Tài liệu Phương pháp giải toán về dãy số và số học trên máy tính bỏ túi

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ SỐ HỌC TRÊN MÁY TÍNH BỎ TÚI GIỚI THIỆU Hiện nay chúng ta thấy với sự bùng nổ và phát triển công nghệ thông tin cùng với sự phát triển của các nghành khoa học trên thế giới nói chung và ở việt nam nói riêng đã đạt đến một tầm cao mới. Để thích ứng với tầm cao mới này chúng ta không thể quản lý số liệu bằng các phép tính tay đơn giản mà phải dùng máy tính mới có thể dự đoán, tính toán và quản lý số liệu hiện nay được. Ngay cả ở phổ thông nhiều bài toán phải dùng đến máy tính mới dự đoán và cho ra kết quả tốt được. Đặc biệt ở các kỳ thi học sinh giỏi máy tính bỏ túi các bài toán về dãy số và số học chiếm đến 40% số điểm của bài thi Tuy nhiên nhiều học sinh chưa hiểu gì về máy tính, hiểu sai tư tưởng về các kỳ thi giải toán trên máy tính. Chuyên đề này nhằm đáp ứng nhu cầu của học sinh về tư tưởng giải toán trên máy tính. Nội dung chuyên đề gồm ba phần. Phần 1: Giới thiệu một số chức năng thường dùng của máy tính. Phần 2: Phân tích tư tưởng giải toán trên máy tính qua một số bài toán về dãy số và số học. Phần 3: Các đề thi và tài liệu tham khảo. 1 NỘI DUNG Phần 1: Giới thiệu một số chức năng thường dùng của máy tính. Hầu hết hoc sinh đã biết thao tác bấm máy cơ bản. Tuy nhiên các em chưa khai thác hết các chức năng của một số phím như: STO – CALC – SOLVE – COPY. 1) Chức năng STO: Dùng để nhớ một số vào ô nhớ. Ngoài ô nhớ M, máy tính còn các ô nhớ A,B, C, D, E, F, X, Y Ví dụ: Để nhớ số 1 vào A ta bấm: 1 – shift – STO – A Màn hình hiện 1→A. Ta đã ghi số 1 vào A 2) Chức năng CALC: Dùng để tính giá trị biểu thức f(x) tại một điểm. Ví dụ: Cho f(x) = x3 – 3x2 + 1. Tính f(-2 ). Để tính f( - 2 ) ta làm như sau: Bước 1: Nhập biểu thức x3 – 3x2 + 1 Bước 2: bấm CALC màn hình hiện x? nhập -2 bấm “ = “. Máy tính hiện kết quả 19 3) Chức năng SOLVE: Giải phương trình ( đoán nghiệm). Khi muốn đoán nghiệm phương trình f(x) = 0 ta làm như sau: Bước 1: nhập biểu thức f(x) Bước 2: bấm SHIFT – SOLVE màn hình hiện x? Bước 3: bấm một số gần với nghiệm mà ta dự đoán rồi bấm “=”. Máy tính sẽ tìm ra nghiệm. Ví dụ; Trong đề thi đại học khối B năm 2010 có câu II.1 Giải phương trình: – + 3x2 – 14x – 8 = 0. Nếu không đoán được nghiệm bài này rất khó phân tích. Ta thấy x [ , 6] 2 Khi muốn đoán nghiệm phương trình f(x) = 0 ta làm như sau: Bước 1: nhập biểu thức Bước 2: bấm SHIFT – SOLVE màn hình hiện x? Bước 3: bấm số 3 rồi bấm “ =”. Máy tính sẽ tìm ra nghiệm là 5. Từ đây ta dể dàng phân tích ra thừa số và giải được như sau: -4–( � - 1) + 3x2 – 14x – 5 = 0. – � (x – 5)( � x – 5 = 0 hoặc +(x – 5)(3x + 1) = 0 + +3x + 1) = 0 + +3x + 1 = 0 vô nghiệm �x=5 Trong đề thi học sinh giỏi tỉnh đồng nai ngày 14/10/2010 có bài. Giải phương trình: x5 – x4 – x3 – 11x2 + 25 x – 14 = 0. Phương án tối ưu để giải phương trình trên là nhẩm nghiệm. Ta dùng máy tính 570ES đoán được nghiệm là số 2. Và ta phân tích được ra thừa số. (x – 2)(x4 + x3 + x2 – 9x + 7 ) = 0. Ta dùng khảo sát hàm số dễ dàng chứng minh được phương trình: x4 + x3 + x2 – 9x + 7 =0 vô nghiệm. Thật vậy Đặt y = f(x) = x4 + x3 + x2 – 9x + 7 y’ = 4x3 + 3x2 + 2x – 9 = (x – 1)(4 x2 + 7x +9 ) 3 Bảng biến thiên x –∞ y’ y 1 – 0 +∞ +∞ + 2 +∞ Do đó x = 2 là nghiệm phương trình 4) Chức năng copy: Máy tính fx570MS cho ta copy lại các phép tính đã tính ở trên. Ví dụ: Ta có 3 phép tinh 6 +2 = 8 6 *2 = 12 6:2=3 Ta muốn copy 3 phép toán trên ta đưa con trỏ lên phép tính thứ nhất (6 +2 = 8) rồi bấm SHIFT_COPY Khi đó 3 phép toán trên hiện lên một dòng: 6 +2 = 8; 6 *2 = 12; 6 : 2 = 3 Ta chỉ việc bấm “=” liên tiếp là máy tính sẽ thực hiện các phép toán trên. Chức năng này cho phép ta tính số hạng thứ n trong dãy số truy hồi rất nhanh. Ví dụ: Cho (Fn) biết F1 = 1, F2 = 1, Fn +2 = Fn +1 + Fn. Tìm F30 ? Bây giờ để dùng chức năng COPY ta lập thuật toán cho máy tính. Bước 1: Gán 1 cho A: 1 _ shift _Sto _A: 1→A. Gán 1 cho B: 1 _ shift _Sto _B Bước 2: Bấm A + B →A. B + A →B. Bước 3: COPY hai dòng trên ta được A + B →A; B + A →B. Bước 4: Ta bấm liên tiếp phím “=” và đếm tới số thứ 30 ta được F30 Nếu ta không thích đếm ta lập thêm ô nhớ C để đếm. Thuật toán như sau. 4 Bước 1: Gán 1 cho A: 1 _ shift _Sto _A: 1→A. Gán 1 cho B: 1 _ shift _Sto _B Gán 2 cho C: 2 _ shift _Sto _C Bước 2: Bấm A + B →A. B + A →B. C + 2 →C. Bước 3: COPY ba dòng trên ta được A + B →A; B + A →B; C + 2 →C. Bước 4: Ta bấm liên tiếp phím “=” và dừng lại khi C = 30 ta được F30 Phần 2: PhânTích Tư Tưởng Giải Toán Bằng Máy Tính Bỏ Túi Qua Một Số Bài Toán Về Dãy Số Và Số Học. Dạng 1: Việc tính toán được lặp đi lặp lại theo một chu kỳ nhất định Ví dụ 1: Chữ số thập phân thứ 2006 sau dấu phẩy là chữ số nào khi ta chia 1 cho 49 Phân Tích: Tư tưởng để giải bài này rất rỏ ràng là tìm chu kỳ của số thập phân 1 49 Vấn đề đặt ra là làm sao để tìm chu kỳ nhanh nhất khi ta dùng máy tính 570MS 1:49 ≈ 0,02040816327 1010 – 49*204081632 =32 32:49 ≈ 0,6530612245 32*109 – 49*653061224=24 24:49 ≈ 0,4897959184 24*109 – 49*489795918=18 18:49 ≈ 0,3673469388 18*109 – 49*367346938=38 38:49 ≈ 0,7755102041 Như vậy 1:49 ≈ 0,02040816326530612244897959183673469387755102041 5 Suy ra chu kỳ là 42 Ta thấy 2006 = 42*47 + 32 Do đó chữ số thập phân thứ 2006 là chữ số 3 Lưu ý: Với kỳ thi máy tính ta viết