Tài liệu Phương pháp giải các phương trình quy về phương trình bậc hai skkn loại a cấp tỉnh

  • Số trang: 23 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 356 |
  • Lượt tải: 1
hoanggiang80

Đã đăng 20010 tài liệu

Mô tả:

Phương pháp giải các phương trình quy về phương trình bậc hai_SKKN loại A cấp tỉnh
PHẦN MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Dù đã trải qua hơn hai ngàn năm nhưng toán học đã chứng tỏ mình như  một đỉnh cao trí tuệ của con người, xâm nhập vào hầu hết các ngành khoa học và  là nền tảng của nhiều lý thuyết khoa học quan trọng. Ngày nay với thời đại công  nghiệp tiên tiến và sự phát triển như vũ bão của công nghệ thông tin thì vai trò  của toán học càng trở nên quan trọng và cần thiết hơn bao giờ hết.  Trong quá trình giáo dục tri thức cho học sinh, thì việc dạy đúng, đủ theo  chuẩn  kiến  thức kỹ  năng  của  chương  trình  đào tạo  là  nhiệm  vụ  trọng  tâm  của  mỗi  người  giáo  viên  đứng  lớp.  Song,  bên  cạnh  đó  một  nhiệm  vụ  cũng  không  kém phần quan trọng và cần thiết đối với các trường trung học cơ sở đó là việc  bồi  dưỡng,  đào  sâu  kiến  thức  mở  rộng,  nâng  cao  cho đối  tượng  học  sinh  khá  giỏi. Việc bồi dưỡng đó giúp các em không chỉ nắm vững kiến thức, kỹ năng cơ  bản mà còn rèn thói quen suy nghĩ,  tìm  hiểu,  suy luận,  giải quyết một vấn  đề,  một bài toán khó một cách chặt chẽ, logic. Từ đó rèn cho các em trí thông minh,  sáng tạo, niềm yêu thích, hứng thú đối với bộ môn Toán.    Qua một thời gian giảng dạy bộ môn Toán  lớp 9 ở trường trung học cơ sở  thị trấn Than Uyên, huyện Than Uyên, tỉnh Lai Châu, tôi nhận thấy, phần kiến  thức về “Phương trình bậc hai”, “Phương trình quy về phương trình bậc hai” là  phần kiến thức trọng tâm, cơ bản, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển  sinh vào lớp 10, thi học sinh giỏi các cấp. Do đó tôi thấy học sinh cần nắm thật  vững mảng kiến thức này, đặc biệt đối với học sinh khá giỏi thì giáo viên giảng  dạy cũng như giáo viên bồi dưỡng cần giúp các em có cái nhìn rõ nét, đầy đủ về  phương trình bậc hai và các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai.     Nhận thức được tầm quan trọng của vấn đề, sau khi nghiên cứu kỹ lưỡng  một số tài liệu có liên quan, tôi mạnh dạn đưa ra một hệ thống các kiến thức, các  dạng phương trình quy về phương trình bậc hai và cách giải. Tôi hy vọng rằng đề  tài này ít nhiều sẽ giúp ích được thầy cô và các em học sinh khi bồi dưỡng mảng  kiến thức về phương trình bậc hai. Đó chính là lý do tôi chọn “Phương pháp giải các phương trình quy về phương trình bậc hai” làm đề tài nghiên cứu của mình  trong hai năm học vừa qua.   II. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 1. Phạm vi nghiên cứu - Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai trong chương trình  Đại số 9 THCS.    1 2. Đối tượng nghiên cứu - Một  số  kiến  thức  về  phương  trình  bậc  hai.  Một  số  phương  trình  quy  được về phương  trình  bậc  hai trong  chương  trình Đại  số 9  trung  học  cơ  sở  và  phương pháp giải.  III. Mục đích nghiên cứu Nhằm mục đích nâng cao, mở rộng hiểu biết cho học sinh nhất là việc bồi  dưỡng học  sinh giỏi,  giúp các em  có cái nhìn đầy đủ hơn về phương trình bậc  hai, phương trình  quy  về phương trình  bậc hai.  Qua  đó  giúp học  sinh  có điều  kiện hoàn thiện các phương pháp về giải phương trình và rèn luyện tư duy sáng  tạo cho học sinh.  IV. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu Đã áp dụng trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi năm học 2011 - 2012,  2012 - 2013 và thu được những kết quả khả quan, thu hút được sự chú ý, tăng  cường tính sáng tạo, tư duy của học sinh.  2   PHẦN NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận Trong chương trình giáo dục phổ  thông, Toán học là một môn khoa học  quan trọng, là thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông mỗi con  người.  Với  các  đặc  trưng  là  suy  luận,  tính  toán,  chứng  minh,  phân  tích,  tổng  hợp, so sánh, môn toán có tiềm năng khai thác góp phần phát triển năng lực trí  tuệ, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy.   