Đăng ký Đăng nhập

Tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng phần 2

.PDF
44
127
58

Mô tả:

Chủ đề 6. Tính tích phân bằng phương pháp biến đổi 6.1. Phương pháp b Để tính tích phân I   f (x)dx ta phân tích f (x)  k1f1 (x)  ...  k m f m (x) a Trong đó các hàm f i (x) (i  1, 2, 3, ..., n) có trong bảng nguyên hàm. 6.2. Các ví dụ minh họa Ví dụ 3.6.1. Tính các tích phân sau 2 1) I   2x2 x  x 3 x  3x  1 x 1 2 1 2) I   dx 0 xdx 3) I  3x  1  2x  1 2  x2  1 dx . 2 Lời giải. 1 3  x2 )dx x   1 3 4 1 3 2   x  3x  3 ln x   3 x   2) Ta có: x  (3x  1)  (2x  1)   t  ne 2 3 2  1 8 2 23 .  33 2  3 ln 2  3 10 u.  ilie 1 2 1) Ta có: I   (2x 2  x 3x  1  2x  1 3x  1  2x  1  ta 1  Nên I   ( 3x  1  2x  1)dx ox 0 1  2 2 1 w w 3) Ta có: I  2 .b 2  1 17  9 3 .  (3x  1)3  (2x  1)3   9  3 9  0 x  1 dx   1 2 (x  1)dx  2 1  2 2 (1  x )dx   (x2  1)dx 1 2 1 1  3   3   3  x x x  x    x    x  4 .  3     2  3  1  3  1 w Suy ra I   Ví dụ 3.6.2. Tính các tích phân sau 1) I   3  2  2   2 sin x  3 tan x  cos2 x  dx 2) I   2 sin x.sin 5xdx 0 0 Lời giải.  3 0 1) Ta có I  2 cos x  3 ln cos x  2 tan x  1  3 ln 2  2 3 .  2 2) Ta có: I   0 4  1 2 1 (cos 4x  cos 6x)dx   sin 4x  sin 6x  0 .  4 6  0 2 3) Ta có: 8 sin 2x  4(1  2 cos 4x  cos 4x)  2(3  4 cos 4x  cos 8x) www.boxtailieu.net  4 3) I   8 sin4 2xdx . 0  4   4 1 3 . (3  4 cos 4x  cos 8x)dx  2 3x  sin 4x  sin 8x    8 2 Nên I  2 0 0 Ví dụ 3.6.3. Tính các tích phân 4 1) I   3 3 x2dx 2) I   2 x  3x  2 2 2x  3 3 x  3x  2 dx . Lời giải. x2 3 2x  3 5 1  2 2 2 x  3x  2 2 x  3x  2 x  3x  2 3 2x  3 5 1 1   1     2 2 x  3x  2 2  x  2 x  1  1) Ta có: 1 2 4 ne t  3 5 x  2   Suy ra I   x  ln x2  3x  2  ln 2 2 x  1   3 3 5 4  1  ln 3  ln . 2 2 3 u. 2) Ta có: x3  3x  2  (x  1)2 (x  2) ilie 2x  3  a(x  1)2  b(x  2)(x  1)  c(x  2) ox ta  2x  3  (a  b)x2  (c  2a  b)x  a  2b  2c a  b  0  1 1 5  2a  b  c  2  a   , b  , c  .  9 9 3 a  2b  2c  3 3   5  1 8 5 1 1 1 5 1  dx   1 ln x  1    ln  .    9  2 x  2 3(x  1) 9 5 6 9 x  2 9 x  1 3   2 (x  1)  2  3  .b 1 Suy ra I    1  0 2 4) I   x  1 dx 7) I  0  2  sin 2x.sin 3x - 1 (x x  2x3  1)dx w 1) I  w w 6.3. Bài tập áp dụng Bài 3.6.1. Tính các tích phân sau  2 1 2 10) I   0 2) I   0 5) I  1 dx 3) I   x 1  x  3 0  2 2 0 0  3 8) I   cos4 2xdx 9) I   cos 2x 2  sin 2x 0  4 6) I   sin2 (2x  )dx  (2 sin x  3 cos x  cos2 x )dx  4 x2 dx x 1 dx 6 x4 x2  1 dx 1 11) I   0 4x  11 x2  5x  6 dx 1 12) I   www.boxtailieu.net 0 x3 x2  2x  1 dx 2 13) I   0 x3  3x  2 2 x  3x  2 x2  2x  3 dx 3 x  x 2 dx 14) I    3 2 16) I   x2  x dx 17) I   0  3 19) I    6  2 3 3  cot 2 x cos2 x  4 15) I   0 1 18) I   dx 20) I   x x  a dx, a  0 sin2 x cos2 x x  x  1 2 0 x 4 1 dx cos x dx sin x  2 cos x 21) I  0 2  dx 1  cos 2xdx . 