Tài liệu Nguyên lý không chắc chắn đối với biểu diễn wigner cửa sổ (lv02155)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGÔ THỊ HƯƠNG GIANG NGUYÊN LÝ KHÔNG CHẮC CHẮN ĐỐI VỚI BIỂU DIỄN WIGNER - CỬA SỔ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn: TS. Bùi Kiên Cường LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến TS. Bùi Kiên Cường, người thầy đã tận tình hướng dẫn động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học để hoàn thành luận văn này. Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Toán Giải tích, khoa Toán, Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt luận văn. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị và các bạn lớp cao học đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu của mình. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp luôn động viên và chia sẻ khó khăn cùng tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Hà Nội, tháng 12 năm 2016 Học viên Ngô Thị Hương Giang Lời cam đoan Luận văn tốt nghiệp "Nguyên lý không chắc chắn đối với biểu diễn Wigner - cửa sổ" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy giáo - TS. Bùi Kiên Cường. Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2016 Học viên Ngô Thị Hương Giang Mục lục Bảng ký hiệu và viết tắt vi Mở đầu vii Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . viii Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii Dự kiến đóng góp của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu 1.1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Không gian Lp , (1 ≤ p ≤ ∞) . . . . . . . . . . . 1 1.1.3 Một số không gian các hàm thử và đối ngẫu . . . 2 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược . . . . 5 1.2.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) . . . . . 7 1.3 Một số biểu diễn thời gian - tần số . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Lớp phân bố Cohen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Nguyên lý không chắc chắn . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2 Một số không gian hàm ix iv v 2 Nguyên lý không chắc chắn đối với Biểu diễn Wigner cửa sổ 28 2.1 Một số tính chất của biểu diễn Wigner - cửa sổ . . . . . 28 2.2 Nguyên lý không chắc chắn đối với các biểu diễn Wigner - cửa sổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 BẢNG KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực R∗ + Tập số thực dương C Tập số phức K Tập số thực hoặc phức S1 Đường tròn đơn vị với tâm là gốc tọa độ Rn Không gian Euclide n - chiều Lp (Rn ) Không gian các hàm có lũy thừa bậc p khả tích trên Rn C ∞ (Ω) Không gian các hàm khả vi vô hạn trong Ω ∞ C0 (Ω) Không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω α Là đa chỉ số, α = (α1 , · · · , αn ) ∈ N |α| Cấp của α, |α| = n αj j=1 Kết thúc chứng minh W igψ (f ) Biểu diễn Wigner với hàm cửa sổ ψ (τ ) W ig( f, g) τ − biểu diễn Wigner Spφ1 ,φ2 (f, g)Ảnh phổ tổng quát đối với hai cửa sổ φ1 , φ2 S(Rn ) Không gian Schwartz S (Rn ) Không gian các hàm suy rộng tăng chậm I. Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Đối với các biểu diễn thời gian tần số thuộc lớp Cohen, việc nghiên cứu nhân Cohen của biểu diễn này chỉ phụ thuộc vào biến thời gian hay biến tần số đem lại những kết quả lý thuyết lý thú cùng với những ứng dụng thú vị trong xử lý hình ảnh. Gần đây, một số nhóm tác giả đã công bố những kết quả nghiên cứu của mình (xem [2], [3], [5]). Cụ thể là đối với các lớp biểu diễn có dạng e−2πitω ψ(t)f W igψ (f, g)(x, ω) = Rn x+ t t g x− dt 2 2 và ∗ W igψ (f, g)(x, ω) = t t ˆ e2πitx ψ(t)f ω + g ω− ˆ dt. 2 2 Rn Các tính chất cơ bản của biểu diễn thời gian - tần số, chẳng hạn tính chất lề, tính chất không trải, tính chất giá được chứng minh chi tiết. Hiện tượng giao thoa trong biểu diễn hình ảnh được giải quyết trong một số tình huống cụ thể của hàm ψ. Đặc biệt là nguyên lý chắc chắn đối với các lớp biểu diễn này. Với mong muốn được tìm hiểu sâu về giải tích thời gian-tần số và nguyên lý không chắc chắn trong lý thuyết này, được sự quan tâm giúp đỡ của TS Bùi Kiên Cường, tôi lựa chọn đề tài: "Nguyên lý không chắc chắn đối với biểu diễn Wigner - cửa sổ" để nghiên cứu và thực hiện luận văn tốt nghiệp. vii viii 2. Mục đích nghiên cứu + Hệ thống hóa được những kiến thức cơ bản của giải tích thời gian - tần số. + Trình bày các tính chất cơ bản của biểu diễn Wigner - cửa sổ, đặc biệt là nguyên lý không chắc chắn đối với lớp biểu diễn này. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Làm một báo cáo tổng quan thể hiện đầy đủ mục đích nghiên cứu, nội dung và phương pháp nghiên cứu. Báo cáo có thể là một tài liệu tham khảo tốt cho những người quan tâm về lý thuyết biểu diễn thời gian - tần số, về biểu diễn Wigner - cửa sổ. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Biểu diễn thời gian - tần số, biểu diễn Wigner - cửa sổ. + Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến các đối tượng nghiên cứu. 5. Phương pháp nghiên cứu + Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm, phương pháp nghiên cứu lý thuyết để tiếp cận vấn đề. + Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới. ix 6. Những đóng góp của đề tài Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về biểu diễn Wigner - cửa sổ và đề cập chuyên sâu về nguyên lý không chắc chắn đối với lớp biểu diễn này. Chương 1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Không gian Banach Định nghĩa 1.1. Không gian Banach V là một không gian vectơ định chuẩn đầy đủ. Nói cách khác, V là một không gian vectơ V trên trường số thực hay phức cùng với một chuẩn · thỏa mãn điều kiện mọi dãy Cauchy (tương ứng với metric d(x, y) = x − y ) có giới hạn trong V. 1.1.2 Không gian Lp , (1 ≤ p ≤ ∞) Định nghĩa 1.2. Giả sử Ω ⊂ Rn là một tập mở trong Rn , 1 ≤ p < ∞. Hàm f : Ω → C được gọi là thuộc Lp (Ω) nếu nó đo được Lebesgue và có chuẩn 1 p  f Lp (Ω) |f (x)|p dx = Ω hữu hạn. Đặc biệt L1 (Ω) là không gian các hàm có tích phân hội tụ tuyệt đối với 1 2 f L1 (Ω) |f (x)|dx. = Ω Trường hợp p = ∞, hàm f thuộc L∞ (Ω) nếu nó đo được và bị chặn cốt yếu, nghĩa là chuẩn f L∞ (Ω) = esssup |f (x)| x∈Ω là hữu hạn. Ở đây esssupx∈Ω |f (x)| được định nghĩa cận dưới đúng của tập các hằng số M sao cho |f (x)| ≤ M hầu khắp x ∈ Ω. Định lý 1.3 (Fischer–Riesz). Lp (Ω) là không gian Banach với mọi p ∈ [1, ∞]. 1.1.3 Một số không gian các hàm thử và đối ngẫu ∞ Định nghĩa 1.4. Cho Ω là một tập con mở của Rn . Không gian C0 (Ω), bao gồm tất cả các C ∞ - hàm xác định trên Ω có giá compact trong Ω với tô pô xác định bởi: ∞ ∞ Dãy ϕj ⊂ C0 (Ω) được gọi là hội tụ về 0 trong C0 (Ω), nếu tồn tại một tập compact K ⊂ Ω sao cho supp ϕj ⊂ Ω với mọi j ∈ N và ϕj hội tụ đều về 0 trên K. ∞ Không gian C0 (Ω) được gọi là không gian các hàm kiểm tra (trên Ω), Ký hiệu D(Ω). Ở đây, giá supp u của một hàm u ∈ L1,loc (Ω) được xác định như là phần bù của tập mở lớn nhất mà u triệt tiêu, nghĩa là: supp u = Ω \ ∪{ω mở trong Ω | u|ω = 0}. ∞ Bổ đề 1.5. 1) Cho R > r > 0. Tồn tại một hàm χr,R (x) ∈ C0 (Rn ) với các tính chất : χr,R = 1 với |x| ≤ r 3 χr,R ∈ [0; 1] với r ≤ |x| ≤ R χr,R = 0 với |x| ≥ R. ∞ 2) Tồn tại hàm h ∈ C0 (Rn ) thỏa mãn: supp h = B(0, 1), h(x) > 0 với |x| < 1, h(x)dx = 1. Định lý 1.6. Ánh xạ ∂ α : ϕ → ∂ α ϕ là một toán tử tuyến tính liên tục trong D(Ω). Điều này cũng đúng cho Dα . Với mọi f ∈ C ∞ (Ω) ánh xạ Mf : ϕ → f ϕ là một toán tử tuyến tính liên tục trong D(Ω). Định nghĩa 1.7. Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trong Ω nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω). Không gian hàm suy rộng trong Ω, kí hiệu là D (Ω). Hàm suy rộng f ∈ D (Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là f, ϕ . Tô pô trên D (Ω) là tô pô đối ngẫu của tô pô trên D(Ω), tức là tô pô yếu∗ trên D (Ω). Định nghĩa 1.8. Không gian các hàm giảm nhanh, kí hiệu là S (Rn ) là tập hợp S (Rn ) = ϕ ∈ C ∞ (Rn ) xα Dβ ϕ (x) ≤ cα,β , ∀x ∈ Rn , ∀α, β ∈ Zn + với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau Dãy {ϕk }∞ trong S (Rn ) được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S (Rn ) nếu k=1 lim sup xα Dβ ϕk (x) − xα Dβ ϕ (x) = 0, ∀α, β ∈ Zn . + k→∞ x∈Rn Ký hiệu S_ lim ϕk = ϕ. k→∞ Chú ý 1.9. 1. Hàm ϕ ∈ C ∞ (Rn ) là giảm nhanh, nghĩa là với mọi α, β ∈ Zn có + xα Dβ ϕ (x) ≤ cα,β , ∀x ∈ Rn khi và chỉ khi 4 a) với mỗi m ∈ Z+ , β ∈ Zn có + 1 + |x|2 m Dβ ϕ (x) ≤ cm,β , ∀x ∈ Rn , hay b) với mỗi m ∈ Z+ có m 1 + |x|2 Dβ ϕ (x) ≤ cm , ∀x ∈ Rn . |β|≤m 2. Với mỗi λ, µ ∈ C , ϕk , ψk , ϕ, ψ ∈ S (Rn ) , k = 1, 2, ... nếu S_ lim ϕk = ϕ, S_ lim ψk = ψ k→∞ k→∞ thì S_ lim (λϕk + µψk ) = λϕ + µψ. k→∞ 3. Với mỗi α ∈ Zn , phép toán đạo hàm Dα là ánh xạ tuyến tính liên tục + từ S (Rn ) vào S (Rn ). ∞ 4. Tập C0 (Rn ) trù mật trong không gian S (Rn ). 5. Với mỗi M ∈ N, hàm pM (ϕ) := sup 1 + |x|2 M Dβ ϕ (x) , x ∈ Rn xác định một nửa chuẩn trên S(Rn ) và họ nửa chuẩn này xác định tô pô của S(Rn ). Định lý 1.10. Không gian S (Rn ) là đầy đủ. Định nghĩa 1.11. Hàm suy rộng f ∈ D (Rn ) được gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại một số tự nhiên m và một số dương C sao cho | f, ϕ | ≤ C sup 2 1 + |x| m |Dα ϕ (x)| , ∀ϕ ∈ D (Rn ) . x∈Rn Không gian các hàm suy rộng tăng chậm là không gian véctơ tất cả các hàm suy rộng tăng chậm. Kí hiệu S (Rn ). 5 Chú ý 1.12. 1. Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S (Rn ). Nói cách khác, S (Rn ) là không gian đối ngẫu tô pô của không gian S (Rn ). 2. Tô pô trên S (Rn ) còn có thể xác định nhờ khái niệm hội tụ của dãy: Cho fk , f ∈ S (Rn ) , k = 1, 2, .... Dãy {fk }∞ được gọi là hội tụ trong k=1 S (Rn ) đến hàm f ∈ S (Rn ), kí hiệu S _ lim fk = f , nếu với mọi ϕ ∈ S, k→∞ dãy fk , ϕ hội tụ về f, ϕ khi k → ∞. Định lý 1.13. Không gian S (Rn ) là đầy đủ. Ví dụ 1.14. Cho 1 ≤ p ≤ ∞, f ∈ Lp (Rn ), ánh xạ f (x) ϕ (x)dx, ϕ ∈ S(Rn ). Λf : ϕ → f, ϕ = Rn là một hàm suy rộng tăng chậm. Do ánh xạ f −→ Λf là đơn ánh nên ta có thể đồng nhất f với Λf . Cũng như vậy các hàm giảm nhanh cũng là các hàm suy rộng tăng chậm. Ví dụ 1.15. Hàm suy rộng δ và các đạo hàm của nó là các hàm suy rộng tăng chậm. 1.2 1.2.1 Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược Định nghĩa 1.16. Biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L1 (Rn ) được xác định bởi ˆ f (ω) = f (x)e−2πix.ω dx, ω ∈ Rn Rn Khi ta muốn nhấn mạnh rằng biến đổi Fourier là một toán tử tuyến tính ˆ tác động trên một không gian hàm, ta viết Ff thay cho f . 6 Định lý 1.17. Biến đổi Fourier có các tính chất cơ bản sau: ˆ ˆ 1. Nếu f ∈ L1 (Rn ) thì f thuộc CL∞ (Rn ) và lim |f (ω)| = 0. |ω|→∞ 2. Biến đổi Fourier là một toán tử tuyến tính liên tục từ không gian S vào chính nó và thỏa mãn β F[xα Dx ϕ](ξ) = (−Dξ )α (ξ β ϕ(ξ)) ˆ với mọi đa chỉ số α, β. 3. Với phép đồng biến đổi Fourier F, xác định bởi e2πixξ f (x)dx, ξ ∈ Rn Ff (ξ) = Rn mọi hàm ϕ ∈ S(Rn ) thỏa mãn ˆ e2πixξ f (ξ)dξ. f (x) = Rn Do đó F là một song ánh song liên tục từ S vào chính nó. Định lý 1.18 (Plancherel). Ta có 1. Biến đổi Fourier F : S → S được thác triển một cách duy nhất thành một đẳng cấu đẳng cự F2 trên L2 (Rn ). Với f, g ∈ L2 (Rn ), F2 f (ξ)F2 g(ξ)dξ f (x)g(x)dx = Rn Rn |f (x)|2 dx = Rn |F2 f (ξ)|2 dξ. Rn 2. Với f ∈ L1 ∩ L2 thì F2 f = Ff . Hơn nữa, với mỗi hàm f ∈ L2 (Rn ), dãy F(1B(0,N ) f ) hội tụ trong L2 (Rn ) về F2 f khi N → ∞. Nhờ định lý trên, ta cũng gọi F2 f là biến đổi Fourier của f ∈ L2 (Rn ) ˆ và cũng ký hiệu là Ff hay f . Định lý 1.19 (Hausdorff- Young). Giả sử 1 ≤ p ≤ 2 và p sao cho 1 1 p n p n ˆ p + p = 1. Khi đó F : L (R ) → L (R ) và f p ≤ f p . 7 Chú ý: Beckner và Brascamp Lieb đã phát biểu cách khác của định lý Hausdorff- Young như sau 1 Đặt Ap = pp p 1 p 1 ) 2 là hằng số Babenko- Beckner. Khi đó f 1.2.2 p ≤ Ad f p d, 1 ≤ p ≤ 2. (1.1) Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) Định nghĩa 1.20. Cố định một hàm g = 0 (gọi là hàm cửa sổ). Khi đó biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) của một hàm f đối với g được định nghĩa bởi f (t)g(x − t)e−2πit.ω dt với x, ω ∈ Rn Vg f (x, ω) = Rn nếu tích phân đó tồn tại. Ký hiệu Tx là phép dịch chuyển dọc theo véc tơ x, tức là Tx (y) = T (y − x) và Mξ là phép xoay xác định bởi Mξ u(x) = e2πixξ u(x). Bổ đề 1.21. Nếu f, g ∈ L2 (Rn ) thì Vg f liên tục đều trong R2n và Vg f (x, ω) = (f · Tx g) (ω) (1.2) = f, Mω Tx g (1.3) = f, M (1.4) Bổ đề 1.22. Mỗi khi Vg f xác định, ta có Vg (Tu Mη f )(x, ω) = e−2πiu.ω Vg f (x − u, ω − η) (1.5) với x, u, ω, η ∈ Rn . Đặc biệt: |Vg (Tu Mη f )| = |Vg f (x − u, ω − η)|. Tương tự công thức Paseval ta có quan hệ trực giao của biến đổi Fourier thời gian ngắn. 8 Định lý 1.23. Giả sử f1 , f2 , g1 , g2 ∈ L2 (Rn ), khi đó Vgj fj ∈ L2 R2n với j = 1, 2 và Vg1 f1 , Vg2 f2 L2 (R2n ) = f1 , f2 g1 , g2 . Hệ quả 1.24. Nếu f, g ∈ L2 (Rn ) thì Vg f Đặc biệt, nếu g L2 = 1 thì f L2 = Vg f L2 L2 , = f L2 2 (1.6) g L2 . ∀f ∈ L (Rn ). Mệnh đề 1.25. Giả sử g, γ ∈ L2 (Rn ) và (g, γ) = 0. Khi đó với mọi hàm f ∈ L2 (Rn ), ta có f= 1.3 1 (γ, g) Vg f (x, ω)Mω Tx γdωdx. (1.7) R2 n Một số biểu diễn thời gian - tần số Định nghĩa 1.26. Biểu diễn Wigner W (f ) của một hàm f ∈ L2 (Rn ) được xác định bởi t t f (x + )f (x − )e−2πiω.t dt. 2 2 W (f )(x, ω) = Rn Bằng sự phân cực biểu thức bậc hai này, ta nhận được biểu diễn Wigner chéo của f, g ∈ L2 (Rn ): t t f (x + )g(x − )e−2πiω.t dt. 2 2 W (f, g)(x, ω) = (1.8) Rn Định nghĩa 1.27. Với τ ∈ [0, 1] , f, g ∈ S (Rn ), phân bố τ -Wigner của hàm f kí hiệu W igτ (f ) được định nghĩa bởi e−2πiωt f (x + τ t) f (x − (1 − τ ) t)dt. W igτ (f ) (x, ω) = (1.9) Rn Phân bố τ -Wigner chéo của f, g kí hiệu W igτ (f, g) được định nghĩa bởi e−2πiωt f (x + τ t) g (x − (1 − τ ) t)dt. W igτ (f, g) (x, ω) = Rn (1.10) 9 Để cho gọn, chúng ta sử dụng kí hiệu vắn tắt W igτ thay cho các kí hiệu chi tiết ở trên. Định nghĩa 1.28. Với f, g ∈ S (Rn ), chúng ta định nghĩa các biểu diễn sau: 1. Biểu diễn Rihaczek của hai hàm f, g kí hiệu là R (f, g) là biểu diễn có dạng R (f, g) (x, ω) = e−2πixω f (x) g (ω). (1.11) 2. Biểu diễn Rihaczek liên hợp của hai hàm f, g kí hiệu là R∗ (f, g) là biểu diễn có dạng R∗ (f, g) (x, ω) = R (g, f ) (x, ω) = e2πixω g (x)f (ω). (1.12) Định nghĩa 1.29. Cho f, g, φ1 , φ2 ∈ S(Rn ). Ảnh phổ tổng quát với hai hàm cửa sổ φ1 , φ2 , được định nghĩa bởi Spφ1 ,φ2 (f, g)(x, ω) = Vφ1 f (x, ω)Vφ2 g(x, ω). (1.13) Định nghĩa 1.30. Một biểu diễn thời gian tần số Ψ (f ) (x, ω) được gọi là thỏa mãn điều kiện tính chất lề về thời gian và tần số, điều kiện bảo toàn năng lượng nếu Ψ (f ) (x, ω) dω = |f (x)|2 (biên thời gian), (1.14) (biên tần số) (1.15) Rn 2 Ψ (f ) (x, ω) dx = f (ω) Rn và Ψ (f ) (x, ω) dx = f R2n với mọi f ∈ L2 (Rn ). 2 2 (bảo toàn năng lượng) (1.16) 10 Định nghĩa 1.31. Giả sử H (supp f ) là bao lồi của supp f và H supp f là bao lồi của supp f . Giả sử Πx và Πω là những phép chiếu trực giao theo thành phần thứ nhất và thứ hai trong Rn × Rn tương ứng. Một x ω biểu diễn Ψ được gọi là có tính chất giá nếu Πx supp Ψ (f ) ⊆ H (supp f ) và Πω supp Ψ (f ) ⊆ H supp f . Định nghĩa 1.32. Cho f, g, ψ ∈ S(Rn ), biểu diễn Wigner - cửa sổ với hàm cửa sổ ψ được định nghĩa như sau e−2πitω ψ(t)f W igψ (f, g)(x, ω) = x+ Rn t t g x− dt 2 2 và biến đổi Wigner - cửa sổ đối ngẫu t t ˆ g ω− ˆ e2πitx ψ(t)f ω + dt. 2 2 Rn ∗ W igψ (f, g)(x, ω) = Bổ đề 1.33. Với mọi f, g ∈ L2 (Rn ) W (f, g)(x, ω) = 2n e4πix.ω VIg f (2x, 2ω) trong đó Ig(x) = g(−x) là toán tử đối xứng. Chứng minh. Dùng phép thế u = x + t 2 trong (1.8) ta thu được t t f (x + )g(x − )e−2πiω.t dt 2 2 W (f, g)(x, ω) = Rn t f (u)g(x − )e−2πiω.t dt 2 = 2n Rn (1.17) −4πiω.(u−x) n f (u)g(−(u − 2x))e =2 Rn = 2n e4πix.ω f, M2ω T2x Ig = 2n e4πix.ω VIg f (2x, 2ω). du 11 Với Bổ đề 1.33 những đặc tính có thể dễ dàng chuyển đổi từ STFT sang biểu diễn Wigner. Các đặc tính đó được xác định đầy đủ trong hệ quả sau: Mệnh đề 1.34. Với f, g ∈ L2 (Rn ), biểu diễn Wigner chéo có các tính chất sau: (a) W (f, g) là liên tục đều trong R2n và W (f, g) ∞ ≤ 2n f 2 g 2. (b) W (f, g) = W (g, f ). Đặc biệt W f có giá trị thực. (c) Với u, v, η, γ ∈ Rn , ta có W (Tu , Mη , f, Tv Mγ g)(x, ω) = eπi(u+v).(γ−η) e2πix.(η−γ) e−2πiω(u−v) W(f,g) (x − η+γ u+v ,ω − ) (1.18) 2 2 Đặc biệt Wf là hiệp biến, tức là W (Tu Mη f )(x, ω) = W f (x − u, ω − η). (1.19) ˆˆ (d) W (f , g )(x, ω) = W (f, g)(−ω, x) (e) Đẳng thức Moyal: Với f1 , g1 , f2 , g2 ∈ L2 (Rn ), W (f1 , g1 ), W (f2 , g2 ) L2 (R2n = f1 , f2 vg1 , g2 . Chứng minh. Phần (a) suy ra trực tiếp từ Bổ đề 1.33. Phần (b) và (c) ˆ là dễ dàng tính được. Vì I g = Ig, ta có (d) sau khi dùng đẳng thức ˆ Parseval ˆˆ ˆ W (f , g )(x, ω) = 2n e4πix.ω f , M2ω T2x I g ˆ = 2n e4πix.ω f, M2x T−2ω Ig n −4πix.ω =2 e f, M2x T2ω Ig = W (f, g)(−ω, x) (1.20)