Tài liệu Phân tích đa thức thành nhân tử

  • Số trang: 16 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 145 |
  • Lượt tải: 0
hosomat

Tham gia: 10/08/2016

Mô tả:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỤC LỤC PHẦN I. GIỚI THIỆU CHUNG I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI III. NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI IV. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU PHẦN II. NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬN II. CƠ SỞ THỰC TIỄN III. MỘT SỐ BIỆN PHÁP, GIẢI PHÁP PHẦN III. KẾT LUẬN PHẦN PHỤ LỤC - GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM - TÀI LIỆU THAM KHẢO 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 21 23 23 26 PHẦN THỨ NHẤT: GIỚI THIỆU CHUNG I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình Đại số ở THCS đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những nội dung cơ bản, nó là cơ sở để xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng bài tập khác nhau như: Quy đồng mẫu các phân thức, rút gọn phân thức, giải phương trình, bất phương trình, tìm cực trị...Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử là một kỹ năng cơ bản quan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh mới có khả năng giải quyết được nhiều vấn đề trong chương trình đại số lớp 8 và lớp 9 cũng như nhiều vấn đề toán học khác có liên quan. Nhưng đôi khi việc phân tích đa thức thành nhân tử có những khó khăn đối với học sinh trong trường hợp đa thức có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp. Nếu áp dụng những phương pháp thông thường đã được học trong sách giáo khoa thì học sinh không thể phân tích được. Có những đa thức không có nghiệm thực thì học sinh không thể phân tích được thành nhân tử. Vì vậy câu hỏi thường đặt ra trong trường hợp này là: Những đa thức nào thì không thể phân tích được thành nhân tử ? Nếu trả lời được câu hỏi trên, học sinh sẽ có khả năng giải được bằng cách nhanh gọn một số bài tập cụ thể . Bên cạnh đó ngoài những phương pháp thông thường, còn có thể sử dụng một số phương pháp khác để phân tích một đa thức thành nhân tử trong những trường hợp nhất định , những phương pháp này trong chương trình sách giáo khoa chưa có điều kiện đề cập đến nhưng nếu được giáo viên cung cấp thêm thì học sinh có thể hiểu được một cách toàn diện hơn về lý thuyết và có kỹ năng giải các bài toán tổng hợp một cách nhanh chóng. Để cung cấp cho học sinh một cách có hệ thống về đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử. Giáo viên cần phải hiểu và nắm vững các kiến thức về vành đa thức, đa thức bất khả quy, nghiệm của đa thức ... một cách chính xác có hệ thống, hiểu được gốc của mọi vấn đề. Từ đó giáo viên cho học sinh biết những điều gì và đến chừng mực nào để có được những vận dụng hợp lí, đưa vào bài giảng của mình những nội dung kiến thức phù hợp với trình độ của học sinh và đưa ra những dạng bài tập thích hợp. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Vận dụng những kiến thức về cấu trúc đại số, về lý thuyết nhóm,vành trường vào giảng dạy phần đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Đại số ở các lớp THCS nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử ở mức độ phù hợp. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: 1. Về lý thuyết: Nghiên cứu lý thuyết để nắm vững các nội dung kiến thức cơ bản. - Cấu trúc đại số : Nhóm, vành, trường, vành đa thức... - Các khái niệm về đa thức, nghiệm của đa thức, đa thức bất khả quy. - Một số định lý về nghiệm của đa thức. - Một số định lý về phân tích đa thức thành nhân tử của các đa thức bất khả quy. 2. Về thực tiễn giảng dạy: - Nghiên cứu nội dung, chương trình sách giáo khoa để nắm được mức độ, giới hạn nội dung kiến thức có thể cung cấp cho học sinh. - Vận dụng các nội dung lý thuyết ở mức độ phù hợp vào giảng dạy phần đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử ở chương trình Đại số cấp THCS. - Thực tế vận dụng vào một bài giảng cụ thể trong phần phân tích đa thức thành nhân tử. IV. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu việc vận dụng một số kiến thức về đa thức một ẩn, nghiệm của đa thức một ẩn vào giảng dạy phần phân tích đa thức (một ẩn) thành nhân tử của chương trình đại số lớp 8. Áp dụng với đối tượng học sinh lớp 8 trường THCS Làng Chếu năm học 2014 – 2015. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Phương pháp điều tra thực tiễn. - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. - Phương pháp thử nghiệm sư phạm. PHẦN HAI: NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬN. - Giáo viên là người hướng dẫn và điều khiển học sinh tiếp thu tri thức nên không thể không nắm vững các nội dung kiến thức và kĩ năng sư phạm cần thiết. - Mỗi nội dung của toán học nói riêng và của khoa học nói chung không thể tách rời khỏi tổng thể mà nội dung đó là một bộ phận cấu thành. Vì vậy mỗi vấn đề cần được nhìn nhận một cách tổng thể trên khía cạnh các yếu tố tác động đến vấn đề đó và ảnh hưởng của nó đến các nội dung khác. - Hoạt động dạy – học chỉ có thể đạt đến hiệu quả cao nhất khi các chủ thể (thầy giáo – học sinh) nhận thức rõ nội dung, ý nghĩa công việc mà mình đang thực hiện. II. CƠ SỞ THỰC TIỄN. 1. Thực trạng. 1.1. Thuận lợi: - Được sự quan tâm tạo điều kiện của BGH, tổ chuyên môn giúp tôi hoàn thành được đề tài này - Các cấp quản lí và chính quyền địa phương có sự quan tâm thỏa đáng đến hoạt động chuyên môn của nhà trường. - Ý thức và năng lực chuyên môn của giáo viên tương đối cao. 1.2. Khó khăn: - Một bộ phận không nhỏ học sinh của trường gặp khó khăn trong việc tiếp thu các kiến thức toán học. Khó nhận thức vấn đề toán học trong một cách nhìn tổng thể, bao quát. 2. Tình hình thực tế. Khảo sát chất lượng học sinh (chưa áp dụng sáng kiến): - Nội dung khảo sát: Kiểm tra khả năng giải các dạng toán cơ bản và nâng cao về phân tích đa thức thành nhân tử. - Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 8 năm học 2014 – 2015. - Thời điểm khảo sát: 1) Ngày 2/10/2014. 2) Ngày 2/12/2014 - Đề khảo sát 1: (Thời gian làm bài 30phút) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1, 12x2-18xy2-30y5; 3, a3 -3a +3b – b3; 5, 4x2 -25 +(2x + 7)(5 – 2x); 7, x2 – 7xy + 10y2; 2, 5x2-5xy – 10x + 10y; 4, a4 +6a2b + 9b2 -1; 6, x2+2x-15; 8, a4 + 4. 