Tài liệu Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học quan hệ song song trong không gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THỊ THẮM PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN - HÌNH HỌC 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THỊ THẮM PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN - HÌNH HỌC 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (Bộ môn Toán) Mã số: 60 14 01 11 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS. BÙI VĂN NGHỊ HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn này là kết quả của quá trình học tập và nghiên cứu của tôi. Với tình cảm chân thành, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy, các Cô trong Trường Đại học Giáo dục – ĐHQG Hà Nội đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài này. Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TS Bùi Văn Nghị, Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành Luận văn này. Nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn đến Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Ninh, cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cô trong tổ Toán trường THPT Thuận Thành số 2 – Bắc Ninh, cảm ơn các bạn học viên lớp Cao học Lý luận và Phương pháp dạy học Bộ môn Toán khóa 8, các em học sinh, người thân trong gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tôi thực hiện đề tài này. Cuối cùng, dù rất tâm huyết và hết sức cố gắng song bản luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Kính mong được sự chỉ dẫn của các nhà khoa học và các bạn đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Học viên Nguyễn Thị Thắm i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt : Ý nghĩa ĐC : Đối chứng GV : Giáo viên HHKG : Hình học không gian HS : Học sinh NXB : Nhà xuất bản SGK : Sách giáo khoa TDTT : Tư duy thuật toán THPT : Trung học phổ thông TN : Thực nghiệm TNSP : Thực nghiệm sư phạm ii MỤC LỤC Lời cảm ơn ...............................................................................................................i Danh mục các chữ viết tắt........................................................................................ii Mục lục ................................................................................................................. iii MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1 Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................................... 5 1.1. Quy trình thuật toán và quy trình tựa thuật toán ............................................... 5 1.1.1. Quy trình thuật toán ....................................................................................... 5 1.1.2. Quy trình tựa thuật toán ................................................................................. 7 1.2. Tư duy, tư duy thuật toán ................................................................................ 13 1.2.1. Tư duy ......................................................................................................... 13 1.2.2. Tư duy thuật toán ......................................................................................... 14 1.3. Dạy học giải bài tập toán trong trường phổ thông ........................................... 15 1.3.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học. .................................................. 15 1.3.2. Vai trò của tư duy thuật toán trong dạy học môn toán .................................. 15 1.3.3. Rèn luyện tư duy thuật toán trong dạy học giải bài tập toán ......................... 16 1.4. Một số thực tiễn dạy học quan hệ song song trong không gian ở trường THPT ........ 16 1.4.1. Mục đích yêu cầu của chương đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song ................................................................................................. 16 1.4.2. Nội dung đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song. 18 1.4.3. Một số khó khăn của học sinh khi học nội dung đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song ..................................................................... 20 1.5. Tiểu kết chương 1 ........................................................................................... 22 Chương 2: TẬP LUYỆN CHO HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ VẬN DỤNG MỘT SỐ TỰA THUẬT TOÁN TRONG GIẢI TOÁN VỀ QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN ....................................................................................... 23 2.1. Phương hướng phát triển tư duy thuật toán cho học sinh ................................. 23 2.2. Tập luyện cho học sinh phát hiện và vận dụng một số quy trình tựa thuật toán để giải những bài toán về quan hệ song song trong không gian .............................. 25 2.2.1. Tập luyện cho học sinh phát hiện và vận dụng quy trình xác định giao tuyến của hai mặt phẳng bằng cách tìm hai điểm chung phân biệt ................................... 25 iii 2.2.2. Tập luyện cho học sinh phát hiện và vận dụng quy trình xác định giao tuyến của hai mặt phẳng bằng cách tìm một điểm chung và phương của đường thẳng đó 34 2.2.3. Tập luyện cho học sinh phát hiện và vận dụng quy trình xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng .............................................................................. 45 2.2.4. Tập luyện cho học sinh phát hiện và vận dụng quy trình xác định thiết diện của hình đa diện cắt bởi một mặt phẳng ................................................................. 52 2.2.5. Tập luyện cho học sinh phát hiện và vận dụng quy trình chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.............................................................................. 73 2.3. Tiểu kết chương 2 ........................................................................................... 78 Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................... 80 3.1. Mục đích, nhiệm vụ, kế hoạch thực nghiệm sư phạm ...................................... 80 3.1.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ................................................................... 80 3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm .................................................................. 80 3.1.3. Kế hoạch thực nghiệm sư phạm ................................................................... 80 3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ...................................................................... 80 3.2.1. Các giáo án thực nghiệm .............................................................................. 80 3.2.2. Giáo án cụ thể .............................................................................................. 81 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm .......................................................... 96 3.3.1. Phiếu đánh giá giờ dạy thực nghiệm sư phạm của giáo viên ......................... 96 3.3.2. Đề bài kiểm tra đánh giá sau giờ dạy thực nghiệm sư phạm ......................... 97 3.3.3. Kết quả bài kiểm tra ..................................................................................... 98 3.4. Tiểu kết chương 3 ........................................................................................... 99 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ...................................................................... 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 101 PHỤ LỤC............................................................................................................ 103 iv DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1. Bảng thống kê điểm........................................................................... 98 Bảng 3.2. Bảng tần số........................................................................................ 98 v DANH MỤC CÁC BIỂU, CÁC HÌNH Hình 1.1 .................................................................................................................. 8 Hình 1.2 .................................................................................................................. 8 Hình 1.3 ................................................................................................................ 10 Hình 2.1 ................................................................................................................ 26 Hình 2.2 ................................................................................................................ 28 Hình 2.3 ................................................................................................................ 32 Hình 2.4 ................................................................................................................ 32 Hình 2.5 ................................................................................................................ 33 Hình 2.6 ................................................................................................................ 34 Hình 2.7 ................................................................................................................ 35 Hình 2.8 ................................................................................................................ 35 Hình 2.9 ................................................................................................................ 