Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Phân loại đồng chất các p nhóm theo nhóm tiềm lực...

Tài liệu Phân loại đồng chất các p nhóm theo nhóm tiềm lực

.DOCX
29
56
98

Mô tả:

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG BÙI THỊ MINH HẢO PHÂN LOẠI ĐỒNG CHẤT CÁC p – NHÓM THEO NHÓM TIỀM LỰC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2008 2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴẴNG Người hướng dẫẫn khoa học: TS. NGUYỄẴN NGỌC CHÂU Phản biện 1:………………………………………… Phản biện 2:………………………………………… Luận văn sẽẫ ñược bảo vệ tại Hội ñồồng chẫấm Luận văn tồất nghiệp thạc sĩ Phương pháp toán sơ cẫấp họp tại Đại học Đà Năẫng vào ngày …tháng…năm 2009 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Năẫng - Thư viện Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Năẫng 3 MỞ ĐẦU I. Lý do chọn ñề tài Hai nhóm G và H ñược gọi là ñồồng chẫất (isoclinic) nếấu tồồn tại hai ñẳng cẫấu và sao cho biểu ñồồ sau ñây giao hoán [H, H] [G, G] trong ñó Z(G) và [G, G] lẫồn lượt là nhóm con tâm và nhóm con giao hoán tử của G, bởi ( , ) và là các ánh xạ ñược cho [x, y], với x, y thuộc G hoặc x, y thuộc H. Quan hệ ñồồng chẫất ñược ñịnh nghĩa như trên là một quan hệ tương ñương trên tập các nhóm. Mồẫi lớp tương ñương ñược gọi là một lớp ñồồng chẫất (isoclinic class) hay còn gọi là một họ (family). Nếấu hai nhóm G và H cùng thuộc một họ, ta kí hiệu . Nhóm K ñược gọi là nhóm tiếồm lực (capable group) nếấu tồồn tại một nhóm G sao cho . Bài toán phân loại ñồồng chẫất các nhóm G theo nhóm tiếồm lực K, nghĩa là các nhóm G sao cho , ñã ñược P.Hall ñếồ ra năm 1939 và ñếấn nay vẫẫn còn là một bài toán mở. Cho p là một sồấ nguyên tồấ, phẫồn tử, (n lẫồn) và G là một p-nhóm hữu hạn sao cho G/Z(G) Với là trường hữu hạn gồồm p . Khi n = 0 thì G là một nhóm giao hoán. n > 0, theo P.Hall, là nhóm tiếồm lực khi và chỉ khi n ≥ 2 . Bài toán phân loại ñồồng chẫất các nhóm theo nhóm tiếồm lực ñã ñược sự quan tâm của nhiếồu người, chẳng hạn M.Hall và J.Senior, R.James, Nguyếẫn Ngọc Châu .... Đặc biệt, trong bản tóm tăất luận án PTS của Nguyếẫn Ngọc Châu (1988) ñã ñưa ra ñược một bẫất biếấn của lớp ñồồng chẫất những nhóm, theo nhóm tiếồm lực , gọi là ñộ răấn của họ và ñã chứng tỏ ñược tính hiệu quả của bẫất biếấn ñộ răấn ñồấi với bài toán phân loại, ñồồng thời bài toán phân loại ñồồng chẫất các 2- nhóm theo nhóm tiếồm lực cũng ñã ñược giải quyếất xong. Để tìm hiểu bài toán này tôi chọn ñếồ tài luận văn thạc sĩ của mình là: “Phân loại ñồng chất các p-nhóm theo nhóm tiềm lực II. ”. Mục ñích và nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu p- nhóm hữu hạn và các tính chẫất của nó. - Nghiên cứu quan hệ ñồồng chẫất trên tập các nhóm. - Nghiên cứu ma trận ñặc trưng của các họ nhóm theo nhóm tiếồm lực . - Nghiên cứu ñộ răấn cũng như một sồấ bẫất biếấn khác của các