Tài liệu Nửa nhóm ma trận rees trên một nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THU HUYỀN NỬA NHÓM MA TRẬN REES TRÊN MỘT NHÓM Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH Phản biện 1 : TS. Lê Hải Trung Phản biện 2 : PGS.TS. Trần Đạo Dõng Luận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 28 tháng 5 năm 2011 *. Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng. 1 Mé ĐAU 1. Lý do chon đe tài Lý thuyet nna nhóm là m®t phan tương đoi tré cúa toán hoc. Như m®t hưóng tách bi¾t cúa đai so vói mnc tiêu riêng cúa nó, vi¾c xác đ%nh rõ các bài toán và phương pháp nghiên cnu cúa lý thuyet nna nhóm đưoc hình thành khoáng cách đây 70 năm. M®t trong các đ®ng cơ chính đoi vói su ton tai m®t lý thuyet toán hoc nào đó là nhñng ví dn thú v% và tu nhiên. Đoi vói lý thuyet nna nhóm, su lua chon rõ ràng nhat cho nhñng ví dn như the là nna nhóm các phép bien đoi. Nhieu phép bien đoi khác nhau cúa nhñng t¤p khác nhau xuat hi¾n ó moi lúc và moi nơi trong toán hoc. Do hop thành thông thưòng cúa phép bien đoi có tính ket hop, moi t¤p các phép bien đoi đóng đoi vói phép hop thành và tao thành m®t nna nhóm. Khi nghiên cnu ve lý thuyet nna nhóm, nó se giúp chúng ta tìm hieu đưoc thông tin can thiet ve các tính chat cúa nhñng nhóm chna trong nna nhóm đó. Ngày nay, lý thuyet nna nhóm có vai trò quan trong trong vi¾c nghiên cnu m®t so ngành khoa hoc cơ bán như: toán hoc, v¤t lý... Lý thuyet nna nhóm 0-đơn đay đú liên thông là m®t phan quan trong trong vi¾c nghiên cnu lý thuyet nna nhóm. Năm 1940, Rees đã đưa vào khái ni¾m nna nhóm ma tr¤n trên m®t nhóm vói phan tn không, goi là nna nhóm ma tr¤n Rees. Tn đó m®t lóp các nna nhóm r®ng hơn đã đưoc nghiên cnu như nna nhóm đơn, nna nhóm 0-đơn đay đú, ... Các lóp nna nhóm này có ánh hưóng rat lón cho su phát trien sau này cúa lý thuyet nna nhóm. Xuat phát tn nhu cau phát trien cúa lý thuyet nna nhóm và nhñng nng dnng cúa nó, chúng tôi quyet đ%nh chon đe tài vói tên: "NNa nhóm ma tr¾n Rees trên m®t nhóm" đe tien hành nghiên cnu. Chúng tôi hy vong tao đưoc m®t tài li¾u tham kháo tot cho nhñng ngưòi bat đau tìm hieu ve Lý thuyet nna nhóm và hy vong tìm ra đưoc m®t so ví dn minh hoa đ¤c sac nham góp phan làm phong phú thêm các ket quá trong lĩnh vuc này. 2. Mnc đích nghiên cNu Mnc tiêu cúa đe tài nham nghiên cnu nna nhóm 0-đơn đay đú. Vi¾c kháo sát nna nhóm này dua trên vi¾c nghiên cnu các quan h¾ Green, các iđêan trái và phái 0-toi tieu và cau trúc D-lóp chính quy cúa nó. Đe tài đe c¤p đen m®t nna nhóm mà đưoc bieu dien bói các ma tr¤n trên m®t nhóm vói phan tn không G0, goi là nna nhóm ma tr¤n Rees. Đ%nh lý Rees khang đ%nh moi nna nhóm 0-đơn đay đú là đang cau vói nna nhóm ma tr¤n Rees trên m®t nhóm vói phan tn không. 3. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu Đoi tưong và pham vi nghiên cnu cúa đe tài là kháo sát nna nhóm 0-đơn đay đú dua trên vi¾c nghiên cnu các quan h¾ Green, các iđêan trái và phái 0-toi tieu và cau trúc D-lóp chính quy cúa nó, đe tài đe c¤p đen m®t nna nhóm G0, goi là nna nhóm ma tr¤n Rees. 4. Phương pháp nghiên cNu • Thu th¤p các bài báo khoa hoc cúa các tác giá nghiên cnu liên quan đen Lý thuyet núa nhóm và núa nhóm 0-đơn đay đú liên thông • Tham gia các buoi seminar hàng tuan đe trao đoi các ket quá đang nghiên cnu. 5. Ý nghĩa khoa hoc và thNc tien cúa đe tài • Tong quan các ket quá cúa các tác giá đã nghiên cnu liên quan đen Nna nhóm 0-đơn đay đú liên thông và nna nhóm ma tr¤n Rees nham xây dung m®t tài li¾u tham kháo cho nhñng ai muon nghiên cnu lý thuyet nna nhóm. • Chnng minh chi tiet và làm rõ m®t so m¾nh đe, cũng như đưa ra m®t so ví dn minh hoa đ¤c sac nham làm cho ngưòi đoc de dàng tiep c¤n van đe đưoc đe c¤p. 6. Cau trúc cúa lu¾n văn Ngoài phan mó đau và ket lu¤n, lu¤n văn gom 3 chương Chương 1. Các kien thNc cơ sá Chương 2. NNa nhóm 0-đơn đay đú liên thông Chương 3. NNa nhóm ma tr¾n Rees • Trong Chương 1, chúng tôi trình bày các kien thnc cơ só se dùng cho các chương sau, như là khái ni¾m nna nhóm, iđêan, các quan h¾ Green và D-lóp chính quy. • Trong Chương 2, chúng tôi trình bày các khái ni¾m và ket quá ve iđêan 0-toi tieu, nna nhóm 0-đơn, nna nhóm 0-đơn đay đú, nna nhóm 0-đơn đay đú liên thông. • Nna nhóm ma tr¤n Rees, đ%nh lý Rees, hang cúa nna nhóm ma tr¤n Rees và bài toán cuc tr% đoi vói chúng đưoc trình bày trong Chương 3. Chương 1 CÁC KIEN THÚC CƠ Sé 1.1 NNa nhóm và m®t so khái ni¾m liên quan 1.2 Các ví dn ve nNa nhóm Ví dn 1.2.1. Cho X = {1, 2, . . . , n}, khi đó |X| = n. 1. Ký hi¾u TX ho¤c Tn là nna nhóm phép bien đoi đay đú vói phép hop thành ánh xa, đó là t¤p tat cá các ánh xa tn X vào X . Khi đó n |TX | = n . Neu X = {1, 2} thì T2 = {( 1 2 ) , ( 1 2 ) , ( 1 2 ) , ( 1 2 )}, trong đó 2 1 ( ij 12 1 1 22 21 ) thay cho 1 → i, 2 → j vói i, j ∈ {1, 2}. Ta có the xem các phan tn cúa T2 như nhñng ma 0 1 nên T2={( 1 0 ) , ( 1 1 ) , ( 0 0 ) tr¤n ,( )} 01 00 11 10 2. Ký hi¾u PX ho¤c Pn là nna nhóm phép bien đoi b® ph¤n trên X, gom tat cá các ánh xa tn m®t t¤p con cúa X vào m®t t¤p con cúa X . Khi đó |Pn| = (n + 1)n. Neu X = {1, 2} thì P2 = {0, ( 1 ) , ( 2 ) , ( 1 ) , ( 2 ) , ( 1 2 ) , ( 1 2 ) , ( 12 ), 2 1 ( 00 1 1 01 021 20 0 1 20 0 1 11 1 2 20 0 )}. Có the xem P2 = {( 0 0 ) , ( 0 0 ) , ( 0 0 ) , ( 1 0 ) , ( 0 1 ) , ( 0 0 ) , ( 11) , ( 0 1 ) , (1 0 )}. 