Tài liệu Nghiên cứu thị trường tiền tệ bằng các phương pháp toán tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC NGUYỄN TIẾN KHANH NGHIÊN CỨU THỊ TRƯỜNG TIỀN TỆ BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Mã số : 60 46 01 06 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. TRẦN HÙNG THAO HÀ NỘI - 2014 Mục lục Lời mở đầu 1 Lời cám ơn 2 1 Một số khái niệm mở đầu 3 1.1 Thị trường tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Hợp đồng Quyền chọn (Option) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Các loại Quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Kiểu Quyền chọn: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Hợp đồng Quyền chọn mua (Call Option) . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Mua Quyền chọn mua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 Bán Quyền chọn mua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Hợp đồng Quyền chọn bán (Put Option) . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.1 Mua Quyền chọn bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2 Bán Quyền chọn bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Hợp đồng ký kết trước và hợp đồng giao sau, lãi suất định trước . . . 7 1.5.1 Hợp đồng ký kết trước (Forward Contract) . . . . . . . . . . . 7 1.5.2 Hợp đồng giao sau (Futures Contract) . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.3 Lãi suất định trước (Forward Rate) . . . . . . . . . . . . . . . 9 Mô hình Black - Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6.1 Giới thiệu vài nét về mô hình và kết quả của nó . . . . . . . . 9 1.6.2 Mô hình Black - Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Công thức Black - Scholes về giá của hợp đồng Quyền chọn mua . . . 12 1.8 Quyền chọn cặp đôi (Parity Option) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8.1 Quyền chọn mua - bán cổ phần cặp đôi . . . . . . . . . . . . . 13 1.8.2 Các Quyền chọn Mua - Bán tiền tệ cặp đôi (Put Call Parity for Currency Option) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.9 Bảo hộ giá (Hedging) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 MỤC LỤC ii 1.9.1 Bảo hộ giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.9.2 Bảo hộ giá bằng hợp đồng Quyền chọn . . . . . . . . . . . . . 16 1.9.3 Bảo hộ giá bằng các "Bảo đảm lãi suất bị chặn" . . . . . . . . 17 1.9.4 Bảo hộ giá bằng biện pháp "Mua bán cổ phần cặp đôi" . . . . 17 1.9.5 Bảo hộ tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Hợp đồng ký kết trước về tiền tệ và các quyền chọn ngoại tệ 2.1 2.2 2.3 19 Thị trường, cơ chế, lãi suất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 Thị trường tiền tệ (Current Market) . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2 Các cơ chế buôn bán ngoại tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.3 Lãi suất định trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Hợp đồng ký kết trước về tiền tệ (Currency forwards) . . . . . . . . . 22 2.2.1 Hợp đồng ký kết trước (forward contract) . . . . . . . . . . . 22 2.2.2 Tính giá định trước trong trao đổi ngoại tệ . . . . . . . . . . . 24 2.2.3 Giải quyết vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Các quyền chọn ngoại tệ, công thức Garman - Kohlhagen . . . . . . . 25 2.3.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2 Các ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.3 Các giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.4 Thiết lập phương trình giá Quyền chọn . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.5 Các điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.6 Công thức Garman - Kohlhagen . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Quyền chọn mua bán tiền tệ cặp đôi. Tỷ giá hối đoái và mô hình lãi suất ngoại tệ 3.1 29 Quyền chọn mua bán tiền tệ cặp đôi ( Put - Call parity for currency option ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.1 Tại sao phải có sự phối hợp giữa hợp đồng Quyền chọn bán và hợp đồng Quyền chọn mua? . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 3.1.2 Đặt tình huống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.3 Kế hoạch mua bán Quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.4 Công thức cặp đôi Mua - Bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Tỷ giá hối đoái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.2 Tỷ giá hối đoái đảm bảo (GER: Guaranteed Exchange Rates). 3.2.3 Định giá hợp đồng ký kết trước về Tỷ giá hối đoái đảm bảo 33 viết trên một cổ phiếu (GER Forward on a stock) . . . . . . . 33 MỤC LỤC 3.3 iii Mô hình lãi suất ngoại tệ (Foreign Currency Interest - Rate Models) . 38 4 Các hợp đồng chuyển đổi giá (Quanto) trong thị trường tiền tệ 42 4.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2 Mô hình hợp đồng chuyển đổi giá Quanto . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3 Sản phẩm tài chính buôn bán được (Tradables) . . . . . . . . . . . . 43 4.4 Hợp đồng ký kết trước Quanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.5 Hợp đồng nhị phân (số hóa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.6 Quyền chọn mua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.7 Bảo hộ giá trái phiếu tiền tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 LỜI MỞ ĐẦU Toán tài chính (Mathematical finance) là một ngành toán học ứng dụng nghiên cứu thị trường tài chính. Toán tài chính ra đời hơn một thế kỷ, đánh dấu bởi công trình của Louis Bachelier về Lý thuyết đầu cơ tài chính. Mục đích của Toán tài chính là dùng các công cụ toán học để nghiên cứu về thị trường tài chính, nhằm giúp đưa ra các cách định giá các sản phẩm tài chính. Các thị trường tài chính quan trọng nhất là các thị trường cổ phiếu, các thị trường trái phiếu, thị trường hợp đồng giao sau, thị trường hợp đồng Quyền chọn và các thị trường tiền tệ. Trong đó, thị trường tiền tệ là thị trường lớn nhất trong các thị trường tài chính. Giá trị buôn bán trao đổi trên thị trường tiền tệ trên toàn thế giới hiện nay khoảng 530 nghìn tỷ USD mỗi ngày. Vì lý do quan trọng của thị trường tiền tệ nên đã có nhiều phương pháp toán tài chính định giá các hợp đồng về tiền tệ, về tỷ giá hối đoái, về các hợp đồng Quyền chọn tính theo nhiều chỉ tệ. Trong nội dung của luận văn này em xin trình bày một số phương pháp toán học để nghiên cứu thị trường tiền tệ. Nội dung chính của luận văn gồm:  Chương I. Một số khái niệm mở đầu: nêu một số khái niệm về Quyền chọn; hợp đồng ký kết trước và hợp đồng giao sau; mô hình Black - Scholes và công thức Black - Scholes; Quyền chọn cặp đôi.  Chương II. Hợp đồng ký kết trước về tiền tệ và các quyền chọn ngoại tệ: vấn đề định giá trước trong trao đổi ngoại tệ; thiết lập phương trình giá Quyền chọn và công thức Garman - Kohlhagen.  Chương III. Quyền chọn mua bán tiền tệ cặp đôi, tỷ giá hối đoái và mô hình lãi suất ngoại tệ: Quyền chọn mua bán tiền tệ cặp đôi; mô hình lãi suất ngoại tệ.  