0 Hướng dẫn giải. Bài 3.6.1. 1 3 1 0 ne 0 t 1) Ta có: I   (x x  2x3  1)dx   (x 2  2x3  1)dx 1 1 [(x  1) 2 1  ( 1  x 2 ]dx 1 1  3 3 2 2 2 4 2 4 2   (x  1)  x   3  3 3   0 1 .b 0 x2 dx  x 1  (x  1  x  1)dx 0 w w 1 x  1  x)dx 0 0 3) Ta có: I   ilie  ta x 1  x 0  1 dx ox 1 2) Ta có: I   u.   5 2 2 1 4  19 .   x  x  x  5  2 10   0 1 w 1  1 .   x2  x  ln(x  1)  ln 2  2  2   0 2 1  2   1  x 4) Ta có: I   | x  1|dx   (1  x)dx   (x  1)dx   x  x2     x  1  2   2   0 0 0 1 1 2 1 2  2 3 5) Ta có: I  2 cos x  3 sin x  2 tan x 3  . 0 2  2  2      2  1  cos(4x   ) dx  1  (1  sin 4x)dx  1  x  1 cos 4x  .     2  2 2 4 4  0 0  0 1 6) Ta có: I   2 1 7) Ta có: I  2  2    2  2 1 1 4 (cos x  cos 5x)dx  (sin x  sin 5x)  .  2 5 5  2 www.boxtailieu.net 8) Ta có: cos4 2x  1 1 (1  2 cos 4x  cos2 4x)  (3  4 cos 4x  cos 8x) 2 4  4   4 1 1 1 3 Nên I   (3  4 cos 4x  cos 8x)dx  3x  sin 4x  sin 8x .   4 4  8 16  0 0  3  3 1 d(sin 2x) 1 1 9) Ta có: I     0. 2 2 2 sin 2x  sin 2x  6 6 1 2 4 0 1 2  x dx  2 x 1 2 1 0  (x 2 1 0 1 2 x 1 )dx  1 1  dx  2(x  1) 2(x  1)  t  x 1 1 ne 10) Ta có: I   1 2 1  x  3  ln 4  2 ln 3  3 ln 2  ln ta 0 1 3   dx  ln| x  3| 3 ln| x  2| 0 x  2   9 . 2 ox  1 Nên: I    ilie 11) Ta có: 4x  11  (x  2)  3(x  3) u. 1 1 1 x  1  2 13 1 1    x3  x  ln   ln . 2 x  1  24 2 3  3 0 .b 12) Ta có: x3  x(x  1)2  2(x  1)2  3(x  1)  1 nên: 1  I  2  3 ln 2 . w w   3 1  dx  I    x  2   2 x  1 (x  1)   0  1  2   x  2x  3 ln(x  1)  1    x  1  2  0 I w 13) Ta có: x3  3x  2  (x  3)(x2  3x  2)  10x  8 2 2    10x  8    x  3  12  2  dx x  3  dx     (x  1)(x  2)  x  2 x  1  0  0  2  2  x    3x  12 ln| x  2| 2 ln| x  1|  4  12 ln 2  2 ln 3 .  2  0 14) Ta phân tích: x2  2x  3  ax(x  1)  bx(x  1)  c(x  1)(x  1) Cho x  0; x  1; x  1 ta tìm được: a  1; b  3; c  3 I 3  1 2  3 3   x  1  x  1  x  dx   ln| x  1| 3 ln| x  1| 3 ln x  I  8 ln 2  4 ln 3  4 ln  4 . 3 www.boxtailieu.net 3 2 15) Ta xác định a, b sao cho: cos x  a(sin x  2 cos x)  b(cos x  2 sin x)  a  I  2  0 2 1 ,b  5 5  2   ln 2 2 1 cos x  2 sin x 2 1 . (  )dx  ( x  ln|sin x  2 cos x|)  5 5 5 sin x  2 cos x 5 5 0  2 x  x khi x  [1; 2] x2  x khi x  [0;1]  16) Ta có: x2  x   1 1 2 2    3  x2   x3 x2  x Nên I   (x  x)dx   (x  x)dx          1  3  2  2    3 0 1 0 1 2  3  17) I   (3  cot 2 x)(1  tan2 x)dx     4  (3 tan x  cot x) 3  4  2  cos x    dx  sin2 x  1 10 3  12 . 3 u.   4 3 t  3 ne 2 3 2  6 1  sin2 x   4 3  dx  3 cos2 x  1 20) HD: Xét hai trường hợp * a  1  I   x(a  x)dx  0 1 w w a 3a  2 6 .b 1 ta  19) I    ox  3 ilie 18) I  1  ln 3  ln 2 * 0  a  1  I   x(a  x)dx   x(x  a)dx  2 a w 0   2 0 0 2a 3  3a  2 . 6 21) I  2  sin x dx  2  sin xdx  2  sin xdx  2 . 0 Chủ đề 7. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số 7.1. Phương pháp 7.1.1. Phương pháp đổi biến số loại 1 b Giả sử cần tính I   f  x dx ta thực hiện các bước sau a Bước 1: Đặt x  u t (với u t  là hàm có đạo hàm liên tục trên ; , f u t  xác định trên ; và u    a, u   b ) và xác định ,  .   www.boxtailieu.net     Bước 2 : Thay vào ta có: I   f u t  .u ' t  dt   g t  dt  G t     G   G   . Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số dạng 1 * Hàm số dưới dấu tích phân chứa a 2  b2 x2 ta thường đặt x  a sin t b * Hàm số dưới dấ u tích phân chứa b2 x2  a 2 ta thường đặt x  a b sin t * Hàm số dưới dấu tích phân chứa a 2  b2 x2 ta thường đặt x  * Hàm số dưới dấu tích phân chứa a tan t b x a  bx ta thường đặt x  a sin2 t b 7.1.2. Phương pháp đổi biến số loại 2 ne t Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi là loại 2) như sau. b  a  ilie như sau u. Để tính tích phân I   f  x dx , nếu f  x  g u  x .u '  x , ta có thể thực hiện phép đổi biến Bước 1 : Đặt t  u  x  dt  u '  x dx . u(b) b  g t dt  G t a . u(a) .b 7.2. Các ví dụ minh họa ox Bước 2: Thay vào ta có I  ta Đổi cận x  a  t  u a  , x  b  t  u b  1 x 1 4  x2 dx 2) I  w 1) I  0 w w Ví dụ 3.7.1. Tính các tích phân sau 3 2  1 x 1 x(2  x) dx 3) I  0  1 (x dx 2  2x  2)2 Lời giải. 1 1) Ta có: I   0 (x  1)dx 4  x)2 . Đặt x  2 sin t  dx  2 cos t.dt  6 Đổi cận: x  1  t   ; x  0  t  0 I 0    6 (1  2 sin t)2 cos tdt 4  4 sin2 t    0    (1  2 sin t)dt  t  2 cos t   6  2   2) Đặt x  2 sin2 t, t  0;   dx  4 sin t cos tdt www.boxtailieu.net 0   6  32  . 6 . Đổi cận: x  1  sin t  I  3  1 2 t 2 (2 sin t  1)4 sin t cos tdt 2 2 2 sin t(2  2 sin t)  4  3  2  4  3 3  ; x   sin t  t 4 2 2 3  3  2 (2 sin2 t  1)dt  4  3 1 2  6  3 3 . (2  cos 2t)dt  2 (2t  sin 2t)   2 6 4 3) Ta có: I  0 dx  . 0 2 (1  tan t) 2 2  cos tdt  0 ne u. dt  1 (1  cos 2t)dt 2 0  4 1 1 2 (t  sin 2t)  . 2 2 8 0 ta  1  tan2 t  4 ilie   4 ox I  4 t 2 1  (x  1)2  1    Đặt x  1  tan t, t  [0; )  dx  (1  tan2 t)dt 2  Đổi cận: x  1  t  0; x  0  t  . 4 Ví dụ 3.7.2. Tính các tích phân sau 1) I   0 x 1 x 3 dx 1 1) Ta có: I   xdx . I  0 w 3 0 1 x 3 2dt Đặt x x  tan t  xdx  (1  tan2 t)dt  xdx  2 3 cos2 t  4  4 2dt 3. cos2 t 1  tan2 t 1 1  sin t  ln 3 1  sin t  4  0     2 ln 3  4 2 dt 2 d(sin t)    3 cos t 3 1  sin2 t 0 0   2 1 .  2   2) Đặt x  4 sin2 t, t  0;   dx  8 sin t cos tdt Đổi cận: x  0  t  0, x  2  t  2 2) I   0 w w Lời giải. .b 1  4 www.boxtailieu.net x dx . 4x  4 4 sin2 t Suy ra: I   2 4 cos t 0  4(t   4  4 0 0 .8 sin t cos tdt  8 sin2 tdt  4  (1  cos 2t)dt  4 1 sin 2t)    2 . 2 0 Ví dụ 3.7.3. Tính các tích phân sau 8 1) I   3 3   2) I  12  4 5 dx x x4  4 2 xdx x 4) I   3 1 1  2 x 1 1 2x  2 dx . 2 t 3) I  4 1 x dx x ne Lời giải. 3 u. 1) Đặt t  1  x  x  t 2  1  dx  2tdt Đổi cận: x  3  t  2; x  8  t  3 3 3  1 1 t  1   )dt  2 t  ln 2  (t  1)(t  1) 2 t  1  t  1 2 2 2   1 1 1 1 3  2 3  ln  2  ln   2  ln .  2 2 2 3  2  5 ilie ta 2 3 x3dx x4 x4  4 ox 2) Ta có: I   2 (1  .b t.tdt I  2 Đặt t  x4  4  x4  t 2  4  2x3dx  tdt 4 w w Đổi cận: x  4 5  t  3; x  4 12  t  4 4 4 1 dt 1 t2 1 5 I     ln  ln . 2 2 2 t 4 8 t2 8 3 3 3 (t  4)t 3 w tdt 3) Đặt t  3 2x  2  t 3  2x  2  x  1 2 t3  2 3  dx  t 2dt 2 2 Đổi cận : x    t  1 ; x  3  t  2 .Ta có : I 2  1 (t 3  2) 3 2 . t dt  2t 2 2  1 2  3 4 3         t  t dt   3 t5  3 t 2    24  3   3  3   12 .          4   2  4  5  20 5   20 4  1  t  1 2 1   dx  (t  1)dt 4) Đặt t  1  2 x  1  x  1    2  2 Đổi cận: x  1  t  1; x  2  t  3 I 3 3 1 1 1 (t 2  2t  5)(t  1) 1 5 dt   (t 2  3t  7  )dt  8 t 8 t www.boxtailieu.net 3   1  t 3 3t 2     7t  5 ln t 8  3 2   1  1  32   5 ln 3 . 8  3  Ví dụ 3.7.4. Tính các tích phân sau 1) I   2  sin 5 xdx 2) I  0  2 sin 2x  sin x  1 0 1  3 cos x  2 3) I   dx 0 sin 2x 2 4 sin x  cos x Lời giải.  2 1) Ta có: I   (1  cos2 x)2 sin xdx . Đặt t  sin x  dt  cos xdx 0   t 1 2 0  (1  2t 2  t 4 )dt  0  2 (2 cos x  1) sin x.dx 2) Ta có: I   1  1  3 cos x 0 8 . 15 t 1 ne  (1  t 2 )2 dt  u. 1 . ox  t2  1  cos x   3 Đặt t  1  3 cos x    2  tdt  sin xdx  3  Đổi cận: x  0  t  2, x   t  1 . 2 ilie I ta Đổi cận : x  0  t  0; x  2 2 1 2 3 (2t 2  2t  3  )dt  9 t 1 1 w  t2  1 2 1 3  3  2 t dt  2 2t  t dt  3  1 t 9  t 1 .b  2 w w I 1   2  2t 3    t 2  3t  3 ln t  1  9  3  2  1 6) Đặt t  4 sin2 x  cos2 x  dt   28 2 3  ln . 27 3 2 3 sin 2x 2 2 4 sin x  cos x dx sin 2x 1 dx  dt . 3 a sin2 x  b cos2 x Đổi cận x  0  t  1; x  2  1 1  t  2  I   dt  . 2 3 3 1 www.boxtailieu.net 2 dx . Ví dụ 3.7.5. Tính các tích phân sau  3  2 dx   0 cos x. cos   x  3  1) I    6 sin xdx 2) I   3) I   ( 3 sin x  cos x)3 0 0 tan4 x dx . cos 2x Lời giải.  3 cos x(cos x  3 sin x)  t 3 3 1  3t    )dx 6 6  8 sin3 (x  ) 6   2  cos(x  )dx 1 6   2    16 3 0 sin (x  ) 0 sin (x  ) 6 6 dx  2 3  cot(x  ) 16 6 dt 0 1  t2 Đổi cận: x  0  t  0; x  1 1 32 0 t 4 (1  t 2 )dt (1  t 2 )(1  t 2 ) 1  sin2 (x  ) 6 0 1 . 6 1  t2 1  t2 1 3    1 . t 6 3 1 3    2  dx . Khi đó: cos 2x  w 3) Đặt t  tan x  I ilie 3  16  2 ta 0 u. sin(x  ox 2) Ta có: I   3 2 3 4 3 ln|1  3t|  ln 2 . 3 3 0 .b  2  w w 0 dt cos x(1  3 tan x) cos2 x Đổi cận: x  0  t  0; x  3 0 dx 2 dx Đặt t  tan x  dt   I  2  2 t 0 dx ne 1) Ta có: I  2  3  0 t 4dt 1  t2  3   dt  t 2  1 dt   2  0 1 t  1   3 1 t t3 1 1   ln   t  ln  2 1  t 3 2    0 3 1 3 1  10 3 . 27 Ví dụ 3.7.6. Tính các tích phân sau e2 1) I   e ln x dx x(ln x  1) e 2) I   1 1  3 ln x. ln x dx x www.boxtailieu.net ln 5 3) I  dx  4) I  x x 3 ln 3 e  2e Lời giải. 1) Đặt ln x  1  t  3 ln 5 e2x dx  x e 1 ln 2 . dx  dt x 3 t 1 3 dt  t  ln t   1  ln . 2 t 2 Ta có: I   2 2) Đặt t  1  3 ln x  ln x  1 2 dx 2 (t  1)   tdt 3 x 3 2 2   2 2  t5 t 3  116 Khi đó: I   t 2 (t 2  1)dt      . 9 9  5 3  135 1 1 ex dx ln 3 e x t   3ex  2 ne 3) Ta có I  ln 5 4) Ta có: I  3 t  3t  2  ln t2 t 1 5  ln 3 3 . 2 ln 5 x  e .ex dx ln 2 ex  1 ta 3 dt ilie 5 Ta có: I   u. Đặt t  ex  dt  exdx ox Đặt t  ex  1  ex  t 2  1  exdx  2t.dt Đổi cận: x  ln 2  t  1; x  ln 5  t  2 2 2  3  (t 2  1)tdt 20 t .  I  2  2 (t 2  1)dt  2   t   3  t 3   1 1 1 w w .b 2 Ví dụ 3.7.7. Tính các tích phân sau x2  ex  2x2ex 1  2e 0 3) I    4 0 x w 1 1) I   e ln x 2) I   dx 2 1 x(2  ln x) 4 x sin x  cos x  x cos x dx x sin x  cos x 4) I   0 4x  1 2x  1  2 Lời giải. 1) Ta có: I 1  x2 (1  2ex )  ex 1  2ex 0 x3  3 1 1 1 2 1 dx  x dx  0 0 ex 1  2ex dx 1 1 d(1  2ex ) 1 1 1 1 1  2e     ln 1  2ex   ln . x 2 3 2 3 2 3 0 0 1  2e 0 1 2) Đặt u  ln x  du  dx x www.boxtailieu.net dx dx .    1  2 du Ta có I   du      2  u 2 2  2  u  0 2  u  0  1 1 u 1   3 1  2 2    ln 3    ln 2  1  ln    .  ln 2  u    2  3 3  2  u    0    4 1  0   x cos x  dx  x 4  J   J 0 x sin x  cos x  4 3) Ta có I    4 0 x cos x dx . Đặt t  x sin x  cos x  dt  x cos xdx và x sin x  cos x  1   x  0  t  1, x   t  1   . 4 4  2 Với J   t 1 u.  1    1    .  ln   4 4   2 Vậy I   1   1     ln   4   2 4) Đặt t  2x  1  2  (t  2)dt  dx 3 2 x 1) I   2 x  2 x 1 2 2 1 x 1  x 1 3 dx x3 10) I   dx 3. x  1  x  3 0 1 3 x dx 13) I   x  x2  1 0 16) A  1  dx 2 1 1  x  1  x  12t  21  1 5) I  3  0 8) I  3  8 11) I  14) I  x5  2x3 x2  1 x 1 x 2 5 3 2 0,5 17) I  6) I   dx 2 xdx x2  5 4  2 7 x x 9 2x  1  4x  1 3   18) I  2 2  1 dx x  x3 1 2 www.boxtailieu.net dx 1 15) I  x 1  x2 dx 12) I  x6  9 x2  x 3 x  1dx 6 9) I   x2dx x2  3x  2 3 dx  0 10 4  dx x2  1 2 1 3) I   1 x  x 1 1  10 34 3 )dt   10 ln . t 3 5 dx 0 w 2 7) I   3 1 x dx    1 1  1  x   1  x   3    x x   4) I   2 2) I   w w 0 dx  (2t .b 7.3. Bài tập vận dụng Bài 3.7.1. Tính các tích phân sau 5 ta  (2t 2  8t  5)(t  2) dt  t ox 5 ilie Đổi cận: x  0  t  3, x  4  t  5 Ta có I  t 1 dt  ln t 1    1  2  4  ne Do đó J   1    1  2  4  1 x  4 dx x2  4x  5 3 x  x3  2011x x4 dx 0 19) I  dx  1 3 x  1  4 20) I  2 x  2x  2 1 22) I   2  sin x cot x ln 3 dx x x 4e  3  1 0 e  2 23) I   dx sin 2x  sin x 1  3 cos x 0 6 2e3x  e2x  dx  2 21) I   sin x cos3 x 2 0 1  cos x  3 24) I    4 Hướng dẫn giải dx 4 sin3 x. cos5 x Bài 3.7.1.   1) Đặt t  2  x  2  x  t 2  4  2 4  x2  t t 2  4 dt  2xdx Đổi cận: x  0  t  2 2, x  2  t  2  2    1  t3 t  4 dt    4t 2  3  2  2 2  2 84 3 3 t 2 2 ne 1 Do đó: I  2 1 t 3 t  1 dt  2. 2 1   1  2 1    t3  1  t 2  t  1    dt 1   dt  2.  1  3 3      t t  1 t     1   2 1  ilie  t4  1 ta Khi đó: I  2. 