Tài liệu Phân tích thống kê dự báo và mô phỏng vài chuỗi thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM VĂN KHÁNH PHÂN TÍCH THỐNG KÊ DỰ BÁO VÀ MÔ PHỎNG MỘT SỐ CHUỖI THỜI GIAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Văn Khánh PHÂN TÍCH THỐNG KÊ DỰ BÁO VÀ MÔ PHỎNG MỘT SỐ CHUỖI THỜI GIAN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1. GS. TS. Nguyễn Khắc Minh 2. GS. TSKH. Nguyễn Duy Tiến Hà Nội - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác. Tác giả LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thiện dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Khắc Minh, GS. TSKH. Nguyễn Duy Tiến. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới hai thầy vì sự định hướng và sự gợi mở vấn đề của các Thầy trong nghiên cứu, sự động viên khuyến khích và sự tận tình của các thầy trong dạy dỗ cũng như trong cuộc sống. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Toán – Cơ – Tin học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học quốc gia Hà Nội, nơi tác giả đã học tập và nghiên cứu từ năm 1997 tới nay. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy ở Bộ môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán, Khoa Toán – Cơ – Tin học đã giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận án. Trong quá trình học tập hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và đóng góp của GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng, PGS.TS. Trần Hùng Thao, PGS.TS. Nguyễn Xuân Hoài, TS. Nguyễn Thịnh,...Tác giả xin chân thành cảm ơn tới quý thầy về sự giúp đỡ quý báu đó. Tác giả xin chân thành cảm ơn tới người vợ thân yêu của mình vì sự hy sinh và động viên, giúp đỡ tác giả trong học tập, nghiên cứu cũng như trong cuộc sống. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tất cả thầy cô, gia đình và bạn bè đã góp ý, ủng hộ và động viên tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận án. Phạm Văn Khánh 2 MỤC LỤC Những kí hiệu dùng trong luận án 5 Mở đầu 6 Chương 1. Chuỗi tự hồi quy cấp 1 với hệ số thành phần ngẫu nhiên không âm 1.1 Điều kiện dừng của chuỗi . . . . . . . . . 1.2 Ước lượng các tham số của mô hình . . . 1.3 Nghiên cứu mô phỏng . . . . . . . . . . . 1.4 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . hồi quy có chứa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 2. ƯỚC LƯỢNG THỜI ĐIỂM DỪNG TỐI ƯU CHO QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VỚI HỆ SỐ TRƯỢT NGẪU NHIÊN 2.1 Kiến thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Những kết quả đã được nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Bài toán tìm thời điểm bán tối ưu khi tốc độ tăng giá là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận 2 giá trị . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Bài toán phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Bao dừng tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Lời giải số và mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Bài toán tìm thời điểm mua và bán tối ưu khi tốc độ tăng giá là xích Markov rời rạc hai trạng thái . . . . . . . . . . . 2.4.1 Bài toán mua tài sản . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Bài toán bán tài sản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 13 16 20 26 27 28 30 32 32 36 40 42 55 56 67 81 Chương 3. Phương pháp Monte - Carlo trong mô hình giá quyền chọn áp dụng cho quá trình có bước nhẩy ngẫu nhiên 84 3.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Phương trình vi phân ngẫu nhiên hệ số hằng với rủi ro trung tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Giá một quyền chọn trong môi trường rủi ro trung tính . Giải thuật Monte–Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kết quả mô phỏng thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Kết quả mô phỏng quá trình giá . . . . . . . . . . 3.5.2 Kết quả mô phỏng giá của quyền chọn mua và quyền chọn bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 88 92 101 101 . 101 . 106 Chương 4. Dự báo trạng thái hội tụ của thu nhập bình quân đầu người của Việt Nam 108 4.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.2 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.2.1 Quan điểm kinh tế của các phương pháp được sử dụng111 4.2.2 Mô hình hồi quy Barro 1 mở rộng . . . . . . . . . . 113 4.2.3 Mô hình hồi quy Barro 2 mở rộng . . . . . . . . . . 122 4.2.4 Mô hình xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.3 Kết quả ước lượng thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.4 So sánh với các mô hình Barro kinh điển . . . . . . . . . . 139 4.5 Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Chương 5. So sánh mô hình vector tự hồi qui và các mô hình được tạo ra bởi lập trình Gen trong dự báo chỉ số giá tiêu dùng của Việt Nam 141 5.1 Cơ sở phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.1.1 Giới thiệu khái quát mô hình VAR . . . . . . . . . . 142 5.1.2 Giới thiệu về lập trình Gen . . . . . . . . . . . . . 144 5.2 Ước lượng thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.2.1 Áp dụng mô hình VAR trong dự báo lạm phát . . . 148 5.2.2 Sử dụng GP cho dự báo lạm phát ở Việt Nam . . . . 151 5.3 Kết luận chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Kết luận và kiến nghị 157 Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 158 Tài liệu tham khảo 160 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN Ký hiệu Ý nghĩa (Ω, F, P ) I(A) [x] max{ln(x), 0} log(x) hcc ARCH Không gian xác suất Hàm chỉ tiêu của tập hợp A Số nguyên lớn nhất không vượt quá x với x ≥ 0. ln+ (x). log10 (x) Hầu chắc chắn Mô hình tự hồi quy với phương sai có điều kiện của sai số thay đổi Tổng sản phẩm quốc nội Độc lập cùng phân bố Quá trình trung bình trượt Sai số dự báo bình phương trung bình Ước lượng hợp lý cực đại Căn bậc hai của MSE Mô hình ARCH tổng quát Mô hình GARCH dạng mũ Mô hình GARCH phân ngưỡng Bình phương tối thiểu Bình quân thu nhập Độ lệch chuẩn Lập trình Gen Giải thuật tiến hóa GDP IID MA MSE MLE RMSE GARCH EGARCH TGARCH BPTT BQTN Std.Dev GP EA 5 MỞ ĐẦU Phân tích các dữ liệu thực nghiệm tại những điểm khác nhau theo thời gian dẫn đến những bài toán mới và độc đáo trong mô hình thống kê và suy diễn thống kê. Sự tương quan trong mẫu được lấy tại các điểm lân cận theo thời gian có thể làm hạn chế