9, 3x – 6y. 10, 8x3 – 27 - Đề khảo sát 2: (Thời gian làm bài 45phút) Câu 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1, x (2x  3y)  6y2 + 4xy 2, 8x3 + 4x2  y3  y2 3, a3  a2b  ab2 + b3 4, ab2c3 + 64ab2 5, 27x3y  a3b3y 6, 2x2  3x + 1 7, y4 + 64 8, x5 + x3 + x2 + 1 9, x2 – 6 xy + 9 y2 – 25 z2 10, x2 – 4x + 3. Câu 2: Thu gọn các phân thức sau: a) 2 x 2  xy  y 2 2 x 2  3 xy  y 2 b) 2 x 2  3x  1 x2  x  2 - Kết quả khảo sát: Lớp 8 năm học 2014 - 2015 Sĩ số: 28 G Kh TB Y Kém Xếp loại học tập môn toán giữa HK1 SL 0 8 15 5 0 % 0 28,6 53,6 17,8 0 KQ khảo sát 1 KQ khảo sát 2 SL 0 6 19 3 0 SL 0 5 18 5 0 % 0 21,4 67,9 10,7 0 % 0 17,9 64,3 17,8 0 Căn cứ vào kết quả khảo sát nêu trên, ta nhận thấy về cơ bản các học sinh được khảo sát thể hiện được năng lực học tập bộ môn trong bài khảo sát 1, tức là bài kiểm tra thực hiện ngay khi các em vừa học xong nội dung Phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên sau một thời gian (3 tháng sau) thì kiến thức và kĩ năng của các em đã bị hao hụt đáng kể. Chỉ có một số học sinh khá giữ được các kĩ năng cần thiết, còn lại các học sinh có sức học trung bình, yếu chỉ còn đáp ứng được các bài tập ở mức độ đơn giản. Có nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng trên và một trong những nguyên nhân cơ bản là học sinh được tiếp thu các kiến thức và rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử ở mức độ lặp lại máy móc mà chưa nhận thức đầy đủ về mối liên quan giữa các đơn vị kiến thức trong nội dung này cũng như mối quan hệ với các nội dung kiến thức khác trong chương trình. Với nhận thức trên cùng với mong muốn học sinh được tiếp cận kiến thức toán học một cách có hệ thống, nhanh chóng hình thành kĩ năng giải toán, tôi đã nghiên cứu tài liệu, thực hiện các thử nghiệm và đề ra một số giải pháp nhằm nâng cao chất lượng học tập của học sinh ở nội dung phân tích đa thức thành nhân tử, góp phần nâng cao năng lực học toán cho học sinh. III. MỘT SỐ BIỆN PHÁP, GIẢI PHÁP 1. Tìm hiểu giới hạn của nội dung, chương trình sách giáo khoa: Trong chương trình Đại số 7 chương IV học sinh đã được học khái niệm đa thức, bậc của đa thức, cách tìm giá trị của đa thức tại một giá trị của ẩn, định nghĩa nghiệm cuả một đa thức, bước đầu học sinh đã biết cách tìm nghiệm của một đa thức, một số đa thức đơn giản (bậc nhất và bậc hai). Trong chương I của sách giáo khoa Đại số 8 học sinh đã được học về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, về phép chia đa thức (phép chia hết và phép chia có dư). Nhưng học sinh mới chỉ biết cách phân tích đa thức thành nhân tử ở các đa thức tương đối đơn giản, có bậc thấp bằng một số cách thông thường, chưa có sự liên hệ kết nối giữa các kiến thức về nghiệm của đa thức với việc phân tích các đa thức thành nhân tử, về giá trị của đa thức, dư trong phép chia của đa thức với việc tìm nghiệm của đa thức ... nên học sinh chưa có được sự hiểu biết một cách toàn diện và có hệ thống về đa thức. 2. Những nội dung kiến thức cần cung cấp và làm rõ cho học sinh trong quá trình giảng dạy về đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử:  Các khái niệm cơ bản: - Một đa thức của các biến x,y,....,z là một biểu thức nguyên trong đó các chữ x,y,...,x z là các biến. - Nếu tại x = a đa thức f(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của đa thức f(x). - Phân tích một đa thức thành nhân tử (hay thừa số) nghĩa là biến đổi nó thành tích của những đơn thức và đa thức.  