1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
BÙI THỊ MINH HẢO
PHÂN LOẠI ĐỒNG CHẤT CÁC p – NHÓM THEO NHÓM
TIỀM LỰC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ
cấp Mã số: 60.46.40
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng – Năm 2008
2
Công trình ñược hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴẴNG
Người hướng dẫẫn khoa học: TS. NGUYỄẴN NGỌC
CHÂU
Phản biện 1:…………………………………………
Phản biện 2:…………………………………………
Luận văn sẽẫ ñược bảo vệ tại Hội ñồồng chẫấm Luận văn tồất nghiệp
thạc sĩ Phương pháp toán sơ cẫấp họp tại Đại học Đà Năẫng vào ngày
…tháng…năm 2009
Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Năẫng
- Thư viện Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Năẫng
3
MỞ ĐẦU
I.
Lý do chọn ñề tài
Hai nhóm G và H ñược gọi là ñồồng chẫất (isoclinic) nếấu tồồn
tại hai ñẳng cẫấu
và
sao cho biểu ñồồ sau ñây giao hoán
[H, H]
[G, G]
trong ñó Z(G) và [G, G] lẫồn lượt là nhóm con tâm và nhóm con
giao hoán tử của G,
bởi ( , )
và
là các ánh xạ ñược cho
[x, y], với x, y thuộc G hoặc x, y thuộc H.
Quan hệ ñồồng chẫất ñược ñịnh nghĩa như trên là một quan
hệ tương ñương trên tập các nhóm. Mồẫi lớp tương ñương ñược
gọi là một lớp ñồồng chẫất (isoclinic class) hay còn gọi là một họ
(family). Nếấu hai nhóm G và H cùng thuộc một họ, ta kí hiệu .
Nhóm K ñược gọi là nhóm tiếồm lực (capable group) nếấu tồồn
tại một nhóm G sao cho
. Bài toán phân loại ñồồng
chẫất các nhóm G theo nhóm tiếồm lực K, nghĩa là các nhóm G sao
cho
, ñã ñược P.Hall ñếồ ra năm 1939 và ñếấn nay vẫẫn
còn là một bài toán mở.
Cho p là một sồấ nguyên tồấ,
phẫồn tử,
(n lẫồn) và G là một p-nhóm hữu hạn
sao cho G/Z(G)
Với
là trường hữu hạn gồồm p
. Khi n = 0 thì G là một nhóm giao hoán.
n > 0, theo P.Hall,
là nhóm tiếồm lực khi và chỉ khi n ≥ 2
.
Bài toán phân loại ñồồng chẫất các nhóm theo nhóm tiếồm lực
ñã ñược sự quan tâm của nhiếồu người, chẳng hạn M.Hall và
J.Senior, R.James, Nguyếẫn Ngọc Châu .... Đặc biệt, trong bản tóm
tăất luận án PTS của Nguyếẫn Ngọc Châu (1988) ñã ñưa ra ñược
một bẫất biếấn của lớp ñồồng chẫất những nhóm, theo nhóm tiếồm lực
, gọi là ñộ răấn
của họ và ñã chứng tỏ ñược tính hiệu quả của bẫất biếấn ñộ răấn ñồấi
với bài toán phân loại, ñồồng thời bài toán phân loại ñồồng chẫất
các 2- nhóm theo nhóm tiếồm lực
cũng ñã ñược giải quyếất xong.
Để tìm hiểu bài toán này tôi chọn ñếồ tài luận văn thạc sĩ
của mình là: “Phân loại ñồng chất các p-nhóm theo nhóm tiềm
lực
II.
”.
Mục ñích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu p- nhóm hữu hạn và các tính chẫất của nó.
- Nghiên cứu quan hệ ñồồng chẫất trên tập các nhóm.
- Nghiên cứu ma trận ñặc trưng của các họ nhóm theo nhóm
tiếồm lực
.
- Nghiên cứu ñộ răấn cũng như một sồấ bẫất biếấn khác của các lớp
ñồồng chẫất.
- Tìm hiểu sự tác ñộng của các ma trận sơ cẫấp lên ma trận
ñặc trưng của các lớp ñồồng chẫất.
- Tìm dạng chuẩn của ma trận ñặc trưng ñồấi với từng lớp
ñồồng chẫất.
- Phân lớp ñồồng chẫất các p- nhóm theo nhóm tiếồm lực
III.
.
Phương pháp nghiên cứu
- Đọc các tài liệu vếồ nhóm, p- nhóm hữu hạn và các tài liệu
liên quan ñếấn bài toán phân loại ñồồng chẫất các nhóm.
- Khảo sát bình phương ngoài của các ma trận sơ cẫấp.
- Khảo sát sự tác ñộng của các ma trận sơ cẫấp lên ma trận
ñặc trưng của các lớp nhóm.
- Sử dụng các bẫất biếấn của lớp ñồồng chẫất, kếất hợp với việc
tìm dạng chuẩn của ma trận ñặc trưng ñể tiếấn hành phân
lớp các p- nhóm theo nhóm tiếồm lực
IV.
.
Cấu trúc luận văn
Mở ñẫồu
Chương I. p – nhóm và quan hệ ñồồng chẫất.
Chương II. Phân loại ñồồng chẫất các p- nhóm theo nhóm tiếồm
lực
.
Kếất luận
Danh mục các tài liệu tham khảo.
Chương 1. p-NHÓM HỮU HẠN VÀ QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT
Để thuận tiện cho người ñọc, chương này nhăấc lại một sồấ
khái niệm và kếất quả quen biếất vếồ p- nhóm hữu hạn và quan hệ
ñồồng chẫất giữa các nhóm. Các chi tiếất liên quan cũng như các phép
chứng minh có thể xem trong các tài liệu vếồ lý thuyếất nhóm.
1.1. p- Nhóm hữu hạn
-1 -
Cho một nhóm G và x, y □ G. Ta có các kí hiệu: [x, y] = x y
1
xy gọi là giao hoán tử của x và y; [G, G] =
là nhóm con sinh bởi tẫất cả các giao hoán tử của x và y, gọi là
nhóm con giao hoán tử của G; Z(G) = { z □ G : [z, x] = 1 ,
là nhóm con tâm của G; [G, G] và Z(G) là các nhóm con chuẩn
tăấc của G.
Một nhóm G có tính chẫất [G, G] □ Z(G) ñược gọi là nhóm
lũy linh lớp 2.
1.1.1.
Mệnh ñếồ: Với x, y, z □ G, ta có
[x, y]
-1
= [y, x]
y
[xy, z] = [x, z] [y, z]
z
[x, yz] = [x, z] [x, y]
1.1.2. Định nghĩa: Một p- nhóm A ñược gọi là aben sơ cẫấp nếấu A
p
aben và mọi phẫồn tử x □ A ñếồu thỏa mãn x = 1.
Mọi nhóm aben ñếồu ñược xem như một Z- modun khi phép
toán của nhóm ñược viếất theo phép cộng. Đồấi với p- nhóm aben sơ
cẫấp A, cẫấu trúc modun ñó cảm sinh tự nhiên một cẫấu trúc Zpmodun, hay nói cách khác A là một không gian vectơ trên trường
Zp. Một ñồồng cẫấu giữa hai nhóm aben sơ cẫấp là một ánh xạ tuyếấn
tính giữa những không gian vectơ tương ứng.
1.1.3. Mệnh ñếồ:
i)
Giả sử G là một p- nhóm sao cho G/Z(G)
, n ≥ 2, và
{xiZ(G)}, i = 1,2,…,n, là một cơ sở của G/Z(G), khi ñó [G, G] là
aben sơ cẫấp và { [xi, xj]; 1 ≤ i < j ≤ n} là một hệ sinh của [G, G].
ii)
Nếấu G là một p- nhóm lũy linh lớp 2, ta có
[G; G] là aben sơ cẫấp
G/Z(G) là aben sơ cẫấp.
1.1.4. Định nghĩa: Giả sử G là một nhóm, a
. Tập con
-1
CG(a) ={ x □ G | x ax = a } là một nhóm con của G, và ñược gọi
là nhóm tâm hóa của phẫồn tử a trong nhóm G.
1.1.5. Định nghĩa: Cho G là một nhóm; a, x □ G. Ký hiệu
x
-1
a = x ax và gọi là phẫồn tử liên hợp với a bởi phẫồn tử x.
1.1.6. Mệnh ñếồ: Cho một nhóm G. Trên G ta xác ñịnh một quan
hệ hai ngôi R như sau:
a, b □ G, aRb
. Khi
ñó quan hệ R là quan hệ tương ñương trên nhóm G và ñược gọi là
quan hệ liên hợp.
1.1.7. Bổ ñếồ: Cho G là một nhóm, khi ñó
i)
f: G/CG(a)
Ca
là một song ánh.
ii)
Z(G) ≤ CG(a). Nếấu G không giao hoán thì
Z(G)
CG(a).
Mệnh ñếồ: Cho một nhóm hữu hạn G,
1.1.8.
, ta có
i)
ii)
| Ca| = [G : CG(a)]
iii)
| Ca| ≤ | [G, G] |
iv)
| Ca| ≤ | G/Z(G)|.
