Tài liệu Phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử thông qua đặt ẩn phụ trong chương trình toán 8

1. Mở đầu 1.1. Lý do chọn đề tài Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy toán nói riêng trong trường trung học cơ sở hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn. Qua thời gian giảng dạy môn Toán 8, tôi nhận thấy việc biến đổi đa thức thành nhân tử là một trong những nội dung cơ bản hết sức quan trọng. Nó là cơ sở để xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng bài tập khác nhau như: giải phương trình, bất phương trình, quy đồng mẫu các phân thức, rút gọn phân thức... Nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh mới có khả năng giải quyết được nhiều vấn đề trong chương trình đại số ở các lớp tiếp theo. Chúng ta thấy đối với đa thức có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp, nếu chỉ áp dụng những phương pháp đã được học trong sách giáo khoa thì việc phân tích nó thành nhân tử là rất khó khăn đối với cả thầy và trò. Chính vì vậy khi được giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 tôi đã tìm kiếm, nghiên cứu các nguồn tài đưa ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử sao cho dễ hiểu, dễ nhớ và có hệ thống. Vẫn biết, hiện nay trên thị trường có rất nhiều sách viết về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử và cũng đã có nhiều giáo viên đúc rút kinh nghiệm về việc phân tích đa thức thành nhân tử. Song, tôi vẫn mạnh dạn giới thiệu với các thầy cô và học sinh kinh nghiệm “Phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử thông qua đặt ẩn phụ trong chương trình Toán 8”. Đề tài này chỉ là một phần trong chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, việc phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử có vai trò quyết định trong giải phương trình một ẩn, bất phương trình một ẩn bậc cao, cực trị đại số… Về nội dung đề tài, sau khi giới thiệu những kiến thức cơ bản làm cơ sở, tôi sẽ giới thiệu tiếp một số dạng đa thức bậc bốn được phân tích thành nhân tử có kèm theo cách giải và các ví dụ minh họa, đồng thời đưa ra các bài tập tương tự. Hy vọng đề tài này sẽ trở thành tài liệu tham khảo bổ ích cho thầy cô và các em học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở trường trung học cơ sơ. 1.2. Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh lớp 8 phân tích thành thạo đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử . - Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh. 1 - Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong việc giải các dạng toán khác nhau. 1.3. Đối tượng nghiên cứu Chỉ ra những phương pháp dạy loại bài “Phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử thông qua đặt ẩn phụ trong chương trình Toán 8”. Đổi mới phương pháp và nâng cao chất lượng dạy học, cụ thể là chất lượng mũi nhọn. 1.4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: là nghiên cứu thực trạng việc học sinh phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử hiện nay. Từ đó giúp người nghiên cứu thu thập thông tin, làm nảy sinh các ý tưởng nghiên cứu và đề xuất sáng tạo. - Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: là thu thập thông tin thông qua đọc tài liệu nhằm mục đích tìm chọn những kiến thức mới, dựa vào đặc trưng của đa thức bậc bốn một ẩn, phân loại và đưa ra cách phân tích thành nhân tử cho từng loại, nhằm xây dựng những mô hình lý thuyết hay thực nghiệm ban đầu. 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm Để phân tích đa thức thành nhân tử, cách thông thường là khéo léo phân tích đa thức đó thành các hạng tử có nhân tử chung. Với cách làm như vậy thì quả là một khó khăn thách thức cho các em khi phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử. 2 Trong khi đó việc phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử sau này chỉ là một phần cho việc thực hiện một số dạng toán như giải phương trình bậc bốn, giải bất đẳng thức,... Do đó, giáo viên cần giúp các em học sinh khá, giỏi phân tích một số dạng đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử nhanh nhất, để từ đó các em còn có đủ thời gian hoàn thành nội dung chính của bài toán. 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017, tôi được giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8. Khi dạy các dạng toán biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỷ, chứng minh quan hệ, giải một phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên của một phương trình, chứng minh một bất đẳng thức, giải một bất phương trình,…Thông thường trong các bài toán này hay xuất hiện phần phân tích đa thức thành nhân tử, là khâu then chốt để thực hiện bài toán. Tuy nhiên, cả thầy và trò chỉ biết tách ghép, thêm bớt các hạng tử sao cho xuất hiện nhân tử chung, nếu là các đa thức bậc thấp thì đơn giản, nhưng bắt gặp đa thức bậc bốn một ẩn thì hiệu quả không cao, mất rất nhiều thời gian. Thực tế tôi cũng đã kiểm tra học sinh khả năng phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử, với ba bài như sau: 1. x4 - 13x2 +36 2. (x2 + 8x +12)(x2 + 12x + 32) +16 3. x4 + x3 - 4x2 + x + 1 Kết quả Số học sinh Điểm dưới 5 Điểm từ 5 đến Điểm từ 6,5 đến Điểm từ 8 trở dưới 6,5 dưới 8 lên tham gia kiểm tra SL % SL % SL % SL % 11 5 45,5 4 36,4 2 18,1 0 0 Rõ ràng với kết quả như trên là quá thấp, chưa đạt yêu cầu. Từ đó, tôi thấy cần phải nghiên cứu các nguồn tài liệu, tìm ra phương pháp giải các bài toán phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử nhanh và hiệu quả. 2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện 2.3.1. Giải pháp Sử dụng việc đặt ẩn phụ một lần hoặc nhiều lần và áp dụng hằng đẳng thức(*) sau: 3 Xét đa thức Q(y) = ay2 + by + c. Nếu có các số m, n sao cho: m.n a.c và m  n b thì ay 2  by  c ay 2   m  n  y  = (ay 2  my )  (ny  mn a mn n )  y ( ay  m)  ( ay  m) a a n n (ay  m) ( ay  m)( y  ) a a m n a ( y  )( y  ) a a  y ( ay  m)  Hay m  n  ay 2  by  c a y    y   a  a  Khi a = 1 thì (*) y 2  by  c  y  m  y  n  Trong trường hợp a, b, c nguyên thì trước hết phân tích số nguyên a.c thành tích hai số nguyên m.n sao cho m  b, n  b sau đó chọn m, n thỏa mãn m + n = b. Chú ý rằng phương pháp này có thể áp dụng cho lớp 7 và lớp 8 khi các em chưa biết cách giải phương trình bậc hai. Chính vì vậy ta cần phải biết hằng đẳng thức cơ sở (*). 2.3.2. Tổ chức thực hiện a. Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx2 + c Cách giải. Đặt biến phụ y = x2 và áp dụng hằng đẳng thức (*) Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = 6x4 + 19x2 +15 Lời giải. Đặt y = x2 ta có Q(y) = 6y2 + 19y +15 Hệ số a = 6, b = 19, c = 15. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 90 và m + n = b = 19 với m < 19, n < 19. Do đó ta chọn được m = 9, n = 10. Từ đó 6y2 + 19y +15 = 6y2 + 9y + 10y + 15 = 3y(2y + 3) + 5(2y + 3) = (2y + 3)(3y + 5) Từ đó suy ra: P(x) = 6x4 + 19x2 +15 = (2x2 + 3)(3x2 + 5) Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (x2 +3x)2 + 7 x2 + 21x +10 Lời giải. Biến đổi P(x) = (x2 +3x)2 + 7(x2 + 3x) +10 4 Đặt y = x2 +3x, ta có Q(y) = y2 +7 y + 10 Hệ số a = 1, b = 7, c = 10. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 10 và m + n = b =7. Do đó ta chọn được m = 2, n = 5. Suy ra Q(y) = y2 + 7 y + 10 = y2 + 2y +5y + 10 = y(y + 2) + 5(y + 2) = (y + 2)(y + 5) Từ đó suy ra: P(x) = (x2 + 3x + 2)(x2 + 3x+5) = (x + 1)(x + 2)(x2 + 3x+5) b. Đa thức dạng P(x) = a(a1x2 + b1x +c1)2 +bx(a1x2 + b1x +c1) + cx2 Cách giải. Đặt biến phụ y = a1x2 + b1x +c1 và áp dụng hằng đẳng thức (*) Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = 4(x2 + x +1)2 +5x(x2 + x +1) + x2 Lời giải. Đặt y = x2 + x +1. Khi đó P(x) trở thành Q(y) = 4y2 + 5xy + x2 Hệ số a = 4, b = 5x, c = x2. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 4x2 và m + n = b = 5x. Do đó ta chọn được m = 4x, n = x Từ đó Q(y) = 4y2 + (4x + x)y + x2 = (4y2 + 4xy ) + (xy + x2) = 4y(y + x) + x( y + x) = (x + y)(4y + x) Vậy P(x) = (x + x2 + x +1)(4x2 + 4x +4 + x) = (x2 + 2x +1)(4x2 + 5x + 4) = (x + 1)2(4x2 + 5x + 4) Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (x2 -1)2 - x(x2 -1) - 2x2 Lời giải. Đặt y = x2 -1. Khi đó P(x) trở thành Q(y) = y2 - xy - 2x2 Hệ số a = 1, b = -x, c = -2x2. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = - 2x2 và m + n = b = - x. Do đó ta chọn được m = -2x, n = x Từ đó Q(y) = y2 - (-2x + x)y - 2x2 = (y2 - xy ) + (2xy - 2x2) = y(y - x) + 2x( y - x) = (y -x)( y + 2x) Vậy P(x) = (x2 - 1- x)( x2 - 1+ 2x) = (x2 - x -1)(x2 + 2x -1) Trường hợp đa thức có bậc là 8 5 P(x) = a(a1x2 + b1x +c1)4 +bx2(a1x2 + b1x +c1)2 + cx4 Ta xử lý tương tự như bậc là 4 Cách giải. Đặt y = (a1x2 + b1x +c1)2 và áp dụng hằng đẳng thức(*) Ví dụ. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = 10(x2 - 2x +3)4 - 9x2(x2 - 2x +3)2 - x4 Lời giải. Đặt y = (x2 - 2x +3)2. Khi đó P(x) trở thành Q(y) = 10y2 - 9x2y – x4 Hệ số a = 10, b = - 9x2, c = -x4. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = - 10x4 và m + n = b = - 9x2. Do đó ta chọn được m = - 10x2, n = x2 Từ đó Q(y) = 10y2 + (-10x2 + x2)y – x4 = (10y2 - 10x2y ) + (x2y - x4) = 10y(y – x2) + x2( y – x2) = (y – x2) (10y + x2) Vậy P(x) =  (x 2 - 2x  3) 2 - x 2 .10(x 2 - 2x  3) 2  x 2  = (x2 - 2x + 3 – x)( x2 - 2x + 3 +x) 10 x 4  4 x 2  9  8 x 3  12 x  6 x 2   x 2  = ( x2 - 3x + 3)( x2 - x + 3)(10x4- 80x3 + 101x2 – 120 x + 90) c. Đa thức dạng P(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d Cách giải. Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) và áp dụng hằng đẳng thức (*) Có thể đặt y = (x + c)(x + d) hoặc y = x2 + (a+b)x Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 15 Lời giải. Với a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 thì a + d = 5 = b + c Biến đổi P(x) = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) – 15 Đặt y = (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4 thì P(x) trở thành Q(y) = y(y +2) – 15 = y2 + 2y -15 Hệ số a = 1, b = 2, c = -15. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = - 15 và m + n = b = 2. Do đó ta chọn được m = 5, n = -3 Từ đó Q(y) = (y2 + 5y) - (3y +15) =y (y+ 5) - 3(y +5) = (y+ 5)(y - 3) Suy ra P(x) = (x2 + 5x + 9)( x2 + 5x + 1) Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 6 P(x) = (x -1)(x - 3)(x - 5)(x - 7) - 20 Lời giải. Với a = -1, b = -3, c = -5, d = -7 thì a + d = -8 = b + c Biến đổi P(x) = (x - 1)(x - 7)(x - 3)(x - 5) – 20 = (x2 - 8x + 7)( x2 - 8x + 15) – 20 Đặt y = (x - 1)(x - 7) = x2 - 8x + 7 thì P(x) trở thành Q(y) = y(y +8) – 20 = y2 + 8y - 20 Hệ số a = 1, b = 8, c = -20. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = - 20 và m + n = b = 8. Do đó ta chọn được m = 10, n = -2 Từ đó Q(y) = y2 + 8y – 20 = (y2 + 10y) - (2y + 20) = (y+ 10)(y - 2) Suy ra P(x) = (x2 - 8x +7+ 10)( x2 - 8x + 7 - 2)= (x2 - 8x +17)( x2 - 8x +5) d. Đa thức dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) + ex2 với a1b1 = c1d1 và a2b2 = c2d2 Cách giải. Đặt biến phụ y = (a1x + a2)(b1x + b2) và áp dụng hằng đẳng thức (*) Có thể đặt y = (c1x + c2)(d1x + d2) Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (3x + 2)(3x - 5)(x – 1)(9x + 10) + 24x2 Lời giải. Dễ thấy a1b1 = 3.3 = 1.9 = c1d1 và a2b2 = 2.(-5) = (-1).10 = c2d2 P(x) = (9x2 - 9x - 10)(9x2 + x - 10) +24x2 Đặt y = (3x + 2)(3x - 5) = (9x2 - 9x - 10), thì P(x) trở thành Q(y) = y(y + 10x) + 24x2 = y2 + 10xy + 24x2 Hệ số a = 1, b = 10x, c = 24x2. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 24x2 và m + n = b = 10x. Do đó ta chọn được m = 6x, n = 4x Áp dụng hằng đẳng thức (*) ta được: Q(y) = (y + 6x)(y + 4x) Vậy, suy ra P(x) = (9x2 - 3x - 10)(9x2 - 5x - 10) Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (x - 3)(x - 10)(x - 5)(x - 6) - 24x2 Lời giải. Dễ thấy a1b1 = 1.1 = 1.1 = c1d1 và a2b2 = (-3).(-10) = (-5).(-6) = c2d2 7 P(x) = (x2 - 13x + 30)(x2 -11x + 30) - 24x2 Đặt y = (x - 3)(x - 10) = (x2 - 13x + 30), thì P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2x) - 24x2 = y2 + 2xy - 24x2 Hệ số a = 1, b = 2x, c = - 24x2. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = - 24x2 và m+ n = b = 2x. Do đó ta chọn được m = 6x, n = - 4x Áp dụng hằng đẳng thức (*) ta được: Q(y) = (y + 6x)(y - 4x) Vậy, suy ra P(x) = (x2 - 13x + 30 + 6x)( x2 - 13x + 30 - 4x) = (x2 - 7x + 30)( x2 - 17x + 30) e. Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + kbx + a với k = 1 hoặc k = -1 Cách giải. Đặt biến phụ y = x2 + k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử ay2 + bxy rồi sử dụng hằng đẳng thức (*). Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 Lời giải. Đặt y = x2 + 1 => y2 = x4 + 2x2 + 1 Biến đổi P(x) = (x4 + 2x2 + 1) + 6x3 +5x2 +6x = (x2 + 1)2 + 6x(x2 + 1) + 5x2 Từ đó Q(y) = y2 + 6xy + 5x2 Hệ số a = 1, b = 6x, c = 5x2. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 5x2 và m + n = b = 6x Do đó ta chọn được m = 5x, n = x ta có Q(y) = y2 + (5x + x)y + 5x2 = y2 + 5xy + xy + 5x2 = y(y + 5x) + x(y + 5x) = (y +x)(y + 5x) Từ đó suy ra P(x) = (x2 + 1+ x)(x2 +1 + 5x) =(x2 + x + 1)(x2 + 5x + 1) Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = 2x4 + 3x3 - 9x2 - 3x + 2 Lời giải. Đặt y = x2 - 1 => y2 = x4 - 2x2 + 1 Biến đổi P(x) = 2(x4 - 2x2 + 1) + 3x3 - 5x2 - 3x = 2(x2 - 1)2 + 3x(x2 - 1) - 5x2 Từ đó Q(y) = 2y2 + 3xy - 5x2 Hệ số a = 2, b = 3x, c = -5x2. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = -10x2 và m + n = b = 3x 8 Do đó ta chọn được m = 5x, n = -2x ta có Q(y) = 2y2 + (5x - 2x)y - 5x2 = 2y2 - 2xy + 5xy - 5x2 = 2y(y - x) + 5x(y - x) = (y - x)(2y + 5x) Từ đó suy ra P(x) = (x2 - 1- x)(2x2 - 2 + 5x) = (x2 - x- 1)(2x2 + 5x - 2) f. Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + kbx + ak2, với k  1 Cách giải. Đặt biến phụ y = x2 + k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử ay2 + bxy rồi sử dụng hằng đẳng thức (*) Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = x4 + 7x3 + 14x2 + 14x + 4 Lời giải. Ta nhận thấy k = 2, nên ta đặt y = x2 + 2 => y2 = x4 + 4x2 + 4 Biến đổi P(x) = (x4 + 4x2 + 4) + 7x3 + 10x2 + 14x = (x2 + 2)2 + 7x(x2 + 2) + 10x2 Từ đó Q(y) = y2 + 7xy + 10x2 Hệ số a = 1, b = 7x, c = 10x2. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 10x2 và m + n = b = 7x Do đó ta chọn được m = 5x và n = 2x ta có Q(y) = y2 + (5x + 2x)y + 10x2 = y2 + 5xy + 2xy + 10x2 = y(y + 5x) + 2x(y + 5x) = (y + 2x)(y + 5x) Từ đó suy ra P(x) = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 + 3x) = (x2 + 2x + 2)(x2 + 3x + 3) Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = 2x4 - 5x3 - 27x2 + 25x + 50 Lời giải. Ta nhận thấy k = - 5, nên ta đặt y = x2 - 5 => y2 = x4 - 10x2 + 25 Biến đổi P(x) = 2(x4 - 10x2 + 25) - 5x3 - 7x2 + 25x = 2(x2 - 5)2 - 5x(x2 - 5) - 7x2 Từ đó Q(y) = 2y2 - 5xy - 7x2 Hệ số a = 2, b = -5x, c = -7x2. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = -14x2 và m + n = b = - 5x Do đó ta chọn được m = -7x và n = 2x ta có Q(y) = 2y2 + (-7x + 2x)y - 7x2 9 = 2y2 - 7xy + 2xy - 7x2 = y(2y - 7x) + x(2y - 7x) = (2y - 7x)(y +x) Từ đó suy ra P(x) =  2(x2 - 5) -7x)  (x2 - 5 + x) = (2x2 - 7x - 10)(x2 + x - 5) g. Đa thức dạng P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e  Cách giải. Đặt biến phụ y x 2  d b d2 b2 và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử y2 + bxy rồi sử dụng hằng đẳng thức(*). Ví dụ. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = x4 - x3 - 10x2 + 2x + 4. Lời giải. Dễ thấy b = -1, d = 2, e = 4. Đặt y = x2 - 2 => y2 = x4 - 4x2 + 4. Biến đổi P(x) = x4 - x3 - 10x2 + 2x + 4 = (x4 - 4x2 + 4) - x(x2 - 2) - 6x2 = (x2 -2)2 - x(x2 - 2) - 6x2. Từ đó Q(y) = y2 - xy - 6x2. Hệ số a = 1, b = -x, c = -6x2. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 1.(-6x2) và m + n = b = -x. Do đó ta chọn m = 2x và n = - 3x, ta có Q(y) = y2 + (2x - 3x)y - 6x2 = y2 + 2xy - 3xy - 6x2 = y(y + 2x) - 3x(y + 2x) = (y + 2x)(y - 3x) Vậy P(x) = (x2 - 2 + 2x)( x2 - 2 - 3x) = (x2 + 2x -2)( x2 - 3x - 2) Chú ý: Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì ta có thể xét đa thức Q( x)  P ( x) a và thực hiện theo cách trên. h. Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + (x + b)4 + c Cách giải. Đặt biến phụ y x  a b 2 và biến đổi P(x) về dạng mx4 + nx2 + p Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (x +2)4 + (x+8)4 – 272 Lời giải. 10 Đặt y = x + 5 Lúc đó P(x) trở thành Q(y) = (y - 3)4 + (y +3)4 – 272 = 2y4 + 108y2 + 110 = 2(y4 + 54y2 +55) = 2( y4 + 55y2 - y2 - 55) ( áp dụng hằng đẳng thức(*)) = 2(y2 + 55)(y2 - 1) = 2(y2 + 55)(y - 1)(y+1). Vậy P(x) = 2(x2 + 10x + 25 +7)(x + 5 – 1)(x + 5 +1) = 2(x2 + 10x + 32)(x + 4)(x + 6) Ví dụ. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (x -3)4 + (x-1)4 – 16 Lời giải. Đặt y = x – 2 Lúc đó P(x) trở thành Q(y) = (y - 1)4 + (y +1)4 – 16 = 2y4 + 12y2 - 14 = 2(y4 + 6y2 - 7) = 2( y4 + 7y2 - y2 - 7) ( áp dụng hằng đẳng thức(*)) = 2(y2 +7)(y2 - 1) = 2(y2 +7)(y - 1)(y+1). Vậy P(x) = 2(x2 – 4x + 4 +7)(x – 2 – 1)(x - 2 +1) = 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x - 1)  Nhận xét: Ta thấy rằng việc phân tích các đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử là cơ sở cho việc thực hiện các bài toán như: giải phương trình bậc bốn một ẩn trở lên, bài toán rút gọn,… Đối với phương trình bậc bốn một ẩn trở lên ta phân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử để đưa về phương trình tích các đa thức bậc nhất để tìm ra nghiệm. Ví dụ giải các phương trình: a) (x2 +3x)2 + 7 x2 + 21x +10 = 0 (Dạng a) b) (x -1)(x + 5)(x - 3)(x + 7) - 297 = 0 (Dạng c) c) x5 + 7x4 + 14x3 + 14x2 + 4x = 0 (Dạng f) d) (x +2)4 + (x+8)4 = 272 (Dạng h) 11 Lời giải. a) (x2 +3x)2 + 7 x2 + 21x +10 = 0  (x2 +3x)2 + 7(x2 + 3x) +10 = 0 Đặt y = x2 +3x, ta có: y2 + 7 y + 10 = 0  y2 + 2y +5y + 10 = 0  y(y + 2) + 5(y + 2) = 0  (y + 2)(y + 5) = 0  (x2 + 3x + 2)(x2 + 3x+5) = 0  (x2 + 3x + 2) = 0 (vì x2 + 3x+5 > 0)  (x + 1)(x + 2) = 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -1 hoặc x = -2 b) (x -1)(x + 5)(x - 3)(x + 7) - 297 = 0 (x2 + 4x - 5)( x2 + 4x - 21) - 297 = 0 Đặt ẩn phụ: y = x2 + 4x – 5, ta có t (t - 16) - 297 = 0  t2 - 16t - 297 = 0  (t - 27)(t + 11) = 0 (Áp dụng hằng đẳng thức (*))  (x2 + 4x - 5 - 27)(x2 + 4x - 5 +11) = 0  (x2 + 4x - 32)(x2 + 4x + 6) = 0  (x2 + 4x - 32) = 0 (do x2 + 4x + 6 >0)  (x - 4)(x + 8) = 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 4 hoặc x = -8 c) x5 + 7x4 + 14x3 + 14x2 + 4x = 0  x(x4 + 7x3 + 14x2 + 14x + 4) = 0  x= 0 hoặc x4 + 7x3 + 14x2 + 14x + 4 = 0 (1) Ta đặt y = x2 + 2 => y2 = x4 + 4x2 + 4 (1) (x4 + 4x2 + 4) + 7x3 + 10x2 + 14x = 0 (x2 + 2)2 + 7x(x2 + 2) + 10x2 = 0  y2 + 7xy + 10x2 = 0  y2 + (5x + 2x)y + 10x2 = 0  y2 + 5xy + 2xy + 10x2 = 0  y(y + 5x) + 2x(y + 5x) = 0  (y + 2x)(y + 5x) = 0 12  (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 + 3x) = 0 ( do y = x2 + 2)  (x2 + 2x + 2)(x2 + 3x + 3) = 0 (phương trình tích vô nghiệm do vế trái dương) Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 0 d) (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 Đặt ẩn phụ: y = x + 5, ta có: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272  (y - 3)4 + (y + 3)4 = 272  2y4 + 108y2 + 110 = 0  2(y4 + 54y2 +55) = 0  2( y4 + 55y2 - y2 - 55) = 0 ( áp dụng hằng đẳng thức(*))  2(y2 + 55)(y2 - 1) = 0  2(y2 + 55)(y - 1)(y+1) = 0  2(x2 + 10x + 25 +7)(x + 5 – 1)(x + 5 +1) =0  (x + 4)(x + 6) = 0 ( do x2 + 10x + 32 >0 ) Vậy phương trình có 2 nghiệm x = - 4 hoặc x = - 6 Đối với bài toán rút gọn biểu mà mẫu là đa thức bậc bốn một ẩn thì ta thấy vấn đề mấu chốt là phân tích mẫu thành nhân tử, từ đó tìm ra mẫu chung và quy đồng, Ví dụ thực hiện phép tính (rút gọn) sau: 2 1 4x  2  4 3 x  x  1 x  5x  1 x  6 x  7 x 2  6 x  1 A= 2 Lời giải. (Đa thức x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 được phân tích thành nhân tử như ví dụ 1 dạng e) 2 1 4x  2  4 3 x  x  1 x  5x  1 x  6 x  7 x 2  6 x  1 A=  2 2 1 4x  2  2 x  x  1 x  5x  1 x  x  1 x 2  5x  1  2 x  5 x  1   x  x  1  4 x   x  x  1 x  5x  1 2 2   2 2 2 x 2  5x  1 x 2  x  1 x 2  5x  1 1  2 x  x 1     Ví dụ cũng biểu thức A như trên, nhưng ta lại yêu cầu, tìm giá trị lớn nhất nhất của biểu thức A, thì việc đầu tiên là đi rút gọn 13 A= 2 1 4x  2  4 3 x  x  1 x  5x  1 x  6 x  7 x 2  6 x  1 2 Lời giải. Sau khi rút gọn ta có: A= 1 x  x 1 2 Để A có giá trị lớn nhất thì x2 + x + 1 có giá trị nhỏ nhất Ta có: 2 1 3 3  x 2  x  1  x     , 2 4 4   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 4 Vậy giá trị lớn nhất của A = 3 khi và chỉ khi x  x  1 2 1 2  Bài tập vận dụng Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 1. A(x) = (48x2 + 8x – 1)(3x2+ 5x + 2) – 4 2. B(x) = (12x – 1) (6x – 1) (4x – 1) (3x – 1) – 330 3. C(x) = 4(x2 + 11x + 30)(x2 + 22x + 120) – 3x2 4. D(x) = (7 – x)4 + (5 – x)4 – 2 5. E(x) = x4 – 9x3 + 28x2 – 36x + 16 6. F(x) = x4 – 3x3 - 6x2 + 3x + 1 7. G(x) = 3x4 + 6x3- 33x2 - 24x + 48 8. H(x) = (x2 + 4x +8)2 + 3x(x2 + 4x +8) + 2x2 9. K(x) = -6(-x2 - x + 1)4 + x2(-x2 - x +1)2 + 5x4 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm Trong năm học 2017 - 2018 tôi đã đưa đề tài vào áp dụng, với đối tượng học sinh cũng là các em nơi tôi đang công tác, số lượng học sinh như nhau, mức độ đề giống nhau. Tuy nhiên kết quả thu được rất khả quan, các em đã biết cách phân tích các đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử khá thuần thục. Không những thế, các em còn biết vận dụng để thực hiện cho các bài toán như biến đổi đồng nhất, giải phương trình bậc bốn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất…, tôi kiểm tra với nội dung đề bài như sau: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1) (x2 +x)2 + 9x2 + 9x + 14 2) x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 3) (x + 2)(x + 3)(x – 7)(x - 8) -144 Kết quả 14 Số học sinh tham gia kiểm tra Điểm dưới 5 Điểm từ 5 đến dưới 6,5 Điểm từ 6,5 đến dưới 8 Điểm từ 8 trở lên SL % SL % SL % SL % 11 0 0 3 20 6 60 2 20 3. Kết luận và kiến nghị 3.1. Kết luận Sau một thời gian tìm tòi, nghiên cứu tài liệu, kết hợp với những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và được sự giúp đỡ của các đồng nghiệp, tôi đã hoàn thành đề tài “Phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử thông qua đặt ẩn phụ trong chương trình Toán 8”. Những vấn đề trình bày trong đề tài này là sự chọn lọc qua một số tài liệu và những kinh nghiệm rút ra trong quá trình bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Các bài tập mang tính điển hình để làm mẫu trong khối lượng rất lớn những bài tập mà tôi đã sưu tầm được, nhưng chắc chắn chúng không được hoàn hảo bởi quyết định này hoàn toàn dựa trên nhận định chủ quan của bản thân tôi, chưa phải là hệ thống bài tập vận dụng đầy đủ. Tài liệu này với