Tài liệu Phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu qua việc giảng dạy phương trình hàm luận văn ths. giáo dục học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC PHẠM THỊ THẢO PHÁT HIỆN VÀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH NĂNG KHIẾU QUA VIỆC GIẢNG DẠY “PHƯƠNG TRÌNH HÀM” Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học (Bộ môn Toán học) Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thành Văn HÀ NỘI - 2010 1 DANH MỤC VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ 1. CNTT : Công nghệ thông tin 2. HSG : Học sinh giỏi 3. THPT : Trung học phổ thông 4. PTH : Phương trình hàm 2 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài .................................................................................. 1 2. Mục đích nghiên cứu của đề tài ............................................................ 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................... 1 4. Phạm vi nghiên cứu .............................................................................. 2 5. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................... 2 6. Cấu trúc luận văn.................................................................................. 2 Chƣơng 1 : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................. 3 1.1. Mục tiêu giáo dục và nhiệm vụ dạy học môn toán ............................. 3 1.2. Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh ở trường phổ thông ............... 3 1.3. Phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu ở trường phổ thông ....... 5 1.3.1. Năng khiếu và năng khiếu toán học ................................................ 5 1.3.2. Công tác tổ chức giảng dạy nhằm phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu ở trường phổ thông ........................................................ 7 1.4.Thực trạng giảng dạy phương trình hàm ở trường phổ thông .............. 9 Kết luận chương 1 .................................................................................... 10 Chƣơng 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HÀM THƢỜNG GẶP ............................................................................ 11 2.1. Một số khái niệm và định lý quan trọng liên quan tới phương trình hàm .................................................................................................. 11 2.2. Một số phương pháp pháp giải bài toán phương trình hàm thường dùng ............................................................................................. 12 2.3. Hướng khai thác, mở rộng bài toán phương trình hàm ...................... 62 Chƣơng 3 : THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ............................................. 69 3 3.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm .................................................. 69 3.2. Hoạt động của học sinh sau khi học chuyên đề phương trình hàm ..... 73 3.3. Một số nhận xét sau thực nghiệm ...................................................... 76 KẾT LUẬN ............................................................................................. 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................... 