10 01 3. Ký hi¾u IX ho¤c In là nna nhóm đoi xnng ngưoc, gom tat cá các ánh xa m®t - m®t tn m®t t¤p con cúa X lên m®t t¤p con cúa X. .n n n | = Khi đó |I r=0 ( ) r!. 21 2 r Neu X = {1, 2} thì I2 = {0, ( 1 ) , ( 2 ) , ( 1 ) , ( 2 ) , ( 1 2 ) , ( 1 2 )}. 1 1 2 2 12 21 Khi đó có the xem I2 = {( 0 0 ) , ( 1 0 ) , ( 0 1 ) , ( 0 0 ) , ( 0 0 ) , ( 0 1 ) , ( 10 )}. 00 00 00 0 1 01 10 01 Ví dn 1.2.2. Cho X là m®t t¤p, goi BX là t¤p tat cá các quan h¾ hai ngôi trên X . Trên BX các phép toán hop thành ◦ đưoc đ%nh nghĩa như sau: ∈ρ, σ ∈ BX : (a, b) ∈ ρ◦σ ∈ ∈x ∈ X : (a, x) ∈ ρ và (x, b) ∈ σ. Khi đó (BX , ◦) là nna nhóm, goi là nna nhóm các quan h¾ hai ngôi trên X. Ví dn 1.2.3. Giá sn I là m®t iđêan cúa nna nhóm S . Trên S xét quan h¾ ρ như sau ∈a, b ∈ S : aρb ∈ a = b ho¤c a, b ∈ I. Khi đó ρ là m®t tương đang trên S và goi là tương đang Rees theo mod I. Các lóp tương đương cúa S theo mod ρ là I và các t¤p m®t phan tn {a} vói a ∈ S \ I. Khi đó ta viet S/I thay cho S/ρ và goi S/I là núa nhóm thương Rees. 1.3 Các Quan h¾ Green Ví dn 1.3.1. Cho S là nna nhóm vói phép nhân đưoc đ%nh nghĩa ó báng sau: • a b c a a b c b b a b c c c c Khi đó S1 a = {a, b, c}, S1 b = {a, b}, S1 c = {c}, aS1 = {a, b, c}, bS1 = {a, b, c}, cS1 = {b, c}. Do đó aRb. Hơn nña : La = {a}, Lb = {b}, Lc = {c}, Ra = {a, b} = Rb, Rc = {c}. M¾nh đe 1.3.1 (Bo đe Green). Giá sú a và b là các phan tú R-tương đương tùy ý thu®c núa nhóm S , túc là ton tai s, st ∈ S 1 sao cho as = b, bst = a. Khi đó các ánh xa x ›→ xs(x ∈ La) và y ›→ yst(y ∈ Lb) là ngưoc cúa nhau, báo toàn các Rlóp và tương úng là các ánh xa m®t-m®t tù La lên Lb và tù Lb lên La. M¾nh đe 1.3.2. Giá sú a và c là các phan tú cúa D-lóp tương đương tùy ý thu®c núa nhóm St túc là ton tai b ∈ S tsao cho , aRb và bLc hay ton tai s, st, t, t ∈ S 1 thóa as = b, bs = a, tb = c, ttc = b. Khi đó các ánh xa x ›→ txs(x ∈ Ha) và z ›→ ttzst(z ∈ Hc) là ngưoc cúa nhau, tương úng là các ánh xa m®t-m®t tù Ha lên Hc và tù Hc lên Ha. Đ¾c bi¾t |Ha| = |Hc| (nghĩa là hai ô cúa "h®p trúng" có cùng so phan tú). Ví dn 1.3.2. Cho S = I3 (Xem Ví dn 1.2.1). Фt D2 = {x ∈ S| rank(x) = 2}, ó đây rank(x) = |im(x)|, S có 34 phan tn và D2 có 18 phan tn. Khi đó D2 là m®t D-lóp cúa S , D2 có 3 R-lóp và 3 Llóp. "H®p trnng" cúa D2 đưoc cho ó Hình 1.1. D-láp chính qui 1.4 Bo đe 1.4.1. Cho S là m®t núa nhóm. Khi đó i) Neu phan tú a thu®c S là chính qui thì D-lóp Da là chính qui. ii) Trong moi D-lóp chính qui cúa S, moi L-lóp và moi R-lóp đeu chúa lũy đang. Do đó moi L-lóp và moi R-lóp chúa ít nhat m®t nhóm H-lóp. Đ%nh lý 1.4.1 (Green). Cho H là m®t H-lóp cúa núa nhóm S. Khi đó, ho¾c H 2 ∩ H = ∈ ho¾c H 2 = H và H là m®t nhóm con cúa S. Đ¾c bi¾t, moi H-lóp chúa lũy đang đeu là nhóm. Ví dn 1.4.1. Cho S = I3. Фt D2 = {x ∈ S|rank(x) = 2}, (Xem Hình 1.1). Khi đó t¤p các phan tn luy đang cúa D2 là E(D2) = ,. . 000 010 . . 000 001 , . 100 001 , 100 01 0 00 0 . , . Ta thay moi R-lóp và moi L-lóp cúa D2 chna m®t trong các phan tn cúa E(D2). Đ%nh lý 1.4.2. Neu a, b ∈ S thì ab ∈ Ra ∩ Lb khi và chs khi Rb ∩ La là m®t nhóm. Khi đó aHb = Hab = HaHb = Hab = Ra ∩ Lb Đ%nh lý 1.4.3. Cho a ∈ D-lóp chính qui D cúa núa nhóm S. Khi đó i) Neu at là ngh%ch đáo cúa a thì at ∈ D và hai Ht -lóp Rta ∩ Lat, La ∩ Rat chúa lan lưot các phan tú luy đang là aa và a a. ii) Neu b ∈ D sao cho Ra ∩ Lb , La ∈ Rb chúa lan lưot các ∩ phan tú luy đang e,∈ f . Khi đó Hb chúa a là ngh%ch đáo cúa a sao cho aa∈ = e, a a = f . iii) M®t H-lóp không chúa quá m®t phan tú ngh%ch đáo cúa a. Ví dn 1.4.2. Xét Ví dn 1.3.2 ve "h®p trnng" cúa D2. Khi đó . . e= . f = ∈ Ra ∩ L b , a= 010 001 ∈ Rb ∩ L a , b= 000 100 . . . ∈ Ra ∩ La = Ha 000 001 ∈ Rb ∩ L b = H b . 010 000 . . 000 001 100 001 De dàng tính đưoc aba = a và bab = b, do đó a và b là ngh%ch đáo cúa nhau. Hơn nña, ab = f và ba = e. Đ%nh lý 1.4.4. Neu H và K là hai nhóm H-lóp trong cùng m®t D-lóp chính qui thì H và K đang cau vói nhau. Chương 2 NÚA NHÓM 0-ĐƠN ĐAY ĐÚ LIÊN THÔNG 2.1 Iđêan 0-toi tieu và nNa nhóm 0-đơn Đ%nh nghĩa 2.1.1. M®t nna nhóm S đưoc goi là đơn (đơn trái, đơn phái) neu nó không có iđêan thuc su hai phía (trái, phái). M®t iđêan I cúa nna nhóm S đưoc goi là toi tieu neu nó không chna thuc su các iđêan khác cúa S . M®t iđêan I cúa nna nhóm S vói phan tn không đưoc goi là iđêan 0-toi tieu neu: i) I ƒ= {0}, ii) {0} là iđêan duy nhat cúa S mà {0} ∈ I. Neu I là iđêan 0-toi tieu cúa nna nhóm S thì do I 2 ∈ I nên I 2 = I ho¤c I 2 = {0}, hay là ho¤c I 2 = I ho¤c I là nna nhóm vói phép nhân không. Nna nhóm S vói phan tn không đưoc goi là nna nhóm 0-đơn (0đơn trái, 0-đơn phái) neu: i) S 2 ƒ= {0} ii) S chí có các iđêan hai phía (trái, phái) là {0} và S . 0 Ví dn 2.1.1. Goi J2 = {x ∈ M3(K)|rank(x) = 2}. Khi đó J 2 là nna nhóm 0-đơn. D đây, M3(K) là vành các ma tr¤n vuông cap 3 lay h¾ so trên K. Bo đe 2.1.1. Neu S là núa nhóm 0-đơn phái (trái) thì S \ {0} là m®t núa nhóm con đơn phái (trái) cúa S . Bo đe 2.1.2. Núa nhóm S vói phan tú không là 0-đơn khi và chs khi SaS = S vói moi a thu®c S \ {0}, nghĩa là neu và chs neu vói moi a, b ∈ S \ {0} ton tai x, y ∈ S sao cho xay = b. Bo đe 2.1.3. Giá sú L là m®t iđêan 0-toi tieu cúa núa nhóm S khi đó ho¾c L2 = {0} ho¾c L là núa nhóm 0-đơn. Bo đe 2.1.4. Giá sú L là m®t iđêan trái 0-toi tieu cúa núa nhóm S vói phan tú không và u ∈ S . Khi đó Lu ho¾c bang {0} ho¾c là iđêan trái 0-toi tieu cúa S . Đ%nh lý 2.1.1. Giá sú S là m®t núa nhóm vói phan tú không và I là iđêan 0-toi tieu cúa S chúa ít nhat m®t iđêan trái 0-toi tieu cúa S . Khi đó I là hop cúa tat cá các iđêan trái 0-toi tieu cúa S chúa trong I . Đ%nh nghĩa 2.1.2. Cho S là m®t nna nhóm. Ta goi m®t chuoi chính cúa S là chuoi các iđêan S = In ∈ In−1 ∈ ... ∈ I1 ∈ I0 ∈ ∈. sao cho vói j = 1, 2, ..., n moi Ij−1 là cuc đai trong Ij . Ta goi các thương cúa chuoi chính (2.1) là các nna nhóm thương Rees Ij/Ij−1, (j = 1, 2, ..., n). Khi đó S là hop cúa cúa (In \ In−1), (In−1 \ In−2), ..., (I1 \ I0), (I0 \ ∈) và Ij/Ij−1 = Ij\Ij−1 ∪ {0} Ví dn 2.1.2. Cho S = M3(K). Khi đó M3(K) = I3 ∈ I2 ∈ I1 ∈ I0 ∈ ∈, trong đó I0 = {0}, I1 = {x ∈ S|rank(x) ≤ 1}, I2 = {x ∈ S|rank(x) ≤ 2} là m®t chuoi chính các iđêan vói các thương Rees 3 J = I3/I2 = {x ∈ S|rank(x) = 3} ∪ {0}, 0 2 = I /I = {x ∈ S|rank(x) = 2} ∪ {0}, J 2 1 0 = I /I = {x ∈ S|rank(x) = 1} ∪ {0}, 1 J 1 0 0 0 J = I0/∈ = {x ∈ S|rank(x) = 0}. 0 2.2 NNa nhóm 0-đơn đay đú Đ%nh nghĩa 2.2.1. M®t nna nhóm không đơn (0-đơn) đay đú là nna nhóm đơn (0-đơn) chna luy đang nguyên thuý. Đ%nh lý 2.2.1. Moi núa nhóm 0-đơn huu han là 0-đơn đay đú. Ví dn 2.2.1. Cho S = I3. Khi đó các nna nhóm thương Rees i J = {x ∈ S|rank(x) = i} ∪ {0},i = 0, 1, 2, 3 0 là hñu han nên chúng là nna nhóm 0-đơn đay đú. Bo đe 2.2.1. Neu L là m®t iđêan trái 0-toi tieu cúa núa nhóm S vói phan tú không thì L \ {0} là m®t L-lóp cúa S . Bo đe 2.2.2. Giá sú S là m®t núa nhóm 0-đơn chúa iđêan trái 0-toi tieu và iđêan phái 0-toi tieu. Khi đó moi iđêan trái 0-toi tieu L cúa S úng vói ít nhat m®t iđêan phái 0-toi tieu R cúa S sao cho LR ƒ= {0}. Bo đe 2.2.3. Giá sú S là m®t núa nhóm 0-đơn, L và R tương úng là các iđêan trái và phái 0-toi tieu cúa S sao cho LR ƒ= {0}. Khi đó i) R ∩ L là m®t nhóm vói phan tú