Tài liệu Nguyên hàm các hàm số vô tỷ

  • Số trang: 6 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 91 |
  • Lượt tải: 0
vndoc

Đã đăng 7399 tài liệu

Mô tả:

NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ. Bài toán 1: Xác định nguyên hàm các hàm số vô tỉ dựa trên tam thức bậc hai. Một số công thức thường được dùng trong phần này: xdx 1/   x2  a  C x2  a dx 2/   ln | x  x 2  a | C 2 x a x 2 a x  a  ln | x  x 2  a | C 3/  x 2  adx  2 2 1 4/  dx  arcsin x  C 2 1 x 1 5/  dx  arccos x  C 1  x2 Mở rộng công thức 4 và 5: 1 x 6/   arcsin  C  a  0  a a2  x2 dx x 7/   arccos  C  a  0  . a a2  x2 Chú ý: a1x  b1 dx ta có thể làm như sau: Dạng  2 ax  bx  c B1: Biến đổi: a1x  b1    2ax  b    .  2a x  b   . 2a  a1 Đồng nhất hệ số ta có:  ( trong đó a1; b1; a; b đã biết.) b     b  1 B2: Giải hệ phương trình trên tìm  ;  B3:   2ax  b    a1x  b1 dx   dx Ta có: I   2 2 ax  bx  c ax  bx  c 2ax  b dx  dx    ax 2  bx  c ax 2  bx  c I1   Đặt I2   2ax  b ax 2  bx  c dx dx ax 2  bx  c B4: + Tính I1   2ax  b dx . ax 2  bx  c Đặt t  ax 2  bx  c  dt   2ax  b  dx . dt 2 t C Từ đó suy ra: I1   t + Tính I 2    2 ax 2  bx  c  C dx ax 2  bx  c 2 b    Biến đổi: ax  bx  c  a  x    . 2a  4a  Tuỳ thuôc vào dấu của a và  mà ta có tích phân I 2 thuộc dạng cơ bản 2;4;5;6;7 2 Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: x2  2 x  2 dx 2x  1 1/  2/  3/  dx dx x2  2 x x2  2 x  2 x2  x  1 x 2  3x  4 x2  1 dx 4/  5/  6/  dx dx 2 4 2 x  x 1 x x 1 x  x 1 2x  1 3x  2 7/  x 2  2 x  2dx 8/  9/  dx dx 2 2 x  x 1 x  3x  2 2 x  2x  1 dx dx dx 10/  11/  12/  x2  x  2 1  2 x  x2 3  4 x  x2  2 x  3 dx  x  1 dx dx 13/  14/  15/  2  2 x  x2 x2  2 x  3 1  4 x  x2 x 2  2 x  3 x 2  2 x  2  dx 2 x 2  3x  1 dx    16/  18/  dx 17/  4  x2 x2  4 1  x2 x 2  x  1 dx x 2  x  1 dx   19/  20/  1  x2 1  x2 Bài toán 2: Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến. Dạng 1: Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và n ax  b có dạng: cx  d  ax  b  I   R  x, n dx với ad  bc  0 . cx  d   Phương pháp giải: B1: Thực hiện phép đổi biến: ax  b b  dt n ax  b n n . t t  x n cx  d cx  d ct  a Từ đó suy ra: dx  ? dt . B2: Thay biến x bởi t. Đưa về tích tích phân bất định đối với hàm hữu tỉ. Mà tích phân này đã được học từ tiết trước. Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: xdx x3 dx dx 1/  2/  3/  3 3 x 1 x 2x  3 x  1   x  1 xdx  1 2  x dx 7/  x 1  x 1 dx 10/  x9  x 4/ 13/  x 1  xdx 16/  x 3  x 2 dx 5/  8/  11/  14/  dx x3x x dx 1 x xdx 1 x dx . 1 4 x dx  1 3 x xdx 9/  1 x 1 2 x 2 dx 12/  1 x dx 15/  x2  1 6/ Dạng 2: Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và   ax 2  bx  c có dạng: I   R x, ax 2  bx  c dx Phương pháp ( Sử dụng phương pháp Euler): Ta xét các trường hợp sau: 1/ Nếu a>0 đặt ax 2  bx  c  t  x a hoặc t  x a 2/ Nếu c>0 đặt ax 2  bx  c  tx  c hoặc tx  c 3/ Nếu tam thức ax 2  bx  c có biệt số   0 thì ax2  bx  c  a  x  x1  x  x2  . Khi đó đặt: ax 2  bx  c  t  x  x1  . Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau:  x 2 4  x 2 dx 4/  dx 7/  1 1/ 10/ 2/ x  x2  x  1 dx  x2  4 x  3 x  x 2  3x  2 x  x  3x  2 Dạng 3: 2  5/  8/  2x  x 2 dx 3/ dt 1  1  2 x  x2 dx x  2x2  2x  4   x  x  2 dx 6/  2  x  dx   x  1  x2  4 x  3 9/  dx x x2  x  1 dx Tính tích phân bất định: I   dx  a1x  b1  ax 2  bx  c . Phương pháp giải. 1 a1 x  b 1 1  1 dt  ax  b   pdx  2 ; x    b  . at t t  dx dt Khi đó: I    2  a1x  b1  ax 2  bx  c a 1 b 1   2 a1t  b1     b1   c 2  a1  t  a1  t  dt    a t  b t  c ; t  0  2 2  Sau khi rút gọn ta được: dt  ;t  0   a2t  bt  c B2: Tính các tích phân vừa tìm được. Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: dx dx 1/  2/  3/  2 2 x  1 x  2 x  2 x  1 x  2 x  2      x  1 dx dx 4/  5/ 6/    2 x  3  x 2  3 x 1  x  2 x2  4x  3  x  1 Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: t  7/   2 x  1 dx x2  2 x  2 Dạng 4: Tính tích phân bất định sau: I   8/  dx x x4  2x2  1 a1 x  b1  a2 x  b2  ax  bx  c 2 dx dx x2  4 x  5 dx x 2  3x  2 Phương pháp giải: B1: Biến đổi: a1x  b1    a2 x  b2     a2 x  b2   a   a1 Đồng nhất hệ số:  2 ( trong đó: a1; a2 ; b1; b2 là các hằng số ). b     b  2 1 Giải hệ phương trình trên tìm  ,    a1 x  b1    B2: I   dx 2  a1x  b1  ax  bx  c dx    dx 2 2 ax  bx  c  a1x  b1  ax  bx  c dx B3: Tính I1   I2   ax 2  bx  c dx  a1x  b1  ax 2  bx  c Dễ thấy I1; I 2 là hai dạng tích phân đã được nói đến ở phần trên. Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau:  2 x  3 dx  2 x  1 dx  x  2  dx 1/  2/  3/   x  1 x 2  2 x  2  x  1 x 2  3x  2  x  1 x 2  2 x  3 4/ 7/  2 x  3 dx   2 x  1 5/ x2  2  3x  4  dx   2  x  x2  1 8/  3x  5   x  1 x2  2x 6/ dx  2 x  1 dx   x  1 x2  4  x  2  1  x  BÀI TẬP PHẦN TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2 3  1. dx x x2  4 5 2  2. dx x x2 1 2 1 2  (2 x  3) 3.  3 2 4. x 1 dx x3  1 0 2 2 10.  0 1 x dx 1 x  x 2  2008dx 6. 1 8.  (1  x 2 ) 3 dx 0 x 1 1 11. x 2  2008  0 dx (1  x 2 ) 3 x2 1 3 9. 2 2 12. 4 x 2  12 x  5 dx  1 1 1 7.  x 2 1  x 2 dx 2 2 5. 1 2 dx  0 2 x2 1 dx dx (1  x 2 ) 3 x2  1 dx 13.  1  x 2 dx   2 2 0 7  0 1 1 x  x 0 ln 3  25. 0   x2 1 3 35.  0  2  cos 2 x 0 2 18.  2x  1  1 2 dx ex 1 12 x  4 x 2  8dx 1  3 ln x ln x dx x 30.  1 x 3  2 x 2  x dx x2 1 1 e 0 1 21.  0 1  3 cos x xdx 2x  1 0 28.  0 3 31.  0 ln 3 34. 1  ln 2 e 2 x dx ex 1 x5  x3 1 x2 dx ln 2 x x ln x  1 dx  ln 2  3 x e dx (e x  1) 3 0 37.  0 cos xdx 2  cos 2 x  2 38.  0 cos xdx 1  cos x 2 x2 7 39.  0 3 x3 dx 24.  x15 1  3x 8 dx 0 33.  x(e 2 x  3 x  1)dx cos 2 x  2 3tgx cos 2 x dx 36. cos 2 x sin 2 x  sin x ln 2 dx 1 x  27.  1 dx 1 0  2 cos xdx 7 23. 7  cos 2 x 0 0 x 3 dx cos xdx   20.  x 10  x dx 2 5 4 4 32. 1 x2 3 1 29. 15. 3 x 3 dx 3 2 x dx 0 16.  sin x cos x  cos 2 x dx 17. 22. 2  14. 0 19.  2 2 1 2a dx 40.  0 x 2  a 2 dx
- Xem thêm -