Tài liệu Phép biến đổi stieltjes và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 VŨ THỊ ĐỊNH PHÉP BIẾN ĐỔI STIELTJES VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 VŨ THỊ ĐỊNH PHÉP BIẾN ĐỔI STIELTJES VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÀO HÀ NỘI, 2017 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các cán bộ phòng Sau đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 07 năm 2017 Tác giả VŨ THỊ ĐỊNH Lời cam đoan Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phép biến đổi Stieltjes và áp dụng” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 07 năm 2017 Tác giả VŨ THỊ ĐỊNH Mục lục Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Tích phân suy rộng với cận vô tận (Tích phân suy rộng loại I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 1.2 3 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn (Tích phân suy rộng loại II) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 3 8 Liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng . . . . . . . 10 Tích phân phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Tích phân phụ thuộc tham số trên một đoạn . . . . 12 1.2.2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận vô tận 13 1.2.3 Tích phân phụ thuộc tham số của các hàm không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Phép biến đổi Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5 Hàm Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1 Khái niệm hàm Bessel và một số mối quan hệ liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 i 1.5.2 Một số tính chất cơ bản của hàm Bessel . . . . . . . 27 2 Phép biến đổi Stieltjes và áp dụng 29 2.1 Khái niệm về phép biến đổi Stieltjes . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Một số tính chất toán tử của phép biến đổi Stieltjes . . . . 32 2.4 Phép biến đổi Stieltjes ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5 Một số áp dụng của phép biến đổi Stieltjes . . . . . . . . . 41 2.5.1 Giải bài toán Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5.2 Nghiệm của phương trình tích phân . . . . . . . . . 42 Kết luận 45 Phụ lục 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 ii Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài. Biến đổi tích phân là một phép tính toán tử, được hình thành từ những năm cuối thế kỉ XIX. Về mặt lịch sử, khái niệm biến đổi tích phân được bắt nguồn từ những nghiên cứu rất nổi tiếng về lý thuyết khai triển một hàm số thành chuỗi lượng giác của Fourier và sau đó được phát triển tới tích phân Fourier hay phép biến đổi Fourier. Ý nghĩa quan trọng của phép biến đổi tích phân này là cung cấp những phương pháp toán tử hiệu lực để giải quyết những bài toán về phương trình vi phân, phương trình sai phân và phương trình tích phân. Hai phép biến đổi tích phân Fourier và Laplace được đánh giá rất quan trọng không chỉ trong Toán học mà còn nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác. Đáng kể hơn để nói về hai phép biến đổi này là các ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán về phương trình vi phân xuất hiện trong xử lý về mạch điện và màng rung trong môi trường chất lỏng. Xuất phát từ một số vấn đề thuộc lĩnh vực thực tiễn trong vật lý, nhà toán học Stieltjes giới thiệu một phép biến đổi tích phân để giải quyết những bài toán này. Để hoàn thành luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích, em chọn đề tài nghiên cứu về “Phép biến đổi Stieltjes và áp dụng”. 