Mô tả:
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
CHƯƠNG 3. NGUYÊ HÀM – TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Chuyên đề 1. Tính nguyên hàm bằng cách áp dụng tính chất
f '(x)dx f (x) C .
1.1. Phương pháp:
Giả sử ta cần tìm nguyên hàm I
g(x)dx
Sử dụng các phép biến đổi của đạo hàm để đưa g(x) f '(x) . Khi biến đổi, cần lưu ý đến các công thức đạo
hàm:
u ' v ' u v '
Ví dụ 3.1.1. Tìm họ nguyên hàm:
x sin 2xdx .
Lời giải.
ilie
1
'
1
1
Ta có: x sin 2x x cos 2x x ' cos 2x cos 2x
2
2
2
u.
I
ne
t
u ' v v ' u (uv) '
u ' v v ' u u
'
v
v2
1.2. Các ví dụ minh hoạ
1
1
x cos 2x sin 2x C .
2
4
Ví dụ 3.1.2. Tìm họ nguyên hàm
w
w
.b
Do đó: I
ox
ta
1
' 1
1
'
1
x cos 2x (sin 2x) ' x cos 2x sin 2x
2
4
4
2
Lời giải.
I
2x
sin 3x.e
dx .
w
1
1
'
3
Ta có: sin 3x.e2x sin 3x e2x ' e2x sin 3x e2x cos 3x
2
2
2
'
1
1 2x ' 1 2x
9
3
2x
cos 3x e
e
. cos 3x ' e2x sin 3x
sin 3x.e
4
2
2
2
2
1
'
13 2x
3 2x
2x
Suy ra
e
sin 3x sin 3x.e
e
cos 3x
4
4
2
Do đó: I
4 1
3
2x
e2x cos 3x C .
sin 3x.e
13 2
4
Ví dụ 3.1.3. Tìm họ các nguyên hàm
I
x
2
ln xdx .
Lời giải.
Nguyễn Tất Thu
Page 1
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
'
3 '
1 3
x3
1 3
1 3
x
Ta có: x ln x ln x
(ln x) ' x ' x ln x x
3
3
3
9
9
2
1 3
1
x ln x x3 C .
3
9
Ví dụ 3.1.4. Tìm họ nguyên hàm
Do đó: I
1
I
x
x 1 1 e x dx .
x
Lời giải.
1
1
1
1
1
x
x
1 x x
1 x x
1 x x
x
x e
e
x 1 e
e x
Ta có: x 1 e
2
x
x
x
ne
1
x
C.
u.
Do đó: I xe
x
t
'
'
1
x 1
x 1
x
x e x x '.e x xe x
Ví dụ 3.1.5. Tìm họ nguyên hàm
ta
Lời giải.
1
1
dx .
2
ln
x
ln x
ilie
I
'
1
ln x 1 x ' ln x x.(ln x) ' x
Ta có:
ln x
ln2 x ln x
ln2 x
ln2 x
x
Do đó: I
C.
ln x
Ví dụ 3.1.6. Tìm họ các nguyên hàm
1 sin x x
I
e dx .
1 cos x
w
w
.b
ox
1
w
Lời giải.
2
sin x cos x
2 x
2
2 x
1 sin x x
1
1
x
Ta có:
e
e tan 1 e
1 cos x
2
2
2
2 x
cos
2
'
1
x 1
x x
x
2 x x
x
x
(1 tan )e 2e tan 2 tan e 2 e ' tan
2
2
2 2
2
2
'
x
ex tan
2
Do đó: I ex tan
x
C.
2
1.3. Bài tập.
Bài 3.1.1. Tìm họ các nguyên hàm sau
Nguyễn Tất Thu
Page 2
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
1) I
(2x 1) cos xdx
4) I
x ln(x 1)dx
7) I
1 x cot x
dx
sin x
2) I
5) I
8) I
2x
xe
dx
x
2
sin x
x2 x 1 x
e dx
(x 1)2
6) I
dx
9) I
3x
3) I
cos 2x.e
x ln
2 ln x 1
2
ln x
2
dx
xdx
xdx 10) I
Hướng dẫn giải
Bài 3.1.1.
1) Ta có: (2x 1) cos x (2x 1)(sin x) ' (2x 1) ' sin x 2 sin x
(2x 1) sin x ' 2(cos x) ' (2x 1) sin x 2 cos x '
Do đó: I (2x 1) sin x 2 cos x C .
1
1
1
1
1
1
1
2) Ta có: xe2x x e2x ' x '. e2x e2x xe2x ' e2x ' xe2x e2x '
2
4
2
2
2
4
2
3) Ta có: cos 2x.e
'
1
' 3x 1
3
sin 2x e sin 2x e3x sin 2x.e3x
2
2
2
ne
3x
t
1 2x 1 2x
xe e C .
2
4
u.
Do đó I
ilie
'
'
1
' 3x 1
3 1
9
3x
3x
3x
sin 2x.e cos 2x .e cos 2x. e
cos 2x.e
4
2
2
2 2
Vậy I
1
3
sin 2x.e3x cos 2x.e3x C .
2
4
ox
1
'
13
3
cos 2x.e3x sin 2x.e3x cos 2x.e3x
4
4
2
.b
Suy ra
ta
w
w
1 2 '
'
1
1 x2
4) Ta có: x ln(x 1) x . ln(x 1) x2 ln(x 1
2
2
2 x 1
w
1 2
' 1
1
x ln(x 1) x 1
2
x 1
2
Vậy I
1 2
1 1
x ln x 1 x2 x ln(x 1) C .
2
2 2
x
'
'
x. cot x x ' cot x cot x x cot x
sin x
sin2 x
Suy ra I x cot x ln sin x C .
5) Ta có:
1 2 ' 2
1
6) Ta có: x ln x x ln x x2 ln2 x ' x ln x
2
2
2
1 2 2 ' 1 2 '
'
1 2
1
x ln x x ln x x ln x x
2
2
2
2
Nguyễn Tất Thu
Page 3
www.boxtailieu.net
'
sin x
dx
3
3 4
(1 x )
.
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
'
1 2 2
1 2
1 2
x ln x x ln x x
2
4
2
Vậy I
1 2 2
1
1
x ln x x2 ln x x2 C .
2
2
4
x ' sin x x. sin x ' x '
1 x cot x sin x x cos x
2
2
sin x
sin x
sin x
sin x
x
Do đó I
C.
sin x
7) Ta có:
x2 x 1 x
xex
(x 1)(ex ) ' (x 1) ' ex
e ex
ex
(x 1)2
(x 1)2
(x 1)2
Vậy I
2 ln x 1
ln2 x
x
t
2x ln x x
ln2 x
(x 2 ) ' ln x x 2 (ln x) '
ln2 x
x2
C.
ln x
(1 x3 )4
x
3
1 x
3
C.
3
3
(1 x3 )2 . (1 x3 )2
3
'
3
x '. 1 x3 x. 1 x3
3
(1 x3 )2
3
x3
3
(1 x3 )2
(1 x3 )2
'
x
.
3 1 x3
w
Vậy I
1 x3 x3
.b
3
w
w
1
1 x3
ox
3
10) Ta có:
2 '
x
ln x
ta
9) Ta có:
ex
C.
x 1
ilie
Suy ra I ex
x '
'
ex
e x
e
x 1
x 1
ne
'
e
x
u.
8) Ta có:
Chuyên đề 2. Nguyên hàm I
P(x)
dx
Q(x)
2.1. Phương pháp giải
Sử dụng các phép biến đổi đưa về các nguyên hàm cơ bản sau
dx
1
du
ln ax b C
ln u C
ax b a
u
dx
1 1
1
C với n 2
n 1 a (ax b)n1
(ax b)n
Nguyễn Tất Thu
Page 4
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
dx
2
2
1
x
arctan C .
k
k
x k
2.2. Các ví dụ minh hoạ
Ví dụ 3.2.1. Tìm họ các nguyên hàm sau
I
2x2 x 1
dx .
x 1
Lời giải.
Ta có: 2x2 x 1 2(x 1)2 3(x 1) 2
2
dx x2 x 2 ln x 1 C .
Suy ra I 2x 2 3
x 1
Chú ý: Cho f (x) là đa thức bậc n . Khi đó:
f '(x0 )
Trong đó f (k) (x0 ) là đạo hàm bậc k của hàm số f tại x0
1!
(x x0 ) f (x0 )
t
n!
(x x0 )n ...
ne
f (x)
f (n) (x0 )
Ví dụ 3.2.2. Tìm họ các nguyên hàm
(x 1)4
u.
x2 3x 1
dx .
ilie
I
Lời giải.
w
w
w
.b
ox
ta
Ta có: x2 3x 1 (x 1)2 (x 1) 3
1
1
1
1
3
dx 1
C.
Suy ra I
2
2
3
4
x 1 2(x 1)
(x 1)3
(x 1)
(x 1)
(x 1)
Chú ý: Để giải bài trên, ta có thể thực hiện phép đổi biến số bằng cách đặt t x 1
Suy ra x t 1 dx dt
1
(t 1)2 3(t 1) 1
t2 t 3
1
3
I
dt
dt
dt
t 2 t 3 t 4
t4
t4
1
1
1
1
1
1
C
C.
t 2t 2 t 3
x 1 2(x 1)2 (x 1)3
Ví dụ 3.2.3. Tìm họ các nguyên hàm sau
I
x3 (x 1)3
(2x2 2x 1)3
dx .
Lời giải.
Ta có: x3 (x 1)3 2x3 3x2 3x 1 (2x 1)(x2 x 1)
Đặt t 2x2 2x 1 dt (4x 2)dx 2(2x 1)dx
1 t 1
1 1
1
1
1
dt dt
C
Suy ra I
3
2
3
4
4 t
4t 8t 2
t
t
1
1
C.
2
2
4(2x 2x 1) 8(2x 2x 1)2
Ví dụ 3.2.4. Tìm họ các nguyên hàm
Nguyễn Tất Thu
Page 5
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
I
3x2 x 1
x2 5x 6
dx .
Lời giải.
3 16x 17 dx
x2 5x 6
Ta phân tích 16x 17 a(x 2) b(x 3)
Cho x 2, x 3 ta tìm được a 31, b 15
31
15
dx 3x 31 ln x 3 15 ln x 2 C .
Suy ra I 3
x 3 x 2
Ta có: I
Ví dụ 3.2.5. Tìm họ các nguyên hàm sau
I
3x 4
x3 4x
dx .
ilie
u.
ne
t
Lời giải.
Ta phân tích: 3x 4 ax(x 2) bx(x 2) c(x 2)(x 2)
4 4c
5
1
Cho x 0, x 2, x 2 ta có được: 2 8b
a ,b ,c 1
4
4
10 8a
5 1
1 1
1
5
1
dx ln x 2 ln x 2 ln x C .
Suy ra I
4
4
4 x 2 4 x 2 x
ta
Ví dụ 3.2.6. Tìm họ nguyên hàm
dx
(x 1)2
1
2
4
x2 1
.
(1 x) (1 x) 2
1
1
2
1
2
2
2
2
4
(1
x)(1
x)
(1 x) (1 x)
(1 x)
(1 x)
w
w
1
2
.b
Lời giải.
Ta có:
ox
I
w
1
1
1
1
1
4 (1 x)2 1 x 1 x (1 x)2
1
1
1 x
1
Suy ra I
ln
C.
4 x 1
1 x
x 1
Ví dụ 3.2.7. Tìm họ các nguyên hàm sau
2x 3
I
dx .
x3 1
Lời giải.
Ta có: 2x 3 (ax b)(x 1) c(x 2 x 1)
1 3c
1
8
1
Cho x 1, x 0, x 1 3 b c
c ,b ,a
3
3
3
5 2a 2b c
Nguyễn Tất Thu
Page 6
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
1
dx
1
x8
1
1
2x 1
5
dx
dx ln x 1
3 x 1 3 x2 x 1
3
6 x2 x 1 3 x2 x 1
1
1
5
ln x 1 ln x2 x 1 J
3
6
3
dx
1 1
2x 1
2
2x 1
4. .
. arctan
C
. arctan
C.
Ta có: J 4
2
2
3
3
3
3
(2x 1) 3
Do đó: I
Ví dụ 3.2.8. Tìm họ các nguyên hàm sau
I
(x 1) cos x x sin x
dx .
cos x x sin x
Lời giải.
cos x x sin x '
(x 1) cos x x sin x
x cos x
1
1
cos x x sin x
cos x x sin x
cos x x sin x
Suy ra I x ln x sin x cos x C .
Lời giải.
Ta có:
1
4
x 4
1
2
2
(x 2) 4x
2
dx
4
x 4
.
ilie
I
u.
Ví dụ 3.2.9. Tìm họ nguyên hàm
ne
t
Ta có:
1
2
(x 2x 2)(x2 2x 2)
Suy ra I
1
x 1
1
x 1
1
1
1
1
.
2
2
2
8 x 2x 2 8 x 2x 2 8 (x 1) 1 8 (x 1)2 1
w
w
w
.b
ox
ta
Ta phân tích: 1 (ax b)(x2 2x 2) (cx d)(x2 2x 2)
a c 0
2a b 2c d 0
1
1
1
Đồng nhất hệ số ta có:
a ,b d ,c
a b c d 0
8
4
8
2b 2d 1
1
1
x2
1
x2
Suy ra
8 x2 2x 2 8 x2 2x 2
x4 4
1
x2 2x 2 1
ln
arctan(x 1) arctan(x 1) C .
2
8
x 2x 2 8
Ví dụ 3.2.10. Tìm họ nguyên hàm
I
dx
x6 1
.
Lời giải.
Ta có:
Mà:
1
x6 1
x2
x6 1
x2 1 x2
(x2 1)(x4 x2 1)
dx
Nguyễn Tất Thu
1
x4 x2 1
x2
x6 1
1
d(x3 )
1
arctan(x3 ) C .
3 x6 1 3
Page 7
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
1
4
2
x x 1
1
2
2
(x 1) 3x
2
1
2
(x 3x 1)(x2 3x 1)
Ta phân tích: 1 ax b x2 3x 1 cx d x2 3x 1
a c 0
a 3 b c 3 d 0
1
1
1
a
,b d ,c
Đồng nhất hệ số ta có:
.
a b 3 c d 3 0
2
2 3
2 3
b d 1
1
Suy ra
4
2
x x 1
1
x 3
2
2 3 x 3x 1
1
2x 3
4 3 x2 3x 1
1
x 3
2
2 3 x 3x 1
1
2x 3
4 3 x2 3x 1
1
1
1
4 x2 3x 1 x2 3x 1
Do đó:
2
x x 1
4 3
x2 3x 1
2
x 3x 1
1
arctan(2x 3) arctan(2x 3) C
2
t
ln
1
1
x2 3x 1 1
arctan(x3 )
ln
arctan(2x 3) arctan(2x 3) C .
2
3
4 3
x 3x 1 2
u.
Vậy I
1
ne
4
ilie
dx
Ví dụ 3.2.11. Tìm họ nguyên hàm
x6 1
x2
6
x 1
J
dx
1
3
2
x 1
x4 x2 1
Vậy I
x4 1
x6 1
x2
ta
x2 1
x6 1
x6 1
dx .
x2
x4 x2 1 x6 1
d(x3 )
1 1
1
1
x3 1
d(x3 ) ln
C'
6
(x3 1)(x3 1) 6 x3 1 x3 1
x3 1
w
w
x4 x2 1
1
w
Ta có:
.b
Lời giải.
x4 x2 1
ox
I
dx
1
x2
dx
2
x 1 3
x
1
d x
x
2
x 1 3
x
1
3
arctan
1
x3 1
1
x2 1
ln
arctan
C.
6
3
x 3
x3 1
Ví dụ 3.2.12. Tìm họ nguyên hàm
I
x2 1
(x2 3x 1)(3x2 5x 3)
Lời giải.
Nguyễn Tất Thu
Page 8
www.boxtailieu.net
dx .
x2 1
x 3
C"
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
1
Ta có: I
x2
x 1 3 3(x 1 ) 5
x
x
Suy ra I
dx
1
1
dx 1 dx
x
x2
Đặt t x
3
1
1
3t 5
3t 5 t 3 dt 4 ln t 3 C
dt
1
(t 3)(3t 5) 4
1
3x2 5x 3
ln
C.
4
x2 3x 1
2.3. Bài tập
Bài 3.2.1. Tìm họ các nguyên hàm sau
13) I
16) I
19) I
22) I
8) I
dx
x 3 2x
dx
x(1 x)(1 x x2 )
x3 x2 4x 1
x4 x3
x4dx
2
(x 1)
x2 x
11) J
dx
2
dx
14) I
2x4
x(x3 8)(x4 8x 2)
17) I
20) I
(x3 2)dx
x2 x 1
x3 3x 2
dx
x2dx
18) I
(x6 4)2
x3 1
6
3
x(x 3x 2)
23) I
www.boxtailieu.net
dx
dx
x4 x2 1
x3
x4 2x2 1
dx
(x 1)dx
x4 4x3 6x2 4x 2
x4 2x3 x2 2x 1
Page 9
(x 1)5
(1 5x)5
x2 1
Bài 3.2.1.
x
(x 1)3
21) I
dx
dx
dx
15) I
Hướng dẫn giải.
Nguyễn Tất Thu
ne
9) I
dx 12) I
4
2
x
2x
1
0
(x 2)2
6) I
dx
(2x3 3x2 1)3
1
2
x2 2x 3
u.
x2 5x 4
.b
10) I
x 2
x 1
w
w
x2 3x 2
x3 3x 2
3) I
ilie
5) I
dx
x3 1
dx
x 1
ta
3x 4
2) I
ox
4) I
7) I
2x2 3x 1
dx
x2
w
1) I
t
1
dx
6
x(x 1)2
dx 24) I
x2 1
x4 x2 1
dx .
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
3) Ta có: I
4) Ta có: I
1
x3 1 2
dx
x 1
(x
2
2
x ln| x 2| C
x 1
2
)dx
x 1
x3 x2
x 2 ln| x 1| C .
3
2
(x 2)2 2(x 2) 3
(x 2)2
2
dx
3
3
1 x 2 (x 2)2 dx x 2 ln| x 2| x 2 C .
3x 4
dx
(x 1)(x 2)
t
2) Ta có: I
2x 1 x 2 dx x
ne
1) Ta có: I
a b 3
a 10
a 2b 4
b 7
10(x 1) 7(x 2)
dx
(x 1)(x 2)
10
10 ln| x 2| 7 ln| x 1| C .
x2 5x 4
x5
18x 22
.b
x3 3x 2
x2 5x 4
w
w
5) Ta có:
7
x 2 x 1 dx
ta
ox
I
ilie
u.
Ta xác định a, b sao cho: 3x 4 a(x 1) b(x 2) (a b)x a 2b
I
w
50
4
(x 1) (x 4)
50 1
4 1
3
x5 3
x5
(x 1)(x 4)
3 x 4 3 x 1
x 5 50 1 4 1 dx
3 x 4 3 x 1
x2
50
4
5x
ln| x 4| ln| x 1| C .
2
3
3
6) Ta có: I
x 11
(x 1)5
7) Ta có: I
du
4
(x 1)
1
1
d(x 1)
4
5
(x 1)
(x 1)
d(x 1) (x 1)5 d(x 1)
1
3 x 1
x2
(x 1)2
Nguyễn Tất Thu
3
Page 10
www.boxtailieu.net
1
4(x 1)4
C.
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Đặt t x 1 x t 1 dx dt
I
(t 1)2
t2
dt
1 2 1 dt t 2 ln t 1 C
t t 2
t
1
C.
x 1
x 1 2ln x 1
8) Đặt t 2x3 3x2 1 dt 6(x2 x)dx
1 dt
1 1
1
1
C
6 t3
18 t 2
18 (2x3 3x2 1)2
9) Ta có: I
dx
(1 5x)
. Đặt t
2
x 1
6dx
dt
1 5x
(1 5x)2
x 2x
Khi đó: I
ne
u.
dx
3
xdx
1
Đặt t x2 2 dt 2xdx hay xdx dt
2
x2 2 x2
ilie
1
dt
1 t t 2
1
1
1 1
t2
2
dt
dt dt ln
C
4 t 2
t 4
t
t t 2 4
t t 2
1
x2
ln
C.
4
x2 2
ta
10) I
t
4
1
t4
1 x 1
3
t
dt
C
C.
6
24
24 1 5x
ox
I
x 1 3
1 5x
.b
I
2
4x
2
dx
dx 2
11) J
4
2
2
2
x 2x 1
x
1
x
1
1 3
1
3
1
dx
1
2
2
2 x 1
x
1
x 1
x 1
1
1
1
C.
1 3 ln x 1
3 ln x 1
2
x 1
x 1
w
w
w
2x4
12) Ta có: I
dx
2
2
(x 1) x
2
dx
2
(x x 1)(x2 x 1)
1 (ax b)(x2 x 1) (cx d)(x2 x 1)
(a c)x3 (a b c d)x 2 (a b c d)x b d
a c 0
a b c d 0
1
1
1
b d ,a ,c .
a b c d 0
2
2
2
b d 1
Nguyễn Tất Thu
Page 11
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Suy ra : I
1
4
2x 2
2x 2
dx
2
x x 1 x2 x 1
1
2x 1
1
2x 1
1
dx
2
2
2
4 x2 x 1
x
x
1
x 1 3
x 1 3
2
4
2
4
1
x2 x 1
2
2x 1
2
2x 1
ln
arctan
arctan
C.
4 x2 x 1
3
3
3
3
13) Ta có:
1
x2 x 1 (x2 x)
1
dx
I
dx
2
2
2
2
(x x)(x x 1)
x x x x 1
1
1
ln x2 1
C.
2
2
x 1
ox
I
ta
ilie
14) Ta có: x3 3x 2 (x 1)2 (x 2)
2
1
Và x2 x 1 (x 1)(x 2) (x 2) (x 1)2
3
3
2
1
1
Nên I ln x 1
ln x 2 C .
3
x 1 3
1
tdt
1
15) Đặt t x2 xdx dt . Suy ra I
2 t 2 2t 1
2
ne
t
x
2
2x 1
arctan
C.
x 1
3
3
u.
ln
w
w
.b
16) Ta có : x3 x2 4x 1 (x 1) 3x(x 1) 2x2 (x 1) x 3
1
3
Nên I
2 ln x ln x 1 C .
2
x
2x
1
17) Đặt t x3 x2dx dt
3
1
dt
1 2x3
1
x3 2
C .
ln
3 (t 2 4)2
48 x6 4 2
x3 2
w
Suy ra I
18) Ta có : x4 4x3 6x2 4x 2 (x2 2x 1)2 3
Đặt t x2 2x 1
I
1
dt
1
x2 2x 1 3
ln
C.
2 t2 3 4 3
x2 2x 1 3
u x3
du 3x2dx
19) Đặt
xdx
1
dv
v
2
2
2
(x 1)
2(x 1)
I
x3
2
2(x 1)
3
1
(1
)dx
2
2
x 1
Nguyễn Tất Thu
Page 12
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
x3
2(x2 1)
3
1
x 1
C .
x ln
2
2
x 1
1
t 1
1
t 1
dt
dt
20) Đặt t x3 I
2
3 t(t 3t 2)
3 t(t 1)(t 2)
3
1
t 1 t(t 1) (t 1)(t 2) 2t(t 2)
2
2
1
1
2
Suy ra I ln x3 2 ln x3 ln x3 1 C .
2
6
3
1
dt
1 1
1
1
21) Đặt t x6 I
dt
6 t(t 1)2
6 t t 1 (t 1)2
Suy ra I
1
x6
1
ln
C.
6
x6 1
x6 1
dt
t 2 2t 3
1
24) Ta có : I
Suy ra I
x2
x
1
1
2
x2
ne
dx
1
x2 x 1
ln
C.
4
x2 3x 1
1
dx
1
1
x2
dx .
2
1
x 3
x
1
1
dx
dt 1
x
x2
w
Đặt t x
ilie
1
1
(x )2 2(x ) 3
x
x
1
I
x
Đặt t x
x2
ta
w
w
23) Ta có : I
1
ox
1
u.
1
dt
1
x4 8x
ln
C.
4 t(t 2) 8
x4 8x 2
.b
Suy ra I
t
1
22) Đặt t x4 8x dt (x3 2)dx
4
dt
t2 3
1
3
arctan
t
3
C
1
3
arctan
x2 1
3x
C.
TỔNG KẾT
Bài toán: Tìm nguyên hàm I
P(x)
dx , trong đó P(x) , Q(x) là hai đa thức và deg(Q) deg(P) .
Q(x)
Trường hợp 1: Q(x) (ax b)m
a) Với dạng: I
b) Với dạng: I
Nguyễn Tất Thu
dx
(ax b)m
P(x)
(ax b)m
, ta có: I
1
(m 1)a(ax b)m1
C
dx ta phân tích
Page 13
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
P(x) a n (ax b)n ... a1 (ax b) a 0 .
Suy ra: I
n
ai
dx
m
i
i0 (ax b)
n
ai
i 0 a.(m i 1)(ax
2
b)mi1
C.
Trường hợp 2: Q(x) ax bx c .
dx
2
ax bx c
ta có các trường hợp sau
ne
Khả năng 1: Nếu b2 4ac 0 , khi đó ta luôn có sự phân tích :
b
ax2 bx c a(x )2 .
2a
dx
1
dx
1
1
I
C
b 2
b 2
b
a
a
a(x )
(x )
x
2a
2a
2a
Khả năng 2: Nếu 0 ax2 bx c a(x x1 )(x x2 ) .
x x2
1
k
ln
C
dx
x
x
x
x
x
x
2
1
2
1
1
b
Khả năng 3: 0 ax2 bx c a (x )2 m2
2a
4a
2
ta
1
x x
ox
Với m
k
x2 x1
. Để tìm I ta thực hiện phép đặt x
mx n
b
m tan t .
2a
w
w
dx ta biến đổi như sau
ax2 bx c
m
mb
. Khi đó
mx n
(2ax b) n
2a
2a
m
2ax b
mb
dx
I
dx (n
)
2a ax2 bx c
2a ax2 bx c
w
b) Với dạng I
.b
Suy ra: I
u.
k
(x x ) (x x )
1
2
x2 x1
ilie
Ta có: k
m
mb
dx
ln ax2 bx c (n
)
2
2a
2a
ax bx c
dx
Nguyên hàm
ta vừa nêu cách tìm ở trên.
ax2 bx c
P(x)
c) I
dx với P(x) là đa thức có bậc không nhỏ hơn 2
2
ax bx c
Với dạng này ta thực hiên phép chia đa thức
mx n
.
P(x) g(x)
ax2 bx c
Trường hợp 3: Q(x) (ax2 bx c)k
Nguyễn Tất Thu
t
a) Với dạng I
Page 14
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
a) Với dạng: I
dx
(ax2 bx c)k
Khả năng 1: 0 ax2 bx c a(x x1 )(x x2 )
1
(x x ) (x x ) k
1
2
(x2 x1 )k
Ta phân tích: 1
k
1
k
(1)i Cik (x x1 )ki (x x2 )i
(x2 x1 ) i1
Thay vào ta tìm được I .
Khả năng 2: 0 ax2 bx c a(x
Suy ra: I
1
a
k
b 2
)
2a
dx
1
1
C.
k
b
a (2k 1) (x b )2k 1
(x )2k
2a
2a
(ax2 bx c)k
m
mb
mx n
(2ax b) n
2a
2a
m
2a
c) Với dạng: I
d(ax2 bx c)
2
(ax bx c)
P(x)
k
ne
dx ta phân tích
(n
mb
dx
)
2
2a
(ax bx c)k
dx
w
w
Suy ra: I
ta đổi biến t tan u .
u.
(t 2 m2 )k
mx n
ilie
b) Với dạng: I
4a 2
dt
ta
Để tính nguyên hàm:
ox
b
,m
2a
.b
Trong đó t x
t
Khả năng 3: 0 ax2 bx c a(t 2 m2 )
(ax2 bx c)k
w
Ta biểu diễn: P(x) a n (ax2 bx c)n ... a1 (ax2 bx c) x với deg P 2n
Hoặc P(x) a n (tx l)(ax2 bx c)n ... a1 (ax2 bx c) x với deg P 2n 1
Trường hợp 4: Q(x) là đa thức có bậc không nhỏ hơn 2
a) Nếu Q(x) có m nghiệm phân biệt x1 , x2 , .., x m , ta có
Q(x) (x x1 )(x x 2 )...(x x m ) .
Ta phân tích: P(x)
m
a i (x x1 )...(x xi1 )(x xi1 )..(x xn )
i1
Thay lần lượt x bằng các giá trị x i vào đẳng thức trên ta tìm được
P(x i )
ai
, i 1, m .
m
(x x j )
j1
j i
Nguyễn Tất Thu
Page 15
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Khi đó: I
m a
m
i dx
a i . ln x xi C .
i1 x x i
i1
b) Trong trường hợp tổng quát ta phân tích Q(x) u k .v t .w h , trong đó u, v, w là các nhị thức bậc nhất hoặc
các tam thức bậc hai có biệt thức delta âm.
k a .(u ')
t b .(v ')
b2 j
a
P(x)
1j
1i
2i
Biểu diễn:
i
j
j
Q(x) i1 u i
u
v
u
j1
h c .(w ')
c
1l
2l .
l
w l
l1 w
Sử dụng phương pháp hệ số bất định để xác định các hệ số a1i , a 2i , b1j , b2 j , c1l , c2l .
ne
t
m n
Lưu ý: Hai đa thức a n xn ...a1 x a 0 bm x m ... b1 x b0 x
.
a b , i 1, n
i
i
Nguyên hàm cơ bản
1
sin(ax b)dx a cos(ax b) C
tan xdx ln cos x C
cos(ax b)dx a sin(ax b) C
1
cot(ax b) C
a
ta
sin (ax b)
ox
dx
2
1
ilie
u.
Chuyên đề 3. Nguyên hàm của hàm số lượng giác
dx
2
cos (ax b)
1
tan(ax b) C
a
cot xdx ln sin x C .
w
w
Ví dụ 3.3.1. Tìm họ các nguyên hàm
.b
Sử dụng phép đổi biến số để chuyển tích phân hàm lượng giác về tích phân hữu tỉ.
Lời giải.
(8 sin
4
x 2 cos 5x sin 3x)dx .
w
I
2
Ta có: 8 sin4 x 2 1 cos 2x 2 4 cos 2x 2 cos2 2x 3 4 cos 2x cos 4x
và
2 cos 5x sin 3x sin 8x sin 2x
Suy ra: I 3x 2 sin 2x
1
1
1
sin 4x cos 8x cos 2x C .
4
8
2
Ví dụ 3.3.2. Tìm họ các nguyên hàm
I
8 cos
3
Lời giải.
Nguyễn Tất Thu
2x sin5 x dx .
Page 16
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Ta có: 8 cos3 2x 2 cos 6x 3 cos 2x
sin
5
xdx
1 cos
cos x
Vậy I
2
x
2
d(cos x)
8 cos
3
2xdx
1 2 cos
2
1
sin 6x 3 sin 2x C '
3
x cos4 x d(cos x)
2
1
cos3 x cos5 x C " .
3
5
1
2
1
sin 6x 3 sin 2x cos x cos3 x cos5 x C .
3
3
5
Ví dụ 3.3.3. Tìm họ các nguyên hàm
I
tan
4
x 2 tan3 x dx .
tan
3
xdx
2
x(tan2 x 1)dx (tan2 x 1)dx dx
xd(tan x) d(tan x) dx
tan x(tan
2
1
tan 3 x tan x x C ' .
3
x 1)dx tan xdx
1
tan xd(tan x) tan xdx 2 tan
2
x ln cos x C " .
ox
Vậy I
tan
2
ne
tan
u.
xdx
ilie
4
ta
tan
1
1
tan3 x tan2 x tan x ln cos x x C .
3
2
I
sin 2x sin x
2 cos2 x 3 sin x
dx .
w
w
w
Ví dụ 3.3.4. Tìm họ các nguyên hàm
.b
Ta có:
t
Lời giải.
Lời giải.
Ta có: I
2 sin2 x cos x.dx
2 sin2 x 3 sin x 2
Đặt t sin x dt cos xdx
Suy ra : I
2t 2dt
3t 2
dt
1
(t 2)(2t 1)
2t 2 3t 2
1
8
1
8
dt t
1
ln 2t 1 ln t 2 C
5(2t 1) 5(t 2)
10
5
sin x
Nguyễn Tất Thu
1
8
ln 2 sin x 1 ln sin x 2 C .
10
5
Page 17
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Ví dụ 3.3.5. Tìm họ các nguyên hàm:
I
sin 4x
4 sin2 x 3 cos2 x
dx .
Lời giải.
2 sin 2x cos 2x
4 sin2 x 3 cos2 x
dx
Đặt t 4 sin2 x 3 cos2 x t 2 2(1 cos 2x)
Suy ra cos 2x
4
2
2
2
4 sin x 3 cos x
49
3
Ví dụ 3.3.6. Tìm họ nguyên hàm: I
cos3 x
1
4
dt
(1 t 2 )2
ox
1 sin2 x
.
. Đặt t sin x dt cos xdx
.b
2
C .
w
w
Suy ra I
cos xdx
dt
(1 t)2 (1 t)2
w
3
dx
Lời giải.
Ta có: I
4 sin2 x 3 cos2
1 t 1 t 2
1
dt
2
2
4
(1 t) (1 t)
1
2
1
dt
2
(1 t)(1 t) (1 t)2
(1 t)
1
1
1
1
dt
2
1 t 1 t (1 t)2
(1 t)
1
4
1
1
1
1 t
ln
C
4 t 1 t 1
1 t
1
1
1
1 sin x
ln
C.
4 sin x 1 sin x 1
1 sin x
Nguyễn Tất Thu
ne
1
4
(1 2t 2 ) tdt
4
4
2 3
2
7
7
(1
2t
)dt
t
t C
t
49
49
3
ilie
1
4
1 2t 2 2 sin 2xdx tdt
7
7
ta
Do đó: I
3
1
(1 cos 2x) 1 7 cos 2x
2
2
t
u.
Ta có: I
Page 18
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Ví dụ 3.3.7. Tìm họ nguyên hàm
I
sin xdx
3
sin x 2 cos x
.
Lời giải.
sin xdx
3
cos3 x tan x 2
Đặt t tan x 2 dt
Suy ra I
t2
t
3
dt
tan xdx
3
cos2 x tan x 2
dx
cos2 x
1
2
1
1
1
1
t2 t3 dt t t2 C tan x 2 (tan x 2)2 C .
t
Ta có: I
t2 1
t3
1
t 1
tan3 x
1
tan x 1
t ln
C
tan x ln
C.
3
2
t 1
3
2
tan x 1
Ví dụ 3.3.9. Tìm họ nguyên hàm
I
x sin x
cos3 x
dx .
Lời giải.
u x
du dx
Đặt
sin xdx d(cos x)
1
1
dv
v .
dx
3
3
2 cos2 x
cos x
cos x
Suy ra : I
.
1 1
1 1
dt
dt t 2 1
2 t 1 2 t 1
w
t4 1 1
1 tan2 x
w
w
1 t2
.b
t 4dt
ox
Đặt t tan x dt 1 tan2 x dx
Suy ra I
tan4 x 1 tan2 x dx
ilie
1 tan2 x
nên I
ta
Lời giải. Ta có cos 2x
1 tan2 x
tan4 xdx
.
cos 2x
u.
I
ne
Ví dụ 3.3.8. Tìm họ các nguyên hàm
1 x
1
dx
1
1
x 1 tan2 x tan x C .
2 cos2 x 2 cos2 x
2
2
Ví dụ 3.3.10. Tìm họ các nguyên hàm sau:
Nguyễn Tất Thu
Page 19
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
I
1 x cos x
sin2 x
dx .
Lời giải.
Ta có: I
Mặt khác:
dx
sin2 x
dx
sin x
Do vậy I cot x
xd(sin x)
sin2 x
d(cos x)
2
cos x 1
x
dx
sin x
sin x
cot x
1
1 cos x
x
ln
C ln tan C .
2
1 cos x
2
x
x
ln tan C .
sin x
2
cos x 8 sin x 9
dx .
cos x 2 sin x 3
ne
I
u.
Lời giải.
2d(cos x 2 sin x 3)
3 dx
cos x 2 sin x 3
ta
ilie
Ta có: cos x 8 sin x 9 2 2 cos x sin x 3 cos x 2 sin x 3
Nên I
ox
2 ln cos x 2 sin x 3 3x C .
5 sin x 10 cos x 4
dx .
2 cos x sin x 1
.b
Ví dụ 3.3.12. Tìm họ các nguyên hàm
Ta phân tích:
w
Lời giải.
w
w
I
5 sin x 10 cos x 4 a(2 cos x sin x 1) b(2sinx cos x) c
(a 2b) sin x (2a b) cos x a c
a 2b 5
2a b 10 a 3, b 4, c 1 .
a c 4
I
1
3 4 2 sin x cos x
dx
2 cos x sin x 1 2 cos x sin x 1
3x 4 ln 2 cos x sin x 1 J
Nguyễn Tất Thu
t
Ví dụ 3.3.11. Tìm họ nguyên hàm:
Page 20
www.boxtailieu.net
- Xem thêm -