Để giải các bài toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức cơ bản cũng cần  có phương pháp  suy  nghĩ  khoa  học  cùng với những kinh  nghiệm  cá  nhân  tích  lũy được trong quá trình học tập, rèn luyện. Trong môn toán ở trường trung học  cơ sở có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật toán để giải. Đối với  những bài toán ấy, người giáo viên cần phải cố gắng hướng dẫn học sinh cách  suy nghĩ, tìm tòi lời giải.  Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ  thi học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông, chuyên  đề về  phương pháp giải một số phương trình quy về phương trình bậc hai là một  chuyên đề hay và lý thú, thu hút được đông đảo thầy cô và học sinh quan tâm.   1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số Ở  chương  trình  toán  9  THCS,  định  nghĩa  phương  trình  bậc  hai  một  ẩn  được trình bày như sau: Phương trình bậc hai đối với ẩn  x  R  là phương trình có  dạng: ax2 + bx + c = 0 (a    0).  2. Một số kiến thức và kỹ năng cần nắm được khi giải phương trình bậc hai - Các quy tắc tính toán với các biểu thức đại số.  - Các hằng đẳng thức đáng nhớ.  - Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.  - Kiến thức về giá trị tuyệt đối.  - Kỹ năng tìm tập xác định của một biểu thức.  - Kỹ năng biến đổi các biểu thức.  - Kỹ năng giải và biện luận phương trình.  II. Thực trạng vấn đề 1. Thuận lợi  Với đặc điểm phân chia các lớp theo lực học tại trường trung học cơ sở thị  trấn Than Uyên, thì việc các em học sinh đang theo học tại các lớp chọn muốn đào  sâu, mở rộng kiến thức là điều dễ dàng nhận thấy và cần được khích lệ, biểu dương.  3   Trong chương trình toán THCS phần kiến thức về phương trình, phương  trình  bậc  hai  được  đông  đảo  học  sinh  yêu  thích,  say  mê  tìm  hiểu.  Các  dạng  phương trình quy được về phương trình bậc hai trong chương trình toán THCS  tuy rất đa dạng và phong phú nhưng mỗi dạng đều có những đặc điểm riêng, dễ  dàng nhận biết, đồng  thời mỗi dạng phương trình đều có một phương pháp giải  cụ thể, phù hợp với từng dạng bài.  2. Khó khăn * Về phía giáo viên:   Căn cứ vào thực tế giảng dạy tại nhà trường, tôi nhận thấy phần kiến thức  về phương trình và phương trình quy về phương trình bậc hai ở trường trung học  cơ sở chưa được giáo viên thường xuyên quan tâm  và đề cập đến nhiều.  Trong  quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, phần kiến thức này giáo viên thường chuẩn bị  chưa chu đáo, còn tự biên soạn tài liệu giảng dạy, hoặc dựa vào quá nhiều tài liệu  tham khảo, còn bị động trước các tình huống học sinh đưa ra, gây không ít khó  khăn cho cả người dạy và người học.  Có thể khẳng định rằng phương trình quy về phương trình bậc hai là một  trong  những  kiểu  bài  tương  đối  khó với giáo  viên.  Khó  khăn  trước  hết là  khó  khăn về kiến thức, về phương pháp. Khó khăn trong việc  hướng dẫn học sinh  phát hiện vấn đề, làm sao để chỉ trong một vài tiết có thể giúp học sinh nhận biết  thành  thạo  các  dạng  phương  trình  quy  được  về  phương  trình  bậc  hai  và  cách  giải, chỉ trong một số tiết mà dung lượng kiến thức không ít, có rất nhiều dạng  toán, rất nhiều vấn đề cần đề cập nâng cao. Giáo viên phải làm sao để giờ học  vừa truyền thụ đủ kiến thức cho học sinh để học sinh có “nghệ thuật giải phương  trình”  vừa  cô  đọng,  tập  trung  vào  phương  pháp  giải  đồng  thời  tránh  được  sự  giảng giải nhàm chán và cuốn hút học sinh. Vậy nguyên nhân do đâu?          Thứ nhất: Các tài liệu về phương trình quy về phương trình bậc hai để giáo  viên  tham khảo  còn  rất  hiếm  nên  giáo  viên  ít  có  cơ  hội  để bổ  sung  kiến thức,  phương pháp.           Thứ hai:  Do  giáo  viên  chưa  tìm  được  phương  pháp  tối  ưu,  chưa  đầu  tư  nhiều để suy nghĩ đưa ra hệ thống những lời chỉ dẫn cần thiết cho học sinh trong  các tiết học.          * Về phía học sinh: Với giáo viên, việc giúp học sinh lĩnh hội phương pháp giải các phương  trình quy về phương trình bậc hai là khó thì với học sinh kiểu bài này còn khó  hơn rất nhiều.   4         Việc học tập các phương pháp tổng quát và đặc biệt để giải các bài toán, việc  hình thành kỹ năng và kỹ xảo vận dụng toán học vào những sự kiện khác nhau  trong đời sống như ta đã biết có một ý nghĩa quan trọng.        Học sinh trong khi nghiên cứu toán học các em có những kiến thức nội dung  tài  liệu  học  tập,  các  em  hiểu  các  định  lý  và  quy  tắc  nhưng  không  hiểu  các  phương pháp chung để giải các bài toán. Bởi vì các thủ thuật ấy không được nêu   rõ và hình thành trong bản thân khoa học.        Điều quan trọng không chỉ thông báo cho học sinh những thông tin về những  thủ thuật và phương pháp ấy mà phải làm sao cho học sinh hiểu thấu đáo những  kiến thức thu được về phương pháp. Điều này là bắt buộc bởi lẽ sách giáo khoa  và tuyển tập tài liệu dùng cho học sinh hiện nay không có đầy đủ những chỉ dẫn  liên quan đến phương pháp nhận thức riêng và lôgic đại cương áp dụng cho khi  nghiên cứu toán học ở nhà trường.        Những chỉ dẫn tản mạn của giáo viên thông thường học sinh không nhớ và  hệ thống hóa được. Vì thế tất cả những chỉ dẫn đó chỉ trông cậy vào trí nhớ của  học sinh, học sinh lại nhanh quên. Mặc dù trong sách giáo khoa đã có một số bài  tập giải mẫu và một vài chỉ dẫn giải phương trình  nhưng những hướng dẫn đó  chưa cung cấp cho học sinh đầy đủ những cơ sở vững chắc để nắm vững cách  giải các bài toán.   Còn một số nguyên nhân khác khiến học sinh giải chưa tốt phương trình  quy về phương trình bậc hai, đó là:  -  Học  sinh  còn  yếu  về  kỹ  năng  phát  hiện  phương  trình  quy  về  phương  trình  bậc  hai,  khi  đứng  trước  một  phương  trình  học  sinh  không  biết  được  phương trình đó có đưa về phương trình bậc hai được hay không, nguyên nhân  là do học sinh chưa nắm rõ, chưa phân biệt được các dạng phương trình quy về  phương trình bậc hai.  -  Khi  đứng  trước  một  phương  trình  học  sinh  còn  nhầm  lẫn  về  phương  pháp giải giữa phương trình này với phương trình kia.  -  Một  số  học  sinh  không  hiểu  giải  một  bài  toán  là  như  thế  nào.  Vì  thế  không giải đầy đủ, không biết nghiệm của phương trình tìm được có là đáp số  của bài toán này không.    Trước  khi  tiến  hành  bồi  dưỡng,  nghiên  cứu  chuyên  đề  này,  tôi  đã  tiến  hành kiểm tra khảo sát nhằm đánh giá khả năng vốn có của học sinh. Mặt khác  lưu giữ kết quả để đánh giá từng bước tiến bộ của học sinh.     Dưới đây là đề kiểm tra khảo sát:   5   Câu 1.  Giải phương trình:  2x 2  1 x 7x 1     3x 2x  1 6 Câu 2.  Giải phương trình:  3( x 2  x)2  2( x 2  x) 1  0   Giải 1 2 Câu 1: Điều kiện xác định của phương trình: x    0; x         Phương trình đã cho tương đương với:       2(2x 2 + 1)(2x - 1) + 6x 2 = x(2x - 1)(7x - 1)  3 2  6x  - 11x  - 3x + 2 = 0  2  (6x  + x - 1)(x - 2) = 0  1 1  2 6x   x  1   0     x  ;  x  1 2  2 3      x    2   0  x 3   2 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 =  1 1 ; x2 =  ; x3 = 2.  2 3 Câu 2: 3( x 2  x)2  2( x 2  x) 1  0      t1  1 Đặt x + x = t, ta có  3t  2t 1  0       t2  1  3   Với t1 = 1, ta có: x2 + x =1 hay x2 + x – 1 = 0  2 2   Giải ra ta được:  x1  1 3 1  5 1  5 x2  ;    2 2 1 3 1 3           Với  t2  =  , ta có  x 2  x    hay  x 2  x   0   Phương trình này vô nghiệm.  Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:  x1  1  5 1  5 ; x2    2 2 Kết quả thu được: BẢNG 1 ĐỐI TƯỢNG I NĂM HỌC Số lượng % ĐỐI TƯỢNG II Số lượng % ĐỐI TƯỢNG III Số lượng % 2011 - 2012  6  30  10  50  4  20  2012 - 2013  7  30,4  11  47,9  5  21,7  6   Đối chiếu kết quả thu được sau hai năm như sau: - Đối tượng I: Các em chỉ mới làm được bài 1 nhưng thiếu kết luận nghiệm:  + Năm học 2011 - 2012: 6/20 em chiếm tỷ lệ 30%;   + Năm học 2012 - 2013: 7/23 em chiếm tỷ lệ 30,4%.    - Đối tượng II: Các em làm hoàn thiện bài 1 nhưng bài 2 chưa biết cách  đặt ẩn phụ:  + Năm học 2011 - 2012: 10/20 em chiếm tỷ lệ  50%;  + Năm học 2012 - 2013: 11/23 em chiếm tỷ lệ  47,9%.      - Đối tượng III: Các em đã biết làm cả hai bài nhưng lập luận chưa chặt chẽ: + Năm học 2011 - 2012: 4/20 em chiếm tỷ lệ  20%;   + Năm học 2012 - 2013: 5/23 em chiếm tỷ lệ  21,7%.    Từ thực trạng trên, để học sinh có định hướng rõ nét, đồng thời trang bị  cho  các  em  hệ  thống  phương  pháp  giải  các  dạng  phương  trình  quy  được  về  phương trình bậc hai, nhằm mục đích giúp các em khi đứng trước một phương  trình bất kỳ có thể dễ dàng định hướng được cách giải tôi đã đề ra các biện pháp  như sau:  III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 1. Nhắc lại định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số a) Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với ẩn  x  R  là phương trình có  dạng ax2 + bx + c = 0 (a    0) (1)   b) Cách giải: Tính    b2  4ac   Nếu    0  thì phương trình (1) vô nghiệm.  Nếu    0  thì phương trình (1) có nghiệm kép  x1  x2   b .  2a Nếu    0  thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:  x1  b   b   .  , x2  2a 2a c) Định lý Viet về dấu các nghiệm.  Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn  x  R :  ax 2  bx  c  0  a  0   có hai  nghiệm  x1 , x2  thì  S  x1  x2  b c , P  x1.x2  .  a a Dấu các nghiệm:   Phương trình  ax 2  bx  c  0  a  0   có hai nghiệm trái dấu     P  0     0   P  0 Phương trình  ax 2  bx  c  0  a  0   có hai nghiệm cùng dấu    7     0 Phương trình  ax  bx  c  0  a  0   có hai nghiệm cùng dương    P  0   S  0  2   0 Phương trình  ax  bx  c  0  a  0   có hai nghiệm cùng âm    P  0   S  0  2 2. Giải và biện luận phương trình bậc hai  Phương trình bậc hai có dạng tổng quát là:  ax 2  bx  c  0  a  0   (1)  Giải  và  biện  luận phương  trình  bậc  hai  ở  dạng  tổng  quát  ta  tiến  hành  như sau:  Tính biệt thức    b2  4ac , căn cứ vào đó để biện luận theo tham số:   Nếu    0  thì phương trình (1) vô nghiệm.  Nếu    0  thì phương trình (1) có nghiệm kép  x1  x2   b .  2a Nếu    0  thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:  x1    b   b   .  , x2  2a 2a Khi b  chẵn  ta có  thể  kết  luận  số  nghiệm  của  phương  trình bậc  hai  qua  b 2 biệt số thu gọn   '  với   '  b '2  ac ;  b '       '  > 0: phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: x1,2 =    ' = 0: phương trình bậc hai có nghiệm kép x1 = x 2 =     ' < 0: phương trình bậc hai vô nghiệm.  b '  ' .  a b ' .  a Các bài toán về phương trình bậc hai rất phong phú và đa dạng. Để giải được  các bài toán đó phải khéo léo kết hợp giữa việc vận dụng các kết quả đã biết về  phương trình bậc hai đặc biệt là định lý Viet, với đặc thù riêng của phương trình đã  cho mà biến đổi cho phù hợp.  3. Các dạng phương trình quy được về phương trình bậc hai Trong trường phổ thông ta thường gặp một số dạng phương trình quy về  phương trình bậc hai như sau:  - Phương trình chứa ẩn ở mẫu.  - Phương trình bậc 3.  - Những phương trình bậc cao quy được về phương trình bậc hai bao  gồm:    +) Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0.  8   +) Phương trình dạng: (x + a)4 + (x  + b)4  = c.  +) Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m.  +) Phương trình giải bằng cách  đặt ẩn phụ.  +) Phương trình dạng ax4 + bx3 + cx2    kbx + k2a = 0.  +) Phương trình giải bằng cách đưa về dạng tích. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Phương  trình  chứa  ẩn  ở  mẫu  là  phương  trình  chứa  ẩn  ở  mẫu  thức  của  phương trình.  a) Cách giải :    + Tìm tập xác định của phương trình.    + Quy đồng, khử mẫu.      + Biến đổi đưa phương trình về dạng: ax2 + bx + c = 0 (a    0) (1).    + Giải phương trình dạng (1).    + Kiểm tra kết quả, kết luận số nghiệm của phương trình.  b) Ví dụ:   Giải phương trình:  x 2  12  36 24  4x   5    2 x x Giải x 2  12  36 24  4x   5 (1)   2 x x 36   6    x 2  2   4  x    17  0   x   x  6 x Đặt  t = x -     x 2  36  = t2 + 12  x2 Ta được phương trình trung gian:  t2 - 4t - 5 = 0   Giải phương trình này ta được t1 = -1; t2 = 5  6 x   +) Với t1 = -1   x -   = -1    x1 = 2; x2 = -3    +) Với t2 = 5   x -   = 5    x3 = 6; x4 = -1    Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: x1 = 2; x2 = -3; x 3 = 6; x4 = -1  6 x c) Nhận xét:  - Dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu thức là dạng phương trình rất  thường  gặp ở trường phổ thông đặc biệt là trung học cơ sở.  9   Khi giải dạng phương trình này học sinh thường gặp những khó khăn sau:  + Tìm điều kiện xác định của mẫu thức.  + Tìm mẫu thức chung.  + Quy đồng, khử mẫu.  - Khi giải dạng phương trình này cần lưu ý học sinh: Trước tiến cần tìm tập  xác định của phương trình, sau khi giải tìm được nghiệm  phải kiểm tra, đối  chiếu kết quả với tập xác định và kết luận số nghiệm của phương trình.  DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Phương trình bậc ba một ẩn số là phương trình có dạng tổng quát:  ax3 + bx2 + cx + d = 0 (trong đó x là ẩn số, a, b, c, d là các hệ số, a    0).  a) Cách giải:    Để  giải  một  phương  trình  bậc  ba,  thông  thường  ta  phải  biến  đổi  đưa  về  phương trình tích, ở đó vế trái là tích của một nhân tử bậc nhất với một nhân tử bậc  hai, còn vế phải bằng 0. Để làm tốt điều này học sinh cần có kỹ năng phân tích đa  thức thành nhân tử đã được tìm hiểu ở chương trình toán lớp 8.    1 3 b) Ví dụ: Giải phương trình: x3 – x2 – x =   (2)  Giải Phương trình (2) tương đương với: 3x3 – 3x2 – 3x = 1  3 3 2    4x  = x  + 3x  + 3x + 1     ( 3 4 x)  = ( x+1)      Vậy phương trình (2) có một nghiệm  x    c) Nhận xét:  3 3 3  4 x = x + 1   x  1    3 4 1 1 .   3 4 1 - Đối với dạng phương  trình  này chủ yếu dùng phương pháp phân tích đa  thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích, ta sẽ được một  phương trình mà vế trái gồm các phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai đã  biết cách giải.  - Lưu ý: Nếu phương trình bậc 3:  ax 3  +  bx 2 + cx  +  d  =  0 (a   0) có:    +) a  +  b  +  c  +  d = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 = 1    +) a  –  b  +  c  –  d = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1  = -1  10   DẠNG 3: NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO QUY ĐƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI   3.1. Phương trình trùng phương: Dạng tổng quát: ax4  + bx2  + c = 0    (trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số,  a  0 )     a) Cách giải:  - Đặt  x2 = t,  ta được phương trình bậc hai trung gian: at2 + bt + c = 0    - Giải phương trình bậc hai trung gian này, ta tìm được t  - Sau đó thay x 2 = t  để tìm x.      b) Ví dụ: Giải phương trình:  2 x 4  3x 2  2  0  (3)  Giải - Đặt  x 2  t     (t  0)  ta có phương trình trung gian ẩn t:    2t 2  3t  2  0   t1  2  t 2   1 2      1 t 2   (loại)  2   Với t1 = 2    x 2 = 2   x =   2     Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x =   2   c) Nhận xét:  Khi giải tìm nghiệm của phương trình trùng phương, ta cần lưu ý một số  điểm như sau:  - Phương  trình trùng  phương  vô  nghiệm  trong  trường  hợp  phương  trình  bậc  hai  trung  gian  vô  nghiệm  hoặc  phương  trình  bậc  hai  trung  gian  có  hai  nghiệm cùng âm.  -  Phương  trình  có  nghiệm  khi  phương  trình  bậc  hai  trung  gian  có  hai  nghiệm,  có  nghiệm  kép  dương  hoặc  phương  trình  bậc  hai  trung  gian  có  hai  nghiệm trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm âm.  3.2. Phương trình dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c (c > 0)  (trong đó x là ẩn, a, b, c là các hệ số)  ab   2   a) Cách giải: Ta đặt t = x +    Khi đó mọi phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4  = c (c > 0) đều đưa được  về dạng phương trình trùng phương (At4 + Bt2 + C = 0)      Phương trình này là phương trình trùng phương đã biết cách giải.   11   b) Ví dụ: Giải phương trình   x  14  x  34  16  (4)    Giải Đặt t = x + 2  Ta được phương trình trung gian ẩn t: (t – 1)4 + (t +1)4 = 16  Khai triển và rút gọn ta được:        2t4 + 12t2 + 2 = 16   t4 + 6t2 – 7 = 0  Đặt z = t2  > 0, ta được phương trình: z2 + 6z – 7 = 0  Giải phương trình này ta được: z1 = 1; z2 = -7 (loại)   Với z1 = 1, ta giải phương trình t2 = 1.   Ta được hai nghiệm: t1 = 1; t2 = -1, tương ứng x 1 = -1; x2 = -3  c)  Nhận xét:  Như  vậy,  để  giải  phương  trình  dạng:  x  a 4  x  b 4  c   ta  đặt:  t  x  ab , khi đó ta đưa phương trình dạng  x  a 4  x  b 4  c  về phương  2 trình trung gian là phương trình trùng phương có dạng tổng quát:  t 4  Bt 2  C  0   Bằng phép đặt t2  = X với X  0 ta đưa phương trình về phương trình bậc  hai trung gian: X2 + BX + C = 0  Số nghiệm của phương trình  x  a 4  x  b 4  c  phụ thuộc vào số nghiệm  của phương trình trung gian X2 + BX + C = 0  -  Nếu  phương  trình  bậc  hai  trung  gian  vô  nghiệm  hoặc  có  nghiệm  nhưng  nghiệm đó là nghiệm âm thì phương trình trùng phương  t 4  Bt 2  C  0  vô nghiệm, do  đó phương trình   x  a 4   x  b 4  c  vô nghiệm. Nếu phương trình bậc hai trung gian  có nghiệm không âm X0 thì phương trình ban đầu có nghiệm:  ab 2   ab x2   x0  2 x1  x0  - Ta thấy, số nghiệm của phương trình ban đầu phụ thuộc vào số nghiệm  của  phương  trình  trùng  phương,  do  đó  phụ  thuộc  vào  số  nghiệm  của  phương  trình bậc hai trung gian.  3. 3. Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (trong đó: a + c = b + d hoặc a + b = c + d hoặc a + d = b + c)  a) Cách giải:   Nhóm (x + a) với (x + d); (x + b) với (x + c) khai triển tích đó.     12     Ta đưa phương trình đã cho về dạng:   x 2   a  d  x  ad   x 2   b  c  x  bc   m   Do a + d = b + c đặt  x2 + (a + d)x + k = t (với k = ad hoặc k = bc)   Ta đưa phương trình về dạng: At2 + Bt + C = 0  Giải phương trình này ta tìm được nghiệm t của phương trình.  Thay x2 + (a + d)x + ad = t  Giải phương trình này ta tìm được nghiệm x của phương trình ban đầu  Nếu phương trình At2 + Bt + C = 0 vô nghiệm thì phương trình đầu cũng  vô nghiệm.  b) Ví dụ: Giải phương trình:   (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) = 9 (5)  Giải Nhận thấy  5 + (-1) = 1 + 3   [(x – 1)(x + 5)][(x + 1)(x + 3)] = 9  2 2  (x  + 4x – 5)(x  + 4x + 3) = 9  2 2 2  (x  + 4x – 5)  + 8(x  + 4x – 5) – 9 = 0  Đặt  x2 + 4x – 5 = t.  Ta được phương trình: t2 + 8t – 9 = 0  Giải ra ta được: t1 = 1; t2 = -9  x1  2  10 Phương trình (5) có nghiệm:  x2  2  10   x3  2 c) Nhận xét: Như vậy, để giải phương trình dạng trên, ta cần nhóm hợp lý  sau đó đổi hệ số, khai triển, biến đổi mỗi nhóm để đưa về phương trình bậc hai  trung  gian.  Căn  cứ  vào  số  nghiệm  của  phương  trình  bậc  hai  trung  gian để  kết  luận số nghiệm của phương trình ban đầu.    3.4. Phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ: a) Cách giải:  - Tìm điều kiện xác định của phương trình.  - Đặt  ẩn  phụ,  ta được  phương  trình  trung  gian,  tìm  nghiệm của  phương  trình trung gian.  - Trở về ẩn ban đầu, tìm nghiệm của phương trình ban đầu.    b) Ví dụ: Giải phương trình:   (x2 + 2x + 3)2  - 9(x 2 + 2x + 3) + 18 = 0 (6)  13   Giải 2   Đặt x  + 2x + 3 = t    Ta được phương trình ẩn t: t2 – 9t + 18 = 0     Giải phương trình này ta được: t1 = 3; t2 = 6.     Từ đó, thay vào cách đặt ban đầu ta được hai phương trình:      +) x2 + 2x + 3 = 3  Giải phương trình ta được: x1 = 0; x 2 = -2    +) x2 + 2x + 3 = 6    Giải phương trình ta được: x3 = 1; x 4 = -3      Vậy phương trình (6) có 4 nghiệm x1 = 0; x2 = -2; x3 = 1; x 4 = -3.  c) Nhận xét: Với dạng phương trình này cần chú ý cho học sinh tìm điều  kiện  xác  định  của  phương  trình.  Quan  sát  kỹ  phương  trình  ban  đầu  để  tìm  ra  cách đặt ẩn phụ đưa về phương trình trung gian.  Sau khi  tìm được nghiệm đối  với phương trình trung gian cần đưa về phương trình ban đầu để tìm nghiệm của  phương trình ban đầu, so sánh với điều kiện xác định của phương trình để có kết  luận nghiệm chính xác.    3.5. Phương trình dạng ax4+ bx3 + cx2  kbx + k2a = 0 (Phương trình đối xứng)  a) Cách giải:  Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của  phương trình cho x2 ta được:      k2 k a ( x  2 )  b( x  )  c  0   x x 2 k x đặt  t  x   t 2  x 2  k2 k2 2  2 k  x   t 2  2k   2 2 x x 2 Ta có phương trình bậc hai:  a (t  2k )  bt  c  0   b) Ví dụ: Giải phương trình: x4 + 5x3 – 12x2 + 5x + 1 = 0 (7)  Giải Vì  x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế cho x2 ta được:   (x2  1 1 )  5( x  )  12  0  (7’)  2 x x 1 x Đặt: x   t    7 '  t 2  2  5t  12  0           t 2  5t  14  0   14         1 = -7, t2 = 2   Giải phương trình ta được t   +) Với t1 = -7    1  x   7  x 2  7 x  1  0     x Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =     7  45  7  45  ; x2 =     2 2 +) Với t2 = 2   x 1  2  x2  2x  1  0   x  Phương trình có nghiệm kép x3 = x 4 = 1  Vậy phương trình đã cho có các nghiệm cần tìm:   x 1 =   7  45  7  45 ; x 2 =  ; x 3  = x 4 = 1  2 2 c) Nhận xét:  -  Để  giải  phương  trình  đối  xứng  như  trên  ta  dùng  những  phép  biến  đổi  tương  đương  và  “đổi  biến”  để đưa  về  phương  trình  bậc  hai  trung  gian  rồi  trả  biến sẽ tìm được nghiệm phương trình ban đầu .  -  Số  nghiệm  của  phương  trình  đối  xứng  phụ  thuộc  vào  số  nghiệm  của   phương trình bậc hai.  3.6. Phương trình giải bằng cách đưa về dạng tích Ví dụ: Giải phương trình:              5x2 – 4(x2 – 2x + 1) - 5 = 0 (8)  Giải 2 2            5x  – 4(x  – 2x + 1) - 5 = 0         5(x2 – 1) – 4(x – 1)2 = 0   x1  1    x2  9              (x – 1)(x + 9) = 0         IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm Sau khi thực hiện đề tài trên tôi nhận thấy,  khi gặp các phương trình có  thể đưa  về phương trình bậc hai các em đều giải một cách thành thạo,  say mê  hứng thú, kích thích được niềm đam mê, sáng tạo của học sinh.    Một điều đáng mừng hơn cả là kết quả thu được qua các bài kiểm tra. Chất  lượng bài kiểm tra sau bao giờ cũng cao hơn, trình bày chặt chẽ hơn bài kiểm tra  trước về trình độ nhận thức, về phương pháp giải, về tính thông minh sáng tạo.     Để kiểm tra khả năng lĩnh hội của học sinh, tôi cho các em làm một số bài tập  như sau:   15     Giải phương trình: Câu 1. 2 x3  5 x 2  8x  3  0   Câu 2. x4    3x3 + 4x2    3x + 1 = 0   Giải  Câu 1: Nhân cả hai vế với 2  ta có:  23.x3 - 5.22.x2 + 16.2x - 12 = 0    Đặt t = 2x   2 3 2   t  - 5t  + 16t - 12 = 0      t = 1    x =    1 2 Vậy phương trình có nghiệm: x =  1 2 Câu 2. Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả  hai vế của phương trình cho x2 ta được:  1  2 1    x  2   3 x    4  0   x   x  1 x Đặt t =  x  ; điều kiện  t  2    2   t  – 3t + 2 = 0  t1  1    t2  2 Nghiệm t1 = 1 loại do không thỏa mãn điều kiện  t  2   1 x Với t2 = 2  x   = 2   x = 1  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1  Kết quả thu được qua bài kiểm tra thật đáng phấn khởi như sau:                                       Kết quả thu được: BẢNG 2  ĐỐI TƯỢNG I NĂM HỌC Số lượng % ĐỐI TƯỢNG II Số lượng % ĐỐI TƯỢNG III Số lượng % 2011 - 2012  1  5  7  35  12  60  2012 - 2013  2  8,7  7  30,4  14  60,9  16   Đối chiếu kết quả thu được sau hai năm như sau: Đối tượng I: Ở bài tập 1,2 đã biết vận dụng phương pháp giải đã được học  để tìm nghiệm của phương trình nhưng ở bài 2 chưa đối chiếu với điều kiện  t  2 .  Năm học 2011-2012: 1/20 em chiếm tỷ lệ 5%  Năm học 2012-2013: 2/23 em chiếm tỷ lệ  8,7%   Đối tượng II: Các em  đã  làm được  bài  1  và  bài 2,  nhưng lập  luận còn  chưa được chặt chẽ.   Năm học 2011-2012: 7/20 em chiếm tỷ lệ 35%  Năm học 2012-2013: 7/23 em chiếm tỷ lệ  30,4%   Đối tượng III: Các  em  đã  làm  hoàn  chỉnh  cả  hai  bài,  vài  em  còn  lúng  túng trong việc kết luận số nghiệm của phương trình.  Năm học 2011-2012: 12/20 em chiếm tỷ lệ  60%  Năm học 2012-2013: 14/23 em chiếm tỷ lệ  60,9%     Qua hai năm thực hiện đề tài, so sánh bảng số liệu đầu năm học và cuối  năm học, ta nhận thấy kỹ năng giải phương trình, phương trình quy về phương  trình bậc hai của học sinh đã tiến bộ hơn rất nhiều thể hiện ở  số lượng các em  hoàn thiện bài tập theo đúng yêu cầu của giáo viên có sự gia tăng đáng kể.  PHẦN KẾT LUẬN     I. Những bài học kinh nghiệm Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này tôi nhận thấy, để học sinh có thể giải  thành thạo các phương trình bậc hai cơ bản và nâng cao, một kinh nghiệm quý  báu  được  rút  ra  là  học sinh phải  nắm  chắc các kiến thức  cơ bản, biết  cách  vận  dụng  linh  hoạt  các  kiến  thức  ấy.  Từ  đó  giáo  viên  cung  cấp  cho  học  sinh  các  phương pháp được coi là thuật giải, sau đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng  cao,  khắc  sâu  kiến  thức  một  cách  hợp  lý  với  các  đối  tượng  học  sinh  nhằm  bồi  dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh.  Để chuyên đề phát  huy  hiệu quả  khi  giảng dạy  giáo  viên  phải  cung  cấp  nhiều dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy cho học sinh.  II. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm        Sau khi học sinh học xong chuyên đề này, tôi thấy học sinh nắm chắc hơn  về phương trình bậc hai, khi đứng trước một bài toán về phương trình bậc hai  học sinh không còn cảm thấy e sợ, ngỡ ngàng. Từ đó kích thích niềm say mê học  toán của các em.   17   III. Khả năng ứng dụng, triển khai Căn  cứ  vào kết quả thu được từ hai  bảng 1 và bảng 2 ta thấy trước khi    thực  hiện  chuyên  đề  này  học  sinh  thường  gặp  khúc  mắc  khi  đứng  trước  một  phương trình bậc hai không ở dạng tổng quát mà không định hình được hướng  giải, không biết bắt đầu từ đâu, đường lối làm như thế  nào mặc dù  rất dễ. Sau  khi  đã  được  học  và  được  làm  quen  với  chuyên  đề  trên  thì  đa  số  các  em  hiểu  được cách làm của các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai. Điều đó  chứng tỏ việc phân dạng các bài toán về phương trình bậc hai là không thể thiếu  được trong chương trình toán cấp 2.     Qua việc tham khảo, nắm bắt ý kiến đồng nghiệp, tôi tin tưởng rằng đề tài tôi  nghiên cứu  có  khả năng  ứng  dụng  nhân rộng  ra  các trường  cùng  loại  hình  trong  toàn huyện, giúp ích được nhiều cho giáo viên giảng dạy và giáo viên bồi dưỡng  học sinh giỏi cũng như các em học sinh có nhu cầu đào sâu mở rộng kiến thức.   IV. Những kiến nghị, đề xuất Phòng Giáo dục và Đào tạo, các tổ chuyên môn trong các nhà trường nên  tổ  chức  thường  xuyên  các  cuộc  hội  thảo  về  các  chuyên  đề  khó  trong  chương  trình trung học cơ sở để giáo viên các trường nói chung, giáo viên trong tổ nói  riêng có thể trao đổi, thảo luận nhất là vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi để nâng  cao chất lượng mũi nhọn.  Theo tôi muốn cho học sinh tự nguyện có nhu cầu đào sâu, mở rộng vốn  kiến  thức  trong chương  trình,  phát  huy  tính  độc  lập  sáng  tạo  trong  học  tập  thì  bản  thân  mỗi  giáo  viên  chúng  ta  cần  không  ngừng  sáng  tạo,  đổi  mới  phương  pháp  giảng dạy, đặc biệt tăng cường giảng dạy theo các chuyên đề,  từ đó  kích  thích hứng thú, niềm ham học hỏi của học sinh.    Do thời gian có hạn, chuyên đề tôi nghiên cứu chỉ trong phạm vi chương  trình đại số lớp 9, áp dụng chủ yếu ở học sinh khối 9, học sinh tham gia bồi dưỡng  học sinh giỏi, do vậy  không tránh khỏi khiếm khuyết. Rất mong sự đóng góp ý  kiến của các đồng chí, đồng nghiệp để chuyên đề tôi viết được hoàn thiện hơn và  việc áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy có hiệu quả hơn.      Than Uyên, ngày 15 tháng 3 năm 2013                        Người thực hiện Nguyễn Thị Mai 18   PHỤ LỤC: CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG 1. DẠNG 1: Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Bài tập tương tự: Giải phương trình:  1)  x x 2x   2 x  3 2x  2 (x  1)(x  3) 2) x x4  x 1 x 1 3) ( x  2 x )  (3 x  6) 0 x3 4) x  1 1  x2  2 x x 2. DẠNG 2: Phương trình bậc ba. Bài tập tương tự: Giải phương trình:    1) x3 – 2x2 – x + 2 = 0    2) x3 – x2 – 3x + 3 = 0    3) 2x3 – 5x2 + 8x -  3 = 0  4) x3 + 2x2 – 4x - 8 = 0  3. DẠNG 3:  Phương trình bậc cao đưa được về phương trình bậc hai.  3.1. Phương trình trùng phương:  Bài tập tương tự: Giải phương trình:  1) x4 – 3x3 – 6x2 + 3x + 1 = 0  2) x4 + 2x3 – 6x2 + 2x + 1 = 0  3) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0  4) x4 + 5x3 – 12x2 + 5x + 1 = 0  3.2. Phương trình dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c (c > 0) (trong đó x là ẩn, a, b, c là các hệ số) Bài tập tương tự: Giải phương trình:  1) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1  2) (x - 5)4 + (x - 2)4 = 17  3) x 4 + (x - 1)4 = 97  3. 3. Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m Bài tập tương tự: Giải phương trình:  1) ( x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3  2) ( x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680  19   3) ( x - 1)(x + 5)(x - 3)(x + 7) = 297  3.4. Phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ:  Bài tập tương tự: Giải phương trình:    1) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x – 1) = 3    2) (x2 – 5x)2 + 10(x2 – 5x) + 24 = 0  3)  ( x 1 2 x 2 3 ) ( )    x x 1 2 3.5. Phương trình dạng ax4+ bx3 + cx2  kbx + k2a = 0 (Phương trình đối xứng) Bài tập tương tự: Giải phương trình:  1) x4 - x3 - x + 1 = 0  2) x5 - 5x 4 + 4x3 + 4x2 - 5x + 1 = 0  3.6. Phương trình giải bằng cách đưa về dạng tích Bài tập tương tự: Giải phương trình:  1) x4 + 2x3 - 6x 2 + 2x + 1 = 0  2) (x2 + 4x + 21)2 = (x + 3)4    20
- Xem thêm -