mong muốn giúp các em nắm được phương pháp phân tích đa thức bậc bốn một ẩn, từ đó lấy làm cơ sở cho việc giải quyết các bài tập dạng khác. Khi đề tài được áp tại ngôi trường nơi tôi đang công tác cho các em có học lực từ trung bình khá trở lên. Qua nhiều lần kiểm tra đánh giá, tôi nhận thấy, cơ bản đã nắm bắt được các phương pháp phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử, đó là nền tảng, là vấn đề có tính then chốt để giải quyết bài tập. Kết quả thu được là rất tích cực, số học sinh biết phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử tăng lên, ngoài ra các em còn biết phân tích nhanh vì đã nắm được phương pháp, không còn phải lần mò tách ghép tìm nhân tử chung như trước kia, hiệu quả đã tăng lên rõ rệt; đồng thời các em đã biết giải các bài tập dạng khác trong đó có sử dụng tới việc phải phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử. Đây là một tín hiệu tích cực để đề tài tiếp tục được nghiên cứu, hoàn thiện và nhân rộng áp dụng. 3.2. Kiến nghị Mặc dù đã nỗ lực trong quá trình nghiên cứu, song năng lực bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để tôi có thể hoàn thiện đề tài này tốt hơn. Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thọ Xuân, ngày 15 tháng 3 năm 2019 15 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Đỗ Viết Quế Lê Văn Thắng MỤC LỤC 1. Mở đầu…………………………………………………………………...…… 1.1. Lý do chọn đề tài……………………………………………………………. 1.2. Mục đích nghiên cứu………………………………………………………... 1 1 1 16 1.3. Đối tượng nghiên cứu……………………………………………................. 1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………… 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………. 2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm………………………………….. 2.1. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……………… 2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện…………………………………………….. 2.3.1. Giải pháp………………………………………………………………….. 2.3.2. Tổ chức thực hiện………………………………………………………… a. Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx2 + c…………………………………………… b. Đa thức dạng P(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d............. c. Đa thức dạng P(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d............. d. Đa thức dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) + ex2 .................. e. Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + kbx + a với k = 1 hoặc k = -1............... f. Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2.a với k  1 .......................... g. Đa thức dạng P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e d2 b2 …………………….... h. Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + (x + b)4 + c………………………………....... 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm……………………………………….. 3. Kết luận và kiến nghị…………………………………………………………. 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 6 7 8 9 10 11 14 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa Toán 8 tập 1 (Nhà xuất bản giáo dục) 2. TuyÓn chän theo chuyªn ®Ò To¸n häc vµ Tuæi trÎ (Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 2006) 3. Bồi dưỡng năng lực tự học Toán 8 (Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh) 4. Nguồn internet 17 18