Các phương pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử: - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử. MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG VÀ CÁCH GIẢI 1. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ. Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x2-8x+4 Nhận xét: Đa thức trên không chứa thừa số chung. Không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ, cũng không thể nhóm các số hạng. Ta biến đổi đa thức này thành đa thức có nhiều số hạng hơn: Cách 1: (tách số hạng thứ 2) 3x -8x+4 = 3x2-6x-2x+4 = (3x2-6x)-(2x-4) =3x(x-2)-2(x-2) = (x-2)(3x-2) Cách 2:(tách số hạng thứ nhất) 2 3x -8x+4 = 4x2-8x+4-x2 = (2x-2)2 -x2 = (2x-2+x)(2x-2-x) = (3x-2)(x-2) 2 Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax 2+x+c thành thừa số ta tách số hạng bx=b1x+b2x sao cho: b1b2= ac Trong thực hành ta làm như sau: Bước 1: Tìm tích ac Bước 2: Phân tích a.c ra thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách. Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b. Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 4x -4x-3 (a=4,b=-4,c=-3). Ta có: ac= 4.(-3)=-12 -12=-6.2=-4.3=2.(-6)=4.(-3)=1.(-12)=-12.1 Vì -6+2= -4 =b nên ta có thể làm như sau: Cách 1: 4x2-4x-3 = 4x2-6x+2x-3 = (4x2-6x)+(2x-3) = 2x(2x-3)+(2x-3) = (2x-3)(2x+1) Cách 2: Tách số hạng thứ 3: 4x2-4x-3 =4x2-4x+1-4 = (4x2-4x+1)-4 = (2x-1)2-22 = (2x-1-2)(2x-1+2) = (2x-3)(2x+1) Qua hai ví dụ trên ta thấy việc tách một số hạng thành nhiều số hạng khác thường nhằm mục đích: + Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ nhờ đó mà xuất hiện thừa số chung (cách 1). + Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương (cách 2) Với các đa thức có bậc từ 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ người ta thường dùng cách làm xuất hiện nghiệm của đa thức. Ta nhắc lại khái niệm nghiệm của đa thức: Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a)=0. Như vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x-a thì nó chứa thừa số x-a. Giả sử đa thức: a0xn+a1xn-1+...+an với a0,a1,...,an-1,an  Z có nghiệm x= a (a  Z) => a0xn+a1xn-1+...+an =(x-a)(b0xn+b1xn-1+...+bn –1) trong đó b0,b1,...,bn-1,bn  Z. Số hạng có bậc thấp nhất của tích ở vế phải bằng-abn-1. Số hạng có bậc thấp nhất ở vế phải bằng an -abn-1= an tức là a là ước của an. Vậy đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của hạng tử tự do an. Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. x3-x2-4. Lần lượt kiểm tra với x=1,x=2,x=4 ta thấy f(2)=23-22-4=0 đa thức có nghiệm x= 2 do đó chứa thừa số (x-2) Cách 1: x3-x2-4 =x3-2x2+x2-2x+2x-4 = (x3-2x2)+(x2-2x)+(2x-4) =x2(x-2)+x(x-2)+2(x-2) = (x-2)(x2+x+2) Cách 2: x3-x2-4 =x3-8-x2+4 = (x3-8)-(x2-4) =(x-2)(x2+2x+4)-(x-2)(x+2) = (x-2)(x2+2x+4-x-2) =(x-2)(x2+x+2) Chú ý: Khi xét nghiệm nguyên của đa thức nên nhớ 2 định lý sau: *ĐL1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa nhân tử x-1. Ví dụ : x3-5x2+8x-4 x-1 -x3-x2 - 4x2+8x-4 - 4x2+4x 4x-4 4x-4 0 x-1 x2-4x+4 Vậy x3-5x2+8x-4x-1 = (x-1)(x2-4x+4) = (x-1)(x-2)2 * ĐL2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức. đa thức chứa nhân tử x+1 a f(1)  18  a 1 a 1 f( 1)  44  a 1 a 1 2 -2 3 -3 6 -6 9 -9 18 -18 -18 6 -9 18 4  18 5 18 7  18 8 18 10  18 17 18 19  44 3 -44 -11 Ta có:  18  18  18  18  18  18  18 ; ; ; ; ; ;  Z  3  1 6  1  6  1 9  1  9  1  18  1 18  1 Nên: -3; 6; 9; 18 không là nghiệm của f(x)  44  Z  2 không phải là nghiệm của f(x) 2 1 Nếu phương trình có nghiệm nguyên chỉ có thể là 3 hoặc -2. Nhẩm ta thấy x = 3 là nghiệm của f(x). 4x3-13x2+9x-18 = 4x3-12x2-x2+3x+6x-18 = (4x3-12x2)-(x2-3x)+(6x-18) = 4x2(x-3)-x(x-3)+6(x-3) = (x-3)(4x2-x+6) CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP. Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a, x 2  5 x  6 d, x 2  13 x  36 b, 3x 2  8 x  4 e, x 2  3 x  18 c, x 2  8 x  7 f, x 2  5 x  24 g , 3x 2  16 x  5 h, 8x 2  30 x  7 i, 2x 2  5 x  12 k, 6x 2  7 x  20 Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1/ x 3  5 x 2  8 x  4 2/ x3  2 x  3 3 / x3  5 x 2  8 x  4 4/ x 3  7 x  6 5/ x 3  9 x 2  6 x  16 6/ 4x 3  13 x 2  9 x  18 7 / x3  4 x 2  8 x  8 8/  x3  6 x 2  6 x  1 9/ 6x 3  x 2  486 x  81 10/ x 3  7 x  6 11/ x3  3 x  2 12/ x 3  5 x 2  3x  9 13 / x3  8 x 2  17 x  10 14/ x 3  3 x 2  6 x  4 15/ x 3  2 x  4 16/ 2x 3  12 x 2  17 x  2 17 / x3  x 2  4 18/ x 3  3 x 2  3 x  2 19 / x 3  9 x 2  26 x  24 20/ 2x 3  3 x 2  3 x  1 21/ 3x3  14 x 2  4 x  3 22/ x 4  2 x3  x 2  x  1 (Đa thức đã cho có nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ) 2. PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT SỐ HẠNG LÀM XUẤT HIỆN HIỆU HAI BÌNH PHƯƠNG HOẶC XUẤT HIỆN NHÂN TỬ CHUNG. Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x4+81 4x4+81 = 4x4+36x2+81-36x2 = (4x4+36x2+81)-(6x)2 = (2x2+9)2-(6x)2 = (2x2+9-6x)(2x2+9+6x) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x7+x2+1 x7+x2+1 = x7-x+x2+x+1 = (x7-x)+(x2+x+1) = x(x6-1)+(x2+x+1) = x(x3-1)(x3+1)+(x2+x+1) = x(x-1)(x3+1)(x2+x+1)+(x2+x+1) = (x2+x+1)[x(x-1)(x3+1)+1] = (x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1) Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+1+xm +1 đều chứa thừa số (x2+x+1) CÁC BÀI TOÁN Bài 1: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử: 1/ (1  x 2 ) 2  4 x(1  x 2 ) 2 2/  x 2  8   36 3/ x 4  4 4/ x 4  64 5 / 64x 4  1 6/ 81x 4  4 7/ 4x 4  81 8/ 64x 4  y 4 9 / x4  4 y 4 10/ x 4  x 2  1 Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1/ x 7  x 2  1 2/ x 7  x 5  1 3/ x5  x 4  1 4/ x5  x  1 5 / x8  x 7  1 6/ x5  x 4  1 7/ x5  x  1 8/ x10  x5 1 3. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ( ĐẶT NHÂN TỬ PHỤ).  Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x(x+4)(x+6)(x+10)+128 x(x+4)(x+6)(x+10)+128 = (x2+10x)(x2+10x+24)+128 Đặt x2+10x+12 = y Đa thức có dạng (y-12)(y+12)+128= y2-16 = (y+4)(y-4) x(x+4)(x+6)(x+10)+128 = (x2+10x+16)(x2+10x+8) = (x+2)(x+8)(x2+10x+8) Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc 4 đối với x thành đa thức bậc 2 đối với y. Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: A= x4+6x3+7x2-6x+1 A= x4-6x3-2x2+9x2-6x+1 = x4+(6x3-2x2)+(9x2-6x+1) A= x4+2x2(3x-1)+(3x-1)2 = (x2+3x-1)2. CÁC BÀI TOÁN Bài 1: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử 1/ x( x  4)( x  6)( x  10)  128 2/ (x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  24 3/ ( x 2  4 x  8) 2  3x( x 2  4 x  8)  2 x 2 4/ ( x 2  x) 2  4 x 2  4 x  12 5 / x 2  2 xy  y 2  2 x  2 y  15 6/ (x  a)( x  2a)( x  3a )( x  4a )  a 4 7 / 6 x 4  11x 2  3 8/ ( x 2  x)2  3( x 2  x)  2 9 / x 2  2 xy  y 2  3x  3 y  10 10/ ( x 2  2 x) 2  9 x 2  18x  20 11/ x 2  4 xy  4 y 2  2 x  4 y  35 12/ (x  2)( x  4)( x  6)( x  8)  16 Bài 2: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử 1/ x 4  6 x 3  7 x 2  6 x  1 2 /( x 2  y 2  z 2 )( x  y  z )2  ( xy  yz  zx ) 2 PHẦN BA. KẾT LUẬN. 1. Kết quả. Sau một thời gian thực hiện dạy học Phân tích đa thức thành nhân tử theo định hướng của các giải pháp đã trình bày ở trên, kết hợp với quá trình ôn luyện, rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, tôi đã tiến hành kiểm tra kết quả, đánh giá hiệu quả áp dụng của đề tài và thu được số liệu như sau: Khảo sát chất lượng học sinh ( áp dụng sáng kiến): - Nội dung khảo sát: Kiểm tra khả năng giải các dạng toán cơ bản và nâng cao về phân tích đa thức thành nhân tử. - Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 8 năm học 2014 – 2015. - Thời điểm khảo sát: 1) Ngày 3/3/2015. 2) Ngày 7/4/2015. 3) Ngày 12/5/2015. - Đề khảo sát 1: (Thời gian làm bài 30phút) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1, 12x2-18xy2-30y5; 3, a3 -3a +3b – b3; 5, 4x2 -25 +(2x + 7)(5 – 2x); 7, x2 – 7xy + 10y2; 2, 5x2-5xy – 10x + 10y; 4, a4 +6a2b + 9b2 -1; 6, x2+2x-15; 8, a4 + 4. 9, 3x – 6y. 10, 8x3 – 27 - Đề khảo sát 2: (Thời gian làm bài 45phút) Câu 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1, x (2x  3y)  6y2 + 4xy 2, 8x3 + 4x2  y3  y2 3, a3  a2b  ab2 + b3 4, ab2c3 + 64ab2 5, 27x3y  a3b3y 6, 2x2  3x + 1 7, y4 + 64 8, x5 + x3 + x2 + 1 9, x2 – 6 xy + 9 y2 – 25 z2 10, x2 – 4x + 3. Câu 2: Thu gọn các phân thức sau: a) ( x  y (2 x  3) y 2  xy b) 2 x 2  xy  y 2 2 x 2  3 xy  y 2 c) 2 x 2  3x  1 x2  x  2 - Đề khảo sát 3: (Thời gian làm bài 20phút) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1, 8x2 + 8x + 2 2, x4 – 8x 3, x3 - 3x2 - 4x + 12 4, x2 – y2 – 7x + 7y 5, x3 + x2 + 4 6, x2  5x + 6 - Kết quả khảo sát: Lớp 8 năm học 2014 - 2015 Sĩ số: 28 G Kh TB Y Kém XL học tập KQ khảo sát 1 môn toán HK1 SL 0 1 15 12 0 % 0 3,6 53,6 42,8 0 SL 0 2 15 11 0 % 0 7 53,6 39,4 0 KQ khảo sát 2 SL 0 9 10 9 0 % 0 32 35,7 32,3 0 KQ khảo sát 3 SL 0 12 13 3 0 % 0 42,3 46,4 11,3 0 Kết quả khảo sát nêu trên cho thấy phương pháp làm việc và các biện pháp dạy học phân tích đa thức thành nhân tử tôi đề ra đã bước đầu đem lại hiệu quả tích cực, đặc biệt là trong vấn đề giúp học sinh hiểu rõ, nhớ lâu các kiến thức và kĩ năng đã tiếp thu được để giải các dạng bài tập có liên quan. 2. Bài học kinh nghiệm. Dạy học giải các bài