lớp ñồồng chẫất. - Tìm hiểu sự tác ñộng của các ma trận sơ cẫấp lên ma trận ñặc trưng của các lớp ñồồng chẫất. - Tìm dạng chuẩn của ma trận ñặc trưng ñồấi với từng lớp ñồồng chẫất. - Phân lớp ñồồng chẫất các p- nhóm theo nhóm tiếồm lực III. . Phương pháp nghiên cứu - Đọc các tài liệu vếồ nhóm, p- nhóm hữu hạn và các tài liệu liên quan ñếấn bài toán phân loại ñồồng chẫất các nhóm. - Khảo sát bình phương ngoài của các ma trận sơ cẫấp. - Khảo sát sự tác ñộng của các ma trận sơ cẫấp lên ma trận ñặc trưng của các lớp nhóm. - Sử dụng các bẫất biếấn của lớp ñồồng chẫất, kếất hợp với việc tìm dạng chuẩn của ma trận ñặc trưng ñể tiếấn hành phân lớp các p- nhóm theo nhóm tiếồm lực IV. . Cấu trúc luận văn Mở ñẫồu Chương I. p – nhóm và quan hệ ñồồng chẫất. Chương II. Phân loại ñồồng chẫất các p- nhóm theo nhóm tiếồm lực . Kếất luận Danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1. p-NHÓM HỮU HẠN VÀ QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT Để thuận tiện cho người ñọc, chương này nhăấc lại một sồấ khái niệm và kếất quả quen biếất vếồ p- nhóm hữu hạn và quan hệ ñồồng chẫất giữa các nhóm. Các chi tiếất liên quan cũng như các phép chứng minh có thể xem trong các tài liệu vếồ lý thuyếất nhóm. 1.1. p- Nhóm hữu hạn -1 - Cho một nhóm G và x, y □ G. Ta có các kí hiệu: [x, y] = x y 1 xy gọi là giao hoán tử của x và y; [G, G] = là nhóm con sinh bởi tẫất cả các giao hoán tử của x và y, gọi là nhóm con giao hoán tử của G; Z(G) = { z □ G : [z, x] = 1 , là nhóm con tâm của G; [G, G] và Z(G) là các nhóm con chuẩn tăấc của G. Một nhóm G có tính chẫất [G, G] □ Z(G) ñược gọi là nhóm lũy linh lớp 2. 1.1.1. Mệnh ñếồ: Với x, y, z □ G, ta có [x, y] -1 = [y, x] y [xy, z] = [x, z] [y, z] z [x, yz] = [x, z] [x, y] 1.1.2. Định nghĩa: Một p- nhóm A ñược gọi là aben sơ cẫấp nếấu A p aben và mọi phẫồn tử x □ A ñếồu thỏa mãn x = 1. Mọi nhóm aben ñếồu ñược xem như một Z- modun khi phép toán của nhóm ñược viếất theo phép cộng. Đồấi với p- nhóm aben sơ cẫấp A, cẫấu trúc modun ñó cảm sinh tự nhiên một cẫấu trúc Zpmodun, hay nói cách khác A là một không gian vectơ trên trường Zp. Một ñồồng cẫấu giữa hai nhóm aben sơ cẫấp là một ánh xạ tuyếấn tính giữa những không gian vectơ tương ứng. 1.1.3. Mệnh ñếồ: i) Giả sử G là một p- nhóm sao cho G/Z(G) , n ≥ 2, và {xiZ(G)}, i = 1,2,…,n, là một cơ sở của G/Z(G), khi ñó [G, G] là aben sơ cẫấp và { [xi, xj]; 1 ≤ i < j ≤ n} là một hệ sinh của [G, G]. ii) Nếấu G là một p- nhóm lũy linh lớp 2, ta có [G; G] là aben sơ cẫấp G/Z(G) là aben sơ cẫấp. 1.1.4. Định nghĩa: Giả sử G là một nhóm, a . Tập con -1 CG(a) ={ x □ G | x ax = a } là một nhóm con của G, và ñược gọi là nhóm tâm hóa của phẫồn tử a trong nhóm G. 1.1.5. Định nghĩa: Cho G là một nhóm; a, x □ G. Ký hiệu x -1 a = x ax và gọi là phẫồn tử liên hợp với a bởi phẫồn tử x. 1.1.6. Mệnh ñếồ: Cho