Tài liệu Nguyên lí cực trị và áp dụng trong kinh tế phúc lợi

  • Số trang: 77 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 60 |
  • Lượt tải: 0
nguyetha

Đã đăng 8490 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ———————————– NGUYỄN VĂN XÁ NGUYÊN LÍ CỰC TRỊ VÀ ÁP DỤNG TRONG KINH TẾ PHÚC LỢI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ———————————– NGUYỄN VĂN XÁ NGUYÊN LÍ CỰC TRỊ VÀ ÁP DỤNG TRONG KINH TẾ PHÚC LỢI Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN QUANG HUY Hà Nội - 2013 Lời cảm ơn Tôi chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các cá nhân và các tập thể, trong đó có Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và Trường Trung học Phổ thông Yên Phong số 2 (huyện Yên Phong, tỉnh Bắc Ninh). Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn PGS. TS. Nguyễn Quang Huy người đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Nguyễn Văn Xá Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung của luận văn này không trùng lặp với các đề tài khác và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Nguyễn Văn Xá Danh mục kí hiệu R : Trường số thực N = {1, 2, ..., n, ...} : Tập hợp tất cả các số nguyên dương E : Không gian Banach trên trường số thực E∗ : Không gian đối ngẫu (liên hợp) của không gian Banach E BX : Hình cầu đơn vị đóng trong không gian X có tâm tại gốc int A, cl A, bd A : Lần lượt là phần trong, bao đóng, biên của tập A Ω u− → x: Nghĩa là u → x và u, x ∈ Ω x → a+ hoặc x ↓ a: Nghĩa là x → a và x > a, với x, a ∈ R x → a− hoặc x ↑ a: Nghĩa là x → a và x < a, với x, a ∈ R w∗ x∗k −→ x∗ : Dãy {x∗k } hội tụ theo tôpô yếu* tới phần tử x∗ f : X → Y : Ánh xạ đơn trị f từ tập X đến tập Y F : X ⇒ Y : Ánh xạ đa trị F từ tập X đến tập Y : Kết thúc chứng minh Mục lục Danh mục kí hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 1. NGUYÊN LÍ CỰC TRỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1. Một số kiến thức cơ sở về nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Các nguyên lí cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Chương 2. ÁP DỤNG TRONG KINH TẾ PHÚC LỢI . 38 2.1. Mô hình không lồi của kinh tế phúc lợi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2. Định lí phúc lợi tổng quát thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Mô hình cân bằng Walras cổ điển của kinh tế phúc lợi và mở rộng của nó từ lâu đã được công nhận như là một phần quan trọng của lí thuyết kinh tế và các ứng dụng. Các khái niệm tối ưu Pareto và những biến thể của nó đóng một vai trò quan trọng cho việc nghiên cứu về cân bằng và trợ giúp việc đưa ra các quyết định tốt nhất đối với các nền kinh tế cạnh tranh. Một cách tiếp cận cổ điển để nghiên cứu tối ưu Pareto trong các mô hình kinh tế với dữ liệu trơn là đưa về các bài toán quen thuộc của quy hoạch toán học và sử dụng các điều kiện cần tối ưu bậc nhất với các nhân tử Lagrange. Theo cách này, các kết quả quan trọng đạt được trong thập niên 30, 40 của thế kỉ trước chỉ ra rằng biên của các ước lượng thay thế đối với tiêu dùng và sản xuất là bình đẳng với nhau tại bất kì phân bổ tối ưu Pareto của tài nguyên; xem [14, 21, 12]. Đầu những năm 1950, Arrow [4] và Debreu [8] đạt được bước tiến quan trọng trong lí thuyết kinh tế học phúc lợi với những mô hình kinh tế có thể không lồi trên các dữ liệu lồi. Dựa trên các định lí tách cổ điển cho tập lồi, Arrow, Debreu và những người theo sau đã phát triển thành một lí thuyết đẹp trong toán học; đặc biệt là các điều kiện cần và đủ cho phân bổ tối ưu Pareto, đồng thời chỉ ra rằng mỗi phân bổ như vậy dẫn đến một trạng thái cân bằng trong mô hình kinh tế lồi. Một kết quả 6 quan trọng của lí thuyết này được gọi là định lí cơ bản thứ hai của kinh tế phúc lợi nói rằng bất kì phân bổ tối ưu Pareto đều có thể gắn với một vector giá khác không mà ở đó mỗi người tiêu dùng giảm thiểu chi phí của mình và mỗi công ty tối đa hóa lợi nhuận của họ; xem [9]. Tính lồi của dữ liệu là một đòi hỏi căn bản trong mô hình Arrow-Debreu. Lưu ý rằng các lí thuyết kinh tế của Arrow-Debreu và các kết quả toán học có liên quan đã đóng một vai trò cơ bản trong sự phát triển của giải tích lồi. Chúng ta biết rằng các giả thiết lồi thường là khó đạt được đối với nhiều ứng dụng quan trọng. Đặc biệt, những giả thiết này thường không được thỏa mãn với sự gia tăng theo quy mô trong lĩnh vực sản xuất đã được chỉ ra trong các tài liệu kinh tế. Trong nghiên cứu tiên phong của Guesnerie [11], một phiên bản tổng quát của định lí phúc lợi thứ hai đã được thiết lập theo dạng điều kiện cần cấp một cho phân bổ tối ưu Pareto đối với mô hình kinh tế không lồi. Thay vì giả thiết tính lồi cho các tập sản lượng và ưu đãi ban đầu, Guesnerie chỉ đòi hỏi tính lồi đối với các xấp xỉ tiếp tuyến địa phương của chúng và sau đó sử dụng định lí tách cổ điển cho các nón lồi. Cách tiếp cận này được triển khai dựa trên khái niệm nón chuyển vị phần trong của Dubovitskii và Milyutin [10] trong lí thuyết tối ưu hóa tổng quát. Cách tiếp cận của Guesnerie để nghiên cứu tối ưu Pareto trong mô hình kinh tế không lồi sau đó đã được mở rộng và phát triển trong nhiều ấn phẩm khoa học với không gian hàng hóa cả hữu hạn chiều và vô hạn chiều; xem, chẳng hạn, [5, 13] và các tài liệu tham khảo trong đó. Hầu 7 hết các ấn phẩm này sử dụng khái niệm nón tiếp tuyến của Clarke [6] mà như ta đã biết nó luôn là một nón lồi, và do đó ta có thể xử lí bằng cách sử dụng sự tách lồi cổ điển. Với cách tiếp cận này, ta có biên giá là một phần tử nằm trong nón pháp tuyến Clarke. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp nón này có thể là quá lớn đối với các mô hình không lồi như đã được chỉ ra trong [12]. Trong bài báo vừa nêu, Khan [12] đã đạt được một phiên bản đầy đủ hơn của định lí phúc lợi thứ hai tổng quát cho nền kinh tế không lồi với không gian hàng hóa hữu hạn chiều. Trong phiên bản này, biên giá là một phần tử của nón pháp tuyến không lồi Mordukhovich [16] mà luôn chứa trong nón pháp tuyến Clarke và có thể nhỏ hơn thực sự trong nhiều trường hợp không lồi điển hình. Cách tiếp cận của Khan không sử dụng trực tiếp định lí tách lồi cổ điển nhưng đã được biến đổi đưa về điều kiện cần tối ưu trong quy hoạch không trơn do Mordukhovich xây dựng trong [17]. Kết quả tương tự được thiết lập ở [17] với các mô hình kinh tế khác bằng cách sử dụng một chứng minh trực tiếp các điều kiện cần tối ưu cho các bài toán cực đại hóa tương ứng. Đề tài Nguyên lí cực trị và áp dụng trong kinh tế phúc lợi nhằm nghiên cứu về tối ưu Pareto trong các mô hình kinh tế không lồi trên cơ sở nguyên lí cực trị trừu tượng mà có thể được xem như là một sự thống nhất của cả hai cách tiếp cận đã được thảo luận ở trên. 8 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các dạng khác nhau của định lí phúc lợi thứ hai tổng quát trên cơ sở nguyên lí cực trị trừu tượng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu nguyên lí cực trị, áp dụng nguyên lí cực trị để đưa ra dạng xấp xỉ và dạng chính xác của định lí phúc lợi thứ hai tổng quát. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu nguyên lí cực trị trong giải tích biến phân và ứng dụng của nó trong mô hình kinh tế phúc lợi có nền kinh tế không lồi với không gian hàng hóa vô hạn chiều. 5. Phương pháp nghiêm cứu Sử dụng các phương pháp của giải tích, giải tích đa trị, giải tích biến phân và lí thuyết tối ưu. 6. Đóng góp của đề tài Trình bày các kiến thức cơ sở về nón pháp tuyến và nguyên lí cực trị; trình bày các phiên bản của định lí phúc lợi tổng quát thứ hai cho phân bổ tối ưu Pareto, phân bổ tối ưu Pareto yếu, và phân bổ tối ưu Pareto mạnh của kinh tế phúc lợi trên cơ sở các nguyên lí cực trị. Chương 1 NGUYÊN LÍ CỰC TRỊ 1.1. Một số kiến thức cơ sở về nón pháp tuyến Cho E là một không gian Banach. Tập K ⊂ E được gọi là một nón trong E nếu với mọi x ∈ K, mọi số λ > 0, ta đều có λx ∈ K. Định nghĩa 1.1.1. Cho ánh xạ đa trị F : E ⇒ E∗ . Giới hạn trên Painlevé-Kuratowski của ánh xạ đa trị F đối với cấu trúc tôpô sinh bởi chuẩn trong E và tôpô yếu* trong E∗ được xác định bởi w∗ Limsup F (x) := {x∗ ∈ E∗ | tồn tại các dãy xk → x̄, x∗k −→ x∗ với x→x̄ x∗k ∈ F (xk ), k ∈ N}. Định nghĩa 1.1.2. Cho x̄ ∈ Ω ⊂ E. Khi đó (i) Tập Ω được gọi là CEL (compactly epi-Lipschitzian) địa phương tại điểm x̄ nếu có tập compact C ⊂ E, có lân cận U của x̄, có lân cận O của điểm gốc trong E, và có số γ > 0 sao cho Ω ∩ U + tO ⊂ Ω + tC, ∀t ∈ (0, γ). (ii) Tập Ω được gọi là epi-Lipschitz địa phương tại điểm x̄ nếu tập compact C ở trên được chọn có duy nhất một phần tử. 10 (iii) Tập Ω được gọi là epi-Lipschitz nếu nó là tập epi-Lipschitz địa phương tại mọi điểm x ∈ Ω. Dễ thấy, nếu Ω là epi-Lipschitz địa phương tại x̄ thì nó cũng là tập CEL tại điểm đó. Cho x̄ ∈ Ω ⊂ E, ta gọi  H (x̄; Ω) := y ∈ E tồn tại lân cận U của x̄, tồn tại lân cận V của y, tồn tại γ > 0 để Ω ∩ U + tV ⊂ Ω, ∀t ∈ (0, γ) là nón siêu tiếp xúc của Ω tại x̄. Khi đó Ω là epi-Lipschitz địa phương tại x̄ khi và chỉ khi H (x̄; Ω) 6= ∅. Thật vậy, nếu Ω là epi-Lipschitz địa phương tại x̄ thì tồn tại C = {c} ⊂ E, tồn tại lân cận U của x̄, tồn tại lân cận O của điểm gốc, tồn tại γ > 0 để Ω ∩ U + t (O − C) ⊂ Ω, ∀t ∈ (0, γ). Suy ra −c ∈ H(x̄; Ω) nên H (x̄; Ω) 6= ∅. Nếu H (x̄; Ω) 6= ∅ thì ∃y ∈ H(x̄; Ω) và Ω là epi-Lipschitz địa phương tại x̄ với C ở định nghĩa lúc này được chọn là C = {−y}. Trong [13], hai tác giả M.A.Khan và R.Vohra sử dụng tính chất này làm định nghĩa tính epi-Lipschitz địa phương của Ω tại x̄. Ta nhận xét rằng nếu x̄ ∈ int Ω thì tồn tại ε > 0 sao cho x̄ + εBE ⊂ Ω. Chọn ε1 > 0, O = ε1 BE , chọn ε2 ∈ (0, ε), U = x̄ + ε2 BE ⊂ Ω, chọn tùy ý ε − ε2 γ ∈ 0, và C = {0} ⊂ E, với mọi t ∈ (0, γ) ta có ε1 Ω ∩ U + t (O − C) = x̄ + ε2 BE + tε1 BE = x̄ + (ε2 + tε1 )BE ⊂ εBE ⊂ Ω. Suy ra Ω là epi-Lipschitz địa phương tại mọi điểm x̄ ∈ int Ω. Vì vậy, mỗi tập mở khác rỗng đều là tập epi-Lipschitz. 11 Ta nhận thấy rằng nếu ϕ : E → R là hàm liên tục Lipschitz trên E, tức là tồn tại số thực L > 0 sao cho |ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ L. kx − yk , ∀x, y ∈ E, thì tập epi ϕ := {(z, α) ∈ E × R |α ≥ ϕ(z)} là epi-Lipschitz trong không gian E × R. Thật vậy, lấy tùy ý phần tử (z̄, ᾱ) ∈ epi ϕ. Trên E × R xét chuẩn tổng k(z, α)k = kzk + |α| và chọn tập compact C = {(0, −L − 1)}, chọn lân cận tùy ý O của điểm (z̄, ᾱ). Lấy tùy ý t > 0, với mọi phần tử (z + te1 , α + te2 + tL + t) = = (z, α) + t(e1 , e2 ) − t(0, −L − 1) ∈ (epi ϕ) ∩ U + tBE×R − tC, trong đó ϕ(z) ≤ α, k(e1 , e2 )k = ke1 k + |e2 | ≤ 1, ta có ϕ(z + te1 ) − ϕ(z) ≤ |ϕ(z + te1 ) − ϕ(z)| ≤ L kte1 k ≤ tL, và ϕ(z + te1 ) ≤ ϕ(z) + tL ≤ α + tL ≤ α + tL + t(1 + e2 ). Do đó (z + te1 , α + te2 + tL + t) ∈ epiϕ. Suy ra (epi ϕ) ∩ U + tBE×R ⊂ epiϕ + tC, ∀t > 0. Điều này khẳng định epi ϕ là epi-Lipschitz địa phương tại bất kì điểm (z̄, ᾱ) ∈ epi ϕ, hay epi ϕ là epi-Lipschitz trong E × R. Nếu Ω ⊂ E là tập lồi và x̄ ∈ Ω thì Ω là epi-Lipschitz địa phương tại x̄ khi và chỉ khi int Ω 6= ∅. Thật vậy, giả sử tập lồi Ω là epi-Lipschitz địa phương tại x̄ ∈ Ω. Khi đó tồn tại γ > 0, r1 > 0, v1 ∈ E sao cho Ω ∩ (x̄ + r1 BE ) + tr1 BE ⊂ Ω + tv1 , ∀t ∈ (0, γ) , 12 suy ra x̄−tv1 +tr1 BE ⊂ Ω, ∀t ∈ (0, γ) , hay int Ω 6= ∅. Ngược lại, nếu tập lồi Ω có int Ω 6= ∅ và x̄ ∈ Ω thì có thể chọn v2 ∈ E sao cho x̄ + v2 ∈ int Ω (chẳng hạn, có thể chọn v2 = y − x̄, trong đó y là phần tử tùy ý thuộc int Ω). Suy ra, tồn tại r2 > 0 sao cho x̄ + v2 + 2r2 BE ⊂ Ω. Mặt khác, với mọi x ∈ x̄ + r2 BE ta có x + v2 + r2 BE ⊂ x̄ + r2 BE + v2 + r2 BE = x̄ + v2 + 2r2 BE ⊂ Ω. Do đó x + v2 + e ∈ Ω với mọi e ∈ r2 BE . Từ tính lồi của Ω ta suy ra rằng với mọi x ∈ Ω ∩ (x̄ + r2 BE ), t ∈ (0, 1) và e ∈ r2 BE , x + t(v2 + e) = t(x + v2 + e) + (1 − t)x ∈ Ω. Điều này suy ra rằng x + t(v2 + r2 BE ) ⊂ Ω, ∀x ∈ Ω ∩ (x̄ + r2 BE ), ∀t ∈ (0, 1) , và do đó Ω ∩ (x̄ + r2 BE ) + tr2 BE ⊂ Ω + t(−v2 ), ∀t ∈ (0, 1) . Vậy Ω là epi-Lipschitz địa phương tại x̄ ∈ Ω. Hơn nữa, vì x̄ ∈ Ω tùy ý nên Ω là epi-Lipschitz. Giả sử Ω ∩ E là tập epi-Lipschitz và λ ∈ R, λ 6= 0, tập Ω1 là tập bất kì. Với mọi λx̄ ∈ λΩ, ở đó x̄ ∈ Ω, do Ω là tập epi-Lipschitz nên tồn tại c ∈ E, tồn tại lân cận U của x̄, tồn tại lân cận O của điểm gốc, tồn tại số thực γ > 0 sao cho với mọi x ∈ Ω ∩ U thì x + te − tc ∈ Ω, ∀e ∈ O, ∀t ∈ (0, γ) . Ta thấy λU là một lân cận của λx̄ ∈ λΩ, λO là một lân cận của điểm gốc, λc ∈ E. Lấy tùy ý y ∈ (λΩ) ∩ (λU ) thì y = λx với x ∈ Ω ∩ U . Với mọi λe ∈ λO, với mọi t ∈ (0, γ) ta có y + tλe − tλc ∈ λΩ. Chứng tỏ (λΩ) ∩ (λU ) + tλO ⊂ λΩ + tλc, ∀t ∈ (0, γ) , 13 hay λΩ cũng là tập epi-Lipschitz. Tương tự, nếu z̄ = x̄+ x̄1 ∈ Ω+Ω1 , x̄ ∈ Ω, x̄1 ∈ Ω1 , thì U + x̄1 là một lân cận của z̄ và với mọi z ∈ (Ω + Ω1 ) ∩ (U + x̄1 ) ta có z = x+ x̄1 , x ∈ Ω, và z+te−tc = (x+te−tc)+ x̄1 ∈ Ω+Ω1 , ∀t ∈ (0, γ) , nên (Ω + Ω1 ) ∩ (U + x̄1 ) + tO ⊂ (Ω + Ω1 ) + tc, ∀t ∈ (0, γ) . Tức là Ω + Ω1 là tập epi-Lipschitz. Kết luận này còn đúng cho cả trường hợp Ω1 = ∅. Như vậy, nếu Ω là tập epi-Lipschitz thì các tập λΩ, Ω + Ω1 cũng là epi-Lipschitz, với mọi λ 6= 0 và Ω1 ⊂ E tùy ý. Định nghĩa 1.1.3. Cho tập con khác rỗng Ω ⊂ E và số thực tùy ý ε ≥ 0. (i) Với mọi x ∈ Ω chúng ta định nghĩa tập các ε− pháp tuyến của Ω tại x bởi ) ∗ hx , u − xi x∗ ∈ E∗ limsup ≤ε . Ω ku − xk u− →x ( bε (x; Ω) := N (1.1) Khi ε = 0, tập (1.1) là một nón được gọi là nón tiền pháp tuyến b (x; Ω), hoặc nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x và kí hiệu là N mỗi phân tử của nó được gọi là một pháp tuyến Fréchet của Ω bε (x; Ω) := ∅, ∀ε ≥ 0. tại x. Với những x ∈ / Ω, ta đặt N (ii) Cho x̄ ∈ Ω. Nón pháp tuyến cơ sở, hay nón pháp tuyến qua giới hạn, hay nón pháp tuyến Mordukhovich của Ω tại x̄, kí hiệu N (x̄; Ω), được xác định bởi bε (x; Ω). N (x̄; Ω) := Limsup N x→x̄,ε↓0 Ta đặt N (x̄; Ω) := ∅ cho những trường hợp x̄ ∈ / Ω. (1.2) 14 b (x̄; Ω) thì ta nói tập Ω là (iii)Với x̄ ∈ Ω ⊂ E, nếu N (x̄; Ω) = N chính quy theo pháp tuyến tại điểm x̄. Từ Định nghĩa 1.1.3 ta thấy, với mỗi ε ≥ 0, x ∈ Ω ⊂ E, U là một lân bε (x; Ω) = N bε (x; Ω ∩ U ) = N bε (x; cl Ω), N bε (x; Ω) cận của x trong E thì N là tập lồi trong E∗ , N (x; Ω) ⊂ N (x; clΩ). b (.; Ω) và nón pháp tuyến Nhận xét rằng cả nón tiền pháp tuyến N N (.; Ω) đều bất biến đối với các chuẩn tương đương trên E, trong khi tập các ε− pháp tuyến lại phụ thuộc vào chuẩn cho trước trên E với ε > 0. Giả sử trên E trang bị hai chuẩn tương đương là k.k1 , k.k2 . Tồn tại các số dương λ, µ sao cho λk.k1 ≤ k.k2 ≤ µk.k1 . Như thế hx∗ , u − x̄i hx∗ , u − x̄i hx∗ , u − x̄i ≤ ≤ , µku − x̄k1 ku − x̄k2 λku − x̄k1 ∀x∗ ∈ E∗ , ∀u, x̄ ∈ Ω, u 6= x̄, hx∗ , u − x̄i ≥ 0; hx∗ , u − x̄i hx∗ , u − x̄i hx∗ , u − x̄i ≥ ≥ , µku − x̄k1 ku − x̄k2 λku − x̄k1 ∀x∗ ∈ E∗ , ∀u, x̄ ∈ Ω, u 6= x̄, hx∗ , u − x̄i < 0. Do đó hx∗ , u − x̄i hx∗ , u − x̄i limsup ≤ 0 ⇔ limsup ≤ 0, ku − x̄k1 ku − x̄k2 Ω Ω u− →x̄ u− →x̄ b (.; Ω) bất biến đối với chuẩn tương đương trên E. Tương tự, nếu tức là N x∗ là một pháp tuyến cơ sở của Ω tại x̄ theo chuẩn k.k1 thì tồn tại các Ω w∗ dãy εk ↓ 0, xk − → x̄, x∗k −→ x∗ khi k → ∞, và hx∗k , u − x̄i limsup ≤ εk , ∀k ∈ N. ku − x̄k1 Ω u− →x̄ Mà hx∗k , u − x̄i hx∗k , u − x̄i hx∗ , u − x̄i ≤ ≤ k , µku − x̄k1 ku − x̄k2 λku − x̄k1 15 ∀k ∈ N, ∀u ∈ Ω\ {x̄} , hx∗k , u − x̄i ≥ 0, và hx∗k , u − x̄i hx∗k , u − x̄i hx∗k , u − x̄i ≥ ≥ , µku − x̄k1 ku − x̄k2 λku − x̄k1 ∀k ∈ N, ∀u ∈ Ω\ {x̄} , hx∗k , u − x̄i < 0, nên hx∗k , u − x̄i limsup ≤ ε0 k , ∀k ∈ N, ku − x̄k2 Ω u− →x̄   ε εk ε k k , = và ε0 k ↓ 0 khi k → ∞. Do đó x∗ là một với 0 < ε0 k ≤ min λ µ µ pháp tuyến cơ sở của Ω tại x̄ theo chuẩn k.k2 , tức là N (.; Ω) bất biến đối với các chuẩn tương đương trên E. Ta dễ dàng kiểm tra được tính đơn điệu của tập các ε− pháp tuyến, bε (x̄; Ω) ⊂ N bε (x̄; Ω), ∀ε2 ≥ ε1 ≥ 0; N 1 2 bε (x̄; Ω1 ) ⊂ N bε (x̄; Ω2 ) , ∀ x̄ ∈ Ω2 ⊂ Ω1 , ∀ε ≥ 0. N Mệnh đề 1.1.4. (i) Với mỗi ε ≥ 0 cho trước, và với bất kì x̄ ∈ Ω ⊂ E thì b (x̄; Ω) ⊂ N (x̄; Ω), 0∈N b (x̄; Ω) + εBE∗ ⊂ N bε (x̄; Ω), 0 ∈ εBE∗ ⊂ N bε (x̄; Ω), 0 ∈ εBE∗ ⊂ {x∗ ∈ E∗ |hx∗ , x − x̄i ≤ ε kx − x̄k , ∀x ∈ Ω} ⊂ N bε (x̄; Ω) = εBE∗ , ∀x̄ ∈ intΩ. N (1.3) (ii) [19] Nếu U là một lân cận của x̄ ∈ Ω ⊂ E sao cho Ω ∩ U là tập lồi thì Ω chính quy theo pháp tuyến tại x̄, đồng thời cả nón tiền 16 b (x̄; Ω) và nón pháp tuyến N (x̄; Ω) ở Định nghĩa 1.1.3 pháp tuyến N đều trùng với nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi b (x̄; Ω) = {x∗ ∈ E∗ |hx∗ , x − x̄i ≤ 0, ∀x ∈ Ω} N (x̄; Ω) = N = {x∗ ∈ E∗ |hx∗ , xi ≤ hx∗ , x̄i , ∀x ∈ Ω} = {x∗ ∈ E∗ |hx∗ , x − x̄i ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∩ U } = {x∗ ∈ E∗ |hx∗ , xi ≤ hx∗ , x̄i , ∀x ∈ Ω ∩ U } (1.4) b (x̄; Ω) khi và chỉ khi phiếm hàm tuyến (tức là x∗ ∈ N (x̄; Ω) = N tính liên tục x∗ : E → R đạt cực đại trên Ω tại x̄), bε (x̄; Ω) = {x∗ ∈ E∗ |hx∗ , x − x̄i ≤ ε kx − x̄k , ∀x ∈ Ω ∩ U } , ∀ε ≥ 0. N (1.5) (iii) Nếu Ω là không gian tuyến tính con của không gian Banach thực E, x̄ ∈ Ω, thì b (x̄; Ω) = Ω⊥ := {x∗ ∈ E∗ |hx∗ , xi = 0, ∀x ∈ Ω} . (1.6) N (x̄; Ω) = N (iv) Nếu a = (ai ) = (a1 , ..., an ) ∈ Rn \ {0} và n ( ) X x̄ ∈ Ω := x = (x1 , ..., xn ) ∈ En a1 x 1 = 0 i=1 thì b (x̄; Ω) = {x∗ ∈ (E∗ )n |x∗ = (a1 p∗ , ..., an p∗ ), p∗ ∈ E∗ } . N (x̄; Ω) = N (1.7) (v) [13] Nếu x̄ ∈ Ω∩bdΩ, Ω ⊂ E, và Ω là epi-Lipschitz địa phương tại x̄ thì b (x̄; Ω) 6= {0} . N 17 (vi) Nếu x̄ ∈ Ω ∩ bdΩ, Ω là tập lồi trong E và int Ω 6= ∅ thì b (x̄; Ω) = N (x̄; Ω) 6= {0} . N (vii) [18] Nếu Ω ⊂ E, với mọi x̄ ∈ bdΩ, với mọi ε > 0, luôn tồn b (x; Ω) 6= {0}. tại x ∈ clΩ ∩ (x̄ + εBE ) sao cho N b (x̄; Ω) và 0 ∈ εBE∗ . Nếu x∗ ∈ N b (x̄; Ω) Chứng minh. (i) Hiển nhiên 0 ∈ N thì hx∗ , u − x̄i limsup ≤ 0. ku − x̄k Ω u− →x̄ Chọn các dãy {εk }, {xk }, {x∗k } mà εk ↓ 0, xk = x̄, x∗k = x∗ . Khi đó Ω w∗ → x̄, x∗k −→ x∗ , và xk − hx∗ , u − x̄i limsup ≤ 0 ≤ εk , ∀k ∈ N, ku − x̄k Ω →x̄ u− bε (x̄; Ω) = N bε (xk ; Ω), ∀k ∈ N, nên x∗ ∈ N (x̄; Ω). suy ra x∗k = x∗ ∈ N k k b (x̄; Ω) ⊂ N (x̄; Ω). Tiếp theo, nếu x∗ ∈ BE ∗ thì x∗ = 0 + x∗ với Vậy N b (x̄; Ω) và x∗ ∈ εBE∗ nên suy ra εBE∗ ⊂ N b (x̄; Ω) + εBE∗ . Tương tự 0∈N b (x̄; Ω) thì x∗ = z ∗ + y ∗ với như thế, nếu x∗ ∈ εBE∗ + N hy ∗ , x − x̄i z ∗ ∈ εBE∗ , limsup ≤ 0. kx − x̄k Ω x− →x̄ Lại có |hz ∗ , u − x̄i| ≤ kz ∗ k . ku − x̄k ≤ ε. ku − x̄k , ∀u ∈ Ω, nên hz ∗ , u − x̄i limsup ≤ ε. ku − x̄k Ω u− →x̄ 18 Suy ra hx∗ , u − x̄i hy ∗ , u − x̄i + hz ∗ , u − x̄i limsup = limsup ≤ε ku − x̄k ku − x̄k Ω Ω u− →x̄ u− →x̄ bε (x̄; Ω). Do đó N b (x̄; Ω) + εBE∗ ⊂ N bε (x̄; Ω). Cũng vậy, nếu tức là x∗ ∈ N x∗ ∈ εBE∗ thì hx∗ , ui ≤ |hx∗ , ui| ≤ kx∗ k . kuk ≤ ε kuk , ∀u ∈ E ⇒ hx∗ , x − x̄i ≤ ε kx − x̄k , ∀x ∈ Ω. Tức là εBE∗ ⊂ {x∗ ∈ E∗ |hx∗ , x − x̄i ≤ ε kx − x̄k , ∀x ∈ Ω} . Cuối cùng, nếu x∗ ∈ E∗ , hx∗ , x − x̄i ≤ ε kx − x̄k , ∀x ∈ Ω, thì hx∗ , x − x̄i hx∗ , x − x̄i bε (x̄; Ω) ≤ ε (∀x ∈ Ω\ {x̄}) ⇒ lim sup ≤ ε ⇒ x∗ ∈ N kx − x̄k kx − x̄k Ω x− →x̄ bε (x̄; Ω). ⇒ {x∗ ∈ E∗ |hx∗ , x − x̄i ≤ ε kx − x̄k , ∀x ∈ Ω} ⊂ N Trong trường hợp x̄ ∈ intΩ thì tồn tại β > 0 sao cho x̄ + βBE∗ ⊂ Ω. Với mọi u ∈ E đặt x = u+ x̄ thì x ∈ E. Luôn tồn tại số thực λ > 0 đủ nhỏ sao cho λ kx − x̄k = λ kuk ≤ β, khi đó xλ := x̄ + λ(x − x̄) ∈ x̄ + βBE∗ ⊂ Ω, bε (x̄; Ω) ta có và λ ↓ 0 thì xλ → x̄. Lấy tùy ý x∗ ∈ N hx∗ , xλ − x̄i ≤ ε. limsup kxλ − x̄k Ω xλ − →x̄ Suy ra với mọi λ > 0 đủ nhỏ và với mọi µ > 0 thì hx∗ , xλ − x̄i ≤ (ε + µ) kxλ − x̄k hay hx∗ , ui ≤ (ε + µ) kuk .
- Xem thêm -