Tài liệu Nghiên cứu thống kê fermi - dirac mở rộng

  • Số trang: 52 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 336 |
  • Lượt tải: 0
nguyetha

Đã đăng 8489 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN HỒNG NGA NGHIÊN CỨU THỐNG KÊ FERMI - DIRAC MỞ RỘNG Chuyên ngành: VẬT LÍ LÍ THUYẾT VÀ VẬT LÍ TOÁN Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS LƯU THỊ KIM THANH HÀ NỘI, 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban chủ nhiệm và thầy cô giáo khoa Vật lí trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Lưu Thị Kim Thanh đã tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn. Cuối cùng tôi xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Mặc dù đã rất cố gắng song bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn. Hà Nội, tháng 07 năm 2013 Tác giả Nguyễn Hồng Nga LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn không hề trùng lặp với đề tài khác. Hà Nội, tháng 07 năm 2013 Tác giả Nguyễn Hồng Nga MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan MỞ ĐẦU ............................................................................................5 Chương 1. XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ FERMI – DIRAC BẰNG PHƯƠNG PHÁP LÍ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ ............... 8 1.1. Một số đặc tính của các hệ lượng tử ......................................................... 8 1.1.1. Hệ lượng tử ....................................................................................... 8 1.1.2. Tính chất ........................................................................................... 8 1.2. Các phương pháp xây dựng phân bố thống kê Fermi-Dirac ...................... 9 1.2.1.Phương pháp các ô của Boltzmann .................................................... 9 1.2.2. Phương pháp Gibbs ......................................................................... 11 1.2.3. Phương pháp lí thuyết trường lượng tử........................................... 15 Chương 2. ÁP DỤNG PHÂN BỐ THÔNG KÊ FERMI – DIRAC KHẢO SÁT KHÍ ELECTRON TỰ DO TRONG KIM LOẠI ................. 18 2.1 Nhiệt dung của khí electron tự do trong kim loại ..................................... 18 2.1.1.Cách tính theo nguyên lí loại trừ Pauli ............................................ 18 2.1.2. Khảo sát khí lí tưởng Fermion ........................................................ 19 2.2 Tính chất từ của khí electron tự do trong kim loại................................... 24 2.2.1. Mật độ trạng thái ở năng lượng Fermi ............................................ 24 2.2.2. Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên cứu tính chất từ của khí electron tự do trong kim loại ..................................... 26 Chương 3. THỐNG KÊ FERMI – DIRAC MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG ............................................................................................................. 29 3.1 q-số Fermion ............................................................................................. 29 3.1.1. q-số Boson....................................................................................... 29 3.1.2. q-số Fermion ................................................................................... 30 3.1.3. Thứ tự chuẩn của các toán tử q-Fermion ........................................ 31 3.2. Dao động tử Fermion biến dạng q .......................................................... 34 3.3. Phân bố thống kê Fermi-Dirac biến dạng q ............................................. 