2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu. Nghiên cứu về 1 phép biến đổi Stieltjes và một số áp dụng của nó. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Nghiên cứu về khái niệm và một số tính chất cơ bản của phép biến đổi Stieltjes; phép biến đổi Stieltjes ngược; mối quan hệ giữa phép biến đổi Stieltjes và một số phép biến đổi tích phân khác như phép biến đổi Mellin và phép biến đổi Laplace. 4. Phương pháp nghiên cứu. Tra mạng tìm tài liệu, phân tích và tổng hợp kiến thức, xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn. 5. Dự kiến đóng góp của đề tài. Trình bày một cách có hệ thống về khái niệm cùng các tính chất cơ bản của phép biến đổi Stieltjes. Trình bày một số áp dụng của phép biến đổi Stieltjes trong việc giải hai bài toán xuất hiện từ các vấn đề trong lĩnh vực vật lý: Bài toán Moment; Bài toán tìm nghiệm của phương trình tích phân ∞ f (t) dt = f (x). t+x λ 0 2 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị (Kiến thức trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3], [5]) 1.1 1.1.1 Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng với cận vô tận (Tích phân suy rộng loại I) Định nghĩa 1.1. Cho hàm f (x) xác định trên [a, +∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, b] với b > a. Biểu thức +∞ b f (x)dx = lim f (x)dx b→+∞ a (1.1) a được gọi là tích phân suy rộng loại I của hàm f (x) trong khoảng [a, +∞). +∞ f (x)dx được gọi Nếu giới hạn (1.1) tồn tại và hữu hạn thì tích phân a là hội tụ. Nếu giới hạn (1.1) bằng ±∞ hoặc không tồn tại thì tích phân +∞ f (x)dx được gọi là phân kỳ. a Tương tự, nếu hàm f (x) xác định trên (−∞, b] thì ta định nghĩa b b f (x)dx = lim f (x)dx. a→−∞ −∞ a 3 Nếu f (x) xác định trên (−∞, +∞) thì ta định nghĩa +∞ a f (x)dx = −∞ +∞ f (x)dx + −∞ f (x)dx. a Trong định nghĩa cuối cùng, nếu tích phân tồn tại thì không phụ thuộc việc chọn giá trị của cận a. +∞ dx ; a > 0. x2 Ví dụ 1.1.1. Tính tích phân suy rộng a Với mọi b > a ta có b dx 1 1 =− + . x2 b a a Do đó, tích phân trên có giá trị như sau +∞ b dx = lim x2 b→+∞ a dx 1 1 = lim − 2 b→+∞ a x b 1 = ; a > 0. a a Các kết quả cơ bản nhất về tích phân này cũng như tích phân suy rộng của hàm không bị chặn trong phần sau, chúng tôi xin chỉ giới thiệu mà không đưa ra các chứng minh trực tiếp, cụ thể ta có thể tham khảo trong tài liệu [1]. Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ). Giả sử f (x) là hàm số xác định trên [a, +∞). Giả sử rằng f (x) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn +∞ [a, b] với b > a. Khi đó, tích phân f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi với mọi a 4 ε > 0 tồn tại b0 > a sao cho với mọi b , b > b0 ta có b f (x)dx < ε. b Định lý 1.2. Giả sử f (x) là hàm số xác định trên [a, +∞) và khả tích +∞ trên mọi đoạn hữu hạn [a, b] với b > a. Khi đó, tích phân f (x)dx hội a +∞ f (x)dx với c > a cũng hội tụ và tụ khi và chỉ khi tích phân c +∞ c f (x)dx = a +∞ f (x)dx + a f (x)dx. c +∞ f (x)dx và Định lý 1.3 (Tính chất tuyến tính). Giả sử các tích phân a +∞ +∞ (α.f (x) ± β.g(x)) dx; với α và β g(x)dx hội tụ. Khi đó, tích phân a a là các hằng số thực, cũng hội tụ và ta có +∞ +∞ (α.f (x) ± β.g(x)) dx = α a +∞ f (x)dx ± β a g(x)dx. a Tích phân suy rộng loại I của hàm số không âm Định lý 1.4. Cho các hàm f (x) > 0 và g(x) > 0; với mọi x ∈ [a, +∞). Giả sử f (x) = k ∈ (0, +∞). x→+∞ g(x) lim 5 +∞ +∞ f (x)dx và Khi