BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Vũ Đức Phú
PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ
CHO CÁC SIÊU MẶT TRONG n ( p )
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Vũ Đức Phú
PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ
CHO CÁC SIÊU MẶT TRONG n ( p )
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi trên cơ sở các công
trình của Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An. Các số liệu, kết quả nêu trong luận
văn là trung thực và chính xác.
Thành phố Hồ Chí Minh tháng 9 năm 2012.
Vũ Đức Phú
ii
LỜI CẢM ƠN
Tôi vô cùng biết ơn
Tiến sĩ NGUYỄN TRỌNG HÒA đã định hướng tôi nghiên cứu phân
phối giá trị của các siêu mặt trong n ( p ) , một vấn đề đang được quan
tâm do những ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực của Toán học; thầy
là người trực tiếp hướng dẫn tôi thực hiện luận văn này.
Tôi xin gửi lời tri ân đến
các thầy cô giáo trong khoa Toán-Tin đã hướng dẫn tôi nghiên cứu Toán
học trong những năm học tại trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí
Minh;
Tôi xin gửi lời tri ân đến
gia đình và bạn bè đã hiểu, chia sẻ và động viên tôi trong quá trình tôi
thực hiện đề tài.
Vũ Đức Phú
iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ..................................................................................................i
LỜI CẢM ƠN .......................................................................................................ii
MỞ ĐẦU............................................................................................................... 1
Những ký hiệu dùng trong luận văn ..................................................................... 4
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị .............................................................................. 8
1.1. Trường các số phức p-adic......................................................................... 8
1.1.1 Trường định chuẩn không Acsimet ..................................................... 8
1.1.2 Trường số phức p-adic ......................................................................... 9
1.2. Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số phức p-adic. ....... 14
1.2.1 Hàm phân hình và Hàm chỉnh hình ................................................... 14
1.2.2 Các hàm đặc trưng Nevanlinna của hàm chỉnh hình ......................... 20
1.2.3 Các hàm đặc trưng Nevanlinna của hàm phân hình .......................... 22
1.2.4 Hai định lý cơ bản Nevanlinna trong trường p-adic .......................... 25
1.3. Độ cao của hàm chỉnh hình trên n ( p ) ................................................ 28
1.3.1 Độ cao của hàm chỉnh hình một biến trên p .................................. 28
1.3.2 Độ cao của hàm chỉnh hình nhiều biến trên mp ................................ 29
1.3.3 Độ cao của ánh xạ chỉnh hình nhiều biến trên n ( p ) ..................... 32
1.3.4 Đường cong chỉnh hình...................................................................... 34
1.4. Các siêu mặt p-adic .................................................................................. 34
Kết luận chương 1 ........................................................................................... 36
Chương 2. Phân phối giá trị trên các siêu mặt trong n ( p ) ............................ 37
iv
2.1. Công thức Poisson-Jensen của hàm nhiều biến trong trường p-adic....... 37
Định nghĩa 2.1.1 .......................................................................................... 37
Bổ đề 2.1.2 .................................................................................................. 38
Bổ đề 2.1.3 .................................................................................................. 40
Hệ quả 2.1.4 ................................................................................................ 41
Ký hiệu 2.1.5 ............................................................................................... 42
Định lý 2.1.6................................................................................................ 44
Định nghĩa 2.1.7 .......................................................................................... 46
Định lý 2.1.8 (Công thức Poisson-Jensen p-adic theo nhiều biến)............. 47
2.2. Phân phối giá trị trên các siêu mặt p-adic ................................................ 55
Ký hiệu 2.2.1 ............................................................................................... 55
Định lý 2.2.2 (định lý cơ bản thứ nhất)....................................................... 56
Định lý 2.2.3 (định lý cơ bản thứ hai)......................................................... 57
Định nghĩa 2.2.4 .......................................................................................... 59
Định lý 2.2.5 (mối quan hệ số khuyết) ....................................................... 60
Định lý 2.2.6................................................................................................ 61
Ví dụ 2.2.7 ................................................................................................... 61
Kết luận chương 2 ........................................................................................... 62
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 65
MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Lý thuyết phân bố giá trị do Nevanlinna xây dựng là thành tựu toán học đẹp
đẽ nhất của thế kỷ XX mà ngày nay được gọi là Lý thuyết phân bố giá trị trên
mặt phẳng phức hay là Lý thuyết Nevanlinna. Nội dung chính của Lý thuyết
phân bố giá trị là hai định lý cơ bản. Định lý cơ bản thứ nhất là mở rộng của
Định lý cơ bản của đại số, mô tả sự phân bố đều giá trị của hàm phân hình
khác hằng trên mặt phẳng phức. Định lý cơ bản thứ hai là mở rộng của Định
lý Picard, mô tả ảnh hưởng của đạo hàm đến sự phân bố giá trị của hàm phân
hình. Lý thuyết Nevanlinna p-adic một chiều được xây dựng bởi Hà Huy
Khoái, Mỵ Vinh Quang và được phát triển bởi W. Cherry, A. Boutabaa, P.
Hu, C.C. Yang,… Nhu cầu xây dựng lý thuyết Nevanlinna nhiều chiều xuất
phát từ sự xem xét các định lý Nevanlinna trong trường hợp nhiều biến. Năm
1991, Hà Huy Khoái đã xây dựng các khái niệm độ cao và điểm tới hạn của
hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến trên cơ sở liên hệ lý thuyết hàm không
Acsimet với hình học tổ hợp, bằng các ý tưởng hình học nhưng chưa được
chứng minh chi tiết. Ý tưởng chính là dùng khái niệm điểm tới hạn để nghiên
cứu không điểm của hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến và nhát cắt được xác
định bởi họ các siêu phẳng để chuyển việc nghiên cứu hàm chỉnh hình p-adic
nhiểu biến về nghiên cứu họ các hàm chỉnh hình p-adic một biến tương ứng
cảm sinh từ hàm đã cho. Trong [8], Hà Huy Khoái đưa ra một phiên bản padic của công thức Poisson-Jensen cho các hàm nhiều biến. Trong [2] Cherry
và Ye xét một hàm phân hình nhiều biến và hạn chế trên một đường thẳng
chung qua gốc tọa độ, và chứng minh rằng hàm đếm cho hàm một biến này
không phụ thuộc vào việc chọn đường thẳng qua gốc tọa độ. Đây là chìa khóa
để Cherry-Ye xây dựng Định lý cơ bản và Quan hệ số khuyết của ánh xạ
2
chỉnh hình p-adic đối với họ các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong không
gian xạ ảnh n ( p ) . Họ dùng nhận xét này để định nghĩa các hàm đếm như
trong định lý đối với hàm một biến, và rồi dẫn đến một công thức PoissonJensen cho các hàm nhiều biến. Công thức của họ đưa ra mối quan hệ giữa
modun của một hàm trên biên của một hình cầu và không tập trong hình cầu,
trong khi công thức [7] liên quan đến không tập trên biên của một hình hộp.
Đó là các kết quả quan trọng trong lý thuyết phân phối giá trị p-adic nhiều
biến. Tiếp tục hướng nghiên cứu của Hà Huy Khoái và Cherry, bằng cách sử
dụng ý tưởng trong [7] và một số lập luận trong [2], [8], [10], Vũ Hoài An
đưa ra một phiên bản p-adic của công thức Poisson-Jensen cho các hàm nhiều
biến. Công thức của Vũ Hoài An cho phép tính toán modun của một hàm trên
biên của một hình hộp bằng cách sử dụng thông tin về các không tập. Công
thức này cho phép chúng ta đưa ra một số kết quả về phân phối giá trị cho
trường hợp các siêu mặt. Chú ý rằng, trong một bài báo mới đây ([10]) Min
Ru cũng thu được các kết quả tương tự, nhưng trong trường hợp các đường
cong chỉnh hình.