toán thông qua các phương pháp là cả một nghệ thuật để giúp các em nắm được bài, hiểu bài và có hứng thú, kỹ năng làm bài, nhất là các bài tập khó trong giờ luyện tập , chuyên đề. Dạy học các phương pháp tìm lời giải các bài toán có ý nghĩa rất quan trọng đòi hỏi người giáo viên phải say mê tìm tòi, học hỏi, nghiên cứu các phương pháp và cách vận dụng để dạy cho học sinh của mình. Tuy nhiên không phải đối với tất cả các đối tượng học sinh chúng ta đều phải truyền tải các nội dung trên. Mà cần xác định đúng đối tượng để cung cấp những kiến thức cơ bản phù hợp với trình độ và quỹ thời gian của giờ học. Cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức từ cơ bản đến phức tạp để tạo tiền đề cho học sinh có tư duy sáng tạo trong việc giải các bài toán nâng cao. Bản thân tôi mới nghiên cứu đề tài này, áp dụng dạy cho học sinh của khối 8 và thu được kết quả khả quan. 3. Kiến nghị, đề xuất. Tôi mong muốn được có nhiều ý kiến đóng góp và giúp đỡ của các thầy cô giáo và bạn đọc đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn !. ngày 02 tháng 01 năm 2015. NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHỤ LỤC GIÁO ÁN DẠY THỰC NGHIỆM (Dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi) PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG VÀI PHƯƠNG PHÁP KHÁC 1. Mục tiêu: - Học sinh biết cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử và phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. - Vận dụng linh hoạt vào giải bài tập. 2. Chuẩn bị của giáo viên và của học sinh. - Học sinh đọc kỹ các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Đọc kỹ bài mới ở nhà. - Giáo viên: Soạn bài, đọc tài liệu tham khảo, phấn màu. 3. Hoạt động của thày và trò. a) Kiểm tra bài cũ. + Học sinh 1: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1 2 2 1 (x +y ) - 2x2y2 = [(x2+y2)- 4x2y2] 2 2 1 = [(x2+y2) - (2xy)2] 2 1 = 1/2[(x2+y2-2xy) [(x2+y2+2xy)] 2 1 = (x-y)2(x+y)2 2 GV: Em đã dùng phương pháp nào để phân tích đa thức thành nhân tử. GV: Uốn nắn cách trình bày bài của học sinh. + Học sinh 2: Tìm x biết: (2x-3)2-(x+5)2 = 0 Û (2x-3+x+5)[2x-3-(x+5)]=0 Û (3x+2)(2x-3-x-5)=0 Û (3x+2)(x-8)=0 é 2 é3x+2=0 êx=Û ê Û ê 3 ê ê ëx-8=0 ê ëx = 8 GV: Dùng phương pháp nào để phân tích vế trái thành nhân tử? éA = 0 A.B = 0 Û ê ê ëB = 0 * Đặt vấn đề vào bài mới: GV: Phân tích x2+5x+6 thành nhân tử: Dùng các phương pháp đã học để phân tích đa thức trên thành nhân tử? HS: Không thể dùng các phương pháp đã học để phân tích được. GV: Đó chính là nội dung bài học hôm nay! a. Dạy nội dung bài mới. HOẠT ĐỘNG GV HOẠT ĐỘNG HS GV: Giới thiệu nội dung bài học 1. Tách một hạng tử thành nhiều GV:HS: Ta không thể dùng các phương hạng tử. pháp đã học để phân tích đa thức trên b. Phân tích x2+5x+6 thành nhân tử? thành nhân tử. C1: x2+5x+6=x2+2x+3x+6 ? Em nào tìm được cách phân tích =(x2+2x)+(3x+6) HS: Suy nghĩ cách trả lời =x(x+2)+3(x+2) GV:Nói và ghi lên bảng =(x+2)(x+3) GV:Ta tách 5x=2x+3x áp dụng các phương pháp đã học để phân tích đa thức thành nhân tử GV:Học sinh lên bảng làm bài? GV:Em đã dùng phương pháp nào để phân tích? GV:Còn cách nhóm