Tài liệu Nghiên cứu didactic việc dạy học phép chứng minh quy nạp toán học trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN XUÂN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN XUÂN TÍNH Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán. Mã số: 60 14 10 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Với tất cả sự chân thành, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tập thể giảng viên didactique toán của trường Đại học Sư phạm TP.HCM, đặc biệt là PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, PGS.TS Lê Văn Tiến, … và xin chân thành cảm ơn PGS.TS Claude COMITI - nguyên phó viện trưởng Viện Đại học đào tạo giáo viên (IUFM) Grenoble, PGS.TS Annie BESSOT - nguyên trưởng nhóm DDM Trung tâm nghiên cứu Leibniz, TS Alain BIREBENT - giảng viên cao cấp trường Đại học MENDÈS (Grenoble) là những người mang lại cho chúng tôi những tri thức quý báu, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ chúng tôi hoàn thành luận văn này. Xin trân trọng cảm ơn phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP.HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn. Xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn học viên lớp cao học khóa 19 chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán đã trải qua những ngày vui buồn trong cả khóa học và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích thiết thực cho luận văn. Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và tập thể Giáo viên trường THPT Nguyễn Thái Học – Khánh Hòa đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi tham gia khóa học và giúp đỡ chúng tôi thực nghiệm. Xin chân thành cảm ơn những người thân yêu nhất trong gia đình tôi đã động viên và tiếp sức tinh thần để tôi hoàn thành luận văn. Với thời gian còn hạn chế, chắc chắn luận văn này không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết, chúng tôi kính mong các Thầy giáo, Cô giáo và các đồng nghiệp góp ý để luận văn hoàn chỉnh, ứng dụng được trong thực tiễn. TÁC GIẢ DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT CB Cơ bản đpcm Điều phải chứng minh ĐS & GT Đại số và Giải tích GV Giáo viên HS Học sinh NC Nâng cao NXB Nhà xuất bản NXBGD Nhà xuất bản Giáo dục PPQNTH Phương pháp quy nạp toán học SBT Sách bài tập SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên THCS Trung học cơ sở THPT Trung học phổ thông T CM Chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n . T DĐ Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi. T DĐCM Dự đoán tính chất của dãy số và chứng minh tính chất đó bằng PPQNTH. tr Trang VP Vế phải VT Vế trái MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Danh mục các từ viết tắt Mục lục MỞ ĐẦU Trang 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ................................................ - 1 2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và câu hỏi nghiên cứu ..................................... - 2 3. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu ......................................... - 2 4. Cấu trúc của luận văn ...................................................................................... - 4 - CHƯƠNG I ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA PHÉP CHỨNG MINH QUY NẠP TOÁN HỌC I.1 Các phương pháp suy luận và phương pháp quy nạp toán học ...................... - 5 I.1.1 Các phương pháp suy luận .................................................................... - 5 - I.1.2 Phương pháp quy nạp toán học ........................................................... - 12 - I.2 Điểm qua vài nét lịch sử về PPQNTH ........................................................... - 13 I.2.1 Giai đoạn chưa có định nghĩa số tự nhiên N (Trước thế kỷ XIX) ........ - 13 - I.2.2 Giai đoạn sau khi đã định nghĩa tường minh tập hợp số tự nhiên N (Thế kỷ XIX) ..................................................................................................... - 17 I.3 Các hình thức của nguyên lý quy nạp toán học ............................................. - 19 I.3.1 Hình thức cổ điển của phương pháp quy nạp toán học ........................ - 19 - I.3.2 Các hình thức khác của phép quy nạp toán học ................................... - 24 - CHƯƠNG II PHÉP QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG II.1 Phép quy nạp toán học trong chương trình môn toán ở THPT .............. - 33 - II.2 Phép quy nạp toán học trong SGK ......................................................... - 34 - II.3 Kết luận .................................................................................................. - 48 - CHƯƠNG III NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM THỰC NGHIỆM A Ở HỌC SINH III.1 Hình thức và đối tượng thực nghiệm ...................................................... - 52 - III.2 Phân tích tiên nghiệm (A priori) các câu hỏi thực nghiệm ..................... - 52 - III.3 Phân tích hậu nghiệm (A Posteriori) các câu hỏi thực nghiệm............... - 63 - III.4 Kết luận ................................................................................................... - 70 - THỰC NGHIỆM B Ở GIÁO VIÊN III.5 Mục tiêu thực nghiệm ............................................................................ - 71 - III.6 Phân tích những câu trả lời thu được từ GV.......................................... - 73 - III.7 Kết luận.................................................................................................. - 78 - KẾT LUẬN CHUNG................................................................................. - 79 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................... - 82 PHỤ LỤC ................................................................................................... - 84 - -1- MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Trong cuộc sống lao động, sinh hoạt và học tập người ta thường suy luận và đánh giá những hoạt động của mình, thông thường những suy luận đó là suy luận diễn dịch và suy luận quy nạp. Suy luận diễn dịch (suy diễn) là áp đặt một vấn đề chung cho một trường hợp cụ thể. Cách suy luận này diễn ra thường ngày, xuất phát từ kinh nghiệm thực tế của con người. Trong khoa học, toán học là khoa học tư duy đòi hỏi tính logic và tính chính xác cao. Toán học được xây dựng chủ yếu trên các tiền đề và bằng con đường suy diễn. Tuy nhiên phép suy diễn không phải là con đường duy nhất của tư duy khoa học nói chung và toán học nói riêng. Trên con đường khám phá, tìm tòi chân lý, nhiều nhà khoa học đã bắt đầu từ những trường hợp cụ thể, trường hợp đặc biệt của các đối tượng trên một tập hợp nào đó để rồi đưa ra những kết luận tổng quát với mọi đối tượng trên tập hợp đó. Kết luận được tìm ra có thể đúng hoặc có thể sai rồi họ lại sáng tạo những phương pháp chứng minh để khẳng định một kết luận là đúng. Một trong những cách làm trên của các nhà toán học là phép chứng minh quy nạp toán học. Nhờ phép chứng minh đó mà lý thuyết số trong khoa học toán học đã cho ra biết bao định lý, tính chất, công thức, hệ quả toán học đáng quý và ngay cả trong hình học, đại số, giải tích…cũng vậy. Ở trường trung học phổ thông (THPT), việc dạy học phép chứng minh quy nạp toán học giúp học sinh (HS) lĩnh hội kiến thức một cách chủ động, hứng thú và khơi gợi ở người học sự tò mò muốn vươn lên trong học tập. Trong thực tế giảng dạy phép chứng minh quy nạp toán học, HS không hiểu nhiều về mối quan hệ giữa các bước của phương pháp chứng minh này, các bước chứng minh