80 4 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong các kỳ thi Học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế thường xuất hiện các bài toán về phương trình hàm, đó là những dạng bài tập khá mới mẻ đối với học sinh THPT. Phần lớn học sinh THPT chưa được làm quen nhiều với dạng bài toán này và đặc biệt là những cuốn sách tham khảo về phương trình hàm chưa được phong phú. Nguồn gốc của mỗi bài toán phương trình hàm thường rất đa dạng, nội dung của loại toán này còn khó và lạ lẫm với phần lớn học sinh, điều này dẫn tới khó khăn cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Do vậy, việc phân loại các lớp bài tập phương trình hàm và đưa ra được những phương pháp giải tương ứng là điều hết sức cần thiết. Nhưng công việc này không dễ dàng, đòi hỏi sự công phu mạch lạc bởi đôi khi có những bài toán mà những cách giải thông thường không giải quyết được hoặc phải kết hợp nhiều phương pháp cùng một lúc. Vậy có thể phân loại, sắp xếp để đưa ra những phương pháp giải tương ứng cho từng lớp bài tập phương trình hàm hay không? 2. Mục đích nghiên cứu của đề tài - Tìm hiểu các lớp bài toán phương trình hàm và các phương pháp giải thường dùng từ trước tới nay. - Phân loại, sắp xếp, đưa ra các phương pháp giải chung tương ứng cho từng lớp bài tập và xây dựng một số bài tập của dạng toán này. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tập hợp và phân loại các bài toán đã có. - Đưa ra các phương pháp giải tương ứng cho từng dạng bài. 1 4. Phạm vi nghiên cứu Một số phương pháp giải phương trình hàm thường dùng và cách xây dựng các bài toán dạng này. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lý luận Tìm hiểu, nghiên cứu những vấn đề liên quanh đến đề tài định hướng cho việc nghiên cứu; phân tích và tổng hợp những quan điểm dựa trên các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, phương pháp dạy học môn toán và các tài liệu về phương trình hàm. Phân tích giúp học sinh nắm thật rõ bản chất vấn đề, lựa chọn phương pháp giải cho phù hợp với bài toán. 5.2 Thực nghiệm sư phạm Đối tượng thực nghiệm : học sinh lớp 12A1, 12A5 trường THPT Ngô Quyền - Hải Phòng. Xử lý kết quả thực nghiệm bằng một số phương pháp thống kê toán học. 6. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương: Chương 1. Cơ sở lý luận Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình hàm thường dùng Chương 3. Thực nghiệm sư phạm 2 CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1. Mục tiêu giáo dục và nhiệm vụ dạy học môn toán Mục tiêu của Giáo dục & Đào tạo là đào tạo những con người lao động tự chủ, tích cực, có năng lực giải quyết vấn đề, góp phần thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là "Dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh " (Trích Nghị quyết Trung ương Đảng khóa VIII) Nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông cụ thể là: - Trang bị tri thức toán học cho học sinh. - Phát triển trí tuệ cho học sinh. Đây là nhiệm vụ quan trọng nhất. Dạy học môn toán có nhiệm vụ phát triển cho học sinh tư duy trừu tượng, tức là cách nghĩ gạt bỏ đi những cái cụ thể, giữ lại những cái bản chất. Dạy học môn toán có nhiệm vụ phát triển cho học sinh tư duy thuật toán, tức là cách nghĩ nhận thức và giải quyết vấn đề theo trình tự hợp lý. Ngoài ra, dạy học môn toán còn phải phát triển cho học sinh tư duy hàm, tức là toán học hoá những bài toán thực tiễn. - Rèn luyện kỹ năng cho học sinh. - Bồi dưỡng cho học sinh những phẩm chất năng lực của người lao động mới như là tính cần cù, cẩn thận, chu đáo, kiên trì,... - Chuẩn bị hành trang cho học sinh sau khi rời ghế nhà trường bước vào cuộc sống lao động hoặc vào trường đại học. 1.2. Phát triển tƣ duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trƣờng phổ thông Toán học có thể xem xét theo