Chủ đề 6. Tính tích phân bằng phương pháp biến đổi
6.1. Phương pháp
b
Để tính tích phân I f (x)dx ta phân tích f (x) k1f1 (x) ... k m f m (x)
a
Trong đó các hàm f i (x) (i 1, 2, 3, ..., n) có trong bảng nguyên hàm.
6.2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 3.6.1. Tính các tích phân sau
2
1) I
2x2 x x 3 x 3x 1
x
1
2
1
2) I
dx
0
xdx
3) I
3x 1 2x 1
2
x2 1 dx .
2
Lời giải.
1
3
x2 )dx
x
1
3
4
1
3
2
x 3x 3 ln x
3
x
2) Ta có: x (3x 1) (2x 1)
t
ne
2
3
2
1
8 2
23
.
33 2 3 ln 2
3
10
u.
ilie
1
2
1) Ta có: I (2x 2 x
3x 1 2x 1
3x 1 2x 1
ta
1
Nên I ( 3x 1 2x 1)dx
ox
0
1
2
2
1
w
w
3) Ta có: I
2
.b
2
1
17 9 3
.
(3x 1)3
(2x 1)3
9
3
9
0
x 1 dx
1
2
(x 1)dx
2
1
2
2
(1 x )dx (x2 1)dx
1
2
1
1
3
3
3
x
x
x
x x x 4 .
3
2 3
1 3
1
w
Suy ra I
Ví dụ 3.6.2. Tính các tích phân sau
1) I
3
2
2
2 sin x 3 tan x cos2 x dx
2) I 2 sin x.sin 5xdx
0
0
Lời giải.
3
0
1) Ta có I 2 cos x 3 ln cos x 2 tan x 1 3 ln 2 2 3 .
2
2) Ta có: I
0
4
1
2
1
(cos 4x cos 6x)dx sin 4x sin 6x 0 .
4
6
0
2
3) Ta có: 8 sin 2x 4(1 2 cos 4x cos 4x) 2(3 4 cos 4x cos 8x)
www.boxtailieu.net
4
3) I 8 sin4 2xdx .
0
4
4
1
3
.
(3 4 cos 4x cos 8x)dx 2 3x sin 4x sin 8x
8
2
Nên I 2
0
0
Ví dụ 3.6.3. Tính các tích phân
4
1) I
3
3
x2dx
2) I
2
x 3x 2
2
2x 3
3
x 3x 2
dx .
Lời giải.
x2
3 2x 3
5
1
2
2
2 x 3x 2 2 x 3x 2
x 3x 2
3 2x 3
5 1
1
1
2
2 x 3x 2 2 x 2 x 1
1) Ta có:
1
2
4
ne
t
3
5
x 2
Suy ra I x ln x2 3x 2 ln
2
2
x 1
3
3
5 4
1 ln 3 ln .
2
2 3
u.
2) Ta có: x3 3x 2 (x 1)2 (x 2)
ilie
2x 3 a(x 1)2 b(x 2)(x 1) c(x 2)
ox
ta
2x 3 (a b)x2 (c 2a b)x a 2b 2c
a b 0
1
1
5
2a b c 2 a , b , c .
9
9
3
a 2b 2c 3
3
5
1 8 5
1
1 1
5
1
dx 1 ln x 1
ln .
9
2
x
2
3(x
1)
9 5 6
9
x
2
9
x
1
3
2
(x 1)
2
3
.b
1
Suy ra I
1
0
2
4) I x 1 dx
7) I
0
2
sin 2x.sin 3x
-
1
(x x 2x3 1)dx
w
1) I
w
w
6.3. Bài tập áp dụng
Bài 3.6.1. Tính các tích phân sau
2
1
2
10) I
0
2) I
0
5) I
1
dx
3) I
x 1 x
3
0
2
2
0
0
3
8) I cos4 2xdx
9) I
cos 2x
2
sin 2x
0
4
6) I sin2 (2x )dx
(2 sin x 3 cos x cos2 x )dx
4
x2
dx
x 1
dx
6
x4
x2 1
dx
1
11) I
0
4x 11
x2 5x 6
dx
1
12) I
www.boxtailieu.net
0
x3
x2 2x 1
dx
2
13) I
0
x3 3x 2
2
x 3x 2
x2 2x 3
dx
3
x
x
2
dx
14) I
3
2
16) I x2 x dx
17) I
0
3
19) I
6
2
3
3 cot 2 x
cos2 x
4
15) I
0
1
18) I
dx
20) I x x a dx, a 0
sin2 x cos2 x
x x 1
2
0 x 4
1
dx
cos x
dx
sin x 2 cos x
21) I
0
2
dx
1 cos 2xdx .
0
Hướng dẫn giải.
Bài 3.6.1.
