Tài liệu Phương pháp phân tử hữu hạn cho bài toán elipic phi tuyến biên cong

Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong MUÏC LUÏC Phaàn Môû ñaàu Trang 1 Chöông 1 Kyù hieäu vaø ñònh nghóa 4 Chöông 2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi 6 Chöông 3 Xaáp xæ baèng phaàn töû höõu haïn vôùi Ω coù bieân ña giaùc 22 Chöông 4 Xaáp xæ baøi toaùn bieân cong bôûi baøi toaùn bieân ña giaùc 33 Chöông 5 Aùp duïng tính toaùn soá 47 Phaàn Keát luaän 59 Taøi lieäu tham khaûo 60 Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong 1 PHAÀN MÔÛ ÑAÀU Trong luaän vaên naøy chuùng toâi söû duïng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn ñeå giaûi baøi toaùn elliptic phi tuyeán hai chieàu : (0.1) −   ∂ ∂u ∂u   ∂ M 1  x , y, ( x , y )  − M 2  x , y, (x , y ) ∂x ∂x ∂y   ∂y   + g(x , y, u (x, y )) sin u (x , y ) = G (x , y ) , (x , y ) ∈ Ω , lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp (0.2) u (x, ϕ(x )) = 0 (0.3)  ∂u  ∂u   M 1  x , y, ν 1 + M 2  x , y, ν 2 = H(x, y) , ∂x  ∂y    vôùi , 0 ≤ x ≤1, (x, y ) ∈ Γ1 , Ω = {(x, y ) ∈ IR 2 0 < x < 1,0 < y < ϕ(x )} , Γ0 = {(x , y ) ∈ IR 2 , 0 ≤ x ≤ 1 , y = ϕ(x )} , Γ1 = Ω \ Γ0 , ϕ ∈ C[0,1] . trong ñoù ν = (ν1, ν2) laø phaùp vectô ñôn vò treân Γ1 höôùng ra ngoaøi ñoái vôùi mieàn Ω. M1, M2, g, G, H laø caùc haøm soá cho tröôùc thoûa maõn moät soá ñieàu kieän seõ chæ ra sau. Haøm ϕ xaùc ñònh treân Ω thoûa ñieàu kieän : (0.4) ϕ lieân tuïc treân [ 0 , 1 ] vaø C1-töøng khuùc treân (0 , 1) , ϕ (x) > 0 ∀ x ∈ (0 , 1) . Tröôøng hôïp moät chieàu vôùi Ω = (0 , 1), baøi toaùn töông töï(0.1) – (0.3) ñaõ ñöôïc khaûo saùt bôûi Tucsnak [6], vaø N.T. Long, T.V. Laêng [5]. Trong [6], Tucsnak ñaõ xeùt baøi toaùn: d M(u ' (x )) + (− λ + (γ 0 − γ 1 )F(x ) − G ' (1)) sin u (x ) = 0 , 0 < x < 1 , dx u (0 ) = 0 , − (0.5) M (u ' (1)) + γ 1G (1) sin u (1) = 0 . Baøi toaùn (0.5) moâ taû söï uoán cuûa moät thanh ñaøn hoài phi tuyeán coù khoái löôïng rieâng γ0 ñöôïc nhuùng trong moät chaát loûng coù khoái löôïng rieâng γ1, trong ñoù λ > 0 laø haèng soá, F(x) vaø G(x) laø caùc haøm soá cho tröôùc coù moät yù nghóa cô hoïc naøo ñoù, u laø goùc giöõa tieáp tuyeán cuûa thanh ôû traïng thaùi bò uoán taïi ñieåm coù hoaønh ñoä cong x vaø truïc thaúng ñöùng. Trong [5], caùc taùc giaû ñaõ xeùt baøi toaùn: Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong 2 d M(x , u ' (x )) + g(x , u (x )) sin u (x ) = 0 , 0 < x < 1 , dx u (0) = 0 , − (0.6) M(1, u ' (1)) + b sin u (1) = 0 . Ñeå giaûi baøi toaùn (0.6), caùc taùc giaû trong [5] söû duïng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn caáp 1, moät chieàu. Baøi toaùn (0.1)-(0.3) maø chuùng toâi khaûo saùt ôû ñaây laø tröôøng hôïp hai chieàu vôùi mieàn Ω coù bieân ∂Ω goàm ba caïnh thaúng OA, AB, OC vaø moät phaàn bieân cong Γ0 = BC , trong ñoù O (0,0), A(1,0), B(1,ϕ(1)), C(0,ϕ(0)) (xem hình veõ). Vì vaäy ñeå söû duïng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn vôùi caùc ña thöùc xaáp xæ caáp 1 caàn xaáp xæ bieân cong Γ0 thaønh bieân coù “hình raêng cöa” (ñöôøng gaáp khuùc). C B Ω O A Ngoaøi phaàn môû ñaàu, keát luaän, taøi lieäu tham khaûo, luaän vaên ñöôïc chia thaønh 5 chöông. Chöông 1 giôùi thieäu moät soá kyù hieäu vaø caùc keát quaû chung chuaån bò ñeå khaûo saùt trong caùc chöông sau. Trong chöông 2 chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi duy nhaát lôøi giaûi cuûa baøi toaùn (0.1)-(0.3). Keát quaû thu ñöôïc ôû chöông naøy ñaõ toång quaùt hoùa töông ñoái caùc keát quaû trong [5],[6]. Trong chöông 3 chuùng toâi söû duïng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn tam giaùc ñeå xaáp xæ lôøi giaûi chính xaùc baøi toaùn (0.1)-(0.3) trong tröôøng hôïp Ω xaùc ñònh bôûi haøm ϕ lieân tuïc vaø baäc nhaát töøng khuùc treân [0 , 1], töùc laø bieân ∂Ω laø ña giaùc. Keát quaû thu ñöôïc trong phaàn naøy laø ñaùnh giaù sai soá giöõa lôøi giaûi xaáp xæ vaø lôøi giaûi chính xaùc theo moät caáp ñoä phuï thuoäc vaøo tính “trôn” cuûa lôøi giaûi chính xaùc. Cuõng trong phaàn naøy chuùng toâi cho keát quaû cuï theå öùng vôùi tröôøng hôïp rieâng M1(x,y,z) = M2(x,y,z) = z. Keát quaû trong phaàn naøy toång quaùt hoùa caùc keát quaû trong [5]. Chöông 4 aùp duïng keát quaû cuûa chöông 3 cho mieàn Ωn, trong ñoù Ωn ⊂ Ω vaø bieân ∂Ωn ñònh bôûi ba caïnh thaúng OA, AB, OC vaø ñöôøng gaáp khuùc xaùc ñònh bôûi haøm ϕn lieân tuïc vaø baäc nhaát töøng khuùc treân [0 , 1], ϕn “xaáp xæ” ϕ treân [0 , 1]. Keát quaû cuûa chöông naøy laø caùc ñaùnh giaù sai soá giöõa lôøi giaûi phaàn töû höõu haïn vaø lôøi giaûi chính xaùc trong tröôøng hôïp Ωn. Ngoaøi ra chuùng toâi cuõng ñaùnh giaù ñöôïc sai soá giöõa lôøi giaûi xaáp xæ baèng phaàn töû höõu haïn treân Ωn vaø lôøi giaûi chính xaùc treân Ω. Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong 3 Chöông 5 cho moät ví duï vôùi M1, M2, G, H, g, ϕ cuï theå. Trong chöông naøy chuùng toâi ñaõ tính toaùn cuï theå cho ra caùc keát quaû soá. Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong 4 CHÖ ÔNG 1 : KYÙ HIEÄU VAØ ÑÒNH NGHÓA 1. CAÙC KYÙ HIEÄU VAØ ÑÒNH NGHÓA ϕ : [0,1] → IR + Cho Ω = {(x , y ) ∈ IR 2 : 0 < y < ϕ(x ), 0 < x < 1} : ∂Ω bieân Ω Γ0 = {(x , y ) ∈ IR 2 : y = ϕ(x ) , 0 ≤ x ≤ 1} Γ1 = ∂Ω \ Γ0 Chuùng ta boû qua caùc ñònh nghóa cuûa caùc khoâng gian haøm thoâng duïng Cm (Ω ), Lp (Ω), Hm(Ω), W1,p(Ω). Caàn thieát ta coù theå tham khaûo trong [1], [2], [4]… Ta kyù hieäu p : soá thöïc , p > 1 p’ : lieân hôïp cuûa p, nghóa laø : chuaån treân khoâng gian ñònh chuaån X : chuaån treân L2(Ω) : nöûa chuaån treân Wm,p(Ω) : tích voâ höôùng treân khoâng gian Hilbert X : tích voâ höôùng treân L2(Ω) hoaëc caëp tích ñoái ngaãu cuûa moät phieám . X . . m ,q ,Ω .,. X .,. 