hai phương diện. Nếu chỉ trình bày lại những kết quả toán học đã đạt được thì nó là một khoa học suy diễn và tính logic nổi bật lên. Nhưng nếu nhìn toán học trong quá trình hình thành và phát 3 triển, trong quá trình tìm tòi và phát minh, thì trong phương pháp của nó vẫn có tìm tòi, dự đoán, vẫn có thực nghiệm và quy nạp. Như vậy sự thống nhất giữa suy đoán và suy diễn là một đặc điểm của tư duy toán học. Ngày nay, khi khoa học và công nghệ có những bước phát triển mạnh mẽ, trở thành lực lượng sản xuất trực tiếp trong nền kinh tế tri thức, thì mục tiêu giáo dục nói chung và nhiệm vụ phát triển tư duy sáng tạo cho thế hệ trẻ nói riêng có vai trò đặc biệt quan trọng. Sứ mệnh của nhà trường hiện đại là phát triển tối ưu nhân cách học sinh, trong đó năng lực sáng tạo cần được bồi dưỡng để thúc đẩy mọi tài năng. Môn toán với vị trí của nó trong nhà trường phổ thông, có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện tư duy chính xác, hợp logic, phương pháp khoa học trong suy nghĩ, lập luận, trong học tập và giải quyết các vấn đề : Biết quan sát, thí nghiệm, mò mẫm, dự đoán, dùng tương tự, quy nạp, chứng minh,... và qua đó có tác dụng lớn rèn luyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo. Phát triển tư duy sáng tạo toán học nằm trong việc phát triển năng lực trí tuệ chung, một nội dung quan trọng của mục đích dạy học môn toán. Mục đích đó cần được thực hiện có ý thức, có hệ thống, có kế hoạch chứ không phải tự phát. Về phía giáo viên, trong hoạt động dạy học toán cần vạch ra những biện pháp cụ thể và thực hiện đầy đủ một số mặt sau đây : - Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác. - Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. - Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản, các thao tác tư duy như : Phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, trừu tượng hoá. - Hình thành, rèn luyện những phẩm chất trí tuệ như : Tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo trong tư duy. 4 1.3. Phát hiện và bồi dƣỡng học sinh năng khiếu ở trƣờng phổ thông Cố thủ tướng Phạm Văn Đồng từng nhắc nhở những người làm công tác giáo dục: "Phải có ý thức phát hiện và bồi dưỡng các em có năng khiếu về toán và các môn khác,... đừng bỏ sót em nào, bỏ sót sẽ rất uổng". Vậy năng khiếu là gì mà có vai trò quan trọng như vậy ? 1.3.1. Năng khiếu và năng khiếu toán học * Năng khiếu là gì ? Theo từ điển Tâm lý học (Vũ Dũng chủ biên): năng khiếu là tập hợp những tư chất bẩm sinh, nét đặc trưng và tính chất đặc thù làm tiền đề bẩm sinh cho năng lực. Theo "Khơi dậy tiềm năng sáng tạo" (tác giả Nguyễn Cảnh Toàn) thì năng khiếu là năng lực còn tiềm tàng về một hoạt động nào đó nhưng chưa bộc lộ ở thành tích cao vì chưa qua tập dượt, rèn luyện nên còn thiếu hiểu biết và chưa thành thạo trong lĩnh vực hoạt động đó. Tâm lý học nhân cách (Nguyễn Ngọc Bích): Năng khiếu là những tiền đề bẩm sinh, những khuynh hướng đầu tiên tạo điều kiện cho năng lực và tài năng phát sinh. Nó bao gồm những đặc điểm tâm sinh lý giải phẫu của hệ thống thần kinh và khuynh hướng tâm lý đầu tiên tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát triển một năng lực nào đó. Năng khiếu tạo điều kiện thuận lợi cho việc hình thành năng lực và tài năng. Nghĩa là không phải trẻ nào có năng khiếu cũng thành thiên tài. Một em có năng khiếu đối với một hoạt động nào đó không nhất thiết sẽ trở thành tài năng trong lĩnh vực ấy và ngược lại. Điều này cho thấy rằng năng khiếu chỉ là dấu hiệu đầu của tài năng chứ không phải