Tài liệu Nhập môn về tôpô phân lá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Kiều Tuyết Vân NHẬP MÔN VỀ TÔPÔ PHÂN LÁ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Kiều Tuyết Vân NHẬP MÔN VỀ TÔPÔ PHÂN LÁ Chuyên ngành: Hình học và tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU .......................................................................................................... 1 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ................................ Error! Bookmark not defined. Chương 0:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................................4 Chương 1:CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ PHÂN LÁ ...........................................................8 1.1.PHÂN BỐ KHẢ TÍCH TRÊN ĐA TẠP VI PHÂN ...................................... 8 1.1.1.Định nghĩa............................................................................................... 8 1.1.2.Mệnh đề ................................................................................................. 8 1.2.PHÂN LÁ ...................................................................................................... 9 1.2.1.Định nghĩa của A.Connes ...................................................................... 9 1.2.2.Định nghĩa của I.Tamura ....................................................................... 9 1.2.3.Nhận xét ................................................................................................ 10 1.2.4.Phân lá được cho bởi phân thớ hoặc tác động nhóm ............................ 11 1.3.CÁC VÍ DỤ ................................................................................................. 12 1.4.TÔPÔ PHÂN LÁ ......................................................................................... 18 1.4.1.Không gian các lá của phân lá .............................................................. 18 1.4.2.Kiểu tôpô của các phân lá ..................................................................... 20 Chương 2:ĐỘ ĐO HOÀNH TRÊN ĐA TẠP PHÂN LÁ VÀ PHÂN LÁ ĐO ĐƯỢC………….. ..........................................................................................................21 2.1.KHÁI NIỆM ĐỘ ĐO HOÀNH VÀ PHÂN LÁ ĐO ĐƯỢC ....................... 21 2.1.1.Đa tạp con hoành. ................................................................................. 21 2.1.2.Tập hoành Borel.................................................................................... 23 2.1.3.Mệnh đề ................................................................................................ 24 2.1.4.Độ đo hoành đối với phân lá – phân lá đo được ................................... 24 2.2.SỰ LIÊN HỆ GIỮA ĐỘ ĐO HOÀNH VÀ ĐỘ ĐO THÔNG THƯỜNG .. 25 Chương 3:PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K – QUỸ ĐẠO............................................27 3.1.BIỂU DIỄN PHỤ HỢP VÀ K – BIỂU DIỄN ............................................. 27 3.1.1.Biểu diễn phụ hợp ................................................................................. 