37 3.4. Ứng dụng của phân bố thống kê Fermi-Dirac biến dạng q ...................... 38 3.4.1 Nhiệt dung của khí electron tự do trong kim loại ........................... 38 3.4.2 Tính chất từ của khí electron tự do trong kim loại ........................ 42 KẾT LUẬN .................................................................................................... 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 51 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lí thống kê lượng tử nghiên cứu tính chất của các hệ nhiều hạt, mô tả bằng phương pháp thống kê. Để tìm các định luật phân bố thống kê lượng tử, người ta đã dùng các phương pháp cơ bản sau: Phương pháp các ô Boltzmann, phương pháp Gibbs, phương pháp lí thuyết trường lượng tử. Về mặt lịch sử phương pháp các ô Boltzmann ra đời sớm nhất nhưng phương pháp Gibbs có nhiều ưu điểm và được coi là phương pháp cơ bản của vật lí thống kê. Ngày nay lí thuyết trường lượng tử là cơ sở để giải thích bản chất của các hạt vi mô về cấu trúc và các tính chất của nó. Lí thuyết trường lượng tử đã mở ra con đường để nhận biết các quá trình vật lí xảy ra trong thế giới hạt vi mô, lí thuyết trường lượng tử đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của vật lí. Đặc biệt trong việc nghiên cứu hệ nhiều hạt và xây dựng các định luật phân bố thống kê lượng tử. Các phương pháp này bổ sung cho nhau để làm rõ được bản chất vật lí của các quá trình vật lí trong hệ nhiều hạt. Hiện nay các phương pháp của vật lí thống kê được áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau của vật lí hiện đại như vật lí chất rắn, vật lí học các vật ngưng tụ cho đến lí thuyết các hạt cơ bản, người ta còn vận dụng các phương pháp của vật lí thống kê vào việc nghiên cứu vũ trụ học. Việc áp dụng thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên cứu tính chất của các hệ lượng tử đã giải quyết được rất nhiều vấn đề mà các thống kê cổ điển không thể giải thích đầy đủ được như nhiệt dung của khí electron trong kim loại, tính chất từ của electron,…. Các tính toán lí thuyết được xây dựng đối với mô hình lí tưởng, do đó vẫn có những sai khác giữa kết quả lí thuyết và thực nghiệm thu được. Khi đó người ta thường dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết. Nhóm lượng 6 tử mà cấu trúc nó là đại số biến dạng phù hợp với nhiều mô hình của vật lí, là một phương pháp gần đúng của lí thuyết trường lượng tử . Nhóm lượng tử và đại số biến dạng được khảo sát thuận lợi trong hình thức luận dao động tử điều hoà biến dạng. Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số biến dạng được kích thích thêm bởi sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống kê Bose -Einstein và thống kê Fermi-Dirac như thống kê para-Bose, para-Fermi, thống kê vô hạn, các thống kê biến dạng..., với tư cách là các thống kê mở rộng. Cho đến nay cách mở rộng đáng chú ý nhất là trong khuôn khổ của đại số biến dạng. Với mong muốn hiểu biết đầy đủ hơn về thế giới các hạt vi mô, và hệ các hạt đồng nhất Fermion, tôi đã chọn đề tài “ Nghiên cứu thống kê Fermi-Dirac mở rộng”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của đề tài là xây dựng thống kê Fermi-Dirac biến dạng bằng phương pháp lí thuyết trường lượng tử và áp dụng thống kê đó vào nghiên cứu khí electron tự do trong kim loại. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu -Trình bày một cách hệ thống các phương pháp xây dựng phân bố thống kê lượng tử. - Xây dựng thống kê Fermi-Dirac biến dạng bằng phương pháp lí thuyết trường lượng tử. - Áp dụng phân bố thống kê Fermi-Dirac biến dạng để nghiên cứu khí electron tự do trong kim loại. 4. Đối tượng nghiên cứu Hệ các hạt đồng nhất Fermion. 7 5. Phương pháp nghiên cứu -Phương pháp vật lí thống kê và các phương pháp giải tích khác. - Phương pháp lí thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử . 6. Tên đề tài, kết cấu của luận văn - Tên đề tài: Nghiên cứu thống kê Fermi-Dirac mở rộng. - Kết cấu của luận văn: Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn được chia làm ba chương: Chương 1: Xây dựng phân bố thống kê Fermi-Dirac bằng phương pháp lí thuyết trường lượng tử. Chương 2: Áp dụng phân bố thống kê Fermi-Dirac khảo sát khí electron tự do trong kim loại. Chương 3: Thống kê Fermi-Dirac mở rộng và ứng dụng. 8 NỘI DUNG CHƯƠNG 1 XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ FERMI – DIRAC BẰNG PHƯƠNG PHÁP LÍ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ 1.1. Một số đặc tính của các hệ lượng tử 1.1.1. Hệ lượng tử Hệ lượng tử là một hệ cấu thành bởi các hạt lượng tử. Hạt lượng tử là hạt tuân theo các định luật của cơ học lượng tử. Cơ học lượng tử mô tả các tính chất và các đặc tính riêng biệt của các hạt của thế giới vi mô mà thông thường chúng ta không giải thích được nếu dựa vào quan điểm cổ điển [1], [2]. 1.1.2. Tính chất - Lưỡng tính sóng hạt: Do có đặc tính sóng và hạt nên một hạt vi mô bất kỳ không có toạ độ xác định tuyệt đối chính xác, nó bị “nhoè đi” trong không gian. Khi có hai hoặc nhiều hơn hai hạt đồng nhất tồn tại trong miền không gian nhất định thì ta không thể phân biệt chúng đối với nhau, vì ta không theo dõi chuyển động được của mỗi hạt. Đó chính là tính đồng nhất như nhau của các hạt trong cơ học lượng tử. - Các đại lượng đặc trưng cho hạt vi mô có tính gián đoạn: Để diễn tả một cách toán học các đặc tính đó của đại lượng vật lí, ta gán cho mỗi đại lượng vật lí một toán tử tương ứng nhất định. Trong cơ học lượng tử, các đại lượng vật lí được biểu diễn bằng các toán tử và các trị số của chúng được xác định như là các trị riêng của các toán tử. Ngoài các tính chất và thông số mà ta đã dùng để diễn tả các hạt vi mô một cách cổ điển như khối lượng, điện tích... ta phải đưa vào các thông số và các tính chất mới, thuần tuý 9 “lượng tử”. Đó là “spin” của hạt, “tương tác trao đổi”, “nguyên lí Pauli”, “nguyên lí các hạt đồng nhất”, “tính chất suy biến của các mức năng lượng”, “hệ thức bất định Heisenberg...”. 1.2. Các phương pháp xây dựng phân bố thống kê Fermi-Dirac 1.2.1. Phương pháp các “ô” Boltzmann Nội dung của phương pháp các “ô” Boltzmann là: chia không gian pha ra làm các “ô” tương ứng với các giá trị khác nhau của năng lượng và xét sự phân bố khác nhau của các hạt của hệ theo các ô đó, từ đó tìm ra được số các trạng thái vi mô khả hữu của hệ tương thích với điều kiện nhất định, tức là tìm được xác suất nhiệt động của hệ, sau đó dựa vào nguyên lí Boltzmann tìm được entrôpi của hệ và dựa vào điều kiện cực đại của entropi khi có cân bằng nhiệt động, ta tìm được phân bố thống kê của hệ [1], [3]. Theo nguyên lí Boltzmann thì entrôpi của trạng thái vĩ mô của hệ tỉ lệ với logarit nêpe của xác suất W nhiệt động(logarit nêpe của số các trạng thái vi mô khả hữu của hệ). S  k ln W , với k là hằng số Boltzmann. Entrôpi định nghĩa như vậy không những chứng tỏ entrôpi có bản chất đặc biệt thống kê, không thể có một dụng cụ đo trực tiếp entrôpi, mà còn phù hợp với định lí Nerst (nguyên lí thứ ba của nhiệt động lực học) cho rằng: đường đẳng nhiệt T  0 trùng với đường đoạn nhiệt S  0 . Thật vậy, khi nhiệt độ hạ thấp dần xuống, hệ sẽ chiếm các mức năng lượng ngày càng thấp. Khi T  0 hệ chỉ nằm trong trạng thái lượng tử có năng lượng thấp nhất do đó W  1 và S  kln W  kln1  0 . Theo quan niệm lượng tử, một trạng thái vi mô của hệ trong không gian pha tương ứng với không phải là một điểm pha mà là một thể tích cực tiểu nào đó của không gian pha. Đối với một hệ gồm N hạt thể tích cực tiểu như 10 vậy của không gian pha là bằng min  h 3N . Do đó đối với một hệ lượng tử gồm N hạt, một thể tích bất kỳ  của không gian pha sẽ chứa  trạng thái h 3N lượng tử. Mặt khác, ta biết rằng trong vật lí thống kê lượng tử do tính đồng nhất như nhau của các hạt đồng nhất, các phép hoán vị bất kỳ của chúng không đưa đến trạng thái vi mô nào mới. Vì vậy số các trạng thái lượng tử sẽ giảm đi N! lần và trong thể tích  của không gian pha sẽ chỉ có chứa  trạng thái. Hơn nữa h N! 3N các trạng thái lượng tử có thể khác biệt nhau ở sự định hướng của spin của các hạt (có 2s  1 định hướng khác nhau) thế mà spin lại không tham gia gì vào trong không gian pha, cho nên số các trạng thái lượng tử sẽ tăng lên  2s  1 lần. Như vậy một thể tích  của không gian pha sẽ chứa tất cả là  2s  1  h 3N N! trạng thái lượng tử. Hệ các hạt Fermion có spin bán nguyên cần phải kể thêm nguyên lí Pauli: “Trong hệ nhiều Fermion đồng nhất không thể có hơn một hạt ở cùng một trạng thái”. Để xây dựng thống kê Fermi-Dirac cho hệ các hạt Fermion đồng nhất, ta dùng phương pháp các ô với quan niệm các ô như là các trạng thái lượng tử của hạt. Ta hãy xét hệ các hạt Fermion mà trạng thái của nó được diễn tả bằng hàm sóng phản đổi xứng và tuân theo nguyên lí Pauli. Trong phương pháp các ô bài toán qui về việc tìm số các phương pháp mà theo đó ta có thể phân phối n i hạt không phân biệt trong z i ô  zi  n i  bằng cách đặt vào mỗi ô một hạt hoặc bỏ trống ô đó. Số các phương pháp đó là Wi  zi ! . n i !(zi  n i )! (1.2) 11 Xác suất nhiệt động (hay tổng cộng các trạng thái khả hữu) của hệ sẽ bằng W   Wi   i i zi ! , n i  zi n i ! từ đó, khi có cân bằng nhiệt động, số hạt n i được phân bố theo z i ô với năng lượng  i là ni  zi . exp  i   1 (1.3) Và, một cách tương ứng hàm phân bố theo năng lượng hay số hạt trung bình ở trong trạng thái vật lí có năng lượng  i bằng f  i   1 exp  i  1 , trong đó hằng số  được tìm từ điều kiện chuẩn hoá, còn   1 . Kết quả kT chúng ta thu được hàm phân bố thống kê Fermi-Dirac có dạng f   1     . exp   1  kT  (1.4) 1.2.2. Phương pháp Gibbs Cơ sở của phương pháp Gibbs là thay việc khảo sát sự biến đổi vi mô của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương tự với hệ đã cho, gọi là tập hợp thống kê. Tập hợp thống kê là một hợp các hệ tương tự với nhau có số lượng và loại hạt như nhau, ở trong các điều kiện vĩ mô giống nhau và ở trạng thái vi mô khả hữu khác nhau. Đồng thời phải bảo đảm rằng mỗi một hệ trong tập hợp thống kê sớm hay muộn sẽ đi qua mọi giai đoạn biến đổi dành cho các hệ tương tự khác. Như vậy, tập hợp thống kê 12 cũng có thể coi như là tập hợp các trạng thái vi mô khả dĩ tương ứng với cùng một trạng thái vĩ mô đang xét của hệ [1], [3]. Phương pháp Gibbs, thừa nhận giả thuyết chuẩn Ecgodic như sau: Trị trung bình theo thời gian của một đại lượng bằng trị trung bình theo tập hợp thống kê của đại lượng đó. Như vậy, theo phương pháp này, một vấn đề đặt ra là làm sao tìm được trị trung bình theo tập hợp thống kê, muốn vậy ta phải tìm được mật độ xác suất pha hay hàm phân bố thống kê của hệ. Áp dụng phương pháp Gibbs đối với các hệ lượng tử, chú ý đến các đặc tính của hạt vi mô và của hệ lượng tử, phân bố chính tắc lượng tử đối với hệ đẳng nhiệt cho chúng ta xác suất để hệ nằm ở trạng thái có năng lượng E k là    Ek  Wk  exp  ,    (1.5) trong đó  và  có ý nghĩa của năng lượng tự do và nhiệt độ thống kê. Khi có sự suy biến, nghĩa là cùng một mức năng lượng ứng với nhiều hàm sóng khác nhau hay là nhiều trạng vật lí khác nhau thì    Ek  Wk  g  E k  exp  ,    (1.6) trong đó g  E k  là bậc suy biến. Xét hệ số có hạt thay đổi, các hạt trong hệ không tương tác, ta có  E k   n i i , i 0 trong đó: n i là số chứa đầy (số hạt có cùng năng lượng  i ), i là các mức năng lượng của hạt có trị số từ 0 đến  ,  i là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ. Do số hạt trong hệ thay đổi nên tương tự như trong vật lí thống kê cổ điển ta phải dùng phân bố chính tắc lớn lượng tử 13       N  n i , i    1   i 0 W  n 0 ,n1...  exp  gk , N!       trong đó N   n i ,  là thế nhiệt động lớn,  là thế hoá học. i 0 G  n 0 ,n1...  Ký hiệu: gk , N! khi đó        n i    i   i 0 W  n 0 ,n1...  exp   G  n 0 ,n1... .      (1.7) Từ công thức này ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng là n k  ...n k W  n 0 ,n1... , n0 (1.8) n1 từ đó ta có thể viết điều kiện chuẩn hoá như sau   ...W  n ,n ...  exp    Z  1, 0 no với 1 n1    n       i i i   Z   ...exp  i0  G  n 0 ,n1  ,  n 0 n1      1 exp        ln Z ,  Z   1 Z .   .  k Z  k (1.9) 14 Ta có       n i  i  i   n i  i  i        Z    i 0  i 0    G  n 0 ,n1...        ...exp       k  n0 n1 k              n i  i  i   nk   ...exp  i0  G  n 0 ,n1...  .   n 0 n1     Mặt khác       n i  i  i       i 0   ....n k exp   G  n 0 ,n1... .  k  n o n1        n k ,  k với k   . (1.10) Xét đối với hệ hạt Fermion: n i  1 n i  0,1 , G  n 0 ,n1...  1, các hạt này tuân theo nguyên lí Pauli. Từ biểu thức (1.10) ta có    1 1   n i  i  i   Z    ...exp  i0   n o 0 n1 0      i  i      i  i   . exp   ,  n   .1  exp     i 0 n 0     i0   i khi đó          ln   1  exp  i i  ,    i 0   15 nk      k 1 .  k    exp   1    Vậy ta có phân bố thống kê lượng tử Fermi- Dirac f   1 ,     exp   1 kT   (1.11) trong đó thế hoá học  được xác định từ điều kiện  n i 0 i  N. 1.2.3. Phương pháp lí thuyết trường lượng tử Đối với các dao động tử Fermion tuân theo nguyên lí Pauli, toán tử sinh dao động tử b̂  , toán huỷ dao động tử b̂ thoã mãn hệ thức phản giao hoán [2], [3]. ˆ ˆ   bˆ  bˆ  1 ; bb b̂2  0 . (1.12) N̂  bˆ  bˆ ; ˆ ˆ . ˆ  bb 1 N (1.13)  N̂,bˆ   bˆ   ;  N̂,bˆ    bˆ  .   (1.14) Đại số (1.13) được thực hiện trong không gian Fock với các vectơ cơ sở là các vectơ trạng thái riêng đã chuẩn hoá của toán tử số dao động tử N n    1 ˆ b n! n 0 , với n = 0,1. Ta tính phân bố thống kê của hệ các dao động tử Fermion đơn mode bằng cách xuất phát từ biểu thức tính trị trung bình của một đại lượng vật lí F , tương ứng với toán tử F̂ trên tập hợp chính tắc lớn 16 F̂       , ˆ  N ˆ  Tr  exp   H ˆ  N ˆ Fˆ Tr exp  H (1.15) trong đó  : thế hoá học, Ĥ : toán tử Hamiltonian của hệ;  1 , với k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ của hệ. kT  ˆ  N ˆ . Thì Ĥ n  n , hay H 2 Chọn gốc tính năng lượng là E 0  (với  là năng lượng của một lượng tử năng lượng), Z là tổng trạng thái đặc trưng cho tính chất nhiệt động của hệ  Z  Tr e  ˆ N ˆ  H  . (1.16) ˆ  bˆ  bˆ , vào công thức (1.15), (1.16) chúng ta thu được số Thay Fˆ  N hạt trung bình có cùng mức năng lượng  là ˆ  bˆ  bˆ  n   N 1 .     exp   1  kT  (1.17) Khi kể đến sự suy biến của các mức năng lượng  ta phải nhân thêm vào biểu thức (1.17 ) bậc suy biến g    n   g  .     exp   1  kT  (1.18) Đây chính là hàm phân bố Fermi-Dirac. Ý nghĩa của phân bố này là nó biểu diễn xác suất để một hạt bất kỳ của hệ hạt không tương tác nằm trên mức năng lượng  tại nhiệt độ T và cho biết trung bình của số lấp đầy. 17 Kết luận chương 1 Trong chương này chúng tôi đã trình bày một cách có hệ thống ba phương pháp xây dựng phân bố thống kê Fermi-Dirac. Về phương diện lịch sử phương pháp các ô của Boltzmann ra đời sớm nhất, tuy nhiên phương pháp Gibbs có nhiều ưu điểm hơn và được coi là phương pháp cơ bản của vật lí thống kê hiện đại. Bên cạnh đó, chúng tôi đã trình bày phương pháp thứ ba đó là phương pháp lí thuyết trường lượng tử để xây dựng các phân bố thống kê. Đây là cơ sở để chúng tôi nghiên cứu thống kê lượng tử Fermi-Dirac biến dạng q. 18 CHƯƠNG 2 ÁP DỤNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ FERMI – DIRAC KHẢO SÁT KHÍ ELECTRON TỰ DO TRONG KIM LOẠI 2.1. Nhiệt dung của khí electron tự do trong kim loại 2.1.1. Cách tính theo nguyên lí loại trừ Pauli Phát biểu nguyên lí loại trừ Pauli : Đối với các hạt có spin bán nguyên (gọi là các hạt Fermion) như electron, proton, neutron, positron... thì chỉ có 0 hoặc 1 hạt cùng nằm trên một mức năng lượng (nói cách khác là tất cả các Fermion đều phải có năng lượng khác nhau) [2], [3], [5]. Theo nguyên lí Pauli, tại 00 K các electron cũng không phải cùng nằm trên mức năng lượng thấp nhất, mà chúng lấp đầy một loạt các mức năng lượng liền nhau từ mức thấp nhất đến một mức cao nhất nào đó gọi là mức Fermi (  F ) .Khi tăng nhiệt độ, không phải tất cả các electron đều có thể thay đổi năng lượng của mình bằng cách nhảy lên các mức năng lượng cao hơn, vì các mức này nói chung đều đã bị lấp đầy, chỉ có các electron nằm ở các mức năng lượng gần   F  mới có khả năng này. Chỉ có các electron nằm trên các mức năng lượngkích thích mới có khả năng thay đổi năng lượng của mình. Khi đó, số electron này được tính bằng kTg  F  . Mỗi một electron như vậy khi chuyển mức sẽ thu nhận thêm năng lượng cỡ kT . Do đó ta có   kT.kTg  F    kT  g  F . 2 Từ đây ta tính được kết quả : CelV  2k 2 T.g(F )  3Nk Vậy nhiệt dung của khí electron tự do : Celv kT . F T. (2.1) 19 Kết quả này đã biểu diễn sự phụ thuộc của CelV vào nhiệt độ một cách đơn giản, phù hợp với thực nghiệm hơn một cách định tính. Ta biết rằng theo lí thuyết cổ điển CelV  const không phụ thuộc vào nhiệt độ, điều này mâu thuẫn với kết quả thực nghiệm. Ví dụ công thức cổ điển viết cho kim loại kiềm là : 3  3   NkT  CelV   Nk . 2 T 2 2.1.2. Khảo sát khí lí tưởng Fermi Trong kim loại, các electron tự do có thể di chuyển dễ dàng trong khoảng không giữa các nút mạng. Do đó, tập hợp các electron tự do này được coi là một chất khí. Các ion dương ở nút mạng sắp xếp tuần hoàn trong không gian gây ra hiệu ứng chắn, nên tương tác giữa các electron yếu đi nhiều, song các electron tự do này vẫn có thể di chuyển dễ dàng trong khắp vật thể. Nếu bỏ qua tương tác, tập hợp các electron tự do trong kim loại được coi là khí lí tưởng Fermi. Electron có khối lượng rất nhỏ ( me ~ 1031 kg) , spin của electron s  (tính theo đơn vị hằng số Planck 1 2 ). Mật độ electron tự do trong kim loại rất lớn (thông thường cỡ 1022 – 1024/cm3). Khí electron tự do trong kim loại tuân theo phân bố Fermi-Dirac. Do đó số electron trung bình trong một trạng thái lượng tử bằng 1 n   f      e kT . 1 Thế hóa học  phụ thuộc vào nhiệt độ T . Khi T  0 thì   0  F . Vì các electron lần lượt chiếm các mức năng lượng từ 0 đến  0 nên  0 phải phụ thuộc vào số electron.
- Xem thêm -