là tài năng. Cấu trúc của năng khiếu chỉ mới xuất hiện một số thành phần cơ bản nhưng chưa ổn định, dễ thay đổi. Vì vậy, ta cần chú 5 trọng, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu cho các em một cách kịp thời, để không lãng phí những mầm ươm tài năng tương lai. * Năng khiếu toán học Năng khiếu, theo định nghĩa của từ điển tiếng Việt là năng lực vượt trội, năng lực đặc biệt của con người xuất hiện từ khi còn nhỏ. Như vậy, năng khiếu toán học có thể coi như một tổ hợp những năng lực toán học, mà ở lứa tuổi học sinh thể hiện rõ nhất ở năng lực học toán. Nhà tâm lý học V.A. Kowrutecxki cho rằng: "Năng lực học tập toán học là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ), đáp ứng yêu cầu hoạt động toán và giúp cho việc nắm giáo trình toán một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học " [51, tr.13] Viện sĩ toán học A.N. Kômôgôrôp viết trong cuốn sách "Về nghề nghiệp của nhà toán học": Để nắm vững toán học một cách có kết quả ở mức độ cao thì đòi hỏi cần có những năng lực toán học được phát triển, năng lực này mang ý nghĩa sáng tạo khoa học. Theo ông, thành phần cơ bản của năng lực toán gồm có : - Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức phức tạp, năng lực tìm ra con đường giải phương trình không theo quy tắc chuẩn, năng lực tính toán. - Trí tưởng tượng hình học hay là trực giác hình học. - Nghệ thuật suy luận logic theo các bước đã được phân chia một cách đúng đắn kế tiếp nhau, nguyên tắc quy nạp toán học là tiêu chuẩn tốt cho sự trưởng thành logic hoàn toàn cần thiết đối với nhà toán học. Theo quan điểm tâm lý học, trong mỗi con người đều tiềm tàng một năng khiếu, một tài năng, tất nhiên ở mức độ khác nhau. Đó là một kết luận quan trọng. Trong quá trình dạy học toán, người thầy cần có những 6 biện pháp phát hiện những năng khiếu toán ở học trò, từ đó có thể tạo ra môi trường và tổ chức các hoạt động thích hợp giúp các em phát triển năng lực đó. 1.3.2. Công tác tổ chức giảng dạy nhằm phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu ở trường phổ thông Trên thế giới, việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu đã có từ rất lâu. Ở Trung Quốc, từ đời Đường những trẻ em có tài đặc biệt được mời ra sân Rồng để học tập và được giáo dục bằng những hình thức đặc biệt. Từ năm 2001, chính quyền NewZeland đã phê chuẩn kế hoạch phát triển chiến lược HSG. Cộng hoà Liên bang Đức có hiệp hội dành cho HSG và tài năng Đức,... Giáo dục phổ thông Hàn Quốc có một chương trình đặc biệt dành cho HSG nhằm giúp chính quyền phát hiện học sinh tài năng từ rất sớm. Từ năm 1985, Trung Quốc thừa nhận phải có một chương trình giáo dục đặc biệt dành cho hai loại đối tượng học sinh yếu kém và học sinh giỏi, trong đó cho phép HSG có thể học vượt lớp. Các em có năng khiếu thường bộc lộ những đặc tính : - Có niềm say mê, yêu thích bộ môn - Có tư chất bẩm sinh như tiếp thu nhanh, có trí nhớ bền vững, có khả năng phát hiện vấn đề và có khả năng sáng tạo. - Có vốn tri thức, giàu cảm xúc và thường nhạy cảm trước mọi vấn đề của cuộc sống. Chính vì vậy, các em có thể học bằng nhiều cách khác nhau và tốc độ nhanh hơn so với các bạn cùng lớp, vì thế, mỗi bộ môn cần biên soạn riêng một chương trình bồi dưỡng sao cho đạt được mục tiêu: + Có kiến thức khoa học cơ bản, hiện đại, tiên tiến. + Có tính tự lập và khả năng nhận thức ở mức độ cao 7 Trong đó, việc rèn luyện cho học sinh có tính tự lập và khả năng nhận thức ở mức độ cao là quan trọng và khó khăn nhất. Có thể phân chia việc tổ chức giảng dạy theo từng giai đoạn ở từng cấp lớp như sau: Giai đoạn 1 :  Giới thiệu chương trình, sách giáo khoa, các loại sách, tài liệu tham khảo dành riêng cho học sinh năng khiếu.  