36 Hình 2.10............................................................................................................... 36 Hình 2.11............................................................................................................... 37 Hình 2.12............................................................................................................... 37 Hình 2.13............................................................................................................... 39 Hình 2.14............................................................................................................... 42 Hình 2.15............................................................................................................... 44 Hình 2.16............................................................................................................... 44 Hình 2.17............................................................................................................... 45 Hình 2.18............................................................................................................... 46 Hình 2.19............................................................................................................... 48 Hình 2.20............................................................................................................... 51 Hình 2.21............................................................................................................... 51 Hình 2.22............................................................................................................... 53 Hình 2.23............................................................................................................... 54 Hình 2.24............................................................................................................... 56 Hình 2.25............................................................................................................... 60 Hình 2.26............................................................................................................... 61 Hình 2.27............................................................................................................... 62 vi Hình 2.28............................................................................................................... 63 Hình 2.29............................................................................................................... 64 Hình 2.30............................................................................................................... 65 Hình 2.31............................................................................................................... 68 Hình 2.32 ............................................................................................................. 69 Hình 2.33 ............................................................................................................. 69 Hình 2.34............................................................................................................... 69 Hình 2.35............................................................................................................... 70 Hình 2.36 ............................................................................................................. 71 Hình 2.37 ............................................................................................................. 71 Hình 2.38............................................................................................................... 71 Hình 2.39............................................................................................................... 71 Hình 2.40............................................................................................................... 72 Hình 2.41............................................................................................................... 72 Hình 2.42............................................................................................................... 74 Hình 2.43............................................................................................................... 77 Hình 2.44............................................................................................................... 77 Hình 2.45............................................................................................................... 78 Hình 3.1 ................................................................................................................ 