Tài liệu Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính

  • Số trang: 87 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 197 |
  • Lượt tải: 0
nguyetha

Đã đăng 8489 tài liệu

Mô tả:

1 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã chỉ ra hướng nghiên cứu, chỉ bảo tận tình, chu đáo, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo Phòng Sau đại học, Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, bạn bè và người thân đã tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng11 năm 2013 Tác giả Bùi Trung Hiếu 2 LỜI CAM ĐOAN Luận văn này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của bản thân dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy giáo, cô giáo, đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình và chu đáo của TS. Nguyễn Văn Hùng. Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn. Luận văn với đề tài “Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính” không có sự trùng lặp. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Bùi Trung Hiếu 3 MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn .......................................................................................... 1 Lời cam đoan ....................................................................................... 2 Mục lục ............................................................................................... 3 MỞ ĐẦU ............................................................................................ 5 NỘI DUNG ........................................................................................ 7 Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị ............................................... 7 1.1. Sai số ............................................................................................ 7 1.2. Số gần đúng .................................................................................. 11 1.3. Một số tính chất của phương trình vi phân .................................... 11 1.4. Sai phân và tính chất ..................................................................... 14 Chương 2: Lược đồ sai phân.............................................................. 19 2.1.Bài toán vi phân.............................................................................. 19 2.2. Lưới sai phân ................................................................................ 19 2.3. Hàm lưới ...................................................................................... 20 2.4. Đạo hàm lưới ................................................................................ 20 2.5. Qui ước viết vô cùng bé ................................................................ 21 2.6. Công thức Taylor .......................................................................... 21 2.7. Liên hệ giữa đạo hàm và hàm lưới ................................................ 22 2.8. Phương pháp sai phân ................................................................... 23 2.9. Giải bài toán sai phân bằng phương pháp truy đuổi ...................... 23 2.10. Sự ổn định của bài toán vi phân .................................................. 27 2.11. Sự xấp xỉ .................................................................................... 27 4 2.12. Sự hội tụ ..................................................................................... 29 2.13. Trường hợp điều kiện biên loại ba ........................................... .. 30 Chương 3: Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính 3.1. Bài toán vi phân ............................................................................ 35 3.2. Đạo hàm lưới ................................................................................ 36 3.3. Phương pháp sai phân ................................................................... 37 3.4. Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính .......... 46 3.5. Sự xấp xỉ ...................................................................................... 58 3.6. Sự ổn định của bài toán sai phân ................................................... 58 3.7. Bài toán sai phân đối với sai số ..................................................... 75 3.8. Sự hội tụ và sai số ......................................................................... 76 KẾT LUẬN ........................................................................................ 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................. 87 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương pháp sai phân (hay còn gọi là phương pháp lưới) là phương pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật. Nội dung của nó là dẫn đối tượng cần xét về việc giải phương trình sai phân (tức là hệ thức hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của các hàm số tại các điểm khác nhau). Một trong những ứng dụng quan trọng của phương pháp sai phân là giải các phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng. Ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin đã có rất nhiều phần mềm và chương trình có thể giúp chúng ta tìm nghiệm của các phương trình vi phân thường với độ chính xác cao trong một thời gian rất ngắn. Một lớp phương trình vi phân thường rất quan trọng đó là phương trình vi phân tuyến tính. Trong một số ít trường hợp của lớp phương trình vi phân tuyến tính ta có thể tìm được nghiệm tường minh. Chẳng hạn, đó là các phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng và hàm vế phải có một số dạng đặc biệt. Tuy nhiên, trong những trường hợp tổng quát hơn việc tìm ra nghiệm tường minh cho các phương trình vi phân tuyến tính là một vấn đề rất khó. Chính vì lí do đó người ta phải đưa ra các phương pháp để giải số các phương trình vi phân này. Được sự định hướng của TS Nguyễn Văn Hùng em đã chọn đề tài: “Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính” để hoàn thành luận văn đào tạo thạc sĩ chuyên ngành toán gải tích. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về phương trình vi phân và phương pháp sai phân ứng dụng vào giải phương trình vi phân tuyến tính. 6 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: - Phương trình vi phân. - Phương pháp sai phân - Phương pháp sai phân giải phuơng trình vi phân tuyến tính 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính. - Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính. 5. Phương pháp nghiên cứu - Thu thập tài liệu và các bài báo viết về phương pháp sai phân và các ứng dụng của nó. - Phân tích, tổng hợp kiến thức. - Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn. 6. Những đóng góp của luận văn. Trình bày một cách có hệ thống về phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính. Hơn nữa, kết quả thu được có thể mở rộng cho một số một số lĩnh vực khác. 7 CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Sai số 1.1.1. Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số Xét một số thập phân dạng tổng quát a    p .10 p  ...   i .10i  ...   p  s .10 p  s  (1.1) Trong đó  j  , j, a p  0, 0  a j  9 Nếu  p  s   0 thì a là số nguyên Nếu p  s   k  k  0  thì a có phần lẻ gồm k chữ số Nếu s   thì a là số thập phân vô hạn Làm tròn số a là bỏ đi 1 số các chữ số bên phải của số a để được số a gọn hơn và gần đúng với số a . Quy tắc làm tròn : Xét số a ở dạng (1.1) và ta sẽ giữ lại đến bậc thứ i , phần bỏ đi là  thì : a    p .10 p  ...   i 1.10i 1  ...   i .10i  Trong đó : 1 i 1 i   ; 0    .10    .10 khi  i  2l; l    i 2 2 i    ;   1 .10i    1 .10i khi   2l  1; l   i  i1 2 2 8 Ta kí hiệu sai số của phép làm tròn là  a , như vậy a  a   a , rõ ràng 1  a  .10i . 2 Vì a*  a  a*  a  a  a  a   a , do đó khi làm tròn thì sai số tuyệt đối tăng thêm  a . 1.1.2. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc Xét số a ở dạng (1.1) nghĩa là được viết dưới dạng thập phân, khi đó chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và những chữ số 0 bị kẹp giữa hai số khác 0 hoặc nó là những chữ số 0 ở hàng được giữ lại. Xét số a ở dạng (1.1) a    p .10 p  ...   i .10i  ...   p  s .10 p  s  Chữ số  j ở (1.1) của số a là số chắc nếu : a  .10 j ;  là tham số cho trước Tham số  sẽ được chọn để sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi làm tròn vẫn là chắc, rõ ràng ai là chữ số chắc thì ai1 cũng là chữ số chắc. 1.1.3. Sai số tính toán Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức y  f  x1 , x2 ,..., xn  Gọi x*   x1* , x2* ,..., xn*  ; y*  f  x*  là giá trị đúng còn x   x1 , x2 ,..., xn  ; 9 y  f  x  là giá trị gần đúng y * , xi  xi*  xi . Giả sử f  x1 , x2 ,..., xn  là hàm số khả vi liên tục thì : y  y  y  f  x1 , x2 ,..., xn   f  x , x2 ,..., xn * * 1 * n *    f x i xi  xi* i 1 Với f x i là đạo hàm theo xi tính tại điểm trung gian. Vì f là khả vi liên tục , xi khá bé nên: n y   f x i  x1 , x2 ,..., xn  xi (1.2) i 1 Vậy  y  y n   ln f xi . y  x i 1 i (1.3) a. Sai số của phép toán cộng trừ n n Nếu y   xi thì yxi  1 , vì vậy ta có : y   xi i 1 i 1 n Chú ý rằng : Nếu tổng đại số y   xi bé về giá trị tuyệt đối thì i 1 y lớn, y phép tính sẽ kém chính xác. Ta khắc phục bằng cách tránh công thức đưa đến hiệu quả của hai số gần nhau. b. Sai số của phép toán nhân, chia 10 n x i Giả sử y  i 1 n x . Áp dụng (1.2) và (1.3) ta có p i i 1  y   x1  ...   xq và y  y  y c. Sai số của phép tính lũy thừa Xét y  x   , x  0  , khi đó  y    x Như vậy, Nếu   1 thì độ chính xác là giảm đi Nếu   1 thì độ chính xác tăng lên Nếu   1 ( phép nghịch đảo ) thì độ chính xác là không đổi 1 Nếu   , k  * ( phép khai căn ) thì độ chính xác tăng lên. k d. Sai số của phép tính logarit Xét y  ln x , ta có y   x . 1.1.4. Bài toán ngược của sai số Giả sử đại lượng y được tính theo công thức : y  f  x1 , x2 ,..., xn  . Yêu cầu đặt ra là cần tính xi như thế nào để y   , với  là cho trước. 11 Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán ta phải có : n y   i 1 f xi   xi Bất đẳng thức trên sẽ thoả mãn nếu xi   n f x i Kết luận : Nếu các biến xi có vai trò ‘đều nhau’ thì ta có thể lấy xi   , n. f x i khi đó y   . 1.2. Số gần đúng Ta nói rằng a là một số gần đúng của a* nếu như a không sai khác a* nhiều, hiệu số a  a*  a là sai số thực sự của a , nếu a  0 thì a là giá trị gần đúng thiếu, còn nếu a  0 thì a là giá trị gần đúng thừa của a* . Vì rằng a* nói chung không biết nên cũng không biết  , tuy nhiên có thể thấy tồn tại a  0 thoả mãn điều kiện : a *  a  a Khi đó : a được gọi là sai số tuyệt đối của a . a   là sai số tương đối của a . a Rõ ràng a,  a càng nhỏ càng tốt. 1.3. Một số khái niệm về phương trình vi phân 1.3.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một Phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng 12 y  a  x  y  b  x  (1.4) Nếu b  x  là hàm hằng 0, thì gọi (1.4) là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, ngược lại thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất y  a  x  y  0 (1.5) là phương trình phân ly biến số được và có nghiệm tổng quát là y  C.e   a  x dx . (1.6) Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất ta dùng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange : Thay C bởi hàm số C  x  để y  C  x  .e   a x dx (1.7) là nghiệm của (1.4). Khi đó  a x dx  a x dx y  C  x  .e   a  x  .C  x  .e  , a x dx thay vào phương trình đã cho được C  x   b  x  .e  , tích phân hai vế, cuối cùng nhận được nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (1.4) là : a x dx  a x dx y    b  x e  dx  C  .e  .   1.3.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao 1.3.2.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp n Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng (1.8) 13 n n 1 n 2 y    a1  x  . y    a2  x  . y    ...  an  x  . y  b  x  (1.9) Nếu b  x  là hàm hằng 0, thì gọi (1.9) là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, ngược lại thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất. Phương trình thuần nhất có vế trái trùng với vế trái của phương trình không thuần nhất (1.9) gọi là phương trình thuần nhất tương ứng với phương trình không thuần nhất (1.9). 1.3.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Để giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng y  n   a1 y  n1  a2 y  n2  ...  an y  0 ( ai là hằng số thực : i  1,2,..., n ) (1.10) ta tìm nghiệm dưới dạng y  e x . Đạo hàm e x các cấp 0,1,2,…,n và thay vào phương trình ta được   e x  n  a1 n1  a2 n2  ...  an1  an  0 Giải phương trình đặc trưng  n  a1 n1  a2 n2  ...  an1  an  0 . (1.11) - Nếu  là nghiệm thực bội k của phương trình (1.11), thì các hàm e x , x.e x ,..., x k 1e x là k nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1.10). - Nếu     i là nghiệm phức bội k của phương trình (1.11) thì   i cũng là nghiệm bội k của phương trình (1.11). Khi đó theo công thức Euler : 14 y1  e i  x  e x  cos x  isin  x  ; y2  e   i   x suy ra  e x  cos x  isin  x  y1  y2 y  y2  e x cos x và 1  e x sin  x 2 2 là các nghiệm của phương trình (1.10). Do đó các hàm e xcos x, xe xcos x, ..., x k 1e x cos x e x sin  x, xe x sin  x, ..., x k 1e x sin  x đều là nghiệm của (1.10). Điều đó có nghĩa là bằng cách giải phương trình đặc trưng tìm được đủ n nghiệm thì ta có được ngay hệ thống n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân (1.10) và do đó có nghiệm tổng quát. 1.4. Sai phân và tính chất 1.4.1. Các khái niệm cơ bản Xét dãy số  xn  , dạng khai triển của nó là:  x0 , x1 , x2 ,..., xn ,... . Ví dụ, dãy số tự nhiên ký hiệu là N có dạng n  0,1,2,..., n,... ; Dãy số nguyên dương Z  có dạng n  1,2,..., n,... ; 1  1  1 Dãy số điều hòa    1, ,..., ,.... n  n  2 Có thể xem dãy số là một hàm của đối số nguyên n . Ký hiệu x  n   xn . 1.4.1.1. Định nghĩa Định nghĩa 1: Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số x  n   xn với n  Z :  xn   0, 1, 2,...,  n,... (hoặc n  Z  , hoặc n  N ) là hiệu: 15 xn  xn1  xn Ví dụ, hàm xn cho dưới dạng bảng n 0 1 2 3 4 xn 1 3 4 7 6 có sai phân hữu hạn cấp 1 là x0  x1  x0  3  1  2; x1  x2  x1  4  3  1; x2  x3  x2  7  4  3; x3  x4  x3  6  7  1. Từ đây về sau, nếu không có gì nhầm lẫn với tỷ sai phân, ta gọi tắt sai phân hữu hạn cấp k là sai phân cấp k , còn sai phân cấp 1 gọi tắt là sai phân. Định nghĩa 2: Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân của sai phân cấp 1 của xn và nói chung, sai phân cấp k của hàm xn là sai phân của sai phân cấp k  1 của hàm số đó. Như vậy, sai phân cấp 2 của hàm xn là  2 xn    xn   xn 1  xn  xn 2  xn 1   xn 1  xn   xn 2  2 xn 1  xn ; Sai phân cấp 3 của hàm xn là  3 xn     2 xn    2 xn1   2 xn  xn3  2 xn 2  xn 1   xn 2  2 xn1  xn   xn 3  3xn 2  3xn 1  xn . Nói chung, sai phân cấp k của hàm xn là k i  k xn     k 1 xn    k 1 xn 1   k 1 xn    1 Cki xn k i i0 trong đó Cki  k! . i ! k  i ! (1.4) 16 Ví dụ, xét hàm xn trong định nghĩa 1, ta có  2 x0  x2  2 x1  x0  4  2.3  3  1;  2 x1  x3  2 x2  x1  7  2.4  3  2;  2 x2  x4  2 x3  x2  6  2.7  4  4;  3 x0  x3  3 x2  3 x1  x0  7  3.4  3.3  1  3;  3 x1  x4  3 x3  x1  6  3.7  3.4  3  6;  4 x0  x4  4 x3  6 x2  4 x1  x0  6  4.7  6.4  4.3  9. Từ công thức (1.4) suy ra một số tính chất của phương trình sai phân sau đây: 1.4.1.2. Tính chất của sai phân Tính chất 1. Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số. Chứng minh. Để chứng minh tính chất 1, ta chứng minh công thức (1.4). Thật vậy, với k  1 , ta có xn  xn 1  xn  C10 xn 1  C11 xn k i Giả sử (1.4) đúng với k , có nghĩa là  k xn    1 Cki xn k i , ta chứng minh i0 (1.4) đúng với k  1 tức là k i k i  k 1 xn   k xn1   k xn    1 Cki xn 1k i    1 Cki xn k i . i 0 i 0 Trong tổng thứ hai ta đổi chỉ số i  i  1, sau đó thay i bằng i , ta được k i k 1   1 C x i0 Bởi vậy i k n  k i i1    1 i1 k 1 C i1 k n  k 1i x i    1 Cki 1 xn k 1i . i 0 17 k k 1 k 1 i  xn    1 C x i0 k i 1 k i i  xnk 1    1 Cki 1 xn k 1i   1 i k n  k 1i    1 C x i 1 k i    1 Cki1 xn k 1i i k n  k 1i k 1 xn i 1 i    1  Cki  Cki1  xnk 1i  xn k 1   1 k 1 xn i 1 k i    1 Cki 1 xn k 1i  xnk 1   1 k 1 xn i 1 k 1 i    1 Cki 1 xn k 1i i 0 Theo quy luật quy nạp, công thức (1.4) đúng với mọi giá trị n nguyên dương. Tính chất 2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính. Chứng minh. Ta phải chứng minh  k  axn  byn   a k xn  b k yn , Thật vậy, theo (1.4) ta có k i   axn  byn     1 Cki  axn k i  byn k i  k i 0 k i k i    1 C  axn k i     1 Cki  byn k i  i k i0 i 0 k k i i  a   1 Cki xn k i  b   1 Cki ynk i i0 k i0 k  a xn  b yn Tính chất 3. Sai phân cấp k của đa thức bậc m là 1. Đa thức bậc m  k , nếu k  m ; 2. Hằng số, nếu k  m ; 3. Bằng 0, nếu k  m . 18 Chứng minh. Theo tính chất 2, sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính, nên ta chỉ việc chứng minh cho đơn thức Pm  n   n m là đủ. 1.Ta có, m n m   n  1  n m  Cm0  Cm1 n  ...  Cmn n m  n m  Cm0  Cm1 n  ...  Cmm1n m1  Pm1  n  . Giả sử tính chất này đúng với k  s  m , ta chứng minh nó đúng với k  s 1 m . m Thật vậy,  s 1n m     s n m    s  n  1   s n m  Pm s  n   Pms 1  n  . 2. Khi k  m theo chứng minh trên, ta có  m nm  Pmm  n   P0  n   C  const 3. Khi k  m , ta có  k n m   k m  m n m   k mC   k m C  0 . N Tính chất 4. k  x n   k 1 xN 1   k 1 xa với k  Z  . n a Chứng minh. N N n a n a  k xn      k 1xn   k 1xa1   k 1xa   k 1xa2   k 1xa1  ...   k 1 xN 1   k 1xN   k 1 xN 1   k 1 xa N Đặc biệt lưu ý trường hợp k  1 , ta có  x n a n  xN 1  xa . 19 CHƯƠNG II: LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN 2.1. Bài toán vi phân Cho hai số a và b với a  b . Tìm hàm y  y  x  xác định tại a  x  b thỏa mãn : Ly    py   qy  f  x  (2.1) y a   , y b   (2.2) trong đó p  p  x  , q  q  x  , f  x  là những hàm cho trước đủ trơn thỏa mãn: 0  c0  p  x   c1 , c1  const , q  x   0 còn  ,  là những số cho trước. Giả sử bài toán (2.1) - (2.2) có nghiệm duy nhất y đủ trơn trên  a, b . 2.2. Lưới sai phân Ta chia đoạn  a, b thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài h   b  a  / N bởi các điểm xi  a  ih, i  0,1,..., N . Mỗi điểm xi gọi là nút lưới, h gọi là bước lưới.  Tập h   xi , 1  i  N  1 gọi là tập các nút trong.  Tập h   x0 , xN  gọi là tập các nút biên.  Tập h   h   h gọi là một lưới trên  a, b . a  x0 x1 xi xN  b 20 2.3. Hàm lưới Đó là những hàm số xác định tại các nút của lưới h . Giá trị của hàm lưới  tại lưới xi viết là  i . Một hàm số y  x  xác định tại mọi x   a, b  sẽ tạo ra hàm lưới y có giá trị tại nút xi là yi  y  xi  . 2.4. Đạo hàm lưới Xét hàm lưới  . Đạo hàm lưới tiến cấp một của  , ký hiệu là  x , có giá trị tại nút xi là:  xi   i 1   i h Đạo hàm lưới lùi cấp một của  , ký hiệu là  x , có giá trị tại nút xi là:  xi   i   i 1 h Sau đây ta sẽ thấy rằng khi h bé thì đạo hàm lưới “xấp xỉ” được đạo hàm thường. Do đó có đạo hàm lưới cấp hai  xx :  xx   xi 1   xi 1   i 1   i  i   i 1   i 1  2 i   i 1     h h h h  h2 Nếu a là một hàm lưới thì:  a x  xi  ai 1 xi 1  ai xi h  ai 1 i 1   ai 1  ai  i  ai i 1 h2 .
- Xem thêm -