Hướng dẫn học sinh cách học, cách nghe giảng và ghi chép bài học. Giai đoạn 2: Hướng dẫn học sinh tiếp thu một số kiến thức cơ bản về môn Chuyên. Qua đó làm cho các em yêu thích môn học mình sắp theo đuổi. Giai đoạn 3: Giúp học sinh biết cách giải quyết , khai thác một đơn vị kiến thức hay một bài tập. Từ đó cho các em khả năng tư duy logic, tư duy độc lập sáng tạo và biết cách tương tự hoá, mở rộng hoá, tổng quát hoá một vấn đề của kiến thức. Giai đoạn 4: Kiểm tra, đánh giá để phân loại, từ đó sẽ tìm ra được những gương mặt tiêu biểu để tiếp tục bồi dưỡng năng khiếu vốn có của các em. Giai đoạn 5: Khi thấy nhận thức của học sinh đến độ chín, yêu cầu các em viết chuyên đề theo nhóm, tham gia viết bài trên báo hay tạp chí chuyên ngành. Giai đoạn 6: Tham dự các kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu là một công việc hết sức quan trọng của người thầy. Năng khiếu và tri thức văn hoá nói chung phải được bồi đắp theo năm tháng, gắn liền với sự nhạy bén của tố chất cá nhân. Người thầy phải là "chất xúc tác" trong quá trình biến đổi chất, là người định hướng cho những năng khiếu đó được bộc lộ mạnh mẽ nhất. Để hoàn thành được sứ mệnh này, thầy cô giáo phải tham khảo nhiều tài liệu một cách thường xuyên để cập nhật, bổ sung và phát triển chuyên đề mình phụ trách, phải chủ động đi trước học sinh một bước, hướng dẫn và cùng tham gia giải bài tập với học sinh. 8 Trong quá trình giảng dạy, người thầy phải dạy cho học sinh tiếp cận kiến thức một cách tự nhiên, chủ động và sáng tạo, cụ thể là dạy cho các em cách tìm đến kiến thức và nghiên cứu nó, cách làm bài tập, cách đọc sách và tìm tài liệu, cách mở rộng và khai thác kiến thức, cách chế tác và tổng quát hoá một bài tập,... Người thầy phải luôn thắp sáng ngọn lửa say mê môn học mà học sinh đang theo đuổi, phải dạy cho các em niềm tin có thể biến ước mơ thành hiện thực, biết chấp nhận khó khăn để cố gắng vượt qua, biết rút kinh nghiệm sau những lần thất bại hay thành công trong từng giai đoạn mà mình phấn đấu. 1.4. Thực trạng giảng dạy phƣơng trình hàm ở trƣờng phổ thông Hiện nay, ở các trường THPT , phương trình hàm vẫn chưa được đề cập nhiều. Phần lớn những học sinh tiếp cận phương trình hàm là những học sinh lớp chuyên Toán, còn đối với học sinh đại trà thì vẫn là một lĩnh vực xa lạ, khó tiếp cận, rất lúng túng trong quá trình phân tích để tìm ra bản chất và vận dụng kiến thức về phương trình hàm một cách thích hợp. Đa số học sinh khi tìm hiểu về phương trình hàm đều cảm thấy khó bởi vì đây là loại toán đòi hỏi người học phải vận dụng nhiều kiến thức khi giải, có khả năng tư duy tốt, khả năng khái quát, phán đoán vấn đề,... Hơn nữa, thầy cô không dạy lớp chuyên, trường chuyên thì cũng không nghiên cứu sâu về mảng kiến thức này. Chính vì lẽ đó, phương trình hàm không phải là một kiến thức quá mới mẻ của toán học nhưng lại không phải là kiến thức phổ thông mà học sinh THPT nào cũng biết. 9 Kết luận chƣơng 1 Xuất phát từ cơ sở lý luận và thực tiễn trình bày ở trên, ta kết luận được rằng : Phương trình hàm là một mảng kiến thức khó nhưng hấp dẫn đối với học sinh năng khiếu toán. Các dạng toán của phương trình hàm thường xuyên xuất hiện trong các đề thi HSG Quốc gia, Quốc tế - đủ biết tầm quan trọng của mảng kiến thức này. Qua giảng dạy phương trình hàm, thầy cô giáo có thể phát hiện