82 Hình 3.2 ................................................................................................................ 84 Hình 3.3 ................................................................................................................ 88 Hình 3.4 ................................................................................................................ 90 Hình 3.5 ................................................................................................................ 92 Hình 3.6 ................................................................................................................ 94 Sơ đồ 2.1. Các bước hình thành một quy trình tựa thuật toán ................................. 24 Sơ đồ 2.2: Sơ đồ khối quy trình tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ...... 50 vii MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Tư duy thuật toán (TDTT) có vai trò quan trọng trong quá trình giải quyết các công việc. Trong môn toán, có nhiều dạng toán được giải quyết nhờ thuật toán và các quy trình tựa thuật toán, như thuật toán giải phương trình bậc hai, quy trình bốn bước giải bài toán của Polya.... Thực tế dạy học môn Toán cho thấy những dạng toán có thuật toán, có quy trình giải toán, có sự phân chia thành các bước để giải quyết thì học sinh dễ dàng tiếp thu lĩnh hội tri thức, kỹ năng hơn. “Trong phần lớn các trường hợp, kết quả hoạt động của con người phụ thuộc vào mức độ thuật toán hóa các hoạt động của mình. Nhờ kinh nghiệm có được, khi giải quyết một loại công việc, người ta biết: Cần phải có những hoạt động gì? Mỗi hoạt động có những thao tác gì? Thứ tự các thao tác như thế nào? Việc tìm ra một dãy các hoạt động, các thao tác, theo đó giải quyết được vấn đề, có thể xem như đã xây dựng được được một thuật toán nào đó, mà việc tuân theo nó một cách “máy móc” sẽ dẫn đến kết quả” (Dẫn theo Bùi Văn Nghị [9, tr 18 - 25]). Việc tìm ra thuật toán, quy trình tựa thuật toán để giải một dạng toán nào đấy, vừa phát triển tư duy thuật toán, vừa góp phần rèn luyện các thao tác trí tuệ cho học sinh, như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự hóa, …. Hơn nữa, nó còn hình thành cho học sinh những phẩm chất chất trí tuệ và những phẩm chất tốt đẹp của người lao động. Tuy nhiên ở trong nhà trường phổ thông hiện nay, vấn đề phát triển TDTT chưa được quan tâm đúng mức. Nó chỉ diễn ra một cách tự phát, chưa có sự chỉ đạo và tài liệu hướng dẫn cho giáo viên thực hiện. Do đó, đa số giáo viên chưa biết cách khai thác các tình huống, các nội dung dạy học nhằm phát triển TDTT cho học sinh. Hình học không gian (HHKG) là một nội dung khó đối với học sinh và là nội dung khó giảng dạy đối với nhiều giáo viên. Có một tỷ lệ khá lớn học sinh học kém về HHKG, có tư tưởng ngại và sợ bài tập HHKG. Nguyên nhân là học sinh thường yếu về trí tưởng tượng không gian, khó khăn trong việc vận dụng lý thuyết đã học để giải quyết các bài tập, giáo viên cũng chưa quan tâm, đầu tư cho giờ dạy. Đặc biệt, giáo viên và học sinh chưa biết cách khai thác, xây dựng các thuật toán và các quy tắc tựa thuật toán để giải quyết về các bài toán HHKG. 1 Nội dung chương quan hệ song song trong HHKG trong chương trình môn toán THPT có chứa nhiều dạng toán có thể giải được nhờ những quy trình tựa thuật toán. Đó là những quy trình dể xác định hình, để chứng minh về quan hệ song song. Đó là những điều kiện thuận lợi để phát triển tư duy thuật toán cho học sinh. Theo Nguyễn Bá Kim (1994): “Hiện nay định nghĩa thuật toán, những tính chất và những hình thức biểu diễn thuật toán đang được nghiên cứu để đưa vào dạy tường minh trong nhà trường phổ thông. Điều đó sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát triển tư duy thuật toán, chuẩn bị cho việc học về máy tính điện tử và làm việc với công cụ này. Tuy nhiên, ngay cả trong trường hợp khái niệm thuật toán chưa được đưa ra một cách tường minh vào chương trình, ta vẫn có thể phát triển ở học sinh tư duy thuật toán theo phương hướng rèn luyện cho họ những khả năng nhất định như những thành tố của phương pháp tư duy này” [3]. Trong sách giáo khoa Hình học 11 hiện hành, tuy không có dạng toán nào được nêu cách giải theo quy trình thuật toán, nhưng đã có những câu hỏi gợi ra việc tìm các quy trình thuật toán, như: “Nêu phương pháp chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng; đường thẳng song song với mặt phẳng; mặt phẳng song song với mặt phẳng.” [16, tr 77] Ở nước ta hiện nay, đã có một số đề tài, công trình nghiên cứu về việc phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học môn toán ở trường THPT. Chẳng hạn như: - Luận án Tiến sĩ “Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trường phổ thông” của Dương Vương Minh năm 1996. - Bài báo “Khả năng phát triển tư duy thuật giải trong giải toán HHKG” của Bùi Văn Nghị, đăng trên Tạp chí NCGD tháng 10/1996. - Luận văn thạc sĩ “Góp phần phát triển tư duy thuật giải của học sinh THPT thông qua dạy học nội dung lượng giác 11” của Nguyễn Thanh Bình năm 2000. - Luận văn thạc sĩ “Rèn luyện tư duy thuật giải thông qua dạy học giải toán có ứng dụng bất đẳng thức ở trương trung học phổ thông” của Lê Đình Khương năm 2007. - Luận văn thạc sĩ “Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học dạng toán về khoảng cách trong hình học không gian lớp 11 nâng cao THPT” của Nguyễn Thị Loan năm 2009. 