việc áp dụng nhiều phương pháp thống kê truyền thống phụ thuộc vào giả định rằng những quan sát liền kề là độc lập và cùng phân bố. Phân tích chuỗi thời gian được hiểu là sử dụng các phương pháp tiếp cận có hệ thống để trả lời các câu hỏi toán học và thống kê về những mối tương quan thời gian nói trên. Có rất nhiều những yêu cầu về việc phân tích thống kê đối với những quan sát phụ thuộc ở trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, kỹ thuật và khoa học tự nhiên. Một mô tả cấu trúc xác suất của một chuỗi các quan sát phụ thuộc được gọi là mô hình một quá trình ngẫu nhiên. Trong luận án này chúng tôi không giới hạn trong việc xem xét các chuỗi thời gian truyền thống như các quá trình tự hồi qui (AR), trung bình trượt (MA), tự hồi qui trung bình trượt (ARMA), vector tự hồi qui (VAR) mà chúng tôi mở rộng ra xem xét các chuỗi thời gian có hệ số ngẫu nhiên, chuỗi thời gian liên tục mà hệ số chứa thành phần ngẫu nhiên, chuỗi thời gian liên tục có tác động của bước nhảy ngẫu nhiên... Phương pháp tiếp cận cơ bản trong phân tích chuỗi thời gian thường dựa trên giả thiết rằng sự tương quan giữa các điểm lân cận theo thời gian là giải thích tốt nhất cho sự phụ thuộc của giá trị hiện tại và giá trị trong quá khứ. Các phương pháp phân tích chuỗi thời gian tập trung vào việc mô hình hóa các giá trị tương lai của một chuỗi thời gian như là một hàm của giá trị hiện tại và quá khứ. Theo kịch bản này, bắt đầu bằng hồi quy 6 các giá trị hiện tại của một chuỗi thời gian trên các giá trị quá khứ của bản thân chuỗi đó và trên các giá trị trong quá khứ của các chuỗi khác. Mô hình này được sử dụng như một công cụ dự báo và đặc biệt phổ biến với các nhà kinh tế vì lý do này. Trong luận án này, chúng tôi sử dụng các kết quả trong phân tích và mô phỏng chuỗi thời gian để ứng dụng trong điều khiển và dự báo. Việc điều khiển các chuỗi thời gian thể hiện trong bài toán xác định thời điểm dừng tối ưu. Đối với bài toán này biến điều khiển chính là biến thời gian mà người đầu tư cần quyết định giá trị trị nào của biến thời gian mà người đầu tư cần dừng lại quá trình đầu tư của mình để thu được cực đại lợi nhuận. Bản chất của bài toán này là bài toán dự báo: dự báo thời điểm thay đổi xu thế của chuỗi thời gian: thời điểm giá đạt đỉnh và thời điểm giá chạm đáy. Thời điểm chuỗi giá cả thay đổi xu thế ta gọi đó là thời điểm chuyển mà tại đó nhà đầu tư thường đưa ra quyết định mua hay bán. Một kết quả rất thú vị ở chương 2 cho thấy là thời điểm tối ưu để mua là khi giá đang lên và vừa qua đáy, thời điểm tối ưu để bán là giá đang xuống và vừa qua đỉnh! Bài toán dự báo là bài toán chủ yếu trong phân tích và mô phỏng chuỗi thời gian. Việc dự báo các chỉ tiêu kinh tế luôn là mong muốn của các nhà lãnh đạo, các nhà đầu tư và mọi người dân. Chính vì vậy luận án này cũng giải quyết một phần quan trọng trong các vấn đề thời sự của đất nước đó là dự báo về trạng thái hội tụ về thu nhập bình quân đầu người và chỉ số giá tiêu dùng. Luận án cũng nghiên cứu việc tính toán giá của các phái sinh trong thị trường tài chính. Nó giúp cho các nhà đầu tư bảo hiểm các quyết định của mình khi thị trường có