Tài liệu Nghiên cứu một số phương trình nhiệt phi tuyến trong không gian sobolev có trọng

ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA TP. HOÀ CHÍ MINH TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN CHAÂU ANH DUÕNG NGHIEÂN CÖÙU MOÄT SOÁ PHÖÔNG TRÌNH NHIEÄT PHI TUYEÁN TRONG KHOÂNG GIAN SOBOLEV COÙ TROÏNG Luaän vaên thaïc syõ khoa hoïc Chuyeân ngaønh Toaùn giaûi tích Maõ soá 1. 01. 01 Thaønh phoá HOÀ CHÍ MINH 2003 ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA TP. HOÀ CHÍ MINH TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN CHAÂU ANH DUÕNG NGHIEÂN CÖÙU MOÄT SOÁ PHÖÔNG TRÌNH NHIEÄT PHI TUYEÁN TRONG KHOÂNG GIAN SOBOLEV COÙ TROÏNG Luaän vaên thaïc syõ khoa hoïc Chuyeân ngaønh Toaùn giaûi tích Maõ soá 1. 01. 01 Ngöôøi höôùng daãn Tieán syõ NGUYEÃN THAØNH LONG Tieán syõ NGUYEÃN COÂNG TAÂM ( Khoa Toaùn – Tröôøng Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï nhieân Tp HOÀ CHÍ MINH ) Ngöôøi nhaän xeùt Thaønh phoá HOÀ CHÍ MINH 2003 Luaän vaên ñöôïc hoaøn thaønh taïi: Tröôøng Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï Nhieân Ngöôøi höôùng daãn: TS. Nguyeãn Thaønh Long vaø TS. Nguyeãn Coâng Taâm Khoa Toaùn – Tin hoïc, Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh. Ngöôøi nhaän xeùt 1: Ngöôøi nhaän xeùt 2: Hoïc vieân cao hoïc: Chaâu Anh Duõng Luaän vaên seõ ñöôïc baûo veä taïi Hoäi Ñoàng chaám luaän vaên caáp Tröôøng taïi Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh vaøo luùc giôø ngaøy thaùng naêm 2003 Coù theå tìm hieåu luaän vaên taïi Phoøng Sau Ñaïi hoïc, thö vieän Tröôøng Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh. Thaønh phoá HOÀ CHÍ MINH - 2003- LÔØI CAÛM ÔN Lôøi ñaàu tieân, xin traân troïng caûm ôn hai Thaày höôùng daãn toâi laø Tieán só Nguyeãn Thaønh Long vaø Tieán só Nguyeãn Coâng Taâm, caùc thaày ñaõ taän tình giuùp ñôõ toâi trong quaù trình hoïc taäp cuõng nhö trong vieäc hoaøn thaønh luaän vaên. Xin traân troïng caûm ôn caùc Thaày, Coâ thuoäc thuoäc Khoa Toaùn-Tin Hoïc tröôøng Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï nhieân ñaõ taän tình giaûng daïy cho toâi trong thôøi gian hoïc taäp. Xin traân troïng caûm ôn caùc Tieán só Nguyeãn Ñình Phö, Tieán só Nguyeãn Hoäi Nghóa, Tieán só Ñaëng Ñöùc Troïng vaø Tieán só Nguyeãn Vaên Nhaân ñaõ ñoïc luaän vaên vaø cho toâi nhöõng nhaän xeùt quyù baùu. Xin traân troïng caûm ôn Thaïc syõ Buøi Tieán Duõng ñaõ ñoïc vaø söûa chöõa giuùp nhöõng