một nhóm G. Trên G ta xác ñịnh một quan hệ hai ngôi R như sau: a, b □ G, aRb . Khi ñó quan hệ R là quan hệ tương ñương trên nhóm G và ñược gọi là quan hệ liên hợp. 1.1.7. Bổ ñếồ: Cho G là một nhóm, khi ñó i) f: G/CG(a) Ca là một song ánh. ii) Z(G) ≤ CG(a). Nếấu G không giao hoán thì Z(G) CG(a). Mệnh ñếồ: Cho một nhóm hữu hạn G, 1.1.8. , ta có i) ii) | Ca| = [G : CG(a)] iii) | Ca| ≤ | [G, G] | iv) | Ca| ≤ | G/Z(G)|. Nếấu nhóm G là một nhóm không giao hoán thì |Ca| < |G/Z(G)| 1.1.9. Hệ quả: n Giả sử G là một p-nhóm hữu hạn có cẫấp p , k h trên ta có k ≤ min{h,t}. |Ca| = p , |G/Z(G) | = p và t | [G, G] | = p , khi ñó theo mệnh ñếồ Nếấu nhóm G không giao hoán thì k < h. Khi G là một p-nhóm hữu hạn, ký hiệu jk(G) là sồấ lớp liên k hợp có ñộ dài p trong G. 1.2. Quan hệ ñồng chất 1.2.1. Định nghĩa: Hai nhóm G và H ñược gọi là ñồồng chẫất (isoclinic) nếấu tồồn tại hai ñẳng cẫấu và sao cho biểu ñồồ sau ñây giao hoán [G, G] [H, H] trong ñó Z(G) và [G, G] lẫồn lượt là nhóm con tâm và nhóm con giao hoán tử của G, bởi ( , ) và là các ánh xạ ñược cho [x, y], với x, y thuộc G hoặc x, y thuộc H. Từ ñịnh nghĩa ta thẫấy răồng quan hệ ñồồng chẫất là một quan hệ tương ñương trên tập các nhóm, mồẫi lớp tương ñương ñược gọi là một lớp ñồồng chẫất (isoclinic class), hay còn gọi là một họ (family). Nếấu G và H là hai nhóm thuộc cùng một họ, ký hiệu G H. ñặc trưng Rõ ràng ánh xạ họ chứa nhóm G nên ta gọi là ánh xạ cẫấu trúc của họ. 1.2.2. Định nghĩa: Trong một họ nhóm, các nhóm có cẫấp nhỏ nhẫất ñược gọi là nhóm nguồồn (stem group) của họ ñó. 1.2.3. Mệnh ñếồ: G là một nhóm nguồồn 1.2.4. Định nghĩa: Một nhóm K ñược gọi là nhóm tiếồm lực (capable group), nếấu tồồn tại một nhóm G sao cho G/Z(G) K. Xét quan hệ ñồồng chẫất trên các nhóm hữu hạn, ta có các mệnh ñếồ sau 1.2.5. Mệnh ñếồ: Giả sử K là một p-nhóm aben hữu hạn kiểu (n1, n2,…, nt), n1 ≥ n2 ≥…≥ nt > 0, t ≥ 2. K là một nhóm tiếồm lực khi và chỉ khi n1 = n2. Đặc biệt, nhóm aben sơ cẫấp , là một nhóm tiếồm lực khi n ≥ 2. 1.2.6. Mệnh ñếồ: Nếấu G H và |G| = |H| , ta có (jk(G)) = (jk(H)). 1.3. Ma trận ñặc trưng và ñộ rắn của một họ nhóm 10 Trong mục này cũng như trong các phẫồn sau, n là sồấ tự nhiên, q= , Zp là trường hữu hạn gồồm p phẫồn tử . Được gợi ý từ ánh xạ cẫấu trúc , phẫồn ñẫồu mục này, băất ñẫồu với việc trình bày ánh xạ chẫấp nhận ñược, ma trận chẫấp nhận ñược, và quan hệ ñồồng chẫất giữa các ánh xạ và ma trận này. Cho một không gian vectơ n – chiếồu V trên trường Zp, V V tenxơ cẫấp hai của V. Đặt N là không gian con của V ra bởi các phẫồn tử v v. Ta nhớ răồng V (2) = (V V, sinh V)/N là bình phương ngoài (hay lũy thừa ngoài cẫấp hai) của V. Ta có (2) dimV = q. Với v, v’ □ V, viếất v Nếấu là ánh xạ song tuyếấn tính thay phiên thì tồồn tại duy nhẫất một ánh xạ tuyếấn tính (v (2) v’) + N □ V . v’ = ( v v’) = : V (2) U sao cho ( v, v’). 