NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN
TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
Chương 3-Giải tích 12
NỘI DUNG CÂU HỎI
π
Z2
Câu 1. Tính tích phân I =
(sin 2x + sin x) dx
0
A. I = 5.
B. I = 3.
C. I = 4.
D. I = 2.
Lời giải.
π
Z2
Ta có: I =
0
ã π
2
1
(sin 2x + sin x) dx = − · cos 2x − cos x = 2.
2
0
Å
Chọn đáp án D
Z Å
ã
3
2
2x −
dx.
Câu 2. Tính nguyên hàm I =
x
2
A. I = x3 − 3 ln x + C.
3
2 3
C. I = x + 3 ln x + C.
3
Lời Zgiải.
Å
ã
3
2
2
I=
2x −
dx = x3 − 3 ln |x| + C.
x
3
Chọn đáp án B
2
B. I = x3 − 3 ln |x| + C.
3
2
D. I = x3 + 3 ln |x| + C.
3
Câu 3. Cho hai quả bóng A, B di chuyển ngược chiều nhau va chạm với nhau. Sau va chạm mỗi
quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng A nảy ngược lại
với vận tốc vA (t) = 8 − 2t (m/s) và quả bóng B nảy ngược lại với vận tốc vB (t) = 12 − 4t (m/s).
Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi đã dừng hẳn (Giả sử hai quả bóng đều chuyển động
thẳng).
A. 36 mét.
Lời giải.
B. 32 mét.
C. 34 mét.
D. 30 mét.
Thời gian quả bóng A chuyển động từ lúc vaZchạm đến khi dừng hẳn vA (t) = 0 ⇔ 8−2t = 0 ⇒ t = 4s.
4
(8 − 2t) dx = 16m
Quãng đường quả bóng A di chuyển SA =
0
Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn vB (t) = 0 ⇔ 12 − 4t = 0 ⇒
t = 3s.
Z
3
(12 − 4t) dx = 18m
Quãng đường quả bóng B duy chuyển SB =
0
Vậy: Khoảng cách hai quả bóng sau khi dừng hẳn là S = SA + SB = 34m.
Chọn đáp án C
π
Câu 4. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f
= −1 và với mọi x ∈ R ta có
2 π
R4
f 0 (x) · f (x) − sin 2x = f 0 (x) · cos x − f (x). sin x. Tính tích phân I = f (x) dx.
0
√
√
2
− 1.
D. I = 2.
A. I = 1.
B. I = 2 − 1.
C. I =
2
Lời giải.
Ta có f 0 (x) · f (x) − sin 2x = f 0 (x) · cos x − f (x) · sin x ⇔ f 0 (x) · f (x) − sin 2x = [f (x) · cos x]0 .
R
R
Lấy nguyên hàm hai vế: [f 0 (x) · f (x) − sin 2x] dx = [f (x) · cos x]0 dx
f 2 (x) 1
⇔
+ cos 2x = cos x · f (x) + C.
2π 2
Vì f
= −1 ⇒ C = 0 ⇒ f 2 (x) + cos 2x = 2 cos x · f (x) ⇔ f 2 (x) − 2 cos x · f (x) + cos2 x = sin2 x.
2
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
2
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
Chương 3-Giải tích 12
"
f (x) − cos x = sin x
⇔ (f (x) − cos x)2 = sin2 x ⇔
.
f (x) − cos x = − sin x
π
= −1 nên nhân f (x) = cos x − sin x.
Vì f
2 π
π
π √
R4
R4
Vậy I = f (x) dx = (cos x − sin x) dx = (cos x − sin x) 04 = 2 − 1.
0
0
Chọn đáp án B
Z1
Câu 5. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn
Z5
f (x)dx = 3 và
0
f (x)dx = 6. Tính tích
0
Z1
f (|3x − 2|)dx
phân I =
−1
B. I = −2.
A. I = 3.
C. I = 4.
D. I = 9.
Lời giải.
2
Z1
Z3
Z1
Ta có f (|3x − 2|)dx = f (−3x + 2)dx + f (3x − 2)dx = I1 + I2 .
−1
Z
−1
2
3
2
3
I1 =
1
f (−3x + 2)dx = −
3
−1
Z
2
3
f (−3x + 2)d(−3x + 2).
−1
1
2
Đặt t = −3x + 2 suy ra x = −1 ⇒ t = 5; x = ⇒ x = 0. Do đó I1 =
3
3
Z5
f (t)dt = 2.
0
Z1
f (3x − 2)dx =
I2 =
2
3
1
3
Z
1f (3x − 2)d(3x − 2).
2
3
1
2
Đặt t = 3x − 2 suy ra x = 1 ⇒ t = 1; x = ⇒ x = 0. Do đó I2 =
3
3
Z1
f (t)dt = 1.
0
Vậy I = I1 + I2 = 3.
Chọn đáp án A
3
2 x +1
Câu 6.
Z Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x e Z.
3
3
A.
f (x) dx = ex +1 + C.
B.
f (x) dx = 3ex +1 + C.
Z
Z
x3 3
1 x3 +1
C.
f (x) dx = e
+ C.
D.
f (x) dx = ex +1 + C.
3
3
Lời giải.
Z
Z
1
1 3
3
2 x3 +1
Ta có x e
dx =
ex +1 d(x3 + 1) = ex +1 + C.
3
3
Chọn đáp án C
Câu 7.
Z Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
xex dx = ex + xex + C.
Z
x2
C.
xex dx = ex + C.
2
Lời giải.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Z
B.
Z
D.
3
xex dx = −ex + xex + C.
xex dx = ex +
x2 x
e + C.
2
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
Z
Ta có
Z
x
xe dx =
x
Z
x
x de = xe −
Chương 3-Giải tích 12
ex dx = xex − ex + C.
Chọn đáp án B
Câu 8. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) =
1
ln |5x + 4| + C.
ln 5
1
C. F (x) = ln |5x + 4| + C.
5
Lời giải.
Z
1
1
Ta có
dx = ln |5x + 4| + C.
5x + 4
5
Chọn đáp án C
1
.