1 1 + =1 p p' haøm tuyeán tính lieân tuïc vôùi moät phaàn töû cuûa moät khoâng gian haøm V ⊂ L2(Ω) mes(Ω) : ñoä ño Lebesgues cuûa taäp Ω mes(Γ) : ñoä ño Lebesgues cuûa taäp Γ { V = v ∈ W 1, p (Ω ) : v Γ = 0 0 } 2. MOÄT SOÁ CAÙC BOÅ ÑEÀ QUAN TROÏNG Treân V ta ñònh nghóa nöûa chuaån Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong u V  ∂u =  ∂x   ∂u  + ∂y Lp (Ω )  p p L (Ω ) p 1 5 p . Boå ñeà 1.1: (Xem [1], [3], [4] ) ). (i) V laø khoâng gian Banach phaûn xaï, khaû ly (vôùi chuaån . (ii) Nöûa chuaån treân V (nhö ñònh nghóa trong (1.3)) laø moät chuaån treân V vaø töô ng ñöông vôùi chuaån . W1, p (Ω ) . W 1, p ( Ω ) Boå ñeà 1.2: (Ñònh lyù veát) (Xem [1], [4]) Cho Ω laø taäp môû bò chaën trong IRN, coù bieân Γ = ∂Ω “ñuû trôn”. Khi ñoù toàn taïi : γ0 : W 1, p (Ω ) → Lp (Γ ) , γ0 tuyeán tính lieân tuïc sao cho γ0v = v Γ ( ) ∀v ∈ C1 Ω . γ0 ñöôïc goïi laø aùnh xaï veát. (Ñoâi khi ngöôøi ta vaãn vieát vΓ thay cho γ0 v maëc duø v ∈ W1,p(Ω)). Boå ñeà 1.3: (Boå ñeà Brouwer) (Xem [4] ) Cho Vm laø khoâng gian höõu haïn chieàu vôùi chuaån .,. Vm . Vm töông öùng vôùi tích voâ höôùng vaø cho Pm : Vm → Vm lieân tuïc , thoûa : Toàn taïi ~ ρ > 0 sao cho ∀u ∈ Vm , u Khi ñoù coù u0 ∈ Vm , u 0 Vm =~ ρ ⇒ Pm (u ) , u Vm Vm ≥0 . ≤~ ρ thoûa phöông trình Pm (u0) = 0 . Boå ñeà 1.4: (Xem [4]) Cho Q laø taäp môû bò chaën trong IRN vaø Gm , G ∈ Lq (Q), 1 < q < ∞ sao cho Gm Lq ( Ω ) ≤C , C laø haèng soá khoâng phuï thuoäc m vaø Gm → G haàu heát x ∈ Q. Khi ñoù Gm → G yeáu trong Lq(Q). Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong 6 CHÖ Ô NG 2 : SÖÏ TOÀN TAÏI VAØ DUY NHAÁT LÔØI GIAÛI 1. CAÙC GIAÛ THIEÁT Vôùi p > 1 ñaët p' = p p −1 (H1) ϕ ∈ C([0,1]) , ϕ(x ) > 0, ∀x ∈ [0,1] , ϕ laø C1 töøng khuùc treân [0,1]. (H2) G ∈ V’. (H3) H ∈ Lp’(Γ1). : Ω × IR → IR , (H4) M 1 , M 2 g : Ω × IR → IR laø caùc haøm thoûa ñieàu kieän Caratheodory, nghóa laø: ∀ z ∈ IR, caùc haøm Mi (. , . , z), g (. , . , z) ño ñöôïc treân Ω, vaø vôùi haàu heát (x, y) ∈ Ω caùc haøm Mi (x, y, .) vaø g (x, y, .) lieân tuïc theo z, i=1,2. (H5) M1, M2 ñôn ñieäu taêng theo bieán thöù 3, töùc laø: (M i (x, y, z ) − M i (x, y, ~z ))(z − ~z ) > 0 , ∀z, ~z ∈ IR , z ≠ ~z , a.e (x , y ) ∈ Ω i = 1, 2 (H6) Toàn taïi ba haèng soá döông C 1 , C 1 , C 2 vaø haøm h ∈ L ' (Ω ) sao cho p ' (i) (ii) zM i (x , y, z ) ≥ C1 z p - C1' , ∀z ∈ IR, a.e (x, y ) ∈ Ω , i = 1,2 ; ( M i (x , y, z ) ≤ C 2 h (x, y ) + z p −1 ), ∀z ∈ IR, a.e (x, y ) ∈ Ω , i = 1,2 . (H7) Toàn taïi haèng soá döông C3 < C1 ( g ( x , y, z ) ≤ C 3 1 + z p −1 ) C0p thoûa: , ∀z ∈ IR , a.e (x, y ) ∈ Ω ,  v W1, p  , v ∈ V, v ≠ 0  .  v V  trong ñoù C0 = sup  (H8) p > 2 thoûa: Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong   p (p − 1) 2  p' C C Ω  3 0    1 p' + G V' ~ + C0C H C1 − C 3 C op 7 p'  p 4C1' Ω Lp ' ( Γ1 )    π  + C − C C p <  3CC 0   1 3 0  1 trong ñoù Ω = mes Ω = ∫ ϕ(x )dx , 0 { C = sup v C (Ω ) : v ∈ W 1, p (Ω ) , ( C toàn taïi do pheùp nhuùng W 1, p v W 1, p } =1 , (Ω ) ⊂→ C(Ω ) laø compact) CÕ laø haèng soá trong ñònh lyù veát chöông I,  ~ C = sup v  Γ : v ∈ C1 (Ω ), v W 1, p (Ω )  = 1 .  (H9) Vôùi moãi α ∈ (0, π/3) coù hai haèng soá döông gα vaø kα sao cho: (i) kα ≤ gα cotg α ; (ii) g(x,y,z) ≥ gα (iii) g(x,y,z1) –g(x,y,z2) ≤ kα z1 – z2 , ∀ z1, z2 ∈ [-α, α], a.e. (x,y) ∈ Ω . , ∀ z ∈ [-α, α ], a.e. (x,y) ∈ Ω ; Baøi toaùn (0.1)-(0.3) ñöôïc ñöa veà baøi toaùn bieán phaân nhö sau: Baøi toaùn (P): Tìm u ∈ V sao cho  ∂u  ∂w ∂u  ∂w  M 1  x , y,  , + M 2  x, y,  , + g(x , y, u ) sin u , w + ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y     (2.1) = G, w + ∫ Hwds , ∀w ∈ V. Γ1 2. ÑÒNH LYÙ TOÀN TAÏI VAØ DUY NHAÁT LÔØI GIAÛI Ñònh lyù 2.1: Giaû söû M1 , M2 , g, G, H thoûa (H1)-(H7). Khi ñoù baøi toaùn (P) coù lôøi giaûi . Hôn nöõa, neáu theâm vaøo caùc giaû thieát (H8) vaø (H9) thì lôøi giaûi cuûa (P) laø duy nhaát . Chöùng minh: Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong 8 Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh qua nhieàu böôùc: Böôùc 1: Xaáp xæ Galerkin { } Vì V taùch ñöôïc neân toàn taïi moät “cô sôû” ñeám ñöôïc w j j=1, 2 ,... theo nghóa: • wj ∈ V, • ∀ m, w 1, ...., w m ñoäc laäp tuyeán tính, • Taäp caùc toå hôïp tuyeán tính höõu haïn caùc wj truø maät trong V . { } Ta tìm lôøi giaûi xaáp xæ döôùi daïng: m u m (x , y ) = ∑ c m j w j (x , y ) , (2.2) j=1 trong ñoù caùc c m j thoûa heä phöông trình phi tuyeán sau ∂u  M 1  x , y, m ∂x  (2.3) ∂u   ∂w j + M 2  x , y, m , ∂y  ∂x   ∂w j  ,  ∂y + g(x , y, u m ) sin u m , w j = G, w j + ∫ Hw j ds j = 1,.., m . Γ1 Tröôùc heát ta chöùng minh heä (2.3) coù lôøi giaûi. Ñaët Vm laø khoâng gian höõu haïn chieàu sinh bôûi wj , j = 1..m. Coi Pm : Vm → Vm xaùc ñònh bôûi (2.4) Pm (u m ) = ∑ Pm j (u m )w j , m j=1 ∂u  ∂w j ∂u   Pm j (u m ) = M 1  x , y, m  , + M 2  x , y, m ∂x  ∂x ∂y   (2.5)  ∂w j  ,  ∂y + g(x , y, u m ) sin u m , w j − G, w j − ∫ Hw j ds , j = 1,.., m , Γ1 m u m = ∑ cmj w j . j=1 Khi ñoù (2.3) töông ñöông vôùi: Pm (u m ) = 0 . (2.6) Ta coù theå nghieäm laïi khoâng khoù khaên raèng: (2.7) Pm : Vm → Vm lieân tuïc. ~ >0 Ñeå aùp duïng boå ñeà Brouwer (boå ñeà 1.3, chöông 1) ta chæ caàn chöùng minh toàn taïi ρ m sao cho Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong (2.8) um ~ =ρ m Vm Pm (u m ), u m ⇒ 9 ≥0 . Vm Chuù yù raèng treân Vm ta laáy tích voâ höôùng sau (2.9) vôùi m u m , vm = ∑ cmj dmj Vm j=1 m u m = ∑ cmj w j m vm = ∑ dmj w j . , j=1 j=1 Chuaån treân Vm sinh bôûi tích voâ höôùng < . , . >Vm ñöôïc kyù hieäu . Vm . Ta coù Pm (u m ), u m m Vm = ∑ Pm j (u m )c m j j=1 ∂u  ∂u ∂u   = M 1  x , y, m  , m + M 2  x , y, m ∂x  ∂x ∂y   (2.10)  ∂u m  ,  ∂y + g(x , y, u m ) sin u m , u m − G, u m − ∫ Hu m ds Γ1 Töø giaû thieát (H6)(i), ta ñöôïc: ∂u  ∂u ∂u   M 1  x , y, m  , m + M 2  x , y, m ∂x  ∂x ∂y    ∂u m  ,  ∂y ≥ C1 u m (2.11) p V − 2C1' Ω . Töø giaû thieát (H7) suy ra: (2.12) g(x , y, u m ) sin u m , u m ≤ C 3 C 0 Ω 1 p' um V + C 3 C 0p u m Söû duïng ñònh lyù veát (boå ñeà 1.2 , chöông 1) ta thu ñöôïc: (2.13) ∫ Hu m ≤ ds H Lp ' ( Γ1 ) Γ1 ~ ≤ CC 0 H γ0u m Lp ' ( Γ1 ) Lp ( Γ1 ) um V . Töø (2.10)-(2.13) vaø do G ∈ V’ suy ra: (2.14) Pm (u m ), u m Vm ≥ (C1 − C 3 C 0p ) u m ( − C3C0 Ω 1 p' + G p V V' − 2C 1' Ω ~ + CC 0 H Lp ' ( Γ1 ) )u m V p V . Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong ( = (C 1 − C 3 C 0p ) u m p V − β1 u m ) − γ1 , V trong ñoù β1 > 0, γ1 > 0 ñöôïc xaùc ñònh bôûi (2.15) (C C β = 3 1 Ω 0 p' + G V' ~ + CC 0 H 1 γ1 = 2C 1' Ω (C 1 − C 3 C p0 ) 10 Lp ' ( Γ1 ) ) (C 1 − C 3 C 0p ) , . Chuù yù raèng söû duïng baát ñaúng thöùc Holder ta coù: (2.16) β1 u m V 1 ≤ (ε u m p ) p V p' 1 β  +  1 , p'  ε  trong ñoù ε > 0 ñöôïc choïn sao cho (2.17) 1 εp 1 = p 2 p p ε=  . 2 hay Khi ñoù töø (2.14), (2.16), (2.17) suy ra: (2.18) Pm (u m ), u m Vm 1 ≥ (C1 − C 3 C ) u m 2  p 0  1 = (C1 − C 3 C 0p ) u m  2  p V p V p'  1  2β1   − γ 1  −   p'  p   p'   2β1   − 2 γ 1  . − (p − 1)   p   Chuù yù raèng moïi chuaån treân Vm ñeàu töông ñöông, do ñoù toàn taïi hai haèng soá döông C1m vaø C2m sao cho: (2.19) C 1m v Vm ≤ v V ≤ C 2m v Vm , ∀v ∈ Vm . ~ = 1 ρ vôùi ~ > 0 thoûa ρ Choïn ρ m m C1m 1 p'  p   2β1    + 2 γ 1  . (2.20) ρ = (p − 1)    p    Khi ñoù neáu u m V = ~ ρ m thì töø (2.18)-(2.20) ta suy ra m Pm (u m ), u m Vm ≥ 0. Vaäy (2.8) thoûa, do ñoù aùp duïng boå ñeà Brouwer suy ra (2.6) coù lôøi giaûi um thoûa Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong (2.21) um 11 ≤~ ρm . Vm Böôùc 2: Ñaùnh giaù tieân nghieäm Töø Pm (um) =0 , vôùi tính toaùn töông töï daãn ñeán (2.18), ta suy ra: (2.22)   u  m  p V p'   2β1   − 2 γ 1  ≤ 0 . − (p − 1)   p   Do ñoù 1 (2.23) um V p'  p  2 β   1   + 2 γ 1  . ≤ ρ = (p − 1)    p    Töø giaû thieát (H6)(ii) vaø (2.23) suy ra: (2.24) ∂u   M 1  x , y, m  ∂x   Lp ' ( Ω )  ≤ C 2  h   Lp ' ( Ω ) ∂u m + ∂x  .  Lp ( Ω )  p −1 Do (2.23) vaø (2.24) ta ñöôïc (2.25) ∂u   M 1  x , y, m  ∂x   ≤C , p' L (Ω ) C laø haèng soá ñoäc laäp vôùi m. Töông töï vôùi M2 ta cuõng coù: (2.26) ∂u   M 2  x , y, m  ∂x   ≤C . p' L (Ω ) Ñaùnh giaù töông töï, töø giaû thieát (H7) vaø (2.23) ta suy ra (2.27) g(x , y, u m ) sin u m Lp ' ( Ω ) ≤C , C laø haèng soá ñoäc laäp vôùi m. Chuù yù raèng pheùp nhuùng V ⊂→ Lp (Ω) laø compact, khi ñoù töø (2.23), (2.25), (2.26) suy ra toàn taïi moät daõy con cuûa {um } vaãn kyù hieäu laø {um } sao cho (2.28) um → u trong W1,p (Ω) yeáu, (2.29) um → u trong Lp (Ω) maïnh, (2.30) um → u a.e (x,y) ∈ Ω, (2.31) M1(x,y,∂um/ ∂x) → χ1 trong Lp’ (Ω) yeáu, Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong (2.32) M2(x,y,∂um/ ∂y) → χ2 12 trong L p’ (Ω) yeáu. Maët khaùc töø giaû thieát (H4) suy ra: (2.33) g(x,y,um) sin um → g(x,y,u) sin u a.e (x,y) ∈ Ω. Aùp duïng boå ñeà 1.4, chöông 1 vôùi N=2, q = p’, Gm = g(x,y,um) sin um Q=Ω, vaø G = g(x,y,u) sin u, töø (2.27) vaø (2.33) suy ra (2.34) g(x,y,um) sin um → g(x,y,u) sin u trong L p’ (Ω) yeáu . Böôùc 3: Qua giôùi haïn Qua giôùi haïn trong phöông trình (2.3), söû duïng (2.31), (2.32) vaø (2.34) ta suy ra u thoûa phöông trình: (2.35) χ1 , ∂w ∂w + χ2 , + g(x , y, u ) sin u , w ∂x ∂y = G, w + ∫ Hwds , ∀w ∈ V. Γ1 Nhö vaäy ñeå chöùng minh u laø lôøi giaûi baøi toaùn (P) ta chæ caàn chöùng minh ∂u   χ 1 = M 1  x , y,  ∂x   vaø  ∂u  χ 2 = M 2  x , y,  . ∂y   Töø (2.3) ta coù (2.36) ∂u  ∂u ∂u   M 1  x , y, m  , m + M 2  x , y, m ∂x  ∂x ∂y    ∂u m  ,  ∂y = − g(x , y, u m ) sin u m , u m + G, u m + ∫ Hu m ds Γ1 Söû duïng (2.28), (2.29), (2.34), (2.35) vaø qua giôùi haïn trong (2.36) ta coù (2.37)   ∂u m  ∂u m ∂u m  ∂u m     , + M x , y , , M x , y ,     lim 1 2 ∂ ∂ ∂ ∂ x x y y m →∞        = χ1 , ∂u ∂u + χ2 , . ∂x ∂y Töø (2.28), (2.31)-(2.33) vaø (2.37) suy ra Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong 13  ∂u ∂u   M1  x , y, m  − M1 (x , y, φ1 ) , m − φ1 ∂x ∂x    lim  m →∞  ∂u ∂u  + M 2  x , y, m  − M 2 (x , y, φ2 ) , m − φ2 ∂y ∂y   (2.38) = χ1 − M1 (x , y, φ1 ),    ∂u ∂u − φ1 + χ 2 − M 2 (x , y, φ2 ) , − φ2 , ∂x ∂y ∀φ1 , φ 2 ∈ Lp (Ω ) . Do giaû thieát (H5) ta suy ra: (2.39) χ 1 − M 1 (x, y, φ1 ), ∂u ∂u − φ1 + χ 2 − M 2 (x, y, φ 2 ) , − φ2 ≥ 0 ∂x ∂y , ∀φ1 , φ 2 ∈ Lp (Ω ) . Trong (2.39) choïn ∂u − λw 1 ∂x ∂u φ2 = . ∂y φ1 = , w 1 ∈ Lp (Ω ) , λ > 0, Ta coù (2.40) ∂u   χ 1 − M 1  x , y, − λw 1 , w 1 ≥ 0 ∂x   Cho λ → 0+ , söû duïng giaû thieát (H6)(ii) vaø do ñònh lyù hoäi tuï bò chaën Lebesgue ta suy ra (2.41) ∂u   χ 1 − M 1  x , y, , w 1 ≥ 0 , ∂x   ∀w 1 ∈ Lp (Ω ) . Do ñoù (2.42) ∂u   χ 1 = M 1  x , y,  . ∂x   Lyù luaän töông töï, töø (2.39) ta cuõng coù (2.43)  ∂u  χ 2 = M 2  x , y,  . ∂y   Vaäy söï toàn taïi lôøi giaûi u cuûa baøi toaùn (P) ñöôïc chöùng minh. Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong 14 Böôùc 4 : Söï duy nhaát lôøi giaûi Tröôùc heát ta chuù yù raèng lôøi giaûi cuûa baøi toaùn (P) toàn taïi vaø bò chaën trong V (2.44) u V ≤ ρ, trong ñoù ρ ñöôïc xaùc ñònh töø (2.23). Töø giaû thieát (H8) vaø (2.15) ta coù: (2.45) π ( ) ≤ CC 0 ρ ≤ 3 . u C Ω Goïi u1, u2 laø hai nghieäm cuûa (P) thoûa (2.46) ui π CC , ≤ ρ ≤ 0 C (Ω ) 3 i = 1,2 . Khi ñoù u1 – u2 thoûa ∂u  ∂u  ∂w   M 1  x , y, 1  − M 1  x , y, 2  , ∂x  ∂x  ∂x   (2.47) ∂u  ∂u  ∂w   + M 2  x , y, 1  − M 2  x , y, 2 , ∂y  ∂x  ∂y   + g(x , y, u 1 ) sin u 1 − g(x , y, u 2 ) sin u 2 , w = 0 , ∀w ∈ V. Choïn w = u1 – u2 trong (2.46) ta coù ∂u  ∂u  ∂   (u 1 − u 2 ) M 1  x , y, 1  − M 1  x , y, 2  , ∂x  ∂x  ∂x   (2.48) ∂u  ∂u  ∂   + M 2  x , y, 1  − M 2  x , y, 2 , (u 1 − u 2 ) ∂y  ∂x  ∂y   + g(x , y, u 1 )(sin u 1 − sin u 2 ) , u 1 − u 2 + (g(x , y, u 1 ) − g(x , y, u 2 )) sin u 2 , u 1 − u 2 =0 Chuù yù raèng töø caùc giaû thieát (H9) vaø töø (2.46) ta coù g(x , y, u 1 )(sin u 1 − sin u 2 ) , u 1 − u 2 (2.49) + (g(x , y, u 1 ) − g(x , y, u 2 )) sin u 2 , u 1 − u 2 ≥ (g α cos α − k α sin α ) u 1 − u 2 2 ≥0, trong ñoù α = CC0 ρ. Töø (2.48) vaø (2.49), do tính ñôn ñieäu taêng ngaët cuûa M1 vaø M2 ta suy ra u1 – u2 = 0. Vaäy u1 = u2. Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh. g Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong 15 3. TRÖÔØNG HÔÏP RIEÂNG Trong tröôøng hôïp rieâng vôùi (2.50) M1 (x,y,z) = M2 (x,y,z) = z , baøi toaùn (0.1)-(0.3) trôû thaønh (2.51) − ∆u + g(x, y, u ) sin u = G , (2.52) u Γ = 0, 0 ∂u ∂ν (x , y ) ∈ Ω , =H. Γ1 Baøi toaùn bieán phaân töông öùng vôùi (2.50)-(2.51) laø: Baøi toaùn (P’):   v Γ = 0 sao cho 0  Tìm u ∈ V =  v ∈ H (Ω ) : 1  a (u , w ) + g(x , y, u ) sin u , w = G , w + ∫ Hwds , ∀w ∈ V , (2.53) Γ1 trong ñoù a ( . , . ) laø daïng song tuyeán tính xaùc ñònh bôûi  ∂u ∂w ∂u ∂w  dxdy . a (u , w ) = ∫∫  + ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y Ω   (2.54) Ta cuõng chuù yù raèng V laø khoâng gian Hilbert ñoái vôùi tích voâ höôùng a ( . , . ) vaø chuaån sinh bôûi tích voâ höôùng laø (2.55) v 1 = a (v, v ) . Maët khaùc, trong V hai chuaån . (2.56) ∃ C0 > 0 : v 1 1 vaø . ≤ v H1 ( Ω ) laø töông töông do ñoù H1 ( Ω ) Ta thaønh laäp caùc giaû thieát sau: (H1') ϕ ∈ C([0,1]) , ϕ(x ) > 0 , ∀x ∈ [0,1] , ϕ C2 töøng khuùc treân [0,1]. (H2') G ∈ V ’ ( V ’ laø ñoái ngaãu cuûa V ). (H3') H ∈ L2 (Γ1 ). (H4') g : Ω × IR → IR laø haøm thoûa ñieàu kieän Caratheodory. ≤ C0 v 1 , ∀v∈V. Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong Toàn taïi haèng soá döông C 3 < 1 (H5') thoûa: C 02 g(x , y, z ) ≤C 3 (1 + z ) , ∀z ∈ IR , a.e  v  v trong ñoù C 0 = sup  (H6') H1 16 ,v∈ V , v ≠ 0 1 (x , y ) ∈ Ω ,  .  Vôùi moããi α ∈ (0, π/3) coù hai haèng soá döông gα vaø kα sao cho: (iv) kα ≤ gα cotg α , (v) g(x,y,z) ≥ gα , (vi) g(x,y,z1) –g(x,y,z2) ≤ kα z1 – z2  , ∀ z1, z2 ∈ [-α, α ], a.e. (x,y) ∈ Ω . ∀ z ∈ [-α , α ], a.e. (x,y) ∈ Ω , Ñònh lyù 2.2: Giaû söû caùc giaû thieát (H1’)-(H5’) laø ñuùng. Khi ñoù baøi toaùn (P’) coù lôøi giaûi . Hôn nöõa, neáu thay theá giaû thieát (H2’) bôûi giaû thieát (H2’’) G ∈ L2 (Ω) thì baøi toaùn (P’) coù lôøi giaûi u ∈ H2(Ω) ∩ V . Hôn nöõa, neáu boå sung theâm giaû thieát (H6’) vaø thay giaû thieát (H2’) bôûi giaû thieát (H2’’) sao cho 1  (H7’)  ∫ ϕ(x )dx  0  1 2 + G + H L2 ( Γ1 ) ñuû nhoû thì baøi toaùn (P’) coù duy nhaát moät lôøi giaûi trong H2(Ω) ∩ V . Chöùng minh: Töông töï ñònh lyù 2.1, ñònh lyù 2.2 ñöôïc chöùng minh qua nhieàu böôùc. Böôùc 1: Xaáp xæ Galerkin { } Giaû söû w j (2.57) j=1, 2 ,... “cô sôû” ñeám ñöôïc cuûa V . Ta tìm lôøi giaûi xaáp xæ döôùi daïng: m u m (x , y ) = ∑ c m j w j (x , y ) , j=1 trong ñoù caùc c m j thoûa heä phöông trình phi tuyeán sau Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong 17 a (u m , w j ) + g(x, y, u m ) sin u m , w j = G, w j + ∫ Hw j ds (2.58) Γ1 j = 1,.., m . Tröôùc heát ta chöùng minh heä (2.58) coù lôøi giaûi bò chaën. Ñaët V m laø khoâng gian höõu haïn chieàu sinh bôûi wj , j = 1..m. Coi Pm : V m → V m m Pm (u m ) = ∑ Pm j (u m )w j (2.59) j=1 (2.60) Pm j (u m ) = a (u m , w j ) + g(x , y, u m ) sin u m , w j − G , w j − ∫ Hw j ds Γ1 j = 1,.., m , m u m (x , y ) = ∑ c m j w j (x , y ) . j=1 Khi ñoù (2.58) töông ñöông vôùi: Pm (u m ) = 0 . (2.61) Ta coù theå nghieäm laïi khoâng khoù khaên raèng: (2.62) Pm : V m → V m lieân tuïc. ~ >0 Ñeå aùp duïng boå ñeà Brouwer (boå ñeà 1.3, chöông 1) ta chæ caàn chöùng minh toàn taïi ρ m sao cho (2.63) um trong ñoù . (2.64) vôùi ~ =ρ m νm Pm (u m ), u m ⇒ νm ≥0 , laø chuaån sinh bôûi tích voâ höôùng sau: νm u m , vm m νm m u m = ∑ cmj w j , j=1 = ∑ cmj d mj , j=1 m vm = ∑ dmj w j . j=1 Ta coù (2.65) Pm (u m ), u m m νm = ∑ Pm j (u m )c m j j=1 = a (u m , u m ) + g(x , y, u m ) sin u m , u m − G, u m − ∫ Hu m ds . Γ1 Töø giaû thieát (H5’) suy ra: Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong (2.66) g(x , y, u m ) sin u m , u m ≤ C 3 C 0 Ω 1 um 2 1 + C 3 C 02 u m 18 2 1 Söû duïng ñònh lyù veát (boå ñeà 1.2 , chöông 1) ta thu ñöôïc: ∫ Hu (2.67) m ds ≤ H ≤ H Γ1 L2 ( Γ1 ) γ0um L2 ( Γ1 ) L2 ( Γ1 ) γ0u m L2 ( Γ ) ~ ≤ C H um L2 ( Γ1 ) ~ ≤ CC 0 H L2 ( Γ1 ) H1 ( Ω ) um 1 Töø (2.66)-(2.67) vaø do G ∈ V ’ suy ra: (2.68) Pm (u m ), u m Vm ≥ (1 − C 3 C 02 ) u m ( − C 3C 0 Ω 1 2 2 1 + G ν'  =  (1 − C 3 C 02 ) u m  ( − C3C 0 Ω Do moïi chuaån treân V cho: (2.69) C1m v Vm 1 2 + G ~ + CC 0 H L2 ( Γ1 ) ~ + CC 0 H L2 ( Γ1 ) )u m 1 1 ν' )  um 1 . ñeàu töông ñöông, suy ra coù hai haèng soá döông C1m vaø C2m sao m ≤ v 1 ≤ C2m v Vm , ∀ v ∈ Vm . ~ = 1 ρ vôùi ~ > 0 thoûa ρ Choïn ρ m m C1m (2.70) ρ= C3C0 Ω 1 2 + G ν' (1 − C C ) 3 Khi ñoù neáu u m ~ + CC 0 H L2 ( Γ1 ) 2 0 =~ ρ m thì töø (2.68) ta suy ra νm Pm (u m ), u m Vm ≥0. Vaäy (2.63) thoûa, do ñoù aùp duïng boå ñeà Brouwer suy ra (2.58) coù lôøi giaûi um thoûa (2.71) um νm ≤~ ρm . Böôùc 2: Ñaùnh giaù tieân nghieäm vaø qua giôùi haïn Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong 19 Töø (2.61) vaø (2.68) ta suy ra: (2.72) um 1 ≤ρ , vôùi ρ > 0 cho bôûi (2.70). Töø (2.72) vaø giaû thieát (H5’) ta suy ra g(x , y, u m ) sin u m (2.73) ≤C , C laø haèng soá ñoäc laäp vôùi m.. Chuù yù raèng pheùp nhuùng V ⊂→ L2 (Ω) laø compact, khi ñoù töø (2.72) vaø (2.73) suy ra toàn taïi moät daõy con cuûa {um } vaãn kyù hieäu laø {um } sao cho: (2.74) um → u trong H1 (Ω) yeáu, (2.75) um → u trong L2 (Ω) maïnh, (2.76) um → u a.e (x,y) ∈ Ω. Töø giaû thieát (H4’) suy ra: (2.77) g(x,y,um) sin um → g(x,y,u) sin u a.e (x,y) ∈ Ω . Aùp duïng boå ñeà 1.4, chöông 1 vôùi N=2, q = 2, Gm = g(x,y,um) sin um Q=Ω, vaø G = g(x,y,u) sin u, töø (2.73) vaø (2.77) suy ra (2.78) g(x,y,um) sin um → g(x,y,u) sin u trong L 2 (Ω) yeáu . Do (2.74) vaø (2.78), qua giôùi haïn trong (2.58) ta suy ra raèng u laø lôøi giaûi cuûa baøi toaùn (P’). Söï toàn taïi lôøi giaûi ñöôïc chöùng minh. Baây giôø ta thay giaû thieát (H2’) bôûi giaû thieát (H2’’). Chuù yù raèng lôøi giaûi u ∈ V cuûa (P’) thoûa maõn phöông trình sau ñaây: (2.79) ∆u = g(x, y, u ) sin u − G trong D' (Ω ) . Töø caùc giaû thieát (H2’’) ,(H5’) vaø (2.79) ta suy ra (2.80) ∆u ∈ L2(Ω). Do ñoù (2.81) u ∈ H2(Ω)∩V . Giaû söû (H2’’) thoûa ñuùng thay cho (H2’) vaø theâm vaøo caùc giaû thieát (H6’) vaø (H7’). Khi ñoù, cuõng töø (H2’’) (H5’) vaø (2.79) ta suy ra