1
3
1
0
ne
0
t
1) Ta có: I (x x 2x3 1)dx (x 2 2x3 1)dx
1
1
[(x 1) 2
1
(
1
x 2 ]dx
1
1
3
3
2
2 2
4 2 4
2
(x 1) x
3
3
3
0
1
.b
0
x2
dx
x 1
(x 1 x 1)dx
0
w
w
1
x 1 x)dx
0
0
3) Ta có: I
ilie
ta
x 1 x
0
1
dx
ox
1
2) Ta có: I
u.
5
2 2 1 4
19
.
x x x
5
2
10
0
1
w
1
1
.
x2 x ln(x 1)
ln 2
2
2
0
2
1
2
1
x
4) Ta có: I | x 1|dx (1 x)dx (x 1)dx x x2 x 1
2
2
0
0
0
1
1
2
1
2
2 3
5) Ta có: I 2 cos x 3 sin x 2 tan x 3
.
0
2
2
2
2
1 cos(4x ) dx 1 (1 sin 4x)dx 1 x 1 cos 4x
.
2
2
2
4
4
0
0
0
1
6) Ta có: I
2
1
7) Ta có: I
2
2
2
2
1
1
4
(cos x cos 5x)dx (sin x sin 5x)
.
2
5
5
2
www.boxtailieu.net
8) Ta có: cos4 2x
1
1
(1 2 cos 4x cos2 4x) (3 4 cos 4x cos 8x)
2
4
4
4
1
1
1
3
Nên I (3 4 cos 4x cos 8x)dx 3x sin 4x sin 8x
.
4
4
8
16
0
0
3
3
1 d(sin 2x)
1 1
9) Ta có: I
0.
2
2
2 sin 2x
sin
2x
6
6
1
2 4
0
1
2
x
dx
2
x 1
2
1
0
(x
2
1
0
1
2
x 1
)dx
1
1
dx
2(x 1) 2(x 1)
t
x 1 1
ne
10) Ta có: I
1
2
1
x 3
ln 4 2 ln 3 3 ln 2 ln
ta
0
1
3
dx ln| x 3| 3 ln| x 2|
0
x 2
9
.
2
ox
1
Nên: I
ilie
11) Ta có: 4x 11 (x 2) 3(x 3)
u.
1
1
1
x 1 2
13 1 1
x3 x ln
ln .
2
x 1
24 2 3
3
0
.b
12) Ta có: x3 x(x 1)2 2(x 1)2 3(x 1) 1 nên:
1
I 2 3 ln 2 .
w
w
3
1
dx
I x 2
2
x
1
(x
1)
0
1
2
x 2x 3 ln(x 1) 1
x 1
2
0
I
w
13) Ta có: x3 3x 2 (x 3)(x2 3x 2) 10x 8
2
2
10x 8
x 3 12 2 dx
x
3
dx
(x 1)(x 2)
x 2 x 1
0
0
2
2
x
3x 12 ln| x 2| 2 ln| x 1|
4 12 ln 2 2 ln 3 .
2
0
14) Ta phân tích: x2 2x 3 ax(x 1) bx(x 1) c(x 1)(x 1)
Cho x 0; x 1; x 1 ta tìm được: a 1; b 3; c 3
I
3
1
2
3
3
x 1 x 1 x dx ln| x 1| 3 ln| x 1| 3 ln x
I 8 ln 2 4 ln 3 4 ln
4
.
3
www.boxtailieu.net
3
2
15) Ta xác định a, b sao cho: cos x a(sin x 2 cos x) b(cos x 2 sin x) a
I
2
0
2
1
,b
5
5
2
ln 2
2 1 cos x 2 sin x
2
1
.
(
)dx ( x ln|sin x 2 cos x|)
5
5 5 sin x 2 cos x
5
5
0
2
x x khi x [1; 2]
x2 x khi x [0;1]
16) Ta có: x2 x
1
1
2
2
3
x2
x3 x2
x
Nên I (x x)dx (x x)dx 1
3
2
2
3
0
1
0
1
2
3
17) I (3 cot 2 x)(1 tan2 x)dx
4
(3 tan x cot x) 3
4
2
cos x
dx
sin2 x
1
10 3 12
.
3
u.
4
3
t
3
ne
2
3
2
6
1
sin2 x
4 3
dx
3
cos2 x
1
20) HD: Xét hai trường hợp
* a 1 I x(a x)dx
0
1
w
w
a
3a 2
6
.b
1
ta
19) I
ox
3
ilie
18) I 1 ln 3 ln 2
* 0 a 1 I x(a x)dx x(x a)dx
2
a
w
0
2
0
0
2a 3 3a 2
.
6
21) I 2 sin x dx 2 sin xdx 2 sin xdx 2 .
0
Chủ đề 7. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
7.1. Phương pháp
7.1.1. Phương pháp đổi biến số loại 1
b
Giả sử cần tính I f x dx ta thực hiện các bước sau
a
Bước 1: Đặt x u t (với u t là hàm có đạo hàm liên tục trên ; , f u t xác định trên
; và u a, u b ) và xác định , .
www.boxtailieu.net
Bước 2 : Thay vào ta có: I f u t .u ' t dt g t dt G t
G G .
Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số dạng 1
* Hàm số dưới dấu tích phân chứa
a 2 b2 x2 ta thường đặt x
a
sin t
b
* Hàm số dưới dấ u tích phân chứa
b2 x2 a 2 ta thường đặt x
a
b sin t
* Hàm số dưới dấu tích phân chứa a 2 b2 x2 ta thường đặt x
* Hàm số dưới dấu tích phân chứa
a
tan t
b
x a bx ta thường đặt x
a
sin2 t
b
7.1.2. Phương pháp đổi biến số loại 2
ne
t
Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi
là loại 2) như sau.
b
a
ilie
như sau
u.
Để tính tích phân I f x dx , nếu f x g u x .u ' x , ta có thể thực hiện phép đổi biến
Bước 1 : Đặt t u x dt u ' x dx .
u(b)
b
g t dt G t a .
u(a)
.b
7.2. Các ví dụ minh họa
ox
Bước 2: Thay vào ta có I
ta
Đổi cận x a t u a , x b t u b
1
x 1
4 x2
dx
2) I
w
1) I
0
w
w
Ví dụ 3.7.1. Tính các tích phân sau
3
2
1
x 1
x(2 x)
dx
3) I
0
1 (x
dx
2
2x 2)2
Lời giải.
1
1) Ta có: I
0
(x 1)dx
4 x)2
. Đặt x 2 sin t dx 2 cos t.dt
6
Đổi cận: x 1 t ; x 0 t 0
I
0
6
(1 2 sin t)2 cos tdt
4 4 sin2 t
0
(1 2 sin t)dt t 2 cos t
6
2
2) Đặt x 2 sin2 t, t 0; dx 4 sin t cos tdt
www.boxtailieu.net
0
6
32
.
6
.
Đổi cận: x 1 sin t
I
3
1
2
t
2
(2 sin t 1)4 sin t cos tdt
2
2
2 sin t(2 2 sin t)
4
3
2
4
3
3
; x sin t
t
4
2
2
3
3
2 (2 sin2 t 1)dt
4
3
1
2 6 3 3
.
(2 cos 2t)dt 2 (2t sin 2t)
2
6
4
3) Ta có: I
0
dx
.
0
2
(1 tan t)
2
2
cos
tdt
0
ne
u.
dt
1
(1 cos 2t)dt
2
0
4
1
1
2
(t sin 2t)
.
2
2
8
0
ta
1 tan2 t
4
ilie
4
ox
I
4
t
2
1 (x 1)2 1
Đặt x 1 tan t, t [0; ) dx (1 tan2 t)dt
2
Đổi cận: x 1 t 0; x 0 t .
4
Ví dụ 3.7.2. Tính các tích phân sau
1) I
0
x
1 x
3
dx
1
1) Ta có: I
xdx
.
I
0
w
3
0 1 x
3
2dt
Đặt x x tan t
xdx (1 tan2 t)dt xdx
2
3 cos2 t
4
4
2dt
3. cos2 t 1 tan2 t
1
1 sin t
ln
3
1 sin t
4
0
2
ln
3
4
2
dt
2
d(sin t)
3 cos t
3 1 sin2 t
0
0
2 1 .
2
2) Đặt x 4 sin2 t, t 0; dx 8 sin t cos tdt
Đổi cận: x 0 t 0, x 2 t
2
2) I
0
w
w
Lời giải.
.b
1
4
www.boxtailieu.net
x
dx .
4x
4
4 sin2 t
Suy ra: I
2
4 cos t
0
4(t
4
4
0
0
.8 sin t cos tdt 8 sin2 tdt 4 (1 cos 2t)dt
4
1
sin 2t) 2 .
2
0
Ví dụ 3.7.3. Tính các tích phân sau
8
1) I
3
3
2) I
12
4
5
dx
x x4 4
2
xdx
x
4) I
3
1 1 2 x 1
1 2x 2
dx .
2
t
3) I
4
1 x
dx
x
ne
Lời giải.
3
u.
1) Đặt t 1 x x t 2 1 dx 2tdt
Đổi cận: x 3 t 2; x 8 t 3
3
3
1
1
t 1
)dt 2 t ln
2
(t 1)(t 1)
2
t 1
t
1
2
2
2
1 1
1 1
3
2 3 ln 2 ln 2 ln .
2 2
2 3
2
5
ilie
ta
2 3
x3dx
x4 x4 4
ox
2) Ta có: I
2 (1
.b
t.tdt
I 2
Đặt t x4 4 x4 t 2 4 2x3dx tdt
4
w
w
Đổi cận: x 4 5 t 3; x 4 12 t 4
4
4
1
dt
1
t2
1 5
I
ln
ln .
2
2
2 t 4 8
t2
8 3
3
3 (t 4)t
3
w
tdt
3) Đặt t 3 2x 2 t 3 2x 2 x
1
2
t3 2
3
dx t 2dt
2
2
Đổi cận : x t 1 ; x 3 t 2 .Ta có :
I
2
1
(t 3 2) 3 2
. t dt
2t
2
2
1
2
3 4 3
t t dt 3 t5 3 t 2 24 3 3 3 12 .
4
2
4
5
20
5
20 4
1
t 1 2
1
dx (t 1)dt
4) Đặt t 1 2 x 1 x 1
2
2
Đổi cận: x 1 t 1; x 2 t 3
I
3
3
1
1
1 (t 2 2t 5)(t 1)
1
5
dt (t 2 3t 7 )dt
8
t
8
t
www.boxtailieu.net
3
1 t 3 3t 2
7t 5 ln t
8 3
2
1
1 32
5 ln 3 .
8 3
Ví dụ 3.7.4. Tính các tích phân sau
1) I
2
sin
5
xdx
2) I
0
2
sin 2x sin x
1
0
1 3 cos x
2
3) I
dx
0
sin 2x
2
4 sin x cos x
Lời giải.
2
1) Ta có: I (1 cos2 x)2 sin xdx . Đặt t sin x dt cos xdx
0
t 1
2
0
(1 2t
2
t 4 )dt
0
2
(2 cos x 1) sin x.dx
2) Ta có: I
1 1 3 cos x
0
8
.
15
t
1
ne
(1 t 2 )2 dt
u.
1
.
ox
t2 1
cos
x
3
Đặt t 1 3 cos x
2
tdt sin xdx
3
Đổi cận: x 0 t 2, x t 1 .
2
ilie
I
ta
Đổi cận : x 0 t 0; x
2
2
1
2
3
(2t 2 2t 3
)dt
9
t 1
1
w
t2 1
2
1
3
3
2 t dt 2 2t t dt
3
1 t
9 t 1
.b
2
w
w
I
1
2 2t 3
t 2 3t 3 ln t 1
9 3
2
1
6) Đặt t 4 sin2 x cos2 x dt
28 2 3
ln .
27 3 2
3 sin 2x
2
2
4 sin x cos x
dx
sin 2x
1
dx dt .
3
a sin2 x b cos2 x
Đổi cận x 0 t 1; x
2
1
1
t 2 I dt .
2
3
3
1
www.boxtailieu.net
2
dx .
Ví dụ 3.7.5. Tính các tích phân sau
3
2
dx
0 cos x. cos x
3
1) I
6
sin xdx
2) I
3) I
( 3 sin x cos x)3
0
0
tan4 x
dx .
cos 2x
Lời giải.
3
cos x(cos x 3 sin x)
t 3
3
1 3t
)dx
6 6
8 sin3 (x )
6
2
cos(x )dx
1
6
2
16
3
0 sin (x )
0 sin (x )
6
6
dx
2
3
cot(x )
16
6
dt
0
1 t2
Đổi cận: x 0 t 0; x
1
1
32
0
t 4 (1 t 2 )dt
(1 t 2 )(1 t 2 )
1
sin2 (x )
6 0
1
.
6
1 t2
1 t2
1
3
1
.
t
6
3
1
3
2
dx . Khi đó: cos 2x
w
3) Đặt t tan x
I
ilie
3
16
2
ta
0
u.
sin(x
ox
2) Ta có: I
3
2 3
4 3
ln|1 3t|
ln 2 .
3
3
0
.b
2
w
w
0
dt
cos x(1 3 tan x)
cos2 x
Đổi cận: x 0 t 0; x
3
0
dx
2
dx
Đặt t tan x dt
I 2
2
t
0
dx
ne
1) Ta có: I 2
3
0
t 4dt
1 t2
3
dt t 2 1 dt
2
0 1 t
1
3
1 t
t3
1
1
ln
t
ln
2
1
t
3
2
0
3 1
3 1
10 3
.
27
Ví dụ 3.7.6. Tính các tích phân sau
e2
1) I
e
ln x
dx
x(ln x 1)
e
2) I
1
1 3 ln x. ln x
dx
x
www.boxtailieu.net
ln 5
3) I
dx
4) I
x
x
3
ln 3 e 2e
Lời giải.
1) Đặt ln x 1 t
3
ln 5
e2x dx
x
e 1
ln 2
.
dx
dt
x
3
t 1
3
dt t ln t 1 ln .
2
t
2
Ta có: I
2
2) Đặt t 1 3 ln x ln x
1 2
dx
2
(t 1)
tdt
3
x
3
2
2
2
2 t5 t 3
116
Khi đó: I t 2 (t 2 1)dt
.
9
9 5
3
135
1
1
ex dx
ln 3 e
x
t
3ex 2
ne
3) Ta có I
ln 5
4) Ta có: I
3
t 3t 2
ln
t2
t 1
5
ln
3
3
.
2
ln 5 x
e .ex dx
ln 2
ex 1
ta
3
dt
ilie
5
Ta có: I
u.
Đặt t ex dt exdx
ox
Đặt t ex 1 ex t 2 1 exdx 2t.dt
Đổi cận: x ln 2 t 1; x ln 5 t 2
2
2
3
(t 2 1)tdt
20
t
.
I 2
2 (t 2 1)dt 2 t
3
t
3
1
1
1
w
w
.b
2
Ví dụ 3.7.7. Tính các tích phân sau
x2 ex 2x2ex
1 2e
0
3) I
4
0
x
w
1
1) I
e
ln x
2) I
dx
2
1 x(2 ln x)
4
x sin x cos x x cos x
dx
x sin x cos x
4) I
0
4x 1
2x 1 2
Lời giải.
1) Ta có:
I
1
x2 (1 2ex ) ex
1 2ex
0
x3
3
1
1
1
2
1
dx x dx
0
0
ex
1 2ex
dx
1
1 d(1 2ex ) 1 1
1 1 1 2e
ln 1 2ex ln
.
x
2
3 2
3 2
3
0
0 1 2e
0
1
2) Đặt u ln x du dx
x
www.boxtailieu.net
dx
dx .
1
2
du
Ta có I
du
2 u
2
2
2 u
0 2 u
0
1
1
u
1
3 1
2
2
ln 3 ln 2 1 ln .
ln 2 u
2 3
3
2 u
0
4 1
0
x cos x
dx x 4 J J
0
x sin x cos x
4
3) Ta có I
4
0
x cos x
dx . Đặt t x sin x cos x dt x cos xdx và
x sin x cos x
1
x 0 t 1, x t
1 .
4
4
2
Với J
t
1
u.
1
1 .
ln
4
4
2
Vậy I
1
1
ln
4
2
4) Đặt t 2x 1 2 (t 2)dt dx
3
2
x
1) I
2 x 2 x
1
2
2
1
x
1 x 1
3
dx
x3
10) I
dx
3.
x
1
x
3
0
1
3
x dx
13) I
x x2 1
0
16) A
1
dx
2
1 1 x 1 x
12t 21
1
5) I
3
0
8) I
3
8
11) I
14) I
x5 2x3
x2 1
x 1 x
2 5
3
2
0,5
17) I
6) I
dx
2
xdx
x2 5
4
2
7 x x 9
2x 1 4x 1
3
18) I
2 2
1
dx
x x3
1
2
www.boxtailieu.net
dx
1
15) I
x 1 x2
dx
12) I
x6 9
x2 x 3 x 1dx
6
9) I
x2dx
x2 3x 2
3
dx
0
10 4
dx
x2 1
2
1
3) I
1 x x 1
1
10
34
3
)dt
10 ln .
t
3
5
dx
0
w
2
7) I
3
1
x
dx
1
1
1 x 1 x 3
x
x
4) I
2
2) I
w
w
0
dx
(2t
.b
7.3. Bài tập vận dụng
Bài 3.7.1. Tính các tích phân sau
5
ta
(2t 2 8t 5)(t 2)
dt
t
ox
5
ilie
Đổi cận: x 0 t 3, x 4 t 5
Ta có I
t
1
dt ln t
1
1
2 4
ne
Do đó J
1
1
2 4 1
x 4 dx
x2 4x 5
3
x x3 2011x
x4
dx
0
19) I
dx
1 3
x 1
4
20) I
2
x 2x 2
1
22) I
2
sin x cot x
ln 3
dx
x
x
4e 3 1
0 e
2
23) I
dx
sin 2x sin x
1 3 cos x
0
6
2e3x e2x
dx
2
21) I
sin x cos3 x
2
0 1 cos x
3
24) I
4
Hướng dẫn giải
dx
4
sin3 x. cos5 x
Bài 3.7.1.
1) Đặt t 2 x 2 x t 2 4 2 4 x2 t t 2 4 dt 2xdx
Đổi cận: x 0 t 2 2, x 2 t 2
2
1 t3
t 4 dt 4t
2 3
2
2 2
2
84 3
3
t
2 2
ne
1
Do đó: I
2
1
t 3 t 1
dt 2.
2 1
1
2 1
t3 1
t 2 t 1
dt
1
dt 2. 1
3
3
t
t
1
t
1
2 1
ilie
t4 1
ta
Khi đó: I 2.
2 1
u.
t 1 2
t4 1
dx 2
2) Đặt t x x 1 x
dt
2t
t3
1
1
1
1
t 3 t 3
1
dt
1
dt
1
1
dt
3 t 2 9 3 t 3t 3 18 t 3t 3
18
0
0
0
0
w
w
J
2 3 2 ln
.b
3) Đặt t x3 dt 3x2dx
2 1
ox
1
1
1
1
1
1 t t2 t3 dt 2 t ln t t 2t2
1
1
2.
w
1
1
1
t3
l n t 3 ln t 3
ln
0
18
18
t3
4) Đặt t x
1
0
2 1
1
1
dt
t 3 t 3
1 1
1
1
ln
ln ln 1
18 2
18 2
1
1
dt 1 dx .
x
x2
5
Đổi cận: x 1 t 2, x 2 t
2
I
5
2
2
5) I
5
2
dt
1
t 1t 3 4
2
3
0
x5 2x3
x2 1
dx
3
0
5
1
1
1
t 1 2
1 3
1 1 15
dt ln
ln
ln ln
t 1 t 3
4
t3
4 11
5 4 11
2
xdx
x2 x2 2
x2 1
Đặt: t x2 1 x2 t 2 1 xdx tdt
www.boxtailieu.net
.
dx
Đổi cận: x 0 t 1, x 3 t 2
t2 1t2 1 tdt 2
2
Do đó: I
6) I
10
10
4
Hay I1 8 ln
x2 x 3 x 1dx
x2 3x 2
1
10
1
dx 4 ln x 2 ln x 1 8 ln 2 ln 3
x 2 x 1
3
2
3
x2 x 3 x 1dx 10 x3 x 1dx
x2 3x 2
3
x2
t
3
10
4
ne
1
dx
2
x
3x
2
3
3
x2 3x 2dx 4
3
3
10
x2 3x 2
3
I2
1
x2 x 3 x 1dx 10
10 4
I1
t
1
2
1
26
t 1 dt t5 t
5
5
4
u.
Đặt: t 3 x 1 3t 2dt dx
Đổi cận: x 3 t 1, x 10 t 2
2
2
4
6
69
3t
dt
I2 3t 3 6
6t A
A với A
4
4
t 3 1
1
1
1
ilie
2
2 69
A.
3
4
ox
Do đó: I 8 ln
ta
Học sinh tự tính tích phân A
6
dt
3
t 1
0
1 3
1
t2 1
t t
2tdt 2
dt 2
1 t
t 1
w
w
1
Do đó, A
.b
7) Đặt t x 1 x t 2 1 dx 2tdt
Đổi biến: x 1 t 0, x 2 t 1
0
0
2
t t 2 2 dt
t 1
1
w
3
1 1
11
t
t2
2
2t 2 ln t 1 2 2 2 ln 2
4 ln 2
2
3
3 2
3
0
8) Đặt t 1 x 2tdt dx
Đổi cận: x 8 t 3, x 3 t 2
Do đó, I
3
8
dx
x 1 x
2
dx 2
3
2
tdt
1 t2 t
2
ln t 1 ln t 1 ln
3
2
3
t 1
t 1
9) Đặt t 4x 1 t 2 4x 1 dx
dt
t2 1
2
ln
3
2
t 1 t 1
t 1t 1 dt
3
1
1
2
ln ln
3
2
3
1
tdt
2
Đổi cận: x 2 t 3, x 6 t 5
www.boxtailieu.net
1
1
dt
Do đó: J
t 1
2
2
2x
1
4x
1
t 1
2
3 t 1
3
6
5
dx
5
tdt
5
1
3 1
ln
ln t 1
2
2
12
t 1 3
10) Đặt t x 1 t 2 1 x 2tdt dx
Đổi cận: x 0 t 1, x 3 t 2
2
2
2t 3 8t
2
1
dt 2t 6 dt 6
dt
2
t
1
t
3t
2
1
1
1
3
Hay A 3 6 ln
2
Khi đó: A
5
1
Khi đó: I
2
2
4
3 t 4 t
3 t 4
3
dt
1
1
1
t2
dt ln
t 2 t 2
4
t2
u.
5
12) Đặt t 1 x2 dt 2xdx.
2
w
w
.b
4
1
1
t 1
l n t 1 ln t ln
2
2
2
t
3
1 15
ln
4
7
2
4
2
1
1
dt
t 1 t
1 3
1 1 3
ln ln ln
2 4
2 2 2
x3 x x2 1
1
A
dx x3 x2 1 x dx
2
2
0 x x 1 x x 1
0
1
w
13)
ox
4
4
4
1
dt
1 t t 1
1
dt
2 t t 1 2 t t 1
2
2
5
ta
Đổi cận: x 1 t 2, x 3 t 4.
Khi đó J
2
1 6 ln t 1 12
ilie
tdt
6t
ne
Đổi biến: x 2 t 3 , x 2 5 t 5
5
2
t
11) Đặt t x 2 5 t 2 x 2 5 xdx tdt
t
1
0
x
3
1
2
x 1dx
0
x5
x dx B
5
1
4
0
1
B , với B
5
1
x
3
x2 1dx
0
Đặt t x2 1 t 2 x 2 1 2tdt 2xdx tdt xdx
Đổi cận: x 0 t 1, x 1 t 2.
1
Khi đó B x
0
2
2
x 1xdx
2
t
1
2
1 t.tdt
2
t
4
t
1
4 2 2 2 1 1 2 2
2
5
3 5 3
15
15
www.boxtailieu.net
2
5
t3
t
dt
5
3
1
2
2
2
x t 1
1
1
2
14) Đặt t 1 x2
dt
.dx
2
dt x .dx x
2
.dx
t 1
x
1
x
1 x2
x 1 x2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
1
dt
dt
dt
2
2 t 1 t 1
t 1t 1
t
1
3
3
3
1
2
1
ln t 1 ln t 1
2
2
2
1
2 3
1 74 3
ln
ln
2 3 2 3
2
3
1
15) Đặt J
x 4 dx
2
x 4x 5
2
1
2
1
2
1
2 x 2 dx
2
x 4x 5
2
x 2
Đặt t x 2
dx
2
x 2
dx
2
x 2 1
x 2
t
2
x 2
dx
1
w
w
dt
t
1 dt 1
1
w
1
.b
2
dx
ox
x 2
2
1
ilie
1
x 2
dx
ta
1
2
2
1
Trong đó K
1
2
1
1
ln x2 4x 5
2K ln 2 2K
2
2
2
t
1
1 t 1 2
1 1
2 3
ln
ln ln
3
2 t 1 3
2 3
2 3
ne
I
1
2
u.
I
1
2
Đổi cận: x 2 t 1, x 1 t 1 2
Khi đó: K
1 2
1
Do đó: J
1 2
dt
ln t
ln 1 2
1
t
1
ln 2 2 ln 1 2
2
1
1
t 2 1 1
1
dt
t dx
2 2t 2
2t
2
t
16) Đặt: t x 1 x2 t x 1 x 2 x
Đổi cận : x 1 t 2 1, x 1 t 2 1
Khi đó: A
1
1 dt
2
2 2t
2 1
21
1 t
1
2
2 1
2 1
dt
1
t 1 2
2 1
t
2 1
1
2
t 1
www.boxtailieu.net
dt
2 1
2 1
1
1
1 1 1 dt
ln t 1
t 2 t t 1
2
2
2 1
2 1
2 1
1
1 t 1 1
1
A ln 1 2 ln
ln 1 2 ln
2
2 t t
2
2 1
17) I
4
2
2 1
1
2 1
2
xdx
7
x2 x2 9
Đặt : t x 2 9 x 2 t 2 9.xdx tdt
Đổi cận: x 7 t 4, x 4 t 5
4
t2 9 t
4
5
dt
1
t
3
t
3
6
4
1
1
t 3 t 3 dt
3
3
x x 2011x
x
1
M
1
3
2 2
x2
x
1
dx
4
dx . Đặt t 3
1
x2
x
1
1
3
3
2 2
1
N
2 2
1
2011
x
0
.b
dx
x3
Vậy, I M N
19) I
x
2
1
w
1
1
3
dx
2 2
3
dx
2 2
2011
1
3
2
7
2
3
7
2
t 3dt
0
3
2011x
dx
1
213 7
128
2011
2x
2
2 2
1
14077 213 7
.
16
128
2
x 1 x 1
1
Đặt t x 1 dt dx
Đổi cận: x 1 3 t 3, x 0 t 1
Khi đó: I
1
3
dt
t t2 1
1
3
dx
3
dx
1 3
x3
1
2
1 t3
1 3t 2dt
dx
2
x
x
x3
w
w
Khi đó M
3
1
2
Đổi cận: x 1 t 0, x 2 2 t
2 2
u.
2 2
ilie
18) I
ne
5
1
1
1
1
t 3 5 1 1
1 1 7
ln ln ln
dt ln
6 t 3 t 3
6
t 3 4 6 4
7 6 4
4
ta
I
5
tdt
t
5
ox
I
tdt
t2 t2 1
www.boxtailieu.net
14077
16
t
Đặt u t 2 1 du
dt và t 2 u 2 1
2
t 1
Đổi cận: t 3 u 2, t 1 u 2
2
2
1
Do đó: I
2
2
2 u 1
2
20) I
ln 3
du
1
1
1
u 1
du ln
u 1 u 1
2
u 1
ln 3
2e3x e2x
dx
x x
e
4e
3
1
0
0
2
2
1
ln 3 3 2 2
2
2e3x e2x
dx
4e3x 3e2x 1
Đặt t 4e3x 3e2x t2 4e3x 3e2x 2tdt 12e3x 6e2x dx
tdt
3
Đổi cận: x 0 t 1 ; x ln 3 t 9
1
1
21) I
3
s inxcos x
1 cos2 x
0
dx
2
1
cos2 x
sin 2x dx
2 1 cos2 x
0
ilie
2
9
1 1 dt 1 t ln t 1 8 ln 5
t 1
3
3
1
ne
9
u.
9
1
tdt
1
Khi đó I
3 t 1 3
t
2e3x e2x dx
1
2
1 t 1
1
dt
2
t
2
2
1
1 dt 1 ln t t ln 2 1
t
2
2
1
.b
Do đó: I
t 1
2
ox
Đổi cận: x 0 t 2, x
ta
Đặt : t 1 cos2 x dt 2 sin x cos xdx sin 2xdx
2
1
w
w
22) Đặt : t cot x t 2 cot x 2tdt
1
2
sin x
dx
1
sin2 x
dx 2tdt
6
w
Đổi cận: x t 3; x t 1
1
Khi đó : I
3
2
23) I
0
4
3
3
2tdt
2 dt 2t
2
1
t
sin 2x sin x
1 3 cos x
1
dx
2
0
Đặt : t 1 3 cos x cos x
Đổi cận: x 0 t 2; x
3 1
2 cos x 1 s inx
1 3 cos x
dx
t2 1
2
, sinxdx tdt
3
3
t 1
2
2
t 1
2
1
2
1
2
3
2
2t 2 1
2 1 3
34
Khi đó : I
dt t t
tdt 2
t
9
9 3
27
3
1
2
1
www.boxtailieu.net
3
24) I
4
4
1
3
sin x
3
cos x
dx
. cos8 x.
Đặt t tan x dt
4
1
cos2 x
1
.
1
2
tan x cos x
4
3
dx
dx
t 1, x t 3
4
3
Đổi cận: x
Khi đó I
3
3
t
3
4 dt
3
1
4t 4
1
ne
t
1
4 4 3 1 4 8 3 1 .
u.
Chuyên đề 8. Tính tích phân bằng phương pháp từng phần
b
b
vdu
a
ox
a
b
a
ta
udv uv
ilie
8.1. Phương pháp
Tương tự như nguyên hàm, ta cũng có thể tích tích phân bằng ph ương pháp từng phân.
Cho hai hàm số u và v liên tục trên [a;b] và có đạo hàm liên tục trên [a;b]. Khi đó
x sin 2xdx
0
2)I
2
(x 2)e2x 1dx
w
w
1)I
2
.b
8.2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 3.8.1. Tính các tích phân sau
0
Lời giải.
3)I
0
(2x 2 x 1) ln(x 2)dx
1
w
du dx
u x
dv sin 2xdx
v 1 cos 2x
2
1) Đặt
1
I x. cos 2x
2
2
0
2
1
1
cos 2xdx sin 2x 2 .
0
2
4 4
4
0
du dx
u x 2
2) Đặt
dv e2x 1
v 1 e2x 1
2
2
1
1
1
5e e3
.
I (x 2)e2x 1 20 e2x 1dx e e2x 1 20
2
2
4
4
0
www.boxtailieu.net
du 1 dx
u ln(x 2)
x2
3) Đặt
2
dv (2x x 1)dx
2
1
v x3 x2 x
3
2
2
1
1
0
I ( x3 x2 x) ln(x 2)
1
3
2
6
1
6
0
(4x2 5x 16
1
0
4x3 3x2 6x
dx
x2
1
32
1 4
5
0
)dx ( x3 x2 16x 32 ln(x 2))
1
x2
6 3
2
16
119
.
ln 2
3
396
Ví dụ 3.8.2. Tính các tích phân sau
2) I
1 ln(x 1)
x
1
0
2
1 x sin x
t
1) I x(1 sin 2x)dx.
3
dx
3) I
ne
3
0
Lời giải.
1
2
cos2 x
u.
4
4
4
1
2
1
2
0
0
1
4
1
2 1
x2 sin 2x
.
16 2
4
32 4
ox
2
ta
Ta có: I x x cos 2x (x cos 2x)dx
ilie
1) Đặt u x, dv (1 sin 2x)dx du dx, v x cos 2x
2) Ta có: I
1 ln(x 1)
dx
3
w
w
x2
.b
0
3
1
1
dx
x2
3
1
ln(x 1)
x2
w
u ln(x 1)
Bây giờ, ta sẽ tính J. Đặt
thì ta có:
dx
dv
x2
dx
3
1
2
J J.
x1
3
du dx
x 1
1
v
x
Do đó, áp dụng công thức tích phân từng phần, ta được
3
3
3
3
ln(x 1)
1
ln(x 1)
J
dx
x
x(x 1)
x
1
1
3
Vậy I
3
3) I
0
1
1
1
1 dx
x x 1
3
ln(x 1)
2
ln x ln x 1 ln 2 ln 3.
1
x
3
1
2 2
ln 2 ln 3.
3 3
dx
2
cos x
3
0
x sin xdx
2
cos x
tan x
3
0
3
0
x sin xdx
2
cos x
3
3
www.boxtailieu.net
0
x sin xdx
cos2 x
dx
- Xem thêm -