Đăng ký Đăng nhập

Tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng phần 1

.PDF
43
212
62

Mô tả:

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM CHƯƠNG 3. NGUYÊ HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chuyên đề 1. Tính nguyên hàm bằng cách áp dụng tính chất  f '(x)dx  f (x)  C . 1.1. Phương pháp: Giả sử ta cần tìm nguyên hàm I   g(x)dx Sử dụng các phép biến đổi của đạo hàm để đưa g(x)  f '(x) . Khi biến đổi, cần lưu ý đến các công thức đạo hàm:  u ' v '  u  v ' Ví dụ 3.1.1. Tìm họ nguyên hàm:  x sin 2xdx . Lời giải. ilie  1 '  1  1  Ta có: x sin 2x  x  cos 2x  x '  cos 2x  cos 2x  2   2  2 u. I ne t  u ' v  v ' u  (uv) ' u ' v  v ' u  u     '   v  v2 1.2. Các ví dụ minh hoạ 1 1 x cos 2x  sin 2x  C . 2 4 Ví dụ 3.1.2. Tìm họ nguyên hàm w w .b Do đó: I   ox ta  1 ' 1  1 ' 1      x cos 2x  (sin 2x) '   x cos 2x  sin 2x  2 4  4  2  Lời giải. I 2x  sin 3x.e dx . w  1   1  ' 3 Ta có: sin 3x.e2x  sin 3x  e2x  '  e2x  sin 3x  e2x cos 3x   2   2 2   '  1  1 2x '  1 2x   9 3 2x        cos 3x  e    e  . cos 3x '  e2x sin 3x   sin 3x.e       4  2  2  2   2     1 ' 13 2x 3 2x 2x  Suy ra e sin 3x   sin 3x.e  e cos 3x 4 4  2  Do đó: I   4  1 3 2x  e2x cos 3x  C .  sin 3x.e 13  2 4  Ví dụ 3.1.3. Tìm họ các nguyên hàm I x 2 ln xdx . Lời giải. Nguyễn Tất Thu Page 1 www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM '  3 ' 1 3 x3 1 3 1 3   x    Ta có: x ln x    ln x  (ln x) ' x '   x ln x  x   3   3 3 9 9      2 1 3 1 x ln x  x3  C . 3 9 Ví dụ 3.1.4. Tìm họ nguyên hàm Do đó: I  1 I    x  x  1  1  e x dx .  x  Lời giải. 1 1 1 1 1  x x  1  x  x  1  x  x 1  x  x   x   x   e e  x 1   e e x Ta có:  x  1   e 2   x  x    x ne 1 x  C. u. Do đó: I  xe x t  '  ' 1  x  1   x  1  x  x e x   x '.e x   xe x          Ví dụ 3.1.5. Tìm họ nguyên hàm ta Lời giải.   1 1    dx .   2  ln x  ln x ilie I ' 1 ln x  1 x ' ln x  x.(ln x) '  x   Ta có:       ln x  ln2 x ln x ln2 x ln2 x x Do đó: I   C. ln x Ví dụ 3.1.6. Tìm họ các nguyên hàm 1  sin x x I  e dx . 1  cos x w w .b ox 1 w Lời giải.  2 sin x  cos x  2 x 2 2  x 1  sin x x 1  1  x Ta có: e  e  tan  1 e 1  cos x 2 2  2  2 x cos 2   ' 1  x  1   x  x x 2 x x x x  (1  tan )e  2e tan  2 tan  e  2 e ' tan  2  2 2  2   2  2     '  x  ex tan   2  Do đó: I  ex tan x C. 2 1.3. Bài tập. Bài 3.1.1. Tìm họ các nguyên hàm sau Nguyễn Tất Thu Page 2 www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 1) I   (2x  1) cos xdx 4) I   x ln(x  1)dx 7) I  1  x cot x dx sin x  2) I  5) I  8) I   2x  xe  dx x 2 sin x x2  x  1 x e dx (x  1)2 6) I  dx 9) I  3x 3) I    cos 2x.e  x ln 2 ln x  1 2 ln x 2 dx xdx xdx 10) I   Hướng dẫn giải Bài 3.1.1. 1) Ta có: (2x  1) cos x  (2x  1)(sin x) ' (2x  1) ' sin x  2 sin x  (2x  1) sin x ' 2(cos x) '  (2x  1) sin x  2 cos x ' Do đó: I  (2x  1) sin x  2 cos x  C . 1  1  1 1  1 1  1 2) Ta có: xe2x  x  e2x  ' x '.  e2x   e2x   xe2x  ' e2x '   xe2x  e2x  '  2 4   2  2 2  4  2    3) Ta có: cos 2x.e ' 1 ' 3x 1 3    sin 2x e  sin 2x e3x  sin 2x.e3x   2 2 2   ne 3x t 1 2x 1 2x xe  e  C . 2 4 u. Do đó I  ilie  ' ' 1 ' 3x 1 3  1 9 3x  3x  3x    sin 2x.e    cos 2x .e  cos 2x. e   cos 2x.e  4 2 2  2  2    Vậy I  1 3 sin 2x.e3x  cos 2x.e3x  C . 2 4 ox 1 ' 13 3 cos 2x.e3x   sin 2x.e3x  cos 2x.e3x  4 4 2  .b Suy ra ta   w w  1 2 ' ' 1 1 x2 4) Ta có: x ln(x  1)   x  . ln(x  1)  x2 ln(x  1   2  2 2 x 1 w 1 2 ' 1  1      x ln(x  1)   x  1   2 x  1   2  Vậy I   1 2 1 1 x ln  x  1   x2  x  ln(x  1)  C . 2 2  2  x ' '  x.  cot x  x '  cot x  cot x  x cot x  sin x sin2 x Suy ra I  x cot x  ln sin x  C . 5) Ta có:  1 2 ' 2 1 6) Ta có: x ln x   x  ln x  x2 ln2 x ' x ln x 2  2   2     1 2 2 '  1 2 ' ' 1 2 1     x ln x   x  ln x  x ln x   x  2  2 2   2    Nguyễn Tất Thu Page 3 www.boxtailieu.net ' sin x dx 3 3 4 (1  x ) . Chuyên đề: NGUYÊN HÀM ' 1 2 2 1 2 1 2     x ln x  x ln x  x  2 4  2 Vậy I  1 2 2 1 1 x ln x  x2 ln x  x2  C . 2 2 4 x ' sin x  x. sin x '  x ' 1  x cot x sin x  x cos x      2 2  sin x  sin x sin x sin x x Do đó I   C. sin x 7) Ta có: x2  x  1 x xex (x  1)(ex ) ' (x  1) ' ex e  ex   ex  (x  1)2 (x  1)2 (x  1)2 Vậy I  2 ln x  1 ln2 x x t 2x ln x  x ln2 x  (x 2 ) ' ln x  x 2 (ln x) ' ln2 x x2  C. ln x (1  x3 )4  x 3 1 x 3 C. 3 3 (1  x3 )2 . (1  x3 )2  3 ' 3 x '. 1  x3  x.  1  x3    3 (1  x3 )2 3 x3 3 (1  x3 )2 (1  x3 )2  '  x  .     3 1  x3  w Vậy I  1  x3  x3 .b 3  w w 1 1  x3  ox 3 10) Ta có:  2 ' x      ln x    ta 9) Ta có: ex C. x 1 ilie Suy ra I  ex   x '  ' ex   e   x    e    x  1   x  1     ne '    e x u. 8) Ta có: Chuyên đề 2. Nguyên hàm I   P(x) dx Q(x) 2.1. Phương pháp giải Sử dụng các phép biến đổi đưa về các nguyên hàm cơ bản sau dx 1 du  ln ax  b  C    ln u  C   ax  b a u dx 1 1 1   C với n  2   n  1 a (ax  b)n1 (ax  b)n Nguyễn Tất Thu Page 4 www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM   dx 2 2  1 x arctan  C . k k x k 2.2. Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 3.2.1. Tìm họ các nguyên hàm sau I  2x2  x  1 dx . x 1 Lời giải. Ta có: 2x2  x  1  2(x  1)2  3(x  1)  2  2   dx  x2  x  2 ln x  1  C . Suy ra I   2x  2  3  x  1   Chú ý: Cho f (x) là đa thức bậc n . Khi đó: f '(x0 ) Trong đó f (k) (x0 ) là đạo hàm bậc k của hàm số f tại x0 1! (x  x0 )  f (x0 ) t n! (x  x0 )n  ...  ne f (x)  f (n) (x0 ) Ví dụ 3.2.2. Tìm họ các nguyên hàm (x  1)4 u.  x2  3x  1 dx . ilie I Lời giải. w w w .b ox ta Ta có: x2  3x  1  (x  1)2  (x  1)  3   1 1 1 1 3  dx   1    C.   Suy ra I    2 2 3 4 x  1 2(x  1) (x  1)3 (x  1) (x  1)   (x  1) Chú ý: Để giải bài trên, ta có thể thực hiện phép đổi biến số bằng cách đặt t  x  1 Suy ra x  t  1  dx  dt 1 (t  1)2  3(t  1)  1 t2  t  3 1 3 I  dt   dt       dt  t 2 t 3 t 4  t4 t4 1 1 1 1 1 1    C    C. t 2t 2 t 3 x  1 2(x  1)2 (x  1)3 Ví dụ 3.2.3. Tìm họ các nguyên hàm sau I  x3  (x  1)3 (2x2  2x  1)3 dx . Lời giải. Ta có: x3  (x  1)3  2x3  3x2  3x  1  (2x  1)(x2  x  1) Đặt t  2x2  2x  1  dt  (4x  2)dx  2(2x  1)dx 1 t 1 1 1 1 1 1 dt      dt    C Suy ra I   3 2 3 4 4  t 4t 8t 2 t t  1 1   C. 2 2 4(2x  2x  1) 8(2x  2x  1)2 Ví dụ 3.2.4. Tìm họ các nguyên hàm Nguyễn Tất Thu Page 5 www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM I 3x2  x  1  x2  5x  6 dx . Lời giải.   3  16x  17  dx   x2  5x  6  Ta phân tích 16x  17  a(x  2)  b(x  3) Cho x  2, x  3 ta tìm được a  31, b  15  31 15   dx  3x  31 ln x  3  15 ln x  2  C .  Suy ra I   3  x  3 x  2   Ta có: I  Ví dụ 3.2.5. Tìm họ các nguyên hàm sau I 3x  4  x3  4x dx . ilie u. ne t Lời giải. Ta phân tích: 3x  4  ax(x  2)  bx(x  2)  c(x  2)(x  2) 4  4c  5 1 Cho x  0, x  2, x  2 ta có được: 2  8b  a   ,b  ,c  1  4 4 10  8a  5 1 1 1 1 5 1    dx   ln x  2  ln x  2  ln x  C . Suy ra I    4 4  4 x  2 4 x  2 x  ta Ví dụ 3.2.6. Tìm họ nguyên hàm dx (x  1)2 1  2 4 x2  1 . (1  x)  (1  x) 2  1 1 2 1        2 2 2 2 4 (1  x)(1  x) (1  x) (1  x) (1  x)   (1  x) w w 1 2 .b Lời giải. Ta có:  ox I w  1  1 1 1 1     4  (1  x)2 1  x 1  x (1  x)2  1 1 1 x 1  Suy ra I    ln  C. 4  x 1 1 x x  1  Ví dụ 3.2.7. Tìm họ các nguyên hàm sau 2x  3 I  dx . x3  1  Lời giải. Ta có: 2x  3  (ax  b)(x  1)  c(x 2  x  1) 1  3c  1 8 1 Cho x  1, x  0, x  1  3  b  c  c  ,b  ,a    3 3 3 5  2a  2b  c Nguyễn Tất Thu Page 6 www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 1 dx 1 x8 1 1 2x  1 5 dx  dx  ln x  1    3  x  1 3  x2  x  1 3 6 x2  x  1 3  x2  x  1 1 1 5  ln x  1  ln x2  x  1  J 3 6 3 dx 1 1 2x  1 2 2x  1  4. . . arctan C . arctan  C. Ta có: J  4  2 2 3 3 3 3 (2x  1)  3 Do đó: I  Ví dụ 3.2.8. Tìm họ các nguyên hàm sau I  (x  1) cos x  x sin x dx . cos x  x sin x Lời giải. cos x  x sin x ' (x  1) cos x  x sin x x cos x 1 1 cos x  x sin x cos x  x sin x cos x  x sin x Suy ra I  x  ln x sin x  cos x  C . Lời giải. Ta có: 1 4 x 4  1 2 2 (x  2)  4x 2   dx 4 x 4 . ilie I u. Ví dụ 3.2.9. Tìm họ nguyên hàm ne t Ta có: 1 2 (x  2x  2)(x2  2x  2) Suy ra I  1 x 1 1 x 1 1 1 1 1    . 2 2 2 8 x  2x  2 8 x  2x  2 8 (x  1)  1 8 (x  1)2  1 w  w w .b ox ta Ta phân tích: 1  (ax  b)(x2  2x  2)  (cx  d)(x2  2x  2) a  c  0  2a  b  2c  d  0 1 1 1 Đồng nhất hệ số ta có:   a   ,b  d  ,c  a  b  c  d  0 8 4 8  2b  2d  1 1 1 x2 1 x2 Suy ra   8 x2  2x  2 8 x2  2x  2 x4  4 1 x2  2x  2 1  ln  arctan(x  1)  arctan(x  1)  C . 2 8 x  2x  2 8 Ví dụ 3.2.10. Tìm họ nguyên hàm I  dx x6  1 . Lời giải. Ta có: Mà:  1 x6  1 x2 x6  1  x2  1  x2 (x2  1)(x4  x2  1) dx  Nguyễn Tất Thu  1 x4  x2  1  x2 x6  1 1 d(x3 ) 1  arctan(x3 )  C .  3 x6  1 3 Page 7 www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 1 4 2 x  x 1  1 2 2 (x  1)  3x  2  1 2 (x  3x  1)(x2  3x  1)    Ta phân tích: 1  ax  b x2  3x  1  cx  d  x2  3x  1 a  c  0  a 3  b  c 3  d  0 1 1 1  a ,b  d  ,c  Đồng nhất hệ số ta có:  . a  b 3  c  d 3  0 2 2 3 2 3  b  d  1 1 Suy ra 4 2 x  x 1   1 x 3 2 2 3 x  3x  1 1 2x  3   4 3 x2  3x  1 1 x 3 2 2 3 x  3x  1 1 2x  3 4 3 x2  3x  1  1  1 1   4  x2  3x  1 x2  3x  1   Do đó: 2 x  x 1 4 3 x2  3x  1 2 x  3x  1  1  arctan(2x  3)  arctan(2x  3)  C 2 t ln 1 1 x2  3x  1 1  arctan(x3 )  ln  arctan(2x  3)  arctan(2x  3)  C . 2  3 4 3 x  3x  1 2  u. Vậy I  1 ne 4  ilie  dx Ví dụ 3.2.11. Tìm họ nguyên hàm x6  1 x2 6 x 1 J  dx  1 3 2 x 1 x4  x2  1 Vậy I   x4  1 x6  1  x2  ta x2  1 x6  1 x6  1  dx . x2 x4  x2  1 x6  1 d(x3 ) 1  1 1  1 x3  1     d(x3 )  ln  C'  6 (x3  1)(x3  1) 6  x3  1 x3  1  x3  1 w w  x4  x2  1 1 w Ta có:  .b Lời giải. x4  x2  1 ox I dx   1 x2 dx  2    x  1   3  x    1 d  x    x  2  x  1   3 x    1 3 arctan 1 x3  1 1 x2  1 ln  arctan  C. 6 3 x 3 x3  1 Ví dụ 3.2.12. Tìm họ nguyên hàm I  x2  1 (x2  3x  1)(3x2  5x  3) Lời giải. Nguyễn Tất Thu Page 8 www.boxtailieu.net dx . x2  1 x 3  C" Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 1 Ta có: I   x2    x  1  3 3(x  1 )  5    x x   Suy ra I  dx  1 1  dx  1   dx  x x2  Đặt t  x   3 1  1 3t  5    3t  5  t  3  dt  4 ln t  3  C dt 1   (t  3)(3t  5) 4  1 3x2  5x  3 ln  C. 4 x2  3x  1 2.3. Bài tập Bài 3.2.1. Tìm họ các nguyên hàm sau 13) I    16) I   19) I   22) I   8) I  dx x 3  2x dx x(1  x)(1  x  x2 ) x3  x2  4x  1 x4  x3 x4dx 2 (x  1) x2  x  11) J  dx 2 dx 14) I  2x4 x(x3  8)(x4  8x  2)  17) I  20) I  (x3  2)dx   x2  x  1 x3  3x  2 dx x2dx 18) I  (x6  4)2 x3  1 6 3 x(x  3x  2) 23) I     www.boxtailieu.net dx dx x4  x2  1  x3 x4  2x2  1 dx (x  1)dx x4  4x3  6x2  4x  2  x4  2x3  x2  2x  1 Page 9 (x  1)5 (1  5x)5 x2  1 Bài 3.2.1. x (x  1)3  21) I  dx  dx dx 15) I  Hướng dẫn giải. Nguyễn Tất Thu ne 9) I  dx 12) I  4 2 x  2x  1 0  (x  2)2 6) I  dx (2x3  3x2  1)3 1 2 x2  2x  3 u. x2  5x  4  .b 10) I   x 2    x  1   w w  x2  3x  2 x3  3x  2 3) I  ilie  5) I  dx  x3  1 dx x 1 ta 3x  4 2) I  ox  4) I  7) I  2x2  3x  1 dx x2 w 1) I  t  1 dx 6 x(x  1)2 dx 24) I   x2  1 x4  x2  1 dx . Chuyên đề: NGUYÊN HÀM  3) Ta có: I   4) Ta có: I  1   x3  1  2 dx  x 1  (x 2 2  x  ln| x  2| C  x 1 2 )dx x 1 x3 x2   x  2 ln| x  1| C . 3 2  (x  2)2  2(x  2)  3 (x  2)2   2 dx  3 3  1  x  2  (x  2)2  dx  x  2 ln| x  2| x  2  C .  3x  4 dx (x  1)(x  2) t 2) Ta có: I    2x  1  x  2  dx  x ne 1) Ta có: I  a  b  3 a  10     a  2b  4 b  7 10(x  1)  7(x  2) dx  (x  1)(x  2)  10  10 ln| x  2| 7 ln| x  1| C . x2  5x  4  x5 18x  22 .b x3  3x  2 x2  5x  4 w w 5) Ta có: 7    x  2  x  1 dx ta  ox I ilie u. Ta xác định a, b sao cho: 3x  4  a(x  1)  b(x  2)  (a  b)x  a  2b I   w 50 4 (x  1)  (x  4) 50 1 4 1 3  x5 3  x5  (x  1)(x  4) 3 x  4 3 x 1    x  5  50 1  4 1  dx  3 x  4 3 x  1  x2 50 4  5x  ln| x  4|  ln| x  1| C . 2 3 3 6) Ta có: I   x 11 (x  1)5  7) Ta có: I   du  4  (x  1)    1 1   d(x  1)    4 5  (x  1) (x  1)  d(x  1)   (x  1)5 d(x  1)   1 3  x  1 x2 (x  1)2 Nguyễn Tất Thu 3 Page 10 www.boxtailieu.net  1 4(x  1)4 C. Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Đặt t  x  1  x  t  1  dx  dt I  (t  1)2 t2 dt     1  2  1  dt  t  2 ln t  1  C   t t 2  t 1 C. x 1  x  1  2ln x  1  8) Đặt t  2x3  3x2  1  dt  6(x2  x)dx 1 dt 1 1 1 1   C  6 t3 18 t 2 18 (2x3  3x2  1)2 9) Ta có: I   dx (1  5x) . Đặt t  2 x 1 6dx  dt  1  5x (1  5x)2 x  2x Khi đó: I     ne u. dx 3 xdx 1 Đặt t  x2  2  dt  2xdx hay xdx  dt 2 x2  2 x2  ilie   1   dt 1 t  t  2 1  1 1  1 t2 2   dt    dt   dt  ln C  4  t  2 t  4 t t t  2 4 t t  2    1 x2 ln C. 4 x2  2 ta 10) I  t 4 1 t4 1  x  1  3  t dt   C  C.  6 24 24 1  5x  ox I  x  1 3   1  5x  .b I   2   4x  2  dx dx   2  11) J    4 2 2 2  x  2x  1 x  1 x  1          1  3 1 3 1  dx 1      2 2  2  x  1 x  1  x  1 x  1  1 1 1  C.  1  3 ln x  1   3 ln x  1  2  x 1 x  1  w w w 2x4 12) Ta có: I   dx 2 2 (x  1)  x 2   dx 2 (x  x  1)(x2  x  1) 1  (ax  b)(x2  x  1)  (cx  d)(x2  x  1)  (a  c)x3  (a  b  c  d)x 2  (a  b  c  d)x  b  d a  c  0  a  b  c  d  0 1 1 1   b  d  ,a  ,c   . a  b  c  d  0 2 2 2  b  d  1 Nguyễn Tất Thu Page 11 www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Suy ra : I  1 4  2x  2 2x  2     dx  2  x  x  1 x2  x  1          1 2x  1 1 2x  1 1        dx 2 2 2  4  x2  x  1     x  x  1   x  1   3  x  1   3      2  4 2  4     1 x2  x  1 2 2x  1 2 2x  1    ln  arctan  arctan   C. 4  x2  x  1  3 3 3 3  13) Ta có:  1  x2  x  1  (x2  x) 1  dx I  dx     2 2 2 2    (x  x)(x  x  1) x  x x  x  1 1 1 ln x2  1   C. 2 2 x 1 ox I ta ilie 14) Ta có: x3  3x  2  (x  1)2 (x  2) 2 1 Và x2  x  1  (x  1)(x  2)  (x  2)  (x  1)2 3 3 2 1 1 Nên I  ln x  1   ln x  2  C . 3 x 1 3 1 tdt 1 15) Đặt t  x2  xdx  dt . Suy ra I   2 t 2  2t  1 2 ne t x 2 2x  1  arctan C. x 1 3 3 u.  ln w w .b 16) Ta có : x3  x2  4x  1  (x  1)  3x(x  1)  2x2 (x  1)  x 3 1 3 Nên I    2 ln x  ln x  1  C . 2 x 2x 1 17) Đặt t  x3  x2dx  dt 3   1 dt 1  2x3 1 x3  2    C .    ln  3  (t 2  4)2 48  x6  4 2 x3  2  w Suy ra I  18) Ta có : x4  4x3  6x2  4x  2  (x2  2x  1)2  3 Đặt t  x2  2x  1 I 1 dt 1 x2  2x  1  3  ln C. 2  t2  3 4 3 x2  2x  1  3 u  x3 du  3x2dx     19) Đặt  xdx 1 dv  v   2 2 2   (x  1) 2(x  1)   I x3 2 2(x  1)  3 1 (1  )dx 2 2 x 1 Nguyễn Tất Thu Page 12 www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM  x3 2(x2  1)  3  1 x  1    C .  x  ln 2  2 x  1  1 t 1 1 t 1 dt   dt 20) Đặt t  x3  I   2 3 t(t  3t  2) 3 t(t  1)(t  2) 3 1 t  1   t(t  1)  (t  1)(t  2)  2t(t  2) 2 2 1 1 2 Suy ra I   ln x3  2  ln x3  ln x3  1  C . 2 6 3 1 dt 1 1 1 1       21) Đặt t  x6  I    dt 6 t(t  1)2 6  t t  1 (t  1)2  Suy ra I  1 x6 1 ln  C. 6 x6  1 x6  1 dt  t 2  2t  3 1 24) Ta có : I  Suy ra I  x2  x 1 1 2 x2 ne dx 1 x2  x  1 ln  C. 4 x2  3x  1 1 dx  1 1 x2 dx . 2 1  x    3  x    1 1   dx  dt  1   x x2   w Đặt t  x    ilie 1 1 (x  )2  2(x  )  3 x x 1 I x Đặt t  x  x2 ta  w w 23) Ta có : I  1 ox 1 u. 1 dt 1 x4  8x  ln C. 4  t(t  2) 8 x4  8x  2 .b Suy ra I  t 1 22) Đặt t  x4  8x  dt  (x3  2)dx 4 dt t2  3  1 3 arctan t 3 C 1 3 arctan x2  1 3x C. TỔNG KẾT Bài toán: Tìm nguyên hàm I   P(x) dx , trong đó P(x) , Q(x) là hai đa thức và deg(Q)  deg(P) . Q(x) Trường hợp 1: Q(x)  (ax  b)m a) Với dạng: I   b) Với dạng: I   Nguyễn Tất Thu dx (ax  b)m P(x) (ax  b)m , ta có: I   1 (m  1)a(ax  b)m1 C dx ta phân tích Page 13 www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM P(x)  a n (ax  b)n  ...  a1 (ax  b)  a 0 . Suy ra: I     n  ai   dx    m  i i0 (ax  b)  n ai  i 0 a.(m  i  1)(ax  2 b)mi1 C. Trường hợp 2: Q(x)  ax  bx  c .  dx 2 ax  bx  c ta có các trường hợp sau ne Khả năng 1: Nếu   b2  4ac  0 , khi đó ta luôn có sự phân tích : b ax2  bx  c  a(x  )2 . 2a dx 1 dx 1 1 I     C b 2 b 2 b a a a(x  ) (x  ) x 2a 2a 2a Khả năng 2: Nếu   0  ax2  bx  c  a(x  x1 )(x  x2 ) . x  x2 1  k ln C  dx  x  x x  x x  x  2 1 2 1 1   b Khả năng 3:   0  ax2  bx  c  a (x  )2  m2    2a    4a 2  ta 1   x  x ox Với m  k x2  x1 . Để tìm I ta thực hiện phép đặt x  mx  n b  m tan t . 2a w w dx ta biến đổi như sau ax2  bx  c m mb . Khi đó mx  n  (2ax  b)  n  2a 2a m 2ax  b mb dx I dx  (n  ) 2a  ax2  bx  c 2a  ax2  bx  c  w b) Với dạng I  .b Suy ra: I    u. k (x  x )  (x  x ) 1 2  x2  x1  ilie Ta có: k  m mb dx ln ax2  bx  c  (n  ) 2 2a 2a ax  bx  c dx Nguyên hàm  ta vừa nêu cách tìm ở trên. ax2  bx  c P(x) c) I   dx với P(x) là đa thức có bậc không nhỏ hơn 2 2 ax  bx  c Với dạng này ta thực hiên phép chia đa thức mx  n . P(x)  g(x)  ax2  bx  c  Trường hợp 3: Q(x)  (ax2  bx  c)k Nguyễn Tất Thu t a) Với dạng I  Page 14 www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM a) Với dạng: I   dx (ax2  bx  c)k Khả năng 1:   0  ax2  bx  c  a(x  x1 )(x  x2 ) 1 (x  x )  (x  x ) k 1 2   (x2  x1 )k Ta phân tích: 1  k 1  k  (1)i Cik (x  x1 )ki (x  x2 )i (x2  x1 ) i1 Thay vào ta tìm được I . Khả năng 2:   0  ax2  bx  c  a(x  Suy ra: I  1 a k b 2 ) 2a dx 1 1   C. k b a (2k  1) (x  b )2k 1 (x  )2k 2a 2a   (ax2  bx  c)k m mb mx  n  (2ax  b)  n  2a 2a m 2a  c) Với dạng: I  d(ax2  bx  c) 2 (ax  bx  c) P(x)  k ne dx ta phân tích  (n  mb dx ) 2 2a (ax  bx  c)k dx w w Suy ra: I  ta đổi biến t  tan u . u. (t 2  m2 )k mx  n ilie b) Với dạng: I  4a 2 dt ta  Để tính nguyên hàm:  ox b ,m  2a .b Trong đó t  x  t Khả năng 3:   0  ax2  bx  c  a(t 2  m2 ) (ax2  bx  c)k w Ta biểu diễn: P(x)  a n (ax2  bx  c)n  ...  a1 (ax2  bx  c) x   với deg P  2n Hoặc P(x)  a n (tx  l)(ax2  bx  c)n  ...  a1 (ax2  bx  c) x   với deg P  2n  1 Trường hợp 4: Q(x) là đa thức có bậc không nhỏ hơn 2 a) Nếu Q(x) có m nghiệm phân biệt x1 , x2 , .., x m , ta có Q(x)  (x  x1 )(x  x 2 )...(x  x m ) . Ta phân tích: P(x)  m  a i (x  x1 )...(x  xi1 )(x  xi1 )..(x  xn ) i1 Thay lần lượt x bằng các giá trị x i vào đẳng thức trên ta tìm được P(x i ) ai  , i  1, m . m  (x  x j ) j1 j i Nguyễn Tất Thu Page 15 www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Khi đó: I    m a  m  i  dx     a i . ln x  xi  C .  i1 x  x i  i1 b) Trong trường hợp tổng quát ta phân tích Q(x)  u k .v t .w h , trong đó u, v, w là các nhị thức bậc nhất hoặc các tam thức bậc hai có biệt thức delta âm. k  a .(u ') t  b .(v ') b2 j  a  P(x)  1j      1i  2i      Biểu diễn: i  j j   Q(x) i1  u i  u v u  j1  h  c .(w ') c     1l  2l  . l  w l  l1  w Sử dụng phương pháp hệ số bất định để xác định các hệ số a1i , a 2i , b1j , b2 j , c1l , c2l . ne t m  n Lưu ý: Hai đa thức a n xn  ...a1 x  a 0  bm x m  ...  b1 x  b0 x   . a  b , i  1, n i  i Nguyên hàm cơ bản 1  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C     tan xdx   ln cos x  C  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C 1 cot(ax  b)  C a   ta sin (ax  b)  ox dx 2 1  ilie  u. Chuyên đề 3. Nguyên hàm của hàm số lượng giác  dx 2 cos (ax  b)  1 tan(ax  b)  C a  cot xdx  ln sin x  C . w w Ví dụ 3.3.1. Tìm họ các nguyên hàm .b Sử dụng phép đổi biến số để chuyển tích phân hàm lượng giác về tích phân hữu tỉ. Lời giải.  (8 sin 4 x  2 cos 5x sin 3x)dx . w I 2 Ta có: 8 sin4 x  2 1  cos 2x  2  4 cos 2x  2 cos2 2x  3  4 cos 2x  cos 4x và 2 cos 5x sin 3x  sin 8x  sin 2x Suy ra: I  3x  2 sin 2x  1 1 1 sin 4x  cos 8x  cos 2x  C . 4 8 2 Ví dụ 3.3.2. Tìm họ các nguyên hàm I  8 cos 3 Lời giải. Nguyễn Tất Thu  2x  sin5 x dx . Page 16 www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Ta có: 8 cos3 2x  2 cos 6x  3 cos 2x    sin 5 xdx   1  cos  cos x  Vậy I  2 x 2  d(cos x)   8 cos 3 2xdx   1  2 cos 2 1 sin 6x  3 sin 2x  C ' 3  x  cos4 x d(cos x) 2 1 cos3 x  cos5 x  C " . 3 5 1 2 1 sin 6x  3 sin 2x  cos x  cos3 x  cos5 x  C . 3 3 5 Ví dụ 3.3.3. Tìm họ các nguyên hàm I  tan 4  x  2 tan3 x dx .  tan 3 xdx  2 x(tan2 x  1)dx   (tan2 x  1)dx   dx xd(tan x)   d(tan x)   dx   tan x(tan 2 1 tan 3 x  tan x  x  C ' . 3 x  1)dx   tan xdx 1  tan xd(tan x)   tan xdx  2 tan 2 x  ln cos x  C " . ox  Vậy I   tan 2 ne   tan u. xdx  ilie 4 ta  tan 1 1 tan3 x  tan2 x  tan x  ln cos x  x  C . 3 2 I  sin 2x sin x 2 cos2 x  3 sin x dx . w w w Ví dụ 3.3.4. Tìm họ các nguyên hàm .b Ta có: t Lời giải. Lời giải. Ta có: I   2 sin2 x cos x.dx 2 sin2 x  3 sin x  2 Đặt t  sin x  dt  cos xdx Suy ra : I   2t 2dt   3t  2  dt   1   (t  2)(2t  1)   2t 2  3t  2  1 8  1 8  dt  t    1   ln 2t  1  ln t  2  C   5(2t  1) 5(t  2)  10 5   sin x  Nguyễn Tất Thu 1 8 ln 2 sin x  1  ln sin x  2  C . 10 5 Page 17 www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Ví dụ 3.3.5. Tìm họ các nguyên hàm: I sin 4x  4 sin2 x  3 cos2 x dx . Lời giải. 2 sin 2x cos 2x 4 sin2 x  3 cos2 x dx Đặt t  4 sin2 x  3 cos2 x  t 2  2(1  cos 2x)  Suy ra cos 2x      4  2 2 2  4 sin x  3 cos x  49  3  Ví dụ 3.3.6. Tìm họ nguyên hàm: I   cos3 x 1   4 dt (1  t 2 )2  ox 1  sin2 x . . Đặt t  sin x  dt  cos xdx .b  2    C . w w Suy ra I  cos xdx  dt (1  t)2 (1  t)2 w  3  dx  Lời giải. Ta có: I  4 sin2 x  3 cos2 1  t  1  t  2 1   dt   2 2 4 (1  t) (1  t)  1 2 1     dt  2 (1  t)(1  t) (1  t)2   (1  t)  1 1 1 1      dt  2 1  t 1  t (1  t)2   (1  t)  1 4  1  1 1 1  t     ln C  4  t 1 t 1 1  t   1  1 1 1  sin x     ln  C. 4  sin x  1 sin x  1 1  sin x  Nguyễn Tất Thu ne 1 4 (1  2t 2 ) tdt 4 4  2 3  2 7 7  (1  2t )dt  t  t C  t 49  49  3  ilie  1 4 1  2t 2  2 sin 2xdx  tdt 7 7 ta Do đó: I  3 1 (1  cos 2x)  1  7 cos 2x  2 2 t  u. Ta có: I  Page 18 www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Ví dụ 3.3.7. Tìm họ nguyên hàm I  sin xdx 3 sin x  2 cos x . Lời giải. sin xdx  3 cos3 x tan x  2 Đặt t  tan x  2  dt  Suy ra I   t2 t 3 dt   tan xdx  3 cos2 x tan x  2 dx cos2 x 1 2  1 1 1 1   t2  t3  dt   t  t2  C   tan x  2  (tan x  2)2  C . t Ta có: I    t2  1 t3 1 t 1 tan3 x 1 tan x  1  t  ln C  tan x  ln C. 3 2 t 1 3 2 tan x  1 Ví dụ 3.3.9. Tìm họ nguyên hàm I  x sin x cos3 x dx . Lời giải. u  x du  dx   Đặt  sin xdx d(cos x)   1 1 dv  v  .  dx 3 3 2 cos2 x   cos x cos x Suy ra : I  .  1 1 1 1   dt dt   t 2  1    2 t  1 2 t  1  w  t4  1  1 1  tan2 x w w  1  t2    .b t 4dt  ox Đặt t  tan x  dt  1  tan2 x dx Suy ra I   tan4 x 1  tan2 x dx ilie 1  tan2 x nên I   ta Lời giải. Ta có cos 2x  1  tan2 x tan4 xdx . cos 2x u. I ne Ví dụ 3.3.8. Tìm họ các nguyên hàm 1 x 1 dx 1 1    x 1  tan2 x  tan x  C . 2 cos2 x 2 cos2 x 2 2   Ví dụ 3.3.10. Tìm họ các nguyên hàm sau: Nguyễn Tất Thu Page 19 www.boxtailieu.net Chuyên đề: NGUYÊN HÀM I  1  x cos x sin2 x dx . Lời giải. Ta có: I   Mặt khác:  dx sin2 x  dx  sin x Do vậy I   cot x   xd(sin x) sin2 x d(cos x) 2 cos x  1 x dx  sin x sin x   cot x   1 1  cos x x ln  C  ln tan  C . 2 1  cos x 2 x x  ln tan  C . sin x 2  cos x  8 sin x  9 dx . cos x  2 sin x  3 ne I u. Lời giải. 2d(cos x  2 sin x  3)  3 dx cos x  2 sin x  3 ta  ilie Ta có: cos x  8 sin x  9  2 2 cos x  sin x  3 cos x  2 sin x  3 Nên I  ox  2 ln cos x  2 sin x  3  3x  C . 5 sin x  10 cos x  4 dx . 2 cos x  sin x  1 .b Ví dụ 3.3.12. Tìm họ các nguyên hàm Ta phân tích:  w Lời giải. w w I 5 sin x  10 cos x  4  a(2 cos x  sin x  1)  b(2sinx  cos x)  c  (a  2b) sin x  (2a  b) cos x  a  c a  2b  5   2a  b  10  a  3, b  4, c  1 .  a  c  4 I    1 3  4 2 sin x  cos x   dx  2 cos x  sin x  1 2 cos x  sin x  1   3x  4 ln 2 cos x  sin x  1  J Nguyễn Tất Thu t Ví dụ 3.3.11. Tìm họ nguyên hàm: Page 20 www.boxtailieu.net
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan