Tài liệu Phép chia có dư trong dạy học toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hoàng Thị Oanh PHÉP CHIA CÓ DƯ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hoàng Thị Oanh PHÉP CHIA CÓ DƯ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 MỤC LỤC MỤC LỤC .................................................................................................................... 3 T 0 T 0 LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 5 T 0 T 0 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ......................................................................... 6 T 0 T 0 MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 7 T 0 T 0 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát: ...................................................................... 7 T 0 T 0 2. Khung lý thuyết tham chiếu ...................................................................................................... 8 T 0 T 0 3. Phương pháp nghiên cứu: ......................................................................................................... 8 T 0 T 0 4. Tổ chức luận văn: ....................................................................................................................... 9 T 0 T 0 CHƯƠNG 1: KHÁI QUÁT VỀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Ở BẬC ĐẠI HỌC .......... 11 T 0 T 0 1.1. Phép chia có dư trong giáo trình [a] – Số học..................................................................... 11 T 0 T 0 1.1.1. Phép chia có dư xét trên phương diện đối tượng ............................................................ 11 T 0 T 0 1.1.2. Phép chia có dư xét trên phương diện công cụ. .............................................................. 13 T 0 T 0 1.2. Phép chia có dư trong giáo trình [b] – Toán rời rạc .......................................................... 22 T 0 T 0 1.2.1. Phép chia có dư với vai trò là đối tượng .......................................................................... 22 T 0 T 0 1.2.2. Phép chia có dư với vai trò là công cụ. ............................................................................ 23 T 0 T 0 1.3. Phép chia có dư trong giáo trình [c] – Đại số đại cương ................................................... 25 T 0 T 0 1.3.1. Phép chia có dư trong vành Euclide................................................................................. 25 T 0 T 0 1.3.2. Vành D n ........................................................................................................................... 26 T 0 R R0 T 1.4. Kết luận của chương 1 .......................................................................................................... 26 T 0 T 0 CHƯƠNG 2: PHÉP CHIA CÓ DƯ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN ...................... 28 T 0 T 0 GIẢNG DẠY .............................................................................................................. 28 T 0 T 0 2.1. Thể chế tiểu học : .................................................................................................................. 28 T 0 T 0 2.1.1. Phần bài học ..................................................................................................................... 28 T 0 T 0 2.1.2. Phần bài tập ...................................................................................................................... 35 T 0 T 0 2.1.3. Kết luận ............................................................................................................................ 43 T 0 T 0 2.2. Thể chế THCS ....................................................................................................................... 45 T 0 T 0 2.2.1. Phần bài học ..................................................................................................................... 45 T 0 T 0 2.2.2. Phần bài tập ...................................................................................................................... 51 T 0 T 0 2.2.3 Kết luận ........................................................................................................................... 61 T 0 T 0 2.3. Kết luận và các giả thuyết nghiên cứu ................................................................................ 62 T 0 T 0 CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM ............................................................................... 64 T 0 T 0 3.1. Mục đích thực nghiệm .......................................................................................................... 64 T 0 T 0 3.2. Hình thức và tổ chức thực nghiệm ...................................................................................... 64 T 0 T 0 3 3.3. Phân tích thực nghiệm .......................................................................................................... 64 T 0 T 0 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 84 T 0 T 0 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 86 T 0 T 0 4 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Chí Thành, TS. Vũ Như Thư Hương đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức về didactic toán. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành: - Tất cả các bạn học viên cao học khóa 18, những người đồng hành cùng tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu về didactic toán. - Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Cần Đước đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo môi trường học tập, nghiên cứu thuận lợi cho chúng tôi. - Gia đình và những người thân đã luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt khóa học. Hoàng Thị Oanh 5 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT PCCD : Phép chia có dư PCH : Phép chia hết ƯCLN : Ước chung lớn nhất TCTH : Tổ chức toán học KNV : Kiểu nhiệm vụ THPT : Trung học phổ thông THCS : Trung học cơ sở TH : Tiểu học SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên SBT : Sách bài tập SGK3 : Sách giáo khoa toán 3 SGK4 : Sách giáo khoa toán 4 SGK5 : Sách giáo khoa toán 5 SGK6 : Sách giáo khoa toán 6 SGK7 : Sách giáo khoa toán 7 MTBT : Máy tính bỏ túi Tr : Trang 6 MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát: Sau khi tham khảo luận văn của thạc sĩ Phạm Ngọc Bảo (2002) về đề tài “Nghiên cứu Didactic về bước chuyển từ phân số như là “những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị” đến phân số như là “ thương” ở lớp 3 và lớp 4 và việc đào tạo giáo viên tiểu học về phân số”, chúng tôi chú ý những nhận xét về phép chia hết và phép chia có dư xuất hiện ở tiểu học trong những tình huống và nghĩa của phép chia trong những tình huống đó. Phép chia có những nghĩa như sau: - Phép chia là sự phân phối lần lượt, mỗi lần một đối tượng cho đến hết. - Phép chia là sự phân phối bằng nhau các nhóm, mỗi nhóm có hơn một đối tượng. - Phép chia là phép toán ngược của phép nhân: muốn tìm kết quả của phép chia cần dựa vào phép nhân tương ứng. Nghĩa của phép chia hết và phép chia có dư: - Phép chia hết là sự phân phối lần lượt các đối tượng bằng nhau cho đến hết. - Phép chia có dư là sự phân phối lần lượt các đối tượng cho đến khi còn một số đối tượng không thể phân phối đều được nữa. Tuy nhiên khi làm tính trên số, phép chia hết và phép chia có dư lại có nghĩa: - Phép chia hết là phép chia mà không có dư - Phép chia có dư là phép chia có thương là số nguyên và số dư bé hơn số chia. Luận văn chỉ đề cập đến nghĩa của phép chia ở bậc tiểu học. Như vậy, các câu hỏi sau đây được đặt ra: Phép chia có dư được tiếp tục trình bày ở THCS và THPT như thế nào? Đối tượng này có còn mang những nghĩa như đã nhắc tới ở SGK tiểu học nữa hay không? Phép chia có dư xuất hiện trong chương trình nhằm giải quyết những vấn đề toán học gì? 7 2. Khung lý thuyết tham chiếu Chúng tôi sẽ vận dụng lý thuyết nhân học của Chevallard để phân tích các thể chế dạy học nhằm xác định mối quan hệ thể chế với đối tượng phép chia có dư trong các thể chế dạy học đại học và phổ thông. Tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với phép chia có dư, hiểu về PCCD và thao tác về PCCD. Để nghiên cứu mối quan hệ cá nhân này, chúng tôi cần đặt trong mối quan hệ thể chế dạy học PCCD ở bậc phổ thông. Bên cạnh đó, chúng tôi xây dựng các tổ chức toán học xung quanh khái niệm phép chia có dư ở để làm rõ mối quan hệ ở hai thể chế trên. Kế tiếp chúng tôi vận dụng các lý thuyết của didactic toán để mô tả, giải thích kiến thức của học sinh về PCCD. Từ đó tìm mối liên hệ giữa kiến thức về PCCD và ứng xử của học sinh trước trước một nhiệm vụ cụ thể về PCCD. Với những phân tích này chúng tôi có thể giải thích hoặc tiên đoán bằng thuật ngữ quy tắc hành động liên quan khái niệm PCCD trong các câu trả lời của học sinh. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu: Q1. Khái niệm phép chia có dư đối với tri thức khoa học được trình bày như thế nào? Nó có những đặc trưng cơ bản nào? Phép chia có dư đóng vai trò công cụ cho những tri thức nào? Q2. Trong thể chế dạy học toán ở phổ thông Việt Nam phép chia có dư được giảng dạy như thế nào? Phép chia có dư xuất hiện trong thể chế dưới những hình thức biểu diễn nào? Mối quan hệ thể chế đối với số dư trong các hình thức biểu diễn đó như thế nào? 3. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi thực hiện trong luận văn này là: Tiến hành nghiên cứu so sánh việc đưa vào phép chia có dư trong hai thể chế. • Thể chế dạy học phép chia có dư ở bậc đại học: Cụ thể là nghiên cứu các giáo trình đại học về việc trình bày phép chia có dư như thế nào và các ứng dụng của phép chia có dư để giải quyết những vấn đề nào. • Thể chế dạy học phép chia có dư ở trường phổ thông: phân tích SGK tiểu học và THCS, phép chia có dư được giảng dạy như thế nào, kiến thức này được đưa vào để giải quyết những bài toán nào trong chương trình. Dựa trên việc tổng kết các kết quả 8 phân tích đưa ra những giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của chúng sẽ được kiểm nghiệm bằng thực nghiệm. • Xây dựng tình huống thực nghiệm đối với học sinh để kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu đã được đặt ra ở trên. Phương pháp nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau: NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY (Thể chế dạy học Việt Nam) THỰC NGHIỆM 4. Tổ chức luận văn: Luận văn gồm những phần chính sau đây: • Phần mở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát dẫn đến việc lựa chọn đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và tổ chức của luận văn. • Chương 1: Trình bày khái niệm phép chia có dư ở cấp độ tri thức khoa học trong các giáo trình đại học để làm rõ đặc trưng cơ bản của khái niệm phép chia có dư và cơ chế công cụ của khái niệm này. • Chương 2: Chúng tôi phân tích quan hệ thể chế dạy học phép chia có dư trong SGK phổ thông. Từ đó chúng tôi đưa ra những câu hỏi mới và các giả thuyết nghiên cứu. • Chương 3: Trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của các giả thuyết mà chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 2. • Phần kết luận Tóm tắt các kết quả đạt được trong các chương 1, 2, 3 và đề xuất một số hướng nghiên cứu có thể mở ra của luận văn. 9 10 CHƯƠNG 1: KHÁI QUÁT VỀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Ở BẬC ĐẠI HỌC Mục tiêu của chương Chương này có mục tiêu làm rõ đặc trưng của phép chia có dư và cơ chế công cụ của phép chia có dư trong một số giáo trình ở bậc đại học. Cụ thể hơn, qua phân tích các giáo trình này chúng tôi cố gắng tìm hiểu cách trình bày khái niệm phép chia có dư trong các giáo trình đại học và các ứng dụng của phép chia có dư cũng như vai trò công cụ của phép chia có dư trong nghiên cứu những khái niệm có liên quan. Chúng tôi chọn phân tích ba giáo trình, thuộc các lĩnh vực số học, toán rời rạc và đại số đại cương được sử dụng phổ biến trong các trường đại học phía Nam : [a] Đậu Thế Cấp (2008) - Số học, NXB Giáo dục. [b] Kenneth H. Rosen (2001) - Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, NXB Lao động – Người dịch: Bùi Xuân Toại. [c] Hoàng Xuân Sính (1998) – Đại số đại cương, NXB Giáo dục. Mục đích của việc lựa chọn các giáo trình này là do phép chia có dư và các vấn đề có liên quan đến phép chia có dư trình bày trong các giáo trình này khá phong phú. Phân tích so sánh các giáo trình trên sẽ cho phép làm rõ sự khác nhau trong cách trình bày phép chia có dư ở cấp độ giáo tri thức khoa học. Điều này làm cơ sở tham chiếu cho chúng tôi thực hiện phân tích phép chia có dư được giảng dạy ở phổ thông. 1.1. Phép chia có dư trong giáo trình [a] – Số học 1.1.1. Phép chia có dư xét trên phương diện đối tượng Trong giáo trình [a] phép chia đề cập lần đầu tiên ở chương 1 trong tập hợp số tự nhiên. Định nghĩa phép chia được trình bày ở trang 11 như sau: “Cho hai số tự nhiên a và b, b ≠ 0. Nếu có số tự nhiên c sao cho cb = a thì c được gọi là thương trong phép chia a cho b.” Phép chia trình bày theo quan điểm phép chia là phép toán ngược của phép toán nhân. Định nghĩa ngầm ẩn việc tìm một số chưa biết c khi ta đã có a và b tức là một dạng 11 giải phương trình. Qua phần trình bày của định nghĩa, phương trình này không phải lúc nào cũng có nghiệm, có nghĩa thương của phép chia hai số tự nhiên không phải lúc nào cũng tồn tại. Trong phần nhận xét, giáo trình nêu: “Nếu thương a : b tồn tại thì a = b. (a:b). Suy ra a = 0 hoặc a ≥ b” [trang 11] với điều kiện trên thì phép chia này được gọi là phép chia hết. Định nghĩa trình bày trong bài “Phép trừ và phép chia” thế mà qua cách trình bày không thể hiện mối quan hệ nào giữa phép trừ và phép chia. Trong bài “Phép chia có dư”, trước khi định nghĩa phép chia có dư [a] đưa vào định lý 5 ở trang 11 như sau: “Cho hai số tự nhiên a và b, b ≠ 0. Khi đó tồn tại duy nhất cặp số tự nhiên q, r thỏa mãn a = bq + r ; 0 ≤ r < b” Sau phần chứng minh của định lý, trên cơ sở của định lý mà phép chia có dư trong tập hợp số tự nhiên định nghĩa như sau: “Chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b (b ≠ 0) là tìm hai số tự nhiên q và r thỏa mãn: a = bq + r ; 0 ≤ r < b a được gọi là số bị chia, b được gọi là số chia, q được gọi là số thương, r được gọi là số dư. Nếu r = 0 thì ta nói a chia hết cho b.” Định nghĩa nêu đặc trưng của phép chia có dư với mọi số tự nhiên a, b (b ≠ 0 ) thì luôn tìm được q và r