Chương IV. Các hợp đồng chuyển đổi giá (Quanto) trong thị trường tiền tệ: giới thiệu mô hình chuyển đổi giá Quanto; bảo hộ giá trái phiếu tiền tệ. LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin được bày tỏ sự kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS. TS Trần Hùng Thao. Thầy đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ, tạo điều kiện về nhiều mặt cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã tham gia giảng dạy và cung cấp những kiến thức khoa học quý báu để tôi có nền tảng kiến thức thực hiện luận văn này. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp luôn động viên, tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập. Hà Nội, tháng 6 năm 2014 Học Viên Nguyễn Tiến Khanh Chương 1 Một số khái niệm mở đầu Để có thể định giá các tài sản tài chính dựa trên tiền tệ, trước tiên ta phải nghiên cứu về các hợp đồng tài chính nói chung như: hợp đồng Quyền chọn (Option); hợp đồng ký kết trước (Forward) và hợp đồng giao sau(Futures). 1.1 Thị trường tài chính Thị trường tài chính là nơi diễn ra các hoạt động giao dịch, mua bán, trao đổi các sản phẩm tài chính ngắn hạn, trung hạn hoặc dài hạn. Các thị trường tài chính quan trọng nhất như: Thị trường cổ phiếu (Stock market), Thị trường trái phiếu (Bond market), Thị trường tiền tệ (currency market). Phái sinh tài chính là những công cụ được phát hành trên cơ sở những công cụ tài chính đã có (trị giá cổ phiếu, lãi suất, hàng hóa. . . .) nhằm nhiều mục tiêu như phân tán rủi ro, bảo vệ lợi nhuận hoặc tạo ra lợi nhuận. Sự biến động khó lường của trị giá cổ phiếu, lãi suất, hàng hóa. . . trên thị trường là những nguyên nhân gây ra rủi ro cho các nhà đầu tư trong các phi vụ mua, bán. Để hạn chế thấp nhất những rủi ro thua lỗ có thể xẩy ra, các nghiệp vụ tài chính phái sinh đã được hình thành. Cho đến nay, các công cụ phái sinh rất phong phú và đa dạng, gồm có như: hợp đồng quyền chọn mua hoặc bán (options), hợp đồng ký kết trước (forward), hợp đồng tương lai (futures),...Phái sinh tài chính là đối tượng nghiên cứu chính của Toán tài chính. 1.2 Hợp đồng Quyền chọn (Option) Lịch sử phát triển Quyền chọn Vào thế kỷ 19 các ý tưởng về quyền chọn lần đầu 1.2 Hợp đồng Quyền chọn (Option) 4 tiên đã hình thành trên thị trường chứng khoán London. Nhưng phải đến năm 1973 các Quyền chọn mới thực sự được mua bán, trao đổi trên thị trường quyền chọn tại Chicago (Mỹ) thông qua các hợp đồng Quyền chọn với hai tiêu chí là: mức phí và ngày hiệu lực. 1.2.1 Khái niệm Hợp đồng Quyền chọn là hợp đồng cho phép người mua có quyền, nhưng không bắt buộc, được mua (Call) hay bán (Put): • Một số lượng xác định các đơn vị tài sản cơ sở. • Tại hay trước một thời điểm trong tương lai. • Với một mức giá xác định ngay tại thời điểm ký kết hợp đồng. Tại thời điểm xác định trong tương lai, người mua quyền có thể thực hiện hoặc không thực hiện quyền mua (hay bán) tài sản cơ sở. Nếu người mua thực hiện quyền mua (hay bán), thì người bán quyền phải bán (hay mua) tài sản cơ sở. Thời điểm xác định trong tương lai gọi là ngày đáo hạn; thời gian từ khi ký hợp đồng Quyền chọn đến ngày thanh toán gọi là kỳ hạn của Quyền chọn. Mức giá xác định áp dụng trong ngày đáo hạn gọi là giá thực hiện (Strike Price). Bởi vì Quyền chọn là một tài sản tài chính nên nó có giá trị và người mua phải trả một khoản chi phí nhất định khi mua nó. Một số thuật ngữ liên quan Người mua Quyền: Là người bỏ ra chi phí để được nắm giữ Quyền chọn đó và có quyền yêu cầu người bán có nghĩa vụ thực hiện quyền chọn theo ý mình. Người bán Quyền: Người nhận chi phí mua Quyền của người mua Quyền, do đó có nghĩa vụ phải thực hiện Quyền chọn theo yêu cầu của người mua Quyền. Tỷ giá thực hiện: Tỷ giá sẽ được thực hiện nếu người mua Quyền chọn yêu cầu thực hiện Quyền chọn. Giá trị hợp đồng Quyền chọn: Trị giá được tính theo từng loại ngoại tệ và thị trường giao dịch. Kỳ hạn của Quyền chọn: là thời gian hiệu lực của Quyền chọn. Quá thời hạn này Quyền chọn không còn hiệu lực. Phí mua Quyền: Chi phí mà người mua Quyền phải trả cho người bán Quyền để được nắm giữ hay sở hữu Quyền chọn. 1.3 Hợp đồng Quyền chọn mua (Call Option) 1.2.2 5 Các loại Quyền chọn • Quyền chọn cho phép được mua gọi là Quyền mua (Call Option), Quyền chọn cho phép được bán gọi là Quyền chọn bán (Put Option). • Quyền chọn trao cho người mua (người nắm giữ) quyền, nhưng không phải nghĩa vụ, được mua một tài sản cơ sở vào một thời điểm hay trước một thời điểm trong tương lai với một mức giá xác định. • Quyền chọn trao cho người mua (người nắm giữ) quyền, nhưng không phải nghĩa vụ, được bán một tài sản cơ sở vào một thời điểm hay trước một thời điểm trong tương lai với một mức giá xác định. 1.2.3 Kiểu Quyền chọn: Kiểu giao dịch hai bên thỏa thuận cho phép người mua quyền được lựa chọn thời điểm thực hiện quyền. Một số loại Quyền chọn phổ biến là: - Quyền chọn Châu Âu: là loại Quyền chọn chỉ có thể được thực hiện vào ngày đáo hạn hợp đồng chứ không thực hiện trước ngày đó. - Quyền chọn Châu Mỹ: là loại Quyền chọn có thể thực hiện vào bất cứ thời điểm nào trước khi đáo hạn hợp đồng. Ngoài ra, còn có một số Quyền chọn khác như: Quyền chọn Châu Á, Quyền chọn bị chặn, ... 1.3 Hợp đồng Quyền chọn mua (Call Option) Gọi T là thời điểm đáo hạn, ST là giá trị thị trường của tài sản cơ sở vào lúc đáo hạn, X là giá thực thi và VT là giá trị nhận được của Quyền chọn vào lúc đáo hạn. 1.3.1 Mua Quyền chọn mua Là kiểu hợp đồng Quyền chọn mà cho phép người mua hợp đồng (người giữ hợp đồng) có quyền, nhưng không phải nghĩa vụ, được mua một tài sản cơ sở ở một mức giá cố định vào một thời điểm xác định trong tương lai (thường là 3, 6 hay 9 tháng). Thực tế, các nhà nhập khẩu thường mua Quyền chọn mua để đảm bảo mua được ngoại tệ theo giá mong muốn. Ngoài ra, các nhà đầu tư cũng thường ký hợp đồng mua Quyền chọn mua ngoại tệ. Vào lúc đáo hạn, nếu thực hiện quyền, người mua sẽ mua tài sản cơ sở với giá X. Nếu mua trên thị trường người mua sẽ phải trả với giá ST . 1.4 Hợp đồng Quyền chọn bán (Put Option) 6 Tóm lại, giá trị nhận được đối với người mua Quyền chọn mua vào lúc đáo hạn là VT = max[(ST − X), 0]. Ví dụ: Một hợp đồng Quyền chọn mua 100 cổ phần của Công ty X sẽ cho người mua hợp đồng này cái quyền chọn mua 100 cổ phần với giá 100 Đô-la/1 cổ phần (Giả sử kiểu Quyền chọn là Quyền chọn Châu Âu)và thời hạn hợp đồng là 3 tháng. Người mua phải trả phí mua Quyền chọn mua là 2 Đô-la/1 cổ phần. • Nếu giá chứng khoán tăng lên 120 Đô-la/1 cổ phần, người mua hợp đồng có thể mua 100 cổ phần với giá 100 Đô-la/1 cổ phần (người bán hợp đồng Quyền chọn trước đây phải bán 100 cổ phần với giá 100 Đô-la/1 cổ phần cho người mua hợp đồng Quyền chọn mua) sau đó đem ra thị trường bán với giá 120 Đô-la/1 cổ phần. Như vậy, người mua sẽ kiếm được một khoản lợi nhuận: VT = 120 x 100 − [100 x 100 + 100 x 2] = 1800USD • Nếu giá chứng khoán giảm còn dưới 100 Đô-la/1 cổ phần, thì người mua sẽ không thực hiện vì bị lỗ. Chẳng hạn, giá chứng khoán giảm xuống 90 Đô-la/1 cổ phần, nếu thực hiện hợp đồng thì người mua sẽ lỗ khoản tiền: VT = 90 x 100 − [100 x 100 + 100 x 2] = −1200USD Khoản tiền này lớn hơn phí mua quyền, do đó người mua hợp đồng sẽ không thực hiện quyền và chấp nhận lỗ một khoản đúng bằng phí mua quyền chọn. 1.3.2 Bán Quyền chọn mua • Trường hợp ST > X, nếu thực