Nếấu
nhóm
G
là
một nhóm
không
giao
hoán
thì
|Ca| < |G/Z(G)|
1.1.9. Hệ quả:
n
Giả sử G là một p-nhóm hữu hạn có cẫấp p ,
k
h
trên ta có
k ≤ min{h,t}.
|Ca| = p , |G/Z(G) | = p và
t
| [G, G] | = p , khi ñó theo mệnh ñếồ
Nếấu nhóm G không giao hoán thì k < h.
Khi G là một p-nhóm hữu hạn, ký hiệu jk(G) là sồấ lớp liên
k
hợp có ñộ dài p trong G.
1.2. Quan hệ ñồng chất
1.2.1. Định nghĩa: Hai nhóm G và H ñược gọi là ñồồng
chẫất (isoclinic) nếấu tồồn tại hai ñẳng cẫấu
và
sao cho biểu ñồồ sau ñây giao hoán
[G, G]
[H, H]
trong ñó Z(G) và [G, G] lẫồn lượt là nhóm con tâm và nhóm con
giao hoán tử của G,
bởi ( , )
và
là các ánh xạ ñược cho
[x, y], với x, y thuộc G hoặc x, y thuộc H.
Từ ñịnh nghĩa ta thẫấy răồng quan hệ ñồồng chẫất là một quan
hệ tương ñương trên tập các nhóm, mồẫi lớp tương ñương ñược
gọi là một lớp ñồồng chẫất (isoclinic class), hay còn gọi là một họ
(family). Nếấu G và H là hai nhóm thuộc cùng một họ, ký hiệu G
H.
ñặc trưng
Rõ ràng ánh xạ
họ chứa nhóm G nên ta gọi
là ánh xạ cẫấu trúc của họ.
1.2.2. Định nghĩa: Trong một họ nhóm, các nhóm có cẫấp nhỏ nhẫất
ñược gọi là nhóm nguồồn (stem group) của họ ñó.
1.2.3. Mệnh ñếồ: G là một nhóm nguồồn
1.2.4. Định nghĩa: Một nhóm K ñược gọi là nhóm tiếồm lực
(capable group), nếấu tồồn tại một nhóm G sao cho G/Z(G)
K.
Xét quan hệ ñồồng chẫất trên các nhóm hữu hạn, ta có các mệnh
ñếồ sau
1.2.5. Mệnh ñếồ: Giả sử K là một p-nhóm aben hữu hạn kiểu
(n1, n2,…, nt), n1 ≥ n2 ≥…≥ nt > 0, t ≥ 2. K là một nhóm tiếồm lực khi
và chỉ khi n1 = n2. Đặc biệt, nhóm aben sơ cẫấp
, là một
nhóm
tiếồm lực khi n ≥ 2.
1.2.6. Mệnh ñếồ: Nếấu G
H và |G| = |H| , ta có (jk(G)) = (jk(H)).
1.3. Ma trận ñặc trưng và ñộ rắn của một họ nhóm
10
Trong mục này cũng như trong các phẫồn sau, n là sồấ tự nhiên,
q=
, Zp là trường hữu hạn gồồm p phẫồn tử .
Được
gợi
ý
từ
ánh
xạ
cẫấu
trúc
, phẫồn ñẫồu mục này, băất ñẫồu với
việc trình bày ánh xạ chẫấp nhận ñược, ma trận chẫấp nhận ñược,
và quan hệ ñồồng chẫất giữa các ánh xạ và ma trận này.
Cho một không gian vectơ n – chiếồu V trên trường Zp, V
V tenxơ cẫấp hai của V. Đặt N là không gian con của V
ra bởi các phẫồn tử
v
v. Ta nhớ răồng V
(2)
= (V
V, sinh
V)/N là bình
phương ngoài (hay lũy thừa ngoài cẫấp hai) của V. Ta có
(2)
dimV = q. Với v, v’ □ V, viếất v
Nếấu
là ánh xạ song tuyếấn tính thay phiên thì tồồn
tại duy nhẫất một ánh xạ tuyếấn tính
(v
(2)
v’) + N □ V .
v’ = ( v
v’) =
: V
(2)
U
sao cho
( v, v’).
1.3.1. Định nghĩa:
Bình phương ngoài một ánh xạ tuyếấn
, ký hiệu
tính
là ánh xạ tuyếấn tính
cho bởi
(v
v’) =
Đồấi với một cơ sở X = { xi ; 1 ≤ i ≤ n } của V, ta ký hiệu
X
(2)
= { xi
(2)
xj ; 1 ≤ i < j ≤ n } một cơ sở của V .
Cho X, X’ lẫồn lượt là cơ sở của V, V’. Ma trận biểu diếẫn
một ánh xạ tuyếấn tính
hoặc
kiểu
theo X, X’ sẽẫ ñược viếất
nếấu không cẫồn chỉ rõ cơ sở. Một ma trận B gọi là có
(n,t) nếấu B =
một
, với
là
ánh xạ tuyếấn tính nào ñó.
1.3.2. Định nghĩa:
Q
=
(qij)
cẫấp
Bình phương ngoài của một ma trận vuông
n,
ký
hiệu
là ma trận vuông cẫấp
(các hàng và các cột
ñược săấp theo quan hệ thứ tự từ ñiển), và ñược xác ñịnh bởi
Với ánh xạ tuyếấn tính
có
, ta
.
1.3.3. Mệnh ñếồ: Với hai ma trận vuông Q và Q’, ta dếẫ dàng
chứng minh ñược
(QQ’)
(2)
=
.
1.3.4. Định nghĩa: Đồấi với hai ánh xạ song tuyếấn tính thay phiên
, ta gọi
,
nếấu tồồn tại ñẳng cẫấu
ñồồng chẫất với
, viếất
sao cho
.
Rõ ràng quan hệ ñồồng chẫất ở trên là một quan hệ tương
ñương.
1.3.5. Định nghĩa: Một ánh xạ tuyếấn tính
nhận ñược nếấu thỏa mãn hai ñiếồu kiện sau:
(i)
là toàn ánh.
(ii)
không suy biếấn, nghĩa là {
gọi là chẫấp
1.3.6. Định nghĩa:
Ma trận chẫấp nhận ñược là ma trận biểu
diếẫn một ánh xạ chẫấp nhận ñược.
Nếấu V là không gian vectơ n chiếồu, U là không gian vectơ t
chiếồu, ta gọi ma trận của ánh xạ chẫấp nhận ñược
là ma trận chẫấp nhận ñược kiểu (n,t).
Giả sử e = { el; 1 ≤ l ≤ n } và u = { ui; 1 ≤ i ≤ t } lẫồn lượt là cơ
sở của không gian vectơ n chiếồu V, n > 1 và không gian vectơ t chiếồu
U. Khi ñó ma trận biểu diếẫn ánh xạ tuyếấn tính
ñồấi
(2)
với cặp cơ sở e và u là
với bi,hk ñược
xác ñịnh từ hệ thức
.
12
13
hk
(n-1)n
Trong ñó các cột ñược ñánh chỉ sồấ hk, h < k, và săấp xếấp theo quan
hệ thứ tự từ ñiển.
1.3.7. Mệnh ñếồ: Cho
một
ma
trận
chẫấp nhận ñược
kiểu (n,t). Khi ñó:
i) B có hạng băồng t.
ii) Với mồẫi bộ (
sao cho
Từ quan hệ ñồồng chẫất giữa các ánh xạ tuyếấn tính, ta có
1.3.8. Định nghĩa: Hai ma trận chẫấp nhận ñược
chẫất với nhau, viếất B
và
ñồồng
, nếấu tồồn tại các ma trận khả nghịch P
và Q sao cho B
.
Dếẫ dàng chứng tỏ ñược cả hai quan hệ ñồồng chẫất trong hai
ñịnh nghĩa trên là quan hệ tương ñương. Mồẫi lớp tương ñương gọi
là một lớp ñồồng chẫất.
Từ tính chẫất của ánh xạ
và ma trận biểu diếẫn ánh xạ tuyếấn
tính, ta có
1.3.9. Định lý: Đồấi với hai ánh xạ song tuyếấn tính thay phiên
ta có
.
Hơn nữa, nếấu
, tồồn tại các cơ sở X, Y, X’, Y’ lẫồn lượt
của
các không gian V, U, V’, U’ sao cho
.
1.3.10. Nhận xét: Cho hai ánh xạ song tuyếấn tính thay phiên
sao cho
.
Khi ñó
chẫấp nhận ñược khi và chỉ khi
chẫấp nhận ñược.
Cho một ánh xạ chẫấp nhận ñược
. Nếấu U = {0},
ta phải có V = {0}. Một kếất quả cổ ñiển là nếấu dimU = 1 thì
dimV phải là một sồấ chăẫn. Hơn nữa, ta có
1.3.11. Mệnh ñếồ: Để tồồn tại một ánh xạ chẫấp nhận ñược
, với U ≠ {0}, ñiếồu kiện cẫồn và ñủ là :
i)
dimV = n ≥ 2, dimU = t, 1 ≤ t ≤ q.
i)
Nếấu dimU = 1 thì n là một sồấ chăẫn.
Cho G là một nhóm sao cho G/Z(G)
, n ≥ 2. Khi ñó [G,
, 1 ≤ t ≤ q. Một nhóm G như vậy ñược gọi là một
G]
nhóm
kiểu (n, t). Ta có V(G) = G/Z(G) và C(G) = [G,G] lẫồn lượt là không
(2)
gian vectơ n-chiếồu và t-chiếồu trên trường Zp. Ký hiệu V (G) là
lũy thừa ngoài cẫấp hai của không gian V(G). Do G là một nhóm lũy
linh lớp 2, nên ánh xạ cẫấu trúc
là
song
tuyếấn tính thay phiên, không suy biếấn. Do ñó
cho ta ánh xạ tuyếấn
là ánh xạ chẫấp nhận ñược.
tính
Mệnh ñếồ sau cho phép ta gọi ma trận chẫấp nhận ñược của
ánh xạ là ma trận ñặc trưng của họ chứa nhóm G.
1.3.12. Mệnh ñếồ:
(i)
Với G và H là hai nhóm kiểu (n,t), ta có
(ii)
Cho V và U lẫồn lượt là Zp-không gian vectơ n-chiếồu và t-
chiếồu;
.
là một ánh xạ chẫấp nhận ñược. Khi ñó tồồn tại
một nhóm G kiểu (n,t) sao cho
.
1.3.13. Định lý: Tồồn tại một song ánh giữa các họ nhóm kiểu (n,t)
và các lớp ñồồng chẫất của các ánh xạ chẫấp nhận ñược từ bình
phương ngoài của Zp – không gian n-chiếồu vào Zp – không gian
t-chiếồu. Hay nói cách khác, có một song ánh giữa các họ nhóm kiểu
(n,t) và các lớp ñồồng chẫất của các ma trận chẫấp nhận ñược kiểu
(n,t).
Từ ñịnh nghĩa quan hệ ñồồng chẫất giữa các nhóm, rõ ràng họ
các nhóm aben tương ứng với ánh xạ chẫấp nhận ñược
, với
U = {0}.
Định lý trên cho phép ta chuyển bài toán phân loại ñồồng
chẫất các nhóm kiểu (n,t) vếồ bài toán phân loại ñồồng chẫất các ma
trận chẫấp nhận ñược kiểu (n,t).
Ký
hiệu
.
k
Với
□
k
,
là một dạng song tuyếấn tính thay phiên.
Đặt
,
ta ñịnh nghĩa
.
*
Giả sử h □ C (G) sao cho
, khi ñó dạng
ñược cho bởi h
song tuyếấn tính
là không suy biếấn. Do ñó
là một sồấ chăẫn và thỏa mãn 2 ≤
n.
1.3.14. Mệnh ñếồ: Cho hai nhóm G và H có kiểu (n,t). Khi ñó
.
Đồấi với một họ những nhóm kiểu (n,t), theo mệnh ñếồ trên ta
ñặt r
, với G
, và gọi ñó là ñộ răấn của .
Vì một ma trận không suy biếấn là tích của một sồấ hữu hạn
các ma trận sơ cẫấp nên ñể khảo sát quan hệ ñồồng chẫất giữa các
ma trận chẫấp nhận ñược , việc tính bình phương ngoài của các ma
trận sơ cẫấp là cẫồn thiếất. Để thuận tiện, chúng tôi nhăấc lại ñịnh
nghĩa của chúng.
1.3.15. Định nghĩa: Ký hiệu P(i,j), Q(i,j,m), R(i,c) là những ma
trận trên trường K, lẫồn lượt thu ñược từ ma trận ñơn vị băồng cách
ñổi
16
hàng i cho hàng j, cộng m lẫồn hàng j cho hàng i và nhân một
phẫồn tử c □ K \{0} cho hàng i.
Các ma trận P, Q, R
ở trên là những ma trận không suy
biếấn và ñược gọi là các ma trận sơ cẫấp.
Mệnh ñếồ:
1.3.16.
(i)
(ii)
(iii)
Trong ñó
.
1.3.17. Hệ quả: Khi K là trường Z2, ta
(2)
có (i)P (i, j) =
(ii)
(2)
Q (i, j) =
.
1.3.18. Hệ quả: Bình phương ngoài của một ma trận không
suy biếấn là một ma trận không suy biếấn.
17
Chương 2. PHÂN LOẠI ĐỒNG CHẤT CÁC p-NHÓM THEO
NHÓM TIỀM LỰC
.
- Xem thêm -