Tài liệu Nhúng hyperbolic và không gian các thác triển liên tục của các ánh xạ chỉnh hình

  • Số trang: 44 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 68 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 27125 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NÔNG THẾ HƢNG NHÚNG HYPERBOLIC VÀ KHÔNG GIAN CÁC THÁC TRIỂN LIÊN TỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NÔNG THẾ HƢNG NHÚNG HYPERBOLIC VÀ KHÔNG GIAN CÁC THÁC TRIỂN LIÊN TỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai THÁI NGUYÊN – 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu được trích dẫn trong luận văn là trung thực. Tác giả Nông Thế Hƣng Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn Xác nhận của người hướng dẫn khoa học TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ..............................................................................................................1 CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................................3 1.1 Đa tạp phức ..........................................................................................................3 1.2 Không gian phức ..................................................................................................4 1.3 Định lý Ascoli .....................................................................................................5 1.4 Giả khoảng cách Kobayashi ................................................................................6 1.5 Không gian phức hyperbolic ................................................................................7 1.6 Không gian phức nhúng hyperbolic .....................................................................8 1.7 Giả khoảng cách tương đối Kobayashi ..............................................................12 CHƢƠNG 2. NHÚNG HYPERBOLIC VÀ KHÔNG GIAN CÁC THÁC TRIỂN LIÊN TỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH ....................................................15 2.1 Điểm hyperbolic và một số đặc trưng của các điểm hyperbolic ........................15 2.2 Đặc trưng của tính nhúng hyperbolic .................................................................26 2.3 Ứng dụng của tính nhúng hyperbolic.................................................................30 KẾT LUẬN .................................................................................................................37 TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................39 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết các không gian phức hyperbolic được S. Kobayashi đưa ra đầu thập kỷ 70 của thế kỷ trước và đã trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Lý thuyết này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới. Một số kết quả sâu sắc và đẹp đẽ của lý thuyết này đã được chứng minh bởi S. Kobayashi, M. Kwack, J. Noguchi, J. Joseph …Những công trình nghiên cứu đó đã thúc đẩy hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ. Năm 1994, James E. Joseph và Myung H. Kwack đã đưa ra đặc trưng cho tính nhúng hyperbolic của không gian con phức X vào không gian phức Y đó là: tính nhúng hyperbolic của không gian con phức X vào không gian phức Y được đặc trưng bởi tính compact tương đối trong cấu trúc compact - mở của các không gian thác triển liên tục các ánh xạ chỉnh hình từ đĩa thủng D* đến X và từ M - A đến X trong đó M là một đa tạp phức và A là một divisor trên M với giao chuẩn tắc. James E. Joseph và Myung H. Kwack đã áp dụng các đặc trưng đó khái quát và mở rộng các định lý của Kobayashi, Kiernan, Kwack, Noguchi và Vitali mà không cần đến giả thiết về tính compact tương đối của X trong Y. Mục đích của luận văn này là nghiên cứu và trình bày chi tiết các kết quả nói trên. Luận văn gồm hai chương. Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị bao gồm một số kiến thức cơ bản về giải tích phức liên quan đến nội dung chính của luận văn như: đa tạp phức, không gian phức, không gian phức hyperbolic, Divisor với giao chuẩn tắc, không gian phức nhúng hyperbolic, giả khoảng cách tương đối Kobayashi. Chương 2 trình bày nội dung chính của luận văn. Phần đầu chương, chúng tôi trình bày về các đặc trưng của điểm hyperbolic; Phần tiếp theo, chúng tôi chứng minh chi tiết tính nhúng hyperbolic của không gian phức X vào không gian phức Y được đặc trưng bởi tính compact tương đối của không gian các thác triển liên tục của các ánh xạ chỉnh hình. Cuối chương là ứng dụng của các định lý đã nêu vào việc mở rộng, khái quát các định lý như Định lý Picard, Định lý Noguchi, Định lý Vitali … Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai. Nhân đây, em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Cô, người đã chỉ bảo và giúp đỡ em rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy, cô giáo trong trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khóa học. Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, Trường THPT Võ Nhai, gia đình và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ về mọi mặt trong suốt quá trình tôi học tập và nghiên cứu đề tài này. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014 Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp phức 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X là một không gian tô pô Hausdorff. Cặp U , được gọi là một bản đồ địa phương của X, trong đó U là tập mở  n là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: :U trong X và (U ) là tập mở trong  n . i) (U ) là một đồng phôi. :U ii) Họ Ui , i các bản đồ địa phương của X được gọi là một tập bản đồ i I giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn i) U i i I là một phủ mở của X. ii) Với mọi Ui ,U j mà Ui j  1 i : i Ui Uj , ánh xạ Uj j Ui U j là ánh xạ chỉnh hình. Xét họ các atlas trên X. Hai atlas 1 2 1, 2 được gọi là tương đương nếu hợp là một atlas. Đây là một quan hệ tương đương trên tập các atlas. Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X, và X cùng với cấu trúc khả vi phức trên đó được gọi là một đa tạp phức n chiều. 1.1.2 Ví dụ 1. Giả sử D là miền trong  n . Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với bản đồ địa phương ( D, Id D ) . 2. Đa tạp xạ ảnh P n ( ) Xét U i [z0 : z1 :...: zn ] P n ( ) | zi 0 với i 0,1,..., n . Rõ ràng U i một phủ mở của P n ( ) . Xét các đồng phôi [z0 : z1 :...: zn ]  i :Ui n z0 z z z ,..., i 1 , i 1 ,..., n . zi zi zi zi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ n i 1 là Ta có j  1 i : i Ui Uj j ( z0 ,..., zi 1 , zi 1 ,..., zn )  Rõ ràng j  1 i Ui zk zj Uj ;k 0,..., n; zi 1 k j là ánh xạ chỉnh hình. Vậy P n ( ) là một đa tạp phức n chiều và gọi là đa tạp xạ ảnh n chiều. 1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức Giả sử M, N là các đa tạp phức. Ánh xạ liên tục f : M N được gọi là chỉnh hình trên M nếu với mọi bản đồ địa phương (U , ) của M và mọi bản đồ địa phương (V , ) của N sao cho f U f V thì ánh xạ 1 : (U ) Hay tương đương, với mọi x (V ) là ánh xạ chỉnh hình. M,y N tồn tại hai bản đồ địa phương (U , ) và (V , ) tại x và y tương ứng sao cho f Giả sử f : M 1 : (U ) (V ) là ánh xạ chỉnh hình. N là song ánh giữa các đa tạp phức. Nếu f và f 1 là các ánh xạ chỉnh hình thì f được gọi là ánh xạ song chỉnh hình giữa M và N. 1.2 Không gian phức 1.2.1 Định nghĩa Giả sử Z là đa tạp phức. Một không gian phức đóng X là một tập con đóng của Z mà về mặt địa phương được xác định bởi hữu hạn các phương trình giải tích. Tức là, với x0 1 ,..., m X tồn tại lân cận mở V của x0 trong Z và hữu hạn các hàm chỉnh hình trên V sao cho X V {x V | i ( x) 0, i 1,..., m} . Giả sử X là một không gian con phức trong đa tạp phức Z. Hàm f : X được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi điểm x X tồn tại một lân cận U ( x) một hàm chỉnh hình f trên U sao cho f |U f |U Số hóa bởi Trung tâm Học liệu X X . http://www.lrc-tnu.edu.vn/  Z và Giả sử f : X Y là ánh xạ giữa hai không gian phức X và Y. f được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi hàm chỉnh hình g trên một tập con mở V của Y, hàm hợp g  f là hàm chỉnh hình trên f 1 (V ) . 1.2.2 Định lý Giả sử X, Y. Nếu fn : X Y là dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức f n hội tụ đều tới f trong H(X, Y) thì f là ánh xạ chỉnh hình. (trong đó H(X, Y) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ X và Y được trang bị tô pô compact mở). 1.2.3 Divisor với giao chuẩn tắc [D] Giả sử Y là một không gian phức. Một divisor Catier A trên Y là một không gian con đóng mà về mặt địa phương tại mỗi điểm có thể được xác định bởi một phương trình giải tích. Tức là, với mỗi điểm x A tồn tại một lân cận V của x trong V được xác định bởi phương trình Y sao cho A 0 , với là một hàm chỉnh hình nào đó trên V. Giả sử M là một đa tạp phức m chiều và A là một divisor. Ta nói A có giao chuẩn tắc nếu tại mỗi điểm, tồn tại một hệ tọa độ phức z1 ,..., zm trong M sao cho về mặt địa phương M \ A D*r D s với r + s = m. Từ đó về mặt địa phương A được xác định bởi phương trình z1...zr 0. 1.3 Định lý Ascoli [D] 1.3.1 Định nghĩa Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là một không gian metric đầy. C(X,Y) là tập các ánh xạ liên tục từ X vào Y với chuẩn sup. Họ C ( X , Y ) được gọi là đồng liên tục tại một điểm x0 tại 0 sao cho với mọi x X , d ( x, x0 ) d ( f ( x), f ( x0 )) Họ x , X nếu với mỗi thì với mọi f được gọi là đồng liên tục trên X nếu . là đồng liên tục tại mọi điểm X. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu 0 , tồn http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.3.2 Định lý (Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục) Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là một không gian metric đầy. Giả sử là tập con của tập các ánh xạ liên tục C(X,Y). Khi đó là compact tương đối trong C(X,Y) nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn : i) là họ đồng liên tục trên ;. ii) Với mỗi x X , tập hợp x= } là compact tương đối trong Y. {f ( x ) | f 1.3.3 Định nghĩa Giả sử pô Y. Họ là một họ nào đó các ánh xạ từ không gian tô pô X vào không gian tô được gọi là liên tục đồng đều từ x X tới y Y nếu với mỗi lân cận U của điểm y đều tìm được một lân cận V của điểm x và lân cận W của điểm y sao cho Nếu f x Nếu W thì f (V ) là liên tục đồng đều với mọi x U , với mọi f . X và mọi y Y thì được gọi là liên tục đồng đều từ X đến Y. 1.3.4 Định lý Ascoli (đối với họ liên tục đồng đều) Giả sử là tập con của tập các ánh xạ liên tục C(X, Y) từ không gian chính quy compact địa phương X vào không gian Haudorff Y và C(X, Y) có tô pô compact mở. Khi đó là compact tương đối trong C(X, Y) khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn : i) là họ liên tục đồng đều ; ii) Với mỗi x X , tập hợp F x f ( x) | f F là compact tương đối trong Y. 1.4 Giả khoảng cách Kobayashi [D] 1.4.1 Định nghĩa Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X. H(D,X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X , được trang bị tô pô compact mở. Xét dãy các điểm p0 x, p1 ,..., pk y của X , dãy các điểm a1 ,..., ak của D và dãy các ánh xạ f1 ,..., f k trong H(D,X) thỏa mãn fi (0) pi 1 , fi (ai ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu pi , i 1,..., k. http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Tập hợp p0 ,..., pk , a1 ,..., ak , f1 ,..., f k thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X. Ta định nghĩa k d X ( x, y ) inf D (0, ai ), x, y . i 1 Trong đó là tập hợp các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X. x, y Khi đó d X : X X  là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X. Tổng k D (0, ai ) được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình . i 1 Nếu X không liên thông, ta định nghĩa d X ( x, y ) với x, y thuộc hai thành phần liên thông khác nhau. 1.4.2 Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi 1.4.2.1 Định lý Nếu f : X Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là dY ( f ( x), f ( y)) d X ( x, y), x, y X. Hơn nữa, d X là giả khoảng cách lớn nhất trong các giả khoảng cách trên X có tính chất giảm qua các ánh xạ chỉnh hình f H (D, X ) . 1.4.2.2 Định lý Giả sử X là không gian phức. Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi dX : X X  là hàm liên tục. 1.5 Không gian phức hyperbolic [D] 1.5.1 Định nghĩa Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi d X là khoảng cách trên X, tức là d X ( p, q) 0 p q, p, q X. 1.5.2 Một số tính chất của không gian phức hyperbolic Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.5.2.1 Nếu X, Y là các không gian phức thì X Y là không gian hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic. 1.5.2.2 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác, không gian con của một không gian hyperbolic là hyperbolic. 1.5.3 Ví dụ + Đĩa Dr và đa đĩa Drm là hyperbolic. + Một miền bị chặn trong  m là hyperbolic vì nó là tập con mở của tích các đa đĩa. +  m không là hyperbolic vì d m 0. 1.6 Không gian phức nhúng hyperbolic [D] 1.6.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. X được gọi là nhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi x, y X,x y luôn tồn tại các lân cận mở U của x U, X V) 0. và V của y trong Y sao cho dX ( X 1.6.2 Định lý Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương : HI1. X là nhúng hyperbolic trong Y. HI2. X là hyperbolic và nếu {xn },{yn } là các dãy trong X thỏa mãn xn x X , yn y X , d X ( xn , yn ) 0 thì x = y. HI3. Giả sử {xn },{yn } là các dãy trong X thỏa mãn xn Khi đó, nếu d X ( xn , yn ) 0 khi n x X , yn y X. thì x = y. HI4. Cho hàm độ dài H trên Y, tồn tại hàm liên tục, dương với mọi f trên Y sao cho Hol (D, X ) ta có f *( H ) HD , Trong đó H D là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị D. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ HI5. Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi f thuộc H(D,X) ta có f *H HD Chứng minh HI1 HI2. Với mọi x, y y , từ HI1 ta suy ra X,x d X ( x, y ) 0. Do đó X là hyperbolic. Với x, y d X ( xn , yn ) HI2 X , nếu x y thì theo HI1 ta suy ra mâu thuẫn với giả thiết . Vậy HI2 được chứng minh. 0, n HI3. Giả sử HI2 được thỏa mãn. Nếu x, y khoảng cách Kobayashi d X ta có d X ( x, y ) Nếu x yn X, y y nên yn X , do tính liên tục của giả 0 . Mà X là hyperbolic nên suy ra x = y. X nên tồn tại d X - cầu B(x, s) mà y B( x, s) . Do X . Vì y B( x, s ) với n đủ lớn. Mặt khác d X ( xn , x) Điều này mâu thuẫn với giả thiết d X ( xn , yn ) 0 suy ra xn B x, s . 2 0 . Vậy trường hợp này không xảy ra. Do đó HI3 được chứng minh. HI3 HI4. Giả sử K là tập con compact của Y. Trước hết ta chứng minh tồn tại hằng sô C > 0 sao cho với mỗi H (D, X ) ta có f * (CH ) H D tại mỗi điểm của f 1 ( K ) . Giả sử ngược lại, suy ra tồn tại dãy {f n } | df n ( zn ) | H (D, X ) , tồn tại zn fn 1 (K ) D sao cho . Vì D là thuần nhất đối với nhóm Aut(D), nên ta có thể giả thiết zn 0, tức là | df n (0) | khi n . Do K compact nên ta có thể giả sử f n (0) y K. Lấy U là lân cận mở của y trong Y, có thể đồng nhất U với một không gian con đóng của D mr . Khi đó, với mỗi k | zk |  , có zk 1 và f n ( zk ) U . k k Số hóa bởi Trung tâm Học liệu D, nk  sao cho (*) http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại r < 1 sao cho f r (D r ) n n0 ( r ) . Theo định lý Ascoli, do f n (0) U với mọi y , tồn tại dãy con của {f n |D } hội tụ đều r trên mỗi tập compact của D r . Điều này mâu thuẫn với | df n (0) | . Vậy (*) được chứng minh. Đặt yk f n (0), xk f n ( zk ) . k k Ta có thể lấy z k sao cho xk nằm trong một tập con compact chứa U. Từ đó, bằng cách lấy dãy con nếu cần ta có thể giả thiết xk d X ( xk , yk ) y . Khi đó: x, x 0 khi k d D (0, zk ) . Điều này mâu thuẫn với HI3. Bây giờ, giả sử K1 ... là dãy các tập con compact của Y thỏa mãn K2 K i Y và Ki Ui . i 1 Trong đó U i mở và Ui số Ci Ui 1 . Theo chứng minh trên, với mỗi K i , tồn tại một hằng 0 thỏa mãn f * (Ci H ) Do đó, có hàm liên tục, dương f *( H) HD . trên Y thỏa mãn Ci trên K i . Vậy H D với mọi hàm độ dài H trên Y. HI4 HI5. Hiển nhiên khi ta lấy hàm độ dài chính là H . HI5 HI1. Giả sử x, y y . Lấy X và x U BH ( x, s ),V BH ( y, s) , là các hình cầu bán kính s ứng với khoảng cách sinh bới hàm độ dài H. Do H là hàm độ dài và x B H ( x, 2 s ) B H ( y, 2 s) y , nên ta có thể lấy s > 0 đủ nhỏ sao cho . Lấy x ' U d X ( x ', y ') Số hóa bởi Trung tâm Học liệu X và y ' V d H ( x ', y ') s Y ta có 0. http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Thật vậy, từ HI5 suy ra d H có tính chất giảm khoảng cách với mọi f dX H (D,X ) , theo tính chất lớn nhất của giảm khoảng cách Kobayashi ta có d H . Từ đó suy ra X là nhúng hyperbolic trong Y. Vậy định lý được chứng minh hoàn toàn. 1.6.3 Một số đặc trƣng cho tính nhúng hyperbolic của các không gian phức 1.6.3.1 Mệnh đề Giả sử X là một không gian con phức compact tương đối của một không gian phức Y. Khi đó X là nhúng hyperbolic trong Y nếu và chỉ nếu với mỗi hàm độ dài H trên Y, có hằng số C > 0 sao cho với mỗi ánh xạ chỉnh hình f : D f *H X ta có CH D . Chứng minh Vì trong một không gian con phức compact tương đối thì mọi hàm độ dài đều tương đương, do đó, theo định lý 1.6.2, HI5 ta có ngay điều phải chứng minh. 1.6.3.2 Định lý (Kiernan [Ki1]) Giả sử X là không gian con phức, compact tương đối trong không gian phức Y. Khi đó X là nhúng hyperbolic trong Y nếu và chỉ nếu H(D,X) là compact tương đối trong H(D,Y). Chứng minh Giả sử H(D, X) là compact tương đối trong H(D, Y) nhưng không là nhúng hyperbolic trong Y. Theo định lý 1.6.2, HI5, thì với mỗi hàm độ dài trên Y và với mỗi số nguyên dương n, tồn tại một ánh xạ chỉnh hình fn : D X và zn D, Sao cho df n ( zn )v n v với mọi v Tz D . (*) n Do tính thuần nhất của D đối với nhóm Aut(D) nên ta có thể giả sử zn X compact tương đối trong Y nên tồn tại y X thỏa mãn f n (0) 0 . Vì y . Theo giả thiết H(D,X) là compact tương đối trong H(D,Y), sau khi lấy dãy con ta có thể giả thiết rằng {f n } hội tụ đều tới f trên một lân cận của 0. Do đó f n' (0) f '(0) , điều này mâu thuẫn với (*). Vậy X là nhúng hyperbolic trong Y. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Ngược lại, giả sử X là nhúng hyperbolic trong Y. Theo định lý Ascoli, vì X là compact tương đối trong Y nên ta chỉ cần chứng minh H(D, X) là đồng liên tục đối với một hàm khoảng cách d H sinh bởi một hàm độ dài H trên Y. Nhưng điều này được suy trực tiếp từ định lý 1.6.2, HI5. Vậy định lý được chứng minh. 1.6.3.3 Định lý Giả sử X là không gian phức con, nhúng hyperbolic trong không gian phức Y. Giả sử Y’ là không gian phức với ánh xạ riêng hữu hạn X' 1 :Y ' Y , và ( X ) . Khi đó X’ là nhúng hyperbolic trong Y’. 1.6.3.4 Mệnh đề (Tiêu chuẩn địa phương cho tính nhúng hyperbolic) Giả sử M là không gian con phức của không gian phức X. Giả sử H là hàm độ dài trên X. Khi đó các điều kiện sau là tương đương : i) M là nhúng hyperbolic trong X ; ii) + M là nhúng hyperbolic địa phương trong X, tức là với mỗi p một lân cận compact tương đối U của p trong X sao cho U M tồn tại M là nhúng hyperbolic trong X, và + Với mỗi dãy { f n } lim H ( f n' (0)) n f n (0) Hol (D,M ) thỏa mãn lim n p M và , thì dãy { f n } chứa dãy con đồng liên tục từ 0 đến p. 1.6.3.5 Định lý Giả sử X là không gian phức và  M là không gian con phức của X và M : X 1 X là phủ chỉnh hình của X. Giả sử  là nhúng hyperbolic ( M ) . Khi đó, M X nếu và chỉ nếu M là nhúng hyperbolic trong X. trong  1.7 Giả khoảng cách tƣơng đối Kobayashi [D] 1.7.1 Định nghĩa Giả sử Y là không gian phức và X là không gian con phức compact tương đối trong Y. Đặt F X ,Y f Hol (D, Y ) | f 1 (Y \ X ) gåm nhiÒu nhÊt 1 ®iÓm Ta định nghĩa giả khoảng cách tương đối d X ,Y trên X tương tự như khoảng cách Kobayashi d Y trên Y, nhưng chỉ dùng các dây chuyền chỉnh hình thuộc F X ,Y . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Cụ thể, xét dãy các điểm p0 q của X , dãy các điểm a1 ,..., ak của D p, p1 ,..., pk và dãy các ánh xạ f1 ,..., f k trong F X ,Y thỏa mãn fi (0) Tập hợp pi 1 , fi (ai ) pi , i 1,..., k. p0 ,..., pk , a1 ,..., ak , f1 ,..., f k thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối p và q trong X . Ta định nghĩa k d X ,Y ( p, q) inf D (0, ai ), p ,q , i 1 trong đó p ,q là tập hợp các dây chuyền chỉnh hình nối p và q trong X . Khi đó d X ,Y : X  là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả X khoảng cách tương đối Kobayashi. Nếu p hoặc q nằm trên biên của X, dây chuyền chỉnh hình nối giữa hai điểm có thể không tồn tại. Trong trường hợp này ta định nghĩa d X ,Y ( p, q) . 1.7.2 Một số tính chất của giả khoảng cách tƣơng đối Kobayashi 1.7.2.1 Giả khoảng cách tương đối Kobayashi d X ,Y là mở rộng của giả khoảng cách Kobayashi d X theo nghĩa d X 1.7.2.2 Vì H(D,X) 1.7.2.3 d D ,D * d X ,X . H(D,Y), ta có d y X,Y d X ,Y dX . dD . Thật vậy, bất đẳng thức d D ,D * ánh xạ đồng nhất Id D d D là trường hợp đặc biệt của 1.7.2.2. Dùng F D ,D như là một dây chuyền chỉnh hình nối hai điểm của D * ta nhận được bất đẳng thức ngược lại. 1.7.2.4 Tính chất giảm khoảng cách Giả sử X, X’ tương ứng là các không gian con phức compact tương đối của các không gian phức Y, Y’. Nếu f : Y f X Y ' là ánh xạ chỉnh hình thỏa mãn X ' , thì Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ d X ',Y ' ( f ( p), f (q)) d X ,Y ( p, q), p, q X. Hơn nữa, d X ,Y là giả khoảng cách lớn nhất trong các giả khoảng cách trên X có tính chất giảm qua các ánh xạ chỉnh hình f F X ,Y . Tức là, nếu X là giả khoảng cách trên X thỏa mãn X ( f (a), f (b)) d D (a, b), a, b D;f F X ,Y thì X ( p, q) d X ,Y ( p, q), Số hóa bởi Trung tâm Học liệu p, q X. http://www.lrc-tnu.edu.vn/ CHƢƠNG 2 NHÚNG HYPERBOLIC VÀ KHÔNG GIAN CÁC THÁC TRIỂN LIÊN TỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH 2.1 Điểm hyperbolic và một số đặc trƣng của các điểm hyperbolic 2.1.1 Định nghĩa a. Giả sử X là một không gian phức, p là một điểm trên X, e là một véctơ đơn vị trên T0 ( D ) , v là véctơ trên Tp ( X ) . Ta đặt : FX ( p, v) : inf{r Khi đó : FX : TX 0 : f (0) p, df (0, re) v, f H (D, X )}. R được gọi là hàm Royden [R] đối với giả khoảng cách dX. b. Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y, p là một điểm trên X, e là một véctơ đơn vị trên T0 ( D) , v là véctơ trên Tp ( X ) . Ta đặt : FX ,Y ( p, v) : inf{r 0 : f (0) Nếu không có r > 0 sao cho tồn tại f FX ,Y ( p, v) : F X ,,Y } . p, df (0, re) v, f F X ,Y thỏa mãn f (0) p, df (0, re) v thì ta đặt . c. Giả sử X là một không gian con phức của không gian phức Y với hàm độ dài H. Một điểm p X được gọi là điểm hyperbolic đối với X nếu tồn tại một lân cận U của p trong Y và một hằng số C 0 sao cho FX CH trên U X. 2.1.2 Định nghĩa Giả sử M là một không gian con phức của không gian phức X. Ta mở rộng d M trên bao đóng M của M trong X như sau : Với p, q M , ta định nghĩa d M ( p, q) Ta gọi p lim inf d M ( p ', q ') , p ', q ' M p' p, q' q M là điểm suy biến của d M nếu tồn tại một điểm q M \ p sao cho d M ( p, q ) 0 . Ta ký hiệu SM ( X ) là tập tất cả các điểm suy biến của d M trên M . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 2.1.3 Mệnh đề Giả sử M là một không gian con phức của không gian phức X. Khi đó, với điểm p M , các khẳng định sau là tương đương : a) p là điểm hyperbolic đối với M. b) p SM ( X ) . c) Đối với mỗi dãy f n (0) H (D, M ) sao cho lim n fn p thì , với H là hàm độ dài trên X. limsup H ( f n' (0)) n 2.1.4 Hệ quả Giả sử M là không gian con phức của không gian phức X, khi đó các khẳng định sau là tương đương : i) M là nhúng hyperbolic trong X. ii) Mọi điểm của M đều là điểm hyperbolic đối với M. iii) SM ( X ) . Cho X là không gian con phức của không gian phức Y, ta sẽ ký hiệu tập hợp các điểm hyperbolic của X là R ( X , Y ) hay đơn giản là R( X ) (Nếu không gây nhầm lẫn). 2.1.5 Bổ đề. Cho X một không gian con phức của không gian phức Y với hàm độ dài H và cho p X . Khi đó p R( X ) khi và chỉ khi limd X ( pn , qn ) {pn } và {qn } trong X thỏa mãn pn 0 với mọi dãy p và không có dãy con của {qn } hội tụ tới p. Chứng minh. Giả sử p R( X ) ; Gọi V, W, U lần lượt là các lân cận compact của p và c > 0 sao cho FX cH trên U pn V , qn W W U , và cuối cùng Y U . Khi đó ta có d X ( pn , q n ) dX (X Ngược lại, giả sử p f n (0) X , và V p và df n (0) V,X W) cd H ( V , W) R( X ) . Tồn tại dãy f n trong 0. H(D, X) sao cho . Do đó, nếu U là một lân cận tọa độ địa phương của p trong Y hay chính là một không gian con đóng của một hình cầu bị chặn, tồn tại dãy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
- Xem thêm -