 ( z ) = 9 1 z 2Φ ( z ) + − 2π 4 2π (1.21) Để ý rằng g ' ( z ) = e − 1 2 z 2 g1 ( z ) và : < 0 2  1 1 g1' ( z ) = − e− z  = 0 4 π > 0  ở đó 0 ≤ z < z0 z = z0 z > z0 1 2   4  z 0 =  2ln  ÷÷ . Như vậy , g1 ( z ) là hàm giảm trên [ 0;z 0 ) và tăng  π   trên ( z 0;∞ ) . Từ g1 ( 0 ) = 0 và g1 ( ∞ ) = ∞ thì tồn tại z1 >0 sao cho g1 ( z ) < 0 với 0 < z < z1 và g1 ( z ) > 0 với z > z1 . Hơn nữa, g(z) cũng đạt maximum tại z=0 hoặc z = ∞ suy ra: g ( z ) ≤ max ( g ( 0 ) ,g ( ∞ ) ) = 0 tương đương fz ( z ) ≤ 2π 4 Điều này hoàn thành chứng minh của (1.14). Bằng cách viết : ( ω + u ) fz ( ω + u ) − ( ω + v ) fz ( ω + v ) = = ω ( f z ( ω + u ) − f z ( ω + v ) ) + uf z ( ω + u ) − vf z ( ω + v ) Kết hợp với (1.13), (1.14) và sử dụng biểu diễn Taylor ta chứng được (1.15). Chóng ta thường xuyên sử dông (1.13) và (1.14) cho các xấp xỉ của chúng ta. Nếu không quá quan tâm về các hằng sè, bằng cách sử dụng bất đẳng thức 1  − 1 1 − Φ(ω) ≤ min  , e ÷  2 ω 2π  ta dễ dàng chứng minh được 10 ω2 2 , ω>0 f z' (ω) ≤ 2 và 0 < f z (ω) ≤ π 2 Tiếp theo, chóng ta sẽ xét nghiệm fh của phương trình Stein (1.9) được cho bởi (1.10) với h là hàm liên tục tuyệt đối bị chặn . Bổ đề 1.3.: Cho h:R → R là hàm liên tục tuyệt đối. Nghiệm f h được cho bởi công thức (1.10) thoả mãn: f f  π '  ≤ min  h (.) − Eh( Z ) , 2 h ÷  2  h ' h ( ≤ min 2 h(.) − Eh( Z ) , 4 h f ′′ ≤ 2 h′ ' (1.22) ) (1.23) (1.24) h Chứng minh: Đặt % ω) ; c = sup h′(ω) % ω) = h(ω) − Eh(Z) và c0 = sup h( h( . Vì h% và f h không 1 ω ω thay đổi khi h được thay thế bởi h – h(0) nên ta có thể giả thiết h(0) = 0. Do 2 đó h(t) ≤ c1 t và Eh(Z) ≤ c1E Z = c1 . π Trước hết ta chứng minh (1.22). Từ định nghĩa (1.10) của fh ta có: −x  ω ω 2 %  e ∫ h ( x ) e 2 dx  −∞ f h ( ω) ≤  2 ω ∞ − x2  2 % 2 e ∫ h ( x ) e dx  ω 2 2 11 ω≤0 ω≥0  ∞ − ≤ e min  c 0 ∫  e  ω    π  ≤ min  ;2c1 ÷  2  ω2 2 x2 2 2 ∞  2  −2x ÷e dx dx;c1 ∫ x + ÷ ÷ ÷ π ω   Để ý rằng: e ω2 ∞ 2 ∫e − x2 2 ω dx ≤ π 2 Để chứng minh (1.23) ta xuất phát từ: f ( ω ) − ωf ( ω ) = h ( ω ) − Eh ( Z ) với , ω≥ 0 suy ra f h′ ( ω) ≤ h ( ω) − Eh ( Z ) + ωe −x2 ∞ 2 ∫ h ( x ) − Eh ( Z ) e ω ≤ h ( ω) − Eh ( Z ) + c0ωe ω2 ∞ 2 ∫e − ω ≤ 2c 0 Lại có: f ′′ ( ω) − ωf ′ ( ω) − f ( ω) = h′ ( ω) tương đương  −  e  ω2 2 ω2 ′ f ′ ( ω) ÷ = e 2 ( f ( ω ) + h′ ( ω ) ) ÷  suy ra f ′ ( ω) = e −ω2 ∞ 2 ∫ (f ( x ) + h′ ( x ) )e ω suy ra 12 − x2 2 dx x2 2 dx − x2 2 dx ∞ 2 f ( ω) = e ' ω 2 ∫ f ( x ) + h ( x )  e ' − 2 x 2 dx ω 2 ≤e ω 2 2 ∞ x ∞ − −  ∫ f ( x ) e 2 dx + ∫ h ' ( x ) e ω ω  2 ≤e ω 2 2 ≤e ω 2 ∞ −  ∫ f ( x) e ω  dx + ∫ h ( x ) e ' − ω  dx ÷ ÷  2 x 2  dx ÷ ÷  ∞ x  ∞ −x  − 2 2  2c ∫ e dx + c ∫ e dx ÷ 1  1ω ÷ ω   = 3c e 1 ∞ 2 x 2 2 x 2 2 ω2 ∞ 2 ∫e − x2 2 2 ≤ 3c dx ω 1 π ≤ 4c 1 2 Suy ra: sup f ′ ( ω) ≤ min(2c0 ,4c1 ) ω≥0 f ′ ( ω) ≤ min(2c0 ,4c1 ) tương tự , có cận trên cho sup ω≤0 Ta có: sup f ′ ( ω) ≤ min(2c0 ,4c1 ) (chứng minh được (1.23)) Bây giờ ta chứng minh (1.24). Lấy vi phân (1.9) ta có : f h′′ ( ω) = ωf h′ ( ω) + f h ( ω) + h′ ( ω ) (1.25) = ( 1 + ω2 ) f h ( ω) + ω ( h ( ω ) − Eh ( Z ) ) + h′ ( ω ) Từ h ( x ) − Eh ( Z ) 2 +∞ −s 1  h ( x ) − h ( s ) e 2 ds ∫ 2π −∞ 2 x x ∞ s 2 s s − − 1 1 ' ' 2 = h ( x ) dte ds − h ( t ) dte 2 ds ∫ ∫ ∫∫ 2π −∞ s 2π x x ∞ x = ' ∫ h ( t ) Φ ( t ) dt − ∫ h ( t ) ( 1 − Φ ( t ) ) dt ' −∞ x 13 (1.26) suy ra f h ( ω) = e ω2 ω 2 ∫ h ( x ) − Eh ( Z ) e − x2 2 dx −∞ ∞ x '  −x = e ∫  ∫ h ( t ) Φ ( t ) dt − ∫ h ' ( t ) 1 − Φ ( t )  dt ÷e 2 dx −∞  −∞ x  ω2 ω 2 = − 2 πe ω2 2 2 ω ( 1 − Φ ( ω) ) ∫ h ( t ) Φ ( t ) dt − ' −∞ ω2 2 ∞ 2πe Φ ( ω ) ∫ h ' ( t ) 1 − Φ ( t )  dt ω (1.27) từ (1.25),(1.26),(1.27) và (1.16) ta có: f h'' ( ω) ≤ h ' ( ω) + ( 1 + ω2 ) f h ( ω) + ω ( h ( ω) − Eh ( Z ) ) ω  ω ' 2 2 ≤ h ( ω) +  ω − 2π ( 1 + ω ) e ( 1 − Φ ( ω ) ) ÷ ∫ h ( t ) Φ ( t ) dt  ÷   −∞ 2 ' ω  ∞ ' 2 2 +  −ω − 2π ( 1 + ω ) e Φ ( ω) ÷∫ h ( t ) ( 1 − Φ ( t ) ) dt  ÷  ω 2 ω  ω 2 2 ≤ h ( ω ) + c1  −ω + 2π ( 1 + ω ) e ( 1 − Φ ( ω ) ) ÷ ∫ Φ ( t ) dt  ÷   −∞ 2 ' ω  ∞ 2 2 +c1  ω + 2π ( 1 + ω ) e Φ ( ω ) ÷∫ ( 1 − Φ ( t ) ) dt  ÷  ω 2 Do đó ta có: 14 (1.28) f h'' ( ω) ≤ h ' ( ω) + ω   −   e 2 ÷  2 + c1  −ω + 2π ( 1 + ω ) e ( 1 − Φ ( ω ) ) ÷ ωΦ ( ω ) +  ÷ 2π ÷   ÷   2 ω2 2 ω   −   e 2 ÷  + c1  ω + 2π ( 1 + ω2 ) e Φ ( ω ) ÷ −ω ( 1 − Φ ( ω ) ) +  ÷ 2π ÷   ÷   2 ω2 2 = h ' ( ω ) + c1 ≤ 2c1 (1.29) 1.4 Xây dựng các đẳng thức Stein Trong phần này, chúng ta trở lại phương pháp cơ sở mà Stein sử dông. Giả sử ξ1 , ξ 2 , ξ3 ...ξ n là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối thoả mãn E ξi =0, ( 1 ≤ i ≤ n ) và n ∑Eξ 2 i i =1 =1 . Đặt n W = ∑ξi và W ( i ) = W −ξi (1.30) i =1 và định nghĩa: { ( K i ( t ) = E ξi I{ 0≤ t ≤ξ } − I{ ξ ≤ t <0} i i )} (1.31) Dễ dàng để kiểm tra rằng Ki (t) ≥ 0 với mọi số thực t và +∞ ∫ −∞ K ( t ) dt = i Eξ 2 i +∞ ; ∫ −∞ 3 1 t .K ( t ) dt = E ξ i 2 i (1.32) Cho h là một hàm đo được với E h ( Z ) < ∞ . Đặt f=fh là nghiệm tương ứng của phương trình Stein (1.9). Mục đích của chúng ta là ước lượng 15 ( ' Eh ( W ) − Eh ( Z ) = E f ( W ) − Wf ( W ) ) Phương pháp dưới đây là cơ sở để có được ước lượng trên. Vì ξi và W ( i ) độc lập với mỗi 1 ≤ i ≤ n và E ξi =0 nên n E { Wf ( W ) } = ∑ E { ξi f ( W ) } = i =1 n E { ξi f ( W ) − f ( W ( ) ) } ∑   i =1 i Viết dưới dạng tích phân ta nhận được E { Wf ( W ) } ) ( ξ   i  i '  = ∑ E ξi ∫ f W ( ) + t dt  i =1    0  n ) ( ( ) = ∑ ∫ E { f ' ( W + t ) } .K ( t )dt +∞ '  ( i) = ∑E  ∫ f W + t .ξi  I 0≤t ≤ξ − I ξ ≤t<0 { i } i}  { i =1 −∞ n n +∞   ÷dt    i (1.33) i i =1 −∞ từ định nghĩa của Ki và tính độc lập. Tuy nhiên vì n +∞ n i =1 −∞ i =1 ∑ ∫ K i ( t ) dt = ∑Eξi2 = 1 nên ta có E { f ' ( W ) } K i ( t ) dt ∫ i=1 n +∞ Ef ' ( W ) = ∑ (1.34) −∞ Vì vậy từ (1.33) và (1.34) ta có: { }  ' '  W ( i ) + t   .K t dt E f W − f ( )   ÷ i ( ) ∫ i=1 −∞    n ∞ E f ' ( W ) − Wf ( W ) = ∑ (1.35) Phương trình (1.33) và (1.35) đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh xấp xỉ chuẩn. Để ý rằng trong trường hợp đặc biệt, (1.35) là một đẳng thức thay thế các cận cho η1 và η2 dẫn tới : 16 sup Eh ( W ) − Eh ( Z ) ≤ C n − 1 2 H h∈H 3  1  1 + E X   1  2  '' (với H là một lớp hàm kiểm tra và C H := sup f h ) . h∈H Cũng cần lưu ý rằng (1.33) và (1.35) luôn đúng với mọi hàm f bị chặn liên tục tuyệt đối. CHƯƠNG 2: XẤP XỈ CHUẨN VỚI HÀM TRƠN Trong phần này, chúng ta sẽ đưa ra các ước lượng Eh(W) - Eh(Z) cho rất nhiều líp các biến ngẫu nhiên W và h là một hàm trơn thoả mãn: h′ := sup h′(x) < ∞ (2.1) x Trước hết ta có kết quả sau: Định lý 2.1: Giả sử tồn tại sè δ sao cho với mọi hàm Lipschiz đều h ta có: Eh(W)- Eh(Z) ≤ δ h ' (2.2) Khi đó d w ( L(W), N (0,1)) := sup Eh(W ) − Eh( Z ) ≤ δ (2.3) d w ( L(W), N (0,1)) := sup P(W ≤ z) − Φ ( z ) ≤ 2.δ 1/2 (2.4) h∈Lip (1) z C h ứ 17 n g m i n h : Từ định nghĩa của dw ta có ngay (2.3). Để chứng minh (2.4), giả sử δ≤ 1 4 bởi trong những trường hợp khác (2.4) hiển nhiên đúng. Đặt α = δ1/2 (2π)1/4 và với mỗi z cố định đặt ω≤ z ω≥ z +α z ≤ω≤ z+α  1 h (ω) =  0 α linear Khi đó h′ = 1 và do đó từ (2.2) ta có α P(W ≤ z) − Φ (z) ≤ Eh α (W) − Eh α (Z) + Eh α (Z) − Φ(z) ≤ δ + P{ z ≤ Z ≤ z + α α } ≤ δ α + α 2π và vì vậy P(W ≤ z)-Φ (z) ≤ 2.(2π) −1/ 4 δ1/ 2 ≤ 2δ1/ 2 (2.5) Tương tù ta cũng có P(W ≤ z)-Φ(z) ≥ −2.δ1/ 2 (2.6) Từ (2.5),(2.6) ta nhận được (2.4). 18 Trong các phần tiếp theo, chóng ta sẽ chỉ ra rằng (2.2) được thoả mãn với sè δ nhá thích hợp trong trường hợp khi W là tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập hoặc khi W là tổng của các biến ngẫu nhiên phụ thuộc địa phương. Ta cũng sẽ chỉ ra rằng (2.2) thoả mãn khi W được cho sao cho cặp thay đổi (W, W’) được xây dựng có tính chất hồi quy tuyến tính E { W'/W } = (1 − λ)W với 0< λ <1 (2.7) 2.1. Các biến ngẫu nhiên độc lập Trong phần này, ta sẽ sử dụng (1.35) để chứng minh (2.2) với W là tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập với trung bình 0 và momen bậc ba hữu hạn, mở rộng sup Eh ( W ) − Eh ( Z ) ≤ C H n − 1 2 h∈H 3  1 1 + E X1   2  cho trường hợp các biến ngẫu nhiên không có cùng phân phối. Định lý 2.2: Cho ξ1 , ξ 2 ..., ξ n là các biến ngẫu nhiên độc lập thoả mãn 3 Eξi = 0 , E ξ < ∞ với mỗi 1 ≤ i ≤ n và i n ∑ Eξ i =1 2 i < ∞ . Khi đó Định lý 2.1 đúng với n δ = 3∑ E ξi 3 (2.8) i =1 Trong trường hợp đặc biệt ta có: EW− n 2 3 ≤ 3∑ E ξi π i =1 Chứng minh: Từ Bổ đề 1.3 ta có f ''h ≤ 2 h ' . Từ (1.35) và định lý giá trị trung bình ta nhận được n E { f 'h (W)-Wf h (W )} ≤ ∑ ∫ E f h' (W) − f h' (W (i) + t) K i (t)dt i =1 19 +∞ −∞ n +∞ ∑ ∫ E( t + ξ )K (t)dt ≤ 2 h' i i =1 −∞ i Sử dông (1.32) ta có E { f h' (W) − Wf h (W )} ≤ 2 h ' n 1 ∑  2 E ξ i i =1 n ≤ 3 h ' .∑ E ξi 3  + E ξi Eξi2 ÷  3 i =1 Định lý được chứng minh. Thực tế ta không cần giả thiết sự tồn tại momen bậc ba hữu hạn trong Định lý 2.2. Đại lượng δ có thể tính được nhờ định lý giới hạn trung tâm. Định lý 2.3: Cho ξ1 , ξ 2 ..., ξ n là các biến ngẫu nhiên độc lập thoả mãn Eξi = 0 với mỗi 1 ≤ i ≤ n và n ∑ Eξ i =1 2 i = 1 . Khi đó Định lý 2.1 đúng với δ = 4(4β 2 + 3β3 ) (2.9) ở đó n n β 2 = ∑ Eξ I{ ξi >1} và β3 = ∑ E ξi I{ ξi ≤1} i =1 2 i 3 (2.10) i =1 Chứng minh: Chóng ta sẽ sử dụng (1.23) và (1.24) để chỉ ra rằng: f h' (W) − f h' (W (i) + t) ≤ h ' min(8,2( t + ξi )) ≤ 8 h ' ( t ∧ 1 + ξi ∧ 1) ở đó a ∧ b := min ( a;b ) . Thay thế cận này vào (1.35) chóng ta được: Eh(W) − Eh(Z) ≤ 8 h ' n ∞ ∑∫ i =1 −∞ E( t ∧ 1 + ξi ∧ 1)K i (t)dt Lại có: 20 (2.11)