không. ii) R = eS, L = Se và RL = eSe vói e là phan tú đơn v% cúa nhóm (R ∩ L) \ {0} iii) e là luy đang nguyên thuý cúa S . Đ%nh lý 2.2.2. Cho S là núa nhóm 0-đơn. Khi đó S là 0-đơn đay đú khi và chs khi nó chúa ít nhat m®t iđêan trái 0-toi tieu và ít nhat m®t iđêan phái 0-toi tieu. Đ%nh lý 2.2.3. Cho S là m®t núa nhóm 0-đơn đay đú. Khi đó S là hop cúa các iđêan trái (phái) 0-toi tieu cúa nó. Đ%nh nghĩa 2.2.2. M®t nna nhóm S đưoc goi là D-đơn ho¤c song đơn neu nó chí gom m®t D-lóp. Đ%nh lý 2.2.4. M®t núa nhóm 0-đơn đay đú là 0-song đơn và chính qui. Đ%nh lý 2.2.5. Giá sú S là núa nhóm 0-đơn đay đú. Khi đó i) Neu x ∈ S và x2 ƒ= 0 thì x2 ∈ Hx và Hx là m®t nhóm. ii) Neu x, y ∈ S và xy ƒ= 0 thì xy ∈ Rx ∩ Ly. iii) Neu x, y ∈ S thì HxHy = {0} ho¾c HxHy = Rx ∩ Ly. Lúc đó HxHy = Hxy. Đ%nh lý 2.2.6. Cho S là m®t núa nhóm 0-đơn đay đú. Khi đó i) Ri ∩ Rj = Lλ ∩ Lµ = ∈, vói moi i ƒ= j và λ ƒ= µ. ii) Vói moi t¾p Hiλ là khác rong. . iii) S= .S i .S i ∪{0} = IR ∈ . Lλ ∪{0} = .S Hiλ i∈I,λ∈Λ . 0}. ∪{ λ∈Λ iv) |Hiλ| = |Hjµ| vói moi i, j ∈ I và λ, µ ∈ Λ. v) Bat kỳ i ∈ I và λ ∈ Λ, ho¾c H là m®t nhóm con cúa S vói phan tú đơn v% đưoc ký hi¾u làiλeiλ ho¾c Hiλ ∪ {0} là núa nhóm vói phép nhân không. vi) Neu Hiλ và Hjµ là các nhóm thì Hiλ ∈= Hjµ. vii) Moi Ri chúa ít nhat m®t nhóm Hiµ, moi Lλ chúa ít nhat m®t nhóm Hjλ. viii) Cho s1 ∈ Hiλ và s2 ∈ Hjµ, khi đó s1s2 ∈ Hiµ neu Hjλ là m®t nhóm và s1s2 = 0 trong trưòng hop còn lai. ix) Cho s ∈ Hiλ. Neu ton tai j ∈ I mà Hjλ là m®t nhóm, khi đó sRj = Ri và sHjµ = Hiµ vói moi µ ∈ Λ. Neu Hiµ là m®t nhóm thì Lµs = Lλ và Hjµs = Hjλ vói moi j ∈ I . x) Neu Hiλ là m®t nhóm thì e là đơn v% trái cúa R và là đơn v% phái cúa Lλ. Hiλ ∪ {0} iλ eiλSeiλ vói moi i ∈ iI và λ = ∈ Λ. xi) Neu Hiλ và Hjµ là nhung nhóm thì bat kỳ s ∈ Hjλ ton tai duy nhat st ∈ Hiµ sao cho ssts = s và stsst = st; vì v¾y sst = ejµ và sts = eiλ, và ánh xa x ›→ stxs là m®t đang cau tù Hjµ lên Hiλ. Ví dn cho ó Hình S là trong nhóm 0-đơn gach đú vóilà các nhóm. đưoc 2.2.2. Cho 2.1, nna đó các ô có đay chéo "h®p trnng" Ta có s1 ∈ H17, s2 ∈ H45. Vì H47 là m®t nhóm nên s1s2 ∈ H15 nhưng s2s1 = 0 do H15 không phái là m®t nhóm. Do H32 và H64 là nhñng nhóm nên vói phan tn tuỳ ý t ∈ H62, có duy nhat m®t phan tn ngh%ch đáo tt ∈ H34 thoá e64 = ttt và e32 = ttt. R1 R2 R3 R4 R5 R6 L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 s1 s2 s1 0 = s2s1 e32 = tt ttt s2 t e64 = tt Hình 2.1: Mô tá "h®p trnng" cúa S 2.3 NNa nhóm 0-đơn đay đú liên thông Bo đe 2.3.1. Cho S là m®t núa nhóm 0-đơn đay đú. Khi đó i) Neu x ∈ Hiλ và y ∈ Hjµ thì xy ƒ= 0 khi và chs khi Hjλ là m®t nhóm, lúc đó xy ∈ Hiµ. ii) Neu ton tai x ∈ Lλ sao cho xa ƒ= 0 thì ya ƒ= 0 vói moi y ∈ Lλ. Đoi ngau ta có, neu ton tai x ∈ Ri sao cho ax ƒ= 0 thì ay ƒ= 0 vói moi y ∈ Ri. iii) x1x2...xn = 0 khi và chs khi ít nhat m®t trong các tích x1x2, x2x3, ..., xn−1xn bang 0 iv) Neu p ∈ F (S) thì phan tú ngh%ch đáo cúa p cũng thu®c F (S). Đ%nh nghĩa 2.3.1. Cho S là nna nhóm 0-đơn đay đú tuỳ ý. Đo th% cúa S , ký hi¾u là Γ(S), gom t¤p các đính và các canh noi nhñng c¤p đính; trong đó, t¤p các đính cúa Γ(S) là {(i, λ) ∈ I × Λ|Hiλ là m®t nhóm} Hai đính (i, λ) và (j, µ) đưoc goi là ke nhau neu và chí neu i = j ho¤c λ = µ. ó đây, Γ(S) chính là m®t đơn đo th% vô hưóng. Đo th% Γ(S) đưoc goi là liên thông neu vói hai đính phân bi¾t bat kỳ (i, λ) và (j, µ) cúa Γ(S) bao giò cũng có m®t đưòng đi noi hai đính (i, λ) và (j, µ). M®t nna nhóm 0-đơn đay đú đưoc goi là liên thông neu đo th% cúa nó đưoc goi là liên thông. Đ%nh lý 2.3.1. Cho S là núa nhóm 0-đơn đay đú. Các đieu ki¾n sau là tương đương: i) Γ(S) là liên thông. ii) LλF (S)Ri = S vói moi i ∈ I và vói moi λ ∈ Λ. iii) F (S) ∩ Hiλ ƒ= ∈ vói moi i ∈ I và vói moi λ ∈ Λ. iv) Vói moi i, j ∈ I và λ, µ ∈ Λ ton tai phan tú p(i, λ, j, µ), q(i, λ, j, µ) ∈ F (S) sao cho ánh xa φ(i, λ, j, µ) :Hiλ −→ Hjµ x −→ p(i, λ, j, µ)xq(i, λ, j, µ) là m®t song ánh. Neu Hiλ và Hjµ là nhung nhóm, thì các phan tú p(i, λ, j, µ), q(i, λ, j, µ) có the chon sao cho φ(i, λ, j, µ)−1 = φ(j, µ, i, λ) vói φ(i, λ, j, µ) là đang cau nhóm. Ví dn 2.3.1. Neu S là nna nhóm đơn đay đú thì tat cá các Hiλ vói i ∈ I, λ ∈ Λ là nhóm con cúa S . Do trong moi nhóm các phan tn luy đang là phan tn không ho¤c phan tn đơn v% nên eiλ ∈ F (S) ∩ Hiλ vói moi i ∈ I, λ ∈ Λ. Theo Đ%nh lý (2.3.1)(ii) ta có Γ(S) là liên thông và t¤p đính cúa Γ(S) là toàn b® t¤p I × Λ. Ví dn 2.3.2. Cho S là nna nhóm 0-đơn đay đú vói "h®p trnng" cúa S đưoc cho bói Hình 2.4, trong đó các ô đưoc gach chéo là nhñng nhóm. Khi đó, đo th% Γ(S) cúa S đưoc cho bói Hình 2.5. Rõ ràng Γ(S) là liên thông. (1,2) (1,1) (6,4) R1 R2 R3 R4 R5 R6 L1 L2L3 L4 (2,1) (6,3) (2,3) (5,4) (5,2) (3,2) (4,1) Hình 2.4: Mô tá "h®p trnng" cúa S (4,4) (3,3) Hình 2.5: Đo th% cúa S 2.4 Hang cúa nNa nhóm 0-đơn đay đú liên thông Bo đe con cúa S , S là núa nhóm ∈-đơn đay Λ sao cho H núa nhóm 2.4.1. Cho giá sú ton tai i0 0 I, λ0 ∈ đú, goi T lài0λ0 là m®t nhóm. Neu 0 ∈ T, Hi0λ0 ∈ T và T ∩ Hiλ ƒ= ∈ vói moi i ∈ I, λ ∈ Λ, thì T = S. Đ%nh lý 2.4.1. Cho S là núa nhóm 0-đơn đay đú, giá sú ton tai i0 ∈ I, λ0 ∈ Λ sao cho Hi0λ0 là m®t nhóm. Neu A ∈ Hi0λ0 sinh Hi0λ0 như m®t núa nhóm, neu bλ ∈ Hi0λ, λ ∈ Λ \ {λ0 } và ci ∈ Hiλ0 , i ∈ I \ {i0} là các phan tú tuỳ ý thì t¾p X = A ∪ {bλ|λ0 ƒ= λ ∈ Λ} ∪ {ci|i0 ƒ= i ∈ I} ∪ {0}. là t¾p sinh cúa S . H¾ quá 2.4.1. Neu S là núa nhóm 0-đơn đay đú, khi đó max(|I|, |Λ|) ≤ rank(S) ≤ rank(G) + |I| + |Λ| − 1 trong đó G là nhóm Schutzenberger cúa S . Ví dn 2.4.1. Cho nna nhóm S có 5 phan tn vói phép nhân đưoc cho trong báng sau: • 0 a b c d 0 a b c d 0 0 0 0 0 0 a a c c 0 b b d d 0 0 a 0 c 0 0 b 0 d Rõ ràng S là 0-đơn, hñu han nên nó là 0-đơn đay đú. S có 2 Rlóp khác không là R1 = {a, b}, R2 = {c, d} và có 2 L-lóp khác không là L1 = {a, c}, L2 = {b, d}. M¤t khác, S đưoc sinh ra bói t¤p {b, c}. Suy ra rank(S) = 2 = max(|I|, |Λ|). Ví dn 2.4.2. Cho G là m®t nhóm. Фt S = G ∪ {0}, khi đó S là nna nhóm và đưoc goi là 0-nhóm. Ta có, nna nhóm S là 0-nhóm khi và chí khi aS = Sa = S, ∈a ∈ S \ {0}. V¤y S là nna nhóm 0-đơn đay đú vói |I| = |Λ| = 1. Khi đó, moi t¤p sinh S có dang A ∪ {0}, trong đó A là t¤p sinh cúa nhóm G, vì v¤y rank(S) = rank(G) + 1 = rank(G) + |I| + |Λ| − 1. Khi xét đen nna nhóm 0-đơn đay đú liên thông, ta giá sn rang các phan tn p(i, λ, j, µ), q(i, λ, j, µ) và ánh xa φ(i, λ, j, µ) đã đưoc đe c¤p đen ó Đ%nh lý (2.3.1). Bo đe 2.4.2. Cho S là núa nhóm 0-đơn đay đú liên thông. Khi đó vói moi i, j ∈ I; λ, µ ∈ Λ và vói moi a ∈ Hiλ thì a ∈ F (S)[φ(i, λ, j, µ)(a)]F (S). Bo đe 2.4.3. Cho S là núa nhóm 0-đơn đay đú. Neu Hiλ là m®t nhóm thì eiλF (S)eiλ \ {0} = Hiλ ∩ F (S). Bo đe 2.4.4. Cho S là núa nhóm 0-đơn đay đú liên thông, giá sú A = {a1, a2, ..., at} ∈ S vói as ∈ Hisλs, s = 1, 2, ..., t và giá sú Hiλ là m®t nhóm vói i ∈ I, λ ∈ Λ. Neu đ¾t B = {φ(i1, λ1, i, λ)(a1), φ(i2, λ2, i, λ)(a2), ..., φ(it, λt, i, λ)(at)} ∈ Hiλ thì (F (S) ∪ A) ∩ Hiλ = ((F (S) ∩ Hiλ) ∪ B). Bo đe 2.4.5. Cho S là núa nhóm 0-đơn đay đú liên thông và i, j ∈ I; λ, µ ∈ Λ. Neu Hiλ và Hjµ là nhung nhóm thì ton tai đang cau φ(i, λ, j, µ) : Hiλ → Hjµ sao cho φ(i, λ, j, µ)(F (S) ∩ Hiλ) = F (S) ∩ Hjµ. Đ%nh nghĩa 2.4.1. Cho S là nna nhóm và T là nna nhóm con cúa S . Hang cúa S modulo T , ký hi¾u là rank(S : T ), là luc lưong nhó nhat cúa m®t trong tat cá các t¤p A ∈ S mà thóa mãn (A ∪ T ) = S . rank(S : T ) = min{|A| : A ∈ S, (A ∪ T ) = S}. Nh¤n xét: i) rank(S : S) = 0, rank(S : ∈) = rank(S). ii) rank(S : T ) = rank(S : (T )), rank(S : T ) = 0 ∈ S = (T ).