5x + 4
B. F (x) = ln |5x + 4| + C.
1
D. F (x) = ln(5x + 4) + C.
5
A. F (x) =
Câu 9. Cho hàm số f (x) = 2x + ex . Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn
F (0) = 2019.
A. F (x) = ex − 2019.
B. F (x) = x2 + ex − 2018.
C. F (x) = x2 + ex + 2017.
D. F (x) = x2 + ex + 2018.
Lời giải.
Z
F (x) = (2x + ex ) dx = x2 + ex + C.
Do F (0) = 2019 nên 02 + e0 + C = 2019 ⇔ C = 2018.
Vậy F (x) = x2 + ex + 2018.
Chọn đáp án D
√
Câu 10. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện: f (0) = 2 2, f (x) > 0 với mọi x ∈ R
p
và f (x).f 0 (x) = (2x + 1) 1 + f 2 (x) với mọi x ∈ R. Khi đó giá trị f (1) bằng
√
√
√
√
A. 15.
B. 23.
C. 24.
D. 26.
Lời giải.
Z
Z
f (x) · f 0 (x)
f (x) · f 0 (x)
p
Từ giả thiết ta có 2x + 1 = p
⇒
dx = (2x + 1) dx.
1 + f 2 (x)
1 + f 2 (x)
Z
f (x) · f 0 (x)
p
Bây giờ ta tính I =
dx.
1 + f 2 (x)
p
2
2
⇒ 2f (x)f 0 (x)dx = 2tdt ⇒ f (x)f 0 (x)dx = tdt.
Đặt 1 + fZ2 (x) = t ⇒
Z 1 + f (x) = t »
t
Do đó I =
dx =
dt = t + C = 1 + f 2 (x) + C.
tp
√
Ta nhận được 1 + f 2 (x) + C = x2 + x. f (0) = 2 2 ⇒ C = −3.
p
Từ đó 1 + f 2 (x) − 3 = x2 + x. Khi x = 1 ta có
p
√
1 + f 2 (1) − 3 = 1 + 1 ⇒ 1 + f 2 (1) = 25 ⇒ f (1) = 24.
Chọn đáp án C
Z1
Z1
f (x) dx = 2 và
Câu 11. Cho
0
Z1
0
A. −3.
[f (x) − 2g(x)] dx bằng
g(x) dx = 5, khi đó
0
C. −8.
B. 12.
D. 1.
Lời giải.
Z1
Z1
Z1
[f (x) − 2g(x)] dx = f (x) dx − 2 g(x) dx = 2 − 2 · 5 = −8.
0
0
0
Chọn đáp án C
Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + x là
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
4
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
Chương 3-Giải tích 12
1
B. ex + x2 + C.
2
x
D. e + 1 + C.
A. ex + x2 + C.
1 x 1 2
C.
e + x + C.
x+1
2
Lời
giải.
Z
Z
1
f (x) dx = (ex + x) dx = ex + x2 + C
2
Chọn đáp án B
Câu 13.
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo
công thức nào dưới đây ?
Z2
A. (2x2 − 2x − 4) dx.
y = −x2 + 3
Z2
(−2x + 2) dx.
B.
−1
Z2
−1
Z2
(2x − 2) dx.
C.
y
D.
−1
2
−1
O
x
(−2x2 + 2x + 4) dx.
y = x2 − 2x − 1
−1
Lời giải.
Z2
S=
Z2
(−x2 + 3) − (x2 − 2x − 1) dx =
−1
(−2x2 + 2x + 4) dx.
−1
Chọn đáp án D
Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x(1 + ln x) là
A. 2x2 ln x + 3x2 .
B. 2x2 ln x + x2 .
C. 2x2 ln x + 3x2 + C.
D. 2x2 ln x + x2 + C.
Lời giải.
Z
Z
(1 + ln x) d(2x2 )
Z
1
2
= 2x (1 + ln x) − 2x2 dx
x
4x(1 + ln x) dx =
= 2x2 (1 + ln x) − x2 + C
= 2x2 ln x + x2 + C.
Chọn đáp án D
Z1
Câu 15. Cho
x dx
= a + b ln 2 + c ln 3 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a + b + c
(x + 2)2
0
bằng
A. −2.
B. −1.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
C. 2.
5
D. 1.
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
Chương 3-Giải tích 12
Lời giải.
Z1
x dx
=
(x + 2)2
Z1
0
x+2−2
dx
(x + 2)2
0
Z1
=
x+2
dx −
(x + 2)2
Z1
2
dx
(x + 2)2
0
0
Z1
Z1
1
2
dx −
dx
x+2
(x + 2)2
0
0
1
1
2
= ln |x + 2| +
x
+
2
0
0
1
= ln 3 − ln 2 − .
3
=
1
Nên a = − , b = −1, c = 1, suy ra 3a + b + c = −1.
3
Chọn đáp án B
Câu 16.
Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1 , B2 như
B2
2
hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000 đồng/m và
phần còn lại là 100.000 đồng/m2 . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần
nhất với số tiền nào dưới đây, biết A1 A2 = 8m, B1 B2 = 6m và tứ giác
M N P Q là hình chữ nhật có M Q = 3m ?
M
N
A1
A2
Q
A. 7.322.000 đồng.
B. 7.213.000 đồng.
C. 5.526.000 đồng.
Lời giải.
D. 5.782.000 đồng.
P
B1
x2 y 2
Giả sử phương trình elip (E) : 2 + 2 = 1.
a
b
(
(
(
A1 A2 = 8
2a = 8
a=4
Theo giả thiết ta có
⇔
⇔
B1 B2 = 6
2b = 6
a=3
2
2
x
y
3√
Suy ra (E) :
+
=1⇒y=±
16 − x2 .
16
9
4
Diện tích của elip (E) là S(E) = πab = 12π (m2 ).
(
√ 3
√ 3
M = d ∩ (E)
3
Ta có: M Q = 3 ⇒
với d : y = ⇒ M (−2 3; ) và N (2 3; ).
2
2
2
N = d ∩ (E)
Z4 √
√
3
Khi đó, diện tích phần không tô màu là S = 4
(
16 − x2 )dx = 4π − 6 3(m2 ).
4
√
2 3
√
Diện tích phần tô màu là S 0 = S(E) − S = 8π + 6 3.
Số tiền để sơn theo yêu cầu bài toán là
√
√
T = 100.000 × (4π − 6 3) + 200.000 × (8π + 6 3) ≈ 7.322.000 đồng.
Chọn đáp án A
Câu 17. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x + sin x là
x2
A. x2 + cos x + C.
B. x2 − cos x + C.
C.
− cos x + C.
2
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
6
D.
x2
+ cos x + C.
2
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
Chương 3-Giải tích 12
Lời giải.
Z
(x + sin x) dx =
Cách 1: Dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản ta có
x2
− cos x + C.
2
Cách 2: Lấy đạo hàm các hàm số trên ta được kết quả.
Chọn đáp án C
Z2
Z2
g(x)dx = −1, khi đó
f (x)dx = 2 và
Câu 18. Cho
−1
Z2
−1
[x + 2f (x) + 3g(x)] dx bằng
−1
5
7
17
11
A. .
B. .
C.
.
D.
.
2
2
2
2
Lời giải.
Z2
Z2
Z2
Z2
3
5
Ta có: [x + 2f (x) + 3g(x)]dx = xdx + 2 f (x)dx + 3 g(x)dx = + 4 − 3 = .
2
2
−1
−1
−1
−1
Å ã
1
201
. Giá trị F
là
Câu 19. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e2x và F (0) =
2
2
1
1
1
B. 2e + 200.
C. e + 50.
D. e + 100.
A. e + 200.
2
2
2
Lời giải.
Z
1
Ta có F (x) = e2x dx = e2x + C.
2
201
1
201
Theo đề bài ta có F (0) =
⇔ e0 + C =
⇔ C = 100.
2
2
2
1
1
Vậy F (x) = e2x + 100 ⇒ F (2) = e + 100.
2
2
Chọn đáp án D
Z
Câu 20. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) · g(x) biết F (1) = 3, biết f (x)dx = x + 2018
Z
và g(x)dx = x2 + 2019.
Chọn đáp án A
A. F (x) = x3 + 1.
B. F (x) = x3 + 3.
C. F (x) = x2 + 2.
D. F (x) = x2 + 3.
Lời giải.
Z
Ta có f (x)dx = x + 2018 ⇒ f (x) = (x + 2018)0 = 1
Z
và g(x)dx = x2 + 2019 ⇒ g(x) = (x2 + 2019)0 = 2x.
Z
⇒ f (x) · g(x) = 2x ⇒ F (x) = f (x) · g(x)dx = x2 + C.
Mặt khác F (1) = 3 ⇒ 12 + C = 3 ⇒ C = 2.
Vậy F (x) = x2 + 2.
Chọn đáp án C
Z
Câu 21. Cho
0
2
1
dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a, b, c là các số thực. Giá trị của
(x + 1)(x + 2)
a + b2 − c3 bằng
A. 3.
B. 6.
C. 5.
D. 4.
Lời giải.
Z3
Z3 Å
ã
x + 1 3
dx
1
1
= ln 4 − ln 3 = 4 ln 2 − ln 3 − ln 5.
Ta có
=
−
dx = ln
(x + 1)(x + 2)
x+1 x+2
x + 2 2
5
4
2
2
Suy ra a = 4, b = −1, c = −1. Vậy a + b2 − c3 = 6.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
7
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
Chương 3-Giải tích 12
Chọn đáp án B
x
Câu 22. Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên 0;
, thỏa mãn f (x) + tan xf 0 (x) =
.
2
cos3 x
π
√ π
√
Biết rằng 3f
−f
= aπ 3 + b ln 3 trong đó a, b ∈ R. Giá trị của biểu thức P = a + b
3
6
bằng
14
2
7
4
A.
.
B. − .
C. .
D. − .
9
9
9
9
Lời giải.
x
x
x
Ta có f (x) + tan xf 0 (x) =
⇔ cos x · f (x) + sin xf 0 (x) =
⇔ [sin x · f (x)]0 =
.
3
2
cos
cos x
cos2 x
Z
Z x
Z
x
x
Do đó [sin x · f (x)]0 dx =
dx ⇒ sin x · f (x) =
dx.
2
cos x
cos2 x
Z
x
dx.
Tính I =
cos2 x
(
u = x
du = dx
Đặt
⇒
dx
dv =
v = tan x.
cos2 x
Z
Z
d cos x
= x · tan x + ln | cos x|.
Khi đó I = x · tan x − tan x dx = x · tan x −
cos x
x · tan x + ln | cos x|
x
ln | cos x|
Suy ra f (x) =
=
+
.
sin x
cos x Å sin x
√
√ å
ã Ç √
√
√
√ 2π 2 ln 2
5π 3
π
3
π
π 3
Do 3f
−f
= aπ 3 + b ln 3 = 3
− √
+ 2 ln
=
ln 3.
−
3
6
3
9
2
9
3
a = 5
9 .
Khi đó
b = −1
4
Vậy P = a + b = − .
9
Chọn đáp án D
π
Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 − 1 là
x3
3
+ x + C.
C. 6x + C.
A. x + C.
B.
3
Lời giải.
Z
Z
Ta có f (x)dx = (3x2 − 1) dx = x3 − x + C.
D. x3 − x + C.
Chọn đáp án D
Z1
Câu 24. Giá trị của
(2019x2018 − 1)dx bằng
0
A. 0.
B. 22017 + 1.
C. 22017 − 1.
D. 1.
Lời giải.
Z1
Z1
Z1
1
(2019x2018 − 1)dx = 2019 x2018 dx − dx = (x2019 − x + C) = 0
0
0
0
0
Chọn đáp án A
Câu 25. Hàm số f (x) = cos(4x + 7) có một nguyên hàm là
1
A. − sin(4x + 7) + x. B. sin(4x + 7) − 3.
C. sin(4x + 7) − 1.
4
Lời giải.
