Tài liệu Phép tính vi phân trên không gian banach

MUÏC LUÏC Phaàn I: PHEÙP TÍNH VI PHAÂN – TÍCH PHAÂN TREÂN KHOÂNG GIAN HÖÕU HAÏN CHIEÀU ............................7 Chöông 1: Söï khaû vi cuûa haøm coù giaù trò vectô......................................................9 1.1. Giôùi haïn vaø lieân tuïc ......................................................................................9 1.1.1. Khoâng gian n .....................................................................................9 1.1.2. Giôùi haïn vaø söï lieân tuïc cuûa haøm coù giaù trò vectô ................................12 1.2. Söï khaû vi cuûa haøm coù giaù trò vectô .............................................................14 1.2.1. AÙnh xaï tuyeán tính................................................................................ 14 1.2.2. Söï khaû vi .............................................................................................16 1.2.3. AÙnh xaï ñaïo haøm .................................................................................. 20 1.3. Ñaïo haøm theo höôùng................................................................................... 24 Chöông 2: Ñaïo haøm baäc cao – Coâng thöùc taylor ............................................... 29 2.1. Ñaïo haøm baäc hai.........................................................................................29 2.1.1. Haøm song tuyeán tính ........................................................................... 29 2.1.2. Ñaïo haøm baäc hai cuûa haøm coù giaù trò vectô ......................................... 32 2.1.3. Thí duï .................................................................................................. 35 2.2. Ñaïo haøm baäc cao ........................................................................................38 2.2.1. Daïng k–tuyeán tính............................................................................... 38 2.2.2. Haøm k–tuyeán tính ............................................................................... 40 2.2.3. Ñaïo haøm baäc cao cuûa haøm soá thöïc theo n bieán soá thöïc ......................43 2.2.4. Ñaïo haøm baäc cao cuûa haøm coù giaù trò vectô......................................... 48 2.3. Coâng thöùc Taylor ........................................................................................51 2.3.1. Coâng thöùc Taylor cho haøm soá thöïc theo nhieàu bieán soá thöïc ............... 51 2.3.2. Coâng thöùc Taylor cho haøm coù giaù trò vectô......................................... 54 Chöông 3: Caùc ñònh lyù quan troïng....................................................................... 59 3.1. Haøm ngöôïc .................................................................................................. 59 3.2. Haøm aån ....................................................................................................... 62 3.3. Ñaïo haøm rieâng cuûa haøm ngöôïc – haøm aån .................................................. 65 3.3.1. Ñaïo haøm rieâng cuûa haøm ngöôïc ...........................................................65 3.3.2. Ñaïo haøm rieâng cuûa haøm aån ................................................................. 66 3 3.4. Ñònh lyù Sard ................................................................................................69 Chöông 4: Cöïc trò ñòa phöông.............................................................................. 75 4.1. Cöïc trò ñòa phöông cuûa haøm soá ................................................................... 75 4.2. Cöïc trò coù ñieàu kieän ....................................................................................81 4.3. Cöïc ñaïi – Cöïc tieåu ......................................................................................87 Chöông 5: Tích phaân boäi ......................................................................................91 5.1. Ñònh nghóa tích phaân ................................................................................... 91 5.1.1. Ñònh nghóa ...........................................................................................91 5.1.2. Tích phaân.............................................................................................92 5.2. Söï khaû tích .................................................................................................. 93 5.2.1. Taäp ñoä ño 0 .........................................................................................93 5.2.2. Haøm khaû tích .......................................................................................94 5.3. Taäp Jordan ño ñöôïc ................................................................................... 100 5.4. Coâng thöùc tích phaân laëp ............................................................................ 102 5.5. Coâng thöùc ñoåi bieán.................................................................................... 105 5.5.1. Phuû môû ..............................................................................................105 5.5.2. Phaân hoaïch ñôn vò ............................................................................. 109 5.5.3. Coâng thöùc ñoåi bieán ............................................................................ 111 Chöông 6: Daïng vi phaân ..................................................................................... 121 6.1. Ñaïi soá ngoaøi ..............................................................................................121 6.1.1. Haøm ña tuyeán tính phaûn ñoái xöùng ...................................................... 121 6.1.2. Tích ngoaøi ........................................................................................... 124 6.2. Daïng vi phaân............................................................................................. 125 6.2.1. Ñònh nghóa........................................................................................... 125 6.2.2. Vi phaân ngoaøi cuûa daïng vi phaân ......................................................... 127 6.2.3. Daïng ñoùng – Daïng khôùp .................................................................... 130 6.2.4. AÛnh ngöôïc cuûa daïng vi phaân ..............................................................135 Chöông 7: Tích phaân cuûa daïng vi phaân............................................................. 141 7.1. Hình hoäp kyø dò .......................................................................................... 141 7.1.1. Ñònh nghóa........................................................................................... 141 7.1.2. Hình hoäp kyø dò thoâng duïng ................................................................. 141 7.1.2.1. Ñöôøng cong trong n ................................................................141 4 7.1.2.2. Maët cong trong  3 .................................................................... 142 7.1.2.3. Hình hoäp kyø dò (n  1) chieàu trong n ..................................... 