hiện quyền, người mua Quyền chọn mua sẽ thực hiện quyền, tức là mua tài sản cơ sở. Trong trường hợp đó, người bán Quyền chọn mua sẽ phải bán tài sản cơ sở cho người mua quyền với giá X. Trong khi lẽ ra có thể bán ra thị trường với giá ST > X. Người bán Quyền chọn mua bị lỗ ST − X. Hay nhận được giá trị VT = X − ST . • Trường hợp ST ≤ X, người mua Quyền chọn mua sẽ không thực hiện quyền và như vậy thì giá trị mà người bán Quyền chọn mua nhận được là VT = 0. Tóm lại, giá trị nhận được đối với người bán Quyền chọn mua vào lúc đáo hạn là VT = min[(X − ST ), 0]. 1.4 Hợp đồng Quyền chọn bán (Put Option) Là kiểu hợp đồng Quyền chọn mà cho phép người mua hợp đồng (người giữ hợp đồng) có quyền, nhưng không phải nghĩa vụ, được bán một tài sản cơ sở ở một mức 1.5 Hợp đồng ký kết trước và hợp đồng giao sau, lãi suất định trước 7 giá cố định vào một thời điểm xác định trong tương lai (thường là 3, 6 hay 9 tháng). 1.4.1 Mua Quyền chọn bán Vào lúc đáo hạn, nếu thực hiện quyền, người mua Quyền chọn bán sẽ bán tài sản cơ sở với giá X, còn nếu bán trên thị trường thì mức giá sẽ là ST . • Trường hợp ST ≥ X, nếu thực hiện quyền, người mua Quyền chọn bán sẽ bán tài sản cơ sở với giá X. Trong khi, nếu ra thị trường thì sẽ bán được với giá ST ≥ X. Như vậy, nếu ST ≥ X, người mua Quyền chọn bán sẽ không thực hiện quyền và nhận giá trị VT = 0. • Trường hợp ST < X,nếu thực hiện quyền, người mua sẽ mua tài sản cơ sở với giá X. Trong khi, nếu ra thị trường thì phải bán với giá ST < X. Như vậy, nếu ST < X, người mua Quyền chọn bán sẽ thực hiện quyền và nhận được giá trị VT = X − ST . Tóm lại, giá trị nhận được đối với người mua Quyền chọn mua vào lúc đáo hạn là VT = max[(X − ST ), 0]. 1.4.2 Bán Quyền chọn bán • Trường hợp ST ≥ X, người mua Quyền chọn bán sẽ không thực hiện quyền,và người bán Quyền chọn bán cũng nhận giá trị VT = 0 • Trường hợp ST < X, người mua Quyền chọn bán sẽ thực hiện quyền và người bán Quyền chọn bán buộc phải mua tài sản cơ sở với giá X, trong khi lẽ ra có thể mua trên thị trường với giá ST < X.Như vậy, nếu ST < X thì người bán Quyền chọn sẽ bị lỗ hay nhận được giá trị là VT = ST − X. Tóm lại, giá trị nhận được đối với người bán Quyền chọn bán vào lúc đáo hạn là VT = min[(ST − X), 0]. 1.5 Hợp đồng ký kết trước và hợp đồng giao sau, lãi suất định trước 1.5.1 Hợp đồng ký kết trước (Forward Contract) Một hợp đồng ký kết trước là một bản thỏa thuận giữa hai đối tác A và B ( thường là các công ty tài chính, nhà môi giới, nhà đầu tư tài chính, ...) để mua bán 1.5 Hợp đồng ký kết trước và hợp đồng giao sau, lãi suất định trước 8 một loại hàng hóa hoặc sản phẩm tài chính nào đó vào một thời điểm nhất định trong tương lai với một khoản tiền định trước ( không có một đồng tiền nào trao tay vào lúc thỏa thuận ). ∗ Các điều kiện của hợp đồng - Đến thời điểm đáo hạn T của hợp đồng, bên A phải giao cho bên B một khối lượng sản phẩm tài chính ( cổ phiếu, ngoại tệ, ...) hoặc một khối lượng hàng hóa đặc biệt nào đó ( dầu mỏ, lúa gạo, ... ) có giá thị trường là X tại thời điểm T . - Đến thời điểm đáo hạnT , bên B phải trả cho bên A một khoản tiền F (0, T ) định trước từ lúc ký kết (t = 0) . Không có bất kỳ một chi phí giao dịch nào trước thời điểm T . Đến thời điểm T , hai bên bắt buộc phải thực thi các quy ước đó theo một số điều khoản cụ thể. 1.5.2 Hợp đồng giao sau (Futures Contract) Một hợp đồng giao sau là một bản thỏa thuận giữa hai đối tác, kẻ bán là A và người mua là B, nhất trí rằng sẽ hoàn thành vụ mua bán một loại hàng hóa hoặc sản phẩm tài chính nào đó vào một ngày cố định trong tương lai. Không có sự trao đổi về hàng hóa hay tiền tệ vào lúc ký kết hợp đồng ( tức hôm nay, t = 0). ∗ Các điều kiện của hợp đồng giao sau: - Đến thời điểm đáo hạn T của hợp đồng, bên A phải giao cho bên B một khối lượng sản phẩm tài chính hoặc một khối lượng hàng hóa đặc biệt nào đó có giá thị trường là X tại thời điểm T . - Đến thời điểm đáo hạn T của hợp đồng,bên B phải trả cho bên A một khoản tiền là Fe(t, T ), khoản tiền này hoàn toàn xác định bởi giá cả thị trường tại thời điểm t nào đó, t < T và các sản phẩm ghi nợ trong hợp đồng phải là tài sản được niêm yết trong thị trường chính thức. - Không có bất kỳ một chi phí giao dịch nào trước thời điểm T - Đến thời điểm T , hai bên bắt buộc phải thực hiện quy ước đó, hai bên mua và bán chỉ quan hệ gián tiếp nhau trên thị trường chính thức thông qua tổ chức trung gian gọi là "Quỹ đền bù". Chú ý: i) Trong hợp đồng giao sau thì người giữ hợp đồng có thể là người bán hay người mua. Việc chuyển tiền qua lại giữa người giữ hợp đồng và Quỹ đền bù được tiến hành hàng ngày và được gọi là " Lệnh gọi đền bù ". 1.6 Mô hình Black - Scholes 9 ii) Việc giao dịch trong hợp đồng này được thực hiện theo hình thức hét to và ra hiệu. 1.5.3 Lãi suất định trước (Forward Rate) Lãi suất định trước là lãi suất tính từ hôm nay cho một thời kỳ bắt đầu từ một thời điểm trong tương lai. Phương pháp tính lãi suất định trước: f (T1 , T2 ) = sT2 − rT1 T2 − T1 Trong đó, f (T1 , T2 ): là lãi suất định trước cho thời kỳ giữa T1 và T2 r: là lãi suất T1 năm s: là lãi suất T2 năm (T1 < T2 ) Thí dụ: Giả sử có lãi suất 1 năm là 8% và lãi suất 2 năm là 8, 5%, khi đó lãi suất định trước cho năm thứ hai là f (1, 2) = 0, 085.2 − 0, 08.1 = 0, 09 = 9% 2−1 Đây chính là lãi suất mà khi kết hợp với 8% của năm thứ nhất sẽ cho ta 8, 5% lãi suất của năm thứ hai. 1.6 1.6.1 Mô hình Black - Scholes Giới thiệu vài nét về mô hình và kết quả của nó Trước khi mô hình Black - Scholes ra đời thì người ta có rất nhiều phương pháp tính giá cổ phiếu, trái phiếu như: Chuyển đổi trái phiếu, giá định trước cho các trái phiếu lãi suất 0, ... Năm 1973, trong một tạp chí về kinh tế chính trị, hai nhà kinh tế kiêm toán học Mỹ là Fisher Black và Myron Scholes đã công bố một bài báo quan trọng để định giá Quyền chọn. Từ đó ra đời mô hình Black - Scholes để định giá tài sản không rủi ro trong một thị trường với thời gian liên tục. Mô hình Black - Scholes nguyên thủy được xây dựng cho việc định giá Quyền chọn mua theo kiểu Châu Âu và áp dụng cho cổ phiếu không trả cổ tức ( non-dividend - paying stock ). Mô hình này cùng 1.6 Mô hình Black - Scholes 10 với công thức Black - Scholes được rút ra từ mô hình đã có tác động quan trọng đến thị trường chứng khoán Mỹ ngay lúc đó. Mô hình Black - Scholes có tính toán đến tác động ngẫu nhiên của giá cổ phiếu và Black - Scholes coi giá cổ phiếu là một quá trình ngẫu nhiên thỏa mãn một phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính. Mô hình này được mở rộng áp dụng theo nhiều hướng khác nhau nhằm mục đích phản ánh chính xác hơn những diễn biến của thị trường chứng khoán. Từ các bài báo của Mark Garman và Steven Kohlhagen và của Orlin Grables vào năm 1983, mô hình này được giới thiệu mở rộng và áp dụng sang lĩnh vực tiền tệ. 1.6.2 Mô hình Black - Scholes Mô hình Black - Scholes được mô tả bởi một phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính dSt = µSt dt + σSt dBt (1.1) lời giải của phương trình này là một quá trình ngẫu nhiên St = S(t, w), hơn nữa lời giải này là một chuyển động Brown hình học. h σ2
i St = S0 exp σBt + µ − t 2 (1.2) Ta sẽ giải thích các đai lượng trong (1.1) và (1.2) như sau: Giả sử có một thị trường : Hoạt động liên tục Có lãi suất không đổi Không chia cổ tức cho cổ đông trước khi đáo hạn Không có phí giao dịch Không trao đổi chứng khoán Các ký hiệu: St : là giá cổ phiếu tại thời điểm t (là một quá trình ngẫu nhiên liên tục vì chịu nhiều tác động ngẫu nhiên của thi trường). dSt : là lượng giá cổ phiếu thay đổi trong khoảng thời gian (t, t + dt). 1.6 Mô hình Black - Scholes 11 µ: là hằng số ( biểu thị độ thay đổi tương đối về giá dSt , St tỷ lệ với độ dài thời gian dt ). σ: là hằng số và được gọi là độ biến động của giá cổ phiếu St ( vì σ càng lớn thì tác động ngẫu nhiên càng lớn ). Bt : là chuyển động Brown ( quá trình Wiener ). S0 : là giá cổ phiếu quan sát được tại thời điểm t = 0. Nhận xét: Trong chuyển động Brown hình học (1.2) thì µ và σ đã biết. Vì vậy, ta xác định được St . Nhưng trong thực tế thì µ và σ thường là chưa biết mà người ta phải xác định nó bằng phương pháp thống kê, ước lượng, quan sát,...như sau: Giả sử, ta ghi nhận được một số số liệu về giá cổ phiếu trong một khoảng thời gian [0, T ]. Ta chia [0, T ] thành n khoảng bằng nhau, có độ dài ∆t = ti − ti−1 với i = 0, 1, 2, . . . , n. Giả sử, ta đã biết giá chứng khoán tại thời điểm cuối ti của mỗi khoảng nhỏ [ti − ti−1 ]. Như vậy, ta có n + 1 quan sát S1 , S2 , . . . , Sn+1 . Đặt Ui = ln(Si+1 ) − ln(Si ) với i = 1, 2, . . . , n Kết hợp với (1.2) ta được Ui = σ(Bti+1 − Bti ) + (µ − σ2 )∆t 2 (1.3) Trong đó, (Bti+1 − Bti ) là một biến ngẫu nhiên chuẩn có kỳ vọng 0 và phương sai ∆t . Hơn nữa, các biến ngẫu nhiên (Bti+1 − Bti ) là các biến ngẫu nhiên độc lập e và phương với i = 0, 1, 2, . . . , n. Theo công thức thống kê thì thrung bình mẫu U sai mẫu S 2 của dãy số liệu U1 , U2 , . . . , Un được tính bởi công thức:  n 1X   e  U= Ui   n   i=1  n   1 X  2  e )2  (Ui − U  S = n−1 i=1 Đây là những ước lượng cho trung bình và phương sai lý thuyết của biến ngẫu nhiên U (có thể hiện (U1 , U2 , . . . , Un )). Căn cứ vào (1.3) thì trung bình và phương sai của U là: 2 e = (µ − σ )∆t U 2 (1.4) 1.7 Công thức Black - Scholes về giá của hợp đồng Quyền chọn mua 12 S 2 = σ2 ∆t (1.5) Giải hệ phương trình (1.4) và (1.5) ta có   e + 1 S2  U   2    µ= ∆t     S   √  σ= ∆t 1.7 Công thức Black - Scholes về giá của hợp đồng Quyền chọn mua V = St N (d1 ) − Xe−r(T −t) N (d2 ) (1.6) Công thức (1.6) là công thức Black - Scholes để xác định giá V của một Quyền chọn mua kiểu Châu Âu tại thời điểm hiện tại t, trên cơ sở giá cổ phiếu St tuân theo mô hình Black - Scholes. Trong đó, X: là giá thực thi của Quyền chọn kiểu Châu Âu (tại thời điểm T ). T : là thời điểm đáo hạn. r: là lãi suất không rủi ro (r = µ) . St : là giá cổ phiếu tại thời điểm t ∈ [0, T ]. N : ký hiệu cho hàm phân phối N (0, 1). 1 N (x) = √ 2π Z x −u2 e 2 du −∞ Với d1 , d2 là hai giá trị cho bởi: d1 = h S 
i 1 σ2  t ln + r + T −t X 2 σ T −t d2 = √ d1 − σ T − t √ Nhận xét 1: Nếu chọn thời điểm hiện tại làm thời điểm gốc t = 0 thì công thức Black - Scholes (1.6) trở thành V = S0 N (d1 ) − Xe−rT N (d2 ) (1.7) 1.8 Quyền chọn cặp đôi (Parity Option) Với 13 d1 = 1 h St  σ 2 
i √ ln + r + T X 2 σ T d2 = √ d1 − σ T N (x) = 1 √ 2π Z x −u2 e 2 du −∞ Nhận xét 2: Nếu ký hiệu thời điểm đáo hạn là T , thời điểm ban đầu là t thì giá chứng khoán ban đầu sẽ là St , khoảng thời gian từ lúc ban đầu đến khi đáo hạn là T − t. Lúc này công thức Black - Scholes sẽ là: V = St N (d1 ) − Xe−r(T − t)N (d2 ) Đây là công thức (1.6) với  h S 
i σ2  1 t   √ d = ln + r + T − t   1 X 2 σ T −t     d = 2 √ d1 − σ T − t X: là giá thực thi Quyền chọn mua. 1.8 1.8.1 Quyền chọn cặp đôi (Parity Option) Quyền chọn mua - bán cổ phần cặp đôi Đặt vấn đề Ta thấy giá của một Quyền chọn mua kiểu Châu Âu có liên quan đến giá của Quyền chọn bán kiểu Châu Âu. Giả sử ta cần bán một Quyền chọn mua có bảo kê (quyền chọn mua được bảo đảm bằng những tài sản cơ sở). Nói cách khác, ta quyết định mua một cổ phiếu với giá S và bán một Quyền chọn mua với giá C (thời gian và giá thực thi là tùy ý). Vì lo ngại rằng giá cổ phiếu có thể bị sụt giá, ta mua một Quyền chọn bán với giá P với cùng một thời hạn và giá thực thi như Quyền chọn mua. Phân tích 1.8 Quyền chọn cặp đôi (Parity Option) 14 Ta thấy, giá của vị thế ngày hôm nay là: S + P − C Gọi giá thực thi chung của Quyền chọn bán và Quyền chọn mua là X. Khi đó, giá của vị thế vào ngày đáo hạn luôn băng X. Thật vậy - Nếu S ≥ X lúc đó bạn đem giao cổ phiếu cho người mua Quyền chọn mua, còn Quyền chọn bán của bạn thì không có giá trị gì. - Nếu S < X lúc đó bạn giao cổ phiếu cho người bán Quyền chọn bán, còn Quyền chọn mua của bạn thì không có giá trị gì. Công thức cặp đôi mua bán Dù xảy ra tình huống nào thì giá của vị thế của bạn luôn luôn là X vì bạn ở vị trí tất định, nên ta có: (S + P − C) = e−r(T −t) X Trong đó r: là lãi suất không rủi ro. T − t: là khoảng thời gian từ hôm nay (t) cho đến lúc đáo hạn (T ). C: là giá bán một Quyền chọn mua. P : là giá mua một Quyền chọn bán. Do đó, ta có công thức cặp đôi Mua - Bán: (C − P ) = S − e−r(T −t) X Chú ý: Nếu (C − P ) 6= S − e−r(T −t) X thì những kẻ ăn chênh lệch giá sẽ điều chỉnh nhanh chóng hiệu số C − P này để cho nó ngang bằng với S − e−r(T −t) X bằng cách mua hay bán vị thế S + P − C. 1.8.2 Các Quyền chọn Mua - Bán tiền tệ cặp đôi (Put Call Parity for Currency Option) Đặt tình huống: Ta bắt đầu từ một cặp cố định tiền nội tệ và tiền ngoại tệ như sau: C: là giá một Quyền chọn mua một đơn vị tiền ngoại tệ vào thời điểm T trong tương lai. 1.8 Quyền chọn cặp đôi (Parity Option) 15 K: là giá thực thi (tính theo số đồng tiền nội tệ dùng để đổi lấy một đồng ngoại tệ). Tức là, người giữ Quyền chọn mua đó trả cho đối tác K đơn vị tiền nội tệ vào thời điểm (T ) đó. P : là giá một Quyền chọn bán một đơn vị tiền ngoại tệ với cùng một giá thực thi (K đơn vị tiền nội tệ) và cùng một thời gian đáo hạn T . Giả sử rằng cả Quyền bán lẫn Quyền mua đều được tính theo tiền nội tệ, gọi S0 là giá giao ngay hôm nay (hôm nay cần có S0 đồng tiền nội tệ để đổi lấy một đồng ngoại tệ). Kế hoạch mua bán Quyền chọn 1. Mua một Quyền chọn bán. 2. Bán một Quyền chọn mua. 3. Vay S0 e−RF T đơn vị tiền nội tệ. 4. Mang đổi số tiền vay đó thành ngoại tệ. 5. Đầu tư số tiền ngoại tệ đó với lãi suất đồng ngoại tệ ở nước ngoài RF . Tổng số tiền thu hoạch được: P + S0 e−RF T − C. Đến thời điểm T , ta phải bố trí lại kế hoạch, số tiền S0 e−RF T ta đã dùng để đổi lấy một đồng ngoại tệ. Ở thời điểm T , giá giao ngay là ST ta sẽ phải: • Nếu ST ≥ K thì người giữ Quyền chọn mua sẽ thực thi quyền đó và ta phải trả cho người này 1 đồng ngoại tệ và thu về K đồng nội tệ. • Nếu ST < K thì người bán cái Quyền chọn bán cho ta sẽ thực thi quyền đó và ta phải trả 1 đồng ngoại tệ cho người này và thu về K đồng nội tệ. Nhận xét: Ta bỏ ra 1 đồng ngoại tệ và luôn thu về K đồng nội tệ (không phụ thuộc và giá giao ngay tại thời điểm T ). Công thức cặp đôi Mua - Bán Theo kế hoạch trên thì ta đã đầu tư số tiền nội tệ là P − C + S0 e−RF T tại thời điểm t0 và ta hy vọng rằng:   P − C + S0 e−RF T eRD T = K