Tài liệu Phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích

Phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học không gian SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM " PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH" I - Lý do chọn đề tài Trong chương trình hình học lớp 12, bài toán viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng và tìm điểm là những bài toán chiếm một vị trí quan trọng. Trong các đề thi đại học luôn có vấn đề này, song bài toán liên quan đến vấn đề cực trị lại là vấn đề khó với học sinh và đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc. Đối với học sinh giỏi có thể làm tốt phần này, tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn nhiều thời gian cho các bài tập khó. Trong sách giáo khoa loại bài tập này không xuất hiện, trong các tài liệu tham khảo thì các bài tập này chưa mang tính hệ thống, chưa phân loại và chưa chỉ ra được đường lối giải cho loại bài toán này. Trong hè năm 2008 và 2009, tôi đã có dịp trao đổi một số nội dung với lớp Bồi dưỡng giáo viên thì đây cũng là vấn đề khó đối với cả các thầy cô giáo. Với những lý do trên, tôi muốn hoàn thiện một lớp các bài toán này nhằm giúp các em học sinh có cái nhìn tổng quát và mang tính hệ thống cho vấn đề này. Qua đó giúp học sinh không phải e sợ phần này và quan trọng hơn là khi đứng trước một bài toán, học sinh có thể bật ngay được cách giải, được định hướng khi làm bài, từ đó có cách giải tối ưu cho một bài toán. Về vấn đề này gần đây trong một tạp chí Toán học tuổi trẻ cũng có đề cập đến, nhưng tôi xin trình bày vấn đề với góc nhìn của riêng tôi, mặc dù vì điều kiện thời gian, kinh nghiệm và kiến thức còn hạn chế, có vấn đề việc phát triển là chưa nhiều, tôi sẽ còn tiếp tục hoàn thiện vấn đề này và có thêm những ý tưởng mới trong quá trình giảng dạy. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài này được hoàn thiện hơn. II - Nội dung nghiên cứu Trong đề tài này tôi chia thành 3 nội dung chính: Phần 1 : Bài toán viết phương trình mặt phẳng Phần 2: Bài toán viết phương trình đường thẳng Phần 3: Các bài toán về điểm Với mỗi nội dung được trình bày theo một hệ thống lô gic chặt chẽ từ các bài toán đơn giản đến phức tạp, phân tích vấn đề, phát triển vấn đề đến phát triển bài toán. III - Phạm vi nghiên cứu Các kiến thức trong khuôn khổ chương trình toán THPT IV - Đối tượng áp dụng: 1. Ôn tập kiến thức cơ bản cho học sinh 12 2. Ôn thi đại học 3. Bồi dưỡng học sinh V - Tài liệu tham khảo: 1. Sách giáo khoa. 2. Các đề thi đại học. 3. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ ____________________________________________________________________________ Nguyễn Ngọc Minh - Tổ Toán - THPT số 3 Thành phố Lào Cai Phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học không gian 4. Một số tài liệu hình giải tích của Phan Huy Khải. VI-NỘI DUNG ĐỀ TÀI Phần I : Viết phương trình mặt phẳng Cơ sở lý thuyết: Để viết phương trình mặt phẳng cần xác định hai yếu tố là một điểm thuộc mặt phẳng và một véc tơ pháp tuyến Đây cũng chính là cơ sở để xây dựng các bài toán. Ta bắt đầu từ một bài toán rất đơn giản Bài toán 1: Cho hai điểm A, B. Xác định mặt phẳng (P) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất. Phân tích: Giả sử mặt phẳng (P) đã được xác định. Bài toán hỏi đến khoảng cách từ B đến mặt phẳng, đương nhiên ta phải xác định khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P). Để xác định khoảng cách lớn nhất ta dùng bất đẳng thức đánh giá d(B, (P)) nhỏ hơn một giá trị không đổi và giá trị không đổi đó là giá trị đã biết AB. B A Giải: Gọi H là hình chiếu của B trên (P) ⇒ d(B, (P)) = BH Ta có BH ≤ AB không đổi . Dấu " = " xảy ra ⇔ H ≡ A uuur Hay max BH = AB khi H ≡ A hay AB ⊥ (P) ⇒ AB là véc tơ pháp tuyến của (P). uuur Đến đây mặt phẳng (P) hoàn toàn xác định là mặt phẳng qua A và có véc tơ pháp tuyến AB Bài toán này đơn giản, ta có thể cho vô số ví dụ. Tuy nhiên, ý tưởng đơn giản đó sẽ gần như xuyên suốt lớp các bài toán về dạng này. Một câu hỏi đặt ra là : vậy mặt phẳng qua A và cách B một khoảng nhỏ nhất có tồn tại hay không? bài toán đó có được đặt ra hay không? Ta biết khoảng cách giữa hai đối tượng bất kì là không âm, vì vậy giá trị nhỏ nhất (nếu có) luôn lớn hơn 0. Trong bài toán trên, dễ thấy min d(B,(P))= 0 ⇔ B ∈ (P) hay (P) đi qua A và B. Do đó, có vô số mặt phẳng thỏa mãn. Vì thế bài toán này thường không được đặt ra, nếu có thường phải đi kèm một điều kiện khác . Bài toán 2 Cho một đường thẳng Δ ; Một điểm A không thuộc đường thẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua Δ và cách A một khoảng lớn nhất. Phân tích: ____________________________________________________________________________ Nguyễn Ngọc Minh - Tổ Toán - THPT số 3 Thành phố Lào Cai Phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học không gian Xác định khoảng cách từ A tới (P) và so sánh với A khoảng cách không đổi. Từ đó liên hệ giữa khoảng cách từ A tới Δ , đưa tới lời giải sau: ' Lời giải: H K Gọi H là hình chiếu của A trên (P), K là hình chiếu của A trên Δ ⇒ d(A,(P)) = AH. Ta có AH ≤ AK ( không đổi) Dấu "=" xảy ra ⇔ H ≡ K hay max AH = AK uuur uuur ⇔ H ≡ K hay AK ⊥ (P), tức AK là véc tơ pháp tuyến của (P). Do đó, mặt phẳng uuur (P) hoàn toàn được xác định là mặt phẳng qua một điểm bất kì của Δ và có véc tơ pháp tuyến AK Đề thi đại học khối A năm 2008 được cho từ bài toán này. Từ bài toán gốc này ta cũng có thể cho nhiều bài toán. Câu hỏi tương tự như bài toán trên là Vậy mặt phẳng qua Δ và cách A một khoảng nhỏ nhất có tồn tại không? Câu trả lời là dễ thấy chính là mặt phẳng chứa Δ và A và khoảng cách nhỏ nhất là 0. Do đó, thay cho cách hỏi viết phương trình mặt phẳng qua Δ và A thì bài toán có thể được phát triển theo cách trên là " tìm mặt phẳng chứa Δ và cách A một khoảng nhỏ nhất" và cũng có thể xuất hiện dưới nhiều dạng khác. x + 1 y + 1 z− 3 = = Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng Δ1 : 1 −2 2 ⎧ x = −1 − t ⎪ và Δ 2 : ⎨ y = 2 + 2 t ⎪ z = −2 t ⎩ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua Δ1 và cách Δ 2 một khoảng lớn nhất. Lời giải: Dễ thấy Δ1 / / Δ 2 , do vậy, khoảng cách từ Δ1 tới (P) bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của Δ1 tới (P). Lấy A(-4; -1; 3) ∈ Δ1 , bài toán trở về: " Xác định mặt phẳng (P) qua Δ 2 và cách A một khoảng lớn nhất." Theo bài toán trên, ta xác định hình chiếu H của A trên Δ 2 , dễ có H(0; 0; 2). uuur ⇒ mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến AH =( 4; 1; -1) uuur Vậy (P) qua H và có vtpt AH có phương trình: 4x + y - z + 2 = 0 Bài toán 3: Cho hai đường thẳng Δ1 và Δ 2 cắt nhau tại A. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Δ 2 và hợp với Δ1 một góc lớn nhất. Phân tích: Xác định góc giữa Δ1 và (P) và so sánh với một góc không đổi, từ đó đưa đến liên hệ với góc giữa hai đường thẳng. ____________________________________________________________________________ Nguyễn Ngọc Minh - Tổ Toán - THPT số 3 Thành phố Lào Cai Phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học không gian Lời giải: Giả sử (P) đã được xác định. Gọi M là điểm bất kì ∈ Δ1 và H, K tương ứng là hình chiếu của M trên (P) và M '  Δ 2 . Khi đó ( Δ1 , (P)) = MAH = α , (Δ1 ;Δ 2 ) = MAK = ϕ H (là góc không đổi) A MH MK ' Ta có: sin α = , sinϕ = và MK ≥ MH . MK MA nên sin α ≤ sin ϕ ⇒ α ≤ ϕ ( vì hàm sin ⎡ π⎤ đồng biền trong ⎢0; ⎥ và ϕ không đổi) ⎣ 2⎦ uuuur Suy ra : max α = ϕ khi H ≡ K hay MK ⊥ (P) ⇒ MK là véc tơ pháp tuyến của (P), hay ta có thể r ur uur uur thấy mặt phẳng (Δ1 ; Δ 2 ) ⊥ (P) ⇒ véc tơ pháp tuyến của (P) là n = ⎡ ⎡⎣u1 ; u2 ⎤⎦ , u2 ⎤ ⎣ ⎦ Vậy (P) hoàn toàn được xác định. Nhận xét: 1. Đường thẳng Δ 2 khi đó là hình chiếu của Δ1 trên (P). Do đó bài toán có thể được phát triển dưới dạng " Xác định mặt phẳng (P) sao cho Δ 2 là hình chiếu vuông góc của Δ1 trên (P). Tuy nhiên khi đó mặt phẳng (P) dễ dàng xác định hơn. 2. Vì ta biết góc giữa ( Δ1 ;(P)) = ( Δ1' ;(P)) nếu Δ1' / / Δ1 ⇒ bài toán có thể thay giả thiết Δ1 , Δ 2 chéo nhau. Khi đó, ta lấy một điểm A thuộc Δ 2 , qua đó viết phương trình Δ1' / / Δ1 thì bài toán trở về bài toán trên. 3. Nếu Δ1 / / Δ 2 ∨ Δ1 ≡ Δ 2 : mặt phẳng chứa Δ 2 hoặc chứa Δ1 hoặc song song Δ1 thì góc giữa Δ1 và (P) luông bằng 0. Do đó bài toán không được đặt ra cho hai vị trí trên. 4. Nếu Δ1 cắt Δ 2 : mặt phẳng chứa Δ1 và hợp với Δ 2 một góc nhỏ nhất chính là mặt phẳng chứa 2 đường thẳng Δ1 , Δ 2 . Nếu Δ1 , Δ 2 chéo nhau: Mặt phẳng chứa Δ 2 và hợp với Δ1 một góc nhỏ nhất chính là mặt phẳng qua Δ 2 và song song Δ1 . x+1 y+ 3 z- 2 x- 2 y+1 z-1 và Δ 2 : = = = = 3 -2 -1 2 3 -5 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua Δ 2 và hợp với Δ1 một góc lớn nhất. Lời giải Dễ thấy Δ1 , Δ 2 chéo nhau. Ta lấy điểm A(2; -1; 1) ∈ Δ 2 , qua A dựng đường thẳng Δ1' / / Δ1 ⇒ Δ1' x- 2 y+1 z-1 . có phương trình: = = 3 2 -1 Khi đó: Δ1' ∩ Δ 2 = A và trở về bài toán trên. ur uur Δ1 có vtcp u1 (3; −2; −1), Δ 2 có vtcp u2 (2;3; −5) ⇒ mặt phẳng ( Δ1' , Δ 2 ) có véc tơ pháp tuyến là ur ur uur ur n1 = [u1 ; u2 ] = (13;13;13) , chọn n1 = (1;1;1) . Áp dụng kết quả bài toán trên ta có véc tơ pháp tuyên r ur uur của mặt phẳng (P) là : n = [n1 ; u2 ] = (−8;7;1) . ____________________________________________________________________________ Nguyễn Ngọc Minh - Tổ Toán - THPT số 3 Thành phố Lào Cai Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng Δ1 : Phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học không gian r Mặt phẳng (P) qua A và có véc tơ pháp tuyến n có phương trình: 8(x - 2) - 7(y + 1) - (z - 1) = 0 ⇔ 8x - 7y - z - 22 = 0 Chú ý: 1. Với lời giải ví dụ này, khi ta áp dụng kết quả bài toán trên thì không nhất thiết phải xác định Δ song để trình bày lời giải cụ thể một bài toán khi xuất hiện độc lập ta phải chỉ ra đầy đủ ' 1 cơ sở như bài toán trên thì phải viết phương trình Δ1' . 2. Với bài toán này, khi giảng dạy các thầy cô giáo có thể đặt ra rất nhiều bài toán cụ thể từ hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau. Bài toán 4: Cho đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) cắt nhau. Xác định mặt phẳng (Q) chứa Δ và hợp với (P) một góc nhỏ nhất. Phân tích: M Vì Δ ∩ ( P ) = A ⇒ (Q) ∩ (P) theo một giao tuyến. Vẫn theo ý tưởng đầu tiên, ta xác định góc giữa ' (P) và (Q) và so sánh với góc không đổi trong bài toán H này là góc giữa Δ và (P). Lời giải: A d K Gọi A = Δ ∩ (P) ; M là điểm bất kì trên Δ . Giả sử (Q) đã xác định được ⇒ (Q) ∩ (P) = d . Gọi H, K tương ứng là hình chiếu của M trên (P) và d ⇒ HK ⊥ d ⇒ góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là ϕ = MKH và góc giữa Δ và (P) là α = MAH ( không đổi).Ta có: sin α = MH MH và MA ≥ MK ⇒ sinα ≥ sinϕ . Vì hàm sin đồng biến trên , sin ϕ = MA MK ⎡ π⎤ ⎢⎣0; 2 ⎦⎥ nên α ≥ ϕ (không đổi). ⇒ minϕ = α khi K ≡ A , hay d ⊥ Δ . Suy ra, mặt phẳng (Q) cắt (P) theo một giao tuyến vuông góc với Δ thì góc ϕ là góc nhỏ nhất. r r Gọi véc tơ pháp tuyến của (P) là n và véc tơ chỉ phương của Δ là u thì (Q) có véc tơ pháp tuyến uur ur r r là nQ = [[u; n]; u] . Vậy mặt phẳng (Q) hoàn toàn xác đinh là mặt phẳng qua một điểm của Δ và uur có véc tơ pháp tuyến n Q x- 3 y z-1 và mặt phẳng (P) : x + y + z = 0 = = 2 -1 3 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa Δ và hợp với (P) một góc nhỏ nhất. Lời giải: r uur Áp dụng bài toán trên, ta gọi vtcp của Δ là u (2; -1;3), véc tơ pháp tuyến của (P) là n P (1; 1;1) uur r uur thì giao tuyên d của (P) và (Q) có véc tơ chỉ phương là u d = [u; n P ] = ( -4; 1; 3) Ví dụ: Cho đường thẳng Δ : ____________________________________________________________________________ Nguyễn Ngọc Minh - Tổ Toán - THPT số 3 Thành phố Lào Cai Phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học không gian uur uur r Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n Q = [u d ; u] = (6; 18; 2) ⇒ chọn véc tơ pháp tuyến là ur uur n1 (3; 9; 1). Mặt phẳng (Q) qua M(3; 0; 1) ∈ Δ và có véc tơ pháp tuyến n1 có phương trình là: 3(x - 3) + 9y +z -1 = 0 ⇔ 3x + 9y + z - 10 = 0 Nhận xét: 1. Giao tuyến của 2 mặt phẳng là một trong những bài toán viết phương trình đường thẳng rất cơ bản: đường thẳng qua giao điểm, nằm trong mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng cho trước. Tuy nhiên khi được nâng lên một bậc như bài toán này đã được tích hợp nhiều kiến thức hơn, đòi hỏi học sinh hiểu sâu hơn các vấn đề đã biết. 2. Mặt phẳng qua Δ và hợp với (P) một góc lớn nhất có tồn tại hay không? Dễ thấy đó là bài toán quen thuộc: " mặt phẳng qua Δ và vuông góc với (P) " ( góc lớn nhất bằng 90o). 3. Với Δ nằm trong mặt phẳng (P) hay song song với (P) thì mặt phẳng (Q) chứa Δ và hợp với (P) một góc nhỏ nhất là 00, và góc lớn nhất là 900 4. Với bài toán gốc trên, ta có thể đưa ra nhiều bài tập cùng nội dung cho học sinh làm từ một đường thẳng và 1 mặt phẳng cắt nhau. Phần II: Bài toán viết phương trình đường thẳng Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P), điểm A thuộc (P) và điểm B không thuộc (P). Tìm đường thẳng Δ nằm trong (P), Δ qua A và cách B một khoảng lớn nhât, nhỏ nhất. Phân tích: % Vẫn ý tưởng từ bài toán hỏi khoảng cách từ B tới Δ , ta xác định khoảng cách từ B tới Δ và so sánh với khoảng cách không đổi. Trong bài toán này có 2 ' . H khoảng cách không đổi là d(B,(P)) và BA. A Lời giải: Gọi H, K tương ứng là hình chiếu của B trên (P) và Δ ⇒ d(B, (P)) = BH và d(B, Δ ) = BK. Ta luôn có BK ≤ AB không đổi nên BK = AB khi K ≡ A, tức là khoảng cách từ B tới đường thẳng Δ lớn nhất khi Δ qua A và vuông góc với AB. Mặt khác BK ≥ BH không đổi ⇒ minBK = BH khi K ≡ H hay khoảng cách từ B tới đường thẳng Δ nhỏ nhất khi Δ qua A. Nhận xét: 1. Như vậy, cách cho bài toán này khá đơn giản: cho mặt phẳng (P) bất kì, lấy một điểm A thuộc (P) và một điểm B không thuộc (P). Với câu hỏi trên ta đã co 1 bài toán. Tuy nhiên để tọa độ điểm H không lẻ, ta nên bắt đầu từ việc lấy H trong (P). Thông thường, ta lấy H có tọa độ nguyên, sau đó viết phương trình đường thẳng d qua H và vuông góc với (P); trên d ta mới lấy B có tọa độ nguyên thi sẽ đưa đến một kết quả đẹp hơn. 2. Đề thi Đại học khối B năm 2009 là một dạng của bài toán này. Ta sẽ xem xét một vài ví dụ sau dưới dạn khác nhau của bài toán trên, từ việc tạo ra mặt phẳng (P) hoặc thay thế (P) bằng các dữ kiện tương đương, ta có thể có cái nhìn đa chiều cho 1 bài toán. ____________________________________________________________________________ Nguyễn Ngọc Minh - Tổ Toán - THPT số 3 Thành phố Lào Cai Phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học không gian Ví Dụ 1: ( đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng năm 2009 - khối B) Cho mặt phẳng (P) : x - 2y + 2z - 5 = 0 và hai điểm A(-3; 0; 1) và B(1; -1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), viết phương trình đường thẳng d sao cho khoảng cách từ B đến d là nhỏ nhất. Phân tích: Rõ ràng từ ý tưởng của bài toán trên cùng với bài toán qua 1 điểm tồn tại duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước, ta đã đưa đến một bài toán cụ thể và ít tường minh hơn. Lời giải: Gọi (Q) là mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và qua A ⇒ (Q) có phương trình : x + 3 - 2y + 2(z-1) = 0 ⇔ x - 2y + 2z + 1 = 0 Áp dụng kết quả bài toán trên, gọi H là hình chiếu của B trên (P). ⎛ 1 11 7 ⎞ ⎛ 26 11 2 ⎞ Dễ dàng tính toán được H ⎜ − ; ; ⎟ ⇒ AH ⎜ ; ;− ⎟ ⎝ 9 9 9⎠ ⎝ 9 9 9⎠ x + 3 y z− 1 Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình : = = 26 11 − 2 ⎧ x = 2t ⎪ Ví dụ 2: Cho đường thẳng Δ : ⎨ y = 1 − t và hai điểm A(2; -1; 1), B(0; 1;2). ⎪z = 2 + t ⎩ Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc với Δ và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất. Phân tích: Mặt phẳng (P) chính là mặt phẳng qua A và vuông góc với Δ . Khi đó bài toán trở về bài toán 5. Áp dụng bài toán trên, ta có lời giải. Lời giải. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với Δ ⇒ (P) có phương trình: 2 (x -2) - (y + 1) + (z-1) = 0 ⇔ 2x - y + z -6 = 0. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B trên (P) và Δ , ta có d(B,d) = BK 1, BK ≤ BA ⇒ max BK = AB ⇔ K ≡ A hay d qua A B ' và vuông góc với AB Có AB (-2; 2; 1) và véc tơ pháp tuyến của (P) là n (2; 1; 1) H d ⇒ d có véc tơ chỉ phương u = [ AB; n ] = ( 3; 4; -2) A K Đường thẳng d cách B một khoảng lớn nhất là đường thẳng qua A và có véc tơ chỉ phương u ( 3; 4; -2). x − 2 y+ 1 z − 1 Phương trinh d là : = = 3 4 −2 2, BK ≥ BH (không đổi) ⇒ minBK = BH khi K ≡ H hay d là đường thẳng qua A và H ⎧ x = 2t ⎪ Gọi Δ1 là đường thẳng qua B và vuông góc với (P). Δ1 có phương trình: ⎨ y = 1 − t ⎪z = 2 + t ⎩ ____________________________________________________________________________ Nguyễn Ngọc Minh - Tổ Toán - THPT số 3 Thành phố Lào Cai Phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học không gian ⎧ x = 2t ⎧ t = 5/ 6 ⎪ ⎪ x = 5/3 y =1− t ⎪ ⎪ ⇔⎨ H = Δ1 ∩ (P) nên tọa độ H thỏa mãn hệ: ⎨ z =2+t ⎪ ⎪ y = 1/ 6 ⎪⎩2 x − y+ z − 6 = 0 ⎪⎩ z = 17 / 6 ⎛ 5 1 17 ⎞ ⎛ 1 7 11 ⎞ ⇒ H ⎜ ; ; ⎟ ⇒ AH ⎜ ;− ;− ⎟ ⇒ chọn véc tơ chỉ phương của d là u d (2; -14; -11) ⎝3 6 6 ⎠ ⎝3 6 6 ⎠ Đường thẳng d cách B một khoảng nhỏ nhất có phương trình: x − 2 y+ 1 z− 1 = = − 14 − 11 3 Ví dụ 3: ⎧ x =1− t ⎪ Cho A(1; 4; 2) , B(-1;2;4) và đường thẳng d có phương trình ⎨ y = −2 + t . ⎪ z = 2t ⎩ Trong các đường thẳng qua A và cắt d, viết phương trình đường thẳng cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất. Phân tích: Mặt phẳng (P) trong ví dụ này là mặt phẳng qua d và A. Như vậy ví dụ được xây dựng từ bài toán trên và cách xác định mặt phẳng qua 1 điểm và 1 đường thẳng. Lời giải: Đường thẳng d qua M(1; -2; 0) và có véc tơ chỉ phương u (-1; 1; 2) ; MA (0; 6; 2) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và d ⇒ (P) có véc tơ pháp tuyến n = [ u; MA ] =(-10;2;-6) Chọn véc tơ pháp tuyến của (P) là n P (5; -1; 3) , khi đó (P) có phương trình: 5(x-1) - (y - 4) + 3 (z - 2) = 0 ⇔ 5x - y + 3z -7 = 0 Đường thẳng Δ qua A và cắt d ⇒ Δ nằm trong (P). Theo kết quả bài toán trên ta có: 1, Δ cách B một khoảng lớn nhất ⇔ Δ vuông góc với AB A B (-2; -2; 2) ⇒ Δ có véc tơ chỉ phương u Δ = [AB; n P ] = (-4; 16; 12) Chọn u1 (-1;4;3) là véc tơ chỉ phương của Δ ( u1 không cùng phương u ) x − 1 y− 4 z− 2 Đường thẳng Δ cắt d và thỏa mãn bài toán có phương trình : = = −1 4 3 2, Đường thẳng Δ cách B một khoảng lớn nhất ⇔ Δ qua A và H ⇒ Xác định H : ⎧ x = −1 + 5t ⎪ Gọi Δ1 là đường thẳng qua B và vuông góc với (P). Δ1 có phương trình: ⎨ y = 2 − t ⎪ z = 4 + 3t ⎩ ⎧ x = −1 + 5 t ⎪ y = 2−t ⎪ H = Δ1 ∩ (P) nên tọa độ H thỏa mãn hệ: ⎨ z = 4 + 3t ⎪ ⎪⎩5 x − y+ 3 z − 7 = 0 ____________________________________________________________________________ Nguyễn Ngọc Minh - Tổ Toán - THPT số 3 Thành phố Lào Cai Phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học không gian ⎛ 5 68 146 ⎞ ⎛ 60 72 76 ⎞ ⇒ H⎜− ; ; ⎟ ⇒ AH ⎜ − ;− ; ⎟ ⎝ 7 35 35 ⎠ ⎝ 35 35 35 ⎠ Chọn véc tơ chỉ phương của Δ là u 2 (15; 18; -19) ( u 2 không cùng phương u ) x − 1 y− 4 z − 2 Đường thẳng Δ cắt d và thỏa mãn bài toán có phương trình : = = 15 18 − 19 Bài toán 6: Cho mặt phẳng (P), điểm A thuộc (P) và đường thẳng d cắt (P). Xác định đường thẳng Δ nằm trong (P), đi qua A và hợp với d một góc lớn nhất, nhỏ nhất. Phân tích: 0 Từ cách xác định góc giữa hai đường thẳng trong d không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua 1 d' điểm ta xác đinh d' qua A và song song với d. Khi đó (d, Δ ) = (d', Δ ). Vậy phải xác định góc giữa d' và Δ , H ' sau đó liên hệ với góc không đổi là góc giữa d' và (P). A . Lời giải: Gọi d' là đường thẳng qua A và song song với d , ta có (d, Δ ) = (d', Δ ) và (d,(P)) = (d',(P)) Gọi M là điểm bất kì trên d', H và K tương ứng là hình chiếu của M trên (P) và Δ ⇒ góc giữa d' và Δ là α = ∠ MAK, góc giữa d' và (P) là ϕ = ∠ MAH MK MH 1, Ta luôn có: sin α = , sin ϕ = và MK ≥ MH ⇒ sin α ≥ sin ϕ ⇒ α ≥ ϕ MA MA ⇒ min α = ϕ khi H ≡ K hay Δ là đường thẳng qua A và H. Khi đó, véc tơ chỉ phương của Δ là: u Δ = [[u d ; n P ]; n P ] . Vậy Δ là đường thẳng hoàn toàn xác định qua A và có véc tơ chỉ phương u Δ . 2, α ≤ 900 ⇒ max α =900 khi Δ vuông góc với d' ⇒ Véc tơ chỉ phương của Δ là: u Δ = [u d ; n P ] . Vậy Δ là đường thẳng hoàn toàn xác định. Ví dụ: x − 1 y z+ 2 Cho đường thẳng d : và mặt phẳng (P) : 2x + y + z +1 = 0. Điểm A(0;2;1) thuộc = = 2 1 −3 (P). Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong (P), đi qua A và hợp với d một góc lớn nhất, nhỏ nhất. Lời giải: d có véc tơ chỉ phương u (2;1;-3); (P) có véc tơ pháp tuyến n (2;1;1). Theo kết quả bài toán trên: 1, Δ hợp với d một góc lớn nhất khi Δ vuông góc với d ⇒ véc tơ chỉ phương của Δ là: u Δ = [u; n ] = (4; -8; 0). Chọn u1 =(1;-2;0 ) là véc tơ chỉ phương của Δ . ⎧ x=t ⎪ Ta có phương trình Δ : ⎨ y = 2 − 2t ⎪ z =1 ⎩ 2, Δ hợp với d một góc nhỏ nhất khi Δ song song với hình chiếu của d trên (P) ⇒ véc tơ chỉ phương của Δ là: u 2 = [ u1 ; n ] = (2; -1; 5). Vậy phương trình Δ là: ____________________________________________________________________________ Nguyễn Ngọc Minh - Tổ Toán - THPT số 3 Thành phố Lào Cai Phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học không gian x y− 2 z− 1 = = −2 1 5 Chú ý: Nếu d//(P) hoặc d nằm trong (P) thì đường thẳng nằm trong (P), đi qua A và hợp với d một góc lớn nhất là 900, góc nhỏ nhất là 00. Bài toán 7: Cho mặt phẳng (P) và điểm A thuộc (P). Đường thẳng d cắt (P) tại một điểm khác A. Xác định đường thẳng Δ nằm trong (P), đi qua A sao cho khoảng cách giữa Δ và d là lớn nhất. Phân tích: Từ khoảng cách giữa hai đường thẳng là khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại và song song với đường đường thẳng ⇒ xác định đường thẳng d' qua A và d'//d ⇒ mặt phẳng chứa Δ và d' song song d ⇒ d(d, Δ ) = d(d;(d'; Δ )). Vẫn từ ý tưởng : bài toán hỏi khoảng cánh giữa d và Δ , ta xác định khoảng cánh đó và so sánh với khoảng cách không đổi. d' d + . ' $ B Lời giải: Gọi d' là đường thẳng qua A và d'//d. Giả sử Δ đã xác định ⇒ d' và Δ cùng nằm trong một mặt phẳng (Q). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B trên (Q) và d' ⇒ BH ≤ BK ⇒ max BH = BK ⇔ H ≡ K hay (Q) nhận BK làm véc tơ pháp tuyến. Hoặc gọi I là hình chiếu của A trên d ⇒ AI // BK ⇒ AI là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) ⇒ (Q) hoàn toàn xác định ⇒ Δ là giao tuyến của (Q) và (P) ⇒ Δ hoàn toàn xác định. Ví dụ : x − 3 y+ 1 z . Điểm = = −2 1 3 A(0;2;3) nằm trong (P). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A sao cho khoảng cách giữa d và Δ là lớn nhất. Lời giải: Theo kết quả bài toán trên: Gọi B = d ∩ (P), dễ xác định được B(-3; 3; -2) ≠ A ( hoặc thay tọa độ A và phương trình d ⇒ A∉d). (P) có véc tơ pháp tuyến n P (2; 1;-1). ⎛3 5 6⎞ ⎛ 3 9 27 ⎞ Gọi I là hình chiếu của A trên d ⇒ I ⎜ ; ;− ⎟ ⇒ A I ⎜ ;− ; ⎟ ⎝7 7 7⎠ ⎝7 7 7 ⎠ Cho mặt phẳng (P) : 2x + y - z +1 = 0 và đường thẳng d : ⇒ Chọn véc tơ pháp tuyến của (Q) là n Q (1; -3;9). Vì Δ là giao tuyến của (Q) và (P) nên véc tơ chỉ phương của Δ là: u = [n P ; n Q ] =(-12; 19; 7) ⇒ Δ qua A và có véc tơ chỉ phương của u có phương trình: x y− 2 z− 3 = = − 12 19 7 ____________________________________________________________________________ Nguyễn Ngọc Minh - Tổ Toán - THPT số 3 Thành phố Lào Cai Phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học không gian Nhận xét: 1, Tất cả 7 bài toán trên có thể giải bằng phương pháp giải tích, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất từ công thức tính khoảng cách, góc...Phương pháp thì rất rõ ràng nhung tính toán lại rất phức tạp. Con đường sử dụng yếu tố hình học không gian như trên làm cho bài toán trở nên dễ dàng và thú vị hơn. 2. Từ các bài toán gốc đó không những ta có thể cho các bài toán cụ thể mà còn nhiều điều ta có thể tập cho học sinh có cái nhìn đa chiều của một bài toán hoặc sáng tạo các bài toán khác từ việc thay thế các giả thiết tương đương. Phần III: Các bài toán về điểm Ta đã biêt bài toán rất cơ bản sau trong mặt phẳng: "Cho đường thẳng Δ và hai điểm A,B. Tìm trên Δ điểm M sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất." Lời giải bài toán được chia 2 trường hợp: TH1: A, B khác phía Δ ⇒ M = AB ∩ Δ . Ta dễ dàng chứng minh được và xác định được M. TH2: A, B cùng phia Δ ⇒ Gọi A1 là điểm đối xứng A qua Δ ⇒ M = A1B ∩ Δ . Ta dễ dàng chứng minh được và xác định được M. Tuy nhiên câu hỏi đặt ra là tại sao ta đưa đến việc lấy đối xứng. Câu trả lời là dễ hiểu với hầu hết học sinh đó là việc ta tìm 1 điểm A1 thay thế vai trò của A ( ∀ M ∈ Δ : MA1 = MA), nhưng A1 và B khác phía, để trở về bài toán ta đã biết ở trường hợp 1.Nhưng việc mở rộng ý tưởng đó cho những bài toán khác trong không gian không phải học sinh nào cũng thực hiện được. Nếu mở rộng bài toán này sang không gian, thay đường thẳng Δ bởi mặt phẳng (P) thì bài toán tương tự, không hề gây khó khăn ngay cả với học sinh trung bình. Nhưng nếu mở rộng trong không gian mà vẫn là đường thẳng thì bài toán sẽ trở nên khó khăn hơn trong mặt phẳng. Ta sẽ xem xét vấn đề này dưới 2 góc nhìn sau đây Bài toán 8: Cho đường thẳng Δ và hai điểm A, B. Tìm trên Δ điểm M sao cho MA + MB là nhỏ nhất. Cách 1: Phân tích B Ta bắt đầu ý tưởng từ việc quy về mặt phẳng. Nếu để trong không gian thì không có khái niệm 2 điểm cùng phía hay khác phia với đường thẳng A H M Nếu xác định (P) là mặt phẳng chứa A và Δ , ta sẽ tìm I ttrong (P) một điểm thay thế B, đương nhiên phải khác K phía A ⇒ Bài toán đã đưa được về như trong mặt phẳng Lời giải Gọi (P) là mặt phẳng chứa A và Δ ; I là điểm trong mặt phẳng (P) sao cho IH ⊥ Δ ; IH = BH và I khác phía với A so với đường thẳng Δ . Khi đó, ta dễ dàng chứng minh được M = AI ∩ Δ Thật vậy: Gọi M' là điểm bất kì thuộc Δ ⇒ MB = MI và M'B = M'I ____________________________________________________________________________ Nguyễn Ngọc Minh - Tổ Toán - THPT số 3 Thành phố Lào Cai Phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học không gian Ta có: M'A + M'B = M'A + M'I ≥ AI mà AI = MA + MI = MA + MB ⇒ M'A + M'B ≥ MA + MB ⇒ M được xác định như trên thỏa mãn bài toán : MA + MB nhỏ nhất. Tuy nhiên với cách giải trên khó khăn trong việc tìm tọa độ điểm I khi thực hành Ta chú ý: Gọi K là hình chiếu của A trên Δ ⇒ AK // IH ⇒ ta có: MA AK AK AK AK ⇒ MA = − = = .MH ⇒ M chia AH theo tỉ số k = − BH MH IH BH BH Từ đó đưa ta đến bài toán : Xác định hình chiếu K, H của A, B trên Δ và điểm M chia AH theo AK tỉ số k = − BH Vậy M hoàn toàn xác định. Cách 2: Bài toán cần xác định điểm M ∈ Δ và biểu diễn M theo tham số của Δ Tính MA + MB theo công thức khoảng cách Viết lại MA + MB = A12 + B12 + A 22 + B22 , sao cho B1, B2 luông là hằng số, A1,A2 phụ B thuộc t Khi đó sử dụng bất đẳng thức véc tơ: u + v ≥ u + v . Như vậy, để dấu " = " xảy ra thì các véc tơ u , v phải thỏa mãn u + v không phụ thuộc t, u , v cùng hướng. Từ ý tưởng đó ta chọn u , v sao cho | u | = A12 + B12 + A 22 + B22 và xác định được M. ⎧ x = 1 + 2t ⎪ Ví dụ: Cho đường thẳng Δ ⎨ y = 1 − t và A(1; 0 ;-1) , B(2; 1;1) ⎪ z = 4t ⎩ uuur uuur 1. Tìm trên Δ điểm M sao cho MA + MB là nhỏ nhất 2. Tìm trên Δ điểm I sao cho 2IA2 + 3IB2 là nhỏ nhất 3. Tìm trên Δ điểm N sao cho NA+ NB là nhỏ nhất 4. Tìm trên Δ điểm K sao cho KA − KB Lời giải: uuur uuur uuur 1. Ta có: MA + MB = 2 MJ với J là trung điểm của AB ⇒ uuur uuur MA + MB nhỏ nhất ⇔ MJ nhỏ nhất ⇔ JM ⊥ Δ hay M là hình chiếu của J trên Δ . uuur Hoặc ta có thể xác định M( 1+ 2t; 1-t; t ) ⇒ MA = (−2t ; −1 + t ; −1 − t ) uuur MB = (1 − 2t ; t ;1 − t ) uuur uuur uuur uuur 2 2 ⇒ MA + MB = (1 − 4t ; 2t − 1 ; −2t ) ⇒ MA + MB = (1 − 4t ) + ( 2t − 1) + 4t 2 = 24t 2 − 12t + 2 1 4 ⎛3 3 1⎞ ⇒M⎜ ; ; ⎟ ⎝2 4 4⎠ ⇒ Xét hàm số f(t) = 24t 2 − 12t + 2 . Có f'(t) = 48t - 12 ⇒ f '(t ) = 0 <=> t = uuur uuur 1 ⎛1⎞ Dễ có : min f (t ) = f ⎜ ⎟ = ..... ⇒ MA + MB nhỏ nhất ⇔ t = 4 ⎝4⎠ ____________________________________________________________________________ Nguyễn Ngọc Minh - Tổ Toán - THPT số 3 Thành phố Lào Cai Phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học không gian 2. I ∈ Δ => I (1 + 2t ; 1 − t ; t ) ⇒ IA2 = 4t2 + (1- t )2 +( t+1)2 = 6 t2 + 2. IB2 = (2t -1)2 + t2 +( t -1)2 = 6 t2 - 6t + 2. ⇒ 2IA2 + 3IB2 = 12t2 + 4+ 18t2 - 18t + 6 = 