Tài liệu Phân tích ứng xử phi tuyến dầm composite chịu tác dụng tải trọng điều hoà di động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ LÊ NGỌC TRƯỜNG PHÂN TÍCH ỨNG XỬ PHI TUYẾN DẦM COMPOSITE CHỊU TÁC DỤNG TẢI TRỌNG ĐIỀU HOÀ DI ĐỘNG NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP - 60580208 Tp. Hồ Chí Minh, tháng 04/2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ LÊ NGỌC TRƯỜNG PHÂN TÍCH ỨNG XỬ PHI TUYẾN DẦM COMPOSITE CHỊU TÁC DỤNG TẢI TRỌNG ĐIỀU HOÀ DI ĐỘNG NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP - 60580208 Hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN TRUNG KIÊN Tp. Hồ Chí Minh, tháng 04/2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 02 năm 2017 (Ký tên và ghi rõ họ tên) Lê Ngọc Trường ii LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Xây dựng và Cơ học ứng dụng đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức trong suốt quá trình học tập. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn cùng sự kính trọng sâu sắc đến với Thầy PGS.TS Nguyễn Trung Kiên và Thầy NCS. Nguyễn Ngọc Dương về sự tận tâm hướng dẫn, cung cấp các tài liệu và thông tin cần thiết để tôi hoàn thành luận văn thạc sĩ này. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian qua. Tôi xin trân trọng cảm ơn! Tp. Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 02 năm 2017 (Ký tên và ghi rõ họ tên) Lê Ngọc Trường iii TÓM TẮT Trong luận văn này, ứng xử phi tuyến của dầm Composite chịu tải trọng điều hòa di động được phân tích dựa trên lý thuyết dầm Timosenko và quan hệ biến dạng chuyển vị phi tuyến Von-Karman. Phương trình động lực học của dầm được thiết lập dựa trên nguyên lý Hamilton dưới dạng phương trình Lagrange với điều kiện biên thoả mãn hệ số nhân tử Lagrange. Phương pháp Newmark - β được sử dụng để giải phương trình động lực học. Ảnh hưởng của biến dạng lớn, vận tốc di chuyển của tải trọng, tần số lực kích thích, số lớp, hướng sợi, tỉ số giữa chiều dài và chiều cao tiết diện đến chuyển vị và nội lực của dầm được khảo sát chi tiết để rút ra những kết luận hữu ích. iv ABSTRACT  In this study, nonlinear dynamic of a Laminated Composite beam under a moving harmonic load has been performed by using Timoshenko beam theory with the Von-Karman’s nonlinear strain–displacement relationships. The governing equation of motion of the beam is derived based on Hamilton principle expressed as Lagrange’s equations with specific boundary conditions satisfied with Lagrange’s multipliers. Newmark- E method is used for solving the governing equation of motion. The effects of large deformation, velocity of moving load, excitation frequency, number of layers, fibre orientation, span-to-depth ratio on displacements and internal forces of the beam have been examined thoroughly to draw some useful conclusions. v MỤC LỤC Trang tựa TRANG Quyết định giao đề tài Lý lịch khoa học i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Tóm tắt iv Abstract v Mục lục vi Danh sách các hình vii Danh sách các bảng viii Danh sách các kí hiệu ix Chương 1. TỔNG QUAN 1 1.1. Tổng quan 1 1.2. Vật liệu Composite 2 1.3. Tổng quan tình hình nghiên cứu 5 1.4. Mục tiêu của đề tài 13 1.5. Phương pháp nghiên cứu 15 1.6. Tính