những cú sốc (bước nhảy ngẫu nhiên) ngoài ý muốn. Luận án nghiên cứu phân tích thống kê, mô phỏng các chuỗi thời gian và áp dụng cho các chuỗi thời gian trong kinh tế bao gồm cả vĩ mô và vi mô. Vì đặc trưng khác nhau của các chuỗi nên các phương pháp tiếp cận và nghiên cứu cũng khác nhau. 7 Luận án gồm năm chương và được cấu trúc như sau: Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một mô hình chuỗi thời gian mới. Đó là chuỗi tự hồi quy cấp 1 mà hệ số góc có tác động của thành phần ngẫu nhiên không âm. Chuỗi này dùng để mô hình hóa quá trình tăng trưởng và phương sai của sai số thay đổi. Để mô tả độ biến động của một quá trình ngẫu nhiên ta thường mô hình hóa bởi các quá trình ARCH, GARCH, EGARCH hay TGARCH. Tuy nhiên bằng việc mô phỏng ta thấy RCA(1) rất gần với các mô hình trên nhưng việc ước lượng các tham số, kiểm định và dự báo dễ dàng hơn rất nhiều. Việc sử dụng chuỗi thời gian mới này cho ta các tiện lợi hơn rất nhiều so với các mô hình hiện có. Ở Chương 2 chúng tôi xét mô hình chuỗi thời gian liên tục nếu rời rạc hóa mô hình chuỗi thời gian trong chương này ta sẽ được mô hình khá giống với chương 1 nghĩa là tốc độ tăng trưởng (hệ số góc) cũng phụ thuộc vào biến ngẫu nhiên rời rạc hoặc quá trình ngẫu nhiên rời rạc (có thể nhận giá trị âm). Tuy nhiên, trong chương này chúng tôi xem xét bài toán điều khiển tối ưu chuỗi thời gian mà biến điều khiển là biến thời gian còn biến trạng thái (không quan sát được) là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận 2 giá trị hoặc quá trình Markov 2 trạng thái còn biến trạng thái quan sát được là quá trình giá cả. Đây là sự mở rộng các kết quả hiện có về bài toán xác định thời điểm dừng tối ưu trong đó thêm thành phần ngẫu nhiên vào hệ số dịch chuyển (hệ số góc-tốc độ tăng trưởng). Các kết quả thu được là khả quan và được kiểm tra trên dữ liệu mô phỏng cho thấy tính đúng đắn của các kết quả tìm được. Bài toán xác định thời điểm dừng tối ưu được sử dụng trong thống kê toán học (ước lượng và kiểm định), trong toán tài chính, kỹ thuật tài chính, trong các giải thuật gen di truyền (thời điểm dừng cho quá trình tiến hóa)....Trong luận án này chúng tôi áp dụng bài toán thời điểm dừng tối ưu áp dụng cho bài toán tài chính. Chương 3 chúng tôi xét một chuỗi thời gian liên tục có thêm thành phần ngẫu nhiên khác loại với chuyển động Brown đó là thành phần bước nhảy được cộng hợp vào mô hình mà không chứa trong hệ số hồi quy như trong chương 1 và chương 2 để mô hình hóa những biến cố dạng sốc tác 8 động vào quá trình giá cả. Các công thức liên quan tới giá của các phái sinh tài chính mà quá trình cơ sở là chuỗi thời gian đang xét rất phức tạp thậm chí không thể tính được vì vậy luận án đưa ra phương pháp mô phỏng Monte-Carlo để tính toán giá của các phái sinh tài chính này. Đây là loại chuỗi thời gian thường gặp trong thực tế nhất là trong thị trường có nhiều đột biến như sự vỡ nợ của các tập đoàn lớn, các biến cố chính trị, thiên tai..., tuy nhiên các nghiên cứu về loại chuỗi thời gian này chưa nhiều đặc biệt do tính phức tạp trong phân bố của các phái sinh tài chính liên quan nên việc tính toán và dự báo gặp nhiều khó khăn. Ta sẽ gặp trong chương 3, kỳ vọng của giá quyền chọn mua trong điều kiện có bước nhảy có dạng: C (S0 , T ) = ∞ X h pk (λT ).ES̃k C (BS)  ¯ S̃k −λJT S0 e 2 , T ; K, σ , r i , (0.1) k=0 trong đó: k P Sek = Qi , k pk (λT ) = (λTk!) e−λT , i=1
(BS) −rT C x, T ; K,h σ 2 , r =  xΦ(d21(x))i − Ke Φ(d2 (x)), √ d1 (x) := σ√1 T ln Kx + r + σ2 T , d2 (x) = d1 (x) − σ T , và Φ (y) là hàm phân phối chuẩn. Chuỗi cho bởi công thức (0.1) hội tụ rất chậm và kỳ vọng ES̃k tính rất khó khăn, cho nên chúng tôi đã đề xuất phương pháp Monte-Carlo để tính toán một số phái sinh (quyền chọn mua, quyền chọn bán) kiểu Châu Âu liên quan đến chuỗi. Đối với các quyền chọn kiểu Mỹ thì còn phức tạp hơn rất nhiều vì thời hạn thực thi hợp đồng không được định trước, bài toán xác định quyền chọn mua hay quyền chọn bán kiểu Mỹ bản chất là bài toán xác định thời điểm dừng tối ưu khi mô hình tồn tại bước nhảy với cường độ và biên độ nào đó. Chúng tôi sẽ nghiên cứu bài toán này trong những nghiên cứu tiếp theo. Trong các phương pháp phân tích chuỗi thời gian, phân tích tự hồi quy là một phương pháp được áp dụng phổ biến. Các mô hình hồi quy Barro 9 sử dụng phương pháp tự hồi quy để xem xét sự hội tụ của các tiểu vùng kinh tế trong một nền kinh tế hay là sự hội tụ của các nền kinh tế như là một xu thế chung của quá trình phát triển. Ở trong Chương 4 chúng tôi tiến hành mở rộng mô hình hồi quy Barro (xem [20]) để xây dựng mô hình mới gọi là Mô hình Barro mở rộng bằng việc xem xét bài toán dưới góc độ phương trình vi phân và xét tất cả các thời kì con trong toàn bộ thời kì nghiên cứu đồng thời áp dụng trong việc dự báo trạng thái hội tụ của thu nhập của bình quân đầu người của Việt Nam cho thấy ưu việt của mô hình mở rộng bằng việc so sánh với mô hình xích Markov. Trong chương này, chúng tôi đã chứng minh những kết quả để so sánh độ chính xác của các mô hình mở rộng với các mô hình kinh điển. Chương 5 chúng tôi đưa ra phương pháp gọi là phương pháp xấp xỉ ngẫu nhiên sử dụng các nguyên lý tiến hóa trong sinh học và mô phỏng Monte Carlo để xây dựng các mô hình dự báo chuỗi thời và so sánh với mô hình toán học là mô hình véc tơ tự hồi quy (VAR). Giả sử ta cần dự báo chuỗi thời gian S(t) ban đầu ta xấp xỉ S(t) bởi Ŝ0 (x) trong đó x là véc-tơ chứa các biến độc lập hoặc các biến trễ của S(t). Sau một bước lặp ta sử dụng các toán tử tiến hóa để được Ŝ1 (x) sao cho kS1 (x)−S(t)k ≤ kS0 (x)−S(t)k. Cuối cùng ta thu được một dãy các hàm S0 (x), S1 (x), ·, Sn (x) hội tụ tới S(t). Điều kì diệu của phương pháp được đưa ra ở trong chương này đó là máy tính có thể tự vận dụng các quy tắc đã được cài đặt để tự tạo ra các hàm xấp xỉ với dữ liệu quan sát và thu được hàm dự báo thông qua quá trình tiến hóa những hàm dự báo được tạo ra một cách ngẫu nhiên ban đầu. Các kết quả cho thấy tính ưu việt của phương pháp mới. Luận án đã sử dụng nhiều cách tiếp cận khác nhau để giải quyết bài toán dự báo bao gồm cả phương pháp tiếp cận truyền thống và phương pháp hiện đại, các mô hình xác suất, mô hình toán tài chính, mô hình toán kinh tế và kỹ thuật mô phỏng được triệt để áp dụng trong luận án. Xuyên suốt toàn bộ luận án là bài toán phân tích thống kê dự báo và mô phỏng các chuỗi thời gian trong đó các chuỗi thời gian được xem xét trong luận án gồm chuỗi thời gian liên tục (Chương 2 và Chương 3) và chuỗi 10 thời gian rời rạc (các chương còn lại), từ các chuỗi thời gian trong kinh tế đến các chuỗi thời gian trong tài chính. Các khía cạnh khác nhau của bài toán dự báo cũng được nghiên cứu trong luận án như: dự báo giá trị của chuỗi trong tương lai (Chương 1), dự báo thời điểm cao nhất và thấp nhất của chuỗi thời gian trong một thời đoạn (Chương 2), ước lượng và dự báo các giá trị phái sinh tài chính khi công thức giải tích không áp dụng được (Chương 3), dự báo trạng thái hội tụ của một chuỗi thời gian có xu thế (Chương 4) và dự báo cấu trúc của một chuỗi thời gian khi không thể định dạng được mô hình toán học của chuỗi (Chương 5). Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại các hội nghị: Hội nghị toàn quốc lần thứ 4 về Xác suất và thống kê (Vinh, 5/2010), Hội Nghị Khoa Học Khoa Toán - Cơ - Tin học (trường ĐH Khoa học Tự nhiên-ĐHQG Hà Nội, 10/2010), Hội nghị quốc tế 2013 Statistics and its interactions with other disciplines (SIOD 2013) và đã được đăng ở các tạp chí: Open Jounal of Statistic, American Jounal of Operation Research, Tạp chí Ứng dụng Toán học. 11 CHƯƠNG 1 CHUỖI TỰ HỒI QUY CẤP 1 VỚI HỆ SỐ HỒI QUY CÓ CHỨA THÀNH PHẦN NGẪU NHIÊN KHÔNG ÂM Những mô hình chuỗi thời gian với hệ số ngẫu nhiên (RCA) là các mô hình phi tuyến, là sự mở rộng lớp các mô hình tự hồi quy cổ điển trong phân tích các chuỗi thời gian tuyến tính và cho phép ta linh hoạt hơn trong việc mô hình hóa phương sai của sai số thay đổi thường gặp trong dữ liệu, tuy nhiên lớp các mô hình RCA hiện nay vẫn có ít các nghiên cứu về nó đặc biệt các mô hình RCA ít được chú ý hơn so với các mô hình ARCH, GARCH và các mô hình phân ngưỡng khác. Ta có thể thấy rằng những lợi ích của những mô hình RCA so với các mô hình nêu trên như sau: • Thứ nhất, các mô hình RCA cho ta một thủ tục ước lượng tham số thống nhất mà không phụ thuộc vào cấu trúc xác suất của quá trình cơ sở. • Thứ hai, mặc dù các mô hình GARCH là phổ biến hơn trong phân tích dữ liệu tài chính nhưng những mô hình này có thể chuyển thành các mô hình RCA như là một trường hợp đặc biệt. • Thứ ba, dù mô hình RCA đơn giản nhất như là mô hình RCA cấp 1 cũng rất thích hợp trong các ứng dụng kinh tế lượng. Do giả thiết về bước ngẫu nhiên của hành vi của giá cả thị trường cổ phiếu được mô hình hóa bởi chuỗi thời gian tự hồi quy cấp 1 với hệ số hồi quy φ = 1 trong khi đó hệ số hồi quy trên thực tế nằm giữa các mô hình dừng và không dừng cấp 1, lý thuyết này cho ta thấy tác dụng phụ không mong muốn của sự ước lượng không chính xác dẫn đến sự khác nhau đáng kể trong dáng điệu của chuỗi ứng với các trường hợp φ < 1, φ = 1 và φ > 1. Tuy nhiên, nếu ta thêm vào hệ số hồi quy một thành phần ngẫu nhiên việc mô hình hóa hành vi giá cả sát với thực tế hơn. Các tác giả trong [5], [6] đã xét các chuỗi thời gian với hệ số ngẫu nhiên và chuỗi tự hồi quy cấp 1 với hệ số chịu tác động của biến ngẫu nhiên chuẩn. Ở đây, trong luận án này ta giả sử thành phần ngẫu nhiên là trị tuyệt đối của biến ngẫu nhiên chuẩn kỳ vọng 0, bởi 12 vì trong nhiều trường hợp của thị trường đang chịu sự tác động của chính sách kích cầu hay một chính sách ưu tiên nào đó sẽ tác động lên hệ số tự hồi quy và thành phần tác động này là ngẫu nhiên dương. Việc ước lượng các tham số của mô hình trở lên khó khăn hơn rất nhiều vì phân bố của nhiễu hệ số là phân bố chuẩn chặt cụt. Trong chương này, chúng tôi cũng thiết lập các điều kiện để chuỗi đang xét là chuỗi dừng, xây dựng ước lượng cho các tham số và chứng minh các tính chất của các ước lượng. Các kết quả của chương này thu được từ bài báo [3] của tác giả. 1.1 Điều kiện dừng của chuỗi Xét một chuỗi thời gian thỏa mãn Yt = (φ + |bt |) Yt−1 + et (1.1) trong đó {(bt , et )}t∈Z là các véc tơ ngẫu nhiên độc lập xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P) nào đó và     2     0 σ 0 b b b (1.2) E et = 0 ; Cov et = 0 σe2 t t Để xét tính dừng của chuỗi (1.1) với điều kiện (1.2) ta xem xét biến ngẫu nhiên ∞ i−1 X Y Y = e−i (φ + |b−j |) (1.3) i=0 ở đây ta quy ước −1 Q j=0 (φ + |b−j |) = 1. j=0 Ta có bổ đề sau về sự xác định của biến Y . Bổ đề 1.1.1. Giả sử E ln+ |e0 | < ∞, E ln+ |φ + |b0 || < ∞ (1.4) − ∞ ≤ E ln |φ + |b0 || < 0. (1.5) và Khi đó chuỗi (1.3) hội tụ tuyệt đối (hcc). 13 Chứng minh. Xét trường hợp −∞ < E ln |φ + |b0 || < 0, theo luật mạnh số lớn tồn tại biến ngẫu nhiên i0 sao cho: 1 ln |φ + |b−1 || + ln |φ + |b−2 || + · · · + ln |φ + |b−i || ≤ iγ 2 ∀i ≥ i0 (1.6) trong đó −∞ < γ = E ln |φ + |b0 || < 0. Sử dụng (1.6) ta có |Y | ≤ i0 P |e−i | i=0 i−1 Q ! ∞ P |φ + |b−j || +  |e−i | i=i0 +1 j=0 i−1 Q  |φ + |b−k || k=0 (1.7) ≤ i0 P |e−i | i=0 i−1 Q ! |φ + |b−j || + j=0 ∞ P |e−i | eiγ/2
i=i0 +1 Với bất kỳ η > 1 ta có:   P P P |e−i | > η i = P ln+ |e−i | > i ln η 1≤i<∞ = P 1≤i<∞  P ln+ |e−0 | > i ln η ≤ Eln+ |e0 | / ln η < ∞ 1≤i<∞ Khi đó, theo bổ đề Borel-Caltelli: ( ∞ ) X P |e−i | .eiγ/2 < ∞ = 1. (1.8) i=i0 +1 Như vậy, từ (1.7) ta thu được P {|Y | < ∞} = 1. Xét trường hợp E ln |φ + |b0 || = −∞ lúc đó (1.6) đúng với mọi γ < 0 làm tương tự như trên ta có điều phải chứng minh. Bây giờ ta xét một số tính chất của biến ngẫu nhiên Y thông qua các mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1.2. Giả sử các điều kiện (1.2) và (1.5) được thỏa mãn, đồng thời E|b0 |ε < ∞, E|e0 |ε < ∞ với ε > 0 nào đó. Khi đó tồn tại δ > 0 sao cho E|Y |δ· < ∞. 14 Chứng minh. Xét hàm số M (t) = E|φ + |b0 ||t , 0 ≤ t ≤ ε. Ta có M (0) = 1 và theo (1.5) thì: M 0 (0+) < 0. Vì vậy M (t) là hàm giảm trong lân cận phải của 0, do đó tồn tại δ > 0 sao cho: M (δ) < 1. Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng, 0 < δ ≤ 1. Áp dụng bất đẳng thức: (a + b)δ ≤ aδ + bδ với a, b ≥ 0 ta có:  δ ∞ i−1 ∞ i−1 X Y X Y δ δ |Y | ≤  |e−i | |φ + |b−j || ≤ |e−i | |φ + |b−j ||δ i=0 j=0 i=0 j=0 Sử dụng điều kiện (1.2) và M (δ) < 1, ta thu được: δ δ E|Y | ≤ E|e0 | ∞ X i−1 ∞ Y X δ δ E |φ + |b−j || = E|e0 | M i (δ) < ∞. i=0 j=0 i=0 Mệnh đề 1.1.3. Giả sử rằng các điều kiện (1.2) và (1.5) được thỏa mãn, đồng thời: E|e0 |ν < ∞, E|b0 |ν < ∞, E|φ + |b0 ||ν < 1 với ν ≥ 1 nào đó. Khi đó E|Y |ν < ∞. Chứng minh. Do điều kiện (1.2) và áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có: ∞ X i/ν ν 1/ν ν 1/ν (E|Y | ) ≤ (E|e0 | ) . (E|φ + |b0 ||ν ) < ∞ i=0 Nghĩa là E|Y |ν < ∞. Định lý sau khẳng định điều kiện dừng của chuỗi (1.1). Định lý 1.1.4. Giả sử rằng các giả thiết (1.1), (1.4) và (1.5) được thỏa mãn. Khi đó: Yk = ∞ X i=0 ek−i i−1 Y (φ + |bk−j |) j=0 hội tụ tuyệt đối một cách hầu chắc chắn và quá trình {Yk ; k ∈ Z} là nghiệm dừng duy nhất của (1.1). 15 Chứng minh. Ta có: Yk hội tụ tuyệt đối theo Bổ đề 1.1.1. Mặt khác: Yk = ∞ P i=0 ek−i i−1 Q (φ + |bk−j |) = ek + ∞ P ek−i . i=1 j=0 i−1 Q (φ + |bk−j |) j=0 = ek + ek−1 (φ + |bk |) + ek−2 (φ + |bk |) . (φ + |bk−1 |) + · · · = ek + (φ + |bk |) . ∞ P ek−1−i i−1 Q (φ + |bk−1−j |) = ek + (φ + |bk |) Yk−1 . j=0 i=0 Vậy Yk là nghiệm duy nhất của (1.1). Dễ thấy {Yk } là dãy dừng và {Yk } độc lập với et , bt , t > k 1.2 Ước lượng các tham số của mô hình Giả sử  b0 e0   ∼N 0 0    2 σb 0 , 0 σe2 (1.9)
Trong mục này ta quan tâm tới véc tơ ước lượng của u0 = φ, σb2 , σe2 dựa trên phương pháp hợp lý cực đại. Với k ∈ Z ta có: E (Yk |Fk−1 ) = E ((φ + |bk |) Yk−1 + ek |Fk−1 ) = (φ + E |bk |) Yk−1 trong đó Fk−1 = σ{Y0 , Y1 , · · · , Yk−1 }. Mà r 2 E |bk | = · σb ⇒ E (Yk |Fk−1 ) = π  r ! 2 φ + σb Yk−1 π  !2 r ! 2 Var (Yk |Fk−1 ) = E  Yk − φ + σb Yk−1 |Fk−1  π   r !2   2 2 2 =E |bk | − σb Yk−1 + ek |Fk−1   π " # r  2 2 2 = 1+ σb2 − 2σb E |bk | Yk−1 + σe2 π π 16  2 = 1− π  2 σb2 Yk−1 + σe2 Bổ đề 1.2.1. Hàm mật độ có điều kiện fYk |Yk−1 (x) có dạng sau:   2 √ (x−φYk−1 ) − 2 Yk−1 σb (x − φYk−1 )  2 2(σ 2 Y 2 +σe )Φ  b k−1 q fYk |Yk−1 (x) = q e  
2 2 2 2 2 2 σe ( Yk−1 σb + σe ) π σb Yk−1 + σe trong đó Φ(x) là hàm Laplace . Chứng minh. Ta có bk ∼ N (0, σb2 ) nên hàm mật độ của |bk | có dạng sau: √ 2 2 − 2σx12 e b f|b| (x1 ) = √ πσb và ek ∼ N (0, σe2 ). Do tính độc lập giữa bk và ek nên hàm mật độ đồng thời của bk và ek như sau: 2 2 1 −( 2σx12 + 2σx2e2 ) f|b|,e (x1 , x2 ) = e b . πσb σe Đặt  X = Yk−1 |bk | + ek , Z = |bk | suy ra được  |bk | = Z, ek = X − Yk−1 Z Hàm mật độ đồng thời của X, Y như sau: 2 2 z) ) 1 −( 2σz 2 + (x−Y2σk−1 2 e e b . fX,Z (x, z) = πσb σe Khi đó hàm mật độ của X là: Z+∞ fX (x) = fX,Z (x, z)dz = 0 17 s 2 2 π(σb2 Yk−1 + σe2 ) exp{− x2 2 2(σb2 Yk−1 + σe2 )    }Φ  σb Yk−1 x  q  2 2 2 σe ( Yk−1 σb + σe ) vì vậy hàm mật độ của X + φYk−1 sẽ là   s   2 (x − φYk−1 )2  Yk−1 σb (x − φYk−1 )  fYk |Yk−1 (x) = exp − Φ   q 2 2 2 2 π(σb Yk−1 + σe2 ) 2(σb Yk−1 + σe2 ) 2 2 2 σ ( Y σ +σ ) e k−1 b e Như vậy ta có hàm hợp lý như sau: Ln (u) = n Y i=1 √ ( (Yi − sYi−1 )2 q
exp − 2 xY 2 + y
2 i−1 π xYi−1 + y 2 q )  Φ x y Yi−1 (Yi − sYi−1 ) q 2 +y xYi−1 Ước lượng hợp lý cực đại được xác định bởi:   sup Ln (u) = Ln θ̂n (1.10) u∈Γ trong đó Γ là một miền tùy chọn thích hợp nào đó thuộc R3 . Đặt n P gi (u) , Hn (u) = n1 i=1 2 gi (u) = (Yi −sYi−1 ) 2 +y xYi−1 2 + ln xYi−1 + y − ln Φ
√x y Yi−1 (Yi −sYi−1 ) √  2 +y xYi−1 Khi đó có thể viết lại (1.10) dưới dạng   inf Hn (u) = Hn θ̂n u∈Γ Ta giả sử rằng   1 1 Γ = (s, x, y) : −s0 ≤ s ≤ s0 , ≤ x ≤ x0 , ≤ y ≤ y0 x0 y0 (1.11) với s0 > 0, x0 > 1, y0 > 1 (1.12) Bây giờ ta phát biểu tính vững của ước lượng giả hợp lý cực đại θ̂n . 18   