1.3.1. Định nghĩa: Bình phương ngoài một ánh xạ tuyếấn , ký hiệu tính là ánh xạ tuyếấn tính cho bởi (v v’) = Đồấi với một cơ sở X = { xi ; 1 ≤ i ≤ n } của V, ta ký hiệu X (2) = { xi (2) xj ; 1 ≤ i < j ≤ n } một cơ sở của V . Cho X, X’ lẫồn lượt là cơ sở của V, V’. Ma trận biểu diếẫn một ánh xạ tuyếấn tính hoặc kiểu theo X, X’ sẽẫ ñược viếất nếấu không cẫồn chỉ rõ cơ sở. Một ma trận B gọi là có (n,t) nếấu B = một , với là ánh xạ tuyếấn tính nào ñó. 1.3.2. Định nghĩa: Q = (qij) cẫấp Bình phương ngoài của một ma trận vuông n, ký hiệu là ma trận vuông cẫấp (các hàng và các cột ñược săấp theo quan hệ thứ tự từ ñiển), và ñược xác ñịnh bởi Với ánh xạ tuyếấn tính có , ta . 1.3.3. Mệnh ñếồ: Với hai ma trận vuông Q và Q’, ta dếẫ dàng chứng minh ñược (QQ’) (2) = . 1.3.4. Định nghĩa: Đồấi với hai ánh xạ song tuyếấn tính thay phiên , ta gọi , nếấu tồồn tại ñẳng cẫấu ñồồng chẫất với , viếất sao cho . Rõ ràng quan hệ ñồồng chẫất ở trên là một quan hệ tương ñương. 1.3.5. Định nghĩa: Một ánh xạ tuyếấn tính nhận ñược nếấu thỏa mãn hai ñiếồu kiện sau: (i) là toàn ánh. (ii) không suy biếấn, nghĩa là { gọi là chẫấp 1.3.6. Định nghĩa: Ma trận chẫấp nhận ñược là ma trận biểu diếẫn một ánh xạ chẫấp nhận ñược. Nếấu V là không gian vectơ n chiếồu, U là không gian vectơ t chiếồu, ta gọi ma trận của ánh xạ chẫấp nhận ñược là ma trận chẫấp nhận ñược kiểu (n,t). Giả sử e = { el; 1 ≤ l ≤ n } và u = { ui; 1 ≤ i ≤ t } lẫồn lượt là cơ sở của không gian vectơ n chiếồu V, n > 1 và không gian vectơ t chiếồu U. Khi ñó ma trận biểu diếẫn ánh xạ tuyếấn tính ñồấi (2) với cặp cơ sở e và u là với bi,hk ñược xác ñịnh từ hệ thức . 12 13 hk (n-1)n Trong ñó các cột ñược ñánh chỉ sồấ hk, h < k, và săấp xếấp theo quan hệ thứ tự từ ñiển. 1.3.7. Mệnh ñếồ: Cho một ma trận chẫấp nhận ñược kiểu (n,t). Khi ñó: i) B có hạng băồng t. ii) Với mồẫi bộ ( sao cho Từ quan hệ ñồồng chẫất giữa các ánh xạ tuyếấn tính, ta có 1.3.8. Định nghĩa: Hai ma trận chẫấp nhận ñược chẫất với nhau, viếất B và ñồồng , nếấu tồồn tại các ma trận khả nghịch P và Q sao cho B . Dếẫ dàng chứng tỏ ñược cả hai quan hệ ñồồng chẫất trong hai ñịnh nghĩa trên là quan hệ tương ñương. Mồẫi lớp tương ñương gọi là một lớp ñồồng chẫất. Từ tính chẫất của ánh xạ và ma trận biểu diếẫn ánh xạ tuyếấn tính, ta có 1.3.9. Định lý: Đồấi với hai ánh xạ song tuyếấn tính thay phiên ta có . Hơn nữa, nếấu , tồồn tại các cơ sở X, Y, X’, Y’ lẫồn lượt của các không gian V, U, V’, U’ sao cho . 