ra những học sinh có tư chất đặc trưng của học sinh năng khiếu toán, như : - Có khả năng quan sát tinh tế, mau chóng phát hiện ra các dấu hiệu chung và riêng, mau chóng phát hiện ra các nút làm cho việc giải quyết vấn đề phát triển theo hướng hợp lý hơn, độc đáo hơn. - Có khả năng suy luận có căn cứ chắc chắn, có ý thức tự kiểm tra việc làm. - Có khả năng chuyển từ trừu tượng khái quát sang cụ thể và ngược lại Và để thuận lợi hơn trong việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu trong quá trình giảng dạy phương trình hàm, chúng tôi đã tập hợp các bài toán phương trình hàm đã có, sắp xếp , phân loại để đưa ra những phương pháp giải tương ứng nhằm giúp các em có một tư duy hệ thống về phương trình hàm. Qua hệ thống bài tập phong phú, giúp các em có được kỹ năng giải phương trình hàm tốt nhất, và có cái nhìn khái quát, logic về phương trình hàm, mở ra cho các em những hướng suy nghĩ mới, bước đầu tìm hiểu và xây dựng nên những bài toán mới. 10 CHƢƠNG 2 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HÀM THƢỜNG DÙNG 2.1. Những khái niệm cơ bản 2.1.1. Nguyên lý Archimede  , x  0  k  N* : k  x Hệ quả : x  R  !k  Z : k  x  k  1 Số k như thế gọi là phần nguyên của x, kí hiệu :  x  Vậy,  x   x   x   1 2.1.2. Tính trù mật Tập hợp A  R gọi là trù mật trong R  x, y  R, x  y đều tồn tại a thuộc A sao cho x  a  y. Chú ý :  Tập Q trù mật trong R m   Tập A   n m  Z , n  Z  trù mật trong R. 2  2.1.3. Hàm sơ cấp Hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm luỹ thừa, hàm số mũ, hàm logarit, hàm số lượng giác,... Hàm số sơ cấp là những hàm được tạo thành bởi hữu hạn các phép toán số học ( +. -, x, :), phép toán lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản. 2.1.4. Hàm cộng tính, nhân tính trên một tập hợp Hàm số f(x) được gọi là cộng tính trên tập xác định D nếu với mọi x, y  D thì x + y  D và f(x+y) = f(x) + f(y). 11 Hàm số f(x) được gọi là nhân tính trên tập xác định D nếu với mọi x, y  D thì x.y  D và f(xy) = f(x).f(y) Nếu với mọi x, y  D mà x+y  D, x - y  D và f(x-y) = f(x) - f(y) thì f(x) cũng gọi là một hàm cộng tính trên D.  Hàm f(x) = x (  0) là hàm nhân tính. 2.1.5. Hàm đơn điệu Hàm số f(x) gọi là tăng trên (a,b) nếu : Với mọi x1, x2  (a, b), x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số f(x) gọi là giảm trên (a,b) nếu : Với mọi x1, x2  (a, b), x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) 2.2. Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình hàm thƣờng dùng Như ta đã biết, phương trình hàm là một phương trình thông thường mà nghiệm của nó là hàm. Do vậy việc đầu tiên ta sẽ nêu những đặc trưng của một số hàm sơ cấp thường gặp trong chương trình phổ thông. Nhờ các đặc trưng này, mà ta có thể dự đoán kết quả của các phương trình hàm tương ứng cũng như có thể đề xuất những dạng bài tập tương ứng với các đặc trưng hàm đó. 1) Hàm bậc nhất : f(x) = ax+b (a, b  0)  x  y  f ( x)  f ( y) , x, y ( Phương trình Jensen) Đặc trưng hàm : f   2  2  2) Hàm tuyến tính : f(x) = ax, ( a  0) Đặc trưng hàm : f(x+y) = f(x) + f(y),  x,y (Phương trình Cauchy) 3) Hàm mũ : f(x) = ax; ( a> 0, a  1) Đặc trưng hàm : f(x + y) = f(x).f(y);  x, y ( Phương trình Cauchy) 4) Hàm logarit : log a x ;( a  0, a 1) Đặc trưng hàm : f(xy) = f(x) + f(y), x, y  R* ( Phương trình Cauchy) 5) Hàm sin : f(x) = sinx. 12 Đặc trưng hàm : f(3x) = 3f(x) - 4f3(x); x 6) Hàm cosin : f(x) = cosinx. Đặc trưng hàm : f(2x) = 2f2(x)-1, x 7) Hàm f(x) = tanx Đặc trưng hàm : f ( x  y )  f ( x )  f ( y)  ;x, y  yR,x  