ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐÀM THỊ HỒNG
NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ HIỆU CHỈNH
TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO
MỘT HỌ VÔ HẠN ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐÀM THỊ HỒNG
NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ HIỆU CHỈNH
TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO
MỘT HỌ VÔ HẠN ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. LÂM THÙY DƯƠNG
THÁI NGUYÊN - 2016
1
Môc lôc
Lêi cam ®oan
i
Lêi c¶m ¬n
ii
Môc lôc
iii
Mét sè ký hiÖu vµ viÕt t¾t
iv
Më ®Çu
1
1
KiÕn thøc chuÈn bÞ
4
1.1. Mét sè kh¸i niÖm cña kh«ng gian Hilbert . . . . . . . . . . . .
4
1.1.1. §Þnh nghÜa kh«ng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.2. Mét sè kh¸i niÖm liªn quan . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2. Bµi to¸n ®iÓm bÊt ®éng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3. Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n chØnh vµ kh«ng chØnh . . . . . . . 11
1.3.2. C¸c ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh
. . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Nguyªn lý bµi to¸n phô hiÖu chØnh cho bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n
17
1.4.1. Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2. Ph¬ng ph¸p bµi to¸n phô . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.3. ThuËt to¸n nguyªn lý bµi to¸n phô hiÖu chØnh cho bÊt
®¼ng thøc biÕn ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2
Nguyªn lý bµi to¸n phô hiÖu chØnh t×m ®iÓm bÊt ®éng chung cho
mét hä v« h¹n c¸c ¸nh x¹ gi¶ co chÆt
28
2.1.
Ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh t×m ®iÓm bÊt ®éng chung cho mét hä
v« h¹n c¸c ¸nh x¹ gi¶ co chÆt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Nguyªn lý bµi to¸n phô hiÖu chØnh t×m ®iÓm bÊt ®éng chung cho
mét hä v« h¹n c¸c ¸nh x¹ gi¶ co chÆt
KÕt luËn
Tµi liÖu tham kh¶o
. . . . . . . . . . . . . . 35
43
44
i
lêi cam ®oan
T«i xin cam ®oan r»ng néi dung tr×nh bµy trong luËn v¨n nµy lµ trung thùc,
kh«ng trïng lÆp víi c¸c ®Ò tµi kh¸c vµ c¸c tµi liÖu trÝch dÉn trong luËn v¨n ®·
®îc chØ râ nguån gèc.
T¸c gi¶
§µm ThÞ Hång
ii
lêi c¶m ¬n
LuËn v¨n nµy ®îc hoµn thµnh t¹i Trêng §¹i häc S ph¹m thuéc §¹i häc
Th¸i Nguyªn díi sù híng dÉn cña TS. L©m Thïy D¬ng. T¸c gi¶ xin bµy tá
lßng biÕt ¬n s©u s¾c nhÊt tíi c« ®· chØ b¶o tËn t×nh vµ cho nh÷ng ý kiÕn ®ãng
gãp quÝ b¸u trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu.
T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n tíi Ban Gi¸m hiÖu Trêng §¹i häc S ph¹m,
Phßng sau ®¹i häc vµ Ban Chñ nhiÖm khoa To¸n Trêng §¹i häc S ph¹m §¹i hoc Th¸i Nguyªn ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho t¸c gi¶ trong suèt
thêi gian lµm luËn v¨n.
T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n tíi c¸c anh, chÞ em häc viªn K22 ®· trao
®æi, ®éng viªn vµ khÝch lÖ t¸c gi¶ trong qu¸ tr×nh häc tËp, nghiªn cøu vµ lµm
luËn v¨n.
T¸c gi¶ xin kÝnh tÆng nh÷ng ngêi th©n yªu trong gia ®×nh cña m×nh niÒm
vinh h¹nh nµy.
T¸c gi¶
§µm ThÞ Hång
iii
Môc lôc
iv
Mét sè ký hiÖu vµ viÕt t¾t
H
kh«ng gian Hilbert thùc
E
kh«ng gian Banach thùc
h., .i
tÝch v« híng trªn H
k.k
chuÈn trªn
D(A)
miÒn x¸c ®Þnh cña ¸nh x¹
N
tËp hîp c¸c sè tù nhiªn
R
tËp hîp c¸c sè thùc
I
to¸n tö ®ång nhÊt
∅
tËp rçng
∀x
víi mäi
xn −→ x0
d·y
{xn } héi tô m¹nh vÒ x0
xn * x0
d·y
{xn } héi tô yÕu vÒ x0
H
A
x
1
Më ®Çu
Bµi to¸n t×m ®iÓm bÊt ®éng cña mét ¸nh x¹
T
lµ bµi to¸n cã nhiÒu øng dông
trong gi¶i tÝch, nhÊt lµ trong lý thuyÕt c¸c ph¬ng tr×nh. Trong nhiÒu trêng
hîp, viÖc gi¶i mét ph¬ng tr×nh ®îc quy vÒ viÖc t×m ®iÓm bÊt ®éng cña mét
¸nh x¹ thÝch hîp. Ch¼ng h¹n nh, cho
¸nh x¹ trong
f (x) = y
X, y
X
lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh,
lµ mét phÇn tö cè ®Þnh cña
lµ ®iÓm bÊt ®éng cña ¸nh x¹
F
X
f
lµ
th× nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
x¸c ®Þnh bëi
F (x) = x + f (x) − y .
Nh÷ng ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng næi tiÕng ®· xuÊt hiÖn tõ ®Çu thÕ kû XX, trong
®ã ph¶i kÓ ®Õn:
'' Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouder (1912)'', '' Nguyªn lý ¸nh
x¹ co Bannach (1922)''
vµ c¸c kÕt qu¶ kinh ®iÓn nµy ®· ®îc më réng ra líp
c¸c ¸nh x¹ vµ kh«ng gian kh¸c nhau. H¬n n÷a, c¸c ®Þnh lý vÒ ®iÓm bÊt ®éng
kh«ng chØ cã øng dông trong to¸n häc mµ cßn cã nhiÒu øng dông trong c¸c
lÜnh vùc kh¸c, nh lµ: xö lý tÝn hiÖu, xö lý ¶nh,... Do ®ã, bµi to¸n t×m ®iÓm
bÊt ®éng lµ mét vÊn ®Ò ®îc sù quan t©m cña nhiÒu nhµ to¸n häc.
Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ nghiªn cøu ph¬ng ph¸p
hiÖu chØnh
Nguyªn lý bµi to¸n phô
®Ó t×m ®iÓm bÊt ®éng chung cho mét hä c¸c ¸nh x¹ gi¶ co chÆt,
trêng hîp riªng lµ mét hä ¸nh x¹ kh«ng gi·n, trong kh«ng gian Hilbert.
Kh¸i niÖm ¸nh x¹ gi¶ co chÆt ®îc c¸c nhµ to¸n häc F. E. Brouder vµ W.
V. Petryshyn [5] ®a ra n¨m 1967. Hä ®· ®Þnh nghÜa r»ng, mét ¸nh x¹
®Þnh trªn mét tËp låi ®ãng
C
cña kh«ng gian Hilbert
H
lµ
T
x¸c
λ - gi¶ co chÆt nÕu
¸nh x¹
T
2
tháa m·n:
k T (x) − T (y) k2 ≤k x − y k2 +λ k (I − T )(x) − (I − T )(y) k2
víi
0 ≤ λ < 1.
Trong trêng hîp khi
λ = 0 th× ¸nh x¹ 0 - gi¶ co chÆt lµ mét
¸nh x¹ kh«ng gi·n.
λi - gi¶ co chÆt, {Ti }∞
i=1 tõ mét tËp låi ®ãng
T
C cña kh«ng gian Hilbert H vµo H , sao cho F = ∞
i=1 F ix (Ti ) 6= φ, ë ®©y
Cho mét hä v« h¹n c¸c ¸nh x¹
F ix (Ti ) lµ tËp ®iÓm bÊt ®éng cña ¸nh x¹ Ti .
XÐt bµi to¸n:
T×m
u∗ ∈ F.
Ph¬ng ph¸p bµi to¸n phô ®îc ®Ò xuÊt bëi Cohen [7] vµo n¨m 1980 khi
nghiªn cøu bµi to¸n tèi u. N¨m 1988, Cohen [8] vËn dông ph¬ng ph¸p
nguyªn lý bµi to¸n phô ®Ó t×m nghiÖm cho bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n cæ ®iÓn:
T×m
u∗ ∈ C
sao cho
hF (u∗ ) , v − u∗ i ≥ 0 v ∈ C,
víi
F : C→H
(0.1)
lµ ¸nh x¹ ®¬n ®iÖu m¹nh vµ liªn tôc Lipschitz.
§èi víi ph¬ng ph¸p bµi to¸n phô ®ßi hái ¸nh x¹
m¹nh. VËy khi ¸nh x¹
F
F
cã tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu
chØ cã tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu th× cã c¸ch nµo ®Ó t×m
nghiÖm cho bµi to¸n (0.1) ®îc kh«ng? §Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò nµy, n¨m 2000,
J. Baasansuren vµ A. A. Khan [4] ®· ®Ò xuÊt ph¬ng ph¸p míi, lµ sù kÕt hîp
gi÷a ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh Brouder-Tikhonov víi ph¬ng ph¸p bµi to¸n phô
vµ gäi lµ:
. Víi ph¬ng ph¸p
''Ph¬ng ph¸p nguyªn lý bµi to¸n phô hiÖu chØnh''
nµy, thay cho viÖc x¸c ®Þnh chÝnh x¸c nghiÖm
u∗
cña bµi to¸n (0.1), hä x¸c
®Þnh d·y nghiÖm xÊp xØ {zn }n≥0 cña c¸c bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®· chØnh hãa
vµ chøng minh sù héi tô m¹nh cña d·y nghiÖm
to¸n (0.1).
{zn }n≥0 tíi nghiÖm u∗ cña bµi
3
Trªn tinh thÇn ®Æt ra nghiªn cøu, luËn v¨n ®îc chia thµnh 2 ch¬ng:
Ch¬ng 1: KiÕn thøc chuÈn bÞ
Trong ch¬ng nµy chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña ¸nh
x¹ trong kh«ng gian Hilbert. Tr×nh bµy kh¸i niÖm bµi to¸n ®iÓm bÊt ®éng vµ
sù tån t¹i ®iÓm bÊt ®éng. Tr×nh bµy vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh vµ mét sè
ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh. Môc cuèi cña ch¬ng chóng t«i giíi thiÖu ph¬ng
ph¸p bµi to¸n phô vµ thuËt to¸n nguyªn lý bµi to¸n phô hiÖu chØnh ®Ó gi¶i bµi
to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n.
Ch¬ng 2: Nguyªn lý bµi to¸n phô hiÖu chØnh t×m ®iÓm bÊt ®éng chung
cho mét hä v« h¹n c¸c ¸nh x¹ gi¶ co chÆt
Trong ch¬ng nµy chóng t«i chia lµm hai phÇn:
• Ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh t×m ®iÓm bÊt ®éng chung cho mét hä v« h¹n c¸c
¸nh x¹ gi¶ co chÆt.
• Nguyªn lý bµi to¸n phô hiÖu chØnh t×m ®iÓm bÊt ®éng chung cho mét hä
v« h¹n c¸c ¸nh x¹ gi¶ co chÆt.
4
Ch¬ng 1
KiÕn thøc chuÈn bÞ
1.1.
Mét sè kh¸i niÖm cña kh«ng gian Hilbert
1.1.1.
§Þnh nghÜa kh«ng gian Hilbert
§Þnh nghÜa 1.1
Cho
X
trong
(i)
lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn trêng sè thùc
X
lµ mét ¸nh x¹
R. Mét tÝch v« híng
h·, ·i : X × X → R tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau:
hx, yi = hy, xi, ∀ x, y ∈ X ;
(ii)
hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀ x, y, z ∈ X ;
(iii)
hλx, yi = λhx, yi, ∀ x, y ∈ X; λ ∈ R;
(iv)
hx, xi > 0, ∀ x 6= 0;
Kh«ng gian tuyÕn tÝnh
X
hx, xi = 0 ⇔ x = 0.
cïng víi tÝch v« híng
h·, ·i
®îc gäi lµ kh«ng
gian tiÒn Hilbert.
ChuÈn cña phÇn tö
x ∈ X , kÝ hiÖu kxk vµ ®îc x¸c ®Þnh:
q
kxk = hx, xi
(1.1)
Kh«ng gian tiÒn Hilbert ®Çy ®ñ víi metric sinh bëi chuÈn x¸c ®Þnh bëi (1.1)
®îc gäi lµ kh«ng gian Hilbert.
VÝ dô 1.1
Kh«ng gian
5
Rn , víi tÝch v« híng ®îc x¸c ®Þnh:
hx, yi =
n
X
ξk ηk
n=1
x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξk ), y = (η1 , η2 , . . . , ηn ) ∈ Rn ,
trong ®ã
lµ kh«ng gian
Hilbert.
VÝ dô 1.2
Kh«ng gian
2
L
C[a,b]
gåm tÊt c¶ c¸c hµm liªn tôc trªn
[a, b]
víi c¸c
phÐp to¸n tuyÕn tÝnh th«ng thêng vµ víi tÝch v« híng:
hf, gi =
b
Z
f (x) · g(x)dx.
a
trong ®ã
2
L
, lµ kh«ng gian Hilbert.
f, g ∈ C[a,b]
Môc tiÕp theo sau ®©y chóng t«i xin tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm kh¸c.
1.1.2.
•
Mét sè kh¸i niÖm liªn quan
Cho
(i) C
(ii) C
C
lµ mét tËp con kh¸c rçng cña kh«ng gian
®îc gäi lµ bÞ chÆn, nÕu
®îc gäi lµ låi ,nÕu
X.
∃ M > 0 sao chokxk ≤ M, ∀ x ∈ C .
∀ x, y ∈ C, 0 ≤ λ ≤ 1, ta cã:
x + (1 − λ) y ∈ C.
(iii) C
®îc gäi lµ compact, nÕu mçi d·y
{xn } ⊂ C
(1.2)
®Òu chøa d·y con
{xnk } héi tô tíi mét ®iÓm thuéc C .
Mçi tËp con ®ãng, bÞ chÆn
C
cña mét kh«ng gian Hilbert lµ
compact yÕu, tøc lµ mçi d·y bÞ chÆn trong
C
cã thÓ trÝch ra mét d·y con héi
xn ∈ X
gäi lµ héi tô m¹nh tíi phÇn tö
NhËn xÐt 1.1
tô yÕu tíi mét phÇn tö cña kh«ng gian nµy.
•
D·y
{xn }
gåm c¸c phÇn tö
x∈X
nÕu
kxn − xk → 0 khi n → ∞.
MÖnh ®Ò 1.1
(i) Mçi d·y con
(ii) Mçi d·y
D·y
•
t¹i
{xn } ⊂ X
NÕu d·y
6
x∈X
héi tô m¹nh tíi
th×:
{xnk } ⊂ {xn } còng héi tô tíi x;
{kxn − ξk} lµ bÞ chÆn, víi ξ ∈ X
{xn } ⊂ X
.
®îc gäi lµ ®ñ hay d·y Cauchy, nÕu víi mäi
ε > 0, tån
n0 (ε) sao cho kxm − xn k < ε, víi mäi m ≥ n0 (ε) vµo n ≥ n0 (ε).
NÕu mäi d·y Cauchy trong
gian
X
X
®Òu héi tô tíi mét phÇn tö
x∈X
th× kh«ng
®îc gäi lµ kh«ng gian ®ñ.
¸nh x¹ ϕ : X → R, víi R lµ tËp hîp c¸c sè thùc, ®îc gäi lµ mét phiÕm
hµm.
•
PhiÕm hµm
ϕ : X → R ®îc gäi lµ tuyÕn tÝnh, nÕu:
(i) ϕ(x1 + x2 ) = ϕ(x1 ) + ϕ(x2 ), ∀ x1 , x2 ∈ X ;
(ii) ϕ(αx) = αϕ(x), ∀ x ∈ X, α ∈ R.
•
PhiÕm hµm
ϕ:X →R
®îc gäi lµ bÞ chÆn, nÕu tån t¹i
M >0
sao
cho:
(1.3)
|ϕ(x)| ≤ M kxk, ∀ x ∈ X.
Gi¸ trÞ
M
vµ kÝ hiÖu lµ
nhá nhÊt tháa m·n bÊt ®¼ng thøc (1.3) ®îc gäi lµ chuÈn cña
kϕk.
TËp hîp tÊt c¶ c¸c phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn
ϕ
X
®îc gäi lµ kh«ng gian liªn hîp ( hay kh«ng gian ®èi ngÉu) cña kh«ng gian
X , kÝ hiÖu lµ X ∗ .
•
D·y
{xn } ⊂ X
gäi lµ héi tô yÕu tíi
x ∈ X
( viÕt lµ
xn * x)
nÕu
hϕ, xn i → hϕ, xi víi ϕ ∈ X ∗ .
MÖnh ®Ò 1.2
NÕu d·y
{xn } ⊂ X
héi tô yÕu tíi
x∈X
th× d·y
{kxn k} lµ bÞ
chÆn.
•
PhiÕm hµm
ϕ : X → R ®îc gäi lµ låi, nÕu:
ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y), ∀ x, y ∈ X, t ∈ [0, 1] .
(1.4)
7
NÕu dÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi
x = y , th× phiÕm hµm ϕ ®îc gäi lµ låi
chÆt.
NÕu tån t¹i mét hµm liªn tôc, t¨ng
γ : [0, +∞) → R, γ(0) = 0 sao cho:
(1.5)
ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) − t(1 − t)γ (kx − yk)
víi mäi
x, y ∈ X, t ∈ [0, 1], th× phiÕm hµm ϕ ®îc gäi lµ låi ®Òu vµ hµm γ(t)
®îc gäi lµ m«®un låi cña
NÕu
γ(t) = ct2
, víi
c
ϕ.
lµ h»ng sè d¬ng, th× phiÕm hµm
ϕ
®îc gäi lµ låi
m¹nh.
PhiÕm hµm
•
víi mçi d·y
ϕ : X → R ®îc gäi lµ nöa liªn tôc díi t¹i x0 ∈ X , nÕu
xn ⊂ X
sao cho
xn → x0
ta cã:
(1.6)
ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ).
n→∞
NÕu
xn ⊂ X
héi tô yÕu tíi
x0 ∈ X
®îc gäi lµ nöa liªn tôc díi yÕu t¹i
PhiÕm hµm
•
x∈X
vµ
ϕ(x0 ) ≤ lim inf n→∞ ϕ(xn )
th×
ϕ
x0 ∈ X .
ϕ : X → R ®îc gäi lµ kh¶ vi theo híng h t¹i mét ®iÓm
nÕu giíi h¹n
lim
n→∞
tån t¹i víi mäi
ϕ(x + th) − ϕ(x)
0
= V (x, h)
h
(1.7)
h ∈ X.
NÕu giíi h¹n (1.7) tuyÕn tÝnh liªn tôc theo
0
h, tøc lµ:
0
V (x; h) = ϕ (x).h,
th×
ϕ
®îc gäi lµ kh¶ vi G©teaux ( hay kh¶ vi yÕu) t¹i ®iÓm
gäi lµ ®¹o hµm G©teaux cña
•
t¹i
PhiÕm hµm
x ∈ X,
x∈X
vµ
0
ϕ (x)
ϕ t¹i x.
ϕ:X→R
®îc gäi lµ kh¶ vi FrÐchet (hay kh¶ vi m¹nh)
nÕu tån t¹i mét to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc
F : X → X∗
sao cho
víi mäi
x+h∈X
8
ta cã:
ϕ(x + h) − ϕ(x) = hF (x), hi + w(x, h)
trong ®ã,
w(x, h) = o(khk), nghÜa lµ:
lim
w(x, h)
h→ 0
§¹i lîng
||h||
=0
F (x) = ϕ0 (x) ®îc gäi lµ ®¹o hµm FrÐchet cña hµm ϕ t¹i x.
Chó ý 1.1
: NÕu
ϕ kh¶ vi FrÐchet t¹i x0 ∈ X
th× kh¶ vi G©teaux t¹i ®ã. §iÒu
ngîc l¹i kh«ng ®óng. Tuy nhiªn, nÕu ®¹o hµm G©teaux
cËn cña
•
x0 ∈ X
Cho
X
th× còng lµ ®¹o hµm FrÐchet t¹i
vµ
Y
lµ hai kh«ng gian Hilbert.
ϕ0
liªn tôc trong l©n
x0 .
¸nh x¹ A : X → Y
®îc gäi
sao cho khi
xn → x0
lµ:
(i)
th×
liªn tôc t¹i
x0 ∈ X ,
nÕu víi mçi d·y
{xn } ⊆ X
A(xn ) → A(x0 ).
(ii) h - liªn tôc t¹i x0 ∈ X , nÕu A(x0 + tn h) * A(x0 ) khi tn → 0 víi mçi
vect¬ h tháa m·n
x0 + tn h ∈ X
vµ
0 ≤ tn ≤ t(x0 ).
(iii) d - liªn tôc t¹i x0 ∈ X , nÕu mçi d·y {xn } ⊆ X
th×
sao cho khi
xn → x0
A(xn ) * A(x0 ).
(iv) liªn tôc Lipschitz, nÕu tån t¹i L ≥ 0 sao cho:
kA(x) − A(y)k ≤ Lkx − yk, ∀ x, y ∈ X.
(v)
trong
•
bÞ chÆn, nÕu nã biÕn mçi tËp bÞ chÆn trong
X
thµnh mét tËp bÞ chÆn
Y.
Cho
X
lµ kh«ng gian Hilbert.
¸nh x¹ A : X → X ®îc gäi lµ:
(i) ®¬n ®iÖu, nÕu
hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀ x, y ∈ X.
NÕu dÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi
9
x=y
th× ¸nh x¹
A
®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu
chÆt
(ii)
®¬n ®iÖu ®Òu, nÕu tån t¹i mét hµm kh«ng ©m
δ(t),
kh«ng gi¶m víi
t ≥ 0, δ(0) = 0 vµ tháa m·n tÝnh chÊt
hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ(kx − yk), ∀ x, y ∈ X.
NÕu
δ(t) = ct2 ,
víi c lµ h»ng sè d¬ng, th×
A
®îc gäi lµ ¸nh x¹ ®¬n ®iÖu
m¹nh.
1.2.
Bµi to¸n ®iÓm bÊt ®éng
§Þnh nghÜa 1.2
Cho
X
lµ mét kh«ng gian mªtric bÊt kú vµ
T :X →X
lµ
¸nh x¹ liªn tôc. Bµi to¸n t×m ®iÓm bÊt ®éng ®îc ph¸t biÓu nh sau:
T×m
x∗ ∈ X
sao cho
x∗ = T (x∗ ).
T : X → 2X
Trong trêng hîp
(1.8)
lµ mét ¸nh x¹ ®a trÞ th× bµi to¸n ®iÓm bÊt
®éng ®îc ph¸t biÓu:
T×m
x∗ ∈ X
sao cho
x∗ ∈ T (x∗ ).
TËp hîp nh÷ng ®iÓm
cña
T
vµ ký hiÖu lµ
VÝ dô 1.3
Ta cã
Cho
x∗ ∈ X
tháa m·n (1.8) ®îc gäi lµ tËp ®iÓm bÊt ®éng
F ix(T ).
X = R vµ T (x) = x2 + 5x + 4.
T (−2) = −2, do ®ã F ix(T ) = {−2}.
Nguyªn lý ¸nh x¹ co cho ta biÕt kÕt qu¶ cña sù tån t¹i ®iÓm bÊt ®éng trong
kh«ng gian mªtric, thËm chÝ cßn lµ duy nhÊt. §Ó tr×nh bµy Nguyªn lý ¸nh x¹
10
co, tríc tiªn ta sÏ ®Þnh nghÜa ¸nh x¹ co.
§Þnh nghÜa 1.3
(Xem [2]) Mét ¸nh x¹
kh«ng gian mªtric
cho
(Y, ρ)
T
tõ kh«ng gian mªtric
®îc gäi lµ ¸nh x¹ co nÕu tån t¹i sè
(X, d)
vµo
k ∈ [0, 1)
sao
ρ (T x, T y) ≤ kd (x, y), víi mäi x, y ∈ X .
Nh vËy, ta thÊy ¸nh x¹ co lµ trêng hîp riªng cña ¸nh x¹ Lipschitz vµ hiÓn
nhiªn lµ ¸nh x¹ liªn tôc.
§Þnh lÝ 1.1
(Xem [2])
mét ¸nh x¹ co trong
Ngoµi ra, víi mäi
Cho
(X, d)
lµ mét kh«ng gian mªtric ®Çy ®ñ vµ
X . Khi ®ã, tån t¹i duy nhÊt x∗ ∈ X
T
lµ
sao cho
T (x∗ ) = x∗ .
víi
n = 1, 2 . . ..
x0 ∈ X , d·y lÆp {xn } x¸c ®Þnh bëi
xn+1 = T (xn ), ∀ n = 1, 2, . . .
héi tô ®Õn
x∗ .
Chøng minh.
V×
T
LÊy
x0
tïy ý trong
lµ ¸nh x¹ co nªn tån t¹i
X
vµ ta cã
xn+1 = T xn
k ∈ [0, 1) sao cho
d(x2 , x1 ) = d(T (x1 ), T (x0 )) ≤ kd(x1 , x0 )
d(x3 , x2 ) = d(T (x2 ), T (x1 )) ≤ kd(x2 , x1 ) ≤ k 2 d(x1 , x0 )
......
d(xn+1 , xn ) ≤ k n d(x1 , x0 ).
LÊy
m > n, ta cã
d (xn , xm ) ≤ d (xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + . . . + d (xm−1 , xm )
≤ k n d(x0 , x1 ) + k n+1 d(x0 , x1 ) + . . . + k m−1 d(x0 , x1 )
≤ k n + k n+1 + ... + k m−1 d (x0 , x1 )
≤ k n 1 + k + ... + k m−n−1 + ... d (x0 , x1 )
kn
≤
d (x0 , x1 ) .
1−k
V×
kh¸c
tö
nªn
(X, d)
kn → 0
khi
11
Do ®ã,
{xn }
lµ d·y Cauchy. MÆt
lµ mét kh«ng gian mªtric ®Çy ®ñ nªn
{xn }
héi tô ®Õn mét phÇn
k ∈ [0, 1)
n → ∞.
x∗ ∈ X .
Víi mçi n ta cã
0 ≤ d (x∗ , T (x∗ )) ≤ d (x∗ , xn ) + d (xn , T (x∗ ))
≤ d (x∗ , xn ) + d(T (xn−1 ), T (x∗ ))
(1.9)
≤ d (x∗ , xn ) + kd (xn−1 , x∗ ) .
Cho
lµ
n → ∞ ta ®îc 0 ≤ d(x∗ , T (x∗ )) ≤ 0, tõ ®ã suy ra d (x∗ , T x∗ ) = 0, tøc
T (x∗ ) = x∗ .
Gi¶ sö cßn cã
y∗ ∈ X
mµ
T (y ∗ ) = y ∗
th× ta cã
d (x∗ , y ∗ ) = d (T (x∗ ), T (y ∗ )) ≤ kd (x∗ , y ∗ ) .
V×
k ∈ [0, 1) nªn d (x∗ , y ∗ ) = 0, tøc lµ x∗ = y ∗ . VËy ®iÓm bÊt ®éng cña T
lµ duy nhÊt vµ nguyªn lý ®· ®îc chøng minh.
1.3.
Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh
1.3.1.
Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n chØnh vµ kh«ng chØnh
Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n chØnh ®îc J. Hadamard ®a ra khi nghiªn cøu ¶nh
hëng cña c¸c ®iÒu kiÖn biªn lªn nghiÖm cña ph¬ng tr×nh elliptic còng nh
parabolic.
ViÖc t×m nghiÖm
®Çu
f,
cã nghÜa
x cña bÊt kú bµi to¸n nµo còng ph¶i dùa vµo d÷ kiÖn ban
x = R(f ).
Ta sÏ coi nghiÖm còng nh c¸c d÷ kiÖn ®ã lµ
nh÷ng phÇn tö thuéc kh«ng gian
vµ ρY (f1 , f2 ), víi
X
vµ
Y
víi c¸c ®é ®o t¬ng øng ρX (x1 , x2 )
x1 , x2 ∈ X; y1 , y2 ∈ Y .
Gi¶ sö ®· cã mét kh¸i niÖm thÕ nµo lµ nghiÖm cña mét bµi to¸n. Khi ®ã,
bµi to¸n t×m nghiÖm
x = R(f )
®îc gäi lµ æn ®Þnh trªn cÆp kh«ng gian
(X, Y ),
nÕu víi mçi
> 0
12
cã thÓ t×m ®îc mét sè
δ() > 0,
sao cho tõ
ρY (f1 , f2 ) ≤ δ() cho ta ρX (x1 , x2 ) ≤ , ë ®©y
x1 = R(f1 ),
x2 = R(f2 ),
x1 , x2 ∈ X; y1 , y2 ∈ Y
XÐt bµi to¸n ë d¹ng ph¬ng tr×nh
(1.10)
A(x) = f
ë ®©y,
A
lµ ¸nh x¹ tõ kh«ng gian mªtric
phÇn tö thuéc
X
vµo kh«ng gian mªtric
Y
vµ
f
lµ
Y.
§Þnh nghÜa 1.4
mªtric
X
(Xem [1] ) Cho
A : X −→ Y
vµo kh«ng gian mªtric
Y.
lµ mét ¸nh x¹ tõ kh«ng gian
Bµi to¸n (1.10) ®îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt
chØnh nÕu tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau:
1. ph¬ng tr×nh
A(x) = f
cã nghiÖm víi mäi
f ∈Y;
2. nghiÖm nµy lµ duy nhÊt;
3. vµ nghiÖm nµy phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu.
NÕu Ýt nhÊt mét trong ba ®iÒu kiÖn trªn kh«ng tháa m·n th× bµi to¸n (1.10)
®îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. §«i khi ngêi ta cßn gäi lµ bµi to¸n ®Æt
kh«ng chÝnh quy hoÆc bµi to¸n thiÕt lËp kh«ng ®óng ®¾n.
Còng cÇn lu ý r»ng, mét bµi to¸n cã thÓ thiÕt lËp kh«ng ®óng ®¾n trªn
cÆp kh«ng gian metric nµy, nhng l¹i thiÕt lËp ®óng ®¾n trªn cÆp kh«ng gian
metric kh¸c.
§èi víi bµi to¸n t×m nghiÖm xÊp xØ cña ph¬ng tr×nh (1.10), víi d÷ kiÖn
ban ®Çu ë ®©y lµ
x¸c
(A, f ),
¸nh x¹
A
A
vµ vÕ ph¶i
f,
trong nhiÒu ¸p dông, thay cho gi¸ trÞ chÝnh
ta chØ biÕt ®îc c¸c xÊp xØ
(Ah , fδ )
cña chóng. Ta gi¶ sö r»ng
cho tríc mét c¸ch chÝnh x¸c, cßn vÕ ph¶i
f
cho bëi
fδ
tháa m·n
- Xem thêm -