Tài liệu Phương pháp ritz và ứng dựng trong giải bài toán biên phương trình vi phân (lv01729

  • Số trang: 78 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 1815 |
  • Lượt tải: 1
sakura

Tham gia: 10/08/2015

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐỖ THỊ NGỌC PHƯƠNG PHÁP RITZ VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI BÀI TOÁN BIÊN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh, người thầy đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Trong suốt quá trình thực hiện luận văn, chính nhờ tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo tận tình của thầy Khuất Văn Ninh đã giúp tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao để hoàn thành luận văn của mình. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, Ban giám hiệu, Phòng sau đại học Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 8 tháng 06 năm 2015 Tác giả Đỗ Thị Ngọc 1 LỜI CAM ĐOAN Luận văn tốt nghiệp được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh. Trong quá trình nghiên cứu luận văn tôi có sử dụng sách tham khảo của một số tác giả, các nhà nghiên cứu đã nêu trong mục tài liệu tham khảo. Tôi xin cam đoan rằng luận văn này là trung thực, không sao chép từ các tài liệu có sẵn, tên đề tài không trùng lặp với bất cứ tên đề tài nào khác. Hà Nội, ngày 8 tháng 06 năm 2015 Tác giả Đỗ Thị Ngọc 2 Mục lục MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 5 7 Không gian định chuẩn và toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn . . . . . 10 1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Bài toán biên của phương trình vi phân . . . . . . . . . . 15 1.4 3 1.4.1 Một số khái niệm về phương trình vi phân . . . . 15 1.4.2 Bài toán biên phương trình vi phân . . . . . . . . 16 2 PHƯƠNG PHÁP RITZ VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI BÀI TOÁN BIÊN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 19 2.1 Phương pháp Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Ứng dụng phương pháp Ritz vào giải bài toán biên phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 24 Ứng dụng phương pháp Ritz vào giải bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Các hệ cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5 Những hệ cực tiểu mạnh và những hệ hầu như trực giao 35 2.6 Nhận xét về quá trình Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6.1 Một số phương pháp biến phân khác . . . . . . . 45 2.6.2 Phương pháp chiếu trực giao . . . . . . . . . . . . 47 2.6.3 Phương pháp Trephsa . . . . . . . . . . . . . . . 48 Tính chất giới hạn của dãy Ritz . . . . . . . . . . . . . . 49 2.7 3 THỬ NGHIỆM SỐ 60 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bài toán giải xấp xỉ phương trình toán tử có phạm vi ứng dụng lớn và ý nghĩa thực tiễn cao. Xét phương trình Ax = f. Đây là trường hợp tổng quát của phương trình toán tử trong không gian định chuẩn. Trong thực tiễn, có nhiều yếu tố làm cho bài toán chỉ có tính chất gần đúng do đó nghiên cứu giải xấp xỉ phương trình toán tử luôn là vấn đề mà nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Một trong các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình là phương pháp biến phân. Phương pháp biến phân có thể được hiểu là phương pháp tìm nghiệm của phương trình thông qua việc tìm cực tiểu của một phiếm hàm được xây dựng từ các yếu tố của bài toán giải phương trình toán tử. Một trong những phương pháp biến phân là phương pháp Ritz về giải phương trình toán tử trong không gian Hilbert. Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này em đã chọn đề tài: “Phương pháp Ritz và ứng dụng trong giải bài toán biên phương trình vi phân”. 2. Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm 3 chương 5 Chương 1: Các kiến thức cơ sở Chương 2: Phương pháp Ritz và ứng dụng trong giải bài toán biên phương trình vi phân Chương 3: Ứng dụng của phương pháp Ritz 3. Mục đích nghiên cứu Luận văn sẽ nghiên cứu giải xấp xỉ phương trình toán tử bằng phương pháp Ritz và ứng dụng phương pháp đó vào giải bài toán biên phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp biến phân trong giải xấp xỉ phương trình toán tử. Trình bày một số ứng dụng của phương pháp biến phân vào giải bài toán biên đối với phương trình vi phân. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Phương pháp biến phân trong giải xấp xỉ phương trình toán tử. - Ứng dụng vào giải bài toán biên đối với phương trình vi phân. 6. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có từ đó hệ thống lại các vấn đề liên quan tới đề tài. 7. Đóng góp của đề tài nghiên cứu - Hệ thống lại các vấn đề cơ bản của phương pháp Ritz. - Nêu một số ứng dụng về phương pháp Ritz vào giải xấp xỉ bài toán biên đối với phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng. 6 Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian định chuẩn và toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn 1.1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là k.k và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây: i) (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không là θ); ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) kαxk = |α| kxk ; iii) (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk . Số kxk gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X. Các tiên đề i), ii), iii) gọi là tiên đề chuẩn. 7 1.1.2 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.2. (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) Dãy điểm {xn} của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim ||xn − x|| = 0. Ký hiệu lim xn = x hay xn → x (n → ∞). n→∞ n→∞ Định nghĩa 1.2.3. (Dãy cơ bản) Dãy điểm {xn} của không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản nếu lim ||xn − xm || = 0. m,n→∞ Định nghĩa 1.1.2. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. 1.1.3 Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.1.3. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P (P = R hoặc P = C). Ánh xạ A từ không gian X vào Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện: 1) (∀x, x0 ∈ X) A(x + x0 ) = Ax + Ax0 ; 2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) Aαx = αAx. Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính, còn khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính. Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số 8 C > 0 sao cho: kAxk ≤ C kxk , ∀x ∈ X. (1.1.1) Định nghĩa 1.1.5. Cho A toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y. Hằng số C ≥ 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (1.1.1) gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là kAk . Từ định nghĩa dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất: 1) (∀x ∈ X) kAxk ≤ kAk kxk ; 2) (∀ε > 0) (∃xε ∈ X) ( kAk − ε) kxε k ≤ kAxε k . 1.1.4 Ví dụ 2  Ví dụ 1. Cho không gian vectơ l  ∞ P l2 = {x = (x1 , x2 , ..., xi , ...)|xi ∈ R, ∀i ∈ N∗ , |xi |2 < +∞ . i=1 Với vectơ bất kỳ x = (xn ) ∈ l2 ta đặt v u∞ uX |xn |2 . kxk = t i=1 Dễ dàng chứng minh được công thức nêu trên xác định một chuẩn trên l2 . Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là l2 . Dễ dàng thấy l2 là không gian Banach. Ví dụ 2. Cho không gian vectơ C[a,b] . Đối với hàm số bất kỳ x(t) ∈ C[a,b] ta đặt kxk = max |x(t)| . a≤t≤b 9 Dễ dàng chứng minh được công thức nêu trên xác định một chuẩn trên C[a,b] . Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là C[a,b] . Dễ dàng thấy C[a,b] là không gian Banach. Ví dụ 3. Cho không gian vectơ L[a,b] . Đối với hàm số bất kỳ x(t) ∈ L[a,b] ta đặt Zb kxk = |x(t)| dt. a Dễ dàng chứng minh được công thức nêu xác định một chuẩn trên L[a,b] . Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là L[a,b] . Dễ dàng thấy L[a,b] là không gian Banach. Ví dụ 4. Xét không gian hữu hạn chiều X = Rn và ánh xạ tuyến tính A : Rn → Rn . Giả sử với một cơ sở cố định cho trước ánh xạ A cho bởi ma trận (aij )n i,j=1 . Khi đó ta có ba chuẩn thường dùng trong Rn là: n P +) kxk1 = |xi |. i=1 n  21 P +) kxk2 = |xi |2 . i=1 +) kxk∞ = max |xi | . 1≤i≤n 1.2 Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn Đạo hàm và vi phân Fréchet Cho X,Y là hai không gian Banach và toán tử f : X → Y . 10 Định nghĩa 1.2.1. (Đạo hàm Fréchet) Cho x0 là một điểm cố định trong không gian Banach X. Toán tử f : X → Y gọi là khả vi theo nghĩa Fréchet tại x0 nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục A(x0 ) : X → Y hay A(x0 ) ∈ L(X, Y ) sao cho: f (x0 + h) − f (x0 ) = A(x0 )(h) + α(x0 , h) với mọi h ∈ X trong đó kα(x0 , h)k = 0, khk khk→0 lim thì toán tử A(x0 ) được gọi là đạo hàm Fréchet cấp một của toán tử f tại x0 , kí hiệu là f 0 (x0 ). A(x0 )(h) được gọi là vi phân Fréchet cấp một của toán tử f tại x0 , kí hiệu là df (x0 , h). Vậy df (x0 , h) = f 0 (x0 )(h). (Do f 0 (x0 ) là một toán tử nên kí hiệu f 0 (x0 )(h) có nghĩa là giá trị của toán tử f 0 (x0 ) tại h). Định lý 1.2.1. Cho toán tử f : U → X với U là một tập con mở của không gian Banach X. Giả sử f khả vi Fréchet tại một điểm x0 ∈ U thì f cũng liên tục tại điểm đó. Định lý 1.2.2. (Tính duy nhất của đạo hàm Fréchet) Nếu một toán tử có đạo hàm thì đạo hàm đó là duy nhất. Định lý 1.2.3. Cho hai toán tử tuyến tính f : U → X và g : U → Y với X, Y là hai không gian Banach, U là một tập con mở của không gian Banach X. Giả sử f, g đều khả vi Fréchet tại một điểm x0 ∈ U . Khi đó: 1) (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ), 2) (kf )0 (x0 ) = kf 0 (x0 ), với mọi k ∈ R. 11 Định lý 1.2.4. Cho X, Y, Z là những không gian Banach thực. Nếu g : X → Y là khả vi Fréchet tại một điểm x ∈ X và f : Y → Z khả vi Fréchet tại y = g(x) ∈ Y thì φ = f.g cũng khả vi Fréchet tại x và φ0 (x) = f 0 (g(x)) .g 0 (x)(h). Ví dụ. Nếu hàm f : X → Y tuyến tính ta có f (x0 + h) − f (x0 ) = f (x0 ) + f (h) − f (x0 ) = f (h). Vậy f (x0 + h) − f (x0 ) = f (h). Đặt A(h) = f (h) ta thấy α(x0 , h) = 0. Do đó f 0 (x)(h) = f (h). 1.3 1.3.1 Không gian Hilbert Tích vô hướng Định nghĩa 1.3.1. Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P là trường số thực R hoặc trường số phức C). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường P , ký hiệu (., .), thỏa mãn tiên đề: i) (∀x, y ∈ X) (y, x) = (x, y); ii) (∀x, y, z ∈ X) (x + y, z) = (x, z) + (y, z); iii) (∀x, y ∈ X) (∀α ∈ P ) (αx, y) = α(x, y); iv) (∀x ∈ X) (x, x) > 0, nếu x 6= θ (θ là ký hiệu phần tử không), (x, x) = 0 nếu x = θ. 12 Các phần tử x, y, z gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, y) gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề i), ii), iii), iv) gọi là hệ tiên đề tích vô hướng. Định nghĩa 1.3.2. Không gian vectơ X cùng với một tích vô hướng trên nó được gọi là không gian tiền Hilbert. 1.3.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.3.3. Ta gọi một tập H 6= ∅ gồm những phần tử x, y, z, ... nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện: 1) H là không gian tuyến tính trên trường P ; 2) H được trang bị bởi một tích vô hướng (., .); p 3) H là không gian Banach với chuẩn kxk = (x, x), x ∈ H. Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H. 1.3.3 Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.3.4. Toán tử tuyến tính A : H → H gọi là toán tử dương nếu (Ax, x) ≥ 0, ∀x ∈ H. Định nghĩa 1.3.5. Toán tử tuyến tính A : H → H gọi là toán tử 13 xác định dương nếu ∃γ > 0 sao cho (Ax, x) ≥ γ||x||2 , ∀x ∈ H. Định nghĩa 1.3.6. Toán tử tuyến tính A : H → H gọi là toán tử đối xứng nếu (Ax, y) = (x, Ay), ∀x, y ∈ H. Định lý 1.3.1. (Định lý Ritz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng f (x) = (x, a), ∀x ∈ H trong đó phần tử a ∈ H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và ||f || = ||a||. 1.3.4 Ví dụ Ví dụ 1. Rn là không gian tiền Hilbert với tích vô hướng n P (x, y) = xi yi , với x = (x1 , x2 , ..., xn ); y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn . i=1 n Ví dụ 2. R với tích vô hướng (x, y) = n P xi yi là không gian Hilbert. i=1 Vì chuẩn sinh ra tích vô hướng v v u n u n p uX uX kxk = (x, x) = t xi .xi = t |xi |2 . i=1 i=1 là một chuẩn đủ trên không gian Rn . Ví dụ 3. Kí hiệu L2 (E, µ) là không gian vectơ các hàm số bình phương khả tích trên tập E theo độ đo µ. Với ∀x(t) ∈ L2 (E, µ), y(t) ∈ L2 (E, µ) 14 ta đặt Z (x, y) = x(t)y(t)dµ. (1.3.1) E Dễ dàng thấy hệ thức (1.3.1) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng. Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng (1.3.1) vZ u p u kxk = (x, x) = t x2 (t)dt, x(t) ∈ L2 (E, µ). E Do đó không gian vectơ L2 (E, µ) cùng với tích vô hướng (1.3.1) là một không gian Hilbert. 1.4 1.4.1 Bài toán biên của phương trình vi phân Một số khái niệm về phương trình vi phân Phương trình vi phân là phương trình chứa một hàm cần tìm và các đạo hàm của nó. Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập ta có phương trình vi phân thường. Nếu hàm cần tìm phụ thuộc hai hay nhiều biến độc lập ta có phương trình đạo hàm riêng. Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình trong đó có chứa hàm số chưa xác định (đóng vai trò như ẩn số) và những đạo hàm của hàm số đó:  0 F x, y(x), y (x), ..., y 15 (n)  (x) = 0, hay viết gọn là:   0 (n) F x, y, y , ..., y = 0, (1.4.1) trong đó x là biến độc lập, y là hàm cần tìm. Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình. Hàm y = ϕ(x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.4.1) nếu thay y = ϕ(x),y 0 = ϕ0 (x), ..., y (n) = ϕ(n) (x), vào (1.4.1) thì ta thu được phương trình đồng nhất thức. Hàm số y = ϕ(x, c), c ∈ R có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.4.1) nếu: i) ∀(x, y) ∈ D (D là miền xác định của phương trình) ta có thể giải ra c = ϕ(x, y). ii) Hàm y = ϕ(x, c), c ∈ R thỏa mãn (1.4.1) khi (x, y) chạy khắp D với mọi c ∈ R. 1.4.2 Bài toán biên phương trình vi phân Giả sử hàm f (x), fi (x) liên tục trên [a, b] và fn 6= 0. Lập phương trình vi phân tuyến tính L(y) = n X fi (x)y (i) (x) = f (x). i=0 16 (1.4.2) Chọn các hằng số αjk , βjk sao cho ma trận  (0) (n−1) (0) (n−1) α1 . . . α1 β1 . . . β1   (0)  α2 . . . α2(n−1) β2(0) . . . β2(n−1) X=   ....  (0) (n−1) (0) (n−1) αm . . . αm βm . . . βm     .    (1.4.3) có hạng là m. Ta lập tổ hợp tuyến tính như sau Vj (y) = n−1 h X (k) αj y (k) (a) + i (k) βj y (k) (b) ; j = 1, m. (1.4.4) k=0 Do ma trận (1.4.3) có hạng m nên các tổ hợp (1.4.4) độc lập tuyến tính. Các đẳng thức Vj (y) = gj ; j = 1, m, (1.4.5) trong đó gj là những số được gọi là điều kiện biên của phương trình (1.4.4). Nếu gj = 0 thì điều kiện (1.4.5) được gọi là điều kiện biên thuần nhất. Phương trình (1.4.1) cùng các điều kiện (1.4.5) lập thành bài toán biên. Bài toán biên được gọi là thuần nhất nếu gj = 0; j = 1, m và f (x) = 0. Trong các trường hợp khác ta gọi bài toán biên không thuần nhất. Đôi khi cũng có thể gọi là bán thuần nhất nếu gj = 0 nhưng f (x) 6= 0. Ví dụ. Cho hàm f (x, y) xác định và liên tục trên G ∪ Γ, G bị chặn 17 trong không gian R2 , Γ là biên của G. Xét bài toán   ∆u = ∂ 2 u2 + ∂ 2 u2 = f (x, y) ∂x ∂y  u| = ϕ Γ ϕ là hàm hai biến xác định trên Γ. Bài toán nói trên gọi là bài toán biên Dirichlet đối với phương trình elliptic. Hàm cần tìm là hàm u = u(x, y). 18 Chương 2 PHƯƠNG PHÁP RITZ VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI BÀI TOÁN BIÊN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2.1 Phương pháp Ritz Giả sử H là không gian Hilbert thực, A là toán tử tuyến tính xác định trên một tập hợp HA trù mật khắp nơi trong H. Xét phương trình toán tử Ax = f, (2.1.1) trong đó f ∈ H là phần tử cho trước, x ∈ HA là phần tử cần tìm. Phương pháp Ritz được dựa trên định lý sau đây: Định lý 2.1.1. Giả sử toán tử A dương và đối xứng. Nếu phương trình (2.1.1) có nghiệm x∗ , thì tại giá trị đó phiếm hàm J(x) = (Ax, x) − 2(f, x) 19
- Xem thêm -