Tài liệu Phương pháp hiệu chỉnh liên tục cho phương trình toán tử không chỉnh loại hammerstein

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ TUYẾT PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LIÊN TỤC CHO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ KHÔNG CHỈNH LOẠI HAMMERSTEIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ TUYẾT PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LIÊN TỤC CHO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ KHÔNG CHỈNH LOẠI HAMMERSTEIN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn 1 Lời nói đầu 2 Một số ký hiệu và chữ viết tắt 3 1 Một số khái niệm cơ bản 5 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Phương trình toán tử loại Hammerstein . . . . . . . . . . . 16 2 Phương pháp hiệu chỉnh liên tục cho phương trình toán tử loại Hammerstein 2.1 19 Hiệu chỉnh liên tục cho bài toán không chỉnh với toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Hiệu chỉnh liên tục vô hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Hiệu chỉnh liên tục với xấp xỉ hữu hạn chiều . . . . . . . . 25 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được trình bày dưới sự hướng dẫn tận tình và sự chỉ bảo nghiêm khắc của thầy giáo GS. TS Nguyễn Bường. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy. Tôi cũng xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến cô giáo TS. Nguyễn Thị Thu Thủy cùng các thầy giáo cô giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2010 - 2012, những người đã đem tâm huyết và sự nhiệt tình để giảng dạy và trang bị cho tôi nhiều kiến thức cơ sở. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học toán K4B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc. Hải Phòng, tháng 07 năm 2012. Tác giả Đào Thị Tuyết Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 LỜI NÓI ĐẦU Cho H là một không gian Hilbert với chuẩn và tích vô hướng được ký hiệu tương ứng bởi k.k và hx∗ , xi. Cho Fi , i = 1, 2, là các toán tử phi tuyến đơn điệu và liên tục trên H. Nội dung chủ yếu ở đây là nghiên cứu phương pháp ổn định để tìm nghiệm xấp xỉ cho phương trình toán tử Hammerstein có dạng: x + F2 F1 (x) = f, f ∈ R(I + F2 F1 ), (1.1) dựa trên việc xây dựng một hệ phương trình vi phân bậc một, ở đây I là toán tử đơn vị và R(A) ký hiệu là ảnh của A. Sau đó, phương pháp này được xét liên kết với quá trình xấp xỉ hữu hạn chiều của H. Lưu ý rằng tập nghiệm của (1.1), ký hiệu bởi S0 , là một tập đóng và lồi (xem [7]). Thông thường, thay cho Fi , i = 1, 2, và f ta chỉ biết được các xấp xỉ Fih và fδ thỏa mãn: h F (x) − F1 (x) 6 hg (kxk) , 1h F (x) − F2 (x) 6 hg (kxk) ∀x ∈ H, 2 kfδ − f k 6 δ ở đây g(t) là một hàm thực không âm, không giảm và giới nội (đưa một tập giới nội lên một tập giới nội). Nếu không có thêm điều kiện bổ xung lên Fi như là tính đơn điệu mạnh, phương trình (1.1) là bài toán đặt không chỉnh. Thật vậy, xét bài toán sau với H = E2 , không gian Ơcơlit, và     1 −1 0 −1 F1 = , F2 = , x = (x1 , x2 ) . 1 0 1 1 Dễ dàng kiểm tra được hF1 x, xi = x21 ≥ 0, và hF2 x, xi = x22 ≥ 0 ∀x ∈ E2 . Có nghĩa là Fi , i = 1, 2, có tính đơn điệu. Phương trình (1.1) có dạng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 0x1 = f1 , 2x1 = f2 với f = (f1 , f2 ). Rõ ràng, hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất f = (0, f2 ) với f2 bất kỳ. Khi fδ = (f1δ , f2 ) với f1δ 6= 0 phương trình không có nghiệm. Vì vậy, (1.1) là một bài toán đặt không chỉnh. Để giải (1.1) ta phải dùng phương pháp ổn định. Một trong các phương pháp ổn định là dựa trên việc giải phương trình h h x + F2,α F1,α (x) = fδ (1.2) h (xem[7], [11]), ở đây Fi,α = Fih + αI , α > 0 là một tham số hiệu chỉnh. h,δ Với mỗi α > 0, phương trình (1.2) có nghiệm duy nhất xh,δ α , và dãy {xα } hội tụ đến nghiệm x0 thỏa mãn   kx0 k2 + kx∗0 k2 = min kxk2 + kF1 (x)k2 , x∗0 = F1 (x0 ), (1.3) x∈S0 khi (h + δ)/α, α → 0. Hơn thế nữa, nghiệm xh,δ α này, với mỗi α > 0 cố định, phụ thuộc liên tục vào Fih , i = 1, 2 và fδ . Mới đây, việc sử dụng phương trình vi phân để hiệu chỉnh bài toán không chỉnh được nghiên cứu rộng rãi (xem [1], [18] và các tài liệu dẫn), vì khi rời rạc phương trình vi phân ta thu được nhiều phương pháp lặp khác nhau. Tư tưởng đó được áp dụng trong phương pháp này để tìm nghiệm cho phương trình toán tử loại Hammerstein (1.1). Chúng ta tìm một hàm khả vi mạnh u(t) : [t0 , +∞) → H, t0 ≥ 0, là nghiệm của phương trình vi phân nào đó sao cho lim u(t) = x0 . (1.4) t→+∞ Trong phần 2, chúng ta nghiên cứu một hệ phương trình vi phân với nghiệm u(t), u∗ (t) ở đây u(t) thỏa mãn (1.4). Xấp xỉ hữu hạn chiều un (t) cho u(t) thỏa mãn lim un (t) = x0 , n,t→+∞ được xét trong chương 2. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản. Các vấn đề liên quan đến đề tài và bài toán đặt không chỉnh được trình bày trong chương này. Chương 2 trình bày phương pháp hiệu chỉnh liên tục cho phương trình toán tử loại Hammerstein. Hiệu chỉnh liên tục vô hạn chiều và phương pháp hiệu chỉnh liên tục với xấp xỉ hữu hạn chiều cũng được trình bày trong chương này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Không gian Hilbert thực ký hiệu là H Không gian Banach thực ký hiệu là X Không gian liên hợp của X ký hiệu là X ∗ Tập rỗng ký hiệu là φ Với mọi x ký hiệu là ∀x infimum của tập {F (x) : x ∈ X} ký hiệu là inf F (x) x∈X Ánh xạ đơn vị ký hiệu là I Tập các số thực ký hiệu là R Miền xác định của toán tử A ký hiệu là D(A) Ma trận chuyển vị của ma trận A ký hiệu là AT Toán tử liên hợp của A ký hiệu là A∗ Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x ký hiệu là xn → x x := y tức là x được định nghĩa bằng y Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chương 1 Một số khái niệm cơ bản Chương này trình bày một số vấn đề cơ bản như khái niệm về không gian Hilbert, toán tử đơn điệu; bài toán đặt không chỉnh và khái niệm về phương trình toán tử loại Hammerstein. 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1. Không gian định chuẩn thực là một không gian tuyến tính thực X trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số kxk gọi là chuẩn của x, thỏa mãn các điều kiện sau: 1. kxk > 0, ∀x 6= 0, kxk = 0 ⇔ x = 0; 2. kx + yk 6 kxk + kyk , ∀x, y ∈ X; 3. kαxk = |α| . kxk , ∀x ∈ X, α ∈ R. Định nghĩa 1.2. Cặp (H, h, i) trong đó H là một không gian tuyến tính và h, i : H × H → R (x, y) 7→ hx, yi thỏa mãn các điều kiện : 1. hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ H, hx, xi = 0 ⇔ x = 0; 2. hx, yi = hy, xi , ∀x, y ∈ H; 3. hλx, yi = λ hx, yi , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 4. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi , ∀x, y, z ∈ H, được gọi là không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. Ví dụ 1.1. L2[a,b] là không gian các hàm bình phương khả tích trên [a,b] Rb với f ∈ L2[a,b] sao cho f 2 (x) dx < +∞ là một không gian Hilbert với tích a vô hướng hf, gi = Zb f (x) g (x) dx a và chuẩn  kf kL2 [a,b] Zb =  21 f 2 (x)dx . a 1.2 Toán tử đơn điệu Cho X là không gian Banach thực, A : D (A) → X∗ là một toán tử với miền xác định D(A) = X và miền ảnh <(A) nằm trong X ∗ Định nghĩa 1.3. Toán tử A được gọi là a)Đơn điệu, nếu hA (x) − A (y) , x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D (A) b)Đơn điệu chặt nếu dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y c)Đơn điệu đều, nếu tồn tại một hàm không âm δ (t), không giảm với t > 0, δ (0) = 0 và hA (x) − A (y) , x − yi ≥ δ (kx − yk) , ∀x, y ∈ D (A) ; Nếu δ (t) = cA t2 với cA là một hằng số dương thì A là một toán tử đơn điệu mạnh. Định nghĩa 1.4. Toán tử A là đơn điệu nếu hx∗ − y ∗ , x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x∗ ∈ A (x) , y ∗ ∈ A (y) Tập Gr (A) được gọi là đơn điệu nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức trên. Nếu Gr (A) không chứa thực sự được trong một tập đơn điệu nào khác trong X × X∗ thì toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu cực đại. Toán tử A được gọi là nửa đơn điệu, nếu tồn tại một toán tử compact C Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 sao cho A + C là một toán tử đơn điệu. Toán tử A được gọi là toán tử bức nếu lim hA (x) , xi / kxk = +∞ kxk→+∞ Một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu là ánh xạ đối ngẫu U s , s > 2. Ánh xạ này tồn tại trong mọi không gian Banach X. Khi s = 2 thì U s thông thường được viết là U và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian X. Đối với không gian lp , 1 < p < +∞, U (x) = kxk2−p z, ở   lp đây x = (x1 , x2 , ..., xn , ..., ...) và z = |x1 |p−2 x1 , |x2 |p−2 x2 , ... ∈ lp/(p−1) . Còn đối với không gian Lp (Ω), với Ω là một tập đo được của không gian Rn và chuẩn k.kLp (Ω) , 1 < p < +∞, ánh xạ U có dạng p−2 U (ϕ) = kϕk2−p ϕ (t) , t ∈ Ω. Lp (Ω) |ϕ (t)| Ánh xạ đối ngẫu chính là toán tử đơn vị I trong không gian H. U s hoặc U là một toán tử đơn điệu chặt và có tính chất bức. Trong một số trường hợp không gian Lp (Ω), U s còn có tính chất đơn điệu đều và liên tục theo Holder, vì hU s (x) − U s (y) , x − yi > mU kx − yks , mU > 0, kU s (x) − U s (y)k 6 c (r) kx − ykϑ , 0 < ϑ 6 1, (1.5) ở đây c(r) là một hàm dương tăng dần của r = max {kxk , kyk}. Nếu X = L2 (Ω), là một không gian Hilbert, thì U s = I , s = 2, mU = 1, ϑ = 1 và c(R) = 1. Với p 6= 2 thì đối với các không gian lp , Lp , Wpm , p > 1, ta có 1 < p < 2 : s = 2, mU = p − 1, c (p) = p22p−1 ep Lp−1 , e = max {2p , 2p} , 1 < L < 3.18, ϑ = p − 1; 2 < p : s = p, mU = 22−p /p, c (p) = 2p pp−2 {p [p − 1 + max {p, L}]}−1 , ϑ = 1 Phiếm hàm ϕ (x) với x ∈ X được gọi là lồi, nếu   x+y 1 ϕ 6 [ϕ (x) + ϕ (y)] , x, y ∈ X. 2 2 Phiếm hàm ϕ (x) với x ∈ X được gọi là lồi đều, nếu một hàm δ (t) với tính chất ở trên sao cho   x+y 1 1 ϕ 6 [ϕ (x) + ϕ (y)] − δ (kx − yk) , x, y ∈ X. 2 2 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Định nghĩa 1.5. Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X ∗ là không gian liên hợp của X. Tập D ⊂ X được gọi là tập lồi nếu ∀x, y ∈ D và mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta đều có λx + (1 − λ) y ∈ D Cho D ⊂ X là tập lồi và khác rỗng ϕ : D → R ∪ {±∞}. Hàm ϕ được gọi là (i) lồi trên D nếu ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ [0, 1] ta có ϕ (λx + (1 − λ) y) ≤ λϕ (x) + (1 − λ) ϕ (y) ; (ii) lồi chặt trên D nếu ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ (0, 1) , x 6= y ta có ϕ (λx + (1 − λ) y) < λϕ (x) + (1 − λ) ϕ (y) ; (iii) lồi mạnh trên D nếu ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ (0, 1) , x 6= y tồn tại τ ∈ R, τ > 0 ta có 1 ϕ (λx + (1 − λ) y) ≤ λϕ (x) + (1 − λ) ϕ (y) − λ (1 − λ) τ kx − yk2 2 Định nghĩa 1.6. Miền hữu hiệu của hàm ϕ kí hiệu là domϕ và được định nghĩa như sau: domϕ = {x ∈ D : ϕ (x) < +∞} . Định nghĩa 1.7. Hàm ϕ được gọi là chính thường nếu domϕ 6= φ và ϕ (x) > −∞, ∀x ∈ D. Định nghĩa 1.8. Hàm chính thường ϕ : X → R được gọi là khả vi Fréchet (khả vi mạnh) ∀x ∈ X , nếu tồn tại toán tử tuyến tính A : X → X∗ sao cho ϕ (x + y) − ϕ (x) = hA (x) , yi + ω (x, y) và ω (x, y) = 0, kyk→0 kyk lim trong đó x, y ∈ X. Khi đó hA (x) , yi được gọi là vi phân Fréchet và A (x) = ϕ0 (x) được gọi là đạo hàm Fréchet của hàm ϕ tại x. Định nghĩa 1.9. Giả sử A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y. Toán tử A được gọi là khả vi Fréchet tại x ∈ X nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y sao cho A (x + h) = A (x) + hT, hi + O (khk) , h → 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 với mọi h thuộc lân cận của điểm không. Nếu T tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm Fréchet của A tại x và kí hiệu là A0 (x) = T. Đặc biệt nếu A là hàm F tức là F : X → R định nghĩa tương tự, hàm F được gọi là khả vi Fréchet tại x0 ∈ X nếu tồn tại ξ ∈ X∗ sao cho F (x0 + h) = F (x0 ) + hξ, hi + O (khk) , h → 0 ξ = F 0 (x0 ) Ví dụ 1.2. Tìm đạo hàm Fréchet của F (x) = 1 hAx, xi , ∀x ∈ X, 3 ở đây A : X → X là toán tử tuyến tính, liên tục, tự liên hợp. Giải F :X→R F (x + h) − F (x) = 31 hA(x + h), x + hi − 31 hAx, xi = 13 hAh, hi + 31 hAx, hi + 31 hAh, xi = 13 hAx, hi + 31 hh, Axi + 13 hAh, hi = 23 hAx, hi + 31 hAh, hi ⇒ F 0 (x) = 23 Ax Định nghĩa 1.10. Giả sử ϕ là hàm lồi trên X. Phiếm hàm x∗ ∈ X∗ được gọi là dưới gradient của hàm ϕ tại x ∈ X nếu ϕ (x) − ϕ (y) 6 hx∗ , x − yi , ∀y ∈ X. Tập tất cả các dưới gradient của ϕ tại được gọi là dưới vi phân của ϕ tại x, kí hiệu là ∂ϕ (x), tức là ∂ϕ (x) = {x∗ ∈ X∗ : ϕ (y) − ϕ (x) > hx∗ , y − xi , ∀y ∈ X} . Hàm ϕ được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂ϕ (x) 6= φ Ta có mối liên quan chặt chẽ giữa tính lồi đều của một phiếm hàm và tính đơn điệu đều của dưới vi phân của nó như sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Nếu ϕ là một phiếm hàm lồi đều xác định trên không gian Banach phản xạ X thì ∂ϕ là một toán tử đơn điệu đều, nếu D (ϕ) ≡ X thì ∂ϕ còn là một toán tử h - liên tục tại mọi điểm x ∈ X tức là lim ∂ϕ (x + ty) = ∂ϕ (x) , ∀x, y ∈ X. t→0 Đây cũng là khái niệm về tính h- liên tục cho một toán tử A bất kỳ. Định nghĩa 1.11. Phiếm hàm ϕ (x) xác định trên X được gọi là nửa liên tục dưới yếu tại điểm x0 , nếu ∀ {xn } : xn hội tụ yếu đến x0 ⇒ ϕ (x0 ) 6 lim inf ϕ (xn ). Phiếm hàm ϕ (x) được gọi là nửa liên tục dưới yếu, nếu nó nửa liên tục dưới yếu tại mọi điểm trong miền xác định. Trong không gian Hilbert H chuẩn của H cũng được kí hiệu là k.k, phiếm hàm ϕ (x) = kxkp , p > 2, là một phiếm hàm lồi đều với δ (r) = 22−p rp và toán
tử J p (x) = kxkp−2 x là một toán tử đơn điệu đều với δ (r) = 22−p /p rp . Trong không gian Lp (Ω) ta có phiếm hàm f (x) = kxkβLp (Ω) là lồi đều với δ (r) = 22−β rβ , nếu: β > p > 2, p ∈ (1, 2) v à β > (p p- 1) . Khi đó, ∂f (x) là một toán tử đơn điệu đều. Cho không gian Sobolev Wp1 (Ω) = {v ∈ Lp (Ω) : Dα v ∈ Lp (Ω) , 0 6 |α 6 1|} với chuẩn được xác định bởi  1/p Z h ip/2 |v|2 + |Dα v|2 dΩ . kvk1,p=  Ω Ta xây dựng toán tử Lv = Gradv, v ∈ Wp1 (Ω) , và phiếm hàm F (y) = kGradykp , y ∈ Wp1 (Ω) . Khi đó, phiếm hàm H (v) = F (Lv) , v ∈ Wp1 (Ω), là lồi đều và Gradient
∗
H0 ∈ Wp1 (Ω) → Wp1 (Ω) là đơn điệu đều, ở đây H0 (v) = L∗ F 0 (Lv) , L∗ = −Div

với δ (r) = 22−β / pβ/p rβ , β > p > 2. Một dạng khá quan trọng của toán tử đơn điệu đều là toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh được dùng trong việc hiệu chỉnh phương trình với toán tử Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 đơn điệu trong phần sau. Bổ đề 1.1 (Bổ đề Minty). Nếu tồn tại phần tử x0 ∈ X thỏa mãn bất đẳng thức hA (x) − f, x − x0 i > 0, ∀x ∈ X, ở đây A là một toán tử h-liên tục từ X vào X ∗ còn f là một phần tử của X ∗ , thì x0 là nghiệm của phương trình A(x) = f . Nếu A là một toán tử đơn điệu, thì điều kiện trên tương đương với hA (x0 ) − f, x − x0 i > 0, ∀x ∈ X. Định lý 1.1. Nếu B là toán tử đơn điệu cực đại từ X vào X ∗ và A là toán tử đơn điệu, giới nội và h-liên tục với D(A) = X , thì A+B cũng là một toán tử đơn điệu cực đại từ X vào X ∗ . Định lý 1.2. Nếu A là toán tử đơn điệu cực đại và bức từ D (A) ⊆ X vào X ∗ , thì R(A) = X ∗ . Chú ý 1.1. Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính thì tính đơn điệu tương đương với tính không âm của toán tử. Ví dụ 1.3. Toán tử tuyến tính A : RM → RM được xác định bởi A = BT B với B là một ma trận vuông cấp M, là một toán tử đơn điệu. Định nghĩa 1.12. Toán tử A được gọi là 1. h-liên tục (hemicontinuous) trên X nếu A(x + ty) hội tụ yếu đến Ax khi t → 0, ∀x, y ∈ X ; 2. d-liên tục(demicontinuous) trên X nếu từ xn → x suy ra Axn hội tụ yếu đến Ax khi n → ∞ 3. liên tục Lipschitz nếu : ∃C > 0 : kA (x) − A (y)k ≤ C kx − yk , ∀x, y ∈ X, liên tục mạnh nếu xn hội tụ yếu đến x0 thì Axn → Ax0 ; 4. hoàn toàn liên tục trên tập X nếu nó compact trên X.
−1 Ví dụ 1.4. Hàm hai biến ϕ (x, y) = xy 2 x2 + y 4 không liên tục, nhưng liên tục theo từng biến tại (0, 0) do đó nó h-liên tục. 1.3 Bài toán đặt không chỉnh Định nghĩa 1.13. Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gian Y. Bài toán ở dạng phương trình toán tử A (x) = f, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.6) http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed) nếu 1. phương trình A (x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ; 2. nghiệm này duy nhất; 3. và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán (1.6) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed). Định nghĩa 1.14. Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gian Y. Bài toán (1.6) được gọi là bài toán đặt không chỉnh nếu nghiệm của nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Chú ý 1.2. Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện ban đầu f, có là x = <(f ), được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y) nếu với mỗi ε > 0, ∃δ (ε) > 0 sao cho từ ρY (f1 , f2 ) 6 δ (ε) cho ta ρX (x1 , x2 ) 6 ε, ở đây xi = < (fi ) , xi ∈ X, fi ∈ Y, i = 1, 2. Chú ý 1.3. Một bài toán có thể đặt chỉnh trên không gian này nhưng lại đặt không chỉnh trên không gian khác. Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.6) dữ kiện ban đầu ở đây chính là toán tử A và vế phải f. Giả sử toán tử A được cho chính xác, còn vế phải f (có được do đo đạc) cho bởi fδ thỏa mãn ρY (f, fδ ) 6 δ . Như vậy, với (fδ , δ) ta cần phải tìm một phần tử xδ ∈ X hội tụ đến nghiệm chính xác x0 của (1.6) khi δ → 0. Phần tử xδ có tính chất như vậy gọi là nghiệm xấp xỉ bài toán đặt không chỉnh (1.6). Chú ý 1.4. Gọi xδ là nghiệm của (1.6) với f thay bởi fδ (giả thiết rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì fδ → f nhưng với bài toán đặt không chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đến x. Ví dụ 1.5. Nếu A là toán tử liên tục mạnh thì bài toán (1.6) (vô hạn chiều) nói chung là bài toán đặt không chỉnh. Thật vậy, giả sử dãy {xn } chỉ hội tụ yếu, không hội tụ mạnh đến x và yn = A(xn ), y = A(x). Khi đó, do tính liên tục mạnh của A suy ra yn → y và nghiệm của phương trình A(x) = f không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình toán tử với toán tử liên tục mạnh. Chẳng hạn, nếu miền xác định D(A) của toán tử A là hữu hạn chiều thì mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh, do đó chứng minh trên không áp dụng được. Và nếu ta xét một toán tử tuyến tính compact với miền ảnh <(A) hữu hạn chiều thì toán tử ngược A−1 nói Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 chung là liên tục và khi đó bài toán giải phương trình A(x) = f là bài toán đặt chỉnh. Ví dụ 1.6. Xét phương trình tích phân Fredholm loại I Zb K (x, s) ϕ (s) ds = f0 (x) , x ∈ [a, b] , (1.7) a ở đây nghiệm là một hàm ϕ (x), vế phải f0 (x) là một hàm cho trước, ∂K (x, s) liên K(x,s) là hạch của tích phân. Giả thiết hạch K(x,s) cùng với ∂x tục trên hình vuông [a, b] × [a, b]. Ta xét hai trường hợp sau: • Trường hợp 1 A : C [a, b] → L2 [a, b] Rb ϕ (x) 7→ f0 (x) = K (x, s) ϕ (s) ds a Sự thay đổi của vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian L2 [a, b], tức là khoảng cách giữa hai hàm f0 (x),f1 (x) trong L2 [a, b] được cho bởi  b  12 Z ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) =  |f0 (x) − f1 (x)|2 dx a Giả sử phương trình (1.7) có nghiệm là ϕ0 (x). Khi đó với vế phải Zb f1 (x) = f0 (x) + N K (x, s) sin (ωs) ds a thì phương trình này có nghiệm ϕ1 (x) = ϕ0 (x) + N sin (ωx) Với N bất kì và ω đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f0 và f1 trong không gian L2 [a, b] là   2  12 Zb Zb   ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) = |N|   K (x, s) sin (ωs) ds dx a a Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 có thể làm nhỏ tùy ý. Thật vậy, đặt Kmax = |K (x, s)| , max x∈[a,b],s∈[a,b] ta tính được ρL2 [a, b] (f0 , f1 ) ≤ |N| ≤   R  b 2 1 Kmax ω cos (ωs)a dx  12 |N|Kmax c0 ω ở đây c0 là một hằng số dương. Ta chọn N và ω đủ lớn tùy ý nhưng N/ω lại nhỏ. Trong khi đó ρC[a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) = max |ϕ0 (x) − ϕ1 (x)| = |N| x∈[a,b] có thể lớn bất kì. • Trường hợp 2 A : L2 [a, b] → L2 [a, b] Rb ϕ (x) 7→ f0 (x) = K (x, s)ϕ (s) ds a Tương tự , ta cũng chỉ ra khoảng cách giữa hai nghiệm ϕ0 , ϕ1 trong không gian L2 [a, b] có thể lớn bất kì. Thật vậy ,  b  21  12  b Z Z ρL2[a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) =  |ϕ0 (x) − ϕ1 (x)|2 dx = |N|  sin2 (ωx) dx a a r = |N| b−a 1 − sin (ω (b − a)) cos (ω (b + a)) 2 2ω Dễ dàng nhận thấy rằng hai số N và ω có thể chọn sao cho ρL2 [a,b] (f0 f1 ) rất nhỏ nhưng ρL2 [a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) lại rất lớn. Ví dụ 1.7. Xét bài toán cực tiểu hàm ϕ (y) = y trên đoạn thẳng y = λ0 x + y0 nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng 0xy. Ở đây λ0 và y0 là những số cho trước và y0 > 0. Giả sử λ0 = 0 và thay cho λ0 ta có λδ : |λδ − λ0 | < δ . Ta xét các trường hợp: • Trường hợp 1: λδ > 0. Ta có λδ = λ1 = λ0 + 2δ . Trong trường hợp này, thay cho đường thẳng y = y0 ta có đường thẳng d1 : y = λ1 x + y0 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Giá trị cực tiểu của phiếm hàm ϕ (y) trên một phần của d1 nằm trong vùng {x > 0, y > 0} đạt được tại điểm (0, y0 ). Điều đó có nghĩa là khi x = 0 thì ϕ (0) = y0 . • Trường hợp 2: λδ < 0. Ta có λδ = λ2 = λ0 − 2δ . Trong trường hợp này, thay cho đường thẳng y = y0 ta có đường thẳng d2 : y = λ2 x + y0 . Do λδ < 0 cho nên đường thẳng d2 cắt trục 0x tại một điểm x2 (δ) nào đó. Giá trị cực tiểu của phiếm hàm ϕ (y) trên một phần của d2 nằm trong vùng {x > 0, y > 0} đạt được tại điểm x2 (δ), 0 tức là tại x = x2 (δ) ta có ϕ (x2 (δ)) = 0. Như vậy với |λ1 − λ2 | < δ ta có     min ϕ (y) − min ϕ (y) = |y0 − 0| = y0 > 0,   λ1 λ2 ở đây y0 có thể lớn tùy ý, bài toán này không ổn định. Ví dụ 1.8. Xét phương trình toán tử A(x) = f với A là một ma trận vuông cấp M = 5 được xác định bởi   1 1 1 1 1  1 1.0001 1 1 1      1 1.0001 1 1  1   1 1 1 1.0001 1  1 1 1 1 1.0001 và vế phải f= 5 5.0001 5.0001 5.0001 5.0001
T ∈ R5 . Khi đó phương trình có duy nhất nghiệm x= Nếu 1 1 1 1 1
T ∈ R5 .  A = Ah1 1 1 1 1 1  1 1.0001 1 1 1   =1 1 1.0001 1 1  1 1 1 1.0001 1 1 1 1 1 1 và f= 5 5.0001 5.0001 5.0001 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
T        ∈ R5 . http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 thì phương trình có vô số nghiệm. Nếu  1 1 1 1 1  1 1.0001 1 1 1   A = Ah2 =  1 1 1.0001 1 1  1 1 1 1.0001 1 1 1 1 1 1 và f= 5.0001 5.0001 5.0001 5.0001 5.0001       
T ∈ R5 . thì phương trình vô nghiệm. Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số trong phương trình ban đầu đã kéo theo những thay đổi đáng kể của nghiệm. Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán A(x) = f , nên người ta thường có một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm. Ta sẽ sử dụng nghiệm x0 có x∗ − chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm x0 ∈ X thỏa mãn A(x0 ) = f, và kx0 − x∗ k = min {kx − x∗ k : A (x) = f } . Bằng cách chọn x∗ , ta có thể có được nghiệm mà ta muốn xấp xỉ. 1.4 Phương trình toán tử loại Hammerstein Xét bài toán kỹ thuật dẫn đến phương trình: x + F2 F1 (x) = f. (1.1) Bài toán. Xét một hệ thống phi tuyến có mối quan hệ ngược được mô tả bởi hình vẽ sau Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 ở đây ui là dữ liệu vào, yi là dữ liệu ra còn Ai là các toán tử, nói chung, là phi tuyến (có thể đa trị) trong không gian Hilbert H (xem [19]). Một hệ thống có mối quan hệ ngược như vậy thường được xác định bởi một cặp toán tử Ai , i = 1, 2. Cho nên ta thường gọi hệ thống có quan hệ ngược [A1 , A2 ]. Định nghĩa 1.15. Một cặp (e1 , e2 ) được gọi là nghiệm của hệ thống có mối quan hệ ngược [A1 , A2 ], nếu tồn tại y1 ∈ A1 e1 và y2 ∈ A2 e2 sao cho e1 = u1 − y2 , e2 = u2 + y1 . Hệ thống có mối quan hệ thường được gọi là • giải được, nếu với mỗi cặp (u1 , u2 ) ∈ H2 = H × H tồn tại ít nhất một cặp (e1 , e2 ) ∈ H2 ứng với (u1 , u2 ), • không đa nghĩa, nếu mỗi nghiệm được xác định một cách duy nhất, • một hệ thống chuẩn, nếu [A1 , A2 ] giải được và không đa nghĩa. Để tìm hiểu tính giải được cũng như tính không đa nghĩa, người ta đưa vào một ánh xạ: với mỗi a ∈ H, ta xác định một ánh xạ Ma (x) = x + A2 (a + A1 (x)) . Định lý 1.3. (xem [19]). Hệ [A1 , A2 ] giải được khi và chỉ khi Ma = H , với mỗi a ∈ H. Nếu Fi , i = 1, 2 được xác định như sau: F2 (x) = A2 (x) và F1a (x) = a + A1 (x), thì theo định lý trên, hệ giải được khi và chỉ khi ảnh của toán tử Hammerstein < (I + F2 F1a ) = H với mỗi a ∈ H. Nếu A2 là một toán tử tuyến tính, thì với mỗi cặp (u1 , u2 ) ∈ H2 nghiệm (e1 , e2 ) ∈ H2 được xác định bởi (e1 , e2 ) =  (I + A2 A1 )−1 (u1 − A2 u2 ) , u2  −1 + A1 (I + A2 A1 ) (u1 − A2 (u2 )) . Rõ ràng, để tìm nghiệm (e1 , e2 ) ta phải giải phương trình (I + A2 A1 ) (e1 ) = u1 − A2 u2 , để tìm e1 . Khi đó, e2 = u2 + A1 (I + A2 A1 )−1 (u1 − A2 (u2 )) . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn