Tài liệu Phần mềm toán học maple và ứng dụng nghiên cứu đa thức nội suy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TÔN NỮ LÊ DIỆU THẢO PHẦN MỀM TOÁN HỌC MAPLE VÀ ỨNG DỤNG NGHIÊN CỨU ĐA THỨC NỘI SUY Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60. 46. 01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Phản biện 1: TS. Lê Hải Trung Phản biện 2: PGS. TS. Huỳnh Thế Phùng Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng 6 năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại:  Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng  Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học có vai trò rất quan trọng, là môn học nền tảng cho các môn học khác: Vật lý, hóa học hay trong các bài toán kinh tế… Nhưng việc dạy và học Toán là không phải dễ dàng. Vậy phải làm sao để dạy và học môn Toán có hiệu quả hơn. Trong giai đoạn hiện nay, có phần mềm Toán trong việc hỗ trợ dạy và học Toán trở nên phổ biến như Maple, Sketchpat… Maple là một phần mềm Toán do Đại học Tổng hợp Waterloo (Canada) xây dựng và đưa vào sử dụng năm 1985. Maple hổ trợ cho cả tính toán số và tính toán hình thức, cũng như hiển thị. Với khả năng tính toán, minh họa trực quan, Maple có khả năng lập trình, các gói lệnh tự học gắn liền với toán phổ thông và đại học. Do đó, lập trình Maple là một công cụ rất tốt giúp cho người học và người dạy thuận lợi hơn. Đây là một phần mềm đa dạng và sẽ giúp ích nhiều trong quá trình dạy và học. Vì vậy, dưới sự hướng dẫn của thầy Trần Quốc Chiến, tôi chọn “ Phần mềm toán học Maple và ứng dụng nghiên cứu đa thức nội suy” làm đề tài nghiện cứu cho luận văn thạc sĩ khoa học của mình. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài: “Phần mềm toán học Maple và ứng dụng nghiên cứu đa thức nội suy” nhằm mục đích góp phần thực hiện chủ trương ứng dụng công nghệ thông tin để nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán. Hệ thống hóa lại các kiến thức về Đa thức nội suy và ứng dụng của Maple trong Đa thức nội suy. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu: Đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton và ứng dụng của chúng trong phần mền toán học maple. 3.2. Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm, định lý liên quan đến đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newtơn và phần mền toán học maple. 4. Phương pháp nghiên cứu 2 Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu ( sách, báo và các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài luận văn ) để thu thập thông tin nhằm hệ thống lại các vấn đề một cách lôgic, tìm hiểu cách sử dụng phần mền toán học maple và tìm hiểu các bài toán, các ví dụ minh họa. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn về phần mềm maple và các ứng dụng của nó. Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy. 6. Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương : Chương 1: Phần mềm maple Chương này trình bày cách sử dụng phần mềm Maple, các câu lệnh toán tử, hàm, hằng, các phép toán cơ bản và các hàm dùng để tìm đa thức nội suy. Chương 2: Đa thức nội suy Chương này trình bày các định nghĩa, tính chất, định lý, ví dụ về đa thức nội suy lagrange, sai số của đa thức nội suy, sai phân và đa thức nội suy newtơn. Chương 3: Ứng dụng phần mềm Maple trong Đa thức nội suy Chương này trình bày một số ứng dụng của phần mềm Maple để tìm các đa thức nội suy lagrange và đa thức nội suy newtơn. CHƯƠNG 1 PHẦN MỀM MAPLE 1.1. CÁC THAO TÁC ĐẦU TIÊN 1.1.1. Nhập các biểu thức Maple cho phép nhập ba loại dữ liệu là lệnh, công thức và văn bản. Mỗi lệnh trong Maple phải kết thúc bằng dấu (:) hoặc dấu (;). Để thực hiện lệnh đó ta nhấn Enter. Nếu lệnh được kết thúc bằng dấu (;) thì kết quả sẽ được hiển thị trên màn hình. Nếu lệnh được kết thúc bằng dấu (:) thì kết quả sẽ không hiển thị trên màn hình. 1.1.2. Tập ký tự Bao gồm bảng chữ cái tiếng Anh (kể cả chữ hoa và chữ 3 thường) Chữ số: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chú ý: Maple phân biệt chữ hoa và chữ thường. 1.1.3. Toán tử, hàm và hằng 1.1.4. Tính toán các giá trị thập phân của biểu thức 1.2. PHÉP GÁN VÀ TÍNH TOÁN 1.2.1. Biến 1.2.2. Phép gán 1.2.3. Biến tự do và biến ràng buộc 1.3. CÁC HÀM TÍNH TOÁN 1.3.1. Tính toán trên số nguyên 1.3.2. Tính toán trên biểu thức 1.4. ĐỐI TƯỢNG TRONG MAPLE 1.4.1. Các biểu thức cơ bản a. Kiểu +, * và ^ Các biểu thức gồm các hằng hữu tỉ, biến và các toán tử +, -, *, / và ^ được chia thành ba kiểu cơ bản như sau. Kiểu +: là các biểu thức dạng x y, x y, x y x, y, z là z với các biểu thức. Kiểu *: là các biểu thức dạng x * y, x * y * z, x * y / z với x, y, z là các biểu thức. Ÿ Kiểu ^ : là các biểu thức dạng x y,1/ x với x, y là các biểu thức. b. Các hàm whattype, op, nops Hàm whattype expr : trả về kiểu biểu thức expr . Hàm op expr : trả về dãy các thành phần của biểu thức expr . Hàm nops expr : trả về các số lượng các thành phần của biểu thức expr . Hàm op  n, expr : trả về thành phần thứ n của biểu thức expr . Hàm op 0, expr : trả về kiểu của biểu thức expr . c. Kiểu hàm Hàm op 0, expr : trả tên hàm f . 1.4.2. Biểu thức dãy Hàm op a..b, expr : trả về dãy các thành phần thứ a đến thành phần thứ b của biểu thức expr . s  i  trả về thành phần thứ i của dãy s . sa..btrả về dãy thành phần a đến thành phần thứ b của dãy s . 1.5. GIẢI TÍCH 1.5.1. Giới hạn a. Giới hạn của biểu thức Cho biểu thức p và tham số x . Hàm limit p, x a : Trả về giới hạn của p khi x tiến đến a . Hàm limit p, x a, right : Trả về giới hạn của p khi x tiến đến a bên phải. Hàm limit p, x a,left : Trả về giới hạn của p khi x tiến đến a bên trái. Hàm limit p, x infinity : Trả về giới hạn của p khi x tiến . Hàm limit p, x infinity : Trả về giới hạn của p khi x tiến . Hàm limit p, x infinity, real : Trả về giới hạn của p khi tiến . x Hàm Limit p, x a : Trả về biểu thức giới hạn. Hàm value...: Tính giá trị giới hạn. b. Giới hạn của biểu thức phụ thuộc vào tham số Hàm assume (<điều kiện>): thiết lập điều kiện đối với tham số. c. Giới hạn của hàm Hàm limit f x  , x a : trả về giới hạn của hàm f x khi x tiến đến a . Hàm Limit f x  , x a …: trả về biểu thức giới hạn. Hàm value...: tính giá trị giới hạn. 1.5.2. Đạo hàm a. Đạo hàm của biểu thức một biến Cho biểu thức p tham số x . Hàm diff p, x : trả về đạo hàm của p theo x . p, x : trả về biểu thức đạo hàm của Hàm Diff p theo x . Hàm value...: trả về giá trị đạo hàm của p theo x . Hàm diff p, x$n: trả về đạo hàm bậc n của p theo x . Hàm Diff p, x$n: trả về biểu thức đạo hàm bậc n của p theo x . Hàm value...: trả về giá trị đạo hàm của p theo x . b. Đạo hàm riêng của biểu thức nhiều biến Cho biểu thức p và tham số x1, x2,..., xn . Hàm diff p p, x1, x2,..., xn: trả về đạo hàm riêng bậc n của theo x1 x2 ,…, xn . , Hàm Diff p, x1, x2,..., xn : trả về biểu thức đạo hàm riêng   bậc n của p theo x1 x2 ,…, xn . , c. Đạo hàm của hàm một biến Cho hàm f biến x . Hàm D f : trả về đạo hàm f ' của f theo x . Hàm unapply p, x: chuyển biểu thức p về dạng hàm theo biến x . Hàm  D @@ n f : trả về đạo hàm bậc n của f theo x . 1.5.3. Đồ thị hàm số a. Hàm 1 biến Đồ thị 2D. Cú pháp: plot f x  , x hoặc plot f , a..b. a..b Nếu không khai báo miền giá trị của x thì Maple mặc định là 10,10. b. Hàm 2 biến Đồ thị 3D. Cú pháp: plot3d f , x a..b, y c..d . 1.5.4. Tính tổng và tích a. Tính tổng Cho hàm f (k) tham số k . Hàm sum f  k  , k trả về tổng bất định f (1)  f (2) ...  f  k . : Hàm Sum f  k  , k : trả về biểu thức tổng bất định  f (k ) . Hàm value...: tính giá trị biểu thức. b. Tính tích Cho hàm f (k) tham số k , số nguyên m , n . Hàm product f  k  , k m..n: trả về tích f  m  . f  m 1... f  n . n Hàm Product f  k  , k m..n: trả về biểu thức tích ’f (k ) . k m Hàm value...: tính giá trị biểu thức. 1.6. LẬP TRÌNH TRONG MAPLE 1.6.1. Chương trình trong maple a. Nhập dữ liệu từ bàn phím Hàm readstat '' prompt '': hiện dấu nhắc về dự liệu nhập từ bàn phím. prompt  trả b. Xuất dữ liệu ra màn hình Hàm print  data1, hiện thỉ dữ liệu ra màn hình. Lưu data2,... ý: xâu ký tự đặt trong dấu ‘’. Chương trình là tập hợp nhiều lệnh thực hiện một công việc phức tạp. Để tạo chương trình trong maple ta có thể làm theo các cách sau c. Gộp lệnh sau (1) Viết và thực hiện từng lệnh, (2) Đánh dấu (bôi đen) các lệnh rồi (3) ghép các lệnh lại thành chương trình bằng thực hiện các lệnh thực đơn Edit\Split or Join\Join Execution Groups ( phím tắt F4). Để thực hiện chương trình, đưa con trỏ vào bất cứ chỗ nào trong đoạn chương trình và gõ ENTER. d. Gộp lệnh trước Viết các lệnh kế tiếp nhau nhưng không thực hiện, sử dụng tổ hợp SHIFT + ENTER để xuống dòng. Để thực hiện chương trình, đưa con trỏ vào bất cứ chỗ nào tỏng đoạn chương trình và gõ ENTER. 1.6.2. Các cấu trúc điều khiển a. Lệnh rẽ nhánh Cú pháp: if condition expression then statement sequence elif condition expression then statement sequence else statement sequence endif Chức năng: Nếu điều kiện condition expression đúng thì thực hiện các câu lệnh sau then hoặc sau else tương ứng. b. Vòng lặp for Cú pháp: for nam e from expr1 by expr0 do statement sequence hoặc for nam e in exprL to expr2 while condition end do; while condition do statement sequence end do; Chức năng: Vòng lặp for được sử dụng để thực hiện dãy các lệnh statement sequence . Mỗi lần lập tương ứng một giá trị của biến name sau for. Trong dạng thứ nhất, biến name xuất phát từ tiếp theo cộng thêm bước nhảy expr2 expr1 , mỗi lần expr0 , cho tới khi vượt quá cận trên hoặc không thỏa điều kiện condition thì kết thúc. Trong dạng thứ hai, biến name lần lượt lấy các phần tử trong danh sách exprL và thỏa điều điện condition . 1.6.3. Thủ tục và hàm a. Khái niệm thủ tục trong maple Chương trình trong maple có nhiều bất tiện, như phải mở chương trình nguồn, đưa con trỏ vào chương trình gõ ENTER, dễ làm hỏng chương trình. Maple cho tạo lập và sử dụng chương trình linh hoạt hơn bằng thủ tục (procedure). Thủ tục là chương trình được truy xuất thông qua định danh. Ngoài các thủ tục của Maple trong các gói (package), thủ tục có thể được tạo lập, biên dịch, được nạp vào bộ nhớ để sử dụng. b. Xây dựng thủ tục Khai báo thủ tục: procedure _ name :procparameter _ sequence local local _ sequence global global _ sequence options options _ sequence statements _ sequence end; trong đó procedure _ name là tên thủ tục parameter _ sequence là dãy các tham số truyền cho thủ tục. local local _ sequence là dãy các biến cục bộ, chỉ có giá trị global global _ sequence sử dụng trong phạm vi thủ tục. là dãy các biến toàn cục, có giá trị sử statements _ sequence dụng trong và ngoài phạm vi thủ tục. là dãy các câu lệnh của thủ tục. Nạp thủ tục: Sau khi viết xong thủ tục, ta để con trỏ vào thủ tục và gõ ENTER. Thực hiện thủ tục Gọi tên thủ tục proceduce _ name ... với các tham biến đặt trong dấu ngoặc, nếu có, hoặc. proceduce _ value :proceduce _ name ... với các tham biến đặt trong dấu ngoặc, nếu có. Lưu ý: Thủ tục trả về giá trị cuối cùng trước khi kết thúc thủ tục. c. Tham số Thủ tục proc _ ở trên còn bất tiện vì muốn giải phương eq1 trình khác ta lại phải nhập các hệ số a,b, c . Maple cho phép truyền tham số cho thủ tục. Có hai loại tham số: Tham trị chỉ đơn giản truyền giá trị cho thủ tục, còn tham biến, ngoài khả năng truyền giá trị nó còn có thể lưu kết quả tính toán của thủ tục, sử dụng cho công việc ngoài thủ tục. Tham biến được khai báo trong thủ tục như sau: :: . CHƯƠNG 2 ĐA THỨC NỘI SUY 2.1. BÀI TOÁN NỘI SUY 2.1.1. Vấn đề nội suy cho một lưới các điểm chia ( điểm nút ) xi , Trên đoạn a x  b i 0, 1, 2, ..., n : a x1  x0 , , trị của hàm số y  f (x) là sau: X x0 x2 ,..., xn b và tại các xi cho các giá nút yi  f (xi ) , i 0, 1, 2, ..., viết thành bảng n xn1 xn x1 x2 … yn1 yn y0 y1 y2 Y … Hãy xây dựng một đa n thức bậc1 n: n Pn (x) a 0  a1 ... an1 x a n x x Sao cho Pn (x) trùng f (x) tại các xi , nghĩa là : nút với Pn (x) yi , i 0, 1, 2, ..., n (2.1) f (x) Đa thức Pn (x) gọi là đa thức nội suy của . hàm 2.1.2. Sự duy nhất của đa thức nội suy Định lý: Đa thức P (x) ( bậc n ) sinh ra từ bảng sau thỏa n mãn điều kiện (2.1) là duy nhất. 2.2. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE 2.2.1. Đa thức nội suy Lagrange Xét hàm số y  f (x) trên đoạn a,b xi Œ a,b ta đã biết giá trị yi  f (xi ) và giả sử tại i 0, n n 1 mốc Từ bảng số trên ta xây dựng đa thức Pn (x) bậc không quá n sao cho thỏa mãn điều kiện: Pn xi yi i 0, n (2.2) Theo cách của Lagrange, trước hết lập các đa thức bậc n , L (x) i thỏa mãn điều kiện: (2.3) 1 i i, j 0,   x j   j Ta có: n 0  i j Li x Ai x x0 x x1 ...x xi 1 x xi 1 ...x xn Li    Mà Li xi 1 Ai xi x0 xi x1 ...xi xi 1 xi xi 1 ...xi  xn  A i  1 xi x0 xi x1 ...xi xi 1 xi xi1 ...xi xn  Li x  x x0 x x1 ...x xi 1 x xi1 ...x xn  xi x0 xi x1 ...xi xi1 xi xi 1 ... xi xn  (2.4) là đa thức bậc n và thỏa mãn điều kiện (2.3) n Ta chọn Ta có Pn x Li x  yi (2.5) i0 n Pn  x j Li  x  y y j Do yi  f nên xi , i j j 0 i 0, n đã có Pn x  là đa thức bậc n , và từ (2.3) , (2.4) ta suy ra Pn x thỏa mãn điều kiện (2.2). Đa thức dạng (2.5) gọi là đa thức nội suy Lagrange, còn đa thức dạng (2.4) gọi là đa thức cơ sở của Lagrange.