sai soùt trong baûn thaûo luaän vaên. Xin traân troïng caûm ôn Phoøng Quaûn lyù Khoa hoïc- Hôïp taùc Quoác teá- Sau Ñaïi hoïc Tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân TP. Hoà Chí Minh, Ban Giaùm Hieäu tröôøng THPT Voõ Thò Saùu ñaõ ñoäng vieân vaø taïo moïi ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi hoaøn taát chöông trình hoïc. Xin chaân thaønh caûm baïn beø ñoàng nghieäp, caùc baïn hoïc lôùp Cao hoïc khoùa 10 ñaõ luoân ñoäng vieân vaø nhieät tình giuùp ñôõ toâi trong quaù trình hoïc. Chaâu Anh Duõng MUÏC LUÏC Trang Chöông 1: Phaàn toång quan……………………………………………………..1 Chöông 2: Caùc keát quaû chuaån bò – Caùc khoâng gian haøm……………………..4 Chöông 3: Nghieäm baøi toaùn ñieàu kieän ñaàu phi tuyeán………………………..16 Chöông 4: Nghieäm T – tuaàn hoaøn cuûa baøi toaùn phi tuyeán…………………..28 Chöông keát luaän ……………………………………………………………....39 Taøi lieäu tham khaûo ……………………………………………………………40 CHÖÔNG 1 PHAÀN TOÅNG QUAN Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi nghieân cöùu moät soá phöông trình nhieät phi tuyeán trong moät hình truï thuoäc daïng: (1.1) 1 ut − (ur r + ur ) + Fε (u ) = f (r , t ), 0 < r < 1, 0 < t < T , r (1.2) r → 0+ lim (1.3) r ur (r , t ) < +∞ , ur (1, t ) + h(t ) ( u (1, t ) − u%o ) = 0, u (r ,0) = u0 (r ), hoaëc (1.3/ ) u (r ,0) = u (r , T ), (1.4) Fε (u ) = ε u u 1 2 , trong ñoù u%o , ε > 0 laø caùc haèng soá cho tröôùc, h(t ), f (r , t ) laø caùc haøm soá cho tröôùc thoûa moät soá ñieàu kieän ta seõ chæ ra sau. Phöông trình (1.1) moâ taû quaù trình truyeàn nhieät trong moät dóa troøn ñôn vò r < 1, trong ñoù • u ( r , t ) laø nhieät ñoä taïi moïi ñieåm treân ñöôøng troøn { } Cr = ( x, y ) / x 2 + y 2 = r 2 taïi thôøi ñieåm t, vôùi r < 1, 0 < t < T . • f (r , t ) − Fε (u ) laø nguoàn nhieät. • Ñieàu kieän bieân (1.2) treân ñöôøng troøn r = 1 moâ taû söï trao ñoåi nhieät vôùi moâi tröôøng beân ngoaøi, maø moâi tröôøng beân ngoaøi coù nhieät ñoä khoâng ñoåi laø u%o , ôû ñaây haøm h(t) laø heä soá trao ñoåi nhieät vôùi moâi tröôøng beân ngoaøi. 1 Trong (1.2), ñieàu kieän lim r → 0+ r ur (r , t ) < +∞ seõ töï ñoäng thoûa neáu u (r , t ) laø nghieäm coå ñieån cuûa baøi toaùn, chaúng haïn u ∈ C1 ([ 0,1] × [ 0, T ]) ∩ C 2 ( (0,1) × (0, T ) ) . Vieäc ñöa ñieàu kieän naøy vaøo coù lieân quan ñeán vieäc söû duïng khoâng gian Sobolev coù troïng vaø chuyeån ñoåi veà baøi toaùn bieán phaân. ( xem [5,7]). trình (1.5) Vôùi Fε (u ) = 0, u%0 = 0 , Minasjan [6] ñaõ nghieân cöùu phöông 1 u t − a (t )(u rr + u r ) = f (r , t ), 0 < r < 1, 0 < t < T , r vôùi ñieàu kieän bieân (1.6) u r (0, t ) = u r (1, t ) + h(t )u (1, t ) = 0, vaø vôùi ñieàu kieän T − tuaàn hoaøn (1.7) u (r ,0) = u (r , T ), ôû ñaây caùc haøm a(t), h(t), f(r,t ) laø T − tuaàn hoaøn theo thôøi gian t. YÙ nghóa vaät lyù cuûa baøi toaùn (1.5) – (1.7) laø moät doøng nhieät tuaàn hoaøn trong moät hình truï voâ haïn vôùi giaû thieát raèng hình truï phuï thuoäc vaøo söï trao ñoåi nhieät moät caùch tuaàn hoaøn ôû beà maët (r = 1) vôùi moâi tröôøng beân ngoaøi coù nhieät ñoä zeùro, phía trong hình truï, nguoàn nhieät ñoái xöùng truïc vaø thay ñoåi moät caùch tuaàn hoaøn, Minasjan [6] ñaõ tìm moät nghieäm coå ñieån cuûa baøi toaùn naøy baèng caùch duøng bieán ñoåi Fourier. Phöông phaùp naøy daãn ñeán moät heä giaû chính quy voâ haïn caùc phöông trình ñaïi soá tuyeán tính. Tuy nhieân tính giaûi ñöôïc cuûa heä naøy khoâng ñöôïc chöùng minh chi tieát trong [6]. 2 Trong [3] Lauerova ñaõ chöùng minh raèng vôùi döõ kieän T − tuaàn hoaøn, baøi toaùn (1.5) – (1.7) coù moät nghieäm yeáu T- tuaàn hoaøn theo t. Trong tröôøng hôïp u~0 = 0, f = 0, Fε ∈ C 1 ( IR), Fε/ (u ) ≥ − β , β > 0 ñuû nhoû, caùc taùc giaû trong [4] ñaõ chöùng minh raèng baøi toaùn (1.1), (1.6), (1.7) coù duy nhaát moät nghieäm yeáu T − tuaàn hoaøn trong caùc khoâng gian Sobolev thích hôïp. Hôn nöõa, nghieäm naøy cuõng phuï thuoäc lieân tuïc theo haøm h(t). Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi nghieân cöùu baøi toaùn phi tuyeán vôùi ñieàu kieän ñaàu (1.1) – (1.4) vaø baøi toaùn ñieàu kieän T − tuaàn hoaøn (1.1), (1.2), (1.4), (1.7). Noäi dung luaän vaên ñöôïc trình baøy theo thöù töï nhö sau: Chöông 1 laø phaàn giôùi thieäu baøi toaùn vaø noùi qua moät soá keát quaû tröôùc ñoù vaø trình baøy boá cuïc cuûa luaän vaên. Chöông 2 laø phaàn trình baøy moät soá kyù hieäu, coâng cuï, caùc khoâng gian haøm Sobolev coù troïng, tính chaát caùc pheùp nhuùng coù lieân quan. Chöông 3, chuùng toâi trình baøy chöùng minh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn (1.1)-(1.4) trong caùc khoâng gian Sobolev coù troïng thích hôïp baèng phöông phaùp Galerkin. Chöông 4, chuùng toâi trình baøy chöùng minh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm yeáu T − tuaàn hoaøn cuûa baøi toaùn (1.1), (1.2), (1.4), (1.7) trong ñoù baøi toaùn xaáp xæ höõu haïn chieàu cho baøi toaùn tìm nghieäm T − tuaàn hoaøn coù theå tìm ñöôïc nhôø vaøo baøi toaùn ñieàu kieän ñaàu thoâng qua moät ñònh lyù aùnh xaï co. Phaàn cuoái cuøng laø toùm löôïc caùc phaàn ñaõ trình baøy trong luaän vaên, sau ñoù laø phaàn taøi lieäu tham khaûo. 