thỏa mãn biểu thức a = bq + r. Vậy phép chia có dư luôn thực hiện được trong tập hợp số tự nhiên. Trong [a] phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư. Cho đến chương 3, định lý về phép chia có dư còn gọi là định lý cơ bản phát biểu trong tập hợp Z: “Cho hai số nguyên a và b, b ≠ 0, khi đó tồn tại duy nhất cặp số nguyên q, r sao cho: a = bq + r ; 0 ≤ r< |b|” Định lý này là mở rộng của định lý 5 nêu ở chương 1. Chứng minh của định lý cơ bản kế thừa chứng minh định lý 5. Ta chú ý phần chứng minh của định lý trong trường hợp b > 0, a < 0. Khi a < 0 thì – a > 0 khi đó tồn tại q, r để a = bq + r hay a = - bq – r ; 0 ≤ r < b o khi r = 0 thì a = - bq tức cặp số cần tìm là ( - q , 0) o khi 0 < r < b thì a = - bq – r = b ( - q - 1) + b – r ; 0 < b – r < b. 12 Cặp số cần tìm là (- q -1, b - r). Trường hợp a < 0, để thoả mãn yêu cầu số dư là số dương ta thực hiện thêm bớt cho số chia để tìm cặp số (q, r), phần chứng minh thể hiện sự ngầm ẩn phép chia có dư có nghĩa phép trừ liên tiếp số bị chia cho số chia tới khi được một số nhỏ hơn số chia Ví dụ phép chia có dư: – 14 chia cho 3. Ta có - 14 = - 3.4 – 2 = 3( - 4 - 1) + 3 – 2 = 3. (- 5) +1. Ví dụ minh họa đã ứng dụng kỹ thuật trong phần chứng minh trên để giải thích việc tìm cặp (q, r) cho trường hợp a < 0. Tương tự, định nghĩa phép chia có dư và phép chia hết trong tập hợp số nguyên được đưa vào ngay sau chứng minh định lý ở trang 41 như sau: “Cho hai số nguyên a và b, b ≠ 0, thực hiện phép chia có dư số a cho số b là tìm cặp số nguyên q, r sao cho a = bq + r ; 0 ≤ r < |b|. Số a được gọi là số bị chia, b được gọi là số chia, q được gọi là số thương, r được gọi là số dư. Nếu số dư r = 0 thì a = bq. Trong trường hợp này ta nói phép chia là chia hết và cũng gọi là : a chia hết cho b, a là bội số của b; kí hiệu a  b; hoặc : b chia hết a, b là ước của a; kí hiệu b/a” Như vậy, phép chia có dư đã được định nghĩa trên tập số Z. Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư. Trong phép chia có dư thì số dư luôn là số nguyên không âm và bé hơn số chia. Bên cạnh đó, giáo trình [a] đã đưa ra các ngôn ngữ tương đương của đặc trưng chia hết là “bội” và “ước”. Sau phần định nghĩa [a] không đưa ra một ví dụ nào để minh họa cho phép chia có dư. Điều này gây không ít khó khăn cho người học khi biểu diễn số nguyên âm dưới dạng phép chia có dư. Phần tiếp theo của [a] giới thiệu tính chất cơ bản của chia hết và các kiểu nhiệm vụ liên quan tới tính chia hết. 1.1.2. Phép chia có dư xét trên phương diện công cụ. a. Ước chung lớn nhất (ƯCLN) Định nghĩa ƯCLN ở trang 44 như sau: 13 “Nếu số d là ước số của tất cả các số a 1 , a 2 ,..,a n thì d được gọi là ước chung của các R R R R R R số a 1 , a 2 ,..,a n . R R R R R R Một ước chung của các số a 1 , a 2 ,..,a n được gọi là ước chung lớn nhất (ƯCLN) nếu R R R R R R nó chia hết cho mọi ước chung của các số đó. ƯCLN của a 1 , a 2 ,..,a n được kí hiệu là ƯCLN(a 1 , a 2 ,..,a n ). R R R R R R R R R R R R ƯCLN dương của a 1 , a 2 ,..,a n được kí hiệu là (a 1 , a 2 ,..,a n ).” R R R R R R R R R R R R Trong tập hợp các ước chung, theo hình thức thì ước chung lớn nhất là số lớn nhất trong tập ước chung, định nghĩa đã nêu rõ bản chất của ƯCLN là ước chung chia hết cho mọi ước chung còn lại. Thông qua định nghĩa ta có thể nhận thấy kỹ thuật tìm ƯCLN đã chỉ rõ nhưng kỹ thuật này có thể mất nhiều thời gian khi các số đó là những số rất lớn. Từ định nghĩa ƯCLN thì [a] cũng đưa vào định nghĩa số nguyên tố cùng nhau và số nguyên tố sánh đôi. Một số tính chất sử dụng đến phép chia có dư để tìm ƯCLN chẳng hạn như tính chất 5, 6 ở trang 45 như sau: “5. Nếu có số a j sao cho a j \ a i với mọi i = 1, 2,..., n thì ƯCLN (a 1 , a 2 , ..., a n ) = ± a j R R R R R R R R R R R R R 6. Cho a = bq + c; a, b, c, q ∈ Z. Khi đó mỗi ước chung của a, b cũng là ước chung của b, c và ngược lại.” Tính chất được nêu ra mà không trình bày chứng minh, ghi cụ thể như sau: a = bq + r thì (a, b) = (b, r) Đây cũng là cơ sở để giải thích cho cách tìm ƯCLN bằng thuật toán Euclide. Thuật toán Euclide đưa vào ở trang 46 như sau: “Cho hai số nguyên a ≠ 0 và b ≠ 0. Khi đó theo định lý 1, ta tìm được các cặp số (q 0 , r 0 ),(q 1 , r 1 ),...,(q n , r n ) sao cho R R R R R R R R R R R R a = bq 0 + r 0 ; 0 < r 0 < |b| R R R R R R b = r0q1 + r1 ; 0 < r1 < r0 R R R R R R R R R R r0 = r1q2 + r2 ; 0 < r2 < r1. R R R R R R R R R R R R ………… rn – 3 = rn – 2qn – 1 + rn – 1 ; 0 < rn – 1 < rn – 2 R R R R R R R R R R R r n – 2 = r n – 1 q n + r n ; r n = 0. R R R R R R R R R R Vì |b| > r 0 > r 1 > ….. là dãy số tự nhiên giảm dần nên phải có r n = 0, khi đó thuật toán kết R R R R R R thúc. Dãy các số a, b, r 0 , r 1 ,….r n – 1 được gọi là dãy số Euclide của hai số a, b.” R R R R R R Dựa vào thuật toán Euclide và các tính chất của ƯCLN, chúng ta có thể tìm được ƯCLN của hai số a, b: (a, b) = (b, r 0 ) = ... = (r n-2 , r n-2 ) = r n-1 . Có thể nói nó là số dư cuối R R R R R R R R cùng khác không trong thuật toán Euclide. Thuật toán Euclide đã thực hiện một chuỗi phép 14 chia có dư liên tiếp, mà trong các phép chia có dư, chúng ta chỉ chú ý đến số dư. Thuật toán này, số dư đóng vai trò quan trọng, thuật toán sẽ dừng lại khi r = 0. Bên cạnh đó [a] cũng đưa ra lược đồ tìm ƯCLN của nhiều số nguyên a 1 , a 2 , ... , a n . R R R R R R (a 1 , a 2 ) = D 1 R R R R R (D 1 , a 3 ) = D 2 R R R R R .............. (D n-2 , a n ) = D R R R R vậy (a 1 , a 2 , ... , a n ) = D. R R R R R R Dựa vào nhận xét: “Vì d / a ⇔ d / (-a) nên khi tìm ƯCLN ta có thể thay các số âm bởi số đối của chúng.” [trang 48]. Vì vậy bài toán tìm ƯCLN của số nguyên ta chỉ quan tâm tới việc tìm ƯCLN của những số nguyên dương. Bài toán tìm ƯCLN thường gắn liền với bài toán tìm bội chung nhỏ nhất, nhưng trong luận văn này chúng tôi chỉ tìm hiểu về ƯCLN. b. Quan hệ đồng dư Định nghĩa đồng dư được nêu ở trang 57: “Cho m ∈ N *. Các số nguyên a và b được gọi là đồng dư theo môdun m nếu các phép chia a RRP P cho m và b cho m có cùng số dư. Kí hiệu : a ≡ b (mod m).” Nếu a và b đồng dư theo môdun m thì a – b là bội của m. Tính chất đặc trưng của quan hệ đồng dư theo môdun m là quan hệ tương đương. Với định nghĩa trên, tập hợp số nguyên được phân hoạch thành các lớp tương đương và được gọi là lớp thặng dư. Quan hệ đồng dư theo môdun m có m lớp thặng dư: 0, 1 , 2,....., m − 1 . Trong phần lý thuyết của quan hệ đồng dư có định lý quan trọng về dấu hiệu chia hết ở trang 60 như sau: “Điều kiện cần và đủ để một số A= an an −1...a1a0 viết trong hệ cơ số g chia hết cho số d là g tổng a 0 r 0 + a 1 r 1 +... + a n r n chia hết cho d, trong đó r i là các số nguyên sao cho g i ≡ ri R R R R R R R R R R R R R R mod(d), i = 0, 1, ..., n.” Từ định lý, [a] đưa ra các ví dụ về dấu hiệu chia hết cho 2, 5 và 3, 9 và 11. Đây là những dấu hiệu chia hết thường gặp. Định lý này phát biểu dấu hiệu chia hết với cơ số bất kì, Những ví dụ minh họa đều trong hệ thập phân. 15 Ứng dụng của phép chia có dư trong thuật toán Euclide còn là công cụ để giải phương trình vô định. Định nghĩa số nguyên tố cũng dựa vào tính chất của phép chia hết: “Số tự nhiên lớn hơn 1 được gọi là số nguyên tố nếu chỉ có hai ước số (tự nhiên) là 1 và chính nó.” Các tính chất của số nguyên tố hay phân tích một số ra thừa số nguyên tố cũng dựa vào các dấu hiệu chia hết và không chia hết của các số tự nhiên.  Tổ chức toán học gắn liền với phép chia có dư.  Kiểu nhiệm vụ T DCS : Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g. R R Ví dụ trang 17: Viết số 115 sang hệ ghi cơ số 3. 115 3 1 38 2 3 12 3 0 4 3 1 1 vậy 115 = 110213  Kỹ thuật τ DCS : + Thực hiện liên tiếp các phép chia có dư số tự nhiên x và các thương của các phép chia đó cho cơ số g. 0 ≤ a0 < g x = g.x 0 + a 0 , R R R R x 0 = g.x 1 + a 1 R R R R R R 0 ≤ a1 < g , .... x n = g.0 + a n , R R R R 1 ≤ an < g + Phép chia dừng lại khi thương số bằng 0 + Dãy các số dư viết theo thứ tự đảo ngược chính là kết quả cần tìm. Kỹ thuật này được [a] nêu rõ: “Để đổi một số x từ hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g ta thực hiện chia liên tiếp x cho g. Số dư lần chia đầu là a 0 , số dư lần tiếp theo là a 1 ,.. số R R R R dư lần cuối cùng là a n. . Ta được x = an an −1...a1a0 ” R R g Trong cách trình bày chúng tôi nhận thấy có một vấn đề là thương số cuối cùng cũng chính là số dư cuối cùng của phép chia tức phép chia dừng lại khi x n < g. Trong cách giải R 16 R mong đợi được nêu ra bởi [a] không giải thích cho kết quả này. Trong kỹ thuật, khi thực hiện liên tiếp các phép chia có dư thì kết quả của bài toán là dãy những số dư. Số dư đóng vai trò quan trọng trong kiểu nhiệm vụ này. Điều kiện dừng của thuật toán không được nêu rõ trong [a]. Quá trình thực hiện phép chia phải dừng lại sau hữu hạn bước do g > 1 nên x > x 0 > x 1 > x 2 ....dãy x i giảm dần, do đó tồn tại n để x n = 0. R R R R R R R R R R  Công nghệ θ DCS : Định nghĩa phép chia có dư  Kiểu nhiệm vụ T CH : Chứng minh rằng: P(n)  a, ∀n ∈ Z , a ∈ N * . R R Ví dụ trang 43: Chứng minh rằng tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. Giải Giả sử tích của ba số đó là A = n(n + 1)(n + 2). Viết n dưới dạng n = 6k + r; với r = 1, 2, 3, 4, 5. Nếu r = 0 thì n  6 thì A  6. Nếu r = 1 thì n + 1  2; n+2  3 thì A  6 ... Vậy với mọi n ∈ Z ta có n(n + 1)(n + 2)  6  Kỹ thuật τ CH : + Phân hoạch Z thành các lớp thặng dư: n = ak + r; với 0 ≤ r < a + Chứng minh mệnh đề chứa biến đúng trong từng lớp thặng dư.  Công nghệ θCH : Các tính chất chia hết. Định nghĩa phép chia có dư.  Lý thuyết ΘCH : Quan hệ tương đương, quan hệ đồng dư. Đây là kiểu nhiệm vụ cơ bản của chương, có nhiều kỹ thuật giải như dùng phương pháp chứng minh quy nạp, chứng minh phản chứng, dùng kỹ thuật phân tích nhân tử. Trong một bài toán các kỹ thuật này kết hợp với nhau để giải quyết nhiệm vụ này. Kỹ thuật phân hoạch Z thành những lớp thặng dư có nhiều cách ghi khác nhau nhưng chúng tôi nhận thấy thường theo hai cách: • Không âm, nhỏ nhất: {0,1,2,...m – 1} • Có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất:{0, ± 1, ± 2,..., ± {0, ± 1, ± 2,..., ± m −1 } nếu m lẻ 2 và m−2 m , } nếu m chẵn. Trong [a] dùng cách ghi thứ nhất. Để giảm bớt 2 2 17 độ lớn của các số trong các phép tính, người ta có thể chọn những đại diện phân bố quanh 0 như cách ghi thứ hai.  Kiểu nhiệm vụ T ƯCLN : Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên. R R  Kỹ thuật τ UCLN .DN : + Liệt kê tất cả các ước của các số nguyên. + Tìm ước chung của tập hợp số này. + Số lớn nhất của ước chung chính là ƯCLN. Dựa vào định nghĩa ta có được kỹ thuật này. Chúng tôi nhận thấy kỹ thuật này tốn thời gian và công sức nên thực tế ít được áp dụng để tìm ƯCLN.  Công nghệ θUCLN .DN :Phép chia hết và các tính chất cơ bản của phép chia hết. Ví dụ trang 47: Tìm ƯCLN của 119 và 84 Ta có 119 = 84.1 + 35 84 = 35.3 + 14 35 = 14.2 + 7 14 = 7.2 vậy (119, 84) = 7  Kỹ thuật τ UCLN .TTE : Dùng thuật toán chia Euclide để tìm ƯCLN.  Công nghệ θUCLN .TTE : + Các tính chất ƯCLN. + Định lý cơ bản về phép chia có dư.  Lý thuyết ΘUCLN .TTE + Sắp thứ tự tốt của tập N. + Vành Euclide Ví dụ trang 73: Tìm ƯCLN của 96, 240, 168, 360 Ta có 96 = 25.3 P P 240 = 24.3.5 P P 168 = 23.3.7 P P 360 = 23.32.7 P P P P vậy (96, 240, 168, 360) = 23.3 = 24. P P  Kỹ thuật τ UCLN . NT : + Phân tích các số nguyên a thành dạng phân tích tiêu chuẩn: 18 a 1 = p1α . p2α ... pk α k a 2 = p1β . p2 β ... pk β k 1 R 2 R 1 R 2 R ........ a n = p1γ . p2γ ... pk γ , 1 R k 2 R ƯCLN(a 1 ,a 2 , ... ,a n ) = p1min(α , β ,γ ) . p2 min(α 1 R R R R R 1 1 2 , β 2 ,γ 2 ) R ... pk min(α k , β k , γ k ) , với α i≥ 0, β i ≥ 0, γ i ≥ 0, i = 1...k  Công nghệ θ UCLN . NT : + Số nguyên tố, dấu hiệu chia hết. + Quy tắc nhân lũy thừa.  Lý thuyết ΘUCLN . NT : định lý “Mỗi hợp số đều phân tích được thành tích của các thừa số nguyên tố và nếu không kể đến thứ tự của các thừa số thì sự phân tích là duy nhất.” Trong ba kỹ thuật tìm ƯCLN, ta thấy rằng kỹ thuật τ UCLN . NT là có nhiều ưu điểm hơn cả. Nhờ vào MTBT để phân tích ra thừa số nguyên tố, và tìm ƯCLN của nhiều số nguyên nhanh hơn. Kỹ thuật này khắc phục điểm yếu của những kỹ thuật khác. Bài toán tìm bội chung nhỏ nhất là bài toán luôn đi với bài toán tìm ƯCLN, tuy nhiên trong luận văn này chúng tôi chỉ xem xét về ƯCLN.  Kiểu nhiệm vụ T SD : Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z. R R Các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ T SD của giáo trình có số bị chia rất lớn được biểu diễn R R dưới dạy lũy thừa. Vì thế kỹ thuật giải phải huy động các định lý về quan hệ đồng dư. Ví dụ trang 60 Tìm số dư phép chia (530 + 50)30 cho 24 P P P P Giải 52 ≡ 1(mod 24) ⇒ 530 ≡ 1(mod 24) P P P P 50 ≡ 2(mod 24), do đó 530 + 50 ≡ 3(mod 24) và (530 + 50)30 ≡ 330(mod 24) P P P P P P P P [...] Vì (530 + 50)30 ≡ 9 (mod 24) nên số dư phép chia (530 + 50)30 cho 24 là 9. P P P P P P P P  Kỹ thuật τ SD : Dùng quan hệ đồng dư cho từng số hạng, sử dụng các tính chất của đồng dư thức tìm số dư của phép chia.  Công nghệ θ SD : Định nghĩa quan hệ đồng dư, tính chất quan hệ đồng dư. 19 Số dư có vai trò quan trọng trong một số bài toán của số học hay tin học vì vậy trong kiểu nhiệm vụ này giáo trình thường huy động các đinh lý sau. 1. Định lý Fermat dạng: Nếu p là nguyên tố và (a, p) = 1 thì: ap – 1 ≡ 1 (mod p) P P ϕ (m) ≡ 1 (mod m) 2. Định lý Euler, (a, m) = 1 thì a * ⇒ a kϕ ( m ) ≡ 1 (mod m) ⇒ a r + kϕ ( m ) ≡ a r (mod m) (r ∈ N ) P P nói theo cách khác, nếu n, r ∈ N và n ≡ r (mod ϕ (m) ) thì an ≡ ar (mod m) P P P P  Kiểu nhiệm vụ T NNPT : Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định ax + by = c. R R Ví dụ trang 103: Giải phương trình: 53x + 32y = 14 Vì (53, 32)= 1 nên phương trình có nghiệm Theo thuật toán Euclide, ta tìm được các số u = - 3 và v = 5: 53.( - 3) + 32.5 = 1 53.( - 42) + 32. 70 = 14 Vậy ( - 42, 70) là một nghiệm của phương trình và họ tất cả các nghiệm của phương trình là:  x = −42 + 32t   y = 70 − 53t t∈Z  Kỹ thuật τ NNPT : + Sử dụng thuật toán Euclide tìm ƯCLN(a, b) = D. + Tìm số u, v thỏa đẳng thức: au + bv = D. + Một nghiệm của phương trình là: x 0 = R R cu cv ; y0 = D D R R b   x = x0 + D t họ nghiệm của phương trình là:  y = y − a t 0  D t∈Z  Công nghệ θ NNPT : + Định lý về phép chia có dư + Các tính chất về ƯCLN. Định lý: “ Nếu D là ƯCLN của hai số a, b thì tồn tại các số nguyên u, v sao cho D = au + bv” + Phương trình đồng dư 20