Tài liệu Nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung

i LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của cô giáo - Tiến sỹ Nguyễn Quỳnh Nga. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với cô. Cô đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả kết thúc chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THCS Lập Thạch, Tập thể hội đồng sư phạm nhà trường đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả học tập và hoàn thành tốt khóa học. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình, bạn bè, các thành viên lớp cao học Toán Giải tích khóa 15 đợt 1 niên khóa 2011 - 2013 để tác giả hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 8 năm 2013 Tác giả Dương Chiến Thắng ii LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại Trương Đại học Sư phàm Hà Nội 2 dưới Sự hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Quỳnh Nga. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan luận văn được hoàn thành không trùng với bất kỳ luận văn nào khác. Hà Nội, tháng 8 năm 2013 Tác giả Dương Chiến Thắng Mục lục Mở đầu 1 1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu 3 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach. . . . . 3 1.2 Toán tử giả nghịch đảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung. 6 1.3.1 Khung trong không gian hữu hạn chiều. . . . . . . . 7 1.3.2 Khung trong không gian Hilbert tổng quát. . . . . . 9 2 Nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung. 17 2.1 Nhiễu của các toán tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Ứng dụng vào lý thuyết khung. . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Mở rộng lý thuyết khung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 iii Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Năm 1877, Carl Neumann đã chứng minh định lý nổi tiếng sau: Nếu X là một không gian Banach và T : X → X là một ánh xạ tuyến tính thỏa mãn kI − T k < 1 thì T là một ánh xạ khả nghịch. Định lý này nói rằng nếu T đủ gần với ánh xạ đồng nhất I thì T khả nghịch. Thực ra điều kiện để T khả nghịch có thể yếu hơn nhiều. Năm 1948, Hilding [7] đã chứng minh định lý ở dạng tổng quát hơn: Nếu X là không gian Banach và T : X → X là một ánh xạ tuyến tính, λ ∈ [0; 1) và với mọi x ∈ X, k(I − T )xk ≤ λ(kxk + kT xk) thì T là ánh xạ khả nghịch. Thay vì gắn với I, nếu xét toán tử V gần với một toán tử khả nghịch U theo một nghĩa tương tự như của Hilding thì cũng có thể khẳng định được V khả nghịch. Kết quả trên đặc biệt có ý nghĩa khi ứng dụng vào lý thuyết khung. Khung trong không gian Hilbert được đưa ra bởi Duffin và Schaeffer [6] vào năm 1952 khi đang nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa, tức  là chuỗi thiết lập từ eiλn x n∈Z trong đó λn ∈ R hoặc C, ∀n ∈ Z . Tuy nhiên khung không nhận được sự quan tâm rộng rãi cho đến khi bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [5] ra đời năm 1986. Kể từ đó, lý thuyết khung bắt đầu phát triển mạnh mẽ do những ứng dụng trong xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, lý thuyết lượng tử. . . Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về bài toán nhiễu của các toán tử và sử dụng chúng vào nghiên cứu tính ổn định của các khung dưới các nhiễu trong cả không gian Hilbert và Banach, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Cô giáo, TS Nguyễn Quỳnh Nga, tôi đã mạnh dạn chọn 1 2 nghiên cứu đề tài: ”Nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung ” để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về nhiễu của các toán tử. Nghiên cứu tính ổn định của các khung dưới các nhiễu trong cả không gian Hilbert và Banach. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung, nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung. Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung. 5. Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu và các bài báo về nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung. Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất. 6. Dự kiến đóng góp của luận văn Luận văn là một tài liệu tổng quan về bài toán nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung. Chương 1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một vài kết quả cơ bản sẽ dùng trong chương sau. Các kết quả này được tham khảo từ tài liệu [3], [9], [10]. 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach. Toán tử tuyến tính T từ không gian Banach H vào không gian Banach K là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số c>0 sao cho kT xk ≤ c kxk , với mọi x ∈ X (1.1) Ký hiệu B(X,Y ) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y. Khi X=Y thì B(X,Y ) được ký hiệu đơn giản là B(X ). Chuẩn của T ∈ B(X, Y ) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa mãn (1.1). Nói một cách tương đương, kT k = sup {kT xk : x ∈ X, kxk ≤ 1} = sup {kT xk : x ∈ X, kxk = 1} . Gọi X’ là không gian tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X, X’ được gọi là không gian đối ngẫu của không gian X. 3 4 Ký hiệu x ∈ X, x∗ ∈ X 0 và hx, x∗ i := x∗ (x) Mệnh đề 1.1.1. Giả sử X,Y,Z là các không gian Banach. Nếu T ∈ B(X, Y ) thì tồn tại duy nhất một phần tử T ∗ ∈ B(Y 0 , X 0 ) sao cho hT x, y ∗ i = hx, T ∗ y ∗ i , (x ∈ X, y ∗ ∈ Y 0 ) . Hơn nữa i)(aS + bT )∗ = aS ∗ + bT ∗ . ii)(RS)∗ = S ∗ R∗ . iii) Nếu T khả nghịch thì T ∗ cũng khả nghịch và T −1 trong đó S, T ∈ B(X, Y ) và R ∈ B(Y, Z), a, b ∈ C.
∗ = (T ∗ )−1 , Toán tử T ∗ ở mệnh đề 1.1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T. Mệnh đề 1.1.2. Giả sử T ∈ B(X, Y ) và S ∈ B (Y, Z) . Khi đó i) kT xk ≤ kT k kxk , ∀x ∈ X. ii) kST k ≤ kSk kT k . iii) kT k = kT ∗ k . Giả sử X là không gian Banach, M là không gian con của X và N là không gian con của X’. Ta định nghĩa M ⊥ = {x∗ ∈ X 0 : hx, x∗ i = 0, ∀x ∈ M } , ⊥ N = {x ∈ X : hx, x∗ i = 0, ∀x∗ ∈ N } . Giả sử T ∈ B(X, Y ).Ta ký hiệu N (T ) = {x ∈ X : T x = 0} ,  R(T ) = y ∈ Y : y = T x với x ∈ X . Định lý 1.1.3. Giả sử X,Y là các không gian Banach, T ∈ B(X, Y ). Khi đó N (T ∗ ) = R(T )⊥ và N (T ) =⊥ R(T ∗ ). Trong trường hợp các không gian là Hilbert thì ta có Mệnh đề 1.1.4. Giả sử H,K,L là các không gian Hilbert. 5 Nếu T ∈ B(H, K)thì tồn tại duy nhất một phần tử T ∗ ∈ B(K, H) sao cho hT ∗ x, yi = hx, T yi , ∀x ∈ K,∀y ∈ H Hơn nữa i) (aS + bT )∗ = aS ∗ + bT ∗ ii) (RS)∗ = S ∗ R∗ iii) (T ∗ )∗ = T iv) I ∗ = I v) Nếu T khả nghịch thì T ∗ cũng khả nghịch và T −1 trong đó S, T ∈ B(H, K), R ∈ B(K,L) và a,b ∈ C.