mới của đề tài 16 Chương 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 18 2.1. Nguyên tắc chuyển trục tọa độ 18 2.2. Chuyển vị, biến dạng và ứng suất 21 2.3. Thiết lập phương trình chuyển động 23 2.4. Lời giải xấp xỉ bằng hàm đa thức 24 2.5. Lời giải xấp xỉ bằng hàm lượng giác 29 2.6. Phương pháp Newmark -E 31 2.7. Kết luận 34 Chương 3. VÍ DỤ SỐ 18 3.1. Giới thiệu 35 vi 3.2. Khảo sát độ hội tụ 35 3.2.1. Bài toán 1: Khảo sát ảnh hưởng của bậc đa thức và hàm lượng giác 35 3.2.2. Bài toán 2: Khảo sát ảnh hưởng số bước thời gian tính toán 37 3.3. So sánh các nghiên cứu khác 38 3.3.1. Bài toán 3: Xác định tần số dao động riêng của dầm Composite 38 3.3.2. Bài toán 4: Xác định tần số dao động của lớp sợi đối xứng dầm Composite với hướng sợi thay đổi và các điều kiện biên khác nhau 3.4. Khảo sát các tham số nghiên cứu 40 40 3.4.1. Bài toán 5: Khảo sát sự ảnh hưởng của tần số lực kích thích đến chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp 41 3.4.2. Bài toán 6: Khảo sát sự ảnh hưởng của hệ số vận tốc di chuyển không thứ nguyên của tải trọng điều hòa đến chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp nhằm tìm ra giá trị vận tốc cực hạn 44 3.4.3. Bài toán 7: Khảo sát sự ảnh hưởng của tỉ số L/h đến ứng xử của dầm 48 3.4.4. Bài toán 8: Khảo sát sự ảnh hưởng của chuyển vị và nội lực của dầm tại một khoảng thời gian nhất định theo các trường hợp vận tốc khác nhau 51 Chương 4. KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 PHỤ LỤC 62 vii DANH SÁCH CÁC HÌNH HÌNH TRANG Hình 1.1: Ứng dụng của vật liệu composite vào lĩnh vực y tế 1 Hình 1.2: Ứng dụng vật liệu composite trong chi tiết động cơ và phản lực 1 Hình 1.3: Ứng dụng vật liệu composite trong xây dựng 2 Hình 1.4: Vật liệu composite cấu tạo từ các lớp sợi 2 Hình 1.5: Vật liệu composite từ nhiều phân tử 3 Hình 1.6: Vật liệu composite theo tự nhiên hình thành 3 Hình 1.7: Mô hình lý thuyết biến dạng của dầm 3 Hình 1.8: Dầm composite chịu tác dụng của tải trọng điều hòa di động P(t) 5 Hình 1.9: Những đối tượng cơ bản cần khảo sát của bài toán phần tử dầm 15 Hình 2.1: Vật liệu composite với hệ trục tọa độ tổng thể và địa phương 18 Hình 2.2: Thuộc tính vật liệu trực hướng 19 Hình 2.3: Kích thước hình học của dầm composite 21 Hình 3.1a: Chuyển vị tuyến tính lớn nhất tại giữa nhịp theo : khi P0= 1500; vp thay đổi và xấp xỉ bằng hàm đa thức. 42 Hình 3.1b: Chuyển vị lớn nhất phi tuyến tại giữa nhịp theo : khi P0= 1500; vp thay đổi và xấp xỉ bằng hàm đa thức. 42 Hình 3.2a: Chuyển vị tuyến tính lớn nhất tại giữa nhịp theo : khi P0= 1500; vp thay đổi và xấp xỉ bằng hàm lượng giác 43 Hình 3.2b: Chuyển vị phi tuyến lớn nhất tại giữa nhịp theo : khi P0= 1500; vp thay đổi và xấp xỉ bằng hàm lượng giác 43 Hình 3.3a: Chuyển vị tuyến tính lớn nhất tại giữa nhịp theo hệ số vận tốc không thứ nguyên E khi P0=1000kN, :=0 và xấp xỉ bằng hàm đa thức. 46 Hình 3.3b: Chuyển vị phi tuyến lớn nhất tại giữa nhịp theo hệ số vận tốc không thứ nguyên E khi P0=1000kN, :=0 và xấp xỉ bằng hàm đa thức. viii 46 Hình 3.4a: Chuyển vị tuyến tính lớn nhất tại giữa nhịp theo hệ số vận tốc không thứ nguyên E khi P0=1000kN, :=0 và xấp xỉ bằng hàm lượng giác. 47 Hình 3.4b: Chuyển vị phi tuyến lớn nhất tại