đó, các tích phân a g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân a kỳ. Định lý 1.5. Giả sử f (x) và g(x) là các hàm khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, b] sao cho 0 ≤ f (x) ≤ g(x); với mọi x ∈ [a, +∞). Khi đó +∞ (i) Nếu +∞ g(x)dx hội tụ thì a f (x)dx hội tụ; a +∞ +∞ g(x)dx phân kỳ. f (x)dx phân kỳ thì (ii) Nếu a a Một số dấu hiệu hội tụ Định lý 1.6 (Dấu hiệu Abel). Cho các hàm f (x) và g(x) là các hàm xác định và liên tục trên [a, +∞). Giả sử rằng +∞ (i) Tích phân f (x)dx hội tụ; a (ii) Hàm g(x) có đạo hàm liên tục trên [a, +∞) và đơn điệu bị chặn trong khoảng đó, tức là tồn tại hằng số M > 0 sao cho |g(x)| ≤ M ; với mọi x ∈ [a, +∞) . 6 +∞ f (x).g(x)dx hội tụ. Khi đó, tích phân a Định lý 1.7 (Dấu hiệu Dirichlet). Cho các hàm số f (x) và g(x) là các hàm xác định liên tục trên [a, +∞). Giả sử rằng (i) Hàm số f (x) có nguyên hàm F (x) bị chặn trên [a, +∞), tức là tồn tại hằng số M > 0 sao cho b |F (b)| = f (x)dx ≤ M, với mọi a ≤ b < +∞; a (ii) Hàm số g(x) có đạo hàm liên tục trên [a, +∞) và đơn điệu về 0 khi x → +∞. +∞ f (x).g(x)dx hội tụ. Khi đó, tích phân a Tích phân hội tụ tuyệt đối Định nghĩa 1.2. Cho hàm f (x) xác định trong khoảng [a, +∞). Khi đó, ta giới thiệu hai khái niệm sau +∞ +∞ |f (x)| dx hội tụ thì ta nói tích phân (i) Nếu tích phân a f (x)dx hội a tụ tuyệt đối. +∞ (ii) Nếu +∞ |f (x)| dx phân kỳ thì tích f (x)dx hội tụ nhưng tích phân a a +∞ f (x)dx được gọi là bán hội tụ hay là hội tụ không tuyệt đối. phân a 7 1.1.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn (Tích phân suy rộng loại II) Định nghĩa 1.3. Xét hàm số f (x) xác định trên [a, b) và không bị chặn tại điểm b. Giả sử rằng hàm f (x) khả tích trong mọi đoạn [a, b − ε], với ε > 0 đủ nhỏ. Giới hạn b b−ε f (x)dx = lim f (x)dx. ε→0 a (1.2) a được gọi là tích phân suy rộng loại II của hàm f (x) trên đoạn [a, b]. b f (x)dx hội tụ. Nếu Nếu giới hạn (1.2) tồn tại và hữu hạn thì tích phân a b giới hạn (1.2) không tồn tại hoặc bằng ±∞ thì tích phân f (x)dx phân a kỳ. Tương tự nếu hàm f (x) xác định trong khoảng (a, b] không bị chặn tại điểm a. Nếu hàm f (x) khả tích trong mọi đoạn [a + ε, b]; với ε > 0 đủ nhỏ, thì giới hạn b b f (x)dx = lim a ε→0 a+ε f (x)dx cũng được gọi là tích phân suy rộng loại II của hàm f (x) trên đoạn [a, b]. Nếu hàm f (x) không bị chặn tại c ∈ (a, b) thì ta định nghĩa tích phân suy 8 rộng của hàm này như sau b c f (x)dx = a b f (x)dx + a f (x)dx. c Định lý 1.8 (Tiêu chuẩn Cauchy [1]). Giả sử f (x) xác định trên (a, b] không bị chặn trong lân cận của điểm a, nhưng khả tích trên mọi đoạn [c, b]; b a < c ≤ b. Khi đó, tích phân g(x)dx hội tụ khi và chỉ khi với mọi số a ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi c , c ∈ R mà a < c ≤ c ≤ c + δ ≤ b thì ta có c f (x)dx < ε. c Định lý 1.9. Giả sử các hàm f (x) và g(x) xác định trên (a, b], không bị chặn tại điểm a và tồn tại giới hạn f (x) = k ∈ (0, +∞). x→a+ g(x) lim b b f (x)dx và tích phân Khi đó, tích phân a g(x)dx cùng hội tụ hoặc phân a kỳ. Định lý 1.10. Giả sử các hàm f (x) và g(x) xác định trên (a, b], không bị chặn tại a. Khi đó, nếu 0 ≤ f (x) ≤ g(x); với mọi x ∈ (a, b] thì b (i) từ sự hội tụ của tích phân tụ; b g(x)dx kéo theo tích phân a f (x)dx hội a 9 b (ii) từ sự phân kỳ của tích phân f (x)dx kéo theo sự phân kỳ của tích a b g(x)dx. phân a Định nghĩa 1.4. Cho f (x) xác định trên (a, b] không bị chặn tại a. Tích b b |f (x)| dx hội tụ. f (x)dx gọi là hội tụ tuyệt đối nếu tích phân phân a a Định lý 1.11. Cho f (x) xác định trên (a, b] không bị chặn tại a. Nếu tích b b |f (x)| dx hội tụ thì tích phân phân a 1.1.3 f (x)dx hội tụ. a Liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng Giả sử hàm số f (x) khả tích trên mọi đoạn [a + ε, b] với 0 < ε < b − a và không bị chặn tại lân cận điểm x = a. Khi đó b b f (x)dx = lim ε→0 a+ε a f (x)dx. 1 Thực hiện phép đổi biến x = a + , ta nhận được y 1 ε b f a+ f (x)dx = a+ε 1 b−a 1 dy = y y2 1 ε ϕ(y)dy, 1 b−a 10 trong đó ϕ(y) = 1 1 f a+ . Cho ε → 0 ta được y2 y 1 ε b a f (x)dx = lim ε→0 +∞ ϕ(y)dy = 1 b−a ϕ(y)dy. 1 b−a Đẳng thức trên biểu thị mối liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng loại I và loại II. 1 dx ; với α là số thực cho trước xα Ví dụ 1.1.2. Xét sự hội tụ của tích phân 0 Trường hợp α = 1, thì ta có 1 1 dx = lim ε→0 x dx = lim(− ln ε) = +∞. ε→0 x 0+ε 0 Trường hợp α = 1, thì 1 ε dx x1−α 1 1 ε1−α = − . = xα 1−α 1−α 1−α ε Do đó 1 dx 1 = ; xα 1−α + nếu α < 1 thì lim ε→0 ε 1 dx = +∞. xα + nếu α > 1 thì lim ε→0 ε 11 Như vậy, nếu α ≥ 1 thì tích phân phân kỳ và nếu α < 1 thì tích phân hội tụ. 1.2 1.2.1 Tích phân phụ thuộc tham số Tích phân phụ thuộc tham số trên một đoạn Định nghĩa 1.5. Cho hàm số hai biến số f (x, u) xác định trên hình chữ nhật R = (x, u) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ u ≤ d sao cho với mỗi u ∈ [c, d] cố định hàm x → f (x, u) khả tích trên đoạn [a, b]. Khi đó, tích phân b I(u) = f (x, u)dx; u ∈ [c, d] (1.3) a là một hàm số xác định trên [c, d] và được gọi là tích phân phụ thuộc tham số của hàm f (x, u) trên đoạn [a, b]. Định lý 1.12 (Tính khả vi). Giả sử hàm f (x, u) liên tục trên hình chữ nhật R = [a, b] × [c, d]. Nếu với mỗi u ∈ [c, d] cố định hàm x → f (x, u) liên tục trên [a, b] và đạo hàm riêng ∂f (x, u) liên tục trong hình chữ nhật ∂u R, thì tích phân phụ thuộc tham số b f (x, u)dx; u ∈ [c, d] I(u) = a 12 là hàm khả vi trên đoạn [c, d] và b ∂f (x, u)dx. ∂u I (u) = a Định lý 1.13 (Tính liên tục). Nếu hàm f (x, u) liên tục trên hình chữ nhật R = [a, b] × [c, d] thì tích phân phụ thuộc tham số b I(u) = f (x, u)dx a là hàm liên tục trên đoạn [c, d]. Định lý 1.14 (Tính khả tích). Nếu hàm f (x, u) liên tục trên hình chữ b nhật D = [a, b] × [c, d], thì hàm I(u) = f (x, u)dx khả tích trên [c, d] và a ta có công thức d d I(u)du = c 1.2.2 b  f (x, u)dx du =  c d  a b du c f (x, u)dx. a Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận vô tận Định nghĩa 1.6. Cho hàm f (x, u) xác định trên tập hợp R = {(x, u) : a ≤ x < +∞, c ≤ u ≤ d} . 13 Giả sử, với mỗi u ∈ [c, d] hàm x → f (x, u) khả tích suy rộng trong khoảng [a, +∞). Khi đó, tích phân +∞ I(u) = f (x, u)dx (1.4) a là một hàm xác định trên [c, d] và được gọi là tích phân suy rộng phụ thuộc tham số của hàm f (x, u). Tích phân trên hội tụ theo nghĩa: với mọi ε > 0 tồn tại b0 = b0 (ε, u) ≥ a sao cho với mọi b > b0 ta có b f (x, u)dx − I(u) < ε. a Tích phân (1.4) được gọi là hội tụ đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại b0 = b0 (ε) ≥ a sao cho với mọi b > b0 ta có b f (x, u)dx − I(u) < ε; với mọi u ∈ [c, d] a +∞ Định lý 1.15. Tích phân I(u) = f (x, u)dx hội tụ đều trên [c, d] khi a và chỉ khi +∞ lim sup b→+∞ u∈[c,d] f (x, u)dx = 0. b Định lý 1.16 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của tích phân). Cho hàm f (x, u) xác định trên tập hợp R = {(x, u) : a ≤ x < +∞, c ≤ u ≤ d} . 14