y   k (k  Z ) 1  f ( x) f ( y) 2 8) Hàm cotx Đặc trưng hàm : f ( x  y )  f ( x ) f ( y) 1 ;x, y  yR,x  y  k (k  Z ) f ( x )  f ( y)  9) Hàm luỹ thừa : f(x) = x  ; x  R Đặc trưng hàm : f(xy) = f(x)f(y); x, y Phƣơng pháp 1. Sử dụng các giá trị đặc biệt để đoán nhận nghiệm của phƣơng trình hàm. Cũng giống như cách giải phương trình thông thường. Khi giải phương trình hàm, ta cũng có thể đoán nhận các nghiệm của phương trình hàm và chứng minh rằng ngoài các nghiệm đó ra PTH không có nghiệm nào khác. Thông thường, ta hay thử các hàm số đặc biệt như hàm hằng, hàm đồng nhất, hàm tuyến tính,... để xem chúng có phải là các nghiệm của phương trình hàm hay không ? Ví dụ 1. Tìm tất cả các hàm số f : [1,+  )  [1,+  ) ,sao cho : f(xf(y)) = yf(x) , với mọi x,y thuộc [1,+  ). Lời giải: Ta nhận thấy f(x) = x là nghiệm của bài toán . Ta sẽ chứng minh nghiệm đó là duy nhất : Cho x = y = 1 thì f(f(1)) = f(1) 13 Cho y = f(1) thì f(xf(f(1))) = f(1)f(x)  f(xf(1)) = f(1)f(x) . Mặt khác : f(xf(1)) = f(x) (giả thiết).  f(1)f(x) = f(x)  f(1) = 1, (f(1)  1, x ) Cho x = 1 ta được :f(f(y)) = y (1) Nếu f(y) = 1  f(fy)) = f(1) = 1 , từ (1)  y = 1. Vậy : f(y) > 1 , y > 1. x y x y x y Nếu x > y  1 thì f(x) = f( y) = f( f(f(y)) = f(y)f( ) , (2) Do x > y  x x >1  f( )>1 y y (2)  f(x) > f(y) suy ra f(x) đồng biến trên [1,+  ). Giả sử  x0 ; f(x0)  xo ta xét các trường hợp sau : Trường hợp 1: f(x0) > x0  f(f(x0)) > f(x0)  x0 > f(x0) vô lý . Trường hợp 2 : f(x0) < x0  f(f(x0)) < f(x0)  x0 < f(x0) vô lý . Vậy f(x) = x ,  x  R. Ví dụ 2. Tìm hàm số f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện :  f ( x  y )  f ( x)  f ( y ), x, y  R  1 f ( x)  x  0, f ( )  2 x  x  f (1)  1  14 Lời giải: Dễ thấy f(x) = x là một nghiệm của phương trình Ta sẽ chứng minh f(x) = x là nghiệm duy nhất của phương trình Thật vậy : cho x = y = 0 ta được f(0) = 0. Cho y = -x ta có f(-x) = -f(x) suy ra f(x) là hàm lẻ. Từ giả thiết : f(x – y) = f(x + (-y)) = f(x) + f(-y) = f(x) – f(y) Xét f( f (1  x) f (1)  f ( x) 1  f ( x) 1 )= = = , x  1 2 2 2 1 x (1 x) (1 x ) (1 x ) Mặt khác : f( 1 x x 1 ) = f( 1 + ) = f(1) + f( ) = 1 + f( )= 1  x 1 x 1 x 1 x x 1 f( ) x =1+ ( 2 =1+ 2 1 x (1) 2 x (1 x) f( 2 1 1 - 1) = 1 + x 2 (f( ) – f(1)) = x x (1 x) ) x 2 =1+ x (1 x) 2 ( f ( x) 2 - 1) = 1 + x Từ (1) và (2) có 1  f ( x) (1 x) 2 2 f ( x) (1 x) =1+ 2 - (1 x) (2) 2 2 f ( x) (1 x) x 2 - x (1 x) 2 . Vậy f(x) = x , x  1, x  0 . Kết hợp với giả thiết f(1) = 1 ; f(0) = 0 ta có f(x) = x , x R. 15 Ví dụ 3. Tìm tất cả các hàm f xác định trên tập hợp tất cả các số thực nhận giá trị thực , sao cho với mọi x , y ta có : f(x2 + f(y)) = y + f2(x) . Lời giải: Dễ thấy f(x) = x là một nghiệm của phương trình . Ta sẽ chứng minh f(x) = x là nghiệm duy nhất của phương trình . Trước tiên ta chứng minh f(0) = 0 . Cho x = y = 0 , đặt t = f(0) , ta có f(t) = t2 Ta lại có f(x2 + t) = f2(x) , f(f(x)) = x + t2 (1) Ta tính f(t2 + f2(1)) theo hai cách : f(t2 + f2(1)) = f(f(t)) + f2(1) = t + (1 + t2)2 = 1 + 2t2 + t4 (2) Mặt khác , từ f(t) = t2 , f(1 + t) = f2(1), ta có t2 + f(1 + t) = f(t) + f2(1) = t2 + f2(1) nên f(t2 +f2(1)) = f(t2 + f(1 + t)) = 1 + t + f2(t) = 1 + t + t4 (3) Từ (2) và (3) suy ra 1 + t + t4 = 1 + t + 2t2 + t4 . Vậy 2t2 = 0 tức là t = 0 hay f(0) = 0. Đến đây ta suy ra f(f(x)) = x và f(x2) = f2(x) Gọi y là một số thực bất kỳ , ta đặt z = f(y) , suy ra y = f(z) và f(x2 + y) = z + f2(x) = f(y) + f2(x) . Cho x > 0 tuỳ ý , chọn z sao cho x = z2 , khi đó : f(x + y) = f(z2 + y) = f(y) + f2(z) = f(x) + f(y) 16