Tài liệu Nhìn bài toán dưới dạng hình động

NHÌN BÀI TOÁN DƯỚI DẠNG HÌNH ĐỘNG Bài tập mở đầu: Cho hình bình hành BEFP nội tiếp tam giác ABC ( E  AB; F  AC ; P  BC ). Biết S AEE  a; SCFP  b . a) Tính S ABC theo a vµ b b) Tìm diện tích lớn nhất của hình bình hành BEFP c) Chứng minh rằng: S ABC  AB BC .a  .b AE CP Lời giải(Hình 1): - Kiến thức: Dùng tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng a) Ta có các tam giác AEF, FPC, ABC đồng dạng nên: SCFP CP  . Ta có: S ABC BC S AEF EF BP   ; S ABC BC BC SCFP S AEF  1 S ABC S ABC Hay S ABC   a  b  2 b) Ta có: S BEFP  S FPC S ABC S AEF  2.S BEFP S ABC S BEFP Vậy: GTLN( SBEFP ) = 2 ab a b 4 ab a b 2 ab ( a b )2 . 1 S ABC 2 1 S ABC  a = b 2 A E B c)Từ kết quả S ABC   a  b  ta có: F P C H×nh 1. 2 S ABC  a  b  S ABC  S ABC S ABC AB BC .a  .b  S ABC  .a  .b (đpcm) a b AE PC Nhận xét: Nếu điểm F không thuộc đoạn thẳng AC, chẳng hạn F thuộc tia đối của tia CA thì kết quả sẻ thay đổi như thế nào? Ta có bài tập 1: Cho tam giác ABC. Điểm F thuộc tia đối của tia CA. Kẻ FE //BC; FP //AB  E  AB; P  BC  . Đặt S ABC  S ; S AEE  a; S FPC  b . a) Tính S ABC và S BEFP theo a và b b) Chứng minh rằng: S  AB BC .a  .b AE CP Lời giải(Hình 2): a) Ta có hai tam giác AEF và FPC cùng đồng dạng với tam giác ABC Ta có: S AEF EF  ; S ABC BC S FPc CP  . Suy ra: S ABC BC Hay S ABC   a  b  S S AEF EF  PC  FPC  1. S ABC S ABC BC 2 Ta có: S BEFP  S AEF  S FPC  S ABC  a  b  (a  b  2 ab )  S BEFP  2 ab A C B P F E Hình 2 b) Từ kết quả : S ABC   a  b  ta có: 2 S ABC  a  b  S ABC  S ABC S ABC AB BC .a  .b  S  .a  .b (đpcm) a b AE PC *Nếu điểm F nằm trong tam giác ABC thì kết quả sẻ thay đổi như thế nào ? Bài tóan 2 : Cho tam giác ABC. Điểm F nằm trong tam giác ABC. Qua F kẻ MN//BC;PQ//AB;IK//AC  I , M  AB; P, N  AC; Q, K  BC  . Đặt S ABC  S ; S FQK  a; S PFN  b; S IMF  c . a) Tính S ABC và S BEFP theo a, b và c b) Tìm giá trị lớn nhất của tổng : S APFI  SMBQF  S NCKF theo a, b và c AB BC AC c) Chứng minh rằng: S ABC  FQ .a  FN .b  FI .c Lời giải(Hình 3): a) Dễ thấy các tam giác: FQK, PFN, IMF, ABC đôi một đồng dạng với nhau nên ta có: S FQK  S ABC  S PFN S IMF QK FN MF QK KC BQ        1 S ABC S ABC BC BC BC BC BC BC S FQK  S PFN  S IMF  S ABC  S ABC  ( S FQK  S PFN  S IMF ) 2 Vậy: S ABC = (a + b + c)2 b) Ta có: S APPI  S MBQF  S NCKF  S ABC  (a  b  c)  (a  b  c ) 2  (a  b  c)  S APPI  S MBQF  S NCKF  2 ab  2 ac  2 bc  2(a  b  c )  3.