Mô tả:
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ.
Bài toán 1:
Xác định nguyên hàm các hàm số vô tỉ dựa trên tam thức bậc hai.
Một số công thức thường được dùng trong phần này:
xdx
1/
x2 a C
x2 a
dx
2/
ln | x x 2 a | C
2
x a
x 2
a
x a ln | x x 2 a | C
3/ x 2 adx
2
2
1
4/
dx arcsin x C
2
1 x
1
5/
dx arccos x C
1 x2
Mở rộng công thức 4 và 5:
1
x
6/
arcsin C a 0
a
a2 x2
dx
x
7/
arccos C a 0 .
a
a2 x2
Chú ý:
a1x b1
dx ta có thể làm như sau:
Dạng
2
ax bx c
B1:
Biến đổi: a1x b1 2ax b .
2a x b .
2a a1
Đồng nhất hệ số ta có:
( trong đó a1; b1; a; b đã biết.)
b
b
1
B2:
Giải hệ phương trình trên tìm ;
B3:
2ax b
a1x b1
dx
dx
Ta có: I
2
2
ax bx c
ax bx c
2ax b
dx
dx
ax 2 bx c
ax 2 bx c
I1
Đặt
I2
2ax b
ax 2 bx c
dx
dx
ax 2 bx c
B4:
+ Tính I1
2ax b
dx .
ax 2 bx c
Đặt t ax 2 bx c dt 2ax b dx .
dt
2 t C
Từ đó suy ra: I1
t
+ Tính I 2
2 ax 2 bx c C
dx
ax 2 bx c
2
b
Biến đổi: ax bx c a x
.
2a 4a
Tuỳ thuôc vào dấu của a và mà ta có tích phân I 2 thuộc dạng cơ bản 2;4;5;6;7
2
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
x2 2 x 2
dx
2x 1
1/
2/
3/
dx
dx
x2 2 x
x2 2 x 2
x2 x 1
x 2 3x 4
x2 1
dx
4/
5/
6/
dx
dx
2
4
2
x x 1
x x 1
x x 1
2x 1
3x 2
7/ x 2 2 x 2dx
8/
9/
dx
dx
2
2
x x 1
x 3x 2
2
x 2x 1
dx
dx
dx
10/
11/
12/
x2 x 2
1 2 x x2
3 4 x x2
2 x 3 dx
x 1 dx
dx
13/
14/
15/
2 2 x x2
x2 2 x 3
1 4 x x2
x 2 2 x 3
x 2 2 x 2 dx
2 x 2 3x 1 dx
16/
18/
dx 17/
4 x2
x2 4
1 x2
x 2 x 1 dx
x 2 x 1 dx
19/
20/
1 x2
1 x2
Bài toán 2:
Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.
Dạng 1:
Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và
n
ax b
có dạng:
cx d
ax b
I R x, n
dx với ad bc 0 .
cx
d
Phương pháp giải:
B1: Thực hiện phép đổi biến:
ax b
b dt n
ax b
n
n
.
t
t
x n
cx d
cx d
ct a
Từ đó suy ra: dx ? dt .
B2:
Thay biến x bởi t. Đưa về tích tích phân bất định đối với hàm hữu tỉ. Mà tích phân
này đã được học từ tiết trước.
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
xdx
x3
dx
dx
1/
2/
3/ 3
3
x 1
x 2x 3
x 1 x 1
xdx
1 2 x
dx
7/
x 1 x 1
dx
10/
x9 x
4/
13/
x 1 xdx
16/
x 3 x 2 dx
5/
8/
11/
14/
dx
x3x
x
dx
1 x
xdx
1 x
dx
.
1 4 x
dx
1 3 x
xdx
9/
1 x 1
2 x 2 dx
12/
1 x
dx
15/
x2 1
6/
Dạng 2:
Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và
ax 2 bx c có dạng:
I R x, ax 2 bx c dx
Phương pháp ( Sử dụng phương pháp Euler):
Ta xét các trường hợp sau:
1/ Nếu a>0 đặt
ax 2 bx c t x a hoặc t x a
2/ Nếu c>0 đặt ax 2 bx c tx c hoặc tx c
3/ Nếu tam thức ax 2 bx c có biệt số 0 thì ax2 bx c a x x1 x x2 . Khi đó
đặt: ax 2 bx c t x x1 .
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
x 2 4 x 2 dx
4/
dx
7/
1
1/
10/
2/
x x2 x 1
dx
x2 4 x 3
x x 2 3x 2
x x 3x 2
Dạng 3:
2
5/
8/
2x x 2 dx
3/
dt
1 1 2 x x2
dx
x 2x2 2x 4
x x 2 dx
6/
2 x dx
x 1 x2 4 x 3
9/
dx
x x2 x 1
dx
Tính tích phân bất định: I
dx
a1x b1 ax 2 bx c
.
Phương pháp giải.
1
a1 x b
1 1
1
dt
ax b pdx 2 ; x b .
at
t
t
dx
dt
Khi đó: I
2
a1x b1 ax 2 bx c
a 1
b 1
2
a1t
b1 b1 c
2
a1 t
a1 t
dt
a t b t c ; t 0
2
2
Sau khi rút gọn ta được:
dt
;t 0
a2t bt c
B2: Tính các tích phân vừa tìm được.
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
dx
dx
1/
2/
3/
2
2
x
1
x
2
x
2
x
1
x
2
x
2
x 1
dx
dx
4/
5/
6/
2 x 3 x 2 3 x 1
x 2 x2 4x 3
x 1
Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: t
7/
2 x 1
dx
x2 2 x 2
Dạng 4:
Tính tích phân bất định sau: I
8/
dx
x x4 2x2 1
a1 x b1
a2 x b2
ax bx c
2
dx
dx
x2 4 x 5
dx
x 2 3x 2
Phương pháp giải:
B1:
Biến đổi: a1x b1 a2 x b2
a2 x b2
a a1
Đồng nhất hệ số: 2
( trong đó: a1; a2 ; b1; b2 là các hằng số ).
b
b
2
1
Giải hệ phương trình trên tìm ,
a1 x b1
B2: I
dx
2
a1x b1 ax bx c
dx
dx
2
2
ax bx c
a1x b1 ax bx c
dx
B3: Tính I1
I2
ax 2 bx c
dx
a1x b1
ax 2 bx c
Dễ thấy I1; I 2 là hai dạng tích phân đã được nói đến ở phần trên.
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
2 x 3 dx
2 x 1 dx
x 2 dx
1/
2/
3/
x 1 x 2 2 x 2
x 1 x 2 3x 2
x 1 x 2 2 x 3
4/
7/
2 x 3 dx
2 x 1
5/
x2 2
3x 4 dx
2 x x2 1
8/
3x 5
x 1
x2 2x
6/
dx
2 x 1 dx
x 1 x2 4
x 2
1 x
BÀI TẬP PHẦN TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
2 3
1.
dx
x x2 4
5
2
2.
dx
x x2 1
2
1
2
(2 x 3)
3.
3
2
4.
x
1
dx
x3 1
0
2
2
10.
0
1 x
dx
1 x
x 2 2008dx
6.
1
8.
(1 x 2 ) 3 dx
0
x
1
1
11.
x 2 2008
0
dx
(1 x 2 ) 3
x2 1
3
9.
2
2
12.
4 x 2 12 x 5
dx
1
1
1
7. x 2 1 x 2 dx
2
2
5.
1
2
dx
0
2
x2 1
dx
dx
(1 x 2 ) 3
x2 1
dx
13.
1 x 2 dx
2
2
0
7
0
1
1 x
x
0
ln 3
25.
0
x2 1
3
35.
0
2 cos 2 x
0
2
18.
2x 1 1
2
dx
ex 1
12 x 4 x 2 8dx
1 3 ln x ln x
dx
x
30.
1
x 3 2 x 2 x dx
x2 1
1
e
0
1
21.
0
1 3 cos x
xdx
2x 1
0
28.
0
3
31.
0
ln 3
34.
1
ln 2
e 2 x dx
ex 1
x5 x3
1 x2
dx
ln 2 x
x ln x 1
dx
ln 2
3
x
e dx
(e x 1) 3
0
37.
0
cos xdx
2 cos 2 x
2
38.
0
cos xdx
1 cos x
2
x2
7
39.
0
3
x3
dx
24. x15 1 3x 8 dx
0
33. x(e 2 x 3 x 1)dx
cos 2 x
2 3tgx
cos 2 x
dx 36.
cos 2 x
sin 2 x sin x
ln 2
dx
1 x
27.
1
dx
1
0
2
cos xdx
7
23.
7 cos 2 x
0
0
x 3 dx
cos xdx
20. x 10 x dx
2
5
4
4
32.
1 x2
3
1
29.
15.
3
x 3 dx
3
2
x dx
0
16. sin x cos x cos 2 x dx 17.
22.
2
14.
0
19.
2
2
1
2a
dx
40.
0
x 2 a 2 dx
- Xem thêm -