1.3.10. Nhận xét: Cho hai ánh xạ song tuyếấn tính thay phiên sao cho . Khi ñó chẫấp nhận ñược khi và chỉ khi chẫấp nhận ñược. Cho một ánh xạ chẫấp nhận ñược . Nếấu U = {0}, ta phải có V = {0}. Một kếất quả cổ ñiển là nếấu dimU = 1 thì dimV phải là một sồấ chăẫn. Hơn nữa, ta có 1.3.11. Mệnh ñếồ: Để tồồn tại một ánh xạ chẫấp nhận ñược , với U ≠ {0}, ñiếồu kiện cẫồn và ñủ là : i) dimV = n ≥ 2, dimU = t, 1 ≤ t ≤ q. i) Nếấu dimU = 1 thì n là một sồấ chăẫn. Cho G là một nhóm sao cho G/Z(G) , n ≥ 2. Khi ñó [G, , 1 ≤ t ≤ q. Một nhóm G như vậy ñược gọi là một G] nhóm kiểu (n, t). Ta có V(G) = G/Z(G) và C(G) = [G,G] lẫồn lượt là không (2) gian vectơ n-chiếồu và t-chiếồu trên trường Zp. Ký hiệu V (G) là lũy thừa ngoài cẫấp hai của không gian V(G). Do G là một nhóm lũy linh lớp 2, nên ánh xạ cẫấu trúc là song tuyếấn tính thay phiên, không suy biếấn. Do ñó cho ta ánh xạ tuyếấn là ánh xạ chẫấp nhận ñược. tính Mệnh ñếồ sau cho phép ta gọi ma trận chẫấp nhận ñược của ánh xạ là ma trận ñặc trưng của họ chứa nhóm G. 1.3.12. Mệnh ñếồ: (i) Với G và H là hai nhóm kiểu (n,t), ta có (ii) Cho V và U lẫồn lượt là Zp-không gian vectơ n-chiếồu và t- chiếồu; . là một ánh xạ chẫấp nhận ñược. Khi ñó tồồn tại một nhóm G kiểu (n,t) sao cho . 1.3.13. Định lý: Tồồn tại một song ánh giữa các họ nhóm kiểu (n,t) và các lớp ñồồng chẫất của các ánh xạ chẫấp nhận ñược từ bình phương ngoài của Zp – không gian n-chiếồu vào Zp – không gian t-chiếồu. Hay nói cách khác, có một song ánh giữa các họ nhóm kiểu (n,t) và các lớp ñồồng chẫất của các ma trận chẫấp nhận ñược kiểu (n,t). Từ ñịnh nghĩa quan hệ ñồồng chẫất giữa các nhóm, rõ ràng họ các nhóm aben tương ứng với ánh xạ chẫấp nhận ñược , với U = {0}. Định lý trên cho phép ta chuyển bài toán phân loại ñồồng chẫất các nhóm kiểu (n,t) vếồ bài toán phân loại ñồồng chẫất các ma trận chẫấp nhận ñược kiểu (n,t). Ký hiệu . k Với □ k , là một dạng song tuyếấn tính thay phiên. Đặt , ta ñịnh nghĩa . * Giả sử h □ C (G) sao cho , khi ñó dạng ñược cho bởi h song tuyếấn tính là không suy biếấn. Do ñó là một sồấ chăẫn và thỏa mãn 2 ≤ n. 1.3.14. Mệnh ñếồ: Cho hai nhóm G và H có kiểu (n,t). Khi ñó . Đồấi với một họ những nhóm kiểu (n,t), theo mệnh ñếồ trên ta ñặt r , với G , và gọi ñó là ñộ răấn của . Vì một ma trận không suy biếấn là tích của một sồấ hữu hạn các ma trận sơ cẫấp nên ñể khảo sát quan hệ ñồồng chẫất giữa các ma trận chẫấp nhận ñược , việc tính bình phương ngoài của các ma trận sơ cẫấp là cẫồn thiếất. Để thuận tiện, chúng tôi nhăấc lại ñịnh nghĩa của chúng. 1.3.15. Định nghĩa: Ký hiệu P(i,j), Q(i,j,m), R(i,c) là những ma trận trên trường K, lẫồn lượt thu ñược từ ma trận ñơn vị băồng cách ñổi 16 hàng i cho hàng j, cộng m lẫồn hàng j cho hàng i và nhân một phẫồn tử c □ K \{0} cho hàng i. Các ma trận P, Q, R ở trên là những ma trận không suy biếấn và ñược gọi là các ma trận sơ cẫấp. Mệnh ñếồ: 1.3.16. (i) (ii) (iii) Trong ñó . 1.3.17. Hệ quả: Khi K là trường Z2, ta (2) có (i)P (i, j) = (ii) (2) Q (i, j) = . 1.3.18. Hệ quả: Bình phương ngoài của một ma trận không suy biếấn là một ma trận không suy biếấn. 17 Chương 2. PHÂN LOẠI ĐỒNG CHẤT CÁC p-NHÓM THEO NHÓM TIỀM LỰC .
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan