Tài liệu Nghiên cứu giải thuật lai mờ - nơ ron và ứng dụng trong xấp xỉ mô hình mờ

1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG BÙI TRUNG MINH NGHIÊN CỨU GIẢI THUẬT LAI MỜ - NƠ RON VÀ ỨNG DỤNG TRONG XẤP XỈ MÔ HÌNH MỜ Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số : 60 48 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Phạm Thanh Hà Thái Nguyên, năm 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 2 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Phạm Thanh Hà, thầy đã định hướng, hướng dẫn, chỉ dạy tận tình để em có thể hoàn thành luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo ở trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy giáo ở Viện Công nghệ thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã nhiệt tình truyền thụ kiến thức cho em trong suốt quá trình học tập vừa qua. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn cơ quan nơi tôi công tác, bạn bè đồng nghiệp, gia đình và những người thân đã cùng chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi có thể học tập và hoàn thành cuốn luận văn này. Tuy đã có những cố gắng nhất định nhưng do thời gian và trình độ có hạn nên chắc chắn luận văn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế. Rất mong nhận được sự góp ý của Quý thầy cô và các bạn./. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 6 năm 2014 HỌC VIÊN Bùi Trung Minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 3 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết quả đạt được trong luận văn là sản phẩm nghiên cứu, tìm hiểu của riêng cá nhân tôi. Trong toàn bộ nội dung luận văn, những điều được trình bày hoặc là của cá nhân tôi hoặc là được tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu. Tất cả các tài liệu tham khảo đều có xuất xứ rõ ràng và được trích dẫn hợp pháp. Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm và chịu mọi hình thức kỷ luật theo quy định cho lời cam đoan của mình./. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 6 năm 2014 HỌC VIÊN Bùi Trung Minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 4 MỤC LỤC DANH MỤC BẢNG ........................................................................................ 7 DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT.......................................................................... 8 MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 9 1. Đặt vấn đề, lý do chọn đề tài ..................................................................... 9 2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................... 10 3. Hướng nghiên cứu của đề tài .................................................................. 10 4. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................... 11 5. Ý nghĩa khoa học của đề tài .................................................................... 11 Chƣơng 1: TẬP MỜ VÀ LOGIC MỜ ........................................................ 12 1.1. Tập mờ ................................................................................................ 12 1.2. Một số khái niệm cơ bản liên quan ..................................................... 14 1.3. Các phép toán trên tập mờ ................................................................... 15 1.3.1. Các phép toán chuẩn trên tập mờ .................................................. 15 1.3.2. Các phép toán khác trên tập mờ .................................................... 17 1.3. Quan hệ mờ ......................................................................................... 21 1.3.1 Quan hệ mờ .................................................................................... 21 1.3.2. Hợp thành của các quan hệ mờ ..................................................... 22 1.4. Logic mờ ............................................................................................. 24 1.4.1. Biến ngôn ngữ ............................................................................... 24 1.4.2. Mệnh đề mờ .................................................................................. 25 1.4.3. Các mệnh đề hợp thành ................................................................. 27 1.4.4. Kéo theo mờ - Luật if - then mờ ................................................... 28 1.5. Luật Modus - Ponens tổng quát ........................................................... 31 1.6. Vấn đề mờ hoá .................................................................................... 34 1.7. Vấn đề khử mờ ..................................................................................... 35 Chƣơng 2: MẠNG NƠ RON NHÂN TẠO ................................................. 36 2.1. Cấu trúc và mô hình của mạng nơ ron ................................................. 36 2.2. Phân loại theo cấu trúc mạng nơ ron .................................................... 40 2.2.1. Mạng nơ ron 1 lớp:........................................................................ 40 2.2.2. Mạng nơ ron truyền thẳng nhiều lớp: ........................................... 41 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 5 2.2.3 Mạng nơ ron hồi quy: ..................................................................... 42 2.3. Các luật học: ......................................................................................... 42 2.4. Mạng nơ ron truyền thẳng .................................................................... 45 2.4.1. Mạng Perceptron một lớp đơn ...................................................... 45 2.4.2. Thuật toán huấn luyện lan truyền ngược sai số ............................ 46 2.5. Mạng nơ ron RBF (Radial Basis Function) ......................................... 48 Chƣơng 3: ỨNG DỤNG MẠNG NƠ RON XẤP XỈ MÔ HÌNH MỜ ...... 53 3.1. Phương pháp xấp xỉ mô hình mờ ........................................................ 53 3.2. Ứng dụng mạng nơ ron RBF giải bài toán xấp xỉ mô hình mờ ........... 58 3.3. Ứng dụng trên bài toán xấp xỉ mô hình mờ của Cao - Kandel ............ 59 3.3.1. Bài toán xấp xỉ mô hình mờ EX1 ................................................. 59 3.3.2. Ứng dụng mạng nơ ron RBF giải bài toán xấp xỉ mô hình EX1 .. 62 3.4. Ứng dụng mạng nơ ron RBF xấp xỉ mô hình mờ hình chuông ........... 69 3.4.1. Bài toán xấp xỉ mô hình mờ hình chuông .................................... 69 3.4.2. Ứng dụng mạng nơ ron xấp xỉ mô hình mờ hình chuông ............. 71 KẾT LUẬN .................................................................................................... 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................78 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 6 DANH MỤC HÌNH Hình 1.1. Các tập mờ "tốc độ chậm", "tốc độ trung bình", "tốc độ nhanh"................ 12 Hình 1.2. Giá đỡ, nhân và biên của tập mờ ................................................................ 13 Hình 1.3. Các tập mờ biểu diễn giá trị ngôn ngữ "chậm", "nhanh", "trung bình"....... 24 Hình 1.4. Tập mờ "tuổi trẻ"......................................................................................... 26 Hình 1.5. Phương pháp cực đại .................................................................................. 34 Hình 1.6. Phương pháp điểm trọng tâm ..................................................................... 34 Hình 2.1. Một mạng nơ ron đơn giản gồm hai nơ ron ............................................... 35 Hình 2.2. Mô hình của một nơ ron ............................................................................. 36 Hình 2.3. Cấu trúc của một nơ ron ............................................................................. 37 Hình 2.4. Các hàm kích hoạt: (a) hàm bước nhẩy; (b) hàm dấu; (c) hàm dốc; (d) hàm sigmoid đơn cực; (e) hàm sigmoid lưỡng .................................................... 39 Hình 2.5. Một số liên kết đặc thù của mạng nơ ron ................................................... 40 Hình 2.5.1. Mạng nơ ron 1 lớp ................................................................................... 40 Hình 2.5.2. Mạng nơ ron hồi quy ............................................................................... 40 Hình 2.5.3. Mạng nơ ron nhiều lớp ............................................................................ 40 Hình 2.6. Học có giám sát .......................................................................................... 42 Hình 2.7. Học không giám sát .................................................................................... 42 Hình 2.8. Cấu trúc chung của 2 quá trình học ............................................................ 43 Hình 2.9. Mạng Perceptron đơn ................................................................................. 44 Hình 2.10. Cấu trúc mạng RBF .................................................................................. 47 Hình 3.1. Đường cong thực nghiệm của mô hình EX1 .............................................. 60 Hình 3.2. Các giá trị đầu vào và các tập mờ tương ứng ............................................. 62 Hình 3.3. Mô hình EX1 xấp xỉ được .......................................................................... 62 Hình 3.4. Bề mặt của hàm gốc hình chuông ............................................................... 68 Hình 3.5. Các tập mờ của biến đầu vào x, y ............................................................... 69 Hình 3.6. Hàm thuộc của biến đầu ra z ...................................................................... 69 Hình 3.7. Bề mặt hàm hình chuông xấp xỉ bằng hệ mờ ............................................. 70 Hình 3.8. Đầu vào x, y được rời rạc và tập mờ tương ứng ......................................... 72 Hình 3.9. Kết quả xấp xỉ mô hình mờ hình chuông ................................................... 73 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 7 DANH MỤC BẢNG Bảng 1.1. Hàm thuộc của các tập mờ A, B, C ............................................... 11 Bảng 3.1. Mô hình mờ EX1 của Cao - Kandel ……………………………. 58 Bảng 3.2. Hàm thuộc của các tập mờ của biến I …………………………... 59 Bảng 3.3. Hàm thuộc của các tập mờ của biến ngôn ngữ N ………………. 59 Bảng 3.4. Các kết quả xấp xỉ mô hình EX1 tốt nhất của Cao - Kandel ........ 61 Bảng 3.5. Mô hình FAM xấp xỉ hình chuông ……………………………... 69 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 8 DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT Từ viết tắt Ý nghĩa BP Back Propagation RBF Radial Basis Function BPN Back Propagation Network Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 9 ơ MỞ ĐẦU 1. Đặt vấn đề, lý do chọn đề tài Bài toán xấp xỉ mô hình mờ là một bài toán quan trọng và được ứng dụng nhiều trong thực tiễn, bài toán được phát biểu như sau: Cho trước mô hình mờ If X1 = A11 and ... and Xn = A1n then Y = B1 ....... If X1 = Am1 and ... and Xn = Amn then Y = Bm Trong đó Aij và Bi, i = 1,.., m, j = 1,.., n là những từ ngôn ngữ mô tả các đại lượng của biến ngôn ngữ Xj và Y. Ứng với các giá trị (hoặc giá trị mờ, hoặc giá trị thực) của các biến đầu vào đã cho, hãy tính giá trị đầu ra của biến Y. Dựa trên cách tiếp cận của lý thuyết tập mờ, các phương pháp xấp xỉ mô hình mờ được dựa trên ý tưởng sau: - Ngữ nghĩa của các giá trị ngôn ngữ của các biến ngôn ngữ trong mô hình mờ được biểu thị bằng các tập mờ. - Khi đó mỗi mô hình mờ sẽ được mô phỏng bằng một quan hệ mờ hai ngôi R. - Ứng với vectơ đầu vào A0, giá trị của biến đầu ra được tính theo công thức B0 = A0 o R, trong đó o là một phép tích hợp. Hiệu quả của phương xấp xỉ mô hình mờ nói chung phụ thuộc nhiều yếu tố rất căn bản chẳng hạn như lựa chọn tập mờ (bài toán xây dựng các hàm thuộc), xây dựng quan hệ mờ mô phỏng tốt nhất mô hình mờ (tri thức) và bài toán lựa chọn phép kết nhập, … Đây là một khó khăn không nhỏ khi xây dựng phương pháp xấp xỉ mô hình mờ. [1,3] Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 10 Mạng nơ ron nhân tạo có những khả năng tiềm tàng, một trong những khả năng đó là nó có thể được huấn luyện để xấp xỉ một hàm phi tuyến từ một tập mẫu cho trước với độ chính xác tùy ý. Như vậy, nếu có thể đưa mỗi luật trong mô hình mờ về 1 điểm trong không gian, ta sẽ có một tập mẫu cho trước và ta có thể khai thác khả năng xấp xỉ hàm của mạng nơ ron để xấp xỉ mô hình mờ. [2] Ý tưởng trên là động lực để học viên nghiên cứu sâu về phương pháp lập luận mờ truyền thống, ứng dụng mạng nơ ron để xấp xỉ mô hình mờ và đó chính là lý do để học viên chọn đề tài “Nghiên cứu giải thuật lai mờ - nơ ron và ứng dụng trong xấp xỉ mô hình mờ” dưới sự định hướng, hướng dẫn của thầy giáo TS. Phạm Thanh Hà. 2. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: tập mờ, logic mờ và mạng nơ ron. - Nghiên cứu về lý thuyết tập mờ và logic mờ và đặc biệt là phương pháp lập luận mờ. - Nghiên cứu về mạng nơ ron nhân tạo và các phương pháp huấn luyện mạng nơ ron, trong đó đề cập sâu tới mạng nơ ron truyền thẳng. - Phạm vi nghiên cứu tập trung vào việc sử dụng mạng nơ ron trong phương pháp lập luận mờ, thay thế cho các bước kết nhập đầu vào, phép kéo theo. - Cài đặt giải thuật mờ - nơ ron và ứng dụng trong xấp xỉ mô hình mờ. Phân tích, đánh giá kết quả đạt được. 3. Hƣớng nghiên cứu của đề tài - Nghiên cứu lý thuyết về tập mờ, logic mờ. - Nghiên cứu lý thuyết về mạng nơ ron. - Sử dụng các công cụ để mô phỏng bài toán. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 11 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết kết hợp với cài đặt thực nghiệm. 5. Ý nghĩa khoa học của đề tài Nghiên cứu về hệ mờ, logic mờ, mạng nơ ron, các lĩnh vựng ứng dụng và cài đặt mô phỏng giải thuật lai mờ - nơ ron và ứng dụng trong xấp xỉ mô hình mờ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 12 Chƣơng 1 TẬP MỜ VÀ LOGIC MỜ 1.1. Tập mờ Một tập mờ A trong vũ trụ U được xác định là một hàm A: U  [0, 1]. Hàm A được gọi là hàm thuộc (hàm đặc trưng) của tập mờ A còn A(x) được gọi là mức độ thuộc của x vào tập mờ A. Tập mờ A trong vũ trụ U được biểu diễn bằng tập tất cả các cặp phần tử và mức độ thuộc của nó: A = { (x, A(x)) | x  U} Ví dụ: Giả sử các điểm thi được cho từ 0 đến 10, U = {0,1,…,10}. Ta xác định ba tập mờ A = “điểm khá”, B = “điểm trung bình”, C = “điểm kém” bằng cách cho mức độ thuộc của các điểm vào mỗi tập mờ như sau: Bảng 1.1. Hàm thuộc của các tập mờ A, B, C Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 0 0 0 0 0 0,1 0,5 0,8 1 1 1 B 0 0 0 0,2 0,8 1 0,8 0,3 0 0 0 C 1 1 1 0,9 0,7 0,5 0,1 0 0 0 0 Sau đây là các ký hiệu biểu diễn tập mờ: - Nếu vũ trụ U là rời rạc và hữu hạn thì tập mờ A trong vũ trụ U được biểu diễn như sau: A   xU  A ( x) x Ví dụ: Giả sử U={a, b, c, d, e}, ta có thể xác định một tập mờ A như sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 13 A 0,7 0 0,3 1 0,5     a b c d e - Khi vũ trụ U là liên tục, ta sử dụng cách viết sau để biểu diễn tập mờ A: A    A ( x) / x , trong đó, dấu tích phân không có nghĩa là tích phân mà để U chỉ tập hợp tất cả các phần tử x được gắn với mức độ thuộc của nó. Ví dụ: Tập mờ A = “số gần 2” có thể được xác định bởi hàm thuộc như sau:  A ( x)  e   ( x2)2 , chúng ta viết A  ( x  2) /x e 2  Các tập mờ được sử dụng rộng rãi nhất trong các ứng dụng là các tập mờ trên đường thẳng thực R và các tập mờ trong không gian Rn (n  2). Ví dụ: Giả sử tốc độ của một chuyển động có thể lấy giá trị từ 0 với max = 150 (km/h). Chúng ta có thể xác định 3 tập mờ “tốc độ chậm”, “tốc độ trung bình”, “tốc độ nhanh” như trong hình 1.1. Các tập mờ này được gọi là các tập mờ hình thang, vì hàm thuộc của chúng có dạng hình thang. chậm trung bình nhanh 1 150 Hình 1.1. Các tập mờ “tốc độ chậm”, “tốc độ trung bình”, “tốc độ nhanh” Nhận xét: - Các tập mờ được đưa để biểu diễn các tính chất không chính xác, không rõ ràng, mờ, chẳng hạn các tính chất “người già”, “số gần 2”, “nhiệt độ thấp”, “áp suất cao”, “tốc độ nhanh”,.. - Khái niệm tập mờ là một khái niệm toán học hoàn toàn chính xác: một Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 14 tập mờ trong vũ trụ U là một hàm xác định trên U và nhận giá trị trong đoạn [0, 1]. Các tập rõ là tập mờ, hàm thuộc của tập rõ chỉ nhận giá trị 1, 0. Khái niệm tập mờ là sự tổng quát hoá khái niệm tập rõ. - Một tính chất mờ có thể mô tả các tập mờ khác nhau, trong các ứng dụng ta cần xác định các tập mờ biểu diễn các tính chất mờ sao cho phù hợp với thực tế, với các số liệu thực nghiệm. [1,3,5] 1.2. Một số khái niệm cơ bản liên quan Giả sử A là một tập mờ trên vũ trụ U. Giá đỡ của tập mờ A, ký hiệu là supp(A) là một tập rõ bao gồm tất cả các phần tử x  U có mức độ thuộc vào tập mờ A lớn hơn không, tức là supp(A) = { x  A | A(x)  0} Nhân của tập mờ A là một tập rõ bao gồm tất cả các phần tử x  U sao cho A(x) = 1. Còn biên của tập mờ A sẽ gồm tất cả các x  U sao cho 0  A(x)  1. Hình 1.2 minh hoạ giá đỡ, nhân và biên của một tập mờ (x) 1 Biên Nhân Biên x Giá đỡ Hình 1.2. Giá đỡ, nhân và biên của tập mờ Độ cao của một tập mờ A, ký hiệu là height(A), được xác định là cận trên đúng của các A(x) với x chạy trên vũ trụ U, tức là: height( A)  sup  A ( x) x U Các tập mờ có độ cao bằng 1 được gọi là các tập mờ chuẩn tắc (normal fuzzy set). Chẳng hạn, các tập mờ A, B, C trong các ví dụ trên đều là tập mờ chuẩn tắc. [1,3] Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 15 Lát cắt  (- cut) của tập mờ A, ký hiệu A là một tập rõ bao gồm tất cả các phần tử của vũ trụ U có mức độ thuộc vào A lớn hơn hoặc bằng . Tức là: A = {x  U | A(x)  } Ví dụ : Giả sử U = {a, b, c, d, e, m, n} và A là tập mờ được xác định: A 0,1 0,7 0,5 0 1 0,8 0       a b c d e m n Khi đó ta có A0,1 = {a, b, c, e, m}, A0,3 = {b, c, e, m}, A0,8 = {e, m} 1.3. Các phép toán trên tập mờ 1.3.1. Các phép toán chuẩn trên tập mờ Giả sử A và B là các tập mờ trên vũ trụ U. Ta nói tập mờ A bằng tập mờ B, A = B nếu với mọi x  U A(x) = B(x) Tập mờ A được gọi là tập con của tập mờ B, A  B nếu với mọi x  U: A(x)  B(x) Phần bù của tập mờ A là tập mờ A với hàm thuộc:  A ( x)  1   A ( x) (1.1) Hợp của hai tập mờ A và B là tập mờ A  B với hàm thuộc được xác định như sau: A  B(x) = max (A(x), B(x)) (1.2) Giao của hai tập mờ A và B là tập mờ A  B với hàm thuộc được xác định như sau: A  B(x) = min (A(x), B(x)) (1.3) Ví dụ: Giả sử U = {a, b, c, d, e} và A, B là các tập mờ như sau: A 0,3 0,7 0 1 0,5 0,1 0,9 0,6 1 0,5 , A         a c c d e a c c d e Khi đó chúng ta có các tập mờ như sau: A 0,7 0,3 1 0 0,5 0,3 0,9 0,6 1 0,5 , A B          a c c d e a c c d e A B  0,3 0,7 0 1 0,5     a c c d e Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 16 Giả sử A1, A2, …, An là các tập mờ trên các vũ trụ U1, U2, …, Un tương ứng. Tích đề các của A1, A2, …, An là tập mờ A = A1 A2 … An trên không gian U = U1 U2 … Un với hàm thuộc được xác định như sau:  A ( x1 ,..., x n )  min(  A1 ( x1 ),  A 2 ( x 2 ),...,  A n ( x n )) x1  U 1 ,..., x n  U n Giả sử A là tập mờ trong không gian tích U1  U2. Hình chiếu của A trên  A ( x1 , x 2 ) U1 là tập mờ A1 với hàm thuộc  A1 ( x1 )  max x U 2 2 Định nghĩa này có thể mở rộng cho trường hợp A là tập mờ trên không gian U i  U i  ...  U i . Ta có thể tham chiếu A lên không gian tích 1 2 k U i1  U i2  ...  U ik , trong đó (i1 ,..., ik ) là các dãy con của dãy (1, 2, …, n), để nhận được tập mờ trên không gian U i  U i  ...  U i 1 2 k Giả sử A1 là tập mờ trên vũ trụ U1. Mở rộng hình trụ của A1 trên không gian tích U1  U2 là tập mờ A trên vũ trụ U1  U2 với hàm thuộc được xác định bởi: A(x1, x2) = A1(x1) Đương nhiên ta có thể mở rộng một tập mờ trong không gian U i1  U i2  ...  U ik thành một tập mờ hình trụ trong không gian U1 U2 … Un trong đó (i1 ,..., ik ) là các dãy con của dãy (1,2,…, n) [1,3,5]. Ví dụ: Giả sử U1 = {a, b, c} và U2 = {d, e}. Giả sử A1, A2 là các tập mờ trên U1, U2 tương ứng: A1  1 0 0,5 0,3 0,7    , A2  a b c d e Khi đó ta có: A1  A2  0,3 0,7 0 0 0,3 0,5      (a, d ) (a, e) (b, d ) (b, e) (c, d ) (c, e) Nếu chiếu tập mờ này lên U1, ta nhận được tập mờ sau: 0,7 0 0,5   a b c Mở rộng hình trụ của tập mờ A1 trên không gian U1 U2 là tập mờ sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 17 1 1 0 0 0,5 0,5      (a, d ) (a, e) (b, d ) (b, e) (c, d ) (c, e) 1.3.2. Các phép toán khác trên tập mờ Các phép toán chuẩn: Phần bù, hợp, giao được xác định bởi các công thức (1.1), (1.2), (1.3) không phải là sự tổng quát hoá duy nhất của các phép toán phần bù, hợp, giao trên tập rõ. Có thể thấy rằng, tập mờ A  B được xác định bởi (1.2) là tập mờ nhỏ nhất chứa cả A và B, còn tập mờ A  B được xác định bởi (1.3) là tập mờ nhỏ nhất nằm trong cả A và B. Còn có những cách khác để xác định các phép toán phần bù, hợp, giao trên các tập mờ. Chẳng hạn, ta có thể xác định hợp của A và B là tập bất kỳ chứa cả A và B. Sau đây chúng ta sẽ đưa vào các phép toán mà chúng là tổng quát hoá của các phép toán chuẩn được xác định bởi (1.1), (1.2) và (1.3). Giả sử chúng ta xác định hàm C: [0, 1]  [0, 1] bởi công thức: C(a) = 1 - a, a  [0, 1]. Khi đó từ công thức (1.1) xác định phần bù chuẩn, ta có:  A ( x)  C A ( x) (1.4) Điều này gợi ý rằng, nếu chúng ta có một hàm C thoả mãn một số điều kiện nào đó thì chúng ta có thể xác định phần bù A của tập mờ A bởi công thức (1.4). Tổng quát hoá các tính chất của hàm C, C(a) = 1- a, chúng ta đưa ra định nghĩa sau: Phần bù của tập mờ A là tập mờ A với hàm thuộc được xác định trong (1.4), trong đó C là hàm thoả mãn các điều kiện sau: - Tiên đề C1 (điều kiện biên). C(0) = 1, C(1) = 0 - Tiên đề C2 (đơn điệu không tăng). Nếu a  b thì C(a)  C(b) với mọi a, b  [0, 1]. Hàm C thoả mãn các điều kiện C1, C2 sẽ được gọi là hàm phần bù. Chẳng hạn, hàm C(a) = 1- a thoả mãn cả 2 điều kiện trên. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 18 Sau đây là một số lớp phần bù mờ quan trọng Ví dụ: Các phần bù mờ lớp Sugeno được xác định bởi hàm C: C (a)  1 a , trong đó,  là tham số,   1, ứng với mỗi giá trị của  chúng 1  a ta nhận được một phần bù. Khi  = 0 phần bù Sugeno trở thành phần bù chuẩn (1.1). 1 w Ví dụ: Các phần bù lớp Yager được xác định bởi hàm C: C (a)  (1  a ) , w trong đó w là tham số, w  0, ứng với mối giá trị của tham số w chúng ta sẽ có một phần bù và với w = 1 phần bù Yager trở thành phần bù chuẩn (1.1). Phép toán hợp chuẩn được xác định bởi (1.2), tức là nó được xác định nhờ hàm max(a, b): [0, 1]  [0, 1]  [0, 1]. Từ các tính chất của hàm max này, chúng ta đưa ra một lớp các hàm được gọi là S - norm. Một hàm S: [0, 1]  [0, 1]  [0, 1] được gọi là S - norm nếu nó thỏa mãn các tính chất sau: - Tiên đề S1 (điều kiện biên): S(1, 1) = 1; S(0, a) = S(a, 0) = a - Tiên đề S2 (tính giao hoán): S(a, b) = S(b, a) - Tiên đề S3 (tính kết hợp): S(S(a, b), c) = S(a, S(b, c)) - Tiên đề S4 (đơn điệu tăng): Nếu a  a’, b  b’ thì S(a, b)  S(a’, b’) Ứng với mỗi S - norm, chúng ta xác định một phép hợp mờ như sau: Hợp của A và B là tập mờ A  B với hàm thuộc được xác định bởi:  AB ( x)  S ( A ( x),  B ( x)) (1.5) Các phép hợp được xác định bởi (1.5) được gọi là các phép toán S norm. Chẳng hạn, hàm max(a, b) thoả mãn các điều kiện (S1) đến (S4), do đó hợp chuẩn (1.2) là phép toán S - norm. Người ta thường ký hiệu max(a, b) = a  b. Một số phép toán S - norm quan trọng: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 19 b0 a0 a if  Tổng Drastic: a  b  b if 1 if  a  0, b  0 Tổng chặn: a  b  min(1, a  b) Tổng đại số: a ̂ b  a  b  ab 1   w w w Các phép hợp Yager: S w  min 1, (a  b )    trong đó w là tham số, w  0, ứng với mỗi giá trị của w chúng ta có một S - norm cụ thể, khi w = 1, hợp Yager trở thành tổng chặn. Có thể thấy rằng: lim S w (a, b)  max( a, b) , lim S w (a, b)  a  b w w0 Như vậy khi w   , giao Yager trở thành hợp chuẩn. Chúng ta đã xác định giao chuẩn bởi hàm min(a, b): [0,1][0,1][0,1]. Tổng quát hoá từ các tính chất của hàm min này, chúng ta đưa ra một lớp các hàm được gọi là T - norm. Một hàm T: [0, 1]  [0, 1]  [0, 1] được gọi là T - norm nếu nó thỏa mãn các tính chất sau: - Tiên đề T1 (điều kiện biên): T(0, 0) = 0; S(1, a) = S(a, 1) = a - Tiên đề T2 (tính giao hoán): T(a, b) = T(b, a) - Tiên đề T3 (tính kết hợp): T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c)) - Tiên đề T4 (đơn điệu tăng): Nếu a  a’, b  b’ thì T(a, b)  T(a’, b’) Ứng với mỗi T - norm, chúng ta xác định một phép giao mờ như sau: Giao của A và B là tập mờ A  B với hàm thuộc được xác định bởi biểu thức  AB ( x)  T ( A ( x),  B ( x)) (1.6) trong đó T là một T - norm. Các phép giao mờ được xác định bởi (1.6) được gọi là các phép toán T - norm. Chẳng hạn, hàm min(a, b) là T - norm. Chúng ta sẽ ký hiệu min(a, b) = a  b Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 20 Một số T - norm quan trọng: Tích đại số: a . b = ab a if  Tích Drastic: a  b  b if 0 if  b 1 a 1 a, b  1 Tích chặn: a  b  max( 0, a  b  1) 1   w w w T  1  min 1 , (( 1  a )  ( 1  b ) Các phép giao Yager: w     Trong đó w là tham số, w  0. Khi w = 1, giao Yager trở thành tích chặn. Có thể chỉ ra rằng: limTw (a, b)  min(a, b) , lim Tw (a, b)  a  b w0 w Khi w  , giao Yager trở thành giao chuẩn Mối quan hệ giữa các S - norm và T - norm được phát biểu trong định lý: Định lý: Giả sử T là một T - norm và S là một S - norm. Khi đó chúng ta có các bất đẳng thức : a  b  T(a, b)  min(a, b); max(a, b)  S(a, b)  a  b, trong đó a  b là tổng Drastic còn a  b là tích Drastic. Từ định lý trên chúng ta thấy rằng, các phép toán min và max là cận trên và cận dưới của các phép toán T - norm và S - norm tương ứng. Như vậy các phép toán hợp và giao không thể nhận giá trị trong khoảng giữa min và max. Người ta đưa vào các phép toán V(a, b): [0, 1]  [0, 1]  [0, 1], mà các giá trị của nó nằm giữa min và max: min(a, b)  V(a, b)  max(a, b). Các phép toán này được gọi là phép toán lấy trung bình (averaging operators). Một số phép toán lấy trung bình:  a   b Trung bình tổng quát: V (a, b)   2  1   trong đó,  là tham số và 0.  Trung bình max - min: V (a, b)   max( a, b)  (1   ) min( a, b) trong đó, tham số   [0, 1]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/