30t2 - 18t + 10 Bằng cách xét hàm g(t) = 30t2 - 18t + 10 ⇒ g'(t) = 60t - 18 ⇒ g' (t) = 0 ⇔ t = 3 10 ⎛8 7 3 ⎞ ⇒ Dễ có: Điểm I ⎜ ; ; ⎟ thỏa mãn bài toán. ⎝ 5 10 10 ⎠ ( Những vấn đề đơn giản, cơ bản trong khuôn khổ bài viết được bỏ qua việc chứng minh ) 3. Tìm N ∈ Δ sao cho NA + NB nhỏ nhất N ∈ Δ ⇒ N( 1+2t; 1- t; t) NA + NB = 4t 2 + ( t − 1) + ( t + 1) + 2 2 ( 2t − 1) 2 + t 2 + ( t − 1) 2 = 6t 2 + 2 + 6t 2 − 6t + 2 2 ⎛ 1⎞ 1 = 6t + 2 + 6 ⎜ t − ⎟ + ⎝ 2⎠ 2 r r ⎛ v=⎜ 6 Chọn u = 6 t ; 2 ⎝ r r r r ⇒ NA + NB = u + v ≥ u + v 2 ) ( r r ⎛ 6 3 ⎞ 1 1 ⎞ ( − t ); ⇒ u + v = ⎜⎜ ; ⎟ ⎟ 2 2 ⎟⎠ 2⎠ ⎝ 2 6 9 + = 6 4 2 r r 6t 2 1 Dấu "=" xảy ra ⇔ u và v cùng hướng ⇔ = <=> t = 1 − 2t <=> t = 1 3 ⎛1 ⎞ 6⎜ −t⎟ 2 ⎝2 ⎠ = ⎛5 2 1⎞ ⇒ NA + NB nhỏ nhất khi N ⎜ ; ; ⎟ . ⎝ 3 3 3⎠ Chú ý: 1. Từ bài toán trên ta có thể xét bài toán : Tìm GTNN của hàm số: f(x) = 6 x 2 + 2 + 6 x 2 − 6 x + 2 2. Giải phương trình => min f ( x ) = 6 6 x 2 + 2 + 6 x 2 − 6 x + 2 = 6 đưa đến nghiệm x = 1 2 4. |KA-KB| lớn nhất :Hoàn toàn tương tự phần (3) | KA − KB |=| 6t 2 + 2 − 6t 2 − 6t + 2 | 2 ur ur ⎛ 1 ⎞ = 6t 2 + 2 − 6 ⎛⎜ t − ⎞⎟ + chọn véc tơ u = ( 6t; 2 ) ; v = ⎜ 6 ⎛⎜ t − ⎞⎟ t; ⎟ ⎝ 2⎠ 2 ⎝ 2⎠ 2⎠ ⎝ 1 ur ur ⎛ 6 1 ⎞ 1 ur ur 3 1 1 uur uur ur ur ⇒ u − v = ⎜⎜ ; ⎟⎟ => u − v = + = 2 , từ bất đẳng thức véc tơ | u |− | v | ≤ u − v 2 2 2⎠ ⎝ 2 ____________________________________________________________________________ Nguyễn Ngọc Minh - Tổ Toán - THPT số 3 Thành phố Lào Cai Phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học không gian uur uur ur ur ur ur Ta có | KA − KB |= | u |− | v | ≤ u − v = 2 , dấu “=” xảy ra khi hai véc tơ u ; v cùng hướng ⇔ 6t ⎛ 1⎞ 6 ⎜t − ⎟ ⎝ 2⎠ = 2 <=> 1 2 t t− 1 2 =2 ⇔ t=1 ⇒ K(3;0;1) thoả mãn bài toán. Cách 2: (Phần 3) Theo kết quả bài toán trên 1 1 Gọi H và I tương ứng là hình chiếu của A và B trên ∆ ta dễ dàng xác định được I ⎛⎜ 2; ; ⎞⎟ ; ⎝ uuur uur uuur 1 AH uur => KH = − KI => KH = −2KI ; Theo công thức H(1;1;0) ; AH = 2 ; BI = BI 2 ⎛5 2 1⎞ cũng xác định được K ⎜ ; ; ⎟ ⎝ 3 3 3⎠ 2 2⎠ toạ độ điểm chia ta Nhận xét: 1. Cách giải này con đường khá tự nhiên và đi từ mặt phẳng sang, tuy nhiên về lý luận tương đối dài dòng mặc dù là lý luận chung cho các bài toán tương tự, về mặt tính toán cũng khá nhiều (Tính toạ độ hai hình chiếu của A, B, tính độ dài các đoạn thẳng AH, BI, tính toạ độ điểm chia, khi hai hình chiếu có toạ độ không nguyên thì tính toán khá nặng nề so với cách giải trước 2. Cách giải trước ngắn gọn hơn, mở rộng được sang nhiều bài toán như bài toán tìm GTNN và bài toán giải phương trình hay bất phương trình. Nên trong quá trình giới thiệu ta thường phải giới thiệu cách giải có nhiều ưu điểm sau khi giới thiệu cách giải bằng con đường tự nhiên song lại khá phức tạp trong tính toán. Bài toán 9: Cho các điểm A, B, C và mặt phẳng (P) các số thực α, β, γ cho trước sao cho uuuur uuuur uuuur α + β + γ ≠ 0 . Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho α MA + βMB + γ MC đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải: uur uur uur ur Xác định I sao cho αIA + βIB + γ IC = 0 ⇒ dễ dàng xác định được điểm I, khi đó uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur α MA + βMB + γ MC = α + β + γ MI (1) do đó α MA + βMB + γ MC đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của I trên (P) Chú ý : Trong (1) ta sử dụng công thức thu gọn véc tơ, điểm I chính là tâm tỷ cự của hệ 3 điểm A, B, C ứng với bộ 3 số α, β, γ . Ta cũng có thể mở rộng cho hệ n điểmA1, A2, A3,…An. ứng với bộ n số thực αi . Từ bài toán trên ta có thể ra vô số bài toán cụ thể áp dụng. Ví dụ : Trong không gian cho các điểm A(-1;2;3), B(2;3;-2), C(0;-2;-1), D(1;0;1) và mặt phẳng (P) có phương trình : x - y + 2z -1= 0. uuuur uuuur uuuur uuuur Tìm điểm M trên (P) sao cho 2MA − 3MB + 2MC + 3MD nhỏ nhất. ⎧−2 − 2x − 6 + 3x − 2x + 3 − 3x = 0 uur uur uuur uur ur Lời giải: Gọi I(x;y;z) là điểm sao cho 2IA − 3IB + 2IC + 3ID = 0 ⇒ ⎪⎨4 − 2y − 9 + 3y − 4 − 2y − 3y = 0 ⎪ ⎩6 − 2z + 6 + 3z − 2 − 2z + 3 − 3z = 0 ____________________________________________________________________________ Nguyễn Ngọc Minh - Tổ Toán - THPT số 3 Thành phố Lào Cai Phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học không gian Giải hệ phương trình, tìm được I (− 5 ;− 9 ; 13 ) . Theo bài toán trên, ta có uuuur uuuur uuuur uuuur 2MA − 3MB + 2MC + 3MD 4 4 4 = 4 MI đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của I trên (P). Dễ dàng xác định được M (− 7 ;− 7 ; 13 ) . 3 6 12 VII. KẾT QUẢ ĐÃ ĐẠT ĐƯỢC Khi áp dụng đề tài sáng kiến kinh nghiệm này cho đối tượng học sinh ôn thi đại học, tôi nhận thấy: Thứ nhất: Đây là một mảng kiến thức khó và trọng tâm, có thể áp dụng cho diện rộng với đối tượng học sinh ôn thi đại học. Thứ hai: Học sinh hứng thú khi tìm hiểu vấn đề, không còn cảm giác sợ bài toán cực trị trong hình học giải tích, nhiều em còn sôi nổi phát biểu, thảo luận và tìm ra nhiều điều mới mẻ từ đề tài này. Các em có cái nhìn tổng quát và có hệ thống nên vận dụng một cách linh hoạt trong từng bài toán cụ thể. Điều quan trọng là các em định hướng cách giải ngay từ đầu và đều phát hiện ra lời giải ngắn gọn và tối ưu cho mỗi bài toán. Thứ ba: Khi áp dụng xong đề tài này, khả năng vẽ hình của các em khá tốt, trí tưởng tượng không gian phong phú, lối tư duy sâu sắc tạo nền tảng chắc chắn để các em học tiếp mảng kiến thức khác. Kết quả thu được: Đề tài này đã được tôi dần hoàn thiện và áp dụng qua nhiều năm học: Năm 2008: Lớp 12 chuyên Toán và 12 chuyên Hoá trường THPT chuyên Tỉnh Lào Cai qua 2 lần kiểm tra chuyên đề hình học giải tích, trước và sau khi áp dụng có nội dung này. Lớp 12 Toán 12 Hoá Trước khi áp dụng Số học sinh kiểm tra Số học sinh làm được. 35 6 34 3 Sau khi áp dung Số học sinh kiểm Số học sinh làm được. tra 35 29 33 22 Năm 2009: Lớp 12 chuyên Lý qua 2 lần kiểm tra chuyên đề hình học giải tích, trước và sau khi áp dụng có nội dung này. Lớp 12 Lý Trước khi áp dụng Số học sinh kiểm tra Số học sinh làm được. 33 4 Sau khi áp dung Số học sinh kiểm Số học sinh làm được. tra 33 24 Năm 2011: Lớp 12 A1 trường THPT số 3 TPLC qua 2 lần kiểm tra chuyên đề hình học giải tích, trước và sau khi áp dụng có nội dung này. Lớp 12A1 Trước khi áp dụng Số học sinh kiểm tra Số học sinh làm được. 25 1 Sau khi áp dung Số học sinh kiểm Số học sinh làm được. tra 25 16 ____________________________________________________________________________ Nguyễn Ngọc Minh - Tổ Toán - THPT số 3 Thành phố Lào Cai Phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học không gian Như vậy có thể kết luận sau khi áp dụng đề tài sáng kiến kinh nghiệm này học sinh đã tự tin,tỷ lệ học sinh làm được bài toán này là rất cao so với trước khi áp dụng. VIII. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đã giải quyết được một số vấn đề sau 1.Giúp học sinh có cái nhìn tổng quát và có hệ thống về bài toán cực trị trong hình học giải tích, từ đó có kỹ năng giải thành thạo các bài toán thuộc chủ đề này và hơn thế có thể làm công cụ để giải một số loại bài toán khác như bất đẳng thức, giải phương trình…. 2. Giải quyết được tương đối triệt để bài toán cực trị hình học trong hình học giải tích. 3. Thông qua việc phân tích, tìm con đường tối ưu cho bài toán, mở rộng bài toán tạo cho các em khả năng làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần đổi mới phương pháp của Bộ giáo dục và đào tạo. Điều quan trong là tạo cho các em niềm tin, khắc phục được tâm lý sợ bài toán cực trị hình học. Qua thực tế giảng dạy chuyên đề này tôi thấy các em học sinh không những nắm vững về phương pháp, biết cách vận dụng vào những bài toán cụ thể mà còn rất hứng thú khi học chuyên đề này. Một số đề xuất Mỗi bài toán thường có nhiều cách giải, việc học sinh phát hiện ra những cách giải khác nhau cần được khuyến khích. Song trong những cách giải đó cần phân tích rõ ưu điểm và hạn chế từ đó chọn được cách giải tối ưu. Đặc biệt cần chú ý tới những cách giải bài bản, có phương pháp và có thể áp dụng phương pháp đó cho nhiều bài toán khác. Với tinh thần như vậy và theo hướng này các thầy cô giáo và các em học sinh có thể tìm ra được nhiều kinh nghiệm hay với đề tài khác nhau. Chẳng hạn, các bài toán về ứng dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất theo bất đẳng thức véc tơ vào bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong giải tích, giải phương trình hay bất phương trình… LỜI KẾT: Trên đây là một vấn đề nhỏ về nội dung bài toán cực trị hình học mà tôi muốn đề cập đến. Điều tôi muốn làm ở đây là một số phương pháp tìm lời giải cho bài toán, qua đó xây dựng các bài toán mới. Từ đó giúp các em học sinh hiểu sâu, hiểu rõ vấn đề và thấy rằng việc giải các bài toán như trên nhẹ nhàng hơn rất nhiều. Qua đúc rút những kinh nghiệm trong giảng dạy các đối tượng học sinh, tôi đã áp dụng và đánh giá là học sinh đã tiếp nhận những kiến thức trên và đạt kết quả nhất định. Tuy nhiên cũng không tránh khỏi những sai sót, hạn chế. Tôi rất mong nhận những đóng góp của tổ chuyên môn, các bạn đồng nghiệp và cả các em học sinh. Xin cảm ơn mọi ý kiến phê bình và đóng góp. Tôi sẽ vẫn tiếp tục hoàn thiện vấn đề và sẽ có thêm những ý tưởng mới. Đánh giá của tổ chuyên môn Lào Cai, ngày 20 tháng 4 năm 2011 Người thực hiện Nguyễn Thị Ngọc Minh ____________________________________________________________________________ Nguyễn Ngọc Minh - Tổ Toán - THPT số 3 Thành phố Lào Cai