Việc nghiên cứu phân phối giá trị cho các siêu mặt p-adic là vấn đề
đang được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Vì vậy, chúng tôi chọn
việc nghiên cứu Phân phối giá trị cho các siêu mặt trong n ( p ) làm đề
tài của mình trên cơ sở các kết quả của Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An ([9]).
2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI.
Nghiên cứu Phân phối giá trị cho các siêu mặt p-adic.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
3
- Công thức Poisson-Jensen của các hàm nhiều biến trong trường padic.
- Định lý phân phối giá trị trên các siêu mặt p-adic.
- Cụ thể hóa các kết quả trong một số trường hợp đặc biệt.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Tổng hợp và hoàn thiện những kết quả đã có từ những bài báo, tài liệu
khoa học có liên quan đế vấn đề cần nghiên cứu. Đưa ra các ví dụ minh họa
cho các kết quả đã trình bày.
Sử dụng phương pháp Nevanlinna p-adic.
5. CẤU TRÚC LUẬN VĂN.
Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
1. Trường các số phức p-adic.
2. Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số phức padic.
3. Độ cao của hàm chỉnh hình trên n ( p ) .
4. Các siêu mặt p-adic.
Chương 2: PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ TRÊN CÁC SIÊU MẶT TRONG
n ( p ).
1. Công thức Poisson-Jensen của hàm nhiều biến trong trường padic.
2. Phân phối giá trị trên các siêu mặt p-adic.
4
Những ký hiệu dùng trong luận văn
∞
n
n
a
z
a
∈
K
,lim
a
r
=
0
• r ( K ) =
f ( z) =
: vành các hàm chỉnh
∑
n
n
n
n =0
hình trên K [0; r ] ,
∞
f
(
z
)
an z n an ∈ K , baùn kính hoäi tuï ρ ≥ r :
=
• ( r ( K ) =
∑
n =0
hàm chỉnh hình trên K (0; r ) ,
vành
các
• ( K ) = ( ∞ ( K ) : vành các hàm nguyên trên K ,
• p : trường các số phức p-adic,
• mp : không gian vectơ phức p-adic m-chiều,
rm ) K (0; r1 ) × × K (0; rm ) ,
• D(r1 ,...,=
rm K 0; r1 × × K 0; rm ,
• D r1 ,...,=
m
=
K (0;1) × × K (0;1) : đa đĩa đơn vị trong mp ,
• D
• δ f (a ) = liminf
m ( r , f 1−a )
r →∞
T (r , f )
= 1 − limsup
N ( r , f 1−a )
r →∞
T (r , f )
: số khuyết của f tại a ,
N ( X , t ,..., tm )
•=
δ f ( X ) lim inf 1 − f + 1
: số khuyết của f đối với siêu
T →−∞
(
,...,
)
dH
t
t
f 1
m
mặt X ,
= max aγ r γ : Chuẩn của hàm chỉnh hình f ( z1 ,..., zm ) ,
•
f
•
∞ a
fˆ : xác định bởi fˆ ( z ) = ∑ γ z γ ,
γ =0 a y
•
fi ,k (
zi ) : xác định bởi f ( z1 ,..., zm ) = ∑ fi ,k (
zi )zik ,
( r1 ,...,rm )
0≤ γ ≤∞
∞
k =0
•
fi ,u ( z )=
∞
∑f
k =0
i ,k
ui )zik , z= zi ∈ D(0; ri ) ,
(
• H ( D) : tập các hàm giải tích toàn cục trên D,
• Hol ( D ) : tập các hàm giải tích địa phương trên D ,
5
• ( D) : tập các hàm giải tích (tại mọi điểm) trên D ,
=
• H f (t ) min {v(an ) + nt} : độ cao của hàm chỉnh hình f ( z ) ,
0≤ n<∞
• H=
H g (t ) − H h (t ) : độ cao của hàm phân hình f ( z ) =
f (t )
g ( z)
,
h( z )
• H f (t ) = min H fi (t ) :
cong
1≤i ≤ n +1
độ
cao
của
đường
chỉnh
hình f = ( f1 ,..., f n+1 ) ,
• H f (t1 ,..., tm ) : độ cao của hàm chỉnh hình f ( z1 ,..., zm ) ,
• H +f (t1 ,..., tm ) = − H f (t1 ,..., tm ) ,
• H f (t1 ,..., tm ) = min H fi (t1 ,..., tm ) : độ cao của ánh xạ chỉnh hình
1≤i ≤ n +1
f = ( f1 ,..., f n+1 ) ,
• H f ( X , t1 ,..., tm ) = H Q f (t1 ,..., tm ) : độ cao của siêu mặt X : Q = 0 ,
• H +f ( X , t1 ,..., tm ) = − H f ( X , t1 ,..., tm ) ,
{
}
• I f (t1 ,..., tm ) = (γ 1 ,..., γ m ) ∈ m : v(aγ ) + γ t =H f (t1 ,..., tm ) ,
• K là một trường,
• K ( x; r ) =
{ y ∈ K | d ( x, y ) < r} : đĩa mở trong K ,
• K [ x; r ] =
{ y ∈ K | d ( x, y ) ≤ r} : đĩa đóng trong K ,
{ y ∈ K | d ( x, y ) =
r} : đường tròn trong K ,
• K x; r =
• ln = log e : logarit Napier (log Nê-pe),
• log := log p : logarit cơ số p ,
• M ( D) : tập các hàm phân hình toàn cục trên D ,
• Mer ( D ) : tập các hàm phân hình địa phương trên D ,
• ( D) : trường các hàm phân hình trên D ,
• =
( K )
=
( K (0; ∞)) : tập các hàm phân hình trên K ,
(∞ ( K )
• ( ρ ( K ) = ( K (0; ρ )) : trường các hàm phân hình trên K (0; ρ ) ,
• µ (r , f ) = max an r n : số hạng lớn nhất của hàm chỉnh hình f ,
n≥0
+
• m(r , f ) log
=
=
µ (r , f ) max{0,log µ (r , f )} : hàm xấp xỉ của f trên
K [ 0; r ] ,
6
(
)
•=
m f ( X , t1 ,..., tm ) max H +f d (t1 ,..., tm ) − H Q+ f (t1 ,..., tm ) ,
1≤i < n +1
i
1
• n r,
: hàm đếm của f tại a , đếm số không điểm kể cả bội của
f
−
a
f − a mà giá trị tuyệt đối không vượt quá r ,
1
• n r,
: hàm đếm số các không điểm phân biệt của f tại a trong
f
−
a
K [0; r ] ,
1
• n(r , f ) = n r , : hàm đếm số các cực điểm kể cả bội của hàm phân
f0
f
hình f = 1 trên K [ 0; r ] ,
f0
1
• n (r , f ) = n r , : hàm đếm số các cực điểm phân biệt của hàm phân
f0
f
hình f = 1 trên K [ 0; r ] ,
f0
{
)=
max {γ
}
)} ,
min γ i : ∃(γ 1 ,..., γ i ,..., γ m ) ∈ I f (t1 ,..., tm ) ,
• ni+, f (t1 ,..., tm ) =
• ni−, f (t1 ,..., tm
i
: ∃(γ 1 ,..., γ i ,..., γ m ) ∈ I f (t1 ,..., tm
{
}
• ni , f (0,0) min k : fi ,k (
=
zi ) ≡/ 0 ,
• ni , f (0, r1 ,..., rm ) : số các không điểm với giá trị tuyệt đối không vượt quá
ri của hàm một biến fi ,u ( z ) ,
• ni , f (a, r1 ,..., rm ) = ni , f −a (0, r1 ,..., rm ) ,
• ni , f (a,0) = ni , f −a (0,0) ,
•
1
N r,
: hàm giá trị của f tại a ,
f
−
a
•
1
N r,
: hàm giá trị (phân biệt) của f tại a ,
f −a
•
1
f
N (r , f ) = N r , với f = 1 ,
f0
f0
7
1
f
N (r , f ) = N r , với f = 1 ,
f0
f0
1
1
− n 0,
r n t,
f − a f − a
1
• N ( r,=
f a=
dt + n 0,
): ∫
log r ,
−
t
f
a
ρ0
•
1 m rk nk , f (a, Ak ( x))
dx : hàm giá trị của f tại a,
∑
ln p k =1 ∫ρk
x
•
N f (a, t1 ,..., tm ) =
•
N f (t1 ,..., tm ) := N f (0, t1 ,..., tm ) ,
•
N f ( X , t1 ,..., tm ) = N Q f (t1 ,..., tm ) ,
• n ( p ) : không gian xạ ảnh phức p-adic n-chiều,
• p : đầy đủ hóa của trường các số hữu tỷ được trang bị chuẩn padic,
• p : trường đóng đại số của p ,
• R ( D) : tập các hàm hữu tỷ h không có cực điểm trong D,
• T=
(r , f ) m(r , f ) + N (r , f ) : hàm đặc trưng của hàm f trên K [ 0; r ] ,
• T=
N f ( X , t1 ,..., tm ) + m f ( X , t1 ,..., tm ) ,
f ( X , t1 ,..., tm )
=
=
• υ (r , f ) max
{n | an r n µ (r , f )} : chỉ số tâm ứng với số hạng lớn nhất
µ (r , f ) ,
• v f (t1 ,..., tm )
=
∑(n
m
i =1
−
i, f
(t1 ,..., tm ) − ni+, f (t1 ,..., tm ) ) ,
8
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương này trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản, cần thiết cho
việc nghiên cứu phân phối giá trị cho các siêu mặt trong n ( p ) ở chương 2,
cụ thể là trường các số phức p-adic; hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên
trường các số phức p-adic; độ cao của hàm chỉnh hình trên n ( p ) và các
siêu mặt p-adic.
1.1. Trường các số phức p-adic.
Chi tiết về trường các số phức p-adic có thể xem trong [5].
Cho η là một tập con của , trong tiểu luận này ta ký hiệu
η+ =
{x ∈η | x ≥ 0} , η + =
{x ∈η | x ≠ 0} .
{x ∈η | x > 0} , η* =
Trước hết, ta sẽ nhắc lại một số khái niệm về trường định chuẩn không
Acsimet và cách xây dựng trường số phức p-adic.
1.1.1. Trường định chuẩn không Acsimet.
Giả sử K là trường, chuẩn (giá trị tuyệt đối) trên K là hàm | .|: K → + thỏa
mãn:
i) x = 0 ⇔ x = 0,
= x . y , ∀x, y ∈ K ,
ii) xy
iii) x + y ≤ x + y ,
∀x, y ∈ K .
Nếu thay (iii) bởi điều kiện mạnh hơn
iv) x + y ≤ max { x , y } ,
∀x, y ∈ K
9
thì ta được chuẩn không Acsimet trên K . Chuẩn thỏa mãn các điều kiện (i),
(ii), (iii) gọi là chuẩn Acsimet.
Ví dụ.
Chuẩn tầm thường trên K xác định bởi
1
x =
0
Chuẩn | .| được gọi là trù mật nếu tồn tại=
K
x≠0
x = 0.
{ x | x ∈ K } là tập trù mật trong
+ .
Một chuẩn | .| trên K cảm sinh một hàm khoảng cách (metric) d định nghĩa
bởi
d ( x, y ) =| x − y |,
∀x, y ∈ K .
Metric ứng với chuẩn không Acsimet được gọi là siêu metric.
Giả sử K là trường, trên đó xác định một metric d cảm sinh bởi chuẩn không
Acsimet. Ta định nghĩa đĩa mở, đĩa đóng và đường tròn trên K lần lượt bởi
K ( x; r ) =
{ y ∈ K | d ( x, y ) < r},
K [ x; r ] =
{ y ∈ K | d ( x, y ) ≤ r},
K x; r =
{ y ∈ K | d ( x, y ) =
r}.
Tôpô sinh bởi họ các đĩa mở K ( x; r ) được gọi là tôpô không Acsimet trên K .
1.1.2. Trường số phức p-adic.
Một ví dụ cho trường không Acsimet là trường các số phức p-adic. Trong
phần này chúng tôi sẽ nhắc lại cách xây dựng trường số phức p-adic p với
p là số nguyên tố.
10
Cho p là số nguyên tố, khi đó, mọi số nguyên a ≠ 0 có thể biểu diễn dạng:
a = p v a′ , với p không chia hết a′ ∈ \ {0} .
trong đó, v ∈ là duy nhất cho mỗi a và p .
Đặt v = v p (a ) . Khi đó, ta có hàm:
v p : \ {0} →
a v p (a ).
Mở rộng hàm v với x=
a
∈ như sau. Đặt
b
v (a) − v p (b),
vp ( x) = p
+∞,
neáu x ≠ 0
neáu x = 0
Khi đó, v p ( x ) là một hàm trên . Do vậy, chúng ta có thể định nghĩa chuẩn
p-adic, ký hiệu là | .| p , trên như sau:
p − vp ( x ) ,
xp =
0,
neáu x ≠ 0
neáu x = 0
Hai chuẩn trên K được gọi là tương đương nếu chúng cảm sinh cùng một
tôpô trên K .
Mệnh đề 1.1.2.1. (Ostrowski).
Mọi chuẩn không tầm thường trên đều tương đương với một chuẩn | . | p với
p là số nguyên tố hay p = ∞ (Ở đây chuẩn | .|∞ là giá trị tuyệt đối thông
thường).
11
Từ định lý này, các chuẩn Acsimet hoặc không Acsimet trên các trường số
còn được gọi là nguyên tố (hữu hạn hoặc vô hạn). Từ đó với mỗi x ∈ * , ta có
công thức:
∏x
p ≤∞
p
=1
được thỏa mãn, trong đó p ≤ ∞ nghĩa là ta lấy tích này trên tất cả các số
nguyên tố trong , bao gồm cả “số nguyên tố ở vô cực”.
Đầy đủ hóa của được tạo bởi tôpô cảm sinh từ | . | p là một trường, được ký
hiệu là p , và chuẩn | . | p trên được mở rộng thành một chuẩn không
Acsimet trên p , vẫn ký hiệu là | .| p và thỏa:
i) Tồn tại phép nhúng ⊂→ p và chuẩn cảm sinh bởi | . | p trên qua
phép nhúng là p-adic. Từ đây về sau, ta sẽ đồng nhất với ảnh của nó
qua phép nhúng trong p .
ii) trù mật trong p .
iii) p đầy đủ.
Trường p thỏa (i), (ii), (iii) là duy nhất sai khác một đẳng cấu bảo toàn
chuẩn và được gọi là trường các số p-adic. p còn có tính chất sau:
iv) Với mỗi x ∈ p* , tồn tại một số nguyên v p ( x) sao cho x p = p
−vp ( x)
, tức
là giá trị p-adic v p trong được mở rộng lên p . Nói cách khác, tập
tất cả các giá trị của và p qua | . | p là trùng nhau và đó là tập
{ p n | n ∈ } ∪ {0} .
12
Từ (iv) dễ thấy
r
( x; r ) p x; , x ∈ p , r ∈ +
p=
p
Như thế vành
=
p =
p (0; p )
p [0;1]
vừa mở vừa đóng và được gọi là vành các số nguyên p-adic, ký hiệu là p .
Ta chứng minh được không gian p là hoàn toàn không liên thông (tức là
thành phần liên thông của mỗi điểm là tập chứa 1 điểm duy nhất là chính nó),
và là không gian tôpô Hausdorff.
Bây giờ xét mở rộng chuẩn tắc p ⊂ K và nhóm Galois G ( K p ) . Đặt:
NK p : K → p
α N K (α ) =
p
∏
σ (α ),
σ ∈G ( K p )
với σ là tự đẳng cấu trên K giữ nguyên các phần tử của p . Chú ý rằng nếu
bậc của mở rộng trường [ K : p ] = n thì N K p (α )= α n , ∀α ∈ p . Ta có
mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.1.2.2.
Giả sử K p là mở rộng chuẩn tắc bậc n. Khi đó tồn tại duy nhất một chuẩn
không Acsimet | .|K trên K mở rộng chuẩn p-adic trên và được xác định như
sau:
xK =
n
N K p ( x) ,
p
13
và trường K đầy đủ với chuẩn | .|K .
Chuẩn không Acsimet duy nhất trên K trong mệnh đề trên được gọi là chuẩn
(giá trị tuyệt đối) p-adic trên K và ta cũng sẽ ký hiệu nó bằng | . | p .
Đặt p là trường đóng đại số của p . Trên p ta trang bị một chuẩn không
Acsimet như sau:
Với mọi x ∈ p , tồn tại một mở rộng chuẩn tắc bậc n sao cho x ∈ K , khi đó
đặt
x=
n
N K p ( x) .
p
Ta có chuẩn x không phụ thuộc vào sự tồn tại của K và nó là chuẩn không
Acsimet trên p . Ta cũng sẽ gọi chuẩn này là chuẩn p-adic và cũng ký hiệu
là | . | p . Tuy nhiên, p không đầy đủ theo chuẩn | . | p .
Đầy đủ hóa của p ứng với tôpô sinh bởi | . | p là một trường được ký hiệu là
p , và được gọi là trường các số phức p-adic. Chuẩn | . | p trên p được mở
rộng thành một chuẩn không Acsimet trên p mà ta vẫn ký hiệu chuẩn này là
| . | p . Chuẩn | . | p trên p thỏa:
i) Tồn tại phép nhúng p ⊂→ p và chuẩn sinh bởi | . | p trên p qua
phép nhúng là p-adic. Từ đây về sau, ta sẽ đồng nhất p với ảnh của
nó qua phép nhúng trong p .
ii) p trù mật trong p .
14
iii) p đầy đủ.
Trường p thỏa (i), (ii) và (iii) là duy nhất sai khác một đẳng cấu bảo toàn
chuẩn và có tính chất sau:
iv) Với mỗi x ∈ p* , tồn tại một số hữu tỉ v p ( x) sao cho x p = p
−vp ( x)
, tức
là giá trị p-adic v p trong p được mở rộng lên p . Và ảnh của p*
qua v p là .
v) p đóng đại số nhưng không compắc địa phương.
1.2. Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số
phức p-adic.
Chi tiết về hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số phức p-adic
có thể tham khảo trong [5].
Ta sẽ xây dựng khái niệm hàm phân hình và hàm chỉnh hình trên một trường
tổng quát K có đặc số khác 0, đóng đại số, đầy đủ với chuẩn không Acsimet
| .| không tầm thường.
1.2.1. Hàm phân hình và Hàm chỉnh hình.
Các khái niệm về dãy, về chuỗi và sự hội tụ của dãy, của chuỗi giống như
trong trường định chuẩn Acsimet. Tuy nhiên với chuẩn không Acsimet ta có
một số tính chất đặc biệt.
Mệnh đề 1.2.1.1.
∞
Chuỗi
∑a
n =0
n
, an ∈ K hội tụ khi và chỉ khi lim an = 0 .
Khi đó ta có:
n→∞
- Xem thêm -