27 3.1.2.K – biểu diễn của một nhóm Lie .......................................................... 28 3.1.3.Các MD – nhóm và MD – đại số .......................................................... 28 3.2.LỚP MD4 – ĐẠI SỐ VÀ MD4 - NHÓM ................................................... 28 3.2.1.Mệnh đề ............................................................................................... 29 3.2.2.Định lý 1 ............................................................................................... 29 3.2.3.Nhận xét ................................................................................................ 31 3.3.LỚP MD5 – ĐẠI SỐ VÀ MD5 – NHÓM BẤT KHẢ PHÂN VỚI IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN 3 HOẶC 4 CHIỀU .........................................................32 3.3.1.Các MD5 – đại số với ideal dẫn xuất 3 chiều giao hoán và các MD5 – nhóm liên thông tương ứng ..................................................................................... 32 3.3.2.Các MD5 – đại số với ideal dẫn xuất 4 chiều giao hoán và các MD5 – nhóm liên thông đơn liên tương ứng ....................................................................... 33 3.4.PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ CÁC K – QUỸ ĐẠO ........................................ 36 3.4.1.Định nghĩa............................................................................................. 36 3.4.2.Nhận xét………………………………….............................................36 3.4.3.Bổ đề .................................................................................................... 37 3.4.4.Nhận xét ................................................................................................ 37 3.4.5.Bổ đề .................................................................................................... 37 3.4.6.Mệnh đề ............................................................................................... 37 3.4.7.Hệ quả ................................................................................................... 38 3.4.8.Hệ quả .................................................................................................. 38 3.4.9.Nhận xét ................................................................................................ 38 3.4.10.Chú ý ................................................................................................... 38 3.5.BỨC TRANH CÁC K – QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MDn – NHÓM ĐƠN LIÊN BẤT KHẢ PHÂN ( n = 4,5 ) ĐÃ XÉT ........................................................................38 3.5.1.Bức tranh K – quỹ đạo của các MD4 – nhóm đơn liên bất khả phân ... 38 3.5.2.Bức tranh K – quỹ đạo của các MD5 – nhóm đơn liên bất khả phân đã xét………………. ......................................................................................... 41 3.6.LỚP CÁC MDn – PHÂN LÁ ..................................................................... 51 3.6.1.Định lý 3 .............................................................................................. 51 3.6.2.Chú ý ..................................................................................................... 51 3.6.3.Chứng minh định lý 3 ........................................................................... 51 3.6.4.Định lý 4 ............................................................................................... 54 3.7.PHÂN LOẠI TÔPÔ CÁC MD4 – PHÂN LÁ............................................. 55 3.7.1.Định lý 5 .............................................................................................. 55 3.7.2.Chứng minh định lý 5 ........................................................................... 55 3.7.3.Nhận xét ................................................................................................ 59 THAY LỜI KẾT LUẬN ......................................................................................... 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 61 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ad : Biểu diễn phụ hợp của G trong  . Aff  : Đường thẳng affin phức. Aut : Nhóm Lie các tự đẳng cấu  − tuyến tính của  . BV : σ − đại số các Borel của V .  : Trường số phức. * : Trường số phức khác 0. End  : Đại số các đồng cấu  − tuyến tính của  .  : Phân bố xác định phân lá. y : Phân thớ tại y của  . ∂ : Phân lá cảm sinh từ  lên ∂V . F, X : Giá trị của dạng tuyến tính F tại trường vectơ X . G : Nhóm Lie. GLn (  ) : Nhóm các ma trận vuông thực khả nghịch cấp n. G4,2,1 : MD4 – nhóm tương ứng với MD4 – đại số 4,2,1 .  G : Nhóm Lie tương ứng với đại số Lie  .  : Đại số Lie của nhóm Lie G . * : Không gian đối ngẫu của  .  : Ideal bất khả phân trong  . *  : Không gian đối ngẫu của  .  1 = [ ,  ] : ideal dẫn xuất của  . 4,2,1 : MD4 – đại số với ideal dẫn xuất 2 – chiều, 1 là trường hợp đầu tiên trong phân loại. gen( Z ) : Không gian vectơ có cơ sở là Z . h3 : Đại số Lie Heisenberg 3 – chiều. JU : Định thức của ma trận Jacobi Matn (  ) : Đại số các ma trận vuông thực cấp n. Λ : Độ đo hoành. ΩF : K – quỹ đạo của G đi qua F .  (G ) : Tập các K – quỹ đạo của G .  : Trường số thực. * : Trường số thực khác 0. .h3 : Đại số Lie kim cương thực. SG : Hệ vi phân sinh ra phân bố G . (U , ϕ ) : Bản đồ phân lá. V : Đa tạp trơn. (V ,  ) : Phân lá. ∂V : Bờ của V . V : Không gian lá của phân lá (V ,  ) .  [ X ,Y ] : Móc Lie của X và Y . XG : Đa trường vectơ không triệt tiêu đối với G . LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết phân lá là một ngành của hình học ra đời và phát triển từ giữa thế kỷ XX. Các phân lá đầu tiên được xuất hiện khi khảo sát các lời giải của một hệ khả tích các phương trình vi phân thường. Nhưng chỉ bắt đầu từ các công trình của G.Reeb năm 1952, các phân lá mới thật sự trở thành đối tượng của các nghiên cứu mang tính chất hình học. Đối với mỗi phân lá (V ,  ) , vấn đề toàn cục đáng quan tâm đầu tiên là nghiên cứu không gian các lá V  của nó, đó là không gian thương của đa tạp phân lá V khi thu các lá về một điểm. Khá nhiều ví dụ về các phân lá chỉ ra rằng tôpô của V  có thể không tách, thậm chí có khi là tôpô tầm thường. Mặt khác, nhiều ví dụ về phân lá cũng cho thấy một vấn đề cần phải lưu ý là: mặc dù đa tạp V của phân lá (V ,  ) là compact, các lá của nó có thể không compact. Do đó khó có thể nói gì về những tính chất toàn cục của lá không compact L từ những thông tin địa phương được cho bởi phân bố xác định phân lá. Trong khi đó nếu lá L compact, nhiều kết quả của hình học vi phân cho phép chuyển thông tin địa phương của phân thớ tiếp xúc sang các bất biến toàn cục của L . Như vậy, khi nghiên cứu tôpô phân lá, một trong những điều cần quan tâm trước tiên là “ số lượng” các lá không compact trong không gian lá. Nói cách khác, cần tìm cách trang bị cho không gian lá một độ đo thích hợp. A.Connes đã đưa ra khái niệm về độ đo hoành đặc biệt thích hơp với không gian lá của các phân lá. Phương pháp quỹ đạo Kirillov cho phép chúng ta thu được các phân lá tạo thành từ các K – quỹ đạo ở vị trí tổng quát của các nhóm Lie. Đối với các phân lá kiểu đó, không gian các lá lại có liên hệ trực tiếp với không gian các K – quỹ đạo của nhóm được xét. Đặc biệt chúng ta sẽ quan tâm đến lớp các MDn – nhóm . Các MD – nhóm rất đơn giản về phương diện phân tầng các K – quỹ đạo. Do đó không gian các K – quỹ đạo khá đơn giản. Tuy nhiên việc phân loại chúng mới chỉ được đề cập với các MDn – nhóm 4, 5 chiều (tức là n = 4 hay n = 5). Các không gian phân lá tạo thành từ các K – quỹ đạo chiều cực đại của các MDn – nhóm (bất khả phân) sẽ được gọi đơn giản là MDn – phân lá. Có thể nói, lý thuyết tôpô phân lá là một hướng nghiên cứu đặc biệt thuộc ngành của hình học – tôpô và có nhiều ứng dụng trong vật lý, cơ học. Bởi thế, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu về các phân lá, đặc biệt là các MDn – phân lá nhằm mục đích giới thiệu cho bạn đọc biết những kiến thức cơ bản về tôpô phân lá và một số hướng nghiên cứu hiện đại về phân lá. Do đó đề tài được mang tên “Nhập môn về tôpô phân lá”. Về nội dung, luận văn gồm: Lời nói đầu, 4 chương và lời kết luận. Chương 0: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ nhằm nhắc lại những kiến thức cơ bản có liên quan đến nội dung của luận văn. Chương 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ PHÂN LÁ nhằm giới thiệu chủ yếu định nghĩa của Connes và so sánh đối chiếu với định nghĩa của Tamura kèm theo các ví dụ. Chương 2: ĐỘ ĐO HOÀNH TRÊN ĐA TẠP PHÂN LÁ VÀ PHÂN LÁ ĐO ĐƯỢC Mục đích của chương này là nêu khái niệm về độ đo hoành và phân lá đo được, sau đó chỉ ra mối liên hệ giữa độ đo hoành và độ đo thông thường. Chương 3: PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K – QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA MỘT LỚP NHÓM LIE GIẢI ĐƯỢC. Đây là phần chính của luận văn, nội dung chủ yếu là trình bày lớp MD – nhóm các k – quỹ đạo 0 – chiều và số chiều cực đại, lấy một số MD điển hình, đồng thời phát biểu và chứng minh MD – phân lá. Do hạn chế về thời gian và kiến thức nên trong quá trình thực hiện sẽ không tránh khỏi những sai sót và hạn chế. Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn PGS.TS Lê Anh Vũ đã giảng dạy cho chúng tôi trong thời gian qua, tạo nền kiến thức quý báu và đã tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện để luận văn được hoàn thành. Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô, ban chủ nhiệm khoa đã giảng dạy chúng tôi trong thời gian qua, chân thành cảm ơn quý thầy cô phòng sau đại học đã tạo điều kiện để chúng tôi có thể thực hiện được luận văn này. Chương 0: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1. ĐA TẠP VI PHÂN 0.1.1. Đa tạp tôpô Cho M là một không gian tôpô Hausdorff và có cơ sở đếm được. M gọi là đa tạp tôpô m – chiều nếu mọi x ∈ M đều tồn tại một lân cận mở U của x và một đồng phôi ϕ : U → ϕ (U ) (⊂  ) m Cặp (U , ϕ ) gọi là bản đồ địa phương trong lân cận của x ( hay bản đồ địa phương xung quanh x ). Hệ A = {(Uα , ϕα )}α gọi là một atlat của M nếu {Uα }α là một phủ mở của M. 0.1.2.Chuyển bản đồ - phép đổi tọa độ * Giả sử M là một đa tạp tôpô m – chiều và (U , ϕ ) là một bản đồ địa phương xung quanh x0 với : ϕ :U → m x  ϕ ( x) = ( x1 ( x), x 2 ( x),..., x m ( x) ) Ta thu được m hàm xi : U →  x  xi ( x) (i = 1, m ) Ta gọi (U , x1 , x 2 ,..., x m ) là hệ tọa độ địa phương xác định bởi bản đồ (U , ϕ ) . Đôi khi ta cũng đồng nhất (U , ϕ ) với (U , x1 , x 2 ,..., x m ) . Với mọi x ∈ U , bộ ( x1 ( x), x 2 ( x),..., x m ( x) )(∈  m ) gọi là tọa độ của x trong hệ tọa độ địa phương đang xét. * Giả sử (Uα , ϕα ) , (U β , ϕ β ) là hai bản đồ địa phương trên M với Uα ∩ U β ≠ ∅ . Đặt ϕ βα ϕ β  ϕα−1 : ϕα (Uα ∩ U β ) → ϕ β (Uα ∩ U β ) = ϕ βα gọi là phép chuyển bản đồ (hay đổi tọa độ) từ (Uα , ϕα ) sang (U β , ϕ β ) . 0.1.3. Cấu trúc vi phân trên đa tạp tôpô – định nghĩa đa tạp khả vi Cho M là đa tạp tôpô m - chiều Ta nói atlat A là một atlat khả vi lớp C k (k ≥ 1) nếu mọi phép chuyển bản đồ của A đều khả vi lớp C k . Cho A , A ' là hai atlat khả vi. Ta nói A tương đương với A ' , ký hiệu A  A ' , U ∩ V ≠ ∅ ta đều có : ψ  ϕ −1 U ∩V ϕ (U ∩V ) : ϕ (U ∩ V ) → ψ (U ∩ V ) là ánh xạ khả vi. Dễ thấy quan hệ "  " là một quan hệ tương đương và nó định ra một sự chia lớp trên mọi tập atlat khả vi lớp C k của M. Mỗi lớp tương đương như vậy gọi là một cấu trúc khả vi (hay cấu trúc vi phân) lớp C k trên M. Đa tạp tôpô m – chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp C k đã cho trên nó được gọi là đa tạp vi phân m – chiều lớp C k . Khi k = ∞ thì cấu trúc khả vi tương thích được gọi là cấu trúc nhẵn ( trơn) trên M . Khi đó M được gọi là đa tạp trơn. Cho M là một đa tạp vi phân n – chiều và N là một tập con mở của M. Khi đó N trở thành một đa tạp vi phân n – chiều với cấu trúc vi phân cảm sinh một cách tự nhiên từ M. Khi đó ta gọi N là đa tạp con mở của M. 0.2. ÁNH XẠ KHẢ VI TRÊN CÁC ĐA TẠP VI PHÂN 0.2.1. Ánh xạ trên các đa tạp vi phân Cho M là một đa tạp vi phân n – chiều và M’ là một đa tạp vi phân m – chiều. Xét ánh xạ f : M → M ' liên tục và các bản đồ : (U , ϕ ) trên M ứng với hệ tọa độ địa (U , x , x ,..., x ) , phương 1 2 bản đồ n (V ,ψ ) trên M’ ứng với hệ tọa độ địa phương (V , y , y ,..., y ) sao cho f (U ) ⊂ V . 1 n 2 Xét f ψf U U cùng với ánh xạ  ϕ −1 : ϕ (U ) → ψ (V ) ( x ,..., x )  ( y ,..., y ) n 1 Với y j f = j ,..., x ) , ∀j ( x= 1 Tức là ψ  f ψf U n U n 1 1, n  ϕ −1 = ( f 1 ,..., f n ) với n thành phần f 1 , f 2 ,..., f n : ϕ (U ) →  .  ϕ −1 gọi là biểu diễn địa phương của ánh xạ f trong cặp bản đồ (tương thích với f ) (U , ϕ ) , (V ,ψ ) . Ta thường đồng nhất f U : U → V với chính biểu diễn địa phương của nó ψ  f U  ϕ −1 . 0.2.2. Ánh xạ khả vi trên các đa tạp vi phân Giữ nguyên tất cả các ký hiệu ở 0.2.1 Ánh xạ f : M → M ' được gọi là khả vi nếu với mọi cặp bản đồ ( (U , ϕ ) , (V ,ψ ) ) tương thích, biểu diễn địa phương f trong chúng : ψ  f  ϕ −1 là ánh xạ khả vi từ ϕ (U ) vào ψ (V ) . Xét ánh xạ tùy ý f : M → M ' , x0 là một điểm bất kỳ trên M . Ta bảo f là ánh xạ khả vi trong lân cận của x0 nếu tồn tại lân cận mở U (đủ bé) của x0 sao cho : f U : U → M ' là ánh xạ khả vi. 0.3. ĐƯỜNG CONG KHẢ VI TRÊN ĐA TẠP – VECTƠ TIẾP XÚC – KHÔNG GIAN TIẾP XÚC 0.3.1. Đường cong khả vi trên đa tạp vi phân Cho M là đa tạp vi phân n – chiều, I là một khoảng mở trên  . Xét ánh xạ liên tục : c:I → M t  c(t ) Ta nói c là đường cong khả vi trên M nếu c là ánh xạ khả vi. 0.3.2. Vectơ tiếp xúc – không gian tiếp xúc * Cho c : I → M là đường cong khả vi trên M và x0 = c(t0 ) là một điểm trên c . Vectơ tiếp xúc với c tại x0 ( ứng với t0 ) là một ánh xạ : X :  ( x0 ) →  d ( f  c(t ) ) t =t0 dt = ( f  c ) ' ( t0 ) dn f  Xf = Ở đó  ( x0 ) = { f / f là hàm khả vi trong lân cận x0 } Khi đó X f gọi là đạo hàm của f theo hướng của vectơ X hay đạo hàm của f theo hướng của c= tại x0 c(t0 ), t0 ∈ I . * Vectơ tiếp xúc của M tại x0 là một vectơ tiếp xúc X của một đường cong khả vi c : I → M nào đó trên M tại c(t0 ) = x0 . * Không gian tiếp xúc của M tại x0 là tập hợp tất cả các vectơ tiếp xúc tại x0 , ký hiệu Tx0 ( M ) . 0.4. ĐA TẠP CON 0.4.1. Phép nhúng Ánh xạ khả vi f : N → M từ đa tạp vi phân N vào đa tạp vi phân M gọi là một phép nhúng nếu f là một đơn ánh và f x : Tx ( N ) → Tx ( M ) là một đơn cấu tuyến tính với mọi x của M . 0.4.2. Đa tạp con Cho N là đa tạp khả vi n – chiều, M là đa tạp khả vi m – chiều mà M ⊂ N . M được gọi là đa tạp con của N nếu ánh xạ bao hàm i : M → N là một nhúng khả vi. 0.5. PHÂN THỚ TIẾP XÚC Giả sử M là đa tạp khả vi. Hợp T ( M ) =  T (M ) cùng với phép chiếu x x∈M p : T (M ) → M X ∈ Tx ( M )  p ( X ) = x Gọi là phân thớ tiếp xúc trên M . Chương 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ PHÂN LÁ Lý thuyết phân lá là một ngành của hình học ra đời và phát triển từ giữa thế kỷ XX. Các phân lá đầu tiên được xuất hiện khi khảo sát các lời giải của một hệ khả tích các phương trình vi phân thường. Nhưng chỉ bắt đầu từ các công trình của G.Reeb [10] năm 1952, các phân lá mới thật sự trở thành đối tượng của các nghiên cứu mang tính chất hình học. Chương này sẽ trình bày khái niệm về phân lá, cụ thể là đưa ra 2 định nghĩa thông dụng nhất của phân lá và một số ví dụ cơ bản về phân lá. Một số các ví dụ sẽ chỉ ra rằng hai định nghĩa về phân lá đã nêu không tương đương. Chương này được trình bày dựa trên cơ sở của các tài liệu tham khảo [2], [10], [11], … . 1.1. PHÂN BỐ KHẢ TÍCH TRÊN ĐA TẠP VI PHÂN 1.1.1. Định nghĩa Giả sử V là một đa tạp con trơn và TV là phân thớ tiếp xúc của nó. Một phân thớ (trơn) con  của TV được gọi là phân bố khả tích trên V nếu mỗi x ∈ V đều được chứa trong một đa tạp con W của V sao cho TyW= y , ∀y ∈ W . Ở đây, TyW chỉ không gian tiếp xúc tại y của W , còn y là phân thớ tại y của  . Đa tạp W như thế gọi là đa tạp con tích phân của  . TyW = y · ·x y V Hình 1.1 1.1.2. Mệnh đề (xem [2]) Với các ký hiệu như trên, các khẳng định sau đây là tương đương: (i) (ii) p :U → q  là phân bố khả tích trên V ∀x ∈ V , tồn tại đa tạp con mở U trong V chứa x và một phép ngập = y ( q =co dim  =dim V − dim  ) sao cho: ker ( p* ) y , ∀y ∈ U . (iii) C ∞ (  ) ={ X ∈ C ∞ (TV ) / X x ∈ x , x ∈ V } là đại số Lie con của đại số Lie C ∞ (TV ) các trường vectơ trơn trên V . (iv) Ideal J ( ) các dạng vi phân ngoài triệt tiêu trên  là ổn định với phép lấy vi phân ngoài. Như thế , mọi phân thớ con 1 - chiều  của TV đều khả tích. Nhưng khi dim  ≥ 2 , điều kiện khả tích là không tầm thường. 1.2. PHÂN LÁ 1.2.1. Định nghĩa của A.Connes ( xem [2]) (ĐN 1) Một phân lá (V ,  ) là một cặp gồm đa tạp trơn V cùng một phân bố khả tích  trên nó. Đa tạp V gọi là đa tạp phân lá, còn  gọi là phân bố xác định phân lá. Số chiều dim  , số đối chiều codim  : = dimV – dim  lần lượt được gọi là số chiều, số đối chiều của phân lá (V ,  ) . Mỗi đa tạp con tích phân liên thông tối đại L của  được gọi là một lá của phân lá (V ,  ) . Rõ ràng dim L = dim  . 1.2.2. Định nghĩa của I.Tamura (Xem [11]) (ĐN 2) Cho đa tạp vi phân n – chiều (lớp C ∞ ) V . Xét họ  = { Lα }α các tập con liên thông của V . Ta bảo  là một phân lá k - chiều trên V nếu các tiên đề sau đây thỏa mãn: ( F 1 ) Họ  là một phân hoạch của V , tức là: V;  ∪ Lα = α   Lα ∩ Lβ =∅, ∀α , β (α ≠ β ). ( F 2 ) Với mỗi x ∈ V , tồn tại bản đồ (U , ϕ ) xung quanh x sao cho với bất kỳ Lα nào mà U ∩ Lα ≠ ∅ , mỗi thành phần liên thông của ϕ (U ∩ Lα ) đều có dạng ϕ (U ) ∩ (  k × {c}) , ở đây c = (c k +1 ,..., c n ) ∈  n − k là hằng điểm, phụ thuộc vào từng thành phần liên thông. Khi đó, V được gọi là đa tạp phân lá, còn mỗi Lα được gọi là một lá. (V ,  ) được gọi là phân lá k – chiều, đối chiều n – k. (U , ϕ ) gọi là một bản đồ phân lá. Mỗi thành phần liên thông của U ∩ Lα được gọi là một tấm. ·x Lα V U ϕ k ϕ (U ) c  n−k Hình 1.2 1.2.3. Nhận xét 1.Từ ĐN 2 suy ra mỗi lá Lα là một đa tạp con k – chiều của đa tạp phân lá V . 2. Nếu đa tạp phân lá V có bờ không rỗng ∂V (đa tạp con n – 1 chiều của V ) và Lα ∩ ∂V ≠ ∅ thì do tính bất biến bờ và tính liên thông của Lα ta có Lα ⊂ ∂V . V ∂V U ·x ϕ Hn ϕ (U ) · ϕ ( x) hn = 0 Hình 1.3 Đặt ∂=: {Lα ∈  / Lα ⊂ ∂V } . Khi đó ∂ là một phân lá k – chiều, đối chiều (n – k – 1 ) trên ∂V . Ta gọi ∂ là phân lá cảm sinh từ  lên ∂V . Đặc biệt dim  = k = n − 1 (n − k = 1) tức là  là phân lá đối chiều 1 hay siêu phân lá trên V . Lúc này mỗi lá của ∂ chính là một thành phần liên thông của ∂V . Khi ∂V liên thông thì ∂V là lá duy nhất của ∂ . 3. Mỗi phân lá theo ĐN 1 đều là một phân lá theo ĐN 2. Cụ thể xét (V ,  ) là phân lá k – chiều, đối chiều (n – k ) theo ĐN 1. Đặt { Lα } là họ các lá của nó. Ta có: (i) { Lα } là một phân hoạch của V ( F 1 thỏa mãn ) (ii) Kiểm tra được (F 2 ) thỏa mãn. Tuy nhiên tồn tại những phân lá theo ĐN 2 nhưng không là phân lá theo ĐN 1. 1.2.4. Phân lá được cho bởi phân thớ hoặc tác động nhóm Nếu có một phân thớ (với thớ liên thông) p : V → B sao cho mỗi thớ của nó là và chỉ là một lá của phân lá (V ,  ) thì ta bảo rằng phân lá (V ,  ) được cho bởi phân thớ p :V → B . Tương tự nếu có nhóm Lie G tác động (liên tục) lên V sao cho mỗi quỹ đạo của G là và chỉ là một lá của phân lá (V ,  ) thì ta cũng bảo (V ,  ) được cho bởi tác động của nhóm G lên đa tạp phân lá V . 1.3. CÁC VÍ DỤ 1.3.1. Ví dụ 1 Xét mặt trụ 2 chiều V = [ −1;1] ×  và họ 1 các đường sinh thẳng của nó. Tức là = 1 {L =: { x} ×  / x ∈ [ −1;1]} . 1 x Hình vẽ dưới đây cho ta hình ảnh minh họa của V và 1 . y −1 1 x Hình 1.4 Khi đó (V , 1 ) là phân lá 1 – chiều, đối chiều 1 theo cả hai định nghĩa ĐN 1 và ĐN 2. A/ Chứng minh (V , 1 ) thỏa mãn ĐN 1 Trên V ta xét phân bố  sinh bởi trường vectơ hằng, cụ thể ta có: =  :M ( ( x0 , y0 ) ∈V  ) (  )  với M , e2 là vectơ có điểm gốc tại M , e2 = ( 0,1) . ( x0 , y0 ) ∈V thì M Mặt khác, ∀= Hơn = nữa M  M , e2 M thuộc vào đa tạp con 1 – chiều Lx0 .  = M , e2 TM Lx0 ( ) ( ) Vậy ta được  là một phân bố khả tích trên V . Do đó (V , 1 ) là phân lá 1 – chiều, đối chiều 1. B/ Chứng minh (V , 1 ) thỏa mãn ĐN 2 • (F 1 ) là tầm thường. • Ta kiểm tra (F 2 ): ∀M ∈ V , + Nếu M ∈ ( −1,1) ×  , ta chọn U = ( −1,1) ×  và ϕ : U = ( −1,1) ×  →  × ( −1,1) ( x, y )  ( y , x ) Khi đó U ∩ Lx = Lx , ∀Lx mà U ∩ Lx ≠ ∅ , ta có: ϕ (U ∩ Lx ) =ϕ ( Lx ) = × {x} =ϕ (U ) ∩ ( × {x}). + Nếu M ∈ {1} ×  , ta chọn U = ( −1,1] ×  và {( x, y ) ∈  2 = ϕ : ( −1,1] ×  →  × [ 0, 2 ) ⊂ H + 2 | y ≥ 0} ( x, y )  ( y,1 − x ) Khi đó U ∩ L= Lx , ∀Lx ∩ U ≠ ∅ , ta có: x ϕ (U ∩ Lx ) =ϕ ( Lx ) = × {(1 − x )} ( = ϕ (U ) ∩  × {(1 − x )} ) + Nếu M ∈ {−1} ×  , ta được kết quả hoàn toàn tương tự với U = [ −1,1) ×  và ϕ : ( x, y )  ( y,1 + x ) . 2 ϕ M −1 1 Hình 1.5 1.3.2. Ví dụ 2 Xét hình vành khăn W = [ −1,1] × S 1 và họ 2 các đường tròn đồng tâm trên nó. Tức là 2=: {L =: { x} × S 2 x 1 / x ∈ [ −1,1]} . Hình 1.6 Khi đó (W , 2 ) là phân lá 1 – chiều, đối chiều 1 theo cả hai định nghĩa ĐN 1 và ĐN 2. A/ Chứng minh (W , 2 ) thỏa mãn ĐN 1 Trên W ta xét phân bố  sinh bởi trường vectơ khả tích X : M= Tức là: ( x; ( u , v ) ) ∈ [ −1,1] × S 0 0  : M ∈W  Hơn nữa = M ( 0 0   M ;= n ( ( v0 , −u0 ) ) ,    M , n , với n ⊥ OM . ) ( x; ( u , v ) ) ∈W = ∀M Mặt khác, 1 thì M thuộc vào đa tạp con 1-chiều Lx .  = M,n TM Lx0 . ( ) ( ) Vậy ta được  là một phân bố khả tích trên W. B/ Chứng minh (W , 2 ) thỏa mãn ĐN 2 * (F 1 ) là tầm thường. * Ta kiểm tra (F 2 ): giả sử = S1 {(U ± u + v 1} , nhớ lại rằng trên {( u, v ) : u= 2 2 S 1 ta có họ các bản đồ là } , ϕu± ) , (U v± , ϕv± ) . ∀M ∈ V , ta xét các trường hợp: + Nếu M ∈ ( −1,1) × S 1 , M sẽ thuộc ít nhất một trong 4 bản đồ sau ± ± đó U u = ( −1,1) × U u± , U v = ( −1,1) × U v± và: ± ± ϕ u : U u = ( −1,1) × U u± → ( −1,1) ; 2 ( x; ( u, v ) )  ( v, x ) ± ± ϕ v : U v = ( −1,1) × U v± → ( −1,1) ( x; ( u, v ) )  ( u, x ) 2 {(U ,ϕ ) , (U ,ϕ )} , trong ± u ± u ± v ± v