∗ = (T ∗ )−1 , Toán tử T ∗ ở mệnh đề 1.1.4 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T. Mệnh đề 1.1.5. Giả sử T ∈ B(H, K) và S ∈ B(K,L). Khi đó i) kT xk ≤ kT k kxk , ∀x ∈ X. ii) kST k ≤ kSk kT k . iii) kT k = kT ∗ k . iv) kT ∗ T k = kT k2 . Định lý 1.1.6. Nếu T ∈ B(H) thì N (T ∗ ) = R(T )⊥ và N (T ) = R(T ∗ )⊥ . Định nghĩa 1.1.7. Cho H là không gian Hilbert và T ∈ B(H). T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T ∗ = T, là unita nếu T ∗ T = T T ∗ = I . T được gọi là dương ( ký hiệu T ≥ 0 ) nếu hT x, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H. T, K ∈ B(H), T ≥ K nếu T − K ≥ 0. Mệnh đề 1.1.8. Cho H là không gian Hilbert. Giả sử T ∈ B(H). Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương. i) T là dương. ii) T=S2 trong đó S là toán tử dương. iii) T=V∗ V trong đó V ∈ B(H). Toán tử S trong ii), là duy nhất và được gọi là căn bậc hai của T, ký hiệu 1 là T 2 . 6 1.2 Toán tử giả nghịch đảo. Từ đại số ma trận ta biết rằng không phải tất cả các ma trận đều có ma trận nghịch đảo. Ta muốn tìm một dạng “nghịch đảo suy rộng” trong trường hợp không tồn tại nghịch đảo mà vẫn nắm giữ ít nhất một vài đặc tính hữu ích. Cho ma trận E(mxn), chúng ta xem nó như là một ánh xạ tuyến tính từ C n vào C m . E không nhất thiết là một đơn ánh, nhưng bằng cách giới hạn E trên phần bù trực giao của hạch NE , chúng ta có một ánh xạ tuyến e : N ⊥ → Cm tính đơn ánh. E E e có cùng miền giá trị, R e = RE do vậy E e được xem như là một E và E E  −1 ⊥ e : RE → NE⊥ . ánh xạ tuyến tính từ NE đến RE có một nghịch đảo E  −1 e Chúng ta có thể mở rộng E thành một toán tử E † : C m → C n bằng cách định nghĩa:  −1 ⊥ e E (y + z) = E y nếu y ∈ RE , z ∈ RE † (1.2) Với định nghĩa này EE† x = x, ∀x ∈ RE . (1.3) Toán tử E † được gọi là giả nghịch đảo của E. Từ định nghĩa đó chúng ta có: ⊥ NE † = RE = NE ∗ , RE † = NE⊥ = RE ∗ (1.4) 1.3 Một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung. Trong nghiên cứu không gian véc tơ một trong những khái niệm quan trọng nhất là cơ sở, cho phép mỗi phần tử ở trong không gian được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở. Tuy nhiên, điều kiện là cơ sở rất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữa các thành phần và đôi khi chúng ta thậm chí yêu cầu các thành phần trực giao tương ứng với một tích vô hướng. Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đây là lí 7 do mà người ta mong muốn tìm một công cụ linh hoạt hơn. Khung là công cụ như vậy. Một khung cho một không gian véc tơ được trang bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung, nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử khung là không cần thiết. Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung cần đến cho chương 2. Các kết quả của mục này có thể tham khảo trong [1], [3]. Trước tiên chúng ta xem xét trường hợp không gian là hữu hạn chiều. 1.3.1 Khung trong không gian hữu hạn chiều. Cho V là một không gian véc tơ hữu hạn chiều, được trang bị một tích vô hướng <.,.>. Nhớ lại rằng một dãy {ej }m j=1 trong V là một cơ sở của V nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn i) V =span {ej }m j=1 . ii) {ej }m j=1 là độc lập tuyến tính, nghĩa là nếu m P cj ej = 0 với các hệ j=1 số vô hướng {cj }m j=1 thì cj = 0, (j=1,2,...,m). Như một hệ quả của định nghĩa này, mọi f ∈ V có một biểu diễn duy nhất theo các thành phần trong cơ sở, tức là, tồn tại các hệ số vô hướng duy nhất {cj }m j=1 sao cho m X f= cj ej (1.5) j=1 Nếu {ej }m j=1 là một cơ sở trực chuẩn, nghĩa là là một cơ sở với ( hei , ej i = δij = 0 nếu i 6= j , 1 nếu i = j Khi đó hệ số {cj }m j=1 rất dễ tìm, đó chính là tích trong của f trong (1.5) 8 với một ej tùy ý hf, ej i = * m X + ci ei , ej i=1 Vì vậy f= = m X ci hei , ej i = cj i=1 m X hf, ej i ej (1.6) j=1 Bây giờ ta giới thiệu về khung; ta sẽ chứng minh rằng một khung {fj }m j=1 cũng cho ta một biểu diễn như (1.5). Định nghĩa 1.3.1. Một họ đếm được của các véc tơ {fj }j∈J trong V được gọi là một khung của V nên tồn tại các hằng số A,B>0 sao cho X 2 |hf, fj i|2 ≤ Bkf k2 , ∀f ∈ V (1.7) Akf k ≤ j∈J Các số A,B được gọi là các cận khung. Chúng không là duy nhất. Cận khung dưới tối ưu là supremum trên tất cả các cận khung dưới và cận khung trên tối ưu là infimum trên tất cả các cận khung trên. Chú ý rằng các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự. Trong không gian véc tơ hữu hạn chiều sẽ là không tự nhiên(mặc dù có thể) khi xét các họ {fj }j∈J có vô hạn các phần tử. Trong phần này chúng ta chỉ xem xét các họ hữu hạn {fj }m j=1 , m ∈ N . Với hạn chế này, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz chỉ ra rằng m m P P 2 |hf, fj i| ≤ kfj k2 kf k2 với mọi f ∈ V , nghĩa là, điều kiện khung j=1 j=1 trên tự động được thỏa mãn. Tuy nhiên, ta có thể tìm một cận khung trên m P tốt hơn kfj k2 . j=1 Để cho điều kiện dưới trong (1.7) thỏa mãn, cần thiết rằng span {fj }m j=1 = V . Điều kiện này là đủ; mọi dãy hữu hạn là một khung cho bao tuyến tính của nó. m Mệnh đề 1.3.2. Cho {fj }m j=1 là một dãy trong V. Khi đó {fj }j=1 là một 9 khung cho span {fj }m j=1 . Chứng minh. Chúng ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các fj đều bằng không. Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa mãn với B = m P kfj k2 . Bây giờ lấy W :=span {fj }m j=1 và xem xét ánh xạ liên tục j=1 ∅ : W → R, ∅ (f ) := m X 2 |hf, fj i| . j=1 Hình cầu đơn vị trong W là compact, vì vậy ta có thể tìm g ∈ W với kgk = 1 sao cho   2 2 m m X  X A := |hg, fj i| = inf |hf, fj i| : f ∈ W , kf k = 1 .   j=1 j=1 Rõ ràng là A>0. Bây giờ ta lấy f ∈ W , f 6= 0, ta có 2 m  X   f  kf k2 ≥ Akf k2 .  , f |hf, fj i| = j   kf k j=1 j=1 m X 2 Mệnh đề được chứng minh. Hệ quả 1.3.3. Một họ các phần tử {fj }kj=1 trong V là một khung của V khi và chỉ khi span {fj }kj=1 = V. Hệ quả 1.3.3 chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần tử cần thiết để làm cơ sở. Đặc biệt, nếu {fj }kj=1 là một khung của V và {gj }m j=1 là một tập hữu hạn tùy ý các véc tơ trong V thì {fj }kj=1 ∪ {gj }m j=1 cũng là một khung của V. 1.3.2 Khung trong không gian Hilbert tổng quát. Cho H là một không gian Hilbert tách được, với tích vô hướng < ., . > tuyến tính theo thành phần thứ nhất. Họ các phần tử {f }∞ i=1 ⊆ H được 10 gọi là dãy Bessel nếu ∃B > 0 : ∞ P 2 |hf, fi i| ≤ Bkf k2 , ∀f ∈ H. Một dãy i=1 Bessel {fi }∞ i=1 là một khung nếu ∃A > 0 : Akf k2 ≤ ∞ P |hf, fi i|2 , ∀f ∈ H. i=1 Điều đó có nghĩa là dãy {fi }∞ i=1 trong H là một khung nếu tồn tại hai hằng số 0 < A ≤ B < ∞ sao cho 2 Akf k ≤ ∞ X |hf, fi i|2 ≤ Bkf k2 , ∀f ∈ H. i=1 Khung {fi }∞ i=1 được gọi là chặt nếu A=B và được gọi là khung Parseval nếu A=B=1.  √ T √ T T 3 1 3 1 2 Ví dụ 1.3.4. Lấy H = C , e1 = (0, 1) , e2 = 2 , 2 , e3 = 2 , − 2 . {e1 , e2 , e3 } là một khung chặt với cận khung là (x1 , x2 )T ∈ H bất kỳ, ta có 3 2. Thật vậy, với x = 2  √ 2 √   3  1  1    3 2 2 |hx, ej i| = |x2 | +  x1 + x2  +  x1 − x2   2  2 2  2  j=1 i 3h 2 2 |x1 | + |x2 | = 2 3 = kxk2 . 2 3 X Ví dụ 1.3.5. Giả sử {ek }∞ k=1 là một cơ sở trực chuẩn của H. (i) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {ek }∞ k=1 2 lần ta thu được ∞ {fk }∞ k=1 = {e1 , e1 , e2 , e2 , ...} khi đó {fk }k=1 là khung chặt với cận khung A=2. ∞ ∞ P P Thật vậy, ta có |hf, fk i|2 = 2 |hf, ek i|2 = 2kf k2 , ∀f ∈ H. k=1 k=1 Nếu chỉ e1 được lặp lại ta thu được {fk }∞ k=1 = {e1 , e1 , e2 , e3 , ...} khi đó 11 {fk }∞ k=1 là một khung với cận A=1,B=2. Thật vậy, ta có ∞ X 2 2 |hf, fk i| = |hf, e1 i| + ∞ X |hf, ek i|2 k=1 k=1 ≤ ∞ X 2 |hf, ek i| + k=1 ∞ X =2 ∞ X |hf, ek i|2 k=1 |hf, ek i|2 k=1 = 2kf k2 . Mặt khác |hf, e1 i|2 + ∞ P |hf, ek i|2 ≥ k=1 Do đó kf k2 ≤ ∞ P (ii) Giả sử {fk }∞ k=1 |hf, ek i|2 = kf k2 k=1 |hf, fk i|2 ≤ 2kf k2 , ∀f ∈ H. k=1 ∞ {fk }k=1 là Vì vậy khung trên là 2. ∞ P một khung với một cận khung dưới là 1 và một cận {fk }∞ k=1 n o := e1 , √12 e2 , √12 e2 , √13 e3 , √13 e3 , √13 e3 , ... mỗi véc tơ √1k ek được lặp lại k lần. Khi là dãy mà f ∈ H có  2 ∞ ∞ X X   1 2 k  f, f √ ek  = kf k2 |hf, fk i| = k k=1 k=1 , nghĩa là đó với mỗi Vì thế {fk } là một khung chặt của H với cận khung A=1. Ví dụ 1.3.6. Cho K = L2 (T ) trong đó T là đường tròn đơn vị với độ đo  Lebesgue chuẩn hóa. Khi đó eins : n ∈ Z là một cơ sở trực chuẩn tiêu  chuẩn cho L2 (T ). Nếu E ⊆ T là tập đo được bất kỳ thì eins E : n ∈ Z là một khung Parseval cho L2 (E). Chứng minh. Thật vậy, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 1.3.7. Cho H là một không gian Hilbert và K là một không gian con đóng của H. Gọi P là phép chiếu trực giao từ H lên K và {ei }i∈I là một cơ sở trực chuẩn của H. Khi đó {P ei }i∈I là một khung Parseval của K. 12 Chứng minh. Gọi f là một phần tử thuộc K bất kỳ. Khi đó P f = f. Ta có P i∈I |hf, P ei i|2 = P |hP f, ei i|2 = i∈I P |hf, ei i|2 = kf k2 . i∈I Do đó {P ei }i∈I là một khung Parseval của K. ( f (t) nếu t ∈ E Cho f ∈ L2 (E). Đặt fe(t) = 0 nếu t ∈ T \E Khi đó fe(t) ∈ L2 (T ). Do đó bằng cách đồng nhất f vàfe ta có thể coi L2 (E) là một không gian con đóng của L2 (T ). Gọi P là phép chiếu trực  ins 2 2 ins ins  giao từ L (T ) lên L (E) khi đó P (e ) = e E . Do e n∈Z là cơ sở  trực chuẩn của L2 (T ) nên theo bổ đề 1.3.7 eins E n∈Z là khung Parseval cho L2 (E). Từ định nghĩa ta suy ra nếu {fi }∞ i=1 là một khung hoặc chỉ là dãy Bessel ∞ 2 thì dãy {hf, fi i}i=1 là dãy thuộc l (N ). Ta có thể định nghĩa toán tử: U : H → l2 (N ), U f = {hf, fi i}∞ i=1 Rõ ràng toán tử U là tuyến tính. ∞ P 2 Do kU f k = |hf, fi i|2 ≤ Bkf k2 , ∀f ∈ H. i=1 √ nên U là bị chặn và kU k ≤ B . Nếu U là một khung thì kU f k2 ≥ Akf k2 , ∀f ∈ H nên U phải là một đơn ánh. Ký hiệu ej = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) trong đó 1 ở vị trí thứ j và 0 ở các vị 2 trí còn lại. Khi đó {ei }∞ i=1 làm thành cơ sở trực chuẩn của l (N ). Cơ sở trực chuẩn này thường được gọi là cơ sở trực chuẩn chuẩn tắc của l2 (N ). Gọi T : l2 (N ) → H là toán tử liên hợp của U. Theo định nghĩa toán tử liên hợp thì: hf, T ej i = hU f, ej i = *∞ X i=1 + hf, fi i ei , ej = hf, fj i , ∀f ∈ H. 13 Do đó T ej = fj , ∀j ∈ N. Do U là toán tử tuyến tính bị chặn nên toán tử T cũng là tuyến tính bị chặn và vì vậy T ∞ X ! ci ei = i=1 Do kT k = kU k và kU k ≤ ∞ X ci T ei = ∞ X i=1 √ B nên kT k ≤ ci fi . i=1 √ B. Toán tử U thường được gọi là toán tử phân tích, toán tử T thường được gọi là toán tử tổng hợp. Toán tử S định nghĩa bởi S = TU thường được gọi là toán tử khung. Lấy liên hợp ta có S ∗ = (T U )∗ = U ∗ T ∗ = T U = S. Vậy S là toán tử tự liên hợp. ∞ P Ta có: Sf = T Uf = T ({hf, fi i}∞ ) = hf, fi i fi i=1 i=1  ∞ ∞ ∞ P P P hf, fi i fi , f = hf, fi i hfi , f i = |hf, fi i|2 . Và hSf, f i = i=1 i=1 i=1 Do đó {fi }∞ i=1 là một khung khi và chỉ khi A hf, f i ≤ hSf, f i ≤ B hf, f i , ∀f ∈ H. Điều đó có nghĩa là AI ≤ S ≤ BI với A,B>0. Do đó S là toán tử dương và bị chặn dưới bởi hằng số A>0. Bổ đề 1.3.8. Nếu một toán tử tuyến tính bị chặn S trên H là bị chặn dưới bởi một hằng số dương chặt A thì S là khả nghịch và S −1 bị chặn bởi A1 . Chứng minh. Gọi R(S) = {f ∈ H : f = Sg, g ∈ H}. Ta sẽ chứng minh R(S) là một không gian con đóng của H. Điều này có nghĩa là mọi dãy Cauchy trong R(S) có giới hạn trong R(S). Thật vậy, giả sử {fn } là một dãy Cauchy trong R(S). Khi đó fn = Sgn với gn ∈ H . Ta có kgn − gm k2 ≤ A1 hS (gn − gm ) , gn − gm i ≤ A1 kS (gn − gm )k kgn − gm k do S ≥ AI nghĩa là hSf, f i ≥ Akf k2 , ∀f ∈ H. Từ đó suy ra kgn − gm k ≤ 1 A kS(gn − gm )k = 1 A kfn − fm k . Vì vậy {gn } là dãy Cauchy 14 trong H. Do đó nó phải có giới hạn g . Do S là liên tục nên Sg = lim Sgn = n→∞ lim fn . Vậy R(S) là không gian con đóng của H. n→∞ Bây giờ ta sẽ đi chứng minh phần bù trực giao của R(S) là {0}. Thật vậy, nếu hf, Sgi = 0, ∀g ∈ H , thì đặc biệt hf, Sf i = 0. Nhưng hf, Sf i ≥ Akf k2 . Vì vậy kf k = 0 và do đó f = 0. Kết hợp với R(S) là không gian con đóng của H nên R(S) = H và vì vậy S là toàn ánh. Do hf, Sf i ≥ Akf k2 nên S là đơn ánh. Vậy S là khả nghịch. Với bất kỳ ta có thể viết f = Sg hay tương đương S −1 f = g. f−1∈ H   2 Hơn nữa A S f ≤ SS −1 f, S −1 f = f, S −1 f ≤ kf k S −1 f . Do đó S −1 f ≤ A1 kf k , ∀f ∈ H tức là S bị chặn bởi A1 . Ta có khai triển khung sau: −1 f = SS f = ∞ X S −1 ∞ X  f, fi fi = f, S −1 fi fi , ∀f ∈ H. i=1  i=1  Ta có thể chứng minh được S −1 fi là một khung của H. Thật vậy ∞ ∞ X X   −1    f, S −1 fi 2 =  S f, fi 2 = S −1 f 2 ≤ S −1 2 kf k2 , ∀f ∈ H. i=1 i=1 2 Mặt khác S −1 f ≥ 2 1 2 kf k . kSk ∞   P  f, S −1 fi 2 ≤ S −1 2 kf k2 , ∀f ∈ H. ≤ i=1  −1 Do đó S fi là một khung.  −1 S fi được gọi là khung đối ngẫu của khung {fi }∞ i=1 . ∞    ∞
P f, S −1 fi i=1 . Với mỗi f ∈ H ta có f = f, S −1 fi fi , nghĩa là f = T Vậy 2 1 2 kf k kSk i=1 Từ đó ta suy ra toán tử tổng hợp T là toàn ánh. ∞ Định nghĩa 1.3.9. Một cơ sở Riesz là một họ có dạng {fi }∞ i=1 = {T ei }i=1 15 ở đây {ei }∞ i=1 là một cơ sở trực chuẩn của H và T ∈ £ (H) . Trong đó £ (H) ký hiệu là tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục khả nghịch từ H → H. ∞ Mệnh đề 1.3.10. {fi }∞ i=1 là cơ sở Riesz khi và chỉ khi {fi }i=1 là một ∞ P 2 ci fi = 0, {ci }∞ khung và i=1 ∈ l (N ) ⇒ ci = 0, ∀i i=1 Chứng minh. (⇒) Giả sử {fi }∞ i=1 là cơ sở Riesz của không gian Hilbert H, nghĩa là fi = T ei , ∀i, trong đó T là toán tử tuyến tính bị chặn khả nghịch và {ei }∞ i=1 là một cơ sở trực chuẩn của H. Với ∀f ∈ H ta có 2 ∞ ∞ P P |hf, fi i|2 = |hf, T ei i| = kT ∗ f k2 ≤ kT ∗ k2 kf k2 = kT k2 kf k2 . i=1 i=1 Đặt g = T ∗ f khi đó f = (T ∗ )−1 g . 2 2 2 k(T ∗ )−1 gk kf k kf k kT f k = kgk ≥ = = 2 2 −1 kT k . k(T ∗ )−1 k k(T −1 )∗ k ∞ P 2 1 kf k ≤ |hf, fi i|2 ≤ kT k2 kf k2 , ∀f ∈ H. Vì vậy kT −1 2 k ∗ 2 2 i=1 Vậy {fi } là một khung. ∞ P 2 ci fi = 0 với {ci }∞ Giả sử i=1 ∈ l (N ). Khi đó i=1  ∞ ∞ ∞ ∞ P P P P c i T ei = T ci ei Do T khả nghịch nên ci ei = 0. 0= ci fi = i=1 i=1 i=1 i=1 Do {ei } là cơ sở trực chuẩn nên ci = 0, ∀i. ∞ P 2 (⇐) Giả sử {fi } là một khung và ci fi = 0 với {ci }∞ i=1 ∈ l (N ) thì ci = 0, ∀i. i=1 Gọi {ei } là cơ sở trực chuẩn chuẩn tắc của l2 (N ). Do {fi } là một khung nên toán tử tổng hợp T là toàn ánh. P Điều kiện ci fi = 0 kéo theo ci = 0, ∀i nói lên T là đơn ánh. Vậy T là song ánh thỏa mãn fi = T ei , ∀i. Do đó {fi } là cơ sở Riesz. Mệnh đề được chứng minh. Trong những ứng dụng của các khung, điều quan trọng là phải biết sự 16 khác nhau giữa một khung và một cơ sở Riesz. Một phương pháp tiếp cận là đưa ra một cơ sở gần Riesz như là một khung chứa một cơ sở Riesz thêm vào hữu hạn phần tử. Hướng tiếp cận thứ hai là đưa ra một khung Riesz được định nghĩa như là một khung, ở đó mọi họ con đều là một khung của bao tuyến tính đóng của nó, với các cận A,B chung cho tất cả các khung này. Khung Riesz chung nhiều tính chất với cơ sở Riesz và chúng luôn luôn chứa một cơ sở Riesz như là một họ con. Chương 2 Nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung. Một kết quả cổ điển đã được phát biểu là: Một toán tử U trên một không gian Banach là khả nghịch nếu nó đủ gần toán tử đồng nhất I nghĩa là kI − U k < 1. Ở đây chúng ta chứng minh U thật sự khả nghịch dưới một điều kiện yếu hơn. Như một ứng dụng, chúng ta chứng minh những định lí liên quan đến sự ổn định của các khung dưới các nhiễu trong cả các không gian Banach và các không gian Hilbert. Các kết quả của chương này có thể tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [4], [7], [8]. 2.1 Nhiễu của các toán tử. Trong mục này X và Y là các không gian Banach. Tập những toán tử khả nghịch, tuyến tính, bị chặn từ X vào Y được ký hiệu là £(X,Y) hoặc £(X) nếu X = Y. Chúng ta bắt đầu với một điều kiện để một toán tử giữa những không gian Banach là khả nghịch. Hầu hết việc chứng minh liên quan đến điều kiện kéo theo toán tử là toàn ánh. Hilding mới chỉ xét trong trường hợp toán tử trên không gian Hilbert nhưng chứng minh của ông được sử dụng trong trường hợp tổng quát hơn mà ta đang thảo luận ở đây. 17