2 - Luận văn thạc sĩ “ Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học giải toán tổ hợp chương trình lớp 11, ban nâng cao” của Kiều Văn Vượng năm 2013. Với những lý do nêu trên và để không trùng lặp với những đề tài đã công bố, đề tài được chọn là: “Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học quan hệ song song trong không gian- hình học 11”. 2. Mục đích nghiên cứu Đề xuất cách thức tập luyện cho học sinh lớp 11 phát hiện và vận dụng một số quy trình tựa thuật toán để giải những bài toán về quan hệ song song trong không gian nhằm phát triển tư duy thuật toán cho học sinh. 3. Khách thể nghiên cứu Chương trình SGK Hình học 11 và thực tiễn bồi dưỡng và phát triển tư duy thuật toán cho học sinh. 4. Đối tượng nghiên cứu Quá trình phát triển TDTT cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học quan hệ song song trong không gian. 5. Giả thuyết nghiên cứu Nếu khai thác được những quy trình tựa thuật toán để giải những lớp bài toán về quan hệ song song trong không gian và vận dụng chúng trong dạy học một cách thích hợp thì sẽ góp phần phát triển tư duy thuật toán cho học sinh lớp 11 THPT. 6. Phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu nội dung quan hệ song song trong không gian theo chương trình sách giáo khoa Hình học 11, NXB giáo dục, năm 2012. - Vấn đề phát triển TDTT cho học sinh lớp 11. 7. Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống hóa và hiểu rõ những vấn đề liên quan tới tư duy thuật toán. - Tìm hiểu thực trạng dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán cho học sinh về quan hệ song song trong không gian. - Đề xuất cách thức tập luyện cho học sinh lớp 11 phát hiện và vận dụng một số quy trình tựa thuật toán để giải những bài toán về quan hệ song song trong không gian nhằm phát triển tư duy thuật toán cho học sinh. 3 8. Phương pháp nghiên cứu 8.1. Nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, lý luận và phương pháp dạy học môn Toán liên quan đến tư duy thuật toán. - Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài. 8.2. Điều tra Sử dụng phiếu điều tra, xin ý kiến của giáo viên về các tiết dạy thực nghiệm sư phạm với nội dung quan hệ song song trong không gian theo hướng phát triển tư duy thuật toán cho học sinh. 8.3 Thực nghiệm sư phạm Tổ chức thực nghiệm sư phạm một số nội dung của luận văn tại trường THPT Thuận Thành số 2, Bắc Ninh, để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 9. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm 3 chương. Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2: Tập luyện cho học sinh phát hiện và vận dụng một số tựa thuật toán trong giải toán về quan hệ song song trong không gian Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 4 Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Quy trình thuật toán và quy trình tựa thuật toán 1.1.1. Quy trình thuật toán a) Thuật toán Hàng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp. Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định nhằm mô tả quá trình giải bài toán đó. Từ việc mô tả quá trình ấy, người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật toán. Theo Bùi Văn Nghị (1996): “Thuật toán là một khái niệm cơ bản, được hiểu như một quy tắc mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt được mục đích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định ”. [10, trang 16 - 18] Theo Nguyễn Bá Kim (2011): “Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự, kết thúc sau một số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào (INPUT) của một lớp bài toán thành thông tin ra (OUTPUT) mô tả lời giải bài toán đó.”[6, trang 376] Theo Vương Dương Minh (1996): “Thuật giải là một quy tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trên những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn những thao tác ta thu được kết quả mong muốn.”[7, trang 12] Theo bách khoa toàn thư mở Wikipedia: Thuật giải là một tập hợp hữu hạn của các chỉ thị hay phương cách được định nghĩa rõ ràng cho việc hoàn tất một số sự việc từ một trạng thái ban đầu cho trước; khi các chỉ thị này được áp dụng triệt để thì sẽ dẫn đến kết quả sau cùng như đã dự đoán. Từ những quan niệm trên có thể thấy rằng, quan niệm về thuật toán (thuật giải) của các nhà khoa học có thể có sự khác nhau về mặt ngôn ngữ biểu đạt, nhưng bản chất của chúng thống nhất với nhau, đều quan niệm rằng thuật toán (thuật giải) là một quy trình gồm các bước, với việc thực hiện theo các bước đó sẽ đi đến lời giải bài toán. 5 Bởi vậy, trong luận này này chúng tôi đồng nhất thuật ngữ “thuật toán” và “thuật giải”. b) Tính chất của thuật toán Thuật toán có những tính chất cơ bản sau: Tính đơn trị: Mỗi thao tác trong thuật toán phải đơn trị; nghĩa là hai chủ thể (người/ máy) thực hiện cùng một thao tác thì phải cho cùng một kết quả. Nhờ đó ta có thể lập trình giao cho các thiết bị tự động thực hiện thuật giải thay thế cho con người. Tính dừng: Sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác phải đi đến kết thúc, không được lặp lại mãi. Tính phổ dụng: Thuật toán phải áp dụng được cho một lớp các bài toán có cùng cấu trúc với những dữ liệu cụ thể khác nhau. Từ ba tính chất cơ bản nói trên, có thể suy ra một số tính chất sau: Tính khách quan: Một thuật toán dù được viết bởi nhiều người trên nhiều máy tính vẫn phải cho kết quả như nhau. Tính đúng đắn: Thuật toán phải đảm bảo tính đúng đắn tức là phải giải quyết đúng vấn đề đặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn, không cho phép kết quả sai hoặc không đầy đủ, bỏ sót trường hợp. Ngoài ra người ta thường chú ý tới tính chất nang cao của thuật toán là tính hiệu quả (tính tối ưu): thực hiện nhanh, tốn ít thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian, đáp ứng được nhu cầu của thực tiễn. c) Các hình thức biểu diễn thuật toán Thuật toán tồn tại dưới nhiều hình thức khác nhau. Trong môn toán và trong thực tế người ta thường gặp những hình thức biểu diễn thuật toán sau: Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học; sơ đồ khối; ngôn ngữ phỏng trình và các ngôn ngữ lập trình. d) Quy trình thuật toán “Quy trình là một trình tự phải tuân theo để tiến hành một công việc nào đó”. [12] Một quy trình có thể chia thành các bước; mỗi bước là một hoạt động nhằm một mục đích nhất định; một hoạt động có thể có nhiều thao tác. Quy trình thuật toán được hiểu là quy trình thực hiện các bước của một thuật toán nào đó. Ví dụ 1.1. Thuật toán giải phương trình bậc hai gồm các bước sau: 6 Bước 1: Xác định hệ số a,b, c. Bước 2: Tính biệt thức   b 2  4ac hoặc '  b' 2  ac Bước 3: Xét dấu  hoặc  ' từ đó kết luận. +) Nếu   0 hoặc  '  0 thì phương trình vô nghiệm. +) Nếu   0 hoặc  '  0 thì phương trình có nghiệm có nghiệm kép x1  x2  b b ' hoặc x1  x2  . 2a a +) Nếu   0 hoặc '  0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt   b   b '  '  x1   x1  2a a  hoặc    b   b '  ' .  x1   x1  2a a   1.1.2. Quy trình tựa thuật toán Trong luận văn này chúng tôi đồng nhất một số thuật ngữ sau: “quy trình tựa thuật toán”, “quy trình có tính chất thuật toán”, “quy trình tựa thuật giải”. Theo Bùi Văn Nghị (1996): Trong nhà trường phổ thông, “Một quy trình có tính chất thuật toán là; (1) quy trình có một trình tự xác định, các thao tác nối tiếp nhau được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp; (2) Các thao tác được chỉ dẫn rõ ràng, chính xác;(3) Theo quy trình, người thực hiện nhất định sẽ đi đến kết quả của bài toán; Nếu kết quả chưa có ở thao tác này thì sẽ có ở các thao tác khác tiếp theo. Sau một số hữu hạn các thao tác; (4) Quy trình giúp học sinh giải được tất cả các bài toán cùng loại trong các sách giáo khoa, sách bài tập....”[6, trang 19] Theo Nguyễn Bá Kim: “Trong quá trình dạy học người ta thường gặp một số quy tắc tuy chưa mang đủ các đặc điểm đặc trưng cho thuật giải, nhưng có một số trong các đặc điểm đó và đã tỏ ra có hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán. Đó là những quy tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành những thông tin ra mô tả lời giải của những bài toán đó.” [Nguyễn Bá Kim, tr 377] Ví dụ 1.2. Quy trình tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). 7 Hình 1.1 Bước 1: Tìm mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với (P) Bước 2: Tìm giao tuyến d  ( P)  (Q) Bước 3: Trong (Q) hạ AH  d tại H Bước 4: Độ dài AH là khoảng cách từ A đến (P). Ví dụ 1.3. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian trong sách giáo khoa Hình học 11 [16, tr 117] có thể xem như một quy trình tựa thuật toán: Hình 1.2 “Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (  ) là mặt phẳng chứa b và song song và a, a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (  ) . Vì a // (  ) nên a // a’. Do đó a’ và b cắt nhau tại một điểm. Gọi điểm này là N. Gọi ( ) là mặt phẳng chứa a và a’, ∆ là đường thẳng đi qua N và vuông góc với 8 (  ) . Khi đó ( ) vuông góc với (  ) . Như vậy ∆ nằm trong ( ) nên cắt đường thẳng a tại M và cắt đường thẳng b tại N, đồng thời ∆ cùng vuông góc với cả a và b. Do đó ∆ là đường vuông góc chung của a và b”. Ví dụ 1.4. Quy trình bốn bước của Polya1 để giải một bài toán gồm các bước sau: Bước 1: Hiểu bài toán Để hiểu rõ bài toán chúng ta đi trả lời các câu hỏi như: Cái gì chưa biết? Cái gì đã cho? Điều kiện của bài toán là gì? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn không?…. Nếu là bài toán hình học, chúng ta tiến hành vẽ hình hay sử dụng các ký hiệu thích hợp mô tả bài toán, viết giả thiết, kết luận…. Bước 2: Tìm lời giải Để giúp HS xây dựng được chương trình giải, GV thường gợi ý HS bằng các câu hỏi như: - Em đã gặp bài toán này lần nào chưa? Em có biết bài toán nào gần giống bài toán này không? - Đây là một bài toán có liên quan mà em đã có lần giải rồi. Có thể sử dụng kết quả hay phương pháp của nó không? Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không? Nếu em chưa giải được bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài toán có liên quan. Em có biết bài toán nào có liên quan mà dễ hơn không? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Một bài toán tổng quát? - Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa? Bước 3: Trình bày lời giải Khi thực hiện chương trình GV cần chú ý HS kiểm tra lại từng bước thông qua các câu hỏi như: Em đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng minh là nó đúng không? Bước 4: Nhìn lại Giải xong bài toán không có nghĩa là bài toán đó đã kết thúc. GV nên hướng dẫn HS hình thành dần thói quen xem xét lại lời giải bài toán thông qua các câu hỏi: - Em có thể kiểm tra lại kết quả hay quá trình giải bài toán không? 1 (G. Polya, "How to Solve It", 2nd ed., Princeton University Press, 1957, ISBN 0-691-08097-6: (1) understanding the problem; (2) devising a plan, (3) carrying out the plan, (4) looking back). 9 - Có thể tìm được kết quả một cách khác không? - Em có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán nào khác không? Quy trình này được mỗi người vận dụng theo cách riêng của mình, theo kinh nghiệm riêng của bản thân và đạt được mức độ khác nhau. Tuy rằng quy trình này không hướng dẫn người giải toán một cách tỉ mỉ, chi tiết từng thao tác cụ thể, mà chỉ là những định hướng suy nghĩ, gợi ý thao tác, song do tầm khái quát và dung nạp được nhiều kinh nghiệm quí báu, nên đã nhiều chục năm quy trình đó đó vẫn tỏ ra có hiệu quả. Ví dụ 1.5 (Minh họa giải một bài toán theo 4 bước của Polya) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B. a) Xác định thiết diện của tứ diện với (IJK) b) Tính diện tích thiết diện xác định được ở câu a. Hình 1.3 Câu a) Có thể hướng dẫn HS giải bài toán trên theo bốn bước của Polya như sau: Bước 1: Hiểu bài toán: GV: Vẽ hình, yêu cầu HS xác định giả thiết, kết luận của bài toán. GV: Tứ diện đều là tứ diện như thế nào? HS: Có các mặt là các tam giác đều bằng nhau. 10 GV: Giả thiết cho J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B nghĩa là ta có điều gì? HS: C là trung điểm của JD, B là trung điểm của KD. Bước 2: Tìm lời giải GV: Để xác định thiết diện của hình tứ diện với (IJK) ta cần phải làm công việc gì? HS: Xác định các đoạn giao tuyến của (IJK) với các mặt của hình tứ diện. GV: Dựa vào giả thiết nào để tìm các giao tuyến của (IJK) với các mặt của tứ diện? HS: I và J thuộc (ACD); I và K thuộc (ABD) Từ những phát hiện trên ta sẽ tìm được thiết diện. Bước 3: Trình bày lời giải GV: Chúng ta đã sử dụng phép phân tích để xác định giao tuyến của (IJK) với các mặt của tứ diện ABCD. Yêu cầu HS trình bày lời giải. Trong (ACD) gọi IJ  AC  N , trong (ABD) gọi IK  AB  M . Khi đó ta có: ( IJK )  ( ACD)  IN  ( IJK )  ( ADB)  IM  thiết diện cần tìm là tam giác IMN. ( IJK )  ( ACB)  MN  Bước 4: Nhìn lại: GV: Qua bài tập trên ta thấy: Để xác định thiết diện của tứ diện với một mặt phẳng, ta phải tìm được các đoạn giao tuyến của mặt phẳng đó với các mặt của tứ diện. Các đoạn giao tuyến phải tạo thành một đa giác đó là thiết diện cần tìm. GV : Trong bài tập này, giao tuyến của (IJK) với (BCD) là đường nào? Vẫn xác định được 4 giao tuyến với 4 mặt, tại sao thiết diện không là tứ giác? GV: Còn cách nào để xác định giao tuyến nữa không? Cách 2: Trong (ACD) gọi IJ  AC  N , từ N kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M. Thiết diện cần tìm là tam giác IMN. Câu b) Có thể hướng dẫn như sau: Bước 1: Hiểu bài toán GV: Bài toán cho những yếu tố về độ dài nào? 11