khác? GV:Em nào có cách khác để tách 5x? HS:Không GV:Nhận xét 6=2.3 5x=2x+3x GV:Tương tự như ví dụ 1 cả lớp suy nghĩ? HS: -6=-3.2 --x=2x+3x GV:Gọi 1 học sinh lên bảng làm bài? GV:Có cách nhóm khác GV:Một đa thức không chứa thừa số chung, không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các số hạng, Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức ấy thành đa thức có nhiều số hạng hơn. GV:Muốn phân tích đa thức trên thành nhân tử ta tách hạng tử nào? HS:Suy nghĩ trả lời? -8x=-6x-2x C2: (x2+3x)+(2x+6) =x(x+3)+(2(x+3) =(x+3)(x+2) c. Phân tích x2-x-6 thành nhân tử. x2-x-6=x2-3x+2x-6 =(x2-3x)+(2x-6) =x(x- 3)+2(x-3) =(x-3)(x+2) c.Phân tích đa thức thành nhân tử. 3x2-8x-4 C1. 3x2-8x-4=3x2-6x-2x+4 =(3x2-6x)-(2x+4) GV:Có thể tách hạng tử khác không? =3x(x-2)-2(x-2) 2 2 2 2 HS: 3x =4x -x C2. 3x -8x-4=4x2-8x+4-x2 =(4x2-8x+4)-x2 =(2x-2)2-x2 =(2x-2+x)(2x-2-x) GV:Có một số bài phân tích đa thức =(3x-2)(x-2) thành nhân tử không thể dùng các 2. Thêm bớt cùng một hạng tử phương pháp đã học để phân tích được a. Phân tích đa thức thành nhân tử. x4+4 đó là phương pháp thứ hai. GV:Nếu dùng phương pháp tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử thì không thể làm được ở bài toán trên. GV: Em nào làm được? HS:Suy nghĩ trả lời? GV:Hãy thêm bớt cùng một hạng tử nào x4+4=(x2)2+22 đó để phân tích được. Lưu ý có tổng 2 = (x2)2+4x2+22-4x2 bình phương. =(x+2)2-(2x)2 =(x2+2+2x)(x2+2-2x) GV:Có thể dùng phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử để phân tích đa thức trên thành nhân tử không? HS:Suy nghĩ GV:Gọi 1 học sinh lên bảng Cả lớp cùng làm. GV:Qua 2 ví dụ trên học sinh rút ra nhận xét? GV: (chốt) Qua 2 ví dụ trên ta nhận thấy thênm, và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương (VD a.) hoặc làm xuất hiện thừa số chung như ở ( VD b.) GV:Dùng phương pháp nào để phân tích đa thức này thành nhân tử? Gọi 1 học sinh lên bảng làm bài. b. Phân tích thành nhân tử: x7+x2+1= x7-x+x2+x+1 =(x7-x)+(x2+x+1) =x(x6-1)+( x2+x+1) =x(x3+1)(x3-1)+ (x2+x+1) =x(x3+1)(x-1)(x2+x+1)+( x2+x+1) =( x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1) 3. Luyện tập tại lớp Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a. x2-7xy+10y2 =x2-2xy-5xy+102 =(x2-2xy)-(5xy-10y2) =x(x-2y)-5y(x-2y) GV:Dùng phương pháp nào để phân tích =(x-2y)(x-5y) đa thức này thành nhân tử? b. x4+64 =(x2)2+16x2+82-16x2 =(x2+8)2-(4-x)2 =(x2+8-4x)(x2+8+4x) c. Củng cố kiến thức : - GV:Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử rất quan trọng nó giúp chúng ta giải các bài tập quy đồng mẫu thức các phân thức trong chương II, tìm x... Vì vậy các em phải nhận xét đầu bài và rèn kỹ năng thành thạo phân tích 1 đa thức thành nhân tử và áp dụng phương pháp phù hợp với đề bài. d. Hướng dẫn về nhà. - Xem kĩ lại các bài tập trên lớp. - Bài tập về nhà: 1,2,3 trang 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa Đại Số 7. 2. Sách giáo khoa Đại Số 8. 3. Một số vấn đề phát triển Đại Số 8 4. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8 5. Đa thức-Phân thức đại số-Phương trình NXB Giáo Dục. NXB Giáo Dục. Vũ Hữu Bình. Vũ Hữu Bình. Bộ GD-ĐT
- Xem thêm -