chỉ mang tính hình thức, và nhiều HS không hiểu tại sao phải thực hiện các bước đó. Trong bước quy nạp, khi chứng minh mệnh đề “A(k) ⇒ A(k+1)” đúng ∀k ≥ 1 , nhiều HS cho rằng chỉ cần chứng minh cho những k ≥ 2 vì chúng đã kiểm tra mệnh đề đúng với k =1, trong khi sách giáo khoa (SGK) yêu cầu chứng minh với k≥1. -2Xuất phát từ những ghi nhận nêu trên, chúng tôi chọn: “Nghiên cứu didactic việc dạy học phép chứng minh quy nạp toán học trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông” làm đề tài cho luận văn này. Mong muốn của chúng tôi là tìm hiểu, nghiên cứu và trả lời các câu hỏi sau: - Phép chứng minh quy nạp toán học xuất hiện vì mục đích gì? - Những tính chất đặc trưng của phép chứng minh quy nạp toán học là gì? - Có những hình thức khác nhau nào của phép chứng minh quy nạp toán học? 2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và câu hỏi nghiên cứu Nghiên cứu của chúng tôi đặt trong khuôn khổ của lý thuyết didactic toán. Cụ thể là: 1. Tổng hợp các nghiên cứu đã có về phép chứng minh quy nạp toán học ở khía cạnh khoa học luận để làm rõ các câu hỏi ban đầu. 2. Vận dụng lý thuyết nhân chủng học của didactic để phân tích mối quan hệ thể chế với đối tượng phép chứng minh quy nạp toán học. 3. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu Mục đích tổng quát của luận văn này là tìm những yếu tố trả lời cho các câu hỏi ban đầu. Để làm được điều đó, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết tham chiếu nêu trên nhằm làm rõ đặc trưng khoa học luận của phép quy nạp toán học, những lựa chọn của thể chế. Quan sát và thực nghiệm để làm rõ những đặc trưng đó và ảnh hưởng đến việc dạy và học của GV và HS. Chúng tôi trình bày lại các câu hỏi như sau: -3- Q1. Những đặc trưng khoa học luận của phép chứng minh quy nạp toán học là gì? Phép chứng minh quy nạp toán học được giới thiệu trong thể chế THPT với mục đích gì? Dưới những hình thức nào? Các kiểu bài tập nào liên quan? Q2 Trong mối quan hệ thể chế đối với phép chứng minh quy nạp toán học thì các tính chất đặc trưng nào xuất hiện? Những tính chất đặc trưng nào không được tính đến? • Chúng tôi tiến hành tổng hợp một số tài liệu về phép chứng minh quy nạp toán học, các công trình nghiên cứu đã công bố, chỉ ra được đặc trưng, vai trò và ý nghĩa của nó trong giải toán. • Sau đó, chúng tôi thực hiện phân tích thể chế, bằng cách phân tích chương trình và SGK, các tài liệu hướng dẫn giảng dạy, chúng tôi cố gắng tìm hiểu sự lựa chọn của thể chế ở đối tượng phép chứng minh quy nạp toán học và tác động của nó đến quá trình dạy học. • Phân tích SGK, nêu rõ các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng phép chứng minh quy nạp toán học, xem xét SGK, SBT có những kiểu nhiệm vụ và kỹ thuật nào được ưu tiên. Chúng tôi cũng sẽ tìm hiểu quan niệm của GV và HS về đối tượng này, ảnh hưởng của cách trình bày của SGK, SGV đến các quan niệm đó. • Tổng hợp từ các phân tích đó cho phép chúng tôi hình thành các giả thuyết nghiên cứu về đối tượng này. • Việc tiến hành thực nghiệm cho phép chúng tôi kiểm chứng các giả thuyết nêu ra. Chúng tôi sẽ thực hiện thực nghiệm đối với hai chủ thể GV và HS thông qua bộ câu hỏi thực nghiệm. -44. Cấu trúc của luận văn Chương I: Phần tổng hợp và phân tích các đặc trưng của phép chứng minh quy nạp toán học trình bày trong một số công trình nghiên cứu liên quan. Từ đó chỉ ra vai trò và ý nghĩa của phép chứng minh quy nạp toán học trong dạy học toán. Chương II: Phần phân tích thể chế, nghiên cứu chương trình, phân tích SGK và các tài liệu hướng dẫn giảng dạy, phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng phép chứng minh quy nạp toán học. Chương III: Phần thực nghiệm kiểm chứng các giả thuyết, thực hiện trên hai đối tượng GV và HS. Chúng tôi tiến hành xây dựng thực nghiệm dưới dạng bộ các câu hỏi, nhằm kiểm chứng tính xác đáng của các giả thuyết, gồm phiếu thực nghiệm cho GV và phiếu thực nghiệm cho HS. Phần kết luận. Trình bày kết luận chung, những việc chưa làm và hướng mở ra của luận văn. -5- CHƯƠNG I ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA PHÉP CHỨNG MINH QUY NẠP TOÁN HỌC Mục tiêu của chương Trong chương này, chúng tôi sẽ tổng hợp một số công trình khoa học luận và lịch sử về phép quy nạp toán học nhằm làm rõ đặc trưng cơ bản của đối tượng này trong quá trình phát sinh và tiến triển của nó. Cụ thể, bằng cách tham khảo một số nguồn tài liệu của các tác giả: Hoàng Chúng [2]; G.Pôlia, Hoàng Chúng (dịch) [15]; Michal Walicki [16]; V.Battie [17], chúng tôi cố gắng tìm những yếu tố để trả lời các câu hỏi tri thức luận cần nghiên cứu sau đây:  Phép chứng minh quy nạp toán học xuất hiện vì mục đích gì?  Những tính chất đặc trưng của phép chứng minh quy nạp toán học là gì?  Phép quy nạp toán học có các hình thức khác nhau nào? Phép quy nạp toán học đuợc dịch ra từ tiếng Anh là mathematical induction, tiếng Pháp gọi là raisonnement par récurrence đây là một thuật ngữ toán học, một số tác giả dịch là phương pháp chứng minh quy nạp toán học, có tác giả dịch là phương pháp quy nạp toán học hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp. Vì có nhiều thuật ngữ tương tự nhau nên có thể dẫn đến hiểu nhầm giữa đối tượng này với suy luận quy nạp, tư duy quy nạp,…nhưng sau khi xem xét kỹ thì chúng khác với phép quy nạp toán học. Trong chương trình môn toán phổ thông hiện hành ở Việt Nam, người ta gọi đối tượng đó là phương pháp quy nạp toán học vì vậy trong luận văn này chúng tôi sẽ dùng thuật ngữ phương pháp quy nạp toán học (viết tắt là PPQNTH) thay cho tên gọi phép chứng minh quy nạp toán học như trong tên đề tài đã ghi. Trong chương này, chúng tôi cũng sẽ làm rõ phương pháp suy luận là gì? Suy luận quy nạp là gì? Sự khác nhau giữa suy luận quy nạp so với PPQNTH? I.1 Các phương pháp suy luận và phương pháp quy nạp toán học I.1.1 Các phương pháp suy luận Theo Hoàng Chúng ([2], tr.107): Phương pháp suy luận là quá trình suy nghĩ để từ một hay nhiều phán đoán đã có rút ra phán đoán mới. Phán -6đoán đã có gọi là tiền đề của suy luận, phán đoán mới rút ra gọi là kết luận. Tiền đề có thể gồm một hay nhiều phán đoán. Suy luận nào mà tiền đề gồm một phán đoán gọi là suy luận trực tiếp. Nếu tiền đề có nhiều phán đoán ta có suy luận gián tiếp. Căn cứ vào bản chất sự liên hệ giữa tiền đề và kết luận, có thể chia ra thành hai loại suy luận: suy luận diễn dịch và suy luận quy nạp. Ví dụ Từ một tiền đề A suy ra mệnh đề B: A ⇒ B là suy luận trực tiếp; “Mệnh đề kéo theo” là mệnh đề dạng A ⇒ B (chỉ sai khi A đúng và B sai). "Phép kéo theo": A ⇒ B là phương pháp suy luận để từ một mệnh đề A, suy ra mệnh đề B sao cho A ⇒ B là đúng là suy luận gián tiếp. Một trong những đặc trưng làm cho toán học khác biệt với các ngành khoa học khác là việc xây dựng hệ thống lý thuyết bằng con đường suy diễn. Điều đó có nghĩa là mọi kết quả trong toán học đều là hệ quả logic của một số tiền đề. Theo Michal Walicki ([16], tr.2): Thông qua các cuộc thảo luận về chính trị và triết học, các nhà tư tưởng dần dần nâng cao các con đường lý luận khác nhau. Các nhà triết học nghiêm túc không tin tưởng vào các nhà ngụy biện, lo lắng về nguy cơ trái đạo đức từ các cuộc tranh cãi của các nhà ngụy biện, Plato(1) đã cố gắng chống lại chúng bằng cách lao vào các cuộc thảo luận về đạo đức và tuyên bố rằng đã có một logic mạnh mẽ là phép biện chứng. Tuy nhiên sự phát triển của “lý luận chính xác” lên tới đỉnh điểm tại Hy Lạp cổ đại với Aristotle( 2), người đưa vào giảng dạy các categorical forms (hình thức rõ ràng tuyệt đối) và Syllgisms (tam đoạn luận) một cách hệ thống và khá đầy đủ trong bộ Organon. Aristotle được xem là bậc thầy của phép biện chứng và phép suy luận logic. Ông đã định nghĩa “tam đoạn luận” là ngôn ngữ mà trong đó, nếu một cái gì đó được giả định, thì tất yếu rút ra một cái gì đó khác hẳn với cái đã (1) (2) Plato –Triết gia Hy Lạp (khoảng 427 – 347 trước Công nguyên) Aristotle –Triết gia Hy Lạp (khoảng 384 – 322 trước Công nguyên) -7cho, là một phương thức lập luận logic đi từ hai tiền đề đến một kết luận. Ví dụ như ở các sách logic thường dẫn: Con người không bất tử, Socrates là một con người. Socrates không bất tử. Ngoài khái niệm của phép tam đoạn luận, ngày nay, người ta còn biết đến Aristotle về phép suy luận diễn dịch là suy luận theo những quy tắc tổng quát, bằng những quy tắc đó từ những tiền đề đúng ta rút ra những kết luận chắc chắn đúng. Tuy nhiên, phép suy diễn không là con đường duy nhất của tư duy khoa học kể cả tư duy toán học. Vào những năm đầu của thế kỷ XVII, Francis Bacon(3) đã đưa ra một phương pháp tiếp cận khác về kiến thức, khác với Aristotle. Ông cho rằng để đạt được kiến thức mới phải đi từ thông tin riêng đến kết luận chung, gọi là suy luận quy nạp. Suy luận kiểu này cho phép chúng ta dùng những tiền đề riêng – là những kiến thức đã được chấp nhận, như là phương tiện để đạt được kiến thức mới. Suy luận quy nạp xuất phát từ sự quan sát và kiểm nghiệm những trường hợp riêng để đi đến những kết luận mang tính quy luật cho trường hợp tổng quát. Cách suy luận quy nạp không đảm bảo để tiến hành kết luận trong mọi trường hợp. Tuy nhiên, chứng minh bằng suy luận quy nạp là một cách chứng minh rất hữu hiệu trong toán học. Euler(4) là bậc thầy của nghiên cứu suy luận quy nạp trong toán học, nhờ quy nạp ông đã có những phát minh quan trọng về các chuỗi số vô hạn, trong lý thuyết số và trong các lĩnh vực khác của toán học: ông đã quan sát, phỏng đoán táo bạo và xác nhận sáng suốt một kết quả mới. Theo G.Polia ([15], tr.118): Euler là người duy nhất về một phương diện, ông cố gắng trình bày cẩn thận, tỉ mỉ rành mạch các lý lẽ quy nạp thuộc vấn đề nào đó, ông đã viết: “Trong thực tế, nhiều tính chất số học của các số đã được biết, đều được tìm ra bằng phương pháp quy nạp và được tìm thấy rất lâu trước khi sự đúng đắn của chúng được chứng minh chặt chẽ. Cũng có nhiều tính chất quen thuộc với (3) (4) Francis Bacon – Nhà khoa học thực nghiệm hiện đại người Anh (1561 – 1626) Leonhard Euler – Nhà Toán học Thụy Sỹ (1707 – 1783) -8chúng ta nhưng hiện thời chúng ta còn chưa chứng minh được. Chỉ có con đường quan sát và tư duy quy nạp mới có thể dẫn chúng ta đến chân lý”. Như vậy phương pháp quy nạp, tư duy quy nạp của Euler trích trên đây chính là suy luận quy nạp. Trong suy luận quy nạp có hai loại: suy luận quy nạp hoàn toàn và suy luận quy nạp không hoàn toàn.  Suy luận quy nạp hoàn toàn là phép suy luận trong đó kết luận tổng quát được rút ra trên cơ sở đã khảo sát tất cả các trường hợp riêng. Để chứng minh ∀x ∈ X,A(x) ta có thể sử dụng một trong các định lý sau:  A(a1 )  A(a )  Định lý 1 Nếu X={a 1 , a 2 , …,a n } thì  2 ⇒ ∀x ∈ X,A(x) ...  A(an ) Định lý 1 sử dụng khi tập X là hữu hạn và có số phần tử ít. Nếu số phần tử của X nhiều thì trong thực hành việc xét tất cả các trường hợp thường là khó khăn. Ví dụ: Chứng minh rằng mọi số chẵn thuộc {4;6;8;…30} đều có thể phân tích thành tổng của hai số nguyên tố. Lời giải 4 =2+2 6 =3+3 8 =3+5 10=3+7 12=5+7 14=7+7 16=3+13 18=7+11 20=7+13 22=11+11 24=11+13 26=13+13 28=11+17 30=13+17. Từ đó suy ra mọi số chẵn thuộc {4;6;8;…30} đều có thể phân tích thành tổng của hai số nguyên tố. Định lý 2 ∀x ∈ X 1 , A( x) ∀x ∈ X , A( x)  2 Nếu X=  X k thì  ⇒ ∀x ∈ X,A(x) k =1 ... ∀x ∈ X n , A( x) n Định lý 2 chỉ sử dụng được khi tập X có thể phân thành các tập con mà trong mỗi tập con việc chứng minh tính chất A(x) là đơn giản. Như vậy, ở định lý 2 nếu tập X khó phân thành các tập con thì việc chứng minh bằng suy luận quy nạp hoàn toàn sẽ gặp khó khăn. Theo -9Michal Walicki ([16], tr.43): Cho tập hợp X, một vấn đề rất điển hình là để thấy rằng tất cả các phần tử của X thỏa ∀x ∈ X: A(x), làm thế nào người ta có thể cố gắng chứng minh như vậy. Một trường hợp đặc biệt là khi X là hữu hạn và chỉ có vài phần tử - trong trường hợp này, chúng ta có thể bắt đầu chứng minh A(x) cho mỗi x riêng biệt. Ví dụ: Chứng minh rằng ∀x, y ∈ R, x + y ≤ x + y Lời giải Xét các trường hợp sau: . Trường hợp 1: x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ x + y ≥ 0 ta có: x + y ≤ x + y ⇔ x + y ≤ x + y (đúng với dấu đẳng thức) Trường hợp 2: x ≤ 0, y ≤ 0 ⇒ x + y ≤ 0 ta có: x + y ≤ x + y ⇔ −( x + y ) ≤ − x − y (đúng với dấu đẳng thức) Trường hợp 3: x ≥ 0, y < 0, x + y ≥ 0 ta có: x + y ≤ x + y ⇔ x + y ≤ x − y ⇔ 2 y ≤ 0 (đúng, dấu “=” không xảy ra) Trường hợp 4: x ≥ 0, y < 0, x + y < 0 ta có: x + y ≤ x + y ⇔ −( x + y ) ≤ x − y ⇔ 2 x ≥ 0 (đúng, dấu “=” xảy ra khi x=0) Trường hợp 5: x < 0, y ≥ 0, x + y ≥ 0 ta có: x + y ≤ x + y ⇔ x + y ≤ −x + y ⇔ 2x ≤ 0 (đúng, dấu đẳng thức không xảy ra) Trường hợp 6: x < 0, y ≥ 0, x + y < 0 ta có: x + y ≤ x + y ⇔ −( x + y ) ≤ − x + y ⇔ 2 y ≥ 0 (đúng, dấu “=” xảy ra khi y=0) Vì có thể xảy ra một trong các trường hợp trên mà trong mỗi trường hợp bất đẳng thức đều đúng nên bất đẳng thức đúng ∀x, y ∈ R . Phép suy luận quy nạp hoàn toàn còn có các tên gọi khác như: Phương pháp quy nạp đầy đủ, phương pháp vét cạn, phương pháp xét các trường hợp, phương pháp phân khoảng. Do lịch sử, trong tên gọi của phương pháp trên có thuật ngữ “quy nạp” nhưng thực chất đó là một - 10 trong các phương pháp suy diễn, vì đã dựa trên một số quy tắc tổng quát của logic, quy tắc này cho phép chúng ta chia trường hợp tổng quát ra thành một số hữu hạn các trường hợp riêng và dùng suy diễn để xét riêng từng trường hợp.  Suy luận quy nạp không hoàn toàn là phép suy luận trong đó kết luận được rút ra dựa trên một số trường hợp riêng. Bằng các kí hiệu logic ta có thể diễn đạt phép quy nạp không hoàn toàn như sau: Cho X là một tập hợp nào đó, A(x) là một mệnh đề chứa biến xác định trên X, gọi a 1 , a 2 , …, a n là những phần tử của X. Khi đó: n quy nap ∧ A(ak ) (quan sát và kiểm nghiệm) → ∀x ∈ X,A(x) k =1 (1) Mệnh đề chứa biến (1) là một phỏng đoán quy nạp. Nó có thể đúng hoặc có thể sai. Để chứng minh (1) đúng ta phải dựa vào kết quả đã biết là đúng trước đó và các suy luận logic đúng. Tức là phải chứng minh bằng phương pháp suy diễn. Để chứng minh (1) sai ta chỉ cần chỉ ra một phản ví dụ, tức là chỉ ra ∃x 0 ∈ X,A(x 0 ) sai , nói cách khác là chứng minh mệnh đề phủ định của (1) là ∃x ∈ X,A(x) . Ví dụ: Khi nghiên cứu về tập các số nguyên tố P, nhà toán học 22 + 1 = 5 ∈ P 1 22 + 1 = 17 ∈ P 2 Fermat (5) đã dựa trên một số trường hợp cụ thể như: 22 + 1= 257 ∈ P 3 + 1 65537 ∈ P 22 = 4 và đi đến khẳng định 22 + 1∈ P, ∀n ∈ N kết luận này không đúng vì n Euler đã chỉ ra một phản ví dụ là 22 + 1 641 . 5 Theo Michal Walicki ([16], tr.43): Một tình trạng phổ biến hơn là X có các yếu tố vô hạn. Cho X = {2i: i∈ Z}, x∈X. Khi đó, theo định nghĩa của X, có một số i∈ Z sao cho x=2i là một số chẵn. Tất nhiên, trong hầu hết các trường hợp, các mối quan hệ giữa định nghĩa của X và cái chúng ta muốn chứng minh là không đơn giản. Và một câu hỏi được đặt ra: (5) Pierre Fermat–Nhà toán học Pháp (1601-1665) - 11 "Làm thế nào để đảm bảo rằng chúng ta kiểm tra cho tất cả các phần tử của X và chúng ta có thể làm điều đó trong thời gian hữu hạn (vì nếu không thì sẽ không bao giờ kết thúc việc chứng minh)?" Ý tưởng của chứng minh bằng PPQNTH trả lời cụ thể cho câu hỏi này. Nó cho chúng ta thấy phải tìm một thứ tự có cơ sở của các phần tử của X và sau đó tiến hành theo mẫu sau: có người trình bày báo cáo cho phần tử nhỏ nhất và sau đó tiến tới các phần tử lớn theo trật tự. Bí quyết là đảm bảo rằng các bước hữu hạn của chứng minh là cần thiết để kết luận sẽ đúng với tất cả các phần tử của X. “A more common situation is that X has infinitely many elements. Let X = {2i: i∈Z} and show that each x ∈ X is an even number. Well, this is trivial by the way we have defined the set. Let x be an arbitrary element of X. Then, by definition of X, there is some i ∈ Z such that x = 2i. But this means precisely that x is an even number and, since x was assumed arbitrary, the claim holds for all x ∈ X. Of course, in most situations, the relation between the definition of X and the property we want to prove isn’t that simple. Then the question arises: “How to ensure that we check the property for all elements of X and that we can do it in finite time (since otherwise we would never finish our proof)?” The idea of proof by mathematical induction answers this question in a particular way. It tells us that we have to find some well-founded ordering of the elements of X and then proceed in a prescribed fashion: one shows the statement for the minimal elements and then proceeds to greater elements in the ordering. The trick is that the strategy ensures that only finitely many steps of the proof are needed in order to conclude that the statement holds for all elements of X”. Tóm lại, phương pháp suy luận quy nạp là một phương pháp tư duy dùng để tìm tòi, dự đoán các kết luận mới, không là một chứng minh chặt chẽ. Suy luận quy nạp hoàn toàn là một phương pháp chứng minh các tính chất của một tập hữu hạn và luôn cho kết luận đúng. Kết luận của suy luận quy nạp hoàn toàn chỉ khái quát được những trường hợp đã biết, chứ không đề cập đến các trường hợp chưa biết. Vì thế, suy luận quy nạp hoàn toàn tuy đầy đủ, chắc chắn nhưng nó không mang lại điều gì mới so với những điều nêu ra trong tiền đề. Suy luận quy nạp không hoàn toàn có thể dẫn đến kết luận đúng hoặc sai. Trong suy luận quy nạp không hoàn toàn, tập hợp đang xét thường là tập hợp vô hạn, do vậy không thể là suy luận quy nạp hoàn toàn được. - 12 I.1.2 Phương pháp quy nạp toán học Theo G.Polia ([15], tr.5) định nghĩa nguyên lý quy nạp như sau: Về giả thuyết chỉ cần biết hai điều: • Nó đúng với n = 1; • Nếu nó đúng đối với n thì cũng đúng cả đối với n + 1. Khi đó giả thuyết đúng đối với tất cả các số nguyên dương n: nó đúng với 1, vậy cũng đúng với 2; nó đúng với 2, vậy cũng đúng với 3;…Ở đây có một biện pháp chứng minh vô cùng quan trọng, ta có thể gọi nó là “sự chuyển từ n sang n + 1”, nhưng thường thường người ta gọi nó là “phương pháp quy nạp toán học”. PPQNTH là một phương pháp chứng minh chặt chẽ trong toán học, sử dụng nguyên lý quy nạp nhằm chứng minh các hàm mệnh đề A(n) đúng với mọi số tự nhiên n (hoặc tổng quát hơn, với mọi phần tử thuộc một tập hợp vô hạn đếm được). PPQNTH không phải là phương pháp suy luận quy nạp. Theo G.Polia thì “PPQNTH là một tên gọi rất không đạt của một phép chứng minh” và theo ông thì “Trong một vài trường hợp, PPQNTH có quan hệ hợp tác với suy luận quy nạp không hoàn toàn như sau: PPQNTH là một phương pháp chứng minh, phương pháp này thường có ích để chứng minh các mệnh đề toán học, mà các mệnh đề đó đã được tìm ra nhờ một quá trình suy luận quy nạp không hoàn toàn nào đó”. Tóm lại, suy diễn là loại suy luận trong đó tư tưởng đi từ nguyên lý chung đến kết luận riêng biệt. Suy luận quy nạp là suy luận mà trong đó tư tưởng đi từ hiểu biết riêng biệt, cụ thể đến nguyên lý chung. Còn PPQNTH là phép suy luận đặc biệt trong đó mệnh đề cần chứng minh có thể được dự đoán từ một suy luận quy nạp. Chúng tôi sẽ điểm qua một vài thời điểm tiến triển lịch sử của PPQNTH trong đoạn tiếp theo. - 13 I.2 Điểm qua vài nét lịch sử về PPQNTH Trong toán học, PPQNTH được xem là một phương pháp chứng minh nhiều khẳng định liên quan đến tập vô hạn đếm được, có dạng hàm mệnh đề: “A(n), ∀ n ≥ k; n, k ∈ N”. Chúng tôi chia lịch sử PPQNTH thành hai giai đoạn phát triển với các quan niệm khác nhau: giai đoạn chưa có định nghĩa số tự nhiên N và giai đoạn có định nghĩa số tự nhiên N. I.2.1 Giai đoạn chưa có định nghĩa số tự nhiên N (Trước thế kỷ XIX) a. Lý luận bằng tính chất giảm vô hạn của Fermat (1621) Theo nghiên cứu của V.Battie (2003): Fermat đã khám phá ra tính chất giảm vô hạn khi chứng minh bài toán “Không tồn tại tam giác vuông Pythagoras(6) có diện tích là một số chính phương”. Trong chứng minh của mình Fermat sử dụng phép chứng minh phản chứng theo tiến trình sau: Giả sử tồn tại tam giác thỏa điều kiện → luôn chỉ ra được một tam giác thỏa mãn: có cạnh huyền nhỏ nghiêm ngặt hơn cạnh huyền của tam giác ban đầu → mâu thuẫn với tính chất: mọi dãy giảm nghiêm ngặt các số tự nhiên đều hữu hạn. V.Battie hình thức hóa phương pháp này như sau: […] Cho tập hợp S, t : S → N là một ánh xạ. Ta giả sử rằng với mọi phần tử x của S, tồn tại y trong S sao cho t(y) < t(x). Ta kết luận rằng S = ∅ (V.Battie [17], tr.37). Tính chất giảm vô hạn chính là một phát biểu tương đương của tính sắp thứ tự tốt(7) của N - tính chất cơ sở của PPQNTH. Chúng ta có thể tìm thấy trong nghiên cứu của V.Battie chứng minh bài toán “Không tồn tại tam giác vuông Pythagoras có diện tích là một số chính phương” bằng một lý luận tương đương mà thực chất là phép phủ định của PPQNTH. Tóm lại, phương pháp dựa trên tính chất giảm vô hạn của Fermat hoàn toàn tương đương với PPQNTH. Nói cách khác, nếu ta dùng tính giảm (6) (7) Tam giác vuông Pythagoras–Các cạnh của tam giác vuông này đều là số nguyên. Tính sắp thứ tự tốt–Mọi tập con khác rỗng của N đều có phần tử nhỏ nhất. Thật vậy, giả sử X là một tập hợp không rỗng của những số tự nhiên và X không có phần tử nhỏ nhất. Gọi B là một tập hợp các số tự nhiên xác định bởi: ∀n ∈ N , n ∈ B và ∀m ∈ N , m ≤ n ⇒ m ∉ X . Ta thấy 0 ∈ B , vì nếu không thì số 0 sẽ là số nhỏ nhất trong X, điều này trái với giả thiết đã nêu ở trên. Giả sử n∈B ta có ∀m ∈ N , m ≤ n ⇒ m ∉ X , như vậy n + 1∉ X , vì nếu không thì n + 1 sẽ là số nhỏ nhất trong X trái với giả thiết. Theo tiên đề quy nạp toán học ta có với mọi số tự nhiên thuộc B, thì X là tập hợp rỗng (vô lý). - 14 vô hạn để chứng minh rằng một mệnh đề nào đó liên quan đến các số nguyên dương là không thể xảy ra thì tương đương với việc mệnh đề phủ định của nó thỏa mãn một tập vô hạn các số nguyên dương. Tuy nhiên, trong giảng dạy toán ở THPT hiện nay chỉ có PPQNTH được chọn. b. Chứng minh bằng nguyên lý quy nạp toán học của Pascal( 8) (1653) Nguyên lý quy nạp toán học được Pascal sử dụng lần đầu tiên trong sách chuyên luận về tam giác số học (ngày nay chúng ta gọi là tam giác Pascal). Tam giác Pascal là một bảng hai chiều mà thuật toán xây dựng bảng này cho phép dễ dàng tính toán số tổ hợp Cnr+1 căn cứ vào công thức truy hồi: n 0 với mọi n ∈ N, C= C= 1 và với mọi n và r khác không với r < n ta có n n Cnr+1 = Cnr −1 + Cnr . n; r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 10 1 Khi ta tính một hệ số trong tam giác Pascal, ta phải áp dụng quy tắc truy hồi bằng cách dựa vào hai số đã tìm được ở cạnh đáy trên. Phép tính như vậy dựa vào công thức tường minh mà ngày nay chúng ta có thể viết như sau: (8) Blaise Pascal–nhà Toán học Pháp (1623-1662)