Tài liệu Nội suy và mịn hóa bất đẳng thức đại số

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO ĐAI HOC ĐÀ NANG VÕ TAN SY N®I SUY VÀ M±N HÓA BAT ĐANG THÚC ĐAI SO CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mà SO : 60. 46. 40 TÓM TAT LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Đà Nang - Năm 2011 Công trình đưac hoàn thành tai ĐAI HOC ĐÀ NANG Ngưòi hưóng dan khoa hoc: GS. TSKH. Nguyen Văn M¾u Phán bi¾n 1: PGS. TSKH. Tran Quoc Chien Phán bi¾n 2: PGS. TS. Huỳnh The Phùng Lu¾n văn đưoc báo v¾ trưóc h®i đong cham Lu¾n văn tot nghi¾p Thac sĩ Khoa hoc ngành Phương pháp toán sơ cap hop tai Đai hoc Đà Nang vào ngày 29 tháng 5 năm 2011 Có the tìm hieu lu¾n văn tai : - Trung tâm thông tin - Hoc li¾u, Đai hoc Đà Nang - Thư vi¾n trưòng Đai hoc Sư Pham, Đai hoc Đà Nang. 1 Mé ĐAU 1. LÝ DO CHON ĐE TÀI Trong chương trình toán hoc pho thông, bat đang thnc là loai toán khó và rat khó. Đieu đ¤c bi¾t cúa m®t so dang toán bat đang thnc là tuy khó nhưng có the đưoc giái hoàn toàn bang phương pháp sơ cap, không vưot quá giói han cúa toán hoc pho thông. Vói mong muon thuc hi¾n m®t đe tài thiet thuc phnc vn cho vi¾c giáng day Toán cúa bán thân ó nhà trưòng pho thông tôi đã chon đe tài "N®i suy và m%n hóa bat đang thNc đai so". 2. MUC ĐÍCH NGHIÊN CÚU H¾ thong và phát trien m®t so phương pháp, ky thu¤t chnng minh bat đang thnc. Nghiên cnu m®t so kĩ thu¤t n®i suy bat đang thnc nham tao ra m®t so bat đang thnc mói tn các bat đang thnc đã biet, thuc chat là sn dnng n®i suy đe m%n hóa bat đang thnc đã biet. 3. ĐOI TƯeNG VÀ PHAM VI NGHIÊN CÚU Nghiên cnu tn các tài li¾u, sách chuyên đe cúa GS. TSKH. Nguyen Văn M¤u và các sách chuyên đe ve bat đang thnc, các bài báo Toán hoc ve bat đang thnc, nham h¾ thong các dang mau muc đe phát trien m®t so phương pháp chnng minh. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CÚU Nghiên cnu sách giáo khoa trung hoc pho thông, các tài li¾u tham kháo dành cho giáo viên, tap chí toán hoc tuoi tré và các đe tài nghiên cnu khoa hoc có liên quan. Sưu tam, phân tích, tong hop tư li¾u và đoi chieu vói thuc nghi¾m sư pham ó trưòng pho thông. 5. Ý NGHĨA KHOA HOC VÀ THUC TIEN CÚA ĐE TÀI Tao đưoc m®t đe tài phù hop cho vi¾c giáng day, boi dưõng hoc sinh giói. Đóng góp thiet thuc cho vi¾c day và hoc bat đang thnc trong trưòng pho thông, đem lai niem đam mê sáng tao tn nhñng bài toán cơ bán nhat. 6. CAU TRÚC CÚA LU¾N VĂN Ngoài phan mó đau và ket lu¤n, lu¤n văn gom có 3 chương: Chương 1. M®t so bat đang thNc co đien Giói thi¾u m®t so phương pháp, ky thu¤t ve nng dnng bat đang thnc AM - GM, Cauchy - Schwarz trong giái toán bat đang thnc. Chương 2. Các bài toán n®i suy bat đang thNc Trình bày phương pháp n®i suy bat đang thnc b¤c hai trên m®t đoan, n®i suy bat đang thnc trong lóp hàm đơn đi¾u. Chương 3. M%n hóa m®t so bat đang thNc đai so Nghiên cnu các phương pháp m%n hoá bat đang thnc chna các giá tr% trung bình, thn tu sap xep cúa dãy so sinh bói hàm loi, lõm và sn dnng tam thnc b¤c hai đe sáng tác m®t so bài toán ve bat đang thnc đai so. Chương 1 M®T SO BAT ĐANG THÚC CO ĐIEN 1.1 Bat đang thNc Cauchy - Schwarz Đ%nh lý 1.1 (Bat đang thnc Cauchy - Schwarz). Vói moi b® so (ai), (bi), i = 1, 2, . . . , n, ta luôn có bat đang thnc sau: .. n aibi .2 . ≤ n . . . . n . ai2 b2 . i i=1 i=1 i=1 Dau đang thnc xáy ra khi (ai), (bi) là hai b® tí l¾. 1.1.1 Đ® gan đeu và sap thN tN dãy c¾p điem Đ%nh nghĩa 1.1. i) Xét các c¾p so không âm x, y vói tong không đoi (đe đơn gián, ta chon x + y = 1). Ta goi hi¾u ρ(x, y) := max(x, y) − min(x, y), là đ® l¾ch cúa c¾p so x, y hay là đ® gan đeu cúa c¾p so x, y. ii) C¾p x1, y1 đưoc goi là gan đeu hơn (đ® l¾ch nhó hơn) c¾p x2, y2 (hay c¾p x2, y2 đưoc goi là xa đeu hơn c¾p x1, y1,) neu ρ(x1, y1) ≤ ρ(x2, y2). Đ%nh lý 1.2. Xét các c¤p so không âm xj, yj (j = 1, 2) vói tong không đoi (đe đơn gián ta chon x + y = 1). Khi đó x1y1 ≥ x2y2 khi và chí khi c¤p x1, y1 gan đeu hơn c¤p x2, y2. Đ%nh nghĩa 1.2. i) Xét các c¾p so dương x, y vói tích không đoi (đe đơn gián, ta chon xy = a > 0). Ta goi hi¾u ρ(x, y) := max(x, y) − min(x, y), là đ® l¾ch cúa c¾p so x, y hay là đ® gan đeu cúa c¾p so x, y. ii) C¾p x1, y1 đưoc goi là gan đeu hơn (đ® l¾ch nhó hơn) c¾p x2, y2 (hay c¾p x2, y2 đưoc goi là xa đeu hơn c¾p x1, y1,) neu ρ(x1, y1) ≤ ρ(x2, y2). Đ%nh lý 1.3. Xét các c¤p so dương xj, yj (j = 1, 2) vói tích không đoi (đe đơn gián ta chon xy = 1). Khi đó x1 + y1 ≤ x2 + y2 khi và chí khi c¤p x1, y1 gan đeu hơn c¤p x2, y2. Bài toán 1.1. Cho , a1 + a2 a2 + a3 a2009 + a2010 a2010 + a1 B= , ,···, , 2 2 2 2 , , là m®t hoán v% cúa b® so Chnng minh rang A = {a1, a2, · · · , a2010}. a1 = a2 = · · · = a2010. 