( S APPI  S MBQF  S NCKF )  2(a  b  c )  2.(S APFI  S MBQF  S NCKF )  2S ABC 2 S ABC 3 2  S NCKF ) = S ABC  a = b = c  F là trọng tâm 3  S APPI  SMBQF  S NCKF  Vậy GTLN( S APFI  S MBQF A P I M B F Q N K C Hình 3 c) Ta có: S ABC  ( S FQK  S PFN  S IMF )2  S ABC  S FQK  S PFN  S IMF  S ABC  S FQK . S ABC  S PFN . S ABC  S IMF . S ABC  S  S S ABC S ABC S ABC .S FQK  .S PFN  .S IMF S FQK S PFN S IMF AB BC AC .a  .b  .c FQ FN FI ? Ta tiếp tục thay đổi vị trí điểm F. Chẳng hạn cho điểm F ở ngoài tam giác ABC và thuộc góc BAC. Ta có bài tập sau: Bài tập 3: Cho tam giác ABC. Điểm F thuộc góc BAC và nằm ngoài tam giác ABC. Qua F kẻ PQ//BC; EN//AB; MD//AC  D, P  AB; E , Q  AC ; M , N  BC  Đặt: S ABC  S ; S FNM  a; S DPF  b; S EFQ  c a) Tính S theo a, b và c AB AC BC b) Chứng minh rằng: S  PD .b  EQ .c  MN .a Lời giải(Hình 4): a) Dễ thấy các tam giác FNM, DPF, EFQ, ABC đôi một đồng dạng nên: S EFQ S S DPF PF FQ MN MN  BM MN  NC MN   FNM       1 S ABC S ABC S ABC BC BC BC BC BC BC  S ABC  S DPF  S EFQ  S FNM  S  b c a  2 A E D B M P b)Ta có: S  b c a  2  N F C Q Hình 4 S  b  c  a  S  S .( b  c  a ) S S S AB AC BC .b  .c  .a  .b  .c  .a b c a PD EQ MN AB AC BC Vậy: S  PD .b  EQ .c  MN .a  ? Nếu điểm F thuộc góc đối của góc BAC ta tìm được kết quả tương tự bài tập 3 Bài tập 4: Cho tam giác ABC. Điểm F thuộc góc BAC và nằm ngoài tam giác ABC. Qua F kẻ PQ//BC; EN//AB; MD//AC  D, P  AB; E , Q  AC ; M , N  BC  Đặt: S ABC  S ; S FMN  a; S DPF  b; S EFQ  c AB AC BC Chứng minh rằng: S  PD .a  EQ .b  MN .c Lời giải(Hình 5): Làm tương tự bài tập 3 ta có kết quả: S  a b c  2 AB AC BC Từ đó suy ra : S  PD .a  EQ .b  MN .c Q F P D E A M C B N Hình 5 Trở lại bài tập 3: Nếu MN, PQ, IK không đồng quy tại F mà đôi một cắt nhau. Ta có bài tập sau. Bài tập 5: Cho hình 6 dưới đây. Biết MN//AC; PQ//AB; EF//BC. S IKH  So ; S MEH  S1 ; S PKF  S2 ; S IQN  S3 . Tính S ABC theo So ; S1 ; S2 ; S3 A A P M P M I I E B K F Q Hình 6 Lời giải(Hình 7): Kẻ HE song song với PQ N H E H C B F K Q E N Hình 7 C Các cặp tam giác IKH, MEH, PKF, IQN đôi một đồng dạng: Ta có: S IKH KH QE   ; S ABC BC BC S MEH EH BE   ; S ABC BC BC S PKF KF  ; S ABC BC S IQN S ABC  QN BC Cộng vế theo vế của các đẳng thức trên ta có: S PKF S IQN QE  BE  KF  QN 3QE  BC S IKH S S  MEH      3 IKH  1 S ABC S ABC S ABC S ABC BC BC S ABC  S PKF S IQN S MEH S    2 IKH  1  S ABC  S ABC S ABC S ABC S ABC  S1  S 2  S3  2 S 0  2