146 7.2. Tích phaân treân hình hoäp kyø dò................................................................... 153 7.2.1. Ñònh nghóa ......................................................................................... 153 7.2.2. Ñoåi bieán trong tích phaân cuûa daïng vi phaân ....................................... 155 7.2.3. Thí duï vaø Ghi chuù.............................................................................. 157 7.3. Coâng thöùc Stokes treân xích kyø dò..............................................................162 7.3.1. Bieân cuûa hình hoäp kyø dò .................................................................... 162 7.3.2. Coâng thöùc Stokes .............................................................................. 167 7.4. Caùc ñònh lyù coå ñieån ................................................................................... 170 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO .................................................................................... 175 Phaàn II: PHEÙP TÍNH VI PHAÂN TREÂN KHOÂNG GIAN BANACH............ 177 Chöông 1: Khoâng gian Banach .......................................................................... 179 1.1. Baát ñaúng thöùc Holder vaø baát ñaúng thöùc Minkowski ................................. 179 1.2. Khoâng gian Banach................................................................................... 183 1.3. Khoâng gian aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc ..................................................... 191 1.4. Taäp compaéc trong khoâng gian Banach ..................................................... 197 1.5. Taäp compaéc trong C (K , m ) .................................................................... 197 Chöông 2: Ñaïo haøm – Coâng thöùc Taylor.......................................................... 201 2.1. Söï khaû vi ................................................................................................... 201 2.2. Ñònh lyù giaù trò trung bình........................................................................... 209 2.3. Ñaïo haøm rieâng .......................................................................................... 214 2.4. Ñaïo haøm baäc cao – Coâng thöùc Taylor ...................................................... 233 2.4.1. Ñaïo haøm baäc cao............................................................................... 233 2.4.2. AÙnh xaï ña tuyeán tính......................................................................... 234 2.4.3. Coâng thöùc Taylor............................................................................... 243 Chöông 3: AÙnh xaï ngöôïc – AÙnh xaï aån – Cöïc trò ñòa phöông .......................... 253 3.1. AÙnh xaï ngöôïc – AÙnh xaï aån ....................................................................... 253 3.2. Cöïc trò ñòa phöông..................................................................................... 258 5 Chöông 4: Cöïc trò coù ñieàu kieän.......................................................................... 265 4.1. Cöïc trò coù bieân coá ñònh.............................................................................. 265 4.1.1. Ña taïp tuyeán tính............................................................................... 265 4.1.2. Baøi toaùn bieán phaân ............................................................................ 268 4.2. Cöïc trò vôùi moät bieân di ñoäng ..................................................................... 283 4.2.1. Tröôøng hôïp moät bieán......................................................................... 283 4.2.2. Tröôøng hôïp haøm nhieàu bieán ..............................................................284 4.2.3. Thí duï ................................................................................................286 4.3. Cöïc trò coù ñieàu kieän vôùi raøng buoäc ........................................................... 290 4.3.1. Baøi toaùn cöïc trò coù ñieàu kieän vôùi raøng buoäc laø moät soá höõu haïn phöông trình hoaëc phöông trình vi phaân ........................................... 290 4.3.2. Baøi toaùn cöïc trò coù ñieàu kieän toång quaùt ............................................. 299 Chöông 5: Ñònh lyù Minimax & ÖÙng duïng trong nghieân cöùu söï toàn taïi nghieäm cuûa baøi toaùn bieân ........................................ 303 5.1. Ñònh lyù ñöôøng ñeøo (Mountain Pass) ......................................................... 303 5.1.1. Ñieàu kieän Palais – Smale.................................................................. 303 5.1.2. Ñònh lyù ñöôøng ñeøo ............................................................................. 304 5.1.3. Boå ñeà bieán ñoåi soá löôïng .................................................................... 310 5.1.4. Ñònh lyù ñöôøng ñeøo ............................................................................. 311 5.1.5. Baøi toaùn Dirichlet nöûa tuyeán tính...................................................... 313 5.1.6. Kyø dò phi tuyeán .................................................................................. 315 5.2. Nguyeân lyù Minimax toång quaùt .................................................................. 321 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO .................................................................................... 333 6 Chöông 1 SÖÏ KHAÛ VI CUÛA HAØM COÙ GIAÙ TRÒ VECTÔ 1.1. GIÔÙI HAÏN VAØ LIEÂN TUÏC. 1.1.1. Khoâng gian n .   Vôùi n laø soá töï nhieân, ñaët n  x  x1, x 2,..., x n  : x i   , i  1, n . Moãi phaàn töû x  n laø moät boä goàm n soá thöïc, x  x1, x 2,..., x n  , x i laø thaønh phaàn thöù i cuûa x . n laø khoâng gian vectô treân  vôùi pheùp coäng vaø pheùp nhaân vôùi soá thöïc ñònh bôûi: vôùi x  x1, x 2,..., x n  , y  y1, y2,..., yn   n vaø a   , x  y  x1  y1, x 2  y2,..., x n  yn   n , ax  ax1, ax 2,..., ax n   n . Chuaån: Chuaån treân n , kyù hieäu  , laø haøm soá  : n     [0, ) , thoûa maõn: vôùi moïi x , y  n vaø a   , i) x  0, x  0  x  0 ii) ax  a . x . iii) x  y  x  y . (Baát ñaúng thöùc tam giaùc) n .   Neáu  laø chuaån treân n thì caëp n ,  laø khoâng gian ñònh chuaån. Chuaån Euclide treân n ñònh bôûi: Vôùi x  x1, x 2,..., x n   n n 1 2  thì x   x i2  . 2  i 1  Hai chuaån  vaø  treân n ñöôïc goïi laø töông ñöông, kyù hieäu    neáu 2 2 toàn taïi hai soá döông a,b  0 sao cho: a x  x b x 2 vôùi moïi x  n . 9  Söï hoäi tuï: Cho khoâng gian ñònh chuaån n ,    vaø (x ) k k laø daõy trong n ,  x k  x1k , x 2k ,..., x nk vôùi k    1,2, 3,... . Ta ñònh nghóa: (x k ) hoäi tuï veà x  n bôûi: lim x k  x theo   lim x k  x  0 . k  k  Daõy (x k )k laø daõy cô baûn  lim x k  x l  0 . k ,l   Neáu moïi daõy cô baûn trong n ,   ñeàu hoäi tuï ta noùi  ,   laø khoâng gian n Banach. Meänh ñeà 1.1: Cho  vaø  laø hai chuaån töông ñöông trong n . Khi ñoù: 2 a) b) c) d) lim x k  x theo  k  2  lim x k  x theo  . k  lim x k  x  x1, x 2,..., x n  theo  k  2  lim x ik  x i , i  1, n . k   ,   laø khoâng gian Banach.  ,   laø khoâng gian Banach. n 2 n Chöùng minh: Meänh ñeà ñöôïc chöùng minh döïa vaøo ñònh nghóa cuûa chuaån töông ñöông vaø baát ñaúng thöùc: vôùi x  x1, x 2,..., x n   n thì x i  x  x1  x 2  ...  x n vôùi moïi i  1, n . 2 Meänh ñeà 1.2: Giaû söû chuaån  treân n thoûa maõn: xi  x  x 2 vôùi moïi i  1, n vaø x  x1, x 2,..., x n   n . Khi ñoù:  vaø  töông ñöông. 2 10 Chöùng minh: Do x  x 2 vaø x i  x , i  1, n suy ra: x  x n x 2 vôùi moïi x  n . Vaäy  vaø  töông ñöông. 2 Taäp môû – Lieân thoâng: Trong n vôùi chuaån Euclide  , cho x  n vaø r  0 , quaû caàu môû taâm x  2  baùn kính r laø B(x , r )  x   n : x  x   r . 2 Taäp D  n laø taäp môû neáu vôùi moïi x  D , toàn taïi r  0 sao cho B(x , r )  D . Taäp D  n ñöôïc goïi laø taäp lieân thoâng neáu khoâng toàn taïi hai taäp môû O1,O2 thoûa maõn: D  O1  O2 , D  O1   , D  O2   vaø D  O1  O2   . Meänh ñeà 1.3: Cho D laø taäp môû lieân thoâng treân n . Khi ñoù vôùi moïi x , y  D toàn taïi moät soá höõu haïn quaû caàu môû B1, B2,..., Bk chöùa trong D sao cho: x  B1 , y  Bk , Bi  Bi 1   vôùi moïi i  1,2,..., k  1 . (*) Töø ñoù suy ra: toàn taïi ñöôøng gaáp khuùc   D noái x vaø y . Chöùng minh: Treân D ñaët quan heä  nhö sau: x  y khi vaø chæ khi toàn taïi moät soá höõu haïn quaû caàu môû B1, B2,..., Bk thoûa maõn (*). Khi ñoù  laø quan heä töông ñöông treân D . Vôùi x  D , ñaët x  y  D : x  y  laø lôùp töông ñöông cuûa x . Khi ñoù:  x  x vôùi moïi x  D .  Vôùi x , y  D thì x  y hoaëc x  y   . 11  D  x. x D Vôùi x  D , ta chöùng minh x laø taäp môû. Vôùi y  x thì x  y neân toàn taïi moät soá höõu haïn quaû caàu môû B1, B2,..., Bk chöùa trong D , thoûa maõn (*). Khi ñoù vôùi z  Bk thì y  z neân x  z hay z  x . Suy ra: Bk  x . Vaäy x laø taäp môû. Coá ñònh x  D , ta chöùng minh x  D vaø nhö vaäy meänh ñeà ñöôïc chöùng minh. Giaû söû D \ x   . Ñaët O1  x vaø O2   y. y D \x Khi ñoù O1,O2 laø taäp môû khaùc roãng vaø thoûa maõn: D  O1  O2 vaø O1  O2   . Vaäy D khoâng lieân thoâng. Maâu thuaãn. Nhö vaäy x  D . Vôùi x , y  D , toàn taïi caùc quaû caàu môû B1, B2,..., Bk chöùa trong D thoûa maõn (*). Laáy x  x1 , x 2  B1  B2 , …, x i  Bi  Bi 1 , … vaø x k  y . Ñöôøng gaáp khuùc  goàm caùc ñænh lieân tieáp x1, x 2,..., x k chöùa trong D , noái x vaø y . 1.1.2. Giôùi haïn vaø söï lieân tuïc cuûa haøm coù giaù trò vectô. Treân n vaø  p vôùi chuaån Euclide  ñònh bôûi: 2 n 1 2  x  x1, x 2,..., x n   n , x   x i2  , 2  i 1   y  y1, y2,..., y p   p 1 2    p , y   y 2j  . 2   j 1  Ñònh nghóa: Cho  D  n , aùnh xaï  f : D  p . f (x )  f (x1), f (x 2 ),..., fp (x )   p . 12 Vôùi moïi x D, f (x )   p , a) AÙnh xaï f ñöôïc goïi laø haøm theo bieán x  x1, x 2,..., x n   D  n coù giaù trò vectô trong  p . Caùc haøm f1, f2,..., fp : D   ñöôïc goïi laø haøm thaønh phaàn cuûa f . Caùc haøm f1, f2,..., fp laø caùc haøm soá thöïc theo n bieán soá thöïc x1, x 2,..., x n xaùc ñònh treân D .   Ta kyù hieäu: f  f1, f2,..., fp . Cho D  n , ñieåm x  n laø ñieåm giôùi haïn cuûa D neáu vôùi moïi r  0 , B(x , r )  D \ x    . Ta coù ñaëc tröng: x laø ñieåm giôùi haïn cuûa D  Toàn taïi daõy (x k )k  D sao cho: x k  x vôùi moïi k vaø lim x k  x theo  . 2 k  b)   Cho f : D  n   p , f  f1, f2,..., fp vaø x 0  n laø ñieåm giôùi haïn cuûa D . Ñònh nghóa: lim f (x )  y 0  Vôùi moïi   0 , toàn taïi   0 sao cho vôùi moïi x  D , x x 0 0  x  x 0   thì f (x )  y 0   . 2 c)  2  Cho f : D   p , f  f1, f2,..., fp vaø x 0  D . Ta noùi: f lieân tuïc taïi x 0  Vôùi moïi   0 , toàn taïi   0 sao cho khi x  D , x  x 0   thì f (x )  f (x 0 )   . 2 2 Meänh ñeà 1.4:   Cho f : D   p , f  f1, f2,..., fp . a) Cho x 0  n laø ñieåm giôùi haïn cuûa D . Khi ñoù:   lim f (x )  y0  y10, y20,..., y p0  lim f j (x )  yi0 vôùi moïi j  1,2,..., p . x x 0 b) x x 0 Cho x 0  D . Khi ñoù: f lieân tuïc taïi x 0  f j lieân tuïc taïi x 0 vôùi moïi j  1,2,..., p . c) Neáu x 0  D thì: f lieân tuïc taïi x 0  lim x k  x 0 thì lim f (x k )  f (x 0 ) . k  k  13 Chöùng minh: Meänh ñeà ñöôïc chöùng minh döïa vaøo baát ñaúng thöùc: y j  y  y1  y2  ...  y p , j  1,2,..., p . 2 BAØI TAÄP 1. Cho f   f1, f2, f3  ñònh bôûi: Vôùi y  0 , f1(x , y )  x 1  cos xy  y2 13 1  xy  sin xy ; f2(x , y )  ; f3(x , y )  y y 1 . Tính lim f (x , y ) , lim f (x , y ) vôùi x 0  0 . x ,y 0 x x 0 y 0 2. Cho f   f1, f2, f3  ñònh bôûi:  2 f1(x , y )  x  y 2 x 2 2y 2   x 3  y 3  2   ; f (x , y )  x sin y . ; f2(x , y )  cos  3  x 2  y 2  x 4  y2 Coù theå ñònh giaù trò f (0, 0) ñeå f lieân tuïc taïi (0, 0) ? 1.2. SÖÏ KHAÛ VI CUÛA HAØM COÙ GIAÙ TRÒ VECTÔ. 1.2.1. AÙnh xaï tuyeán tính. Treân n vaø  p coù hai cô sôû chính taéc: 0,1, 0,..., 0)  n , i  1,2,..., n . e1,e2,...,en  vôùi ei  (0,...,  i 0,1, 0,..., 0)   p , j  1,2,..., p . u1, u2,..., up  vôùi u j  (0,...,  j AÙnh xaï tuyeán tính A : n   p coù ma traän bieåu dieãn laø: a   11 a12 ... a1n  a   21 a22 ... a2n   ... ... ... ...    a   p1 a p 2 ... a pn  14 Vieát goïn laø [aij ] , i  1, n , j  1, p . Ta ñoàng nhaát aùnh xaï tuyeán tính A vôùi ma traän bieåu dieãn cuûa A , A  [aij ], i  1, n , j  1, p , i chæ haøng, j chæ coät.   Ñaët L n ,  p laø taäp hôïp taát caû caùc aùnh xaï tuyeán tính töø n vaøo  p . Khi  ñoù L n ,  p  laø khoâng gian vectô treân  , soá chieàu dim L  ,    np . Ta n p ñoàng nhaát (veà ñaïi soá) L  n ,  p   np .     Vôùi A  L n ,  p thì A lieân tuïc. Ñaët: A  max A(x ) : x  1 vaø goïi 2 2 A laø chuaån cuûa A .   Khi ñoù  laø chuaån treân L n ,  p thoûa maõn: (N1) A  0, A  0  A  0 (N2) aA  a . A , vôùi moïi A  L n ,  p vaø a   . (N3) AB  A  B L  n ,  p  (ma traän khoâng)   vôùi moïi A, B  L   ,   . n Hôn nöõa ta coù: Ax  A . x 2 2 p vôùi moïi x  n . Ñaùnh giaù A :    n 1 2 n     Tröôùc tieân ta coù: max   ai x i : x  1   ai2  . 2     i 1   i 1   Vôùi x  n , x  1 , ta coù: 2 n  n n  Ax   a1j x j ,  a2 j x j ,....,  a pj x j    p .   j 1  j 1 j 1 Suy ra: 2 2 2       n n n 2       Ax    a1j x j    a2 j x j   ....   a pj x j  2     j 1   j 1   j 1  n n n j 1 j 1 j 1 2   a12j   a22j  ....   a pj . 15 Laáy cöïc ñaïi khi x  1 hai veá sau ñoù caên hai hai veá, daãn ñeán: 2 A    aij2 Maët khaùc ta coù: Ax  2 12  , toång theo i  1, p , j  1, n . n  aij x j vôùi moïi i  1,2,..., p . j 1 n 1 2  Laáy max theo x  1 , ta ñöôïc: A    aiji  vôùi moïi i  1,2,..., p . 2   j 1  Keát hôïp, ta nhaän ñöôïc ñaùnh giaù: n 1 2  1 2   2 2   aij   A   aij  vôùi moïi i  1,2,..., p .  j 1   i, j  Töø baát ñaúng thöùc (1) suy ra: aij (1)  1 2   A   aij  vôùi moïi i, j .   ij   1 2  Do Meänh ñeà 1.1, neáu ñaët A   aij2  (laø chuaån Euclide treân np ) ta 2   i, j  aij  A  A . coù: 2 Vaäy  töông ñöông vôùi   2   trong L n ,  p .    Ta ñoàng nhaát L n ,  p ,   np ,  2 . 1.2.2. Söï khaû vi. Ñònh nghóa:   Cho D laø taäp môû trong n vaø f : D   p , f  f1, f2,..., fp . Ta noùi: f khaû vi taïi x  D neáu toàn taïi aùnh xaï tuyeán tính A : n   p sao cho vôùi moïi h  n maø x  h  D thì: f (x  h )  f (x )  A(h )  h (h ) . 2 16 (*) vôùi  xaùc ñònh gaàn 0 n coù giaù trò trong  p thoûa maõn: lim (h )  0 h 0 n  p . Meänh ñeà 1.5:   Cho D môû trong n , f : D   p , f  f1, f2,..., fp .   