3 CHÖÔNG 2 CAÙC KEÁT QUAÛ CHUAÅN BÒ CAÙC KHOÂNG GIAN HAØM II.1. CAÙC KHOÂNG GIAN HAØM Ñaët Ω = (0,1) , ta boû qua ñònh nghóa caùc khoâng gian haøm thoâng duïng: C m (Ω), Lp (Ω), H m (Ω), W m, p (Ω). Vôùi moãi haøm v ∈ C 0 (Ω) ta ñònh nghóa v nhö sau 1/ 2 ⎛1 2 ⎞ v ≡ v H = ⎜ ∫ r v (r ) dr ⎟ . (2.1) ⎜ ⎟ ⎝0 ⎠ Ta ñònh nghóa H laø ñaày ñuû hoùa cuûa khoâng gian C 0 (Ω) ñoái vôùi chuaån . . Töông töï, vôùi moãi haøm v ∈ C1 (Ω) ta ñònh nghóa . V nhö sau 1/ 2 ⎛ v 2 + v/ 2 ⎞ = ⎜ ⎟ V ⎝ ⎠ vaø ñònh nghóa V laø ñaày ñuû hoùa cuûa khoâng gian C1 (Ω) ñoái vôùi (2.2) chuaån . v V . Chuù yù raèng caùc chuaån . vaø . V laàn löôït ñöôïc sinh ra töø caùc tích voâ höôùng (2.3) 1 u , v = ∫ r u (r ) v(r ) dr , 0 (2.4) u , v + u , v / 1 / = ∫ r [u (r ) v(r ) + u / (r ) v / (r )] dr. 0 Khi ñoù, ta deã daøng chöùng minh raèng H, V laø caùc khoâng gian Hilbert. 4 Boå ñeà 2.1. V truø maät trong H vôùi pheùp nhuùng lieân tuïc. Chöùng minh. Hieån nhieân raèng v ≤ v V , ∀v ∈V do ñoù pheùp nhuùng töø V vaøo H laø lieân tuïc. Maët khaùc C1 (Ω) ⊂ V vaø truø maät trong H, do ñoù V truø maät trong H. Boå ñeà sau cho moät soá ñaùnh giaù thöôøng söû duïng. Boå ñeà 2.2. Vôùi moïi v ∈ C1 (Ω), ε > 0 vaø r ∈ [0,1], ta coù: 2 (2.5) v (2.6) v(1) ≤ 3 v (2.7) 2 ≤ v/ + v 2 (1), V r v(r ) ≤ 2 v (2.8) v 2 (1) ≤ ε v / 2 , V , 1 + (2 + ) v ε Chöùng minh. 2 . Nghieäm laïi (2.5). Duøng tích phaân töøng phaàn vaø chuù yù raèng 0 ≤ r 2 < r ≤ 1, ta coù v 2 1 1 1 = ∫ r v (r ) dr = v 2 (1) − ∫ r 2 v (r ) v / (r ) dr 2 0 0 2 1 1 ≤ v 2 (1) + ∫ r v(r ) v / (r ) dr 2 0 1 ≤ v 2 (1) + v v / 2 1 2 1 2 ≤ v (1) + ⎛⎜ v + v / 2 2⎝ Suy ra v 2 ≤ v 2 (1) + v / 2 2 ⎞. ⎟ ⎠ vaø do ñoù (2.5) ñöôïc chöùng minh. Nghieäm laïi (2.6). Ta coù 1 v (1) = ∫ (r 2 v 2 (r )) / dr 2 0 5 1 1 = 2∫ r v (r ) dr + 2∫ r 2 v (r ) v / (r ) dr 2 0 0 2 ≤2 v +2 v 2 ≤2 v Vaäy v(1) ≤ 3 v V 2 + v 2 ≤ 3( v v/ + v/ + v/ 2 2 )=3 v 2 V . vaø (2.6) ñöôïc chöùng minh. Nghieäm laïi (2.7). Ta coù 1 1 2 ∫ s v ( s ) v ( s ) ds = ∫ s d (v 2 ( s )) / r r 1 = v (1) − r v (r ) − ∫ v 2 ( s ) ds ≤ v 2 (1) − r v 2 (r ). 2 2 r Suy ra 1 r v (r ) ≤ v (1) − 2 ∫ s v ( s ) v / ( s ) ds 2 2 r 1 ≤ v 2 (1) + 2 ∫ r v (r ) v / (r ) dr 0 ≤ v (1) + 2 v 2 ≤ v 2 (1) + v ≤3 v Vaäy 2 V v/ 2 + v r v (r ) ≤ 2 v + v/ 2 V 2 =4 v V 2 V . . Do ñoù (2.7) ñöôïc chöùng minh. Nghieäm laïi (2.8). Theo chöùng minh (2.6) ta coù v 2 (1) ≤ 2 v 2 +2 v v/ = 2 v 2 6 +2 1 ε v . ε . v/ 1 ≤ (2 + ) v 2 ε + ε v/ 2 . Do ñoù (2.8) ñöôïc chöùng minh. Boå ñeà 2.3. Ta ñoàng nhaát H vôùi H / (ñoái ngaãu cuûa H ). Khi ñoù ta coù V 1 H ≡ H / 1 V / , vôùi caùc pheùp nhuùng lieân tuïc vaø naèm truø maät. Chöùng minh. Tröôùc heát ta chöùng minh raèng H nhuùng trong V / . Vì V ⊂ H , vôùi moïi w ∈ H , aùnh xaï Tw : V → R 1 xaùc ñònh bôûi v a Tw (v) = w, v = ∫ r w (r ) v (r ) dr 0 laø tuyeán tính lieân tuïc treân V, töùc laø Tw ∈V / . Ta xeùt aùnh xaï T : H → V / w a T ( w) = Tw . Khi ñoù ta coù Tw , v V / ,V = w, v , ∀v ∈V , ∀w ∈ H . Ta seõ chöùng minh raèng toaùn töû T thoûa caùc tính chaát sau (i) (ii) T : H → V / laø ñôn aùnh, Tw V/ ≤ w , ∀w ∈ H , (iii) T ( H ) = {Tw : w ∈ H } laø truø maät trong V / . Chöùng minh (i). Deã thaáy raèng T tuyeán tính. Neáu Tw = 0 thì w, v = Tw , v V / ,V = 0, ∀v ∈ V . Vì V truø maät trong H, neân ta coù w, v = 0, ∀v ∈ H . Do ñoù w = 0. Vaäy T laø ñôn aùnh, nghóa laø, moät pheùp nhuùng töø H vaøo V / . 7 Chöùng minh (ii). Ta coù vôùi moïi v ∈ H , Tw V/ = sup v∈V , v V =1 ≤ sup v∈V , v V =1 Tw , v = w v ≤ sup w, v v∈V , v V =1 sup w v∈V , v V =1 v V = w . Chöùng minh (iii). Ta chöùng minh raèng moïi phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc treân V / vaø trieät tieâu treân T(H) thì cuõng trieät tieâu treân V / . Coi L ∈ (V / ) / vôùi L, Tw V // , V / = 0, ∀Tw ∈ T ( H ). Ta chöùng minh raèng L = 0, thaät vaäy, do V phaûn xaï, töùc laø (V / ) / = V theo nghóa (*) ∀L ∈ (V / ) / , ∃l ∈V : L, z V // ,V / Laáy z = Tw ∈V / ta coù 0 = L, Tw = z, l V // , V / V / ,V , ∀z ∈ V / . = w, l , ∀w ∈ V . Do V truø maät trong H neân ta coù w, l = 0, ∀w ∈ H . Vaäy l = 0. Theo (*) ta coù L, z V // ,V / = z, l V / ,V = 0, ∀z ∈V / . Vaäy L trieät tieâu treân V / . Chuù thích 2.1. Töø boå ñeà 2.2, ta cuõng duøng kyù hieäu tích voâ höôùng .,. ñeå chæ caëp tích ñoái ngaãu giöõa V , V / . Boå ñeà 2.4. Pheùp nhuùng V 1 H laø compact. Chöùng minh xem [5]. Chuù thích 2.2. Töø boå ñeà 2.2 suy ra raèng ⎛⎜ v 2 (1) + v / ⎝ v V (2.9) laø hai chuaån töông ñöông treân V vaø ta coù 1 v 2 2 V ≤ v/ 2 + v 2 (1) ≤ 4 v 8 2 V , ∀v ∈ V . 