kết quả gần đúng (≈) Ví dụ 2: Ngày 01/01/2008 là ngày thứ ba. Vậy ngày 01/01/2080 là ngày thứ mấy? Phân Tích: Ta thấy 1 năm có 365 ngày, 1 năm nhuận có 366 ngày Từ ngày 01/01/2008 đến Vậy ngày 01/01/2080 trải qua 72 năm, trong đó có 18 năm nhuận Cứ 4 năm có 1 năm nhuận. Năm nhuận là năm chia hết cho 4 mà không chia hết cho 100 hoặc chia hết 400 Suy ra số ngày là 72*365 + 18 = 26298 = 7*3756 + 6 Số dư là 6 tức là từ thứ 3 thêm 6 ngày nửa ta được thứ 2 Như vậy ngày 01/01/2080 là ngày thứ 2 � �x  1412003 1 � � Ví dụ 3: Cho dãy số (xn ): �x2  20032004 Tính x2004 � 1  xn 1 �xn  2  xn � Tư tưởng đề giải bài này là liệt kê dãy số trên ra xem thử dãy số trên có hội tụ không Bấm 1412003 →A. 20032004 →B. Bấm 1 B 1 A →A. →B. A B Copy hai dòng trên ta được 1 B 1 A →A; →B. A B Bấm “ =” liên tiếp ta được 6 �x6  1412003 �x  20032004 7 � � �x8  20032005/1412003 �x  282158/372174338737 �9 � �x10  18579/263579 �x1  1412003 �x  20032004 2 � � �x3  20032005/1412003 �x  282158/372174338737 �4 � �x5  18579/263579 Suy ra dãy số trên tuần hoàn với chu kỳ là 5 Do đó x2004 = x4 Dạng 2: Dãy số hội tụ. � �x  y  3 1 �1 � 2 Ví dụ 1: Cho hai dãy số (xn) và (yn) : �xn 1  xn  1  xn Tính x2004.y2004 � yn �yn 1  � 1  1  yn2 � Phân tích: Nếu ta dùng máy tính đoán đáp số cho bài toán trên thì rất dễ dàng. Ta chỉ cần tổ chức ô nhớ cho hợp lý. 3 →A 3 →B A + 1  A2 →A COPY ba dòng trên ta được B 1  1  B2 A + 1  A2 →A; →B B 1  1  B2 A.B →B; A.B Bấm “=” liên tục ta được A.B không đổi là 2. Lưu ý khi viết kết quả x2004.y2004 ≈ 2 Nếu ta dùng suy luận toán học thì việc đoán đáp số cho bài toán trên không dễ dàng Ta thấy: x1 = cot300, x2 = cot 30o 30o ,………….., xn + 1 = cot n 2 2 7 y1 = tan600, y2 = tan 60o 60o ,………….., yn + 1 = tan n 2 2 2 60o 300 Tính x2004.y2004 = tan 2003 cot 2003 = 1  tan 2 300 (≈ 2 ) 2 2 22003 �x1  4732; y1  847 � Ví dụ 2: Cho hai dãy số (xn) và (yn) xác định như sau : �x  xn  yn ; y  2 xn yn n 1 �n 1 2 xn  yn � x5  2002 a) Tính giá trị x  2002 với 10 chữ số thập phân. 5 xn ; lim yn b) Tìm lim x �� x �� Bấm 4732 →A. 847 →B. Bấm A B 2AB →C →D. C→ A. D →B. 2 A B COPY bốn dòng trên ta được : A B 2AB → C; →D; C→ A; D →B. 2 A B �x1  4732 �x  2785,5 2 � � Bấm “=” liên tục ta được: �x3  2113,159039 �x  2004,923663 �4 � �x5  2002, 002132 x5  2002 Từ đó suy ra x  2002 ≈5,323948215-07 5 lim xn  2002; lim yn  2002 x �� x �� Ví dụ 3: Cho dãy số (xn) với xn =sin(2010 – sin( 2010 - ………..sin( 2010 – sin(2010))………….)) Tìm n0 để với mọi n ≥ n0 thì xn có bốn chữ số phần thập phân ngay sau dấu phẩy là không đổi. Tìm gía trị x2009 8 Chuyển máy về radian Bấm sin2010 Bấm sin(2010 – Ans) Bấm “ =” liên tiếp và đếm ta được bốn chữ số phần thập phân ngay sau dấu phẩy không đổi là 3071. Kết quả n0 = 185 Dạng 3: Tính toán theo một qui luật nhất định. Ví dụ 1: Cho f(x) = 4x( 4x + 2) S = f( –1 . Hãy tính tổng 1 2 2009 ) + f( ) +………………..+ f( ) 2010 2010 2010 Ta có: Nếu u + v = 1thì f(u) + f(v) =1 Do đó S = 1004 + f( 1005 1 ) = 1004 + 2010 2 Bình luận: Nếu ta không thấy được đặc điểm trên thì việc giải bài toán trên rất khó. �x1  1 � Ví dụ 2: Cho dãy số (xn) xác định như sau : �x  xn (n �1) . Tìm gía trị x2008 �n 1 nx  1 n � Bấm 1 →A. 1→B. Bấm A → A ; 1 + B→B. AB  1 COPY hai dòng trên ta được : Bấm “=” liên tục ta được: 1, A → A ; 1 + B→B. AB  1 1 1 1 1 1 , , , , , …… 2 4 7 11 16 Ta có 1 +1 +2 + 3 + 4 +…………….+ 2007 = 2015029 Do đó x2008 = 1 2015029 9 Ví dụ 3: Cho f (n) = 1 3 n  2n  1  n 2  2n  1  3 n 2  1 2 3 Tính S = f(1) + f(2) + f(3) + …………………..+ f(123456789) Ta thấy f(n) = Do đó S = 3 3 n 1  3 n 1 2 123456790  3 123456789  1 ≈497.4338599 2 Ví dụ 4: Tìm hai chữ số cuối cùng của số 21999 + 22000 + 22001. 76*76 = 5776 220 = 1048576 21999 + 22000 + 22001 = 21980 (219 + 220 + 221). 219 + 220 + 221 = 3670016 76*16 = 1216 Do đó hai chữ số cuối cùng la 16 Ví dụ 5: Phép tính nâng lên luỹ thừa rồi lấy modul của các số nguyên, tức là tính C = Nk mod p, là không khó khăn, ngay cả với những số cực lớn. Nhưng phép tính ngược lại, tức là tìm ra N khi biết C, k, p, thường được gọi là phép “khai căn” bậc k modul p, lại là việc vô cùng khó khăn. Trong trường hợp tổng tổng quát, với các số nguyên lớn, bài toán này là không thể giải được ngay cả với các siêu máy tính mạnh nhất hiện nay. Tuy nhiên, khi p là số nguyên tố và k không có ước chung với p – 1 thì nhờ định lý fermat (nhỏ ) người ta phát hiện ra rằng có thể thực hiện được phép “ khai căn “ này bằng cách tìm số d sao cho dk = 1 mod (p – 1) và tính ra N bằng công thức N = Cd mod p. Để kiểm nghiệm điều nói trên, em hãy a) Tính số C = 123452305 mod 54321 ; b) Tìm số N sao cho N52209 mod 89897 = 56331 Phân Tích B1) 123452305 , 2305 = 2304 + 1 123452 : 54321≈ 2805.526868, 123452 – 2805* 54321 = 28620 B2) 286201152 10 286202: 54321≈15078.96394, 286202 – 15078*54321 = 52362 B3) 52362576 523622: 54321≈ 50473.64820, 523622 – 54321* 50473 = 35211 B4) 35211288 352112: 54321≈ 22823.85304, 523622 – 54321* 22823 = 46338 B5) 46338144 463382: 54321≈ 39528.17960, 463382 – 54321* 39528 = 9756 B6) 975672 97562: 54321≈ 1752.168333, 97562 – 54321* 1752 = 9144 B7) 914436 91442 : 54321≈ 1539.234108, 91442 – 54321* 1539 = 12717 B8) 1271718 127172 : 54321≈ 2977.155962, 127172 – 54321* 2977 = 8472 B9) 84729, 9 = 8 + 1 84722 : 54321≈ 1321.308223, 84722 – 54321* 1321 = 16743 B10) 167434 167432 : 54321≈ 5160.583366, 167432 – 54321* 5160 = 31689 B11) 316892 316892 : 54321≈ 18486.27089, 316892 – 54321* 18486 = 14715 B12) 12345*8472*14715 : 54321≈ 28331498.878886618, 12345*8472*14715 – 54321* 28331498 = 47742 Suy ra C = 47742 B1) d.52209 = 1 +n.89896 89896 – 52209 = 37687 n = 1190, d = 2049 B2) d.52209 = 1 + n.37687 52209 – 37687 = 14522 n = 1190, d =859 B3) d. 14522 = 1 + n.37687 37687 – 2*14522 = 8643 n = 331, d = 859 B4) d. 14522 = 1 + n. 8643 14522 – 8643 = 5879 n = 331, d = 197 B5) d. 5879 = 1 + n.8643 8643 – 5879 = 2764 n = 134, d = 197 B6) d. 5879 = 1 + n. 2764 5879 – 2*2764 =351 n = 134, d = 63 B7) d. 351 = 1 + n.2764 2764 – 7*351 = 307 n = 8, d = 63 B8) d. 351 = 1 + n.307 351 – 307 = 44 n = 8, d =7 B9) d.44 = 1 + n.307 307 – 6*44 = 43 n = 1, d = 7 B10) d.44 = 1 + n.43 n=1 Từ B10 ta có n = 1 ta suy ngược lên B1 d = 2049 N = 563312049 mod 89897 11 B1) 563312049 , 2049 = 2048 + 1 563312 : 89897≈ 35297.9694651, 563312 – 35297* 89897 = 87152 B2) 871521024 871522: 89897≈84490.81842, 871522 – 84490*89897 =73574 B3) 73574512 735742: 89897≈ 60214.8400503, 735742 – 89897* 60214 =75518 B4) 75518256 755182: 89897≈ 63438.9170273, 755182 – 89897* 63438 = 82438 B5) 82438128 824382: 89897≈ 75597.8936338, 824382 – 89897* 75597 = 80335 B6) 8033564 803352: 89897≈ 71790.0733, 803352 –89897* 71790 = 6595 B7) 659532 65952 : 89897≈ 483.820650300, 65952 – 89897* 483 = 73774 B8) 7377416 737742 : 89897≈ 60542.6552165, 737742 –89897* 60542 = 58902 B9) 589028 589022 : 89897≈ 38593.5637897, 589022 – 89897* 38593 =50683 B10) 506834 506832 : 89897≈ 28574.55186, 506832 – 89897* 28574 =49611 B11) 496112 496112 : 89897≈ 27378.5701525, 496112 – 89897* 27378 = 51255 B12) 51255*56331: 89897≈ 32117.260, 51255*56331– 89897* 32117 = 23456 Suy ra N = 23456 Bình luận Để làm được bài toán trên đòi hỏi phải kiên nhẫn, thật kiên nhẫn Dạng 4: Các bài toán không mẫu mực Ví dụ 1: Tìm một nghiệm (x, y, z) với x, y, z là các số nguyên dương phân biệt của 4 1 1 1 1 1 1 phương trình sau: n  x  y  z Với a) n = 109 4 1 1 1 4 1 Ta có n  x  y  z � z  x  y  n � z  b) n = 1001 ( x  y )n  4 xy xyn 1 ( x  y)2 Cho n = x + y ta được  z xyn 1 1 Cho 1 = x – y ta được z  xyn a) Với n = 109 thì x = 55 , y = 54 và z = 55*54*109 = 323730 12 b) Với n = 1001 thì x = 501 , y = 500 và z = 501*500*1001 = 250750500 k (1) k C2006 Ví dụ 2: Tính S = 2010 � 3 2 k  0 k  9k  26k  24 2006 2006 (1)k .2006! (1) k .2006!( k  1) S = 2010 � = 2010 � k  0 k !(2006  k )!( k  2)( k  3)( k  4) k  0 ( k  4)!(2010  ( k  4))! 2006 = 2006 1 ( 1) k .2010!( k  1) k 4 (1) k C2010 .(k  1) = � � 2007.2008.2009 ( k  4)!(2010  ( k  4))!2007.2008.2009 k 0 k 0 2006 2006 �(1) C Xét T = (1) 2006 k k 0 2010 2010 .C k 4 2010 4 5 .(k  1) = (1)0 .C2010 .1 + (1)1.C2010 .2 + …………+ .2007 4 2006 2010 .1 + …………………+ (1) 2002 .C2010 .2003 + ………+ (1) 2006 .C2010 .2007 = (1)0 .C2010 4 5 1004 1005 .2 + (1)1.C2010 .2 + ….+ (1)1000 .C2010 .2 + (1)1001.C2010 = 1002( (1)0 .C2010 ) + …..+ 2010 (1) 2006 .C2010 .2007 0 1 2010 Ta thấy (1 – 1)2010 = C2010 - C2010 +…………….. + (1)2010 C2010 0 1 1004 1005 = 2 C2010 - 2 C2010 +…………….. + 2 C2010 - C2010 Do đó T = 2007.1004 Từ đó suy ra S = 1 4018 Bình luận: Ta thấy lời giải trên hoàn toàn không sử dụng máy tính mà phải khôn khéo biến đổi vận dụng sáng tạo nhị thức niu tơn và công thức tổ hợp. Nhưng đây lại là đề thi cho máy tính bỏ túi. Vậy ta hiểu gì về tư tưởng của người ra đề cho câu hỏi này. Một cách giải khác: 1 1 1 1 Ta có: (k  2)(k  3)(k  4)  2(k  2)  k  3  2(k  4) 13 k (1) k C2006 Đặt S1 = � k  0 2( k  2) 2006 Ta thấy f(x) = x(1 – x)2006 = 1 f ( x)dx = � 0 2006 �(1) C k k 0 k 2006 .x k .x k (1) k C2006 = 2S1 � k 2 k 0 2006 Tương tự k (1) k C2006 S2 = � = k 3 k 0 2006 1 x (1  x ) � 2 2006 dx 0 1 k 1 3 (1) k C2006 x (1  x) 2006 dx S3 = � = 2� k  0 2( k  4) 0 2006 Như vậy S = 2010( S1 – S2 + S3 ) Bấm máy cho kết quả S = 0,0002492980106 Bấm theo kết quả S = 1 = 0,0002488800398 4018 Vậy ta hiểu gì về hai đáp số trên. Chính vì điều này đã tạo ra rất nhiều lời phê bình và gây rất nhiều khó khăn cho các giáo viên dạy ôn thi học sinh giỏi máy tính bỏ túi. Ví dụ 3: Bài 1; Cho h(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx +132005. Biết h(1) ; h(2); h(3); h(4) lần lượt là 8, 11, 14, 17 Tìm 3 h(10) Bài 2: cho p(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e. Biết p(x) nhận giá trị lần lượt là 11, 14, 19, 26, 35 khi x theo thứ tự nhận các giá trị tương ứng 1, 2, 3, 4, 5. Tính p(16) và số dư khi chia p(x) cho 10x – 3 (kết quả lấy 5 chữ số thập phân) Phân Tích Về mặt tư tưởng của các bài toán trên là giải hệ phương trình. 14 Nếu nhìn bài toán trên ở khía cạnh đặc biệt : Ta thấy h(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – p) + 3x + 5 với h(0) = 132005 ta tìm p và h(10) rất dễ dàng P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 +10 và ta dễ dàng tính p(16) cũng như r = p( 3 ) 10 Để nhìn ra được khía cạnh đặc biệt đó em xin nhường lời bình luận lại cho người ra đề đó và mọi người quan tâm tới đề thi trên. Phần 3: Tài liệu tham khảo 1) Máy tính VINACAL Vn – 570MS Hướng Dẫn Sử Dụng Và Giải Toán cùa TS. TRẦN VĂN VUÔNG 2) Các đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính casio của TẠ DUY PHƯỢNG _NGUYỄN THẾ THẠCH 3) Các website của các sở giáo dục đào tạo trên cả nước 15