a) Neáu f  f1, f2,..., fp khaû vi taïi x  D thì f lieân tuïc taïi x . b) AÙnh xaï tuyeán tính A , neáu coù seõ duy nhaát. Ñaët A  f (x ) vaø goïi laø ñaïo haøm cuûa f taïi x . c) Ñaëc bieät, neáu f : n   p laø aùnh xaï tuyeán tính thì f khaû vi taïi moïi x  n vaø f (x )  f . Chöùng minh: a) Suy töø A tuyeán tính neân A lieân tuïc,     0 lim A(h )  A 0 h 0 n  b) n p vaø lim (h )  0 h 0 n  p . Giaû söû toàn taïi A1, A2 : n   p cuøng thoûa maõn (*). Vôùi moïi u  n , do D laø taäp môû x  D neân toàn taïi   0 sao cho x  tu  D vôùi moïi 0  t   . Thay h  tu , ta coù: f (x  tu )  f (x )  A1(tu )  tu 1(tu )  A2(tu )  tu 2(tu ) 2 vôùi lim 1(tu )  lim 2(tu )  0 t 0 t 0 p 2 . Do A1, A2 tuyeán tính vaø t  0 , ta coù: A1(u )  u 1(tu )  A2(u )  u 2(tu ) . 2 2 Cho t  0 , ta ñöôïc: A1(u )  A2(u ) vôùi moïi u  n . Vaäy A1  A2 . c) Vôùi h  n , do f tuyeán tính, ta coù: f (x  h )  f (x )  f (h )  f (h )  h (h ) vôùi (h )  0 2 p . Theo ñònh nghóa, f khaû vi taïi x vaø f (x )  f . 17 Ñònh lyù 1.1: (Ñònh lyù ñaïo haøm cuûa haøm hôïp) Cho U laø taäp môû trong n , V laø taäp môû trong  p vaø f : U  V , g : V  k . Giaû söû: f khaû vi taïi x , g khaû vi taïi f (x ) . Khi ñoù: g  f khaû vi taïi x vaø (g  f ) (x )  g   f (x )  f (x ) . Chöùng minh: Ñaët k (h )  f (x  h )  f (x ) . Do g khaû vi taïi f (x ) , ta coù: g  f (x  h )  g  f (x )  g   f (x )k (h )  k (h ) 2  k (h ) vôùi lim (k )  0 k 0 p  k . Do f khaû vi taïi x neân: k (h )  f (x  h )  f (x )  f (x )(h )  h 2 (h ) vôùi lim (h )  0 h 0 n  p . Nhö vaäy, do tính tuyeán tính cuûa g   f (x ) , ta coù: g  f (x  h )  g  f (x )  g   f (x )  f (x )(h )  h g   f (x ) (h )  k (h )  k (h ) . 2 2      k (h ) 2   Ta caàn chöùng minh: lim g   f (x )(h )   k (h )  0 k .  h2 h 0 n      Ñieàu naøy ñöôïc suy töø: k (h ) 2  f (x ) . h 2  h 2 . (h ) 2 . lim (h )  0 h 0 n  p vaø lim  k (h )  0 h 0 p  k . Vaäy g  f khaû vi taïi x vaø g  f  (x )  g   f (x )  f (x ) . Ñònh lyù 1.2:   Cho D laø taäp môû trong n , f : D   p , f  f1, f2,..., fp . Khi ñoù: f khaû vi taïi x  D neáu vaø chæ neáu f1, f2,..., fp khaû vi taïi x . Hôn nöõa, ñaïo haøm f (x ) coù ma traän bieåu dieãn cho bôûi: 18  f  1 (x ) f1 (x )  x x 2  1  f  2 (x ) f2 (x ) x 2 f (x )   x1  ... ...   f fp  p ( x ) (x )   x  x  1 2  (x ) x n   f (x )   1  f2 ... (x )  f2(x ) x n    ...  .  ... ...      fp (x ) fp  ... (x ) x n  ... f1 Chöùng minh: () Giaû söû f   khaû vi taïi x . Ñaët pi :  p   ñònh bôûi: Vôùi y   p , y  y1, y2,..., y p , pi y1, y2,..., y p   yi , pi laø pheùp chieáu thaønh phaàn thöù i , thì pi tuyeán tính. Suy ra: fi  pi  f khaû vi taïi x vaø:  f  fi fi  i    pi  f  (x )  pi  f (x )  fi (x )   x (x ) x (x ) ... x (x ) .  1  2 n () Ngöôïc laïi, giaû söû f1, f2,..., fp khaû vi taïi x , vôùi h  n maø x  h  D , ta coù:      f1(x  h )  f1(x )   f1(x )(h )  h 2 1(h )       f (x  h )  f (x )   ... ...       f (x  h )  f (x )  f (x )(h )  h  (h ) p   p   p 2 p vôùi lim i (h )  0 vôùi moïi i  1,2,..., p vaø k 0 p   f  fi fi fi(x )   i (x ) (x ) ... (x ) . x 2 x n  x1   f  fi fi  i   f (x )   x (x ) x (x ) ... x (x )  1   1 2 n     Ñaët A   ...    ... ... ... ...  vaø (h )    f (x )  f fp fp   p   p  (x ) (x ) ... (x )  x1  x 2 x n   Ta coù: f (x  h )  f (x )  A(h )  h 2 (h ) vôùi lim (h )  0 h 0 p    (h )   1   ...  .    (h )  p   k  . Vaäy f khaû vi taïi x vaø f (x )  A . 19 1.2.3. AÙnh xaï ñaïo haøm. Ñònh lyù 1.3: Cho D laø taäp môû trong n , f : D   p , f   f1, f2, f3  . Khi ñoù: AÙnh xaï ñaïo haøm f  lieân tuïc treân D neáu vaø chæ neáu caùc ñaïo haøm f rieâng cuûa caùc haøm thaønh phaàn i , i  1, p , j  1, n lieân tuïc treân D . x j Chöùng minh:   Vôùi x  D , do f (x )  L n ,  p ,   f (x )  f1(x ), f2(x ),..., fp(x )   trong ñoù caùc haøm thaønh phaàn fi(x )  L n ,  p , i  1, p . Töø baát ñaúng thöùc (1) suy ra: p fi(x )  fi(y )  f (x )  f (y )   fi(x )  fi(y ) vôùi i  1, p . i 1 Vaäy f  lieân tuïc treân D neáu vaø chæ neáu f1, f2,..., fp lieân tuïc treân D . Meänh ñeà 1.6: Cho D laø taäp môû trong n , f : D   p , f   f1, f2, f3  . Giaû söû f khaû vi treân Khi ñoù vôùi moïi x D D. [x 0, x ]  (1  t )x 0  tx : t  [0,1]  D thì: sao cho f (x )  f (x 0 )  p . x  x 0 . sup f (y ) . 2 2 y [x ,x ] 0 ñoaïn thaúng Chöùng minh: AÙp duïng ñònh lyù giaù trò trung bình cho moãi haøm thaønh phaàn f1, f2,..., fp , toàn taïi i  (0,1) , i  1, p sao cho: fi (x )  fi (x 0 )  fix 0  i (x  x 0 )(x  x 0 ) . Suy ra: 20 fi (x )  fi (x 0 )  x  x 0 . sup  f (y ) 2 y [x ,x ] i 0 f (y ) .  x  x 0 . sup 2 y [x ,x ] 0 f (x )  f (x 0 )  p . x  x 0 . sup Daãn ñeán: 2 2 y [x ,x ] 0 f (y ) . Ñònh lyù Banach-Steinhaus: (khoâng chöùng minh) Cho X ,Y laø khoâng gian Banach vaø Ti  i I laø hoï caùc aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc töø X vaøo Y . Khi ñoù: - Hoaëc toàn taïi N  0 sao cho: Ti  N , vôùi moïi i  I . - Hoaëc toàn taïi taäp G truø maät trong X sao cho vôùi moïi x  G thì:  sup Ti (x ) Y  : i  I   . Ñònh lyù 1.4: Cho D laø taäp môû lieân thoâng trong n . a) Giaû söû f : D   p khaû vi treân D vaø f (x )  0 L  n ,  p  vôùi moïi x  D . Khi ñoù: f laø haøm haèng. b) Vôùi moïi k   , cho fk : D   p khaû vi treân D . Giaû söû daõy aùnh xaï ñaïo   haøm  fk  hoäi tuï ñeàu veà aùnh xaï g : D  L n ,  p treân moãi taäp con k ñoùng bò chaën trong D vaø toàn taïi x 0  D sao cho daõy phaàn töû  fk (x 0 ) k hoäi tuï trong  p . Khi ñoù toàn taïi haøm f : D   p khaû vi treân D sao cho  fk  hoäi tuï töøng ñieåm k veà f treân D vaø g(x )  f (x ) vôùi moïi x  D . Chöùng minh: a) Coá ñònh x 0  D . Vôùi moïi x  D , do D laø taäp môû lieân thoâng neân toàn taïi ñöôøng gaáp khuùc   D , coù ñænh lieân tieáp x 0, x1,..., x k  x . AÙp duïng meänh ñeà 1.6 treân ñoaïn [x 0, x1 ] : f (x1)  f (x 0 )  p . x1  x 0 . sup 2 2 y [x ,x ] 0 1 f (y ) . 21 Suy ra: f (x1)  f (x 0 ) . Töông töï, suy ra: f (x 0 )  f (x1)  ...  f (x k )  f (x ) . Vaäy f laø haøm haèng. Do x 0  D vaø D laø taäp môû neân toàn taïi r  0 sao cho quaû caàu ñoùng b) B (x 0, r )  D . Ñaët K  B (x 0, r ) thì K laø taäp ñoùng, bò chaën chöùa trong D . Vôùi moïi k, l   vaø x  K , do meänh ñeà 1.6, ta coù:  fk l (x )  fk l (x 0 )  fk (x )  fk (x 0 )  p . x  x 0 . sup  f (y )  fk (y ) 2 y [x ,x ] k l 0 2 . Suy ra: fk l (x )  fk (x )  fk l (x 0 )  fk (x 0 )  p . sup 2 2 y [x 0 ,x ] fkl (y )  fk(y ) . Do ñònh lyù Banach-Steinhaus, toàn taïi haèng soá M  0 sao cho: fk(x )  M , g(x )  M , x  K vaø k   . Do  fk (x 0 )k   hoäi tuï trong  p , ( fk, g  CB K , L n ,  p  fkk hoäi tuï ñeàu veà g  khoâng gian caùc haøm bò chaën) neân f  k k treân K , laø daõy cô baûn. Suy ra vôùi   0 cho tröôùc, toàn taïi k0   sao cho vôùi k  k0 vaø l   thì: fk l (x 0 )  fk (x 0 )   3 vaø 2 sup y [x 0 ,x ] fkl (y )  fk(y )   3 . Nhö vaäy, vôùi k  k0 vaø l   thì: fk l (x )  fk (x )   vôùi moïi x  K . 2 Vaäy  fk  laø daõy cô baûn trong C (K ) (khoâng gian caùc haøm lieân tuïc töø K vaøo k p  ). Ñaët f  lim fk trong C (K ) . k  Ta chöùng minh f khaû vi trong quaû caàu môû B(x 0, r ) vaø f (x )  g(x ) vôùi moïi x  B(x 0, r ) . Vôùi x  B(x 0, r ) , h  n maø x  h  B(x 0, r ) , ta coù: f (x  h )  f (x )  g(x )(h )  f (x  h )  f (x )   fk (x  h )  fk (x ) 2 2  fk (x  h )  fk (x )  fk(x )(h )  fk(x )(h )  g (x )(h ) . 2 22 2 (2)