1
Hàm số f (x) = cos(4x + 7) có một nguyên hàm là sin(4x + 7) − 3.
4
Chọn đáp án B
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
8
1
D. − sin(4x + 7) + 3.
4
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
Z1
Câu 26. Biết
Chương 3-Giải tích 12
x2 + 2x
4
a
dx = − 4 ln với a, b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức
2
(x + 3)
4
b
0
2
2
a + b bằng
A. 25.
B. 41.
C. 20.
D. 34.
Lời giải.
(
Z1 2
x=0⇒t=3
x + 2x
I=
dx. Đặt t = x + 3 ⇒ dt = dx, đổi cận
2
(x + 3)
x = 1 ⇒ t = 4.
0
Z4 Å
Z4 2
ã
Å
ã
4
3
3 4 5
4
t − 4t + 3
= − 4 ln
1 − + 2 dt = t − 4 ln |t| −
dt =
I=
2
t
t t
t 3 4
3
3
3
(
a=5
⇒
⇒ a2 + b2 = 34.
b=3
Å ã
1
1
thỏa mãn F
= 2 và F (e) =
Câu 27. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
x ln x
e
Å ã
1
ln 2. Giá trị của biểu thức F
+ F (e2 ) bằng
e2
A. 3 ln 2 + 2.
B. ln 2 + 2.
C. ln 2 + 1.
D. 2 ln 2 + 1.
Chọn đáp án D
Lời giải.
Z
Z
1
d(ln x)
Ta có
dx =
= ln |ln x| + C, x > 0, x 6= 1.
x ln(
x
ln x
ln(ln x) + C1 khi x > 1
Nên F (x) =
ln(− ln x) + C2 khi 0 < x < 1.
Å
ã
Å ã
1
1
= 2 nên ln − ln
+ C2 = 2 ⇔ C2 = 2; F (e) = ln 2 nên ln(ln e) + C1 = ln 2 ⇔ C1 = ln 2.
Mà F
e
e
(
ln(ln x) + ln 2 khi x > 1
Suy ra F (x) =
ln(− ln x) + 2 khi 0 < x < 1.
Å ã
Å
ã
1
1
2
Vậy F
+ F (e ) = ln − ln 2 + 2 + ln(ln e2 ) + ln 2 = 3 ln 2 + 2.
e2
e
Chọn đáp án A
π
Câu 28. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = cos x; y = 0; x = 0 và x = . Thể tích
2
vật thể tròn xoay có được khi (H) quay quanh trục Ox bằng
π2
π
π2
A.
.
B. 2π.
C. .
D.
.
4
4
2
Lời giải.
Gọi V là thể tích khối tròn xoay cần tính. Ta có
π
π
Z2
Z2
V =π
2
(cos x) dx = π
0
1 + cos 2x
dx = π
2
0
Å
ã π
x sin 2x 2
π2
+
=
.
2
4
4
0
Chọn đáp án A
Câu 29. Gọi d là đường thẳng tùy ý đi qua điểm M (1; 1) và có hệ số góc âm. Giả sử d cắt các trục
Ox, Oy lần lượt tại A, B. Quay tam giác OAB quanh trục Oy thu được một khối tròn xoay có thể
tích là V . Giá trị nhỏ nhất của V bằng
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
9
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
A. 3π.
B.
Chương 3-Giải tích 12
9π
.
4
C. 2π.
D.
5π
.
2
Lời giải.
y
B
M
1
A
x
1
O
x y
b
Giả sử A(a; 0), B(0; b). Phương trình đường thẳng d : + = 1 ⇒ d : y = − x + b(1).
a b
a
1 1
Mà M (1; 1) ∈ d nên + = 1 ⇒ a + b = ab(2).
a b
b
b
Từ (1) suy ra d có hệ số góc là k = − , theo giả thiết ta có − < 0 ⇒ ab > 0.
a
a
(
a<0
a
Nếu
thì a + b < 0 mâu thuẫn với (2). Suy ra a > 0, b > 0. Mặt khác từ (2) suy ra b =
a−1
b<0
kết hợp với a > 0, b > 0 suy ra a > 1.
Khi quay ∆OAB quanh trục Oy, ta được hình nón có chiều cao h = b và bán kính đường tròn đáy
r = a.
1
1
a3
1
.
Thể tích khối nón là V = πr2 h = πa2 .b = π.
3
3
3 a−1
a3
Suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất khi
đạt giá trị nhỏ nhất.
a−1
x3
1
Xét hàm số f (x) =
= x2 + x + 1 +
trên khoảng (1; +∞).
x−1
x−1
x=0
2
1
x (2x − 3) 0
f 0 (x) = 2x + 1 −
=
;
f
(x)
=
0
⇒
3.
(x − 1)2
(x − 1)2
x=
2
Bảng biến thiên
x
3
2
0
1
f 0 (x)
−
+∞
+∞
+
+∞
f (x)
27
4
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của V bằng π.f
3
Chọn đáp án B
Å ã
3
9π
=
.
2
4
Z3
Câu 30. Cho hàm số f (x) thoả mãn
[2x ln(x + 1) + xf 0 (x)] dx = 0 và f (3) = 1.
0
Z3
f (x) dx =
Biết
a + b ln 2
với a, b là các số thực dương. Giá trị của a + b bằng
2
0
A. 35.
B. 29.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
C. 11.
10
D. 7.
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
Chương 3-Giải tích 12
Lời giải.
Z3
Tính I =
2x ln(x + 1) dx.
0
Đặt
(
u = ln(x + 1)
⇒
dv = 2x dx
1
dx
x + 1 . Khi đó
du =
v = x2
3 Z3
Å 2
ã 3
2
x
x
3
I = x ln(x + 1) −
dx = 9 ln 4 −
− x + ln |x + 1| = 16 ln 2 − .
x+1
2
2
0
0
2
0
R3
Tính J = xf 0 (x) dx.
0
(
(
uJ = x
duJ = dx
Đặt
⇒
.
dvJ = f 0 (x)dx
vJ = f (x)
Z3
Z3
Z3
3
0
J = xf (x) dx = xf (x)|0 − f (x) dx = 3 − f (x) dx.
0
Z3
Mà
0
0
[2x ln(x + 1) + xf 0 (x)] dx = 0
0
3
⇒ I + J = 0 ⇒ 16 ln 2 − + 3 −
2
(
a=3
. Vậy a + b = 35.
Suy ra
b = 32
Z3
Z3
f (x)dx = 0 ⇒
0
f (x) dx = 16 ln 2 +
3 + 32 ln 2
3
=
.
2
2
0
Chọn đáp án A
Câu 31. Cho f (x), g(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên R, k ∈ R. Trong các khẳng định
dưới đây, khẳng định nào sai?
Z
Z
Z
Z
A.
[f (x) − g(x)] dx = f (x)dx − g(x)dx. B.
f 0 (x)dx = f (x) + C.
Z
Z
Z
Z
Z
C.
kf (x)dx = k f (x)dx.
D.
[f (x) + g(x)] dx = f (x)dx + g(x)dx.
Lời giải.
Khẳng định A, B, D đúng theo tính chất của nguyên hàm.
Khẳng định C chỉ đúng khi k 6= 0.
Chọn đáp án C
Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x (1 + 3x3 ) là
Å
ã
Å
ã
Å
ã
Å
ã
3 2
6x3
3 4
3 3
2
2
2
A. x 1 + x + C. B. x 1 +
+ C. C. 2x x + x + C. D. x x + x + C.
2
5
4
4
Lời giải.
Å
ã
R
R
R
6x5
6x3
3
4
2
2
Ta có f (x) dx = 2x (1 + 3x ) dx = (2x + 6x ) dx = x +
+C =x 1+
+ C.
5
5
Chọn đáp án B
Z1
Câu 33. Cho f (x), g(x) là các hàm số liên tục trên R và thỏa mãn
11
[f (x) − 3g(x)] dx = 4
f (x) dx = 3,
0
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Z2
0
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
Z2
Z2
[2f (x) + g(x)] dx = 8. Tính I =
và
Chương 3-Giải tích 12
f (x) dx.
0
1
A. I = 1.
B. I = 2.
C. I = 3.
D. I = 0.
Lời giải.
Z2
Z2
Đặt a = f (x) dx, b = g(x) dx.
0
Theo giả thiết, ta có
( 0
a − 3b = 4
⇔
(
a=4
2a + b = 8
Z2
Z1
f (x) dx =
Ta có
0
b = 0.
Z2
f (x) dx ⇒
f (x) dx +
0
Z2
1
Z2
f (x) dx −
f (x) dx =
1
Z1
0
f (x) dx = 4 − 3 = 1.
0
Chọn đáp án A
Câu 34. Hai người A và B ở cách nhau 180(m) trên đoạn đường thẳng và cùng chuyển động theo
một hướng với vận tốc biến thiên theo thời gian , A chuyển động với vận tốc v1 (t) = 6t + 5(m/s), B
chuyển động với vận tốc v2 (t) = 2at − 3(m/s) (a là hằng số ), trong đó t (giây) là khoảng thời gian
tính từ lúc A và B bắt đầu chuyển động . Biết rằng lúc A đuổi theo B và sao 10(giây) thì đuổi kịp.
Hỏi sau 20(giây), A cách B bao nhiêu mét?
A. 320(m).
B. 720(m).
C. 360(m).
D. 380(m).
Lời giải.
Z10
10
2
Quảng đường A đi được trong 10 (giây) :
(6t + 5) dt = 3t + 5t = 350(m).
0
0
Z10
10
(2at − 3) dt = at2 − 3t = 100a − 30(m).
Quảng đường B đi được trong 10 (giây) :
0
0
Vì lúc đầu A đuổi theo B và sau 10 (giây) thì đuổi kịp nên ta có:
(100a − 30) + 180 = 350 ⇔ a = 2 ⇒ v2 (t) = 4t − 3(m/s)
Z20
20
2
Sau 20(giây) quãng đường A đi được : (6t + 5) dt = 3t + 5t = 1300(m) .
0
0
Z20
20
(4t − 3) dt = 2t − 3t = 740(m).
Sau 20(giây) quãng đường B đi được :
2
0
0
Khoảng cách giữa A và B sau 20 (giây) 1300 − 740 − 180 = 380(m) .
Chọn đáp án D
Z1
Câu 35. Cho
9x + 3m
dx = m2 − 1. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m
9x + 3
0
A. P = 12.
1
B. P = .
2
C. P = 16.
D. P = 24.
Lời giải.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
12
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
Chương 3-Giải tích 12
Từ giả thiết ta có
Z1
9x + 3m
dx = m2 − 1
9x + 3
0
Z1
⇔
9x
dx + m
9x + 3
Z1
3
dx = m2 − 1
+3
9x
0
0
⇔ m2 − m
Z1
3
dx −
x
9 +3
0
Z1
9x
dx − 1 = 0
9x + 3
0
Phương trình trên là phương trình bậc hai đối với biến m, với các hệ số
a = 1
Z1
b = −
9x
3
dx
+3
0
Z1
c = −
9x
dx − 1
9x + 3
0
Áp dụng hệ thức Viet, tổng các giá trị của m là:
b
m1 + m2 = − =
a
Z1
9x
1
3
dx =
+3
2
0
(dùng máy tính bỏ túi tính tích phân xác định)
Chọn đáp án B
Câu 36. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 + cos x là
1
1
A. 2x − sin x + C.
B. x3 + sin x + C.
C. x3 − sin x + C.
3
3
Lời giải.
Z
1
Ta có: (x2 + cos x)dx = x3 + sin x + C.
3
Chọn đáp án B
Z2
Z5
1
A. −2.
Z5
f (x) dx = −1 thì
f (x) dx = 5,
Câu 37. Nếu
D. x3 + sin x + C.
2
f (x) dx bằng
1
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải.
Z5
Z2
Z5
Ta có f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = 5 + (−1) = 4.
1
1
2
Chọn đáp án D
Câu 38. Diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị y = x3 − 2x − 1 và y = 2x − 1 được
tính theo công thức
Z0
A. S = x3 − 4x dx.
Z2
B. S =
−2
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
3
x − 4x dx.
0
13
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
Z2
C. S =
Chương 3-Giải tích 12
Z2
x3 − 4x dx.
D. S =
−2
3
x − 4x dx.
−2
Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của y = x3 − 2x − 1 và y = 2x − 1 là
x=2
x3 − 2x − 1 = 2x − 1 ⇔ x3 − 4x = 0 ⇔
x = 0 .
x = −2
Vậy diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị y = x3 − 2x − 1 và y = 2x − 1 được tính
Z2
theo công thức S = x3 − 4x dx.
−2
Chọn đáp án D
Câu 39 (2D3B1-3). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x + 1)ex là
A. (2x − 1)ex + C.
B. (2x + 3)ex + C.
C. 2xex + C.
D. (2x − 2)ex + C.
Lời giải.
Z
Z
Ta có f (x) dx = (2x + 1)ex dx.
(
(
u = 2x + 1
du = 2 dx
Đặt
⇒
dv = ex dx
v = ex .
Z
Z
x
x
⇒ (2x + 1)e dx = (2x + 1)e − 2ex dx = (2x + 1)ex − 2ex + C = (2x − 1)ex + C.
Chọn đáp án A
x2 y 2
+
= 1 quay quanh trục Ox.
4
1
8π
8π 2
C.
.
D.
.
3
3
Câu 40. Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip (E) :
10π
64π
.
B.
.
9
3
Lời giải.
(E) có a2 = 4 ⇒ a = 2. Do đó hai đỉnh thuộc trục lớn có tọa độ A0 (−2; 0) và (2; 0).
x2 y 2
x2
Vì
+
= 1 ⇒ y2 = 1 − .
4
1
4
Z2
Z2 Å
ã
x2
8π
2
Do đó thể tích khối tròn xoay là VOx = π y dx = π
1−
dx =
.
4
3
A.
−2
−2
8π
Vậy VOx =
(đvtt).
3
Chọn đáp án C
Z1
Câu 41. Cho
x2
1
dx = a ln 2 + b ln 3, với a, b là các số hữu tỷ. Khi đó a + b bằng
+ 3x + 2
0
A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. −1.
Lời giải.
Z1
Z1
Z1 Å
ã
Å
ã
1
1
1
1
x + 1 1
Xét
dx
=
dx
=
−
dx
=
ln
= 2 ln 2 −
x2 + 3x + 2
(x + 1)(x + 2)
x+1 x+2
x + 2 0
0
0
0
ln 3.
Vậy a = 2, b = −1 ⇒ a + b = 1.
Chọn đáp án C
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
14
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
Chương 3-Giải tích 12
Câu 42.
Người ta cần trồng một vườn hoa Cẩm Tú Cầu theo hình giới hạn bởi một
√
đường Parabol và nửa đường tròn có bán kính 2 mét (phần tô trong hình
y
2
vẽ). Biết rằng: để trồng mỗi m2 hoa cần ít nhất là 250000 đồng, số tiền tối
1
thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu gần bằng
A. 893000 đồng. B. 476000 đồng. C. 809000 đồng. D. 559000 đồng.
−1 O
1
x
−1
Lời giải.
Nửa đường tròn (T ) có phương trình y =
√
2 − x2 .
Xét parabol (P ) có trục đối xứng Oy nên có phương trình dạng: y = ax2 + c.
(P ) cắt Oy tại điểm (0; −1) nên ta có: c = −1.
(P ) cắt (T ) tại điểm (1; 1) thuộc (T ) nên ta được: a + c = 1 ⇒ a = 2.
Phương trình của (P ) là: y = 2x2 − 1.
Diện tích miền phẳng D (tô màu trong hình) là:
S=
Z1 Ä√
Z1 √
Z1
2 − x2 − 2x2 + 1 dx =
2 − x2 dx +
−2x2 + 1 dx.
ä
−1
−1
Z1
I1 =
−1
−1
Å
ã 1
2 3
2
−2x + 1 dx = − x + x = .
3
3
−1
2
Z1 √
√
h π πi
√
2 sin t, t ∈ − ;
thì dx = 2 cost dt.
2 2
−1
π
π
Đổi cận: x = −1 thì t = − , với x = 1 thì t = , ta được:
4
4
Xét I2 =
2 − x2 dx, đặt x =
Zπ/4 p
Zπ/4
√
I2 =
2 − 2sin2 t 2 cos tdt =
2cos2 tdt
−π/4
Zπ/4
=
−π/4
−π/4
ã π/4
Å
π
1
=1+ .
(1 + cos 2t) dt = t + sin 2t
2
2
−π/4
5 π 2
+ m.
3 2
Å
ã
5 π
Số tiền trồng hoa tối thiểu là: 250000
+
≈ 809365 đồng.
3 2
Suy ra S = I1 + I2 =
x3
Câu 43. Cho hàm số y = f (x)có đạo hàm trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn f (x) = x. ln
x.f 0 (x) − f (x)
5
Z
và f (1) = 0. Tính tích phân I = f (x) dx.
Å
1
A. 12 ln 13 − 13.
B. 13 ln 13 − 12.
C. 12 ln 13 + 13.
D. 13 ln 13 + 12.
Lời giải.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
15
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
ã
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
Chương 3-Giải tích 12
Từ giả thiết và
ã
x3
f (x)
x3
f (x) = x. ln
⇔
=
ln
.
x.f 0 (x) − f (x)
x
x.f 0 (x) − f (x)
f (x)
x.f 0 (x) − f (x) f (x)
x3
⇔ e x =
⇔
.e x = x.
x.f 0 (x) − f (x)
x2
ò
ï
f (x) 0 f (x)
.e x = x.
⇔
(1)
x
Å
Lấy nguyên hàm hai vế của (1) suy ra e
f (x)
x
=
x2
+ C.
2
f (x)
1
x2 + 1
x2 + 1
Do f (1) = 0 ⇒ C = , nên e x =
⇒ f (x) = x ln
với x ∈ (0; +∞).
2
2
2
Z5
Z5
x2 + 1
I = f (x) dx = x. ln
dx
(2).
2
1
1
x2 + 1
2x
x2 + 1
Đặt u = ln
⇒ du = 2
dx; dv = x dx, chọn v =
.
2
x +1
2
Theo công thức tích phân từng phần, ta được:
Å
I=
5
ã 5 Z5
x2 + 1
x2 + 1
x2
. ln
− x dx = 13 ln 13 − 2 = 13 ln 13 − 12.
2
2
1
1
1
Chọn đáp án B
2x
Câu 44.
Z Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = e .
Z
2x
2x
A.
e dx = 2e + C.
B.
e2x dx = e2x + C.
Z
Z
1
e2x+1
2x
+ C.
D.
e2x dx = e2x + C.
C.
e dx =
2x + 1
2
Lời giải.
Z
Z
1
1
2x
Ta có e dx =
e2x d(2x) = e2x + C.
2
2
Chọn đáp án D
Câu 45. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị của hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b, (a < b) được tính theo công
thức
b
Z
A. S = f (x)dx .
Zb
B. S =
a
Zb
f (x)dx.
C. S = π
a
2
f (x)dx.
a
Zb
|f (x)| dx.
D. S =
a
Lời giải.
Theo lí thuyết về tính diện tích hình phẳng ta có diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b, (a < b) được tính theo công thức
Zb
S = |f (x)| dx.
a
Chọn đáp án D
Z5
Câu 46. Tính tích phân I =
dx
.
1 − 2x
1
A. I = − ln 9.
C. I = − ln 3.
B. I = ln 9.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
16
D. I = ln 3.
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
Chương 3-Giải tích 12
Lời giải.
Z5
Ta có I =
dx
1
=−
1 − 2x
2
1
Z5
5
d(1 − 2x)
1
= − ln |1 − 2x| = − ln 3.
1 − 2x
2
1
1
Chọn đáp án C
Câu 47. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường
thẳng x = −1,x = 2 biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2 cm.
17
15
cm2 .
B.
cm2 .
C. 17 cm2 .
D. 15 cm2 .
A.
4
4
Lời giải.
0
2
Z2
Z0
Z2
Z0
Z2
4
4
3
3
3
x
17
x
3
3
Ta có S = x dx = x dx + x dx = − x dx + x dx = − + = .
4
4
4
−1
−1
−1
0
Do mỗi đơn vị trên trục là 2 cm nên S =
0
−1
0
17 2
· 2 cm2 = 17 cm2 .
4
Chọn đáp án C
Ze
√
ln x
√ dx = a e + b với a,b ∈ Z. Tính P = ab.
Câu 48. Biết
x
1
A. P = 4.
B. P = −8.
Lời giải.
du = dx
u = ln x
x
Đặt
dx ⇒
√ , ta có
dv = √
v=2 x
x
Ze
D. P = −4.
Ze
1
1
√
√
√ 1
√
ln x
dx
√ dx = 2 x ln x − 2 √ = 2 x ln x − 4 x = −2 e + 4.
x
x
e
e
e
1
Từ đó suy ra
C. P = 8.
(
a = −2
1
. Vậy P = ab = −8.
b=4
Chọn đáp án B
Câu 49.
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h)
có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(1; 1) và trục đối xứng song
v
10
song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật đi được trong 4
giờ kể từ lúc xuất phát.
40
46
A. s = (km).
B. s = 8(km).
C. s = (km).
D. s = 6(km).
3
3
2
1
O
t
1
4
Lời giải.
Vì đồ thị của hàm số v(t) có dạng là một phần của parabol nên v(t) = at2 + bt + c (a 6= 0, t ≥ 0).
Đồ thị hàm số v(t) đi qua các điểm (0; 2), (1; 1), (4; 10) nên ta có hệ phương trình
c
=
2
a=1
⇔ b = −2
a+b+c=1
16a + 4b + c = 10
c = 2.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
17
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
Chương 3-Giải tích 12
Do đó v(t) = t2 − 2t + 2.
Z4
Vậy quãng đường mà vật đi được là s =
Z4
v(t) dt =
0
(t2 − 2t + 2) dt =
40
(km).
3
0
Chọn đáp án A
Câu 50.
Cho hàm
Z số y = f (x) là hàm sốZbậc ba có đồ thị như hình vẽ bên.
xf 00 (x − 1) dx = 7 và
Biết
y
2
4
1
2xf 0 (x2 − 1) dx = −3. Phương
1
2
trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm có hoành độ
x = 3 là
1
5
B. y = x − .
2
2
D. y = 3x − 10.
A. y = x − 4.
C. y = 2x − 7.
x
O
Lời giải.
Từ đồ thị hàm số ta suy ra f (0) = 2 và f 0 (0) = 0.
Z2
Xét tích phân 2xf 0 (x2 − 1) dx. Đặt u = x2 − 1 ⇒ du = 2x dx.
1
Đổi cận x = 1 ⇒ u = 0; x = 2 ⇒ u = 3.
Z2
Z3
3
Do đó 2xf 0 (x2 − 1) dx = f 0 (u) du = f (u) = f (3) − f (0) ⇒ f (3) − f (0) = −3 ⇔ f (3) = −1.
0
1
0
Z4
Xét tích phân
xf 00 (x − 1) dx. Đặt u = x − 1 ⇒ x = u + 1 ⇒ dx = du.
1
Đổi cận x = 1 ⇒ u = 0; x = 4 ⇒ u = 3.
Z4
⇒
00
Z3
xf (x − 1) dx =
00
Z3
(u + 1)f (u) du =
3 Z3
(u + 1) df (u) = (u + 1)f (x) − f 0 (u) du
0
0
0
1
0
0
0
3
= 4f 0 (3) − f 0 (0) − f (u) = 4f 0 (3) − f 0 (0) − f (3) + f (0).
0
Do đó 4f 0 (3) − f 0 (0) − f (3) + f (0) = 7 ⇔ 4f 0 (3) = 7 + f (3) − f (0) = 4 ⇔ f 0 (3) = 1.
Như vậy, f (3) = −1, f 0 (3) = 1. Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành
độ x = 3 là y = x − 4.
Chọn đáp án A
Câu 51.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
18
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
Chương 3-Giải tích 12
Đồ thị trong hình bên là của hàm số y = f (x), S là diện tích hình
y
phẳng (phần tô đậm trong hình). Chọn khẳng định đúng.
Z0
Z1
A. S = f (x) dx + f (x) dx.
−2
Z1
B. S =
0
−2
f (x) dx.
−2
Z−2
C. S =
O
x
Z1
f (x) dx +
f (x) dx.
0
0
Z0
Z1
f (x) dx −
D. S =
1
−2
f (x) dx.
0
Lời giải.
Từ đồ thị ta có f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [−2; 0] và f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [0; 1].
Z1
Z1
Z1
Z0
Z1
Do đó S = |f (x)| dx = |f (x)| dx + |f (x)| dx = f (x) dx − f (x) dx.
−2
−2
−2
0
0
Chọn đáp án D
Z3
0
Câu 52. Cho hàm số f (x) biết f (0) = 1, f (x) liên tục trên [0; 3] và
f 0 (x) dx = 9. Tính f (3).
0
A. f (3) = 9.
B. f (3) = 10.
C. f (3) = 8.
D. f (3) = 7.
Lời giải.
Z3
Ta có f 0 (x) dx = 9 ⇔ f (x)|30 = 9 ⇔ f (3) − f (0) = 9 ⇔ f (3) = 9 + f (0) = 9 + 1 = 10.
0
Vậy f (3) = 10.
Chọn đáp án B
Câu 53. Cho hàm số f (x) đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn [0; 2] và thỏa mãn 2[f (x)]2 −
f (x) · f 00 (x) + [f 0 (x)]2 = 0 với ∀x ∈ [0; 2]. Biết f (0) = 1; f (2) = e6 .
Z0
Tích phân I = (2x + 1)f (x) dx bằng
−2
A. 1 + e.
B. 1 − e2 .
C. 1 − e.
D. 1 − e−1 .
Lời giải.
2
2
2[f (x)]2 − f (x) · f 00 (x) + [f 0 (x)] = 0 ⇔ f (x) · f 00 (x) − [f 0 (x)] = 2[f (x)]2
Å 0 ã0
f (x) · f 00 (x) − [f 0 (x)]2
f (x)
⇔
=2⇔
=2
2
[f (x)]
f (x)
Z Å 0 ã0
Z
f (x)
f 0 (x)
⇔
dx = 2dx ⇔
= 2x + C1
f (x)
f (x)
Z 0
Z
f (x)
⇔
dx = 2x + C1 ⇔ ln |f (x)| = x2 + C1 x + C2
f (x)
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
19
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/
Chương 3-Giải tích 12
Ta có
f (0)
= 1 ⇒ ln 1 = C2 ⇒ C2 = 0
f (2)
= e6 ⇒ 6 = 4 + 2C1 ⇒ C1 = 1
2
⇒ ln |f (x)| = x2 + x ⇒ f (x) = ex +x
Z0
0
x2 +x
x2 +x
⇒
I
= (2x + 1)e
dx = e
= 1 − e2
−2
−2
Chọn đáp án B
Câu 54. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e−x + cos x. Tìm khẳng định đúng.
A. F (x) = e−x + sin x + 2019.
C. F (x) = − e−x + sin x + 2019.
B. F (x) = e−x + cos x + 2019.
D. F (x) = − e−x − cos x + 2019.
Lời giải.
Z
Áp dụng công thức
( e−x + cos x) dx = − e−x + sin x + C, với C là hằng số
Cho C = 2019 ta có F (x) = − e−x + sin x + 2019.
Chọn đáp án C
√
10x2 − 7x + 2
√
Câu 55. Nếu f (x) = (ax2 + bx + c) 2x − 1 là một nguyên hàm của hàm số g (x) =
2x − 1
Å
ã
1
trên khoảng
; +∞ thì a + b + c có giá trị bằng
2
A. 3.
B. 0.
C. 2.
D. 4.
Lời giải.
√
1
(2ax + b) (2x − 1) + (ax2 + bx + c)
2
√
√
Ta có: g (x) = f (x) = (2ax + b) 2x − 1+
(ax + bx + c) =
.
2x − 1
2x − 1
5ax2 + (3b − 2a) x + c − b
√
=
.
2x − 1
10x2 − 7x + 2
√
nên
Theo bài ra: g (x) =
2x − 1
5a = 10
a=2
2
2
5ax + (3b − 2a) x + c − b
10x − 7x + 2
√
√
=
⇒ 3b − 2a = −7 ⇔ b = −1
2x − 1
2x − 1
c = 1.
c−b=2
Vậy a + b + c = 2 .
0
Chọn đáp án C
Z3
Câu 56. Cho f (x), g(x) là các hàm số liên tục trên [1; 3] và thỏa mãn
[f (x) + 3g(x)] dx = 10;
1
Z3
Z3
[2f (x) − g(x)] dx = 6. Tính tích phân I =
1
[f (x) + g(x)] dx bằng
1
A. I = 6.
B. I = 7.
C. I = 8.
D. I = 9.
Lời giải.
Z3
Z3
Z3
Z3
[f (x) + 3g(x)] dx = 10
f (x) dx + 3 g(x) dx = 10
f (x) dx = 4
1
1
1
1
Ta có
⇔
⇔
3
3
3
3
Z
Z
Z
Z
[2f (x) − g(x)] dx = 6
2 f (x) dx − g(x) dx = 6
g(x) dx = 2.
1
1
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
1
20
1
https://emncischool.wixsite.com/geogebra
- Xem thêm -
.PDF 
393 
79 
101 