2 1 u.  t  1 2 t4  1   dx  2 2) Đặt t  x  x  1  x   dt   2t  t3 1 1 1 1 t  3  t  3 1 dt 1 dt 1 1   dt  3  t 2  9 3  t  3t  3 18  t  3t  3 18  0 0 0 0 w w J   2 3  2  ln  .b 3) Đặt t  x3  dt  3x2dx 2 1 ox  1 1 1  1 1   1  t  t2  t3  dt  2 t  ln t  t  2t2  1 1  2. w 1 1 1 t3  l n t  3  ln t  3   ln  0 18 18 t3 4) Đặt t  x  1  0    2 1    1 1    dt   t  3 t  3   1  1 1 1 ln ln  ln 1  18  2  18 2  1 1  dt  1   dx .  x x2  5 Đổi cận: x  1  t  2, x  2  t  2 I 5 2  2 5) I  5 2 dt 1   t  1t  3 4 2 3  0 x5  2x3 x2  1 dx  3  0 5  1 1  1 t 1 2 1 3 1  1 15   dt  ln   ln  ln   ln  t  1 t  3   4 t3 4  11 5  4 11 2   xdx x2 x2  2 x2  1 Đặt: t  x2  1  x2  t 2  1  xdx  tdt www.boxtailieu.net . dx Đổi cận: x  0  t  1, x  3  t  2 t2  1t2  1 tdt  2 2 Do đó: I   6) I   10 10 4 Hay I1  8 ln x2  x 3 x  1dx x2  3x  2  1 10 1   dx  4 ln x  2  ln x  1   8 ln 2  ln 3   x  2 x  1  3 2 3 x2  x 3 x  1dx  10 x3 x  1dx  x2  3x  2 3 x2 t 3 10 4 ne  1 dx   2 x  3x  2 3 3  x2  3x  2dx  4  3 3 10   x2  3x  2 3 I2  1 x2  x 3 x  1dx  10 10 4  I1   t 1 2 1  26 t  1 dt   t5  t    5 5 4 u. Đặt: t  3 x  1  3t 2dt  dx Đổi cận: x  3  t  1, x  10  t  2 2 2  4   6  69  3t dt   I2   3t 3  6   6t  A   A với A   4   4 t 3  1   1 1 1 ilie 2 2 69  A. 3 4 ox Do đó: I  8 ln ta Học sinh tự tính tích phân A  6   dt  3 t  1  0 1 3 1 t2  1 t t 2tdt  2 dt  2 1 t t 1 w w 1 Do đó, A   .b 7) Đặt t  x  1  x  t 2  1  dx  2tdt Đổi biến: x  1  t  0, x  2  t  1 0 0  2  t  t  2  2  dt  t  1  1 w  3  1 1  11 t t2  2    2t  2 ln t  1   2    2  2 ln 2   4 ln 2 2 3  3 2   3  0 8) Đặt t  1  x  2tdt  dx Đổi cận: x  8  t  3, x  3  t  2 Do đó, I  3  8 dx x 1 x 2 dx  2 3 2 tdt 1  t2  t 2  ln t  1  ln t  1   ln 3  2 3 t 1 t 1 9) Đặt t  4x  1  t 2  4x  1  dx  dt t2  1 2  ln 3 2  t  1  t  1  t  1t  1 dt 3 1 1 2  ln  ln 3 2 3 1 tdt 2 Đổi cận: x  2  t  3, x  6  t  5 www.boxtailieu.net    1  1  dt Do đó: J       t 1 2 2 2x  1  4x  1 t  1  2 3  t  1 3   6 5 dx 5 tdt 5     1 3 1   ln   ln t  1   2  2 12  t  1  3 10) Đặt t  x  1  t 2  1  x  2tdt  dx Đổi cận: x  0  t  1, x  3  t  2 2 2 2t 3  8t 2 1 dt   2t  6 dt  6 dt  2 t  1 t  3t  2 1 1 1 3 Hay A  3  6 ln 2 Khi đó: A    5 1 Khi đó: I      2 2 4 3 t 4 t 3 t 4 3  dt   1 1  1 t2  dt  ln   t  2 t  2  4 t2 u. 5 12) Đặt t  1  x2  dt  2xdx. 2 w w .b 4 1 1 t 1 l n t  1  ln t   ln  2 2 2 t  3 1 15 ln 4 7 2 4  2  1 1    dt  t  1 t  1  3 1 1 3 ln  ln   ln 2 4 2  2 2   x3  x  x2  1  1     A dx   x3  x2  1  x dx      2 2 0  x  x  1   x  x  1  0    1 w 13) ox 4 4 4 1 dt 1 t  t  1 1  dt  2  t t  1 2  t t  1 2 2  5 ta Đổi cận: x  1  t  2, x  3  t  4. Khi đó J  2  1  6 ln t  1 12 ilie tdt  6t ne Đổi biến: x  2  t  3 , x  2 5  t  5 5 2 t 11) Đặt t  x 2  5  t 2  x 2  5  xdx  tdt t 1   0 x 3 1 2 x  1dx  0 x5 x dx  B  5 1 4 0 1  B  , với B  5 1 x 3 x2  1dx 0 Đặt t  x2  1  t 2  x 2  1  2tdt  2xdx  tdt  xdx Đổi cận: x  0  t  1, x  1  t  2. 1 Khi đó B   x 0 2 2 x  1xdx  2  t 1 2   1 t.tdt  2  t 4 t 1  4 2 2 2   1 1  2 2 2             5 3   5 3  15 15 www.boxtailieu.net 2   5  t3  t dt      5 3   1 2  2 2 x  t  1 1 1  2 14) Đặt t  1  x2    dt  .dx 2 dt  x .dx  x 2 .dx t 1 x 1  x  1  x2 x 1  x2  1 2 1 2 2 2  1 1 1 1  dt dt   dt     2 2  t  1 t  1  t  1t  1  t  1 3 3 3 1  2 1 ln t  1  ln t  1  2 2 2 1 2 3 1 74 3 ln  ln 2 3 2 3 2 3  1 15) Đặt J   x  4 dx  2 x  4x  5 2  1 2 1  2 1 2  x  2 dx 2 x  4x  5 2 x  2 Đặt t  x  2  dx 2 x  2    dx   2 x  2  1  x  2 t 2 x  2 dx 1 w w dt  t     1  dt  1    1 w  1 .b 2 dx ox x  2 2 1 ilie 1  x  2 dx ta 1 2 2 1 Trong đó K  1  2 1 1  ln x2  4x  5  2K  ln 2  2K 2 2 2 t  1 1  t  1  2 1  1 2  3    ln  ln  ln  3 2  t  1  3 2  3 2  3  ne I 1 2 u. I 1 2 Đổi cận: x  2  t  1, x  1  t  1  2 Khi đó: K  1 2  1 Do đó: J  1 2 dt  ln t  ln 1  2 1 t  1 ln 2  2 ln 1  2 2    1 1  t 2  1 1  1  dt  t    dx     2 2t 2  2t 2 t  16) Đặt: t  x  1  x2  t  x  1  x 2  x  Đổi cận : x  1  t  2  1, x  1  t  2  1 Khi đó: A  1    1  dt 2  2 2t  2 1   21 1 t 1  2 2 1  2 1 dt 1  t 1 2 2 1  t 2 1 1 2 t  1 www.boxtailieu.net dt  2 1 2 1   1 1  1  1  1  dt ln t  1     t 2 t t  1  2 2 2 1 2 1 2 1 1 1   t  1  1  1   A  ln 1  2   ln   ln 1  2  ln    2 2   t  t 2 2 1  17) I   4    2  2 1  1 2  1 2 xdx  7 x2 x2  9 Đặt : t  x 2  9  x 2  t 2  9.xdx  tdt Đổi cận: x  7  t  4, x  4  t  5  4  t2  9 t  4 5 dt 1   t  3 t  3    6 4  1 1     t  3  t  3  dt 3  3 x  x  2011x x 1 M 1 3 2 2 x2  x 1 dx  4  dx . Đặt t  3 1 x2 x 1 1 3 3 2 2 1  N 2 2  1 2011 x 0  .b dx   x3 Vậy, I  M  N  19) I  x 2 1 w 1 1 3 dx  2 2  3 dx  2 2 2011  1 3 2  7 2 3 7 2  t 3dt   0 3 2011x dx   1 213 7 128 2011 2x 2 2 2  1 14077 213 7 .  16 128 2 x  1 x  1 1 Đặt t  x  1  dt  dx Đổi cận: x  1  3  t   3, x  0  t  1 Khi đó: I  1   3 dt t t2  1 1    3 dx 3 dx 1 3 x3 1 2  1  t3   1  3t 2dt   dx 2 x x x3 w w Khi đó M  3 1 2 Đổi cận: x  1  t  0, x  2 2  t   2 2 u. 2 2 ilie 18) I  ne 5  1  1 1  1 t  3 5 1  1 1 1 7   ln  ln   ln    dt  ln 6  t  3 t  3  6 t  3 4 6  4 7  6 4 4  ta I 5 tdt t 5 ox I tdt t2 t2  1 www.boxtailieu.net 14077 16 t Đặt u  t 2  1  du  dt và t 2  u 2  1 2 t 1 Đổi cận: t   3  u  2, t  1  u  2 2 2 1 Do đó: I     2 2 2 u 1 2 20) I  ln 3 du  1 1  1 u 1  du  ln   u  1 u  1  2 u 1 ln 3 2e3x  e2x dx    x x e 4e  3  1 0 0 2  2 1 ln 3 3  2 2 2   2e3x  e2x dx 4e3x  3e2x  1   Đặt t  4e3x  3e2x  t2  4e3x  3e2x  2tdt  12e3x  6e2x dx  tdt 3 Đổi cận: x  0  t  1 ; x  ln 3  t  9 1 1 21) I   3 s inxcos x 1  cos2 x 0 dx   2 1 cos2 x sin 2x dx  2 1  cos2 x 0 ilie  2 9   1  1  dt  1 t  ln t  1   8  ln 5  t  1  3 3 1 ne 9 u. 9 1 tdt 1 Khi đó I     3 t 1 3 t   2e3x  e2x dx  1 2 1 t  1 1  dt    2 t 2 2 1    1 dt  1 ln t  t   ln 2  1   t 2 2  1 .b Do đó: I    t 1 2 ox Đổi cận: x  0  t  2, x  ta Đặt : t  1  cos2 x  dt  2 sin x cos xdx   sin 2xdx 2 1 w w 22) Đặt : t  cot x  t 2  cot x  2tdt   1 2 sin x dx  1 sin2 x dx  2tdt 6 w   Đổi cận: x   t  3; x   t  1 1 Khi đó : I    3  2 23) I   0 4 3 3 2tdt  2  dt  2t 2 1 t sin 2x  sin x 1  3 cos x 1 dx   2  0 Đặt : t  1  3 cos x  cos x  Đổi cận: x  0  t  2; x    3 1 2 cos x  1 s inx 1  3 cos x dx t2  1 2 , sinxdx   tdt 3 3   t 1 2  2   t  1  2  1 2  1  2 3      2 2t 2  1 2  1 3 34 Khi đó : I   dt   t  t   tdt  2     t 9 9 3 27  3  1 2 1 www.boxtailieu.net  3 24) I    4 4 1 3 sin x 3 cos x dx   . cos8 x. Đặt t  tan x  dt   4 1 cos2 x 1 . 1 2 tan x cos x 4 3 dx dx    t  1, x   t  3 4 3 Đổi cận: x  Khi đó I   3 3   t 3 4 dt  3 1 4t 4 1  ne t 1     4 4 3  1  4 8 3  1 .   u. Chuyên đề 8. Tính tích phân bằng phương pháp từng phần b b   vdu a ox a b a ta  udv  uv ilie 8.1. Phương pháp Tương tự như nguyên hàm, ta cũng có thể tích tích phân bằng ph ương pháp từng phân. Cho hai hàm số u và v liên tục trên [a;b] và có đạo hàm liên tục trên [a;b]. Khi đó  x sin 2xdx 0 2)I  2  (x  2)e2x 1dx w w 1)I   2 .b 8.2. Các ví dụ minh họa Ví dụ 3.8.1. Tính các tích phân sau 0 Lời giải. 3)I  0  (2x 2  x  1) ln(x  2)dx 1 w du  dx u  x    dv  sin 2xdx v   1 cos 2x  2 1) Đặt  1  I   x. cos 2x 2  2 0  2  1  1    cos 2xdx   sin 2x 2  . 0 2 4 4 4 0 du  dx  u  x  2 2) Đặt    dv  e2x 1 v  1 e2x 1   2 2 1 1 1 5e  e3 .  I  (x  2)e2x 1 20   e2x 1dx  e  e2x 1 20  2 2 4 4 0 www.boxtailieu.net  du  1 dx u  ln(x  2)  x2 3) Đặt    2 dv  (2x  x  1)dx  2 1  v  x3  x2  x 3 2  2 1 1 0  I  ( x3  x2  x) ln(x  2)  1 3 2 6   1 6 0 (4x2  5x  16   1 0 4x3  3x2  6x dx x2  1 32 1 4 5 0 )dx   ( x3  x2  16x  32 ln(x  2))  1 x2 6 3 2 16 119 . ln 2  3 396 Ví dụ 3.8.2. Tính các tích phân sau 2) I   1  ln(x  1) x 1 0 2 1  x sin x t 1) I   x(1  sin 2x)dx.  3 dx 3) I   ne 3 0 Lời giải. 1 2 cos2 x u.  4    4   4 1 2 1 2  0 0  1 4  1 2 1    x2  sin 2x   . 16  2 4 32 4  ox 2 ta Ta có: I  x  x  cos 2x   (x  cos 2x)dx ilie 1) Đặt u  x, dv  (1  sin 2x)dx  du  dx, v  x  cos 2x 2) Ta có: I   1  ln(x  1) dx  3  w w x2 .b 0 3 1 1 dx x2 3  1 ln(x  1) x2 w u  ln(x  1)  Bây giờ, ta sẽ tính J. Đặt  thì ta có: dx dv   x2 dx   3 1 2  J   J. x1 3  du  dx  x 1   1 v   x  Do đó, áp dụng công thức tích phân từng phần, ta được 3 3 3 3 ln(x  1) 1 ln(x  1) J  dx    x x(x  1) x 1 1 3  Vậy I   3 3) I   0 1 1 1    1  dx  x x  1  3 ln(x  1) 2  ln x  ln x  1    ln 2  ln 3. 1 x 3 1 2 2  ln 2  ln 3. 3 3 dx 2 cos x  3  0 x sin xdx 2 cos x  tan x  3 0  3  0 x sin xdx 2 cos x  3  3 www.boxtailieu.net 0 x sin xdx cos2 x dx
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan