Tài liệu Nghiên cứu didactic việc sử dụng phần mềm cabri của giáo viên trong dạy học hình học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Huỳnh Đức Chính NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC SỬ DỤNG PHẦN MỀM CABRI CỦA GIÁO VIÊN TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Huỳnh Đức Chính NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC SỬ DỤNG PHẦN MỀM CABRI CỦA GIÁO VIÊN TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. ĐOÀN HỮU HẢI Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 i LỜI CẢM ƠN Lời đầu luận văn, tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến:  TS. Nguyễn Chí Thành và TS. Đoàn Hữu Hải đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi về mặt nghiên cứu khoa học cũng như mang lại niềm tin trong quá trình thực hiện luận văn này.  PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư Hương và các quý thầy cô trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy những tri thức đồng thời truyền niềm hứng thú và niềm say mê đối với chuyên ngành Didactic Toán cho chúng tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.  PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot đã có những chỉ dẫn và định hướng cho luận văn cũng như những giải đáp giúp chúng tôi hiểu rõ hơn về Didactic Toán. Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:  Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Văn Tăng (Q.9), THPT Đông Dương (Q. Thủ Đức), THPT Thủ Thiêm (Q.2), THPT Giồng Ông Tố (Q.2), THPT Gia Định (Q. Bình Thạnh) đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn.  Các bạn cùng lớp cao học Didactic Toán khóa 19 đã luôn chia sẻ và giúp đỡ cũng như động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Cuối cùng, tôi xin dành những lời biết ơn sâu sắc nhất gửi đến gia đình thân yêu của tôi đã luôn động viên, hỗ trợ về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Huỳnh Đức Chính ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ......................................................................................................................... i MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 1 Chương 1: QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG “HÌNH VẼ” TRONG KHÔNG GIAN ..................................................................................................................................... 8 1.1. Đặc trưng của hình vẽ. ................................................................................................. 8 1.2. Chức năng của hình vẽ............................................................................................... 12 1.3. Các hoạt động liên quan đến hình vẽ ......................................................................... 15 1.4. Sự xuất hiện của hình vẽ trong việc tiếp cận khái niệm, tính chất và giải quyết hoạt động, bài toán trong SGK Hình học 11–Nâng cao. ............................................................. 16 1.5. Phân tích các tổ chức toán học................................................................................... 25 1.6. Kết luận ...................................................................................................................... 33 Chương 2: NGHIÊN CỨU VIỆC SỬ DỤNG CABRI 3D TRONG MỘT SỐ GIÁO ÁN . 37 2.1. Về cách thức sử dụng Cabri 3D ................................................................................. 38 2.2. Về mục đích sử dụng Cabri 3D.................................................................................. 38 2.3. Phân tích việc sử dụng Cabri 3D trong các thời điểm ............................................... 42 2.4. Kết luận ...................................................................................................................... 50 Chương 3: THỰC NGHIỆM 1 ............................................................................................ 52 3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................................... 52 3.2. Phân tích OD theo quan điểm động ........................................................................... 52 3.3. Phân tích OD theo quan điểm tĩnh ............................................................................. 79 3.3.1. Tổ chức toán học........................................................................................................ 79 3.3.2. Tổ chức didactic......................................................................................................... 81 3.4. Kết luận: ..................................................................................................................... 89 Chương 4: THỰC NGHIỆM 2 ............................................................................................ 91 4.1. Giới thiệu thực nghiệm .............................................................................................. 91 4.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................................... 91 4.2.1. Phân tích bộ câu hỏi số 1 ........................................................................................... 91 4.2.2. Phân tích các câu trả lời thu được của bộ câu hỏi số 1 .............................................. 93 4.2.3. Phân tích bộ câu hỏi số 2 ........................................................................................... 99 4.2.4. Phân tích các câu trả lời thu được của bộ câu hỏi số 2 ............................................ 101 4.3. Kết luận .................................................................................................................... 106 KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 108 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 111 PHỤ LỤC .......................................................................................................................... 112 iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT GV............................................... Giáo viên HHKG ......................................... Hình học không gian HS ............................................... Học sinh OD............................................... Tổ chức didactic OM .............................................. Tổ chức toán học SBT ............................................. Sách bài tập SGK ............................................ Sách giáo khoa SGV ............................................ Sách giáo viên THPT .......................................... Trung học phổ thông 1 MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận ban đầu  Trong thời đại công nghệ thông tin bùng nổ và ngày càng phát triển phần mềm hỗ trợ cho việc dạy và học Toán , các , đặc biệt là hình học không gian , rất phong phú , thân thiện và hiệu quả . Do đó, việc ứng dụng các phần mềm này vào hoạt động dạy học là một xu hướng tất yếu, phù hợp với yêu cầu tích hợp công nghệ thông tin vào giảng dạy. Để nâng cao hiệu quả dạy học, GV Toán không ngừng tiếp cận và sử dụng các phần mềm dạy học môn Toán, nhất là hình học không gian, bởi lẽ sự hỗ trợ từ các phần mềm này sẽ làm tăng tính trực quan giúp HS điều chỉnh, kiểm tra, đo đạc, dự đoán kết quả…. Trong số rất nhiều phần mềm vẽ hình động, thực tế có một bộ phận GV dạy Toán ở các trường THPT khá quan tâm đến Cabri 3D và chúng tôi cũng đặc biệt quan tâm đến phần mềm này vì một số lý do ban đầu như sau: giao diện khối, đẹp, nhiều định dạng, gần giống với hình thực tế; thao tác đơn giản; tạo hình đúng; một số đồng nghiệp của tôi đang dùng phần mềm này trong dạy học…Vì vậy, chúng tôi muốn tìm hiểu quan điểm của GV THPT về việc sử dụng phần mềm này thông qua hai câu hỏi sau: • Cabri 3D giữ vai trò gì trong việc dạy học, có ảnh hưởng như thế nào lên cách tổ chức tiết học và chất lượng giáo dục hay không? • Trong thực tế dạy học, Cabri 3D được GV sử dụng với mục đích gì? Điều đó được thể hiện như thế nào khi giáo viên thiết kế tình huống có sử dụng phần mềm này?  Ở các lớp 5 và lớp 9, HS đã được biết về hình học không gian, nhưng chỉ mang tính giới thiệu, gắn với một số hình không gian đơn giản và yêu cầu về định lượng (tính diện tích, thể tích của hình). Đến lớp 11 thì HS mới chính thức được học đầy đủ về hình học không gian, tìm hiểu về các tính chất của hình cũng như mối quan hệ của các yếu tố trong hình, bấy giờ hình không gian gắn liền với những yêu cầu về định tính, đòi hỏi khả năng tư duy của HS. Rõ ràng có một khác biệt lớn khi chuyển từ hình học không gian bậc THCS sang hình học không gian bậc THPT, 2 nhưng cơ sở quan sát của HS – là hình biểu diễn – thì vẫn không có gì thay đổi. Trong khi đó, do quy tắc xây dựng hình thì hình biểu diễn có một số hạn chế nhất định về khả năng minh họa. Vậy câu hỏi được đặt ra là: làm sao để khắc phục được hạn chế trên? Dùng phần mềm Cabri 3D có được không? Nếu được thì khai thác tính năng của phần mềm này như thế nào? 2. Câu hỏi xuất phát. Từ những ghi nhận trên, chúng tôi nhận thấy cần thiết phải trả lời các câu hỏi: Q1’: Giáo viên quan niệm như thế nào về phần mềm dạy học? Các loại phần mềm dạy học hình học nào được GV sử dụng? Quan niệm của GV về phần mềm Cabri 3D? GV sử dụng Cabri 3D trong các dạng hoạt động nào? Với vai trò gì? Q2’: Những dấu hiệu nào của chương trình và SGK cho phép có thể sử dụng phần mềm Cabri 3D? Việc sử dụng chịu những điều kiện và ràng buộc nào? Trong giới hạn luận văn, chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu việc sử dụng phần mềm Cabri 3D của GV trong việc dạy học HHKG lớp 11 hiện hành. 3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu. Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi lý thuyết của Didactic Toán, cụ thể là: Lý thuyết nhân chủng học (quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế, tổ chức toán học, tổ chức didactic), Hợp đồng didactic. Chúng tôi trình bày tóm tắt các khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính thỏa đáng của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết của mình. 3.1. Quan hệ cá nhân. Quan hệ cá nhân của một cá nhân X đối với đối tượng O, kí hiệu là R(X,O), là tập hợp những tác động qua lại mà X có đối với O. R(X,O) cho biết X nghĩ gì về O, hiểu O như thế nào và thao tác O ra sao. Đối tượng O mà chúng tôi quan tâm là “cách sử dụng phần mềm Cabri 3D trong dạy học HHKG” 3.2. Quan hệ thể chế. Quan hệ thể chế I với đối tượng O, ký hiệu R(I,O), là 1 ràng buộc thể chế đối với quan hệ của một cá nhân với cùng đối tượng O này khi cá nhân là chủ thể của thể chế I. Thể chế dạy học mà chúng tôi quan tâm là thể chế dạy học HHKG theo chương trình nâng cao hiện hành (áp dụng cho năm học 2011-2012). Để làm rõ 3 quan hệ cá nhân và quan hệ thể chế với đối tượng O, chúng tôi tiến hành nghiên cứu các tổ chức toán học và tổ chức didactic gắn liền với đối tượng O. 3.3. Tổ chức toán học. Mỗi praxéologie–khái niệm do Chevallard đưa ra–là một bộ gồm 4 thành phần [T,τ,θ,Θ], trong đó: T là kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, Θ là lý thuyết giải thích cho θ. Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học. 3.4. Tổ chức Didactic. Tổ chức didactic là công cụ cho phép tìm ra các yếu tố trả lời thích đáng cho câu hỏi: GV đã làm thế nào để truyền bá 1 tổ chức toán học. Chevallar nhận thấy có một số kiểu tình huống nhất thiết phải có mặt mặc dù dưới những hình thức khác nhau. Ông đã tìm ra lý thuyết về 6 thời điểm để nghiên cứu một tổ chức didactic: • Thời điểm thứ nhất: thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên với tổ chức toán học OM. • Thời điểm thứ hai: là thời điểm nghiên cứu kiểu nhiệm vụ Ti được đặt ra, và xây dựng nên một kỹ thuật τi cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ này. • Thời điểm thứ ba: là thời điểm xây dựng môi trường công nghệ- lý thuyết [θ/Θ] liên quan đến τi • Thời điểm thứ tư: là thời điểm làm việc với kỹ thuật. • Thời điểm thứ năm: là thời điểm thể chế hóa. • Thời điểm thứ sáu: là thời điểm đánh giá. Chúng tôi tiến hành phân tích thực hành giảng dạy của GV theo lý thuyết 6 thời điểm, qua đó xác định được mục đích và cách thức GV sử dụng phần mềm Cabri 3D để dạy học HHKG trong từng thời điểm. 3.5. Hợp đồng didactic. Hợp đồng didactic liên quan đến 1 đối tượng dạy học là một sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ của HS và GV đối với đối tượng đó. Chúng tôi muốn tìm hiểu xem có sự tồn tại của hợp đồng didactic nào và ảnh hưởng của quy tắc hợp đồng đó trong môi trường dạy học của phần mềm Cabri 3D. 4. Câu hỏi nghiên cứu. 4 Trong khung lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn , chúng tôi trình bày lại các câu hỏi xuất phát thành các câu hỏi định hướng nghiên cứu như sau: Q1: Hình vẽ trong phần HHKG của SGK có những đặc trưng và chức năng nào? Những ràng buộc của thể chế với đối tượng hình vẽ có tác động gì đến quan hệ cá nhân của HS khi làm việc với hình trong HHKG? Việc khai thác phần mềm Cabri 3D trong dạy học có làm thay đổi mối quan hệ cá nhân trên hay không? Q2: Những tổ chức toán học nào được xây dựng trong SGK? Mục đích và cách thức GV sử dụng phần mềm Cabri 3D khi triển khai các tổ chức toán học trên là gì? Khi đó, có những kỹ thuật mới nào xuất hiện không hoặc nếu vẫn cùng một kỹ thuật với SGK thì cách vận hành kỹ thuật đó có gì mới không? Q3: Những tổ chức didactic nào đã được xây dựng? Cabri 3D giữ vai trò gì trong thực tế dạy học HHKG của GV? 5. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu. Mục đích nghiên cứu: tìm câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu: – Phân tích chương trình, SGK, SGV Hình học lớp 11 (Ban nâng cao): phân tích quan hệ thể chế đối với hình vẽ, phân tích các tổ chức toán học ở chương Quan hệ vuông góc có cách vận hành kỹ thuật mới khi được triển khai trong môi trường Cabri 3D. Từ đó hình thành giả thuyết và hợp đồng (nếu có). – Phân tích 1 số giáo án có sử dụng Cabri 3D (sưu tầm): phân tích mục đích, cách thức sử dụng phần mềm Cabri 3D trong các giáo án; phân tích tổ chức didactic được dùng để triển khai các tổ chức toán học có mặt trong tiết dạy; qua đó làm rõ việc khai thác phần mềm Cabri 3D trong từng thời điểm nghiên cứu, bổ sung thêm các giả thuyết về việc sử dụng Cabri 3D của GV trong dạy học HHKG. – Thực nghiệm: o Thực nghiệm 1: Phân tích thực hành của 1 GV trong tiết học HHKG có sử dụng Cabri 3D nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết. 5 o Thực nghiệm 2: Phân tích ý kiến của các GV dạy Toán bậc THPT về các vấn đề liên quan đến thực tế giảng dạy HHKG có sử dụng phần mềm Cabri 3D. 6. Tổ chức luận văn. Cấu trúc của luận văn gồm phần mở đầu và 4 chương: – Phần mở đầu, gồm: ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn. – Chương 1: Quan hệ thể chế với đối tượng hình vẽ trong không gian – Chương 2: Nghiên cứu việc sử dụng Cabri 3D trong một số giáo án – Chương 3: Phân tích thực hành một giờ lên lớp của GV – Chương 4: Thực nghiệm thăm dò ý kiến của GV 7. Đôi nét về phần mềm Cabri 3D Cabri Géomètre là họ phần mềm được xây dựng và phát triển từ những năm 80 tại Grenoble, Cộng hòa Pháp bởi Giáo sư Laborde, giám đốc nghiên cứu tại Trung tâm nghiên cứu khoa học Quốc gia Pháp (CNRS) với mục đích ban đầu là trợ giúp việc học tập môn Hình học của học sinh. Phần mềm Cabri gồm hai phần Cabri 3D (phiên bản không gian) và Cabri II Plus (trong hình học phẳng). Cơ sở hình học của phép biểu diễn hình trong Cabri 3D là phép chiếu xuyên tâm – Định nghĩa: Cho một điểm O và một mặt phẳng (P) không đi qua O. Ánh xạ biến điểm M của không gian thành điểm M’ là giao điểm của mặt phẳng (P) với đường thẳng OM gọi là phép chiếu xuyên tâm (tâm O) xuống mặt phẳng (P). Đặc điểm quan trọng gắn liền với tính chất tương tác động của Cabri là phần mềm “cho phép người sử dụng dịch chuyển trong khoảng thời gian thực và thao tác trực tiếp vào một trong các yếu tố cơ sở của hình vẽ. Hình vẽ này sẽ tự biến đổi trong khi vẫn bảo toàn các tính chất Toán học đã được sử dụng khi xây dựng hình vẽ cũng như các tính chất hệ quả suy ra từ các tính chất ban đầu. Sự biến đổi này diễn ra một cách liên tục cùng lúc với việc dịch chuyển hình vẽ. Như vậy nếu hình vẽ không được dựng nhờ các tính chất hình học “đúng” cho bởi giả thuyết mà chỉ 6 bằng “ước đoán”, hình vẽ sẽ mất tất cả các tính chất bề ngoài khi dịch chuyển”, theo [12, tr100]. Các đối tượng của Cabri 3D: o Điểm: dựng 1 điểm mới với công cụ điểm ( điểm giao ( ) o Đường: dựng 1 đường thẳng ( ), cung ( tròn( ), conic ( o Mặt: dựng mặt phẳng ( miền ( ( ), hình nón ( hoặc ), tia( ), đoạn thẳng( ), đường giao tuyến ( ), đa giác ( ), đường ) ), nửa mặt phẳng ( ), hình trụ ( ), ), hình cầu ) o Cấu trúc: dựng trung điểm ( song ( ), dựng 1 giao điểm-công cụ ), đường thẳng (hoặc mặt phẳng) song ), đường thẳng (hoặc mặt phẳng) vuông góc ( phẳng trung trực ( ), tổng của 2 vectơ ( o Phép biến hình: Phép đối xứng tâm ( xứng qua một mặt phẳng ( ), mặt ),… ), đối xứng trục ( ), phép tịnh tiến ( ), đối ), phép quay bởi ). một trục và các điểm ( o Các khối hình: Dựng tứ diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều. Dựng tứ diện ( XYZ ( diện ( ), lăng trụ ( ), hình chóp ( ), đường cắt đa diện ( ), đa diện lồi ( ), hình hộp ), mở đa ),… o Đo lường và tính toán: đo khoảng cách ( ), diện tích ( ), thể tích ), số đo góc ( ), tọa độ & phương trình ( ), máy tính ( ),… ( Với các đối tượng được cung cấp sẵn này, Cabri 3D v2 có thể dựng một cách nhanh chóng, hiển thị và thao tác trong không gian ba chiều cho mọi loại đối tượng: đường thẳng, mặt phẳng, hình nón, hình cầu, đa diện…Cabri 3D cung cấp các phép dựng hình động từ đơn giản đến phức tạp, có thể đo lường các đối tượng, tích hợp các dữ liệu số và thậm chí có thể hiển thị lại quy trình dựng hình thông qua chức năng “xem lại cách dựng”. 7 Cabri 3D còn cho phép thao tác dịch chuyển các đối tượng đã vẽ một cách dễ dàng, hay sử dụng công cụ “Quay tự động”. Cabri 3D còn cung cấp công cụ “Vết” để lưu lại quỹ đạo chuyển động. Ngoài ra, Cabri 3D còn cho phép có thể tùy chỉnh che hoặc hiện, cũng như đặt tên, gán nhãn cho các yếu tố trên hình. Vì vậy, Cabri 3D v2 có thể là công cụ hiệu quả để nghiên cứu và giải các bài toán Hình học nói riêng và Toán học nói chung. 8 Chương 1: QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG “HÌNH VẼ” TRONG KHÔNG GIAN Chúng tôi phân tích chương 1 nhằm thực hiện các mục đích sau: – Làm rõ những đặc trưng cũng như các chức năng, vai trò của hình vẽ trong phần hình học không gian chương trình lớp 11 nâng cao. – Trình bày những tổ chức toán học xuất hiện trong chương Quan hệ vuông góc. Qua đó hình thành giả thuyết, hợp đồng didactic nếu có. Các tài liệu mà chúng tôi sử dụng ở đây là: – Hình học 11 nâng cao, Đoàn Quỳnh (2011), NXB Giáo Dục – Nghiên cứu didactic về hình vẽ ở trường phổ thông-bước chuyển từ hình học phẳng sang hình học không gian, Luận văn thạc sỹ của Phạm Hoàng Nhi. Trước khi phân tích chúng tôi thống nhất lại hai khái niệm sau: – Hình hình học là những đối tượng được mô tả qua những tiên đề, định nghĩa, tính chất. Các khái niệm hình học như điểm, đường thẳng là sản phẩm của sự trừu tượng hóa các đối tượng hiện thực. – Hình vẽ là hình biểu diễn phẳng của các hình hình học. Hình vẽ là mô hình của một đối tượng hình học. Hình vẽ không thể phản ánh đúng những tính chất hình học vốn có đối với bài toán. 1.1. Đặc trưng của hình vẽ 1.1.1. Hình vẽ là hình biểu diễn phẳng của các hình không gian Người ta tìm cách vẽ các hình trong không gian thành các hình phẳng theo một số quy tắc nhất định. Những hình phẳng đó được gọi là hình biểu diễn của những hình không gian trên. Đây là lần đầu tiên khái niệm “hình biểu diễn” được đưa ra trong SGK và với mục đích “để dễ hình dung” một hình không gian. Lớp 11 là thời điểm HS bắt đầu nghiên cứu một cách hệ thống các đối tượng cơ bản của hình học không gian (điểm, đường thẳng, mặt phẳng), các định nghĩa, các tính chất của một hình không gian. Tuy nhiên, trong SGK chỉ có một số rất ít các hoạt động được thực hiện dựa trên những hình ảnh không gian thực hoặc hình vẽ mô phỏng thực tế, tất cả các hoạt động còn lại từ thể hiện giả thiết, dự đoán, gợi hướng giải quyết cho đến suy luận chứng minh thì đều dựa trên hình biểu diễn 9 phẳng. Có thể nói việc nghiên cứu hình học không gian được thực hiện thông qua phương tiện trực quan trừu tượng là hình vẽ biểu diễn. Thực ra ở phần hình học không gian lớp 5, lớp 8 và lớp 9 thì hình biểu diễn đã được dùng để vẽ một số hình không gian cơ bản như hình lập phương, hình hộp chữ nhật,….dựa vào việc quan sát các hình ảnh từ thực tế, tuy nhiên đến lớp 11 thì các quy tắc biểu diễn mới được chính thức giới thiệu. Các quy tắc này là kết quả ứng dụng của phép chiếu song song. Nhưng do tính thiết yếu của nó mà một phần của quy tắc trên đã được nêu ngay từ bài đầu tiên của chương Hình học không gian, trước khi học bài “phép chiếu song song”, theo [9, tr41]: “Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian, người ta đưa ra những quy tắc thường được áp dụng như: – Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng. – Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) – Điểm A thuộc đường thẳng a được biểu diễn bởi một điểm A’ thuộc đường thẳng a’, trong đó a’ biểu diễn cho đường thẳng a” – Dùng nét vẽ liền (––) để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn (- -) để biểu diễn cho những đường bị khuất.” Những quy tắc trên là sự hợp thức hóa công cụ biểu diễn một hình không gian trong khi nghiên cứu hình học không gian. Qua đó cũng thể hiện các thao tác vẽ hình, nhấn mạnh một cách tường minh vai trò quan trọng của nét vẽ đứt – nét vẽ liền trong việc biểu diễn hình. Việc vận dụng các quy tắc trên phụ thuộc vào khả năng tưởng tượng, hình dung không gian của HS. Sau đó đến bài “phép chiếu song song” thì phần còn lại của quy tắc được trình bày: “Nếu trên hình H có hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) thì chúng chẳng những được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau), mà tỉ số của hai đoạn thẳng này còn phải bằng tỉ số của hai đoạn thẳng tương ứng trên hình H” [9, tr72]. Kèm theo đó là chú ý: “Nếu trên hình H có hai đoạn thẳng không nằm trên hai đường thẳng song song thì tỉ số của chúng không nhất thiết phải giữ nguyên trên hình biểu diễn. Cũng như vậy độ lớn của một góc trên hình H không nhất thiết được giữ 10 nguyên trên hình biểu diễn” [9, tr72]. Rõ ràng, hình biểu diễn đóng vai trò rất quan trọng trong việc tìm hiểu hình học không gian của HS. Vì vậy, trong [10, tr42,43], thể chế đã xác định “Một khó khăn của HS khi học hình học không gian là việc vẽ hình biểu diễn của hình không gian trên mặt phẳng. Ngay từ tiết đầu tiên, GV đã phải giúp HS làm quen dần với việc biểu diễn này” và mục tiêu đặt ra là “Làm cho HS nắm được cách vẽ hình biểu diễn của một hình, đặc biệt là hình biểu diễn của một số hình chóp và hình tứ diện”, thậm chí “Ta không ngần ngại khi cho HS vẽ hình biểu diễn của các hình mà họ chưa biết định nghĩa chính xác như hình hộp, hình lập phương, hình chóp, ….” Các hình biểu diễn được dùng trong SGK là các hình biểu diễn mẫu. Khi biểu diễn một hình không gian lên mặt phẳng thì HS chịu tác động của những kiến thức của hình vẽ trong hình học phẳng. 1.1.2. Hình vẽ không phản ánh đầy đủ tất cả các tính chất của hình không gian mà nó biểu diễn Hình học phẳng tìm hiểu các tính chất của 1 hình phẳng nên hình vẽ trên mặt giấy có thể biểu diễn 1 cách tường minh và chính xác hình dạng, các mối quan hệ giữa các yếu tố phẳng. Còn HHKG thì sao? HHKG nghiên cứu về các hình trong không gian mà hình vẽ chỉ là 1 hình vẽ trên mặt phẳng để biểu diễn hình không gian. Như vậy dùng 1 hình phẳng để phản ánh 1 hình không gian thì không thể tránh khỏi việc không phản ánh đầy đủ tất cả các quan hệ giữa các đối tượng không gian. Về mặt khoa học, hình biểu diễn được hình thành dựa trên cơ sở của lý thuyết phép chiếu song song. Cụ thể “hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H trên 1 mặt phẳng hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó”. HS vẽ hình biểu diễn phải tuân thủ theo các quy tắc biểu diễn. Tuy nhiên, theo tính chất của phép chiếu song song thì các quy tắc trên chỉ đảm bảo 3 tính bất biến: thẳng hàng, song song, tỷ lệ. Vì vậy, việc không phản ánh đúng tính chất không gian của hình trên hình biểu diễn là điều tất yếu. Bên cạnh 1 chú ý duy nhất “phép chiếu song song nói chung không giữ nguyên tỉ số của 2 đoạn thẳng 11 không nằm trên 2 đường thẳng song song (hay không cùng nằm trên 1 đường thẳng) và không giữ nguyên độ lớn của góc” thì có 6 câu hỏi liên quan đến việc biểu diễn 1 hình có yếu tố không được bảo toàn. Điều này cho phép chúng tôi khẳng định đặc trưng đồng thời cũng là hạn chế của hình vẽ trong SGK, đó là: những tính chất không gian từ hình vẽ (những đường nét thể hiện trên hình vẽ) không thể phản ánh đúng những tính chất hình học vốn có của bài toán (tức là của hình hình học được cho bởi bài toán). Điều này gây khó khăn cho HS khi quan sát hình, dự đoán kết quả và việc tìm hướng suy luận trở nên phức tạp hơn. Hình biểu diễn là hình vẽ thể hiện hình không gian trên 1 mặt phẳng nên không nằm ngoài các tác động của hình phẳng và thói quen tư duy hình học phẳng của HS, chẳng hạn: trên hình biểu diễn là 2 đường thẳng cắt nhau thì HS dễ đi đến suy luận 2 đường thẳng đó cắt nhau, trên hình biểu diễn góc đó không vuông nên suy luận là góc không vuông,... Đây là khó khăn của HS trong việc kết hợp quan sát những yếu tố bất biến và suy luận những yếu tố không bất biến. 1.1.3. Hình vẽ là các hình tĩnh Các hình vẽ trong SGK–hình biểu diễn–chính là hình chiếu song song của một hình không gian lên một mặt phẳng, được tạo ra theo một phương chiếu cụ thể và cố định (nói theo cách thông thường nghĩa là theo một góc nhìn không thay đổi). Do đó, tùy theo phương chiếu mà một hình không gian sẽ có rất nhiều hình biểu diễn. Việc nắm được các quy tắc vẽ cho phép HS vẽ đúng hình biểu diễn, trong khi đó, việc vẽ tốt hình biểu diễn đòi hỏi phải lựa chọn phương chiếu thích hợp. Các hình vẽ được SGK cung cấp là các hình biểu diễn mẫu, “được xem là hình biểu diễn tốt hơn những hình khác cùng biểu diễn cho một đối tượng không gian”, theo [8, tr5]. Các hình vẽ có sẵn này đóng vai trò như gợi ý, chỉ dẫn trong biểu diễn hình không gian. Vì vậy mà nó được tạo ra với phương chiếu phù hợp nhất theo dụng ý của người viết sách. Hình biểu diễn tốt cũng là một mong muốn mà thể chế muốn hình thành ở HS. Tuy nhiên, phân tích SGK chúng tôi nhận thấy chỉ có 2 câu hỏi liên quan đến phương chiếu của hình biểu diễn là ?8 trang 72 và câu 3 trang 77. Số lượng này quá ít không đủ để rèn luyện cho HS khả năng quan 12 sát hình ở các góc nhìn khác nhau. Có thể nói hoạt động vẽ hình của HS, nhất là việc chọn phương chiếu để có hình biểu diễn tốt, ít được quan tâm. Điều này có thể được lí giải như sau: đối với hình vẽ tĩnh thì việc thay đổi góc nhìn đòi hỏi phải vẽ hình lại từ đầu khiến mất rất nhiều thời gian. Đây là một hạn chế của hình tĩnh gây ra khó khăn cho HS. 1.1.4. Kết luận Như vậy, qua phân tích các đặc trưng, chúng tôi ghi nhận được những hạn chế của hình vẽ trong SGK ảnh hưởng đến việc học HHKG của HS. Cụ thể là: Hình vẽ là hình biểu diễn phẳng của hình không gian, do đó không thể phản ánh đầy đủ tất cả các quan hệ của các đối tượng không gian, gây khó khăn cho việc hình dung hình không gian thực. Các yếu tố không được bảo toàn qua phép chiếu song song được vẽ một cách tượng trưng, không đảm bảo tính trực quan, điều này dẫn đến hệ quả là HS sẽ gặp khó khăn khi biểu diễn những yếu tố bất biến không được cho tường minh của hình. Hơn nữa, vì không minh họa đúng các tính chất của hình không gian nên hình biểu diễn gây trở ngại cho HS trong hoạt động dự đoán, định hướng chứng minh. Hình vẽ được tạo ra là cố định theo 1 phương chiếu cụ thể. Để việc quan sát có hiệu quả thì đòi hỏi phải có hình vẽ ở một góc nhìn phù hợp. Hơn nữa, hình biểu diễn có thể là tốt cho việc giải quyết yêu cầu này nhưng là không tốt cho giải quyết yêu cầu khác, điều đó làm nảy sinh nhu cầu phải thay đổi góc nhìn. Trong khi đó, việc thay đổi góc nhìn làm mất nhiều thời gian do phải vẽ lại từ đầu. Có thể sử dụng phần mềm Cabri 3D như thế nào để khắc phục các hạn chế trên? Chúng tôi sẽ tìm hiểu để trả lời ở chương sau. 1.2. Chức năng của hình vẽ 1.2.1. Chức năng tóm tắt Nghiên cứu hình học nói chung và hình học không gian nói riêng không thể tách rời hình vẽ–với tư cách là phương tiện biểu diễn cho một hình hình học. Theo đó, một chức năng rất cơ bản của hình vẽ đó là chức năng tóm tắt, minh họa. Chức năng này hiện diện dưới 3 hình thức sau: 13 – Minh họa giả thiết của một bài toán (16) – Minh họa các yếu tố xuất hiện trong quá trình giải quyết bài toán hoặc trong quá trình chứng minh định lý (25) – Minh họa các nhận xét, các tính chất (34) Nhận xét Trong phần lý thuyết (bao gồm các khái niệm, tính chất, chứng minh tính chất, ví dụ, bài toán áp dụng) thì hình vẽ trong SGK với tư cách là công cụ minh họa chỉ mang tính tượng trưng. Dựa vào việc quan sát hình vẽ này thì những gì mà HS ghi nhận lại không thể phản ánh được tất cả tính chất của hình hình học, nhất là các yếu tố không được bảo toàn qua phép chiếu song song. Chẳng hạn, trên hình biểu diễn thì HS quan sát thấy hai đường thẳng cắt nhau nhưng thực tế trong hình hình học thì hai đường thẳng đó có thể cắt nhau hoặc có thể chéo nhau; trên hình biểu diễn thì HS không nhận ra quan hệ giữa hai đường thẳng nhưng trên hình hình học thì có thể hai đường thẳng đó vuông góc với nhau. Hơn nữa không có bài tập nào mà việc vẽ hình sai lại ảnh hưởng đến kết quả bài toán. Theo chúng tôi, lý do có thể xuất phát từ hạn chế của hình biểu diễn trong SGK, bởi lẽ không có căn cứ nào để nhận biết hình vẽ đúng hay sai trong việc thể hiện các quan hệ. Những hình vẽ trong SGK được vẽ theo phương chiếu phù hợp, tạo ra hình biểu diễn tốt khiến hình vẽ mang tính trực quan cao. Nhưng để chọn được góc chiếu tốt thì phải thử nhiều góc chiếu khác nhau, thực hiện điều này trên hình vẽ SGK là một trở ngại vì mất rất nhiều thời gian. 1.2.2. Chức năng phản ví dụ Chức năng phản ví dụ của hình vẽ trong SGK xuất hiện ở các bài tập khẳng định tính đúng sai của mệnh đề. Theo đó, hình vẽ được sử dụng như một công cụ suy luận dùng để bác bỏ một mệnh đề sai, chẳng hạn như là bài 12 [10, tr98]. Khẳng định “Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P) thì vuông góc với mặt phẳng (P)” không đúng. Chẳng hạn với hai đường thẳng song song a, b cho trước trong mặt phẳng (P), ta có thể lấy đường thẳng c nằm trong (P) sao cho c⊥a và c⊥b (h.93) a P c b H.93 14 Mệnh đề đúng Mệnh đề sai 37 43 Tổng số mệnh đề 80 Có hình vẽ – phản ví dụ Không có hình vẽ – phản ví dụ 5 38 Bảng 1.1 Có 43 mệnh đề (hơn một nửa mệnh đề được hỏi) là mệnh đề sai, nhưng chỉ có 5 mệnh đề sai được SGV bác bỏ bằng một phản ví dụ–là hình vẽ. Như vậy SGK có đề cập đến chức năng phản ví dụ của hình vẽ, tuy nhiên chức năng này của hình vẽ chưa thể hiện nhiều. 1.2.3. Chức năng định hướng trả lời Mặc dù không đảm bảo tất cả các quan hệ của các đối tượng không gian nhưng chức năng dự đoán của hình vẽ vẫn hiện diện trong SGK. Việc dự đoán được thực hiện qua việc trả lời các câu hỏi mở, dựa trên việc quan sát hình biểu diễn. – Đó có thể là dự đoán một tính chất, chẳng hạn, ?5 [9, tr63]. R Cho mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) a P và (Q) lần lượt theo hai giao tuyến a và b. Hỏi a và b có điểm chung hay không? Tại sao? (h66) b Q H66 Trả lời câu hỏi trên, ta được tính chất sau đây: Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song. – Đó có thể là dự đoán hướng giải quyết bài toán, chẳng hạn ?2 [9, tr53]. ?2 Có những vị trí tương đối nào giữa 2 giao tuyến a và b? Hình vẽ được sử dụng trong vai trò dự đoán ở SGK là các hình biểu diễn mẫu mực, vừa là hình vẽ đúng vừa là hình vẽ tốt, có tính trực quan cao. Các hình vẽ đều được cho sẵn, thể hiện đúng nội dung của tính chất cần dự đoán hoặc hướng giải cần dự đoán. Như vậy, vai trò dự đoán của hình vẽ chưa được bộc lộ một cách khách quan. Chỉ có đúng 2 lần SGK dùng đến chức năng dự đoán của hình vẽ. Trong khi đó, việc xây dựng tiết học mà ở đó HS hình thành được các kỹ năng tìm tòi, phát hiện, dự đoán, suy luận, nhận xét là một mục tiêu quan trọng. Như vậy con số 2 lần dùng hình vẽ dự đoán trong toàn bộ chương trình liệu có là quá ít và hơn nữa dự 15 đoán lại mang tính chủ quan? Theo chúng tôi, một lý giải được nghĩ đến là do hạn chế của hình biểu diễn của SGK, liệu rằng HS căn cứ vào đâu để có được hình biểu diễn đúng, nhất là khi hình biểu diễn đó minh họa cho một hình không gian có yếu tố không được bảo toàn qua phép chiếu và liệu rằng khi đã có hình biểu diễn đúng thì HS có chọn được góc nhìn trực quan nhất phục vụ cho việc dự đoán hay không? 1.3. Các hoạt động liên quan đến hình vẽ – Hoạt động “đọc hình có sẵn”: thường có mục đích góp phần củng cố kiến thức thông qua việc quan sát các hình được cho sẵn và trả lời câu hỏi như: “Trong số các hình vẽ sau thì hình vẽ nào là hình biểu diễn của hình A?” hoặc “Hình biểu diễn của hình B là hình gì?”, “Tìm lỗi sai trong hình biểu diễn đã cho”.… [9, tr77] “Trong các hình sau, hình nào là hình biểu diễn của một tứ diện?” Qua đó, HS được rèn luyện kỹ năng quan sát hình có sẵn đồng thời nhận biết được các yếu tố đặc trưng của khái niệm, tính chất. – Hoạt động vẽ hình: Đây là hoạt động khá đa dạng. • Hoạt động vẽ hình được yêu cầu trực tiếp, ví dụ như: [9, tr42] Hoạt động 1: Vẽ hình biểu diễn của mp(P) và một đường thẳng a xuyên qua nó [9, tr73] Hoạt động 1: Giả sử tam giác ABC là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hãy dựng hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đó. • Hoạt động vẽ hình được đưa ra gián tiếp thông qua giải quyết 1 yêu cầu hay 1 bài toán của SGK,…Chúng tôi nhận thấy phần lớn các hoạt động, các bài tập của SGK, HS muốn giải quyết, chứng minh thì việc vẽ hình minh họa cho giả thiết của bài toán là điều kiện tiên quyết dù không được bài toán yêu cầu trực tiếp. Khi đó, hình vẽ là điểm tựa trực giác, giúp HS nhận thấy các yếu tố được cho và tìm hướng suy luận.