Tài liệu Phần 3. động lực học

3/17/2012 BK TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HỒ CHÍ MINH ĐỘNG LỰC HỌC Nội dung: 2 chương Chương 1: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM Chương 2: ĐỘNG LỰC HỌC HỆ, CƠ HỆ Tài liệu tham khảo: • Đỗ Sanh, … Cơ học (tập 2). NXB Giáo dục. Năm 2009. • Đỗ Sanh, … Bài tập cơ học (tập 2). NXB Giáo dục. Năm 2009. PGS. TS. TRƯƠNG Tích Thiện Tp. Hồ Chí Minh, 01/ 2007 Bộ môn Cơ Kỹ Thuật PGS. TS. Trương Tích Thiện Chương 1: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM 1. 1 Các khái niệm và tiên đề động lực học 1. 1. 1. Các khái niệm 1. Chất điểm ∗ Chất điểm là một điểm có khối lượng của vật rắn. Vật rắn tuyệt đối được xem như là một cơ hệ gồm có vô số chất điểm được nối cứng với nhau. ∗ Khi kích thước của toàn vật rất bé so với kích thước của vùng không gian mà vật rắn chuyển động chiếm được thì toàn vật được phép xem như là một chất điểm, chất điểm này có khối lượng là khối lượng của toàn vật. Ví dụ: Trái đất chuyển động trong vũ trụ. CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 1: Động lực học chất điểm 1 3/17/2012 PGS. TS. Trương Tích Thiện ∗ Khi kích thước của vật rắn không ảnh hưởng đến các đặc trưng chuyển động của vật ấy thì toàn vật rắn ấy cũng được xem như là một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của toàn vật. Ví dụ: Chuyển động tịnh tiến của vật rắn (Điểm đại diện cho vật là trọng tâm G). Trong trường hợp toàn vật rắn được phép xem như là một chất điểm, thì chất điểm ấy được xem như là một vật điểm. 2. Cơ hệ ∗ Cơ hệ: là một tập hợp nhiều chất điểm có sự tương tác cơ học lẫn nhau. Tùy thuộc vào bản chất của sự tương tác này mà cơ hệ sẽ được chia ra làm hai loại: cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do. CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 1: Động lực học chất điểm PGS. TS. Trương Tích Thiện + Cơ hệ tự do là một tập hợp nhiều chất điểm mà sự tương tác cơ học giữa các chất điểm này được biểu thị thuần túy chỉ bằng các lực. Nghĩa là các chất điểm trong cơ hệ tự do có thể dễ dàng thực hiện các chuyển động vô cùng bé từ vị trí đang xét theo mọi hướng sang các vị trí lân cận, nếu có lực tác động, mà không có bất cứ cản trở nào. + Cơ hệ không tự do: Là một tập hợp nhiều chất điểm mà tương tác cơ học giữa các chất điểm trong cơ hệ không chỉ biểu thị bằng lực mà được biểu thị bằng một số điều kiện ràng buộc về hình học và động học khác. Các đối tượng tạo ra các điều kiện ràng buộc về hình học và động học giữa các chất điểm trong cơ hệ được gọi là các liên kết cơ học. 3. Lực Lực là một đại lượng vector được dùng để đo lường sự tương tác cơ học giữa các vật thể với nhau. Nghĩa là khi thực hiện sự tương tác cơ học, các vật thể sẽ truyền cho nhau những lực. CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 1: Động lực học chất điểm 2 3/17/2012 PGS. TS. Trương Tích Thiện Các lực trong bài toán tĩnh học thường là những lực hằng (vector hằng). Nghĩa là các lực này sẽ có điểm đặt, phương chiều, độ lớn không thay đổi theo thời gian. (Hình 1.1). y dây không giãn Điều kiện ràng buộc hình học: M ( x, y ) x2 + y 2 − l 2 ≤ 0 ∗ Các lực trong bài toán động lực học, nói chung, là những lực thay đổi theo thời gian, theo vị trí và theo vận tốc của chất điểm chịu tác động. (Hình 1.2) r r r r F = F (t , r , v ) CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học r F l x Hình 1.1 r r O K r F Hình 1.2 Chương 1: Động lực học chất điểm PGS. TS. Trương Tích Thiện 4. Hệ quy chiếu. ∗ Để khảo sát chuyển động của vật thể ta phải chọn một hệ quy chiếu thỏa tiên đề quán tính của Galiléo. Hệ quy chiếu chính xác được chọn phải gắn liền với một vật đang ở trạng thái cân bằng. Với lập luận này hệ quy chiếu chính xác phải được gắn liền với tâm của mặt trời và phải hướng tới 3 vì sao cố định đối với mặt trời. ∗ Do quỹ đạo của trái đất quay quanh mặt trời là đường cong có bán kính cong lớn (Quỹ đạo của trái đất rất gần với đường thẳng) và do trái đất có tốc độ quay rất chậm nên có thể xem trái đất là tịnh tiến thẳng đều. Vì 2 lý do này mà các nhà cơ học thường chọn trái đất làm hệ quy chiếu cho hầu hết những bài toán động lực học thông thường. CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 1: Động lực học chất điểm 3 3/17/2012 PGS. TS. Trương Tích Thiện 1. 1. 2. Các tiên đề động lực học 1. Tiên đề 1: Tiên đề quán tính. − Một chất điểm nếu không chịu tác động của bất cứ lực nào thì chất điểm ấy sẽ ở trong trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. Hai trạng thái cơ học trên của chất điểm được gọi là trạng thái quán tính của chất điểm − Tiên đề này cung cấp cho chúng ta một tiêu chuẩn để lựa chọn hệ quy chiếu. Hệ quy chiếu nào mà tiên đề 1 được thỏa sẽ được gọi là hệ quy chiếu quán tính 2. Tiên đề 2: Tiên đề cơ bản của động lực học Định luật 2 Newton: Trong hệ quy chiếu quán tính chất điểm sẽ chuyển động có gia tốc cùng phương, cùng chiều với lực tác động lên chất điểm ấy và độ lớn của gia tốc chất điểm sẽ tỷ lệ thuận với độ lớn của lực tác động lên chất điểm và tỉ lệ nghịch với khối lượng với chất điểm ấy. (Hình 1.3) CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học r r r r Fk mk .ak = Fk ⇔ ak = m r k r Do mk > 0 ⇒ ak ↑↑ Fk ; ak = Chương 1: Động lực học chất điểm PGS. TS. Trương Tích Thiện K r ak Fk mk r Fk Hình 1.3 3. Tiên đề 3: Tiên đề tác dụng và phản tác dụng Hai vật thể tương tác cơ học với nhau bởi hai lực có cùng đường tác dụng, cùng độ lớn nhưng ngược chiều (Hình 1.4). (V1 ) (V2 ) Hình 1.4 CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 1: Động lực học chất điểm 4 3/17/2012 PGS. TS. Trương Tích Thiện Chú ý rằng hai lực tác dụng và phản tác dụng trên không phải là hệ lực cân bằng vì chúng tác dụng lên hai vật. 4. Tiên đề 4: Tiên đề về tính độc lập của các lực tác động lên chất điểm. Khi một chất điểm chịu tác động của đồng thời nhiều lực thì vector gia tốc của chất điểm ấy sẽ bằng tổng các vector gia tốc của chất điểm ấy khi nó chịu tác động riêng lẻ của từng lực r (Hình 1.5). r n r r ( i ) r (1) r ( 2) r ( n ) Fn ak = ∑ ak =ak + ak + ... + ak i =1 r r F r (1) F1 ri Với: ak = ;L ak( ) = i ;L mk mk r (i ) ak là gia tốc của chất điểm K khi lực Fi tác động. CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học M K F1 r F3 r aK r F2 Hình 1.5 Chương 1: Động lực học chất điểm PGS. TS. Trương Tích Thiện 5. Tiên đề 5: Tiên đề giải phóng liên kết. Một chất điểm không tự do (chất điểm có liên kết) có thể được biến đổi thành chất điểm tự do bằng cách bỏ đi những liên kết ràng buộc chất điểm ấy và thay vào các liên kết đã bỏ đi bằng các phản lực liên kết. 1.2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm. 1.2.1. Các dạng phương trình vi phân chuyển động của chất điểm. 1. Dạng vector: ∗ Áp dụng định luật 2 của động lực học ∗ Theo động học điểm (Hình 1.6). CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 1: Động lực học chất điểm 5 3/17/2012 PGS. TS. Trương Tích Thiện ʓ s = s(t ) K ( xK , yKr, zK ), mk τ ak O* r akn r rk O n t r ak r Fk (C ) y x r r ak = && rk Hình 1.6 . Do đó dạng vector của phương trình vi phân chất điểm sẽ là: r r , (1) mK .&& = Fk rk CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 1: Động lực học chất điểm PGS. TS. Trương Tích Thiện 2. Dạng tọa độ Descartes. Chiếu phương trình vi phân cấp 2 của (1) lên 3 trục tọa độ ta sẽ thu được hệ 3 phương trình vi phân chuyển động của chất điểm K như sau: x ⎧ mk .&&k = Fkx ⎪ y ⎨mk .&&k = Fky ⎪ m .ʓ̈ = F ⎩ k k kʓ 3. Dạng tọa độ tự nhiên. Phân r r rτ r ak = && = ak + akn rk Chiếu (1) lên hai phương t, n: CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học ⎧ mk .&& = Fkτ s rτ ⎧mk .ak ⎪ ⎪ & ⎨ rn ⇔ ⎨ s2 mk . = Fkn mk .ak ⎪ ⎪ ⎩ ρ ⎩ Chương 1: Động lực học chất điểm 6 3/17/2012 PGS. TS. Trương Tích Thiện 1. 2. 2. Các dạng bài toán động lực học chất điểm. Các bài toán động lực học của chất điểm sẽ được chia ra làm hai dạng bài toán thuận và bài toán ngược. 1. Bài toán thuận: Cho biết quy luật chuyển động của chất điểm, hãy xác định các lực tác động lên chất điểm ấy. Dạng bài toán này rất dễ giải. 2. Bài toán ngược: Cho biết trước các lực tác động lên chất điểm và các điều kiện ban đầu về chuyển động của chất điểm ấy (vận tốc ban đầu, gia tốc ban đầu và vị trí ban đầu của chất điểm), cần xác định quy luật chuyển động của chất điểm ấy. − Bài toán ngược thường phức tạp hơn nhiều so với bài toán thuận vì ta cần phải tích phân phương trình vi phân chuyển động của chất điểm. CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 1: Động lực học chất điểm PGS. TS. Trương Tích Thiện Phương trình vi phân của cơ hệ nhiều chất điểm: − Khảo sát cơ hệ có n chất điểm K. Đối với mỗi chất điểm ta phân các lực tác động lên chất điểm ấy thành 2 lực: nội lực và ngoại lực (Hình 1.7). r Fke • Hệ phương trình vi phân dưới dạng vector cho toàn cơ hệ như sau: r r r ⎧ m1.a1 = F1e + F1i r r ⎪ r m2 .a2 = F2e + F2i ⎪ ⎨ LL ⎪ r r r ⎪mn .an = Fne + Fni ⎩ CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học ri Fk K Hình 1.7 Chương 1: Động lực học chất điểm 7 3/17/2012 PGS. TS. Trương Tích Thiện Chương hai: ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ 2.1. Các đặc trưng hình học - khối lượng hệ. 2.1.1. Khái niệm Chuyển động của cơ hệ không những phụ thuộc vào các lực tác động mà còn phụ thuộc vào một số yếu tố khác ngoài lực như: − Khối lượng của hệ, hình dáng của hệ và sự phân bố khối lượng bên trong hình dáng của hệ. Tất cả những yếu tố có ảnh hưởng đến chuyển động của cơ hệ ngoài các lực tác động sẽ được gọi là các đặc trưng hình học - khối lượng của cơ hệ. CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học cơ hệ PGS. TS. Trương Tích Thiện 2.1.2. Khối lượng, khối tâm của cơ hệ (Hình 2.1). ʓ d Kʓ r rk O x (V ) K , mk Kʓ C r rC Hình 2.1 y ⎧ rkx = xk ⎧ K ( xk , yk , ʓ k ) ⎪ ⎪ uuur Gọi: ⎨ r ⇒ ⎨rky = yk ⎪rk = OK = (rkx , rky , rk ʓ ) ⎪r =ʓ ⎩ ⎩ kʓ k CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học cơ hệ 8 3/17/2012 PGS. TS. Trương Tích Thiện 1. Khối lượng của cơ hệ: ∗ Khối lượng của cơ hệ là một đại lượng vô hướng luôn dương đặc trưng cho mức độ quán tính của cơ hệ. Nó được ký hiệu và xác định như sau: n M = ∑ mk > 0, kg k =1 − Quán tính là một thuộc tính của vật chất phản ánh sự dễ dàng hay khó khăn thay đổi trạng thái cơ học đã có của vật. − Trạng thái cơ học của vật là quy luật chuyển động của vật ấy trong không gian theo thời gian (đứng yên là một trạng thái cơ học đặc biệt của chuyển động). Một vật khó thay đổi trạng thái cơ học đã có sẽ được gọi là vật có quán tính lớn và ngược lại. CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học cơ hệ PGS. TS. Trương Tích Thiện ∗ Khối lượng là một thông số để đo lường quán tính của cơ hệ. Khối lượng càng lớn sẽ biểu thị quán tính càng lớn và ngược lại. − Nếu cơ hệ là một môi trường liên tục thì: n mk = ρk .dV ⇒ M = ∑ ρk .dV = k =1 ∫ ρ .dV (V ) k ; (1) ρk : khối lượng riêng của môi trường. dV : thể tích vi phân. − Nếu cơ hệ của chúng ta là một môi trường liên tục và đồng chất : ρk = const = ρ ; CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học ( 2) Chương hai: Động lực học cơ hệ 9 3/17/2012 PGS. TS. Trương Tích Thiện (1) ⎫ ⎪ ⇒ M = ∫ ρ.dV = ρV ( 2)⎬ ⎪ ⎭ (V) 2. Khối tâm cơ hệ Là một điểm hình học tồn tại trong không gian của hệ, được ký hiệu bằng điểm C và có vị trí được xác định như sau: n r rC = r mk .rk ∑ k =1 M CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học n ⎧ ∑ mk .xk ⎪ ⎪ rCx = xC = k =1 M ⎪ n ⎪ ⎪ ∑ mk . yk ⎪ k =1 ⎨rCy = yC = M ⎪ n ⎪ . ∑ mkʓ k ⎪ ⎪ rCʓ =ʓ C = k =1 M ⎪ ⎪ ⎩ Chương hai: Động lực học cơ hệ PGS. TS. Trương Tích Thiện n r r & vC = rC = r ∑ m .v k =1 k k M CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học n ⎧ & ∑ mk .xk ⎪ & ⎪ vCx = xC = k =1 M ⎪ n ⎪ & ⎪ ∑ mk . yk ⎪ & ⇒ ⎨vCy = yC = k =1 M ⎪ n ⎪ ∑ mk . ʓ̇ k ⎪ ⎪vCʓ = ʓ̇ C = k =1 M ⎪ ⎪ ⎩ Chương hai: Động lực học cơ hệ 10 3/17/2012 PGS. TS. Trương Tích Thiện n r r r & r aC = vC = && = C r mk .ak ∑ k =1 M CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học n ⎧ x ∑ mk .&&k ⎪ ⎪ aCx = &&C = k =1 x M ⎪ n ⎪ y ⎪ ∑ mk .&&k ⎪ y ⇒ ⎨aCy = &&C = k =1 M ⎪ n ⎪ ∑ mk . ʓ̈ k ⎪ ⎪aCʓ = ʓ̈ C = k =1 M ⎪ ⎪ ⎩ Chương hai: Động lực học cơ hệ PGS. TS. Trương Tích Thiện 2.1.3. Moment quán tính của hệ 1. Định nghĩa : a) Moment quán tính của hệ đối với tâm O: Là một đại lượng vô hướng, dương biểu thị quán tính của cơ hệ khi cơ hệ quay quanh tâm O. n n J 0 ≡ I 0 = ∑ ⎡ mk .(OK ) ⎤ = ∑ mk .rk2 > 0 , kg.m2 ⎣ ⎦ 2 k =1 Mà: k =1 2 2 rk2 = xk + yk + ʓ2 k n Nên: 2 2 J 0 = ∑ ⎡ mk . ( xk + yk + ʓ2 ) ⎤ k ⎦ ⎣ k =1 CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học cơ hệ 11 3/17/2012 PGS. TS. Trương Tích Thiện b) Moment quán tính của hệ đối với một trục: − Đối với trục ʓ : Là một đại lượng vô hướng, dương phản ánh quán tính của hệ khi hệ quay quanh trục ʓ . Nó được ký hiệu như sau: n Jʓ = Iʓ = ∑ ⎡mk .dk2ʓ ⎤ > 0 , kg.m2 ⎣ ⎦ k =1 Mà: d 2 kz =r − =x +y 2 k ʓ2 k 2 k 2 k n 2 2 ⇒ Jʓ = ∑ ⎡ mk ( xk + yk ) ⎤ ⎣ ⎦ k =1 n ⎧ 2 2 ⎪ J x = ∑ ⎡ mk ( yk + ʓk ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎪ k =1 Tương tự: ⎨ n ⎪ J = ⎡m ( ʓ2 + x 2 ) ⎤ ⎪ y ∑⎣ k k k ⎦ k =1 ⎩ CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học cơ hệ PGS. TS. Trương Tích Thiện − Quan hệ giữa moment quán tính của hệ đối với ba trục tọa độ và moment quán tính của hệ đối với gốc tọa độ O: n J x + J y + Jʓ = 2∑ ⎡ mk ( xk2 + yk2 + ʓ2 ) ⎤ = 2 J O k ⎦ ⎣ k =1 c) Bán kính quán tính của hệ ∗ Đối với tâm O: ρO = JO 2 ⇔ J O = M .ρO M ∗ Đối với trục tọa độ: ρ x, y ,ʓ = J x , y ,ʓ M CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học 2 ⇔ J x , y ,ʓ = M .ρ x, y ,ʓ Chương hai: Động lực học cơ hệ 12 3/17/2012 PGS. TS. Trương Tích Thiện d) Moment quán tính ly tâm của hệ ∗ Đối với hệ trục xy: n J xy = I xy = ∑ [ mk .xk . yk ] 0 , kg.m2 k =1 ∗ Đối với hệ trục y ʓ: n J y ʓ = I y ʓ = ∑ [ mk . yk . ʓk ] 0 , kg.m2 k =1 ∗ Đối với hệ trục ʓ x: n J ʓx = Iʓ x = ∑ [ mk . ʓk. xk ] 0 , kg.m2 k =1 CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học cơ hệ PGS. TS. Trương Tích Thiện ⇒ J xy = J yx ; J yʓ = Jʓ y ; J ʓ x = J x ʓ e) Trục quán tính chính của cơ hệ. Là trục sao cho tất cả các moment quán tính ly tâm của cơ hệ có chứa chỉ số tên trục ấy phải đồng loạt bằng không. − Nếu Jx ʓ = Jyʓ = 0 thì trục ʓ là trục quán tính chính của hệ. − Nếu trục quán tính chính của cơ hệ đi qua khối tâm C của cơ hệ ấy thì nó sẽ được gọi là trục quán tính chính trung tâm của cơ hệ. 2. Định lý a) Định lý đổi trục. ∗ Định lý dời trục song song (Hình 2.2) CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học cơ hệ 13 3/17/2012 PGS. TS. Trương Tích Thiện ʓ J ʓ = J ʓC + M .d 2 ʓC //ʓ d M Kʓ K ⇒ J ʓ > J ʓC O ( Δ) β y α x ∗ γ C Hình 2.2 Định lý xoay trục: JΔ = J x .cos2α + J y .cos2 β + Jʓ .cos2γ − 2J xy .cosα.cosβ − 2J yʓ .cosβ.cosγ − 2Jʓ x .cosγ .cosα b) Định lý về trục quán tính chính của hệ (tham khảo tài liệu) CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học cơ hệ PGS. TS. Trương Tích Thiện 2.1.4. Moment quán tính của một số vật rắn có hình dáng thông dụng. 1. Thanh thẳng, mảnh, đồng chất, tiết diện đều (Hình 2.3). ʓ A ʓ ʓ l/2 B C C A l M B Hình 2.3 1 J A ≡ Jʓ A ≡ J B ≡ Jʓ B = M .l 2 3 1 J C = J ʓC = Ml 2 12 CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Với M là khối lượng toàn hệ. Chương hai: Động lực học cơ hệ 14 3/17/2012 PGS. TS. Trương Tích Thiện 2. Vành tròn, đồng chất (Hình 2.4). J C = J ʓC = MR ʓC 2 M C 1 J xC = J yC = MR 2 2 yC R xC Hình 2.4 3. Đĩa tròn, đặc, đồng chất (Hình 2.5). J C = J ʓC ʓC 1 = MR 2 2 M yC C 1 J xC = J yC = MR 2 4 R xC Hình 2.5 CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học cơ hệ PGS. TS. Trương Tích Thiện 4. Tấm hình chữ nhật, đặc, đồng chất, dày đều (Hình 2.6). y M ly O x lx Hình 2.6 1 2 J x = Ml y 3 1 J y = Ml x2 3 ; ( 1 2 J ʓ ≡ J O = M l x2 + l y 3 CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học ) Chương hai: Động lực học cơ hệ 15 3/17/2012 PGS. TS. Trương Tích Thiện 5. Ống trụ tròn, đồng chất, mỏng, không đáy (Hình 2.7). ʓC J ʓ C = MR 2 ≠ J C h 2 M C J xC = J y C = 1 ⎛ h2 ⎞ = M ⎜ R2 + ⎟ 2 ⎜ 6⎟ ⎝ ⎠ yC h R xC Hình 2.7 Với M là khối lượng toàn hệ. CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học cơ hệ PGS. TS. Trương Tích Thiện 6. Hình trụ tròn, đặc, đồng chất (Hình 2.8). ʓC J ʓC = 1 MR 2 ≠ J C 2 h 2 J xC = J y C = = 1 ⎛ 2 h M⎜R + 4 ⎜ 3 ⎝ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Với M là khối lượng toàn hệ. CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học M C R yC h xC Hình 2.8 Chương hai: Động lực học cơ hệ 16 3/17/2012 PGS. TS. Trương Tích Thiện 2.2. Các định lý tổng quát của động lực học cơ hệ. 2.2.1. Định lý chuyển động khối tâm hệ ∗ Định lý: Khối tâm của cơ hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng cơ hệ và chịu tác dụng của lực có vector lực bằng vector chính của hệ ngoại lực tác dụng lên cơ hệ. m r r M .aC = ∑ F je j =1 Với M là khối lượng toàn hệ. r aC là gia tốc khối tâm C của hệ r F je là ngoại lực thứ j tác động lên hệ. m là số ngoại lực tác động lên hệ. CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học cơ hệ PGS. TS. Trương Tích Thiện ∗ Định luật bảo toàn chuyển động khối tâm hệ Nếu tổng các vector ngoại lực tác động lên cơ hệ bị triệt tiêu thì khối tâm C của hệ sẽ ở trong trạng thái cân bằng hay trong trạng thái quán tính. Khối tâm C của hệ m r r r r r uuuuur e ∑ Fj = 0 ⇔ aC = 0 ⇔ vC = const ⇒ chuyển động thẳng j =1 đều hay đứng yên. 2.2.2. Định lý biến thiên động lượng hệ 1. Động lượng của hệ a) Định nghĩa: Động lượng của chất điểm là một đại lượng vector được ký hiệu và xác định như sau (Hình 2.9): r r r r qk = mk .vk , ( N .s) ⇒ qk ↑↑ vk n r n r r Động lượng của hệ: Q = ∑ qk = ∑ mk .vk k =1 CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học k =1 K,mk r qk r vk Hình 2.9 Chương hai: Động lực học cơ hệ 17 3/17/2012 PGS. TS. Trương Tích Thiện b) Công thức tính Q. Dùng định nghĩa khối tâm: n r vC = r ∑ m .v k =1 k n r r r . ⇒ Q = ∑ mk .v k = Mv C k M k =1 2. Xung lượng của lực ( ) t r r r r S Fk ≡ S k = ∫ Fk .dt , N .s 0 3. Định lý biến thiên động lượng của hệ r m a) Dạng 1: r dQ = ∑ F je dt j =1 CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học cơ hệ PGS. TS. Trương Tích Thiện b) Dạng 2: Biến thiên của vector động lượng hệ giữa thời điểm cuối và thời điểm đầu bằng tổng các vector xung lượng của các ngoại lực. m r r m r r r Q1 − Q0 = ∑ S Fje ≡ ∑ S je j =1 ( ) j =1 − Định lý chuyển động khối tâm được dùng để giải những bài toán động lực học của vật rắn có chuyển động tịnh tiến và khối lượng của vật là không đổi trong quá trình chuyển động − Định lý biến thiên động lượng được dùng để giải bài toán động lực học cho những cơ hệ có khối lượng không đổi hoặc thay đổi trong quá trình chuyển động. − Định lý chuyển động khối tâm là một trường hợp đặc biệt của định lý biến thiên động lượng. CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học cơ hệ 18 3/17/2012 PGS. TS. Trương Tích Thiện 2.2.3. Định lý biến thiên moment động lượng của hệ 1. Moment động lượng của hệ a) Moment động lượng của chất điểm đối với 1 tâm (Hình 2.9). r rk O• K, mk • r r M O (q k ) r qk r vk Hình 2.9 ∗ Động lượng chất điểm K: r r qk = mk .vk ∗ Moment của động lượng chất điểm K đối với tâm O: r r r r r r MO ( qk ) = rk ∧ qk = rk ∧ ( mk .vk ) , [ N .m.s] CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học cơ hệ PGS. TS. Trương Tích Thiện ∗ Moment động lượng của chất điểm K đối với một trục: + Đối với trục ʓ: r r r Mʓ (qk ) = ± M O (qkxy ) r xy r Với: qk = hc xy (qk ) + Đối với trục x: r r r M x ( qk ) = ± M O ( qkyʓ ) + Đối với trục y: r rʓ r M y ( qk ) = ± M O ( qk x ) Gọi r ⎧ M Ox = M x ( qk ) r r r ⎪ M O ( qk ) = ( M Ox , M Oy , M O ʓ ) ⇒ ⎨ M Oy = M y ( qk ) r ⎪M = Mʓ ( q ) Oʓ k ⎩ CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học cơ hệ 19 3/17/2012 PGS. TS. Trương Tích Thiện b) Moment động lượng của cơ hệ ∗ Moment động lượng của cơ hệ đối với tâm O: n r r r LO = ∑ M O ( qk ) k =1 ∗ Moment động lượng của cơ hệ đối với một trục. ⎫ ⎪ k =1 ⎪ n r ⎪ r M x ( qk ) = Lx ⎬ ⇒ LO = ( Lx , Ly , Lʓ ) ∑ k =1 ⎪ n ⎪ r ∑ M y ( qk ) = Ly ⎪ k =1 ⎭ n + Đối với trục ʓ: + Đối với trục x: + Đối với trục y: r ∑ M (q ) = L ʓ CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học ʓ k Chương hai: Động lực học cơ hệ PGS. TS. Trương Tích Thiện c) Thí dụ: Khảo sát vật rắn quay quanh trục ʓ cố định (Hình 2.10). Lx = − J ʓx .ω ; Ly = − J ʓ y .ω z (V ) L ʓ = J ʓ .ω Với r ω = hcz (ω ) r − Nếu trục ʓ là trục quán tính chính của vật thì : x Jʓ x = Jʓ y = 0 ⇒ Lx = Ly = 0 r r Vậy: LO = ( 0, 0, J ʓ .ω ) , Hay LO // Oʓ CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học ω O y Hình 2.10 Chương hai: Động lực học cơ hệ 20