giữa nhịp theo hệ số vận tốc không thứ nguyên E khi P0=1000kN, :=0 và xấp xỉ bằng hàm lượng giác. 47 Hình 3.5a: Chuyển vị tại giữa nhịp của dầm theo t khi tỉ số L/h=5 49 Hình 3.5b: Chuyển vị tại giữa nhịp của dầm theo t khi tỉ số L/h=10 49 Hình 3.5c: Chuyển vị tại giữa nhịp của dầm theo t khi tỉ số L/h=20 50 Hình 3.5d: Chuyển vị tại giữa nhịp của dầm theo t khi tỉ số L/h=25 50 Hình 3.6a: Dạng chuyển vị tuyến tính của dầm khi P0=1500KN tại vị trí giữa dầm (xp=0), :=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm đa thức. 52 Hình 3.6b: Dạng chuyển vị phi tuyến của dầm khi P0=1500KN tại vị trí giữa dầm (xp=0), :=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm đa thức. 52 Hình 3.7a: Dạng chuyển vị tuyến tính của dầm khi P0=1500KN tại vị trí giữa dầm (xp=0), :=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm lượng giác. 53 Hình 3.7b: Dạng chuyển vị phi tuyến của dầm khi P0=1500KN tại vị trí giữa dầm (xp=0), :=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm lượng giác. 53 Hình 3.8: Dạng chuyển vị tuyến tính của dầm khi P0=1500KN tại vị trí 1/4 dầm (xp=-5m), :=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm đa thức. 54 Hình 3.8: Dạng chuyển vị phi tuyến của dầm khi P0=1500KN tại vị trí 1/4 dầm (xp=-5m), :=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm đa thức. 54 Hình 3.9a: Dạng chuyển vị tuyến tính của dầm khi P0=1500KN tại vị trí 1/4 dầm (xp=-5m), :=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm lượng giác. 55 Hình 3.9: Dạng chuyển vị phi tuyến của dầm khi P0=1500KN tại vị trí 1/4 dầm (xp=-5m), :=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm lượng giác. ix 55 DANH SÁCH CÁC BẢNG BẢNG TRANG Bảng 1.1 So sánh sự khác biệt của đề tài nghiên cứu và các đề tài khác 17 Bảng 2.1 Điều kiện biên của dầm xấp xỉ bằng hàm đa thức 26 Bảng 2.2 Hàm lượng giác tương ứng với điều kiện biên của dầm 30 Bảng 2.3 Điều kiện biên của dầm xấp xỉ bằng hàm lượng giác 30 Bảng 3.1 Tần số không thứ nguyên thứ nhất của dầm composite cross-ply theo N với các điều kiện biên khác nhau 36 Bảng 3.2 Chuyển vị tuyến tính lớn nhất tại giữa nhịp của dầm composite cross-ply theo N với các điều kiện biên khác nhau 36 Bảng 3.3 Chuyển vị tuyến tính lớn nhất tại giữa nhịp của dầm composite cross-ply theo số bước thời gian tính toán (RL1) với các điều kiện biên khác nhau 37 Bảng 3.4 Chuyển vị phi tuyến lớn nhất tại giữa nhịp của dầm composite cross-ply theo số bước thời gian tính toán (RL2) với các điều kiện biên khác nhau 38 Bảng 3.5 Hiệu ứng của hệ số L/H lên tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên cơ bản của dầm composite lớp sợi cross-ply đối xứng và không đối xứng 39 Bảng 3.6 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm composite lớp sợi đối xứng, góc sợi thay đổi 40 Bảng 3.7 Chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp theo : xấp xỉ bằng hàm lượng giác 41 Bảng 3.8 Chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp theo : xấp xỉ bằng hàm đa thức 41 Bảng 3.9 Chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp của dầm theo hệ số vận tốc không thứ nguyên E 45 Bảng 3.10 Chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp theo tỉ số L/h 48 x DANH SÁCH CÁC KÍ HIỆU u, v, w Chuyển vị theo phương x, y, z Ix Chuyển vị xoay quanh trục x u, x ; v, x ; w, x ;I, x Đạo hàm của các chuyển vị theo x V xx , H xx Ứng suất pháp tuyến và biến dạng dài theo phương x W xz , J xz Ứng suất tiếp và biến dạng cắt trong mặt phẳng xz Nx Độ cong của dầm. U ,V , K Năng lượng biến dạng, công thực hiện và động năng. 3 Tổng năng lượng của toàn hệ Q , U, E Hệ số Poisson, trọng lượng riêng, mô đun đàn hồi của vật liệu L, h, b Chiều dài, chiều cao và chiều rộng của dầm vx , vz Vận tốc di chuyển của tải trọng theo phương x, phương z Z Tần số dao động tự nhiên của dầm Oi Tần số không thứ nguyên cơ bản thứ i Nx Lực dọc trục theo phương x My Momen uốn theo trục y trong mặt phẳng Oxy Qz Lực cắt của dầm Tε , Tσ Ma trận chuyển trục từ hệ toạ độ địa phương sang tổng thể V , H , Cij Ứng suất, biến dạng và độ cứng của vật liệu trong hệ toạ độ địa phương. V ' , H ' , Cij' Ứng suất, biến dạng và độ cứng của vật liệu trong hệ toạ độ tổng thể. xi Chương 1 TỔNG QUAN 1.1. Tổng quan Khi xã hội ngày càng phát triển thì nhu cầu của con người về những vật liệu mới có các tính năng ưu việc ngày càng cao. Yêu cầu đặt ra là phải đảm bảo các tính năng về kỹ thuật như: độ bền, dẻo, cứng…, về kinh tế như: mỏng, nhẹ… và phải được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành kinh tế. Vật liệu composite là một trong những loại vật liệu đáp ứng được nhu cầu đó của con người. Ngày nay các cấu kiện kết cấu làm bằng vật liệu composite được ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực khác nhau. Ta có thể thấy được một số ứng dụng của nó trong cuộc sống như y tế, sinh học, xây dựng, hàng không ... Hình 1.1: Ứng dụng của vật liệu composite vào lĩnh vực y tế http://www.kmm-noe.net Hình 1.2: Ứng dụng vật liệu composite trong chi tiết động cơ và phản lực http://www.soton.ac.uk 1 Hình 1.3: Ứng dụng vật liệu composite trong xây dựng http://icci.vn/tin-tuc/ung-dung-vat-lieu-composite-trong-xay-dung.html Để những vật liệu mới này được ứng dụng rộng rãi trong các ngành kỹ thuật nói chung và trong ngành xây dựng nói riêng, những ứng xử của nó cần được phân tích, nghiên cứu chi tiết không những trong phòng thí nghiệm mà còn thông qua các mô hình vật lý – mô phỏng các bài toán thực tế. 1.2 . Vật liệu Composite Vật liệu composite là vật liệu được tổ hợp từ hai hay nhiều loại vật liệu khác nhau bao gồm vật liệu nền và sợi gia cường tạo nên một loại vật liệu mới có tính năng ưu việt hơn so với từng thành phần vật liệu riêng lẽ. Vật liệu nền được cấu tạo từ polyme, kim loại, gốm… Sợi gia cường được cấu tạo từ sợi polyme, các bon .... ¾ Phân loại composite: 9 Phân loại theo cấu tạo: - Composite cấu tạo từ các lớp sợi Hình 1.4: Vật liệu composite cấu tạo từ các lớp sợi 2 - Composite cấu tạo từ nhiều phân tử. Hình 1.5: Vật liệu composite từ nhiều phân tử 9 Phân loại theo tự nhiên hình thành: - Composite hữu cơ, composite vô cơ và composite khoáng vật . Hình 1.6: Vật liệu composite theo tự nhiên hình thành http://www.aujardin.info/img/img7/bambous.jpg Nhu cầu nghiên cứu của vật liệu composite đã phát triển ra ba dạng lý thuyết: ”ዛዔ…Š‹„‹ዅ†኶‰ ƒ—Š‹„‹ዅ†኶‰ ý–Š—›ዅ–†ኹ…ዐ¯‹዇ ý–Š—›ዅ–†ኹ„‹ዅ †኶‰…ኽ–„ኼ…Šኸ– ý–Š—›ዅ–†ኹ„‹ዅ †኶‰…ኽ–„ኼ……ƒ‘ Hình 1.7: Mô hình lý thuyết biến dạng của dầm [11] 3 Lý thuyết dầm cổ điển (CLPT) còn gọi là lý thuyết dầm Euler-Bernoulli trong lý thuyết này mặt cắt trước và sau khi biến dạng đều vuông góc với trục trung hoà vì đã bỏ qua hiệu ứng biến dạng cắt ngang nên ứng suất cắt bằng không ở bề mặt trên và đáy của dầm do đó chỉ có thể áp dụng đối với dầm mỏng. Lý thuyết dầm biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) còn gọi là dầm Timoshenko trong lý thuyết này mặt cắt sau khi biến dạng là một đường thẳng bậc nhất không vuông góc với trục trung hoà vì có xét đến hiệu ứng biến dạng cắt ngang bằng cách đưa vào một hệ số chống cắt Ks nên có thể áp dụng cho trường hợp dầm dày. Lý thuyết dầm biến dạng cắt bậc cao (TSDT) còn gọi là dầm Reddy. Trong lý thuyết này mặt cắt sau khi biến dạng là một đường cong bậc cao do chuyển vị trong mặt phẳng tiết diện được biểu diễn dưới dạng hàm bậc cao trong suốt chiều dày của dầm nên có sự dự đoán tốt hơn về đáp ứng của dầm laminate. Trong thực tiễn cuộc sống đặc biệt là trong lĩnh vực xây dựng các công trình giao thông như hệ thống đường ray xe lửa, tuyến đường metro, kết cấu cầu giao thông… đã đặt ra nhiều vấn đề cần giải quyết về tải trọng di động cũng như ứng dụng các vật liệu mới có tính năng ưu việt như composite vào các dạng kết cấu trong thực tiễn. Đến nay đã có nhiều phân tích ứng xử tĩnh và động sử dụng các lý thuyết dầm khác nhau cho cả bài toán tuyến tính và phi tuyến với các loại vật liệu và hình dạng dầm khác nhau. Tuy vậy, ứng xử động phi tuyến của dầm composite chịu tải trọng di động vẫn chưa được nghiên cứu nhiều. Tiếp nối với nghiên cứu ứng xử của kết cấu dạng dầm làm bằng vật liệu composite. Đề tài này phân tích ứng xử phi tuyến của dầm composite một nhịp chịu tải trọng điều hòa di động. Mô hình vật lý của bài toán cho như sau: 4 Hình 1.8: Dầm composite chịu tác dụng của tải trọng điều hòa di động P(t). 1.3 . Tổng quan tình hình nghiên cứu Kết cấu làm bằng vật liệu composite đã thu hút sự quan tâm của rất nhiều nhà khoa học trên thế giới cả trong lĩnh vực xây dựng thông qua việc phân tích ứng xử của tấm và dầm composite. Nhiều nghiên cứu đã được thực hiện phân tích ứng xử tĩnh và ứng xử động của kết cấu bằng vật liệu composite. Một số luận văn thạc sĩ ngành Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp cũng quan tâm nghiên cứu vấn đề kết cấu chịu tải trọng chuyển động. Các nghiên cứu gần đây như: Tâm [1] đã phân tích tần số dao động và lực ổn định của dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao trong đó phương trình chuyển động được rút ra từ phương trình Lagrange. Lý thuyết sử dụng là lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và lý thuyết Quasi-3D với nhiều điều kiện biên khác nhau. Kết quả số của luận văn về phân tích tần số dao động và lực ổn định tới hạn được so sánh với kết quả của các tác giả nghiên cứu khác. Phân tích hiệu ứng giữa sự thay đổi góc xoay của hướng sợi, tỉ lệ chiều dài và chiều sâu của tiết diện dầm (L/h), tỉ lệ module đàn hồi đối với lực ổn định tới hạn. Phong [2] đã phân tích ứng xử phi tuyến của dầm phân lớp chức năng (FGM) trên nền đàn hồi Winkler chịu tải trọng điều hòa di động trong đó dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko và quan hệ biến dạng chuyển vị phi tuyến Von- Karman. Đặc trưng của vật liệu FGM được giả thiết tuân theo quy luật lũy thừa với hệ số mũ k. 5 Phương trình động lực học của dầm được thiết lập dựa trên nguyên lý Hamilton dưới dạng phương trình Lagrange với điều kiện biên thõa mãn hệ số nhân Lagrange. Giải phương trình động lực học sử dụng phương pháp Newmark. Các ví dụ số phân tích ảnh hưởng của biến dạng lớn, sự phân phối vật liệu, vận tốc di chuyển của tải trọng, tần số lực kích thích, hệ số nền đàn hồi Winkler, tỉ số giữa chiều dài và chiều cao tiết diện đến chuyển vị và nội lực của dầm. Phương [3] đã phân tích ứng xử động lực học của dầm phân lớp chức năng một nhịp chịu tải trọng di động có xét khối lượng vật chuyển động trong đó sử dụng hai lý thuyết dầm Timoshenko và Reddy. Đặc trưng vật liệu phân lớp chức năng của được mô tả bởi quy luật hàm lũy thừa theo chiều dày của dầm. Tải trọng di động được mô hình bởi lực di động và khối lượng di động của vật thể với vận tốc là hằng số và vận tốc biến đổi đều. Phương trình chuyển động của dầm được thiết lập bằng nguyên lý năng lượng Hamilton với hàm dạng chuyển vị dạng đa thức bậc cao. Ảnh hưởng của các thông số vật lý như khối lượng, vận tốc và gia tốc của tải trọng di động, quy luật phân phối vật liệu, tỉ số giữa chiều dài và chiều cao tiết diện của dầm đến chuyển vị và nội lực của dầm được khảo sát chi tiết. Ngoài ra các tác giả ngoài nước cũng rất quan tâm đến đề tài này như : Simsek và cộng sự [4] đã khảo sát dao động tự do và ứng xử động của dầm phân lớp chức năng gối tựa đơn chịu tải trọng di động điều hòa trong đó phương trình động lực học thu được bởi phương trình Larange sử dụng lý thuyết dầm Euler – Bernoulli. Hàm dạng biểu diễn độ võng ngang và dọc trục của dầm theo hàm đa thức. Các điều kiện biên gối tựa được thỏa mãn bằng các hệ số nhân Larange. Đặc trưng vật liệu dầm thay đổi liên tục dọc theo bề dày dầm tuân theo quy luật hàm số mũ và hàm e mũ. Trong nghiên cứu này, ảnh hưởng của đặc trưng vật liệu khác nhau, vận tốc của tải trọng điều hòa di động, tần số lực kích thích đến ứng xử của dầm được thảo luận. Simsek [5] đã phân tích dao động của dầm phân lớp chức năng chịu khối lượng di động sử dụng các lý thuyết dầm khác nhau trong đó sử dụng lý thuyết 6 Euler – Bernoulli, Timoshenko và lý thuyết biến dạng cắt bậc 3. Đặc trưng vật liệu dầm thay đổi liên tục dọc theo bề dày dầm tuân theo quy luật hàm số mũ. Điều kiện biên của gối tựa thỏa mãn hệ số nhân Larange. Trong nghiên cứu này, ảnh hưởng của biến dạng cắt, hệ số phân phối vật liệu, vận tốc của khối lượng chuyển động, lực quán tính, ảnh hưởng hướng tâm của khối lượng chuyển động đến độ võng động lực học và ứng suất của dầm được thảo luận chi tiết. Để kiểm chứng các kết quả, độ võng động của dầm chịu khối lượng chuyển động và được so sánh với các nghiên cứu trước so sánh với nghiên cứu dao động tự do của dầm FG. Simsek [6] đã phân tích dao động phi tuyến của dầm phân lớp chức năng Timoshenko chịu tải trọng điều hoà di động trong đó các điều kiện biên khác nhau theo lý thuyết dầm cổ điển và lý thuyết dầm biến dạng cắt bậc cao. Đặc trưng vật liệu của dầm thay đổi liên tục theo chiều dày và tuân theo qui luật hàm số mũ. Hàm dạng biểu diễn chuyển bị dọc và ngang của dầm, góc xoay do uốn và cắt của mặt cắt ngang dầm thì được biểu diễn qua hàm đa thức. Trong nghiên cứu này, ảnh hưởng của hệ số độ mảnh, đặc trưng vật liệu và lý thuyết dầm khác nhau đến tần số cơ bản được khảo sát. Simsek và cộng sự [7] đã phân tích tần số cơ bản của dầm phân lớp chức năng bằng cách sử dụng các lý thuyết dầm bậc cao khác nhau trong đó phân tích dựa trên lý thuyết dầm Euler – Bernoulli, lý thuyết dầm Timoshenko và lý thuyết biến dạng cắt bậc ba. Đặc trưng vật liệu của dầm phân lớp chức năng tuân theo qui luật phân phối hàm số mũ. Hàm chuyển vị được xấp xỉ bằng các hàm Larange. Áp dụng phương pháp số để chứng minh ảnh hưởng của lực cắt ngang đến tần số tự nhiên và mode dao động theo tỉ số chiều dài và chiều cao tiết diện, hệ số phân phối vật liệu theo các điều kiện biên khác nhau. Ta thấy rằng, lực cắt ngang ảnh hưởng ý nghĩa đến tần số cơ bản và mode dao động cho dầm có tỉ số chiều dài và chiều cao nhỏ hơn. Ngoài ra, ảnh hưởng đó nổi bật hơn với mode dao động lớn cho tất cả các hệ số phân phối khối lượng của dầm FG. 7 Nguyen và cộng sự [8] đã phân tích dao động và ổn định của dầm sandwich với một lý thuyết biến dạng cắt bậc cao mới trong đó tác giả đã đề xuất một lý thuyết biến dạng cắt bậc cao mới cho dầm sandwich đẳng hướng và phân lớp chức năng. Theo lý thuyết này, ứng suất cắt ngang phân bố theo dạng hyperbol mới và thỏa mãn các điều kiện biên. Phương trình động lực học được thiết lập dựa vào phương trình Lagrange. Các phân tích được trình bày cho dầm sandwich đẳng hướng và phân lớp chức năng với các điều kiện biên khác nhau. Các kết quả số về tần số tự nhiên và ổn định của dầm được so sánh với các lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và bậc cao khác. Sự ảnh hưởng của các điều kiện biên, quy luật phân bố vật liệu, tỷ lệ tiết diện, chiều dày các lớp dầm đến ứng xử động học của dầm được khảo sát chi tiết. Nguyen và cộng sự [9] đã khảo sát dao động và ổn định của tấm với một lý thuyết biến dạng cắt lượng giác ngược mới trong đó tác giả đã đề xuất một lý thuyết biến dạng cắt lượng giác ngược mới cho tấm sandwich đẳng hướng và phân lớp chức năng. Phương trình động lực học được thiết lập dựa vào phương trình Lagrange. Các phân tích được trình bày cho dầm sandwich đẳng hướng và phân lớp chức năng với các điều kiện biên khác nhau. Các kết quả số về tần số tự nhiên và ổn định của dầm được so sánh với các lý thuyết biến dạng khác. Sự ảnh hưởng của các điều kiện biên, quy luật phân bố vật liệu, tỷ lệ tiết diện, chiều dày các lớp dầm đến ứng xử động học của dầm được khảo sát chi tiết. Vo và cộng sự [10] đã phân tích ứng xử tĩnh dầm sandwich FG bằng lý thuyết Quasi-3D trong đó sử dụng mô hình phần tử hữu hạn và lời giải Navier để xác định chuyển vị và ứng suất trong dầm, đặc trưng của vật liệu tuân theo quy luật hàm mũ. Kết quả số thu được về ảnh hưởng của biến dạng cắt và độ dày trên chuyển vị và ứng suất được so sánh với các lý thuyết khác. Zhang [12] đã phân tích phi tuyến dầm FGM chịu uốn bằng lý thuyết mặt trung bình và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao trong đó các chuyển vị được xấp xỉ bằng các hàm lượng giác. Đặc trưng của vật liệu tuân theo quy luật hàm mũ. 8