1.1.2 Ky thu¾t tách và ghép b® so Thuc chat ky thu¤t này cũng chính là cách sap thn tu và đieu chính b® so theo quá trình gan đeu ho¤c đeu theo tnng nhóm. Đe hieu rõ hơn ve phương pháp này ta xét m®t bài toán sau: Bài toán 1.4 (APMO 1991). Cho hai b® so dương (ak), (bk), ∀k = 1, 2, . . . , n, có chung tong: n n . ak = k=1 . k=1 b k. Chnng minh rang n . k=1 n 2 ak ak + bk ≥ 1 . ak. 2 k=1 Giái. Sn dnng bat đang thnc Cauchy - Schwarz, ta có . n . .2 . = k a n . k=1 , √ k ak + bka .2 k n . + bk ≤ k=1 a k=1 Tn đó, suy ra n . k=1 .n 2 ak ≥ + bk ak (k=1 .n k=1(ak bk) ak ) 2 + =1 . 2 a2 k ak + bk .n +bk). (ak k=1 n ak . k=1 Đieu can chnng minh. Bài toán 1.5 (Japan MO 2004). Cho a, b, c > 0, a + b + c = 1. Chnng minh rang 1+a . . c a + 1 + b+ 1 + b + . ≤2 1−a 1−b c b c a 1− + c Bài toán 1.6 (Romania MO 2004). Chnng minh rang, vói moi a, b, c > 0, ta đeu có a bc(c + a) b + ca(a + b) + c ab(b + c) ≥ 27 2(a + b + . c)2 Bài toán 1.7 (MO USA). Cho các so dương a, b, c thoá mãn đieu ki¾n abc = 1. Tìm giá tr% nhó nhat cúa bieu thnc 1 A= + a2(b + c) 1 b2(c + a) + 1 c2(a + . b) 1 Bài toán 1.8 (Iran MO 1998). Cho các so x, y, z ≥ 1 sao cho 1 1 + = 2. Chnng minh y z √ √ , √ x + y + z ≥ x − 1 + y − 1 + z − 1. x + Bài toán 1.9 (IMO 2005). Cho x, y, z là các so thuc dương thoá mãn đieu ki¾n xyz ≥ 1. Chnng minh rang. x5 − x2 x5 + y2 + z2 + y5 − y2 y5 + z2 + x2 + z5 − z2 z +x +y 5 2 2 ≥ 0. 1.1.3 ThN tN và sap lai thN tN cúa b® so Ky thu¤t sap lai thn tu b® dãy so cho trưóc đe phù hop vói đ¤c thù cúa tnng bài toán đóng vài trò tích cuc trong vi¾c đ%nh hưóng sáng tác bài t¤p cũng như chnng minh m®t so bat đang thnc. Đe hieu rõ hơn ve cách sn dnng phương pháp này, ta xét 2 bài toán đien hình sau: Bài toán 1.10. Giá sn a ≥ b ≥ c > 0. Chnng minh rang a2 c3 + b2 a3 + Giái. Ta có . 1 c2 √ab + √bc + √ca. b3 ≥ .2 . 1 √bc + √b = ca 1 √1 ab + 1 a c 1b √b b c 1 √ √a b b + a . 1 1 2 c a b + ≤ + 3 a3 b 2 1 √ + 2 . . Ta se chnng minh bat đang thnc b2 a3 + c2 b3 + a2 . . a2 ≥ b3 + b2 c3 Th¤t v¤y, ta có các bien đoi sau . 2 b a3 + c2 b3 + a2 . ≥ . a2 b3 + c √c a 2 b2 c2 . + + . b3 c3 a3 c3 . c a 1 c 1 + c2 a3 . . a √a .2 b2 a3 + 2. c c ∀ b 5 c 3 + c 5 a 3 + a 5 b3 ≥ a 5 c 3 + b 5 a3 + c 5 b3 ∀ a3b3(a2 − b2) + b3c3(b2 − c2) + c3a3(c2 − a2) ≥ 0 3 ∀ a3(b3 − c3 + c3)(a2 − b2) + b3c3(b2 − c2) + c3a3(c2 − a2) ≥ 0 ∀ a3(b3 − c3)(a2 − b2) + c3(b2 − c2)(a3 − b3) ≥ 0. Suy ra . 1 1 1 √ab + √bc + √ca ha y 1 1 .2 . ≤ 1 . 2 2 a2 b2 c c a b3 + 3 a2 + 3 , b2 c2 3 √ab + √bc + √ca ≤ 3 + 3 + b . c a Đieu phái chnng minh. Bài toán 1.11. Giá sn a ≥ b ≥ c > 0. Chnng minh rang a2 b + 2 c2 a 2 b c+ c a2 ≥ a + b + c. b2 1.2 Bat đang thNc giÑa trung bình c®ng và nhân (AM - GM) Đ%nh lý 1.4 (Bat đang thnc AM - GM). Giá sn x1, x2, . . . , xn là các so không âm. Khi đó x1 + x2 + · · · + xn √ n x1x2 · · · xn. n (1.1) ≥ Dau đang thnc xáy ra khi x1 = x2 = · · · = xn. 1.2.1 Phương pháp đong b¾c trong bat đang thNc Trong m®t so bài toán bat đang thnc thưòng g¤p mà dau đang thnc xáy ra tai các giá tr% bien so bang nhau và chay khap t¤p R+ nên các bat đang thnc b® ph¤n cũng xáy ra đang thnc tai các bien so bang nhau và chay khap t¤p R+. Khi đó neu sn dnng bat đang thnc AM - GM thì ta lay đai di¾n đơn thnc ó ve lón c®ng thêm vào các đơn thnc đong b¤c roi giái. Chú ý 1. i) Đơn thúc aαbβcγ có b¾c là α + β + γ. ii) Khi sú dnng bat đang thúc AM - GM, ta can chú ý lna chon thùa so c®ng thêm sao cho dau đang thúc xáy ra. Bài toán 1.15 (Canada MO 2002). Chnng minh a3 + b3 + c3 ≥ a + b + c, ∀a, b, c > 0. bc ca ab Giái. Ta thay cá hai ve cúa bieu thnc đeu b¤c 1 nên bieu thnc c®ng thêm cũng b¤c 1. Theo bat đang thnc AM - GM, ta có a3 + b3 c3 + ab bc + 2(a + b + c) ≥ 3(a + b + c). ca Suy ra đieu phái chnng minh. Bài toán 1.18 (Hi lap MO 2007). Cho a, b, c là 3 canh cúa m®t tam giác. Chnng minh rang (b + c a)4 (c + a b)4 (a + b − ≥ ab + bc + ca. − − + + 4 a(a + b − c) b(b + c − a) c) c(c + a − b) Bài toán 1.21 (USA MO 1998). Cho a, b, c là nhñng so thuc dương. Chnng minh rang 1 1 1 a3 + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc + + ≤ 1 abc . Bài toán 1.22 (IMO 2001). Cho a, b, c là nhñng so thuc dương. Chnng minh rang a b c √ √ √ ≥ 1. 2 2 2 a + 8bc b + 8ca c + 8ab + + Bài toán 1.24. Cho a, b, c là nhñng so dương phân bi¾t thóa mãn đieu ki¾n: 102 a102 + b100 100 c b + c102 a100 < 1. Chnng minh rang luôn ton tai các so tu nhiên k (0 ≤ k ≤ 99) sao cho bat đang thnc sau đây đưoc thóa mãn đieu ki¾n: ak+3 + bk+3 + k+3 bk+1 ck+1 ak+1 c ≤ 1 k+2 k+2 k+2 +a +b +c . 100 bk ck ak 1.2.2 Bien đoi ve dang bat đang thNc đong b¾c Trong ky thu¤t này ta se sn dnng giá thiet cúa tnng bài toán cn the đe đưa các bat đang thnc đã cho ve dang bat đang thnc đong b¤c và sn dnng nguyên lý đong b¤c đe giái. Xét m®t so bài toán liên quan sau: Bài toán 1.25 (France Pre MO 2005). Cho a, b, c là nhñng so thuc dương thoá mãn đieu ki¾n: a2 + b2 + c2 = 3. Chnng minh rang c ab + a bc ca + ≥ 3. b Giái. Vì bieu thnc cho dưói dang b¤c 2 mà bat đang thnc có b¤c cao nhat là 1 nên đe áp dnng đưoc nguyên lý đong b¤c ta phái bình phương hai ve cúa bat đang thnc. Ta.có bien đoi sau: . ab c + bc a + ca 2 b ≥9 ∀ a2b2 c2 + b2c2 2 a + c2a2 ≥ a2 + b2 + c2 . b2 Theo bat đang thnc AM - GM, ta có a 2b 2 c2 + b2 c 2 a2 ; 2 ≥ 2b 2 2 b22 2 + c a c 2 a ≥ 2c b2 ; c2a2 b 2 a2 b 2 + c2 2 ≥ 2a . C®ng ve theo ve 3 bat đang thnc trên, ta đưoc đieu phái chnng minh. Bài toán 1.27 (IMO Shortlist 1998). Cho a, b, c là nhñng so thuc dương thóa mãn đieu ki¾n: abc = 1. Chnng minh rang c3 3 a3 3 + b ≥ . + (1 + b)(1 + (1 + a)(1 + b) 4 (1 + c)(1 + c) a) Bài toán 1.28 (IMO 1995). Cho a, b, c là nhñng so thuc dương thoá mãn đieu ki¾n: abc = 1. Chnng minh rang 1 3 ≥ . a3(b + c) b3(c + a) c3(a + b) 2 + + 1 1 Chương 2 CÁC BÀI TOÁN N®I SUY BAT ĐANG THÚC Bài toán n®i suy là m®t chuyên đe chon loc can thiet cho giáo viên và hoc sinh h¾ Chuyên Toán b¤c trung hoc pho thông. Trong pham vi cúa lu¤n văn, tác giá chí đe c¤p đen m®t so dang toán n®i suy bat đang thnc cũng như thu¤t toán giái chúng. Đây là phan không the thieu đoi vói ban đoc yêu thích môn Toán. 2.1 2.1.1 N®i suy bat đang thNc b¾c hai trên m®t đoan Dang n®i suy cúa bat đang thNc b¾c hai Xuat phát tn bat đang thnc b¤c hai quen biet x2 + y 2 ≥ 2xy, ∀x, y ≥ 0. (2.2) Dau cúa đang thnc xáy ra khi và chí khi x = y. Cũng xuat phát tn bat đang thnc cùng dang vói (2.2) (nng vói 0 ≤ α ≤ 1, x, y > 0), ta có . .1−α x ha y y . .α x y . y. + y2 + . ≥ 2, 1−α x y x 2 .α x ≥ 2xy, ta thu đưoc bat đang thnc dưói dang tương đương xαy2−α + yαx2−α ≥ 2xy. Dau cúa đang thnc xáy ra khi và chí khi x = y. Bây giò ta se chnng minh bat đang thnc x2 + y2 ≥ xαy2−α + yαx2−α. roi sn dnng đao 2 Th¤t v¤y, chia 2 ve bat đang thnc cho y và đ¤t t y =x hàm kháo sát hàm so, ta thu đưoc f (t) = t2 − t2−α − tα + 1 ≥ 0, ∀t ∀ [0, 1] tn đó, suy x2 + y2 ≥ xαy2−α + yαx2−α. (2.3) ra H¾ thnc (2.3) đưoc xem là bat đang thnc n®i suy cúa bat đang thnc b¤c hai (2.2). M®t so bài toán n®i suy Bài toán 2.1. Xét tam thnc b¤c hai P (x) = x2 − 1. Tìm so nghi¾m 2.1.2 thuc phân bi¾t cúa phương trình sau: P (P (. . . (P (x)) . . .)) = 0. s 2¸01¸0 x Giái. Фt Pn(x) = P (P (. . . (P (x)) . . .)) . s ¸n¸ x Nh¤n xét rang P1(x) ≥ −1, ∀x ∀ R nên Pn+1(x) = P1(Pn(x)) ≥ −1, ∀x ∀ R, n ∀ N∀. Vì v¤y phương trình Pn(x) = a vói a < −1 không có nghi¾m thuc. Ta chnng minh, bang phương pháp quy nap toán hoc, phương trình Pn(x) = a vói a > 0 luôn có hai nghi¾m thuc phân bi¾t. Th¤t v¤y, vói n = 1 thì phương trình x2 − 1 = a có hai nghi¾m thuc phân bi¾t. Giá sn phương trình Pn(x) = a vói a > 0 có hai nghi¾m thuc phân bi¾t. Xét phương trình Pn+1(x) = a vói a > 0. Ta có √ √ Pn+1(x) = a ∀ P1(Pn(x)) = a ∀ (Pn(x)− a + 1)(Pn(x)+ a + 1) = 0.