2 ⎞1 / 2 ⎟ ⎠ vaø Thaäy vaäy, baát ñaúng thöùc thöù nhaát cuûa (2.9) coù ñöôïc laø do 2 V v = v/ 2 + v 2 2 ≤ v/ + v/ 2 + v 2 (1) 2 ≤ 2 ⎛⎜ v / + v 2 (1) ⎞⎟ . ⎝ ⎠ Baát ñaúng thöùc coøn laïi cuûa (2.9) ñöôïc suy ra töø v/ 2 + v 2 (1) ≤ v / 2 +3 v 2 V ≤4 v 2 V . Ta chuù yù raèng (2.10) lim r →0+ r v(r ) = 0, ∀v ∈V . (xem [1] trang 128 ) Maët khaùc, do H 1 (ε ,1) 1 C 0 ([ε ,1]) , 0 < ε < 1 vaø (2.11) ε v ≤ v H 1 (ε ,1) V , ∀v ∈V . Ta suy ra raèng (2.12) v ⎢ [ε ,1] ∈ C 0 ([ε ,1]) , ∀ε , 0 < ε < 1. Töø (2.10), (2.12) suy ra (2.13) r v ∈ C 0 ([0,1]) , ∀v ∈V . II.2. KHOÂNG GIAN HAØM Lp (0, T ; X ),1 ≤ p ≤ ∞ Cho X laø khoâng gian Banach thöïc ñoái vôùi chuaån . X . Ta kyù hieäu Lp (0, T ; X ),1 ≤ p ≤ ∞ , laø khoâng gian caùc lôùp töông ñöông chöùa haøm u : (0, T ) → X ño ñöôïc, sao cho T ∫ u (t ) p X dt < ∞ vôùi 1 ≤ p < ∞ 0 hay ∃ M > 0 : u (t ) X ≤ M , a.e. t ∈ (0, T ) vôùi p = ∞ . 9 Ta ñònh nghóa chuaån trong Lp (0, T ; X ),1 ≤ p ≤ ∞ nhö sau: u vaø u ⎛T = ⎜ ∫ u (t ) ⎜ ⎝0 Lp (0,T ; X ) 1/ p p X ⎞ dt ⎟ ⎟ ⎠ = ess sup u (t ) L∞ (0,T ; X ) 0 0 : u (t ) X vôùi 1 ≤ p < ∞, X ≤ M , a.e t ∈ (0, T )} vôùi p = ∞ . Khi ñoù ta coù caùc boå ñeà sau ñaây maø chöùng minh cuûa chuùng coù theå tìm thaáy trong Lions [2]. Boå ñeà 2.5. Lp (0, T ; X ) laø khoâng gian Banach. Boå ñeà 2.6. Goïi X / laø ñoái ngaãu cuûa X. Khi ñoù vôùi 1 < p < ∞, (L p (0, T ; X ) ) / = L p (0, T ; X / ) / 1 1 + = 1, p p/ laø ñoái ngaãu cuûa L p (0, T ; X ). Hôn nöõa, neáu X phaûn xaï thì Lp (0, T ; X ) cuõng phaûn xaï. ( ) / Boå ñeà 2.7. L1 (0, T ; X ) = L∞ (0, T ; X / ). Hôn nöõa caùc khoâng gian L1 (0, T ; X ), L∞ (0, T ; X / ) khoâng phaûn xaï. Chuù thích 2.3. Neáu X = Lp (Ω) thì Lp (0, T ; X ) = Lp (Ω × (0, T )). Phaân boá coù giaù trò veùctô. Ñònh nghóa 2.1. Cho X laø moät khoâng gian Banach thöïc. Moät aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc töø D((0,T)) vaøo X ñöôïc goïi laø moät phaân boá coù giaù trò trong X. Taäp caùc phaân boá coù giaù trò trong X kyù hieäu laø D / (0, T ; X ) = L( D(0, T ); X ) = { f : D(0, T ) → X / f tuyeán tính vaø lieân tuïc }. Chuù thích 2.4. Ta kyù hieäu D(0,T) thay cho D((0,T)) hoaëc Cc∞ ((0, T )) ñeå chæ khoâng gian caùc haøm soá thöïc khaû vi voâ haïn coù giaù compact trong (0,T). 10 Ñònh nghóa 2.2. Cho f ∈ D / (0, T ; X ). Ta ñònh nghóa ñaïo haøm df dt theo nghóa phaân boá cuûa f bôûi coâng thöùc df dϕ ,ϕ = − f , , ∀ϕ ∈ D(0, T ). dt dt (2.14) Caùc tính chaát. 1/ Cho v ∈ Lp (0, T ; X ). Ta laøm töông öùng vôùi noù bôûi aùnh xaï Tv : D(0, T ) → X nhö sau: T Tv ,ϕ = ∫ v (t ) ϕ (t ) dt , ∀ϕ ∈ D(0, T ). (2.15) 0 Ta coù theå nghieäm laïi raèng Tv ∈ D / (0, T ; X ). Thaät vaäy i) Aùnh xaï Tv : D(0, T ) → X hieån nhieân laø tuyeán tính. ii) Ta nghieäm laïi aùnh xaï Tv : D(0, T ) → X lieân tuïc. { } Giaû söû ϕ j ⊂ D (0, T ) sao cho lim ϕ j = 0 trong D(0,T) ta coù Tv ,ϕ j j →+∞ T X = ∫ v (t )ϕ j (t ) dt 0 ≤ ⎜ ∫ v(t ) ⎜ ⎝0 Do ñoù lim Tv ,ϕ j ≤ ∫ v (t ) ϕ j (t ) ⎛T dt ⎟ ⎜ ∫ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝0 = 0. Vaäy p X X 1 ⎞p X dt 0 X ⎛T j →+∞ T 1 ⎞ p/ ϕ j (t ) dt ⎟ ⎯⎯⎯→ 0. j →+∞ ⎟ ⎠ / Tv ∈ D (0, T ; X ). p / 2/ Aùnh xaï v a Tv laø moät ñôn aùnh, tuyeán tính töø Lp (0, T ; X ) vaøo D / (0, T ; X ), do ñoù ta coù theå ñoàng nhaát Tv = v. Khi ñoù ta coù keát quaû sau. Boå ñeà 2.8. (Lions [2]). 11 Lp (0, T ; X ) ⊂ D / (0, T ; X ) vôùi pheùp nhuùng lieân tuïc. Ñaïo haøm trong Lp (0, T ; X ). Do boå ñeà 2.8, vôùi f ∈ Lp (0, T ; X ) ta coù theå coi f vaø do ñoù df laø dt caùc phaàn töû cuûa D / (0, T ; X ). Ta coù caùc keát quaû sau. Boå ñeà 2.9. (Lions [2]). Neáu f , f / ∈ L1 (0, T ; X ) thì f baèng haàu heát vôùi moät haøm lieân tuïc töø [0,T] vaøo X. Chöùng minh boå ñeà 2.9 goàm nhieàu böôùc. t Böôùc 1. Ñaët H (t ) = ∫ f / ( s) ds. Khi ñoù H :[0, T ] → X lieân tuïc vì 0 f ∈ L (0, T ; X ). / 1 Tröôùc heát ta chöùng minh raèng dH df = = f / theo nghóa phaân dt dt boá. Thaät vaäy, ta coù T dH dϕ dϕ ,ϕ = − H , = − ∫ H (t ) (t ) dt (2.17) dt dt dt 0 T⎛ t T T ⎞ dϕ dϕ / (t ) dt = − ∫ f ( s ) ds ∫ (t ) dt = − ∫ ⎜ ∫ f ( s ) ds ⎟ ⎜ ⎟ dt dt 0⎝ 0 0 s ⎠ / T = ∫ f / ( s ) ϕ ( s ) ds = f / ,ϕ . 0 dH df Vaäy = = f / trong D / (0, T ; X ) . dt dt Böôùc 2. Ta chöùng minh f = H + C theo nghóa phaân boá (C laø haèng). Thaät vaäy, giaû söû v = H − f ta coù v / = 0 theo nghóa phaân boá (do böôùc 1 ). Ta seõ chöùng minh raèng v = C theo nghóa phaân boá. Ta coù v / = 0 töông ñöông vôùi 12 T ∫ v (s)ϕ (2.18) ( s ) ds = 0, ∀ϕ ∈ D (0, T ) / 0 Cho ϕ ∈ D(0, T ), ta coù theå vieát ϕ döôùi daïng ϕ = λϕ o + ψ / , trong T T 0 0 ñoù ψ ∈ D (0, T ) , ϕ o thoûa ∫ ϕ o ( s ) ds = 1, λ = ∫ ϕ (t ) dt . T ∫ (ϕ (t ) − λϕo (t ) ) dt = 0 , Thaät vaäy, ta coù neân nguyeân haøm cuûa 0 ϕ (t ) − λϕ o (t ) trieät tieâu taïi t = 0 seõ thuoäc D(0,T). t Choïn ψ (t ) = ∫ (ϕ ( s ) − λϕ o ( s ) ) ds. Trong (2.18) thay ϕ / bôûi ψ / ta 0 thu ñöôïc T T 0 0 / ∫ v (s)ψ ( s) ds = ∫ v( s)[ϕ (s) − λϕo (s)] ds = 0, ∀ϕ ∈ D(0,T ) hay (2.19) T T ∫ v (s)ϕ ( s) ds = λ ∫ v(s)ϕo (s) ds 0 T 0 T 0 0 = ∫ ϕ ( s ) ds ∫ v (t ) ϕ o (t ) dt , ∀ϕ ∈ D (0, T ). T Ñaët C = ∫ v (t ) ϕ o (t ) dt ta suy ra töø (2.19) raèng 0 T ∫ ( v(s) − C ) ϕ (s) ds = 0, ∀ϕ ∈ D(0, T ) . 0 Vaäy v(t ) = C = const trong D / (0, T ; X ). Böôùc 3. Ta söû duïng tính chaát sau: T Neáu w ∈ L (0, T ; X ) vaø ∫ w(t )ϕ (t )dt = 0, ∀ϕ ∈ D(0, T ) thì 1 0 w(t ) ≡ 0 vôùi haàu heát t ∈ [0, T ] . 13 Ñieàu naøy coù ñöôïc laø do aùnh xaï w a Tw töø L1 (0, T ; X ) vaøo D / (0, T ; X ) laø ñôn aùnh (tính chaát 2/ ôû treân ). Ta suy ra raèng f = H + C theo nghóa phaân boá. Töø caùc böôùc 1, 2, 3 ôû treân boå ñeà 2.9 ñaõ ñöôïc chöùng minh. Töông töï ta coù boå ñeà sau: Boå ñeà 2.10. Neáu f , f / ∈ Lp (0, T ; X ) thì f baèng haàu heát vôùi moät haøm lieân tuïc töø [0,T] vaøo X. II.3. BOÅ ÑEÀ VEÀ TÍNH COMPACT CUÛA LIONS Cho 3 khoâng gian Banach X o , X1 , X vôùi X o ⊂ X ⊂ X1 sao cho (2.20) X o , X 1 laø phaûn xaï, (2.21) Pheùp nhuùng X o 1 X laø compact. Vôùi 0 < T < +∞ , 1 ≤ pi ≤ +∞ , i = 0,1. Ta ñaët (2.22) { } W (0, T ) = v ∈ Lpo (0, T ; X o ) : v / ∈ Lp1 (0, T ; X1 ) Ta trang bò cho W(0,T) bôûi chuaån (2.23) v W (0,T ) = v Lpo (0,T ; X o ) + v/ Lp1 (0,T ; X1 ) Khi ñoù W(0,T) laø moät khoâng gian Banach. Hieån nhieân W (0, T ) ⊂ Lp (0, T ; X ). 0 Ta cuõng coù keát quaû sau ñaây lieân quan ñeán pheùp nhuùng compact. Boå ñeà 2.11. (Boå ñeà veà tính compact cuûa Lions). Vôùi giaû thieát (2.20), (2.21) vaø neáu 1 < pi < ∞ , i = 0, 1 thì pheùp nhuùng W (0, T ) 1 L p (0, T ; X ) laø compact. 0 Chöùng minh. Coù theå tìm thaáy trong Lions [2], trang 57. 14 q II.4. BOÅ ÑEÀ VEÀ SÖÏ HOÄI TUÏ YEÁU TRONG L (Q ) Boå ñeà 2.12. Cho Q laø taäp môû, bò chaën cuûa RN vaø Gm , G ∈ L q (Q), 1 < q < +∞ , sao cho Gm L q (Q ) ≤ C , trong ñoù C laø haèng soá ñoäc laäp vôùi m vaø Gm → G a.e.(r , t ) trong Q. Khi ñoù Gm → G trong L q (Q) yeáu. II.5. BOÅ ÑEÀ GRONWALL Boå ñeà cuoái cuøng naøy lieân quan ñeán moät baát phöông trình tích phaân, noù raát caàn thieát cho vieäc ñaùnh giaù tieân nghieäm trong caùc chöông sau. Boå ñeà 3.13. (Boå ñeà Gronwall ). Giaû söû f :[0, T ] → R laø haøm khaû tích, khoâng aâm treân [0,T] vaø t thoûa baát ñaúng thöùc f (t ) ≤ C1 + C2 ∫ f ( s) ds vôùi haàu heát t ∈ [0, T ] 0 trong ñoù C1 , C2 laø caùc haèng soá khoâng aâm. Khi ñoù f (t ) ≤ C1eC2 t vôùi haàu heát t ∈ [0, T ] . Ta cuõng duøng caùc kyù hieäu u (t ), u / (t ) = ut (t ), ur (t ) = ∇u (t ), urr (t ), laàn löôït ñeå chæ ∂u ∂u ∂ 2u (r , t ), (r , t ), (r , t ) . ∂t ∂t ∂ r2 15 u (r , t ),