Tài liệu Nghiên cứu didactic về phép chứng minh phản chứng ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH −−oOo−− BÙI THỊ BÍCH NGÂN NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ PHÉP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH −−oOo−− BÙI THỊ BÍCH NGÂN NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ PHÉP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH. Thầy là người đã bỏ rất nhiều thời gian và công sức hướng dẫn tôi một cách tận tình, kỹ lưỡng trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Sự hiện diện các Thầy Cô giáo trong hội đồng bảo vệ luận văn thạc sỹ là niềm vinh hạnh cho tôi. Tôi xin trân trọng cảm ơn những ý kiến đóng góp của các Thầy Cô giáo trong hội đồng đối với luận văn của tôi. Cho phép tôi gởi lời cảm ơn chân thành đến các Thầy, Cô giáo trong ngành Lý luận và phương pháp dạy học Toán cũng như các Thầy, Cô giáo ở khoa Toán Tin và các bộ môn khác đã tận tâm giảng dạy chúng tôi trong suốt ba năm qua. Tôi xin cảm ơn Phòng Sau Đại Học và các phòng ban của trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giúp tôi hoàn tất chương trình và thủ tục bảo vệ luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn tất cả các bạn lớp Lý luận và Phương pháp dạy học toán khóa 19 đã giúp đỡ tôi, cùng tôi chia sẻ những niềm vui cũng như những khó khăn trong suốt ba năm học vừa qua. Tôi xin chân thành cảm ơn tập thể giáo viên trường THPT Trà Ôn tỉnh Vĩnh Long đã hỗ trợ tôi trong công tác giảng dạy suốt thời gian tôi đi học. Cuối cùng, tôi muốn nói lời cảm ơn đến bạn bè và gia đình tôi, những người luôn ủng hộ, động viên và luôn tạo những điều kiện để tôi có thể hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất. Người thực hiện đề tài Bùi Thị Bích Ngân DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT SBT : Sách bài tập SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên NXB : Nhà xuất bản THCS : Trung học cơ sở THPT : Trung học phổ thông CMPC: Chứng minh phản chứng MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................................... 1 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ......................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................ 2 3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu ..................................... 2 4. Tổ chức của luận văn ................................................................................................ 3 CHƯƠNG I. CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA PHÉP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG ........ 5 I.1. Phép chứng minh phản chứng ................................................................................ 5 I.1.1. Cơ sở lý thuyết ................................................................................................ 6 I.1.2. Cơ chế của phép chứng minh phản chứng ...................................................... 6 I.1.3. Các bước suy luận phản chứng........................................................................ 7 I.2. Chứng minh phản chứng và chứng minh mệnh đề phản đảo ................................. 8 I.3. Quan niệm của các nhà Toán học về phép chứng minh phản chứng ................... 10 I.3.1. “Phê phán” chứng minh phản chứng ............................................................. 10 I.3.2. Ưu điểm của chứng minh phản chứng .......................................................... 13 I.3.2.1. Sự rõ ràng của phép chứng minh phản chứng ........................................ 13 I.3.2.2. Tính tự nhiên của phép chứng minh phản chứng ................................... 14 I.3.2.3. Chứng minh phản chứng: phương pháp khám phá................................. 15 I.3.2.4. Phản chứng và phương pháp tách đôi ..................................................... 15 I.4. Kết luận ................................................................................................................ 16 CHƯƠNG II. MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỀ PHÉP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA ................................. 17 II.1. Tóm lược chương trình và sách giáo khoa THCS .............................................. 17 II. 2. Phân tích chương trình và SGK THPT .............................................................. 20 II.2.1. Phân tích SGK Đại số 10 nâng cao .............................................................. 20 II.2.2. Phân tích SGK Hình học 11 nâng cao ......................................................... 22 II.2.3. Phân tích SGK Hình học 12 nâng cao ......................................................... 24 II.3. Kết luận chương 2 ............................................................................................... 25 CHƯƠNG III. THỰC NGHIỆM ................................................................................... 27 III.1. Thực nghiệm đối với giáo viên......................................................................... 27 III.1.2. Phân tích a priori ......................................................................................... 27 III.1.3. Phân tích a posteriori .................................................................................. 30 III.1.4. Kết luận ....................................................................................................... 32 III.2. Thực nghiệm đối với học sinh .......................................................................... 32 III.2.1. Phân tích a priori ......................................................................................... 32 III.2.2. Phân tích a posteriori .................................................................................. 33 III.2.3. Kết luận về thực nghiệm ............................................................................. 35 KẾT LUẬN .................................................................................................................... 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 37 PHỤ LỤC ....................................................................................................................... 39 1 MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát “Ví dụ 1. Chứng minh rằng nếu A ⊂ B thì A \ B = ∅. Giải. Giả sử A \ B ≠ ∅. Khi đó, tồn tại x ∈ A \ B, nghĩa là x ∈ A và x ∉ B. Ta suy ra A ⊄ B (trái với giả thiết). Vậy A \ B = ∅.” Ví dụ 2. Cho a, b, c là ba số thực thoả a 2009 ( a + b + c ) < 0 . Chứng minh rằng b 2 − 4ac > 0 . Giải. Từ a 2009 ( a + b + c ) < 0 ta suy ra a ≠ 0 (vì nếu a = 0 thì a 2009 ( a + b + c ) = 0 trái với giả thiết). Chia hai vế của (1) cho a 2008 > 0 , ta được a ( a + b + c ) < 0 . Đặt f ( x ) = ax 2 + bx + c thì f(x) là một tam thức bậc hai có af (1= ) a ( a + b + c ) < 0 nên tam thức có hai nghiệm phân biệt, nghĩa là = Δ b 2 – 4ac > 0 .” Để giải quyết hai bài toán trên ta đã sử dụng phép chứng minh phản chứng nhưng ở hai mức độ khác nhau. Trong ví dụ 1, phép chứng minh phản chứng là phương pháp tổng quát để giải quyết bài toán, còn trong ví dụ hai phép chứng minh phản chứng chỉ hỗ trợ như một kỹ thuật trong lòng một phương pháp khác. Trong chương trình toán phổ thông, có thể tìm thấy sự xuất hiện rất sớm của chứng minh phản chứng trong hình học lớp 7 với định lý: “Hai đường thẳng (phân biệt) cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.” và giải một số bài tập về hai đường thẳng song song. Trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, phép chứng minh phản chứng được giới thiệu một cách tường minh hơn để giải quyết các bài toán về suy luận logic. Từ những ghi nhận trên. Chúng tôi đặt ra những câu hỏi xuất phát sau: - Cách tiếp cận phép chứng minh phản chứng ở bậc trung học phổ thông có gì khác so với bậc trung học cơ sở? - Cơ sở toán học của phép chứng minh phản chứng là gì? 2 - Phép chứng minh phản chứng được đưa vào chương trình và sách giáo khoa như thế nào, xuất hiện trong những kiểu bài tập nào? - Giáo viên và học sinh đã vận dụng phương pháp chứng minh này như thế nào trong thực hành giải toán? 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của chúng tôi là đi tìm câu trả lời cho những câu hỏi nêu trên, cụ thể là những mục đích sau: - Làm rõ các cơ sở Toán học của phép chứng minh phản chứng. - Thực hiện một điều tra đối với một số giáo viên đã và đang trực tiếp dạy học những nội dung có liên quan đến phép chứng minh phản chứng để làm rõ thực tế cách tiếp cận cũng như vận dụng phương pháp chứng minh này. - Tiến hành một thực nghiệm đối với học sinh để tìm hiểu nhận thức của học sinh khi tiếp cận phương pháp chứng minh phản chứng và việc vận dụng chúng như thế nào? 3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lịch sử hình thành phép chứng minh phản chứng cho phép làm rõ đối tượng xuất hiện trong tình huống nào, có những đặc trưng gì, và có mối quan hệ với các đối tượng khác ra sao,… Ngoài ra, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm của Lý thuyết nhân chủng học (như: tổ chức toán học, quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức để phân tích mối quan hệ thể chế với đối tượng phép chứng minh phản chứng) và khái niệm hợp đồng didactic để phục vụ cho nghiên cứu của mình. Trong phạm vi lý thuyết này và từ các câu hỏi khởi đầu nêu trên, chúng tôi trình bày lại hệ thống câu hỏi nghiên cứu của luận văn như sau: Q 1 : Cơ sở Toán học của phép chứng minh phản chứng là gì? Sự tiến triển của nó trong lịch sử hình thành và những đặc trưng của nó? Q 2 : Mối quan hệ thể chế với đối tượng phép chứng minh phản chứng đã được hình thành và tiến triển như thế nào trong hai cấp học: trung học cơ sở đến trung học phổ thông? Có những ràng buộc nào của thể chế trên đối tượng này? 3 Q 3 : Mối quan hệ thể chế nêu trên ảnh hưởng thế nào đến quá trình dạy học của giáo viên? Q 4 : Sự ảnh hưởng của quan hệ cá nhân lên việc huy động phép chứng minh phản chứng? Để đạt được mục đích đề ra cũng có nghĩa là trả lời được các câu hỏi nêu trên, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu như sau: - Phân tích, tổng hợp một số công trình đã có về nghiên cứu khoa học luận về phép chứng minh phản chứng để làm rõ các đặc trưng khoa học luận của các đối tượng này cũng như sự tiến triển của nó qua các giai đoạn khác nhau của lịch sử. - Phân tích chương trình và sách giáo khoa toán của Việt Nam để làm rõ mối quan hệ của thể chế dạy học Việt Nam đối với đối tượng này trong hai cấp học: trung học cơ sở và trung học phổ thông. - Xây dựng một hệ thống câu hỏi về phép chứng minh phản chứng để tiến hành thu thập ý kiến của một số giáo viên đã và đang dạy đối tượng này, nhằm tìm hiểu những thuận lợi và khó khăn của họ khi giảng dạy đối tượng đó, cũng như một số đánh giá của giáo viên về cách tiếp cận phép chứng minh phản chứng của chương trình trung học cơ sở và chương trình trung học phổ thông hiện hành (cụ thể như về việc xây dựng phương pháp, xây dựng hệ thống bài tập,…). Sau đó phân tích các dữ kiện thu được và đưa ra một số kết luận. - Xây dựng và tiến hành một thực nghiệm đối với học sinh để làm rõ cách tiếp cận và việc vận dụng đối tượng này. 4. Tổ chức của luận văn Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương sau: Chương I: Nghiên cứu cơ sở toán học của phép chứng minh phản chứng. Từ đó nêu lên sự khác biệt giữa CMPC và chứng minh mệnh đề phản đảo. Đồng thời chúng tôi cũng tìm hiểu các quan niệm khác nhau của các nhà Toán học về phép CMPC. 4 Chương II: Nghiên cứu mối quan hệ thể chế về phép chứng minh phản chứng trong chương trình và SGK nhằm thấy được phép CMPC đã được hình thành và tiến triển ra sao qua hai bậc học: THCS và THPT. Chương III. Nghiên cứu thực nghiệm nhằm kiểm chứng những giả thuyết mà chúng tôi đã đưa ra. Thực nghiệm được thực hiện trên hai đối tượng: giáo viên và học sinh. Trong phần kết luận chung, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được ở chương I, II, III và nêu một số hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn. Tài liệu tham khảo Phụ lục 5 CHƯƠNG I. CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA PHÉP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG Chương này trình bày tóm tắt cơ sở toán học của phép chứng minh phản chứng. Nói theo ngôn ngữ của praxéologie, nội dung chính của chương này là những yếu tố công nghệ - lý thuyết của phép chứng minh phản chứng. Để thực hiện chương này, chúng tôi tham khảo (các) tài liệu: [1]. Cambrésy-Tant, Cambrésy và Carpentier, Autour du raisonnement par l'absurde. [2]. Nguyễn Văn Mậu (2007), Toán rời rạc và một số vấn đề liên quan. [3]. Hoàng Chúng (1974), Những yếu tố logic trong môn Toán ở trường phổ thông cấp II, NXB Giáo dục. [4]. Nguyễn Hữu Điển (2001), Những phương pháp điển hình trong giải toán phổ thông, NXB Giáo dục. [5]. Polya G. (1997), Toán học và những suy luận có lý, NXB Giáo dục. [6]. Hoàng Xuân Sính (chủ biên, 1999), Tập hợp và lôgic, NXB Giáo dục. I.1. Phép chứng minh phản chứng Các nhà Toán học Hy Lạp đầu tiên đã sử dụng trong các chứng minh của họ những qui luật và qui tắc hợp lí mà không cần giải thích. Ví dụ điển hình là chứng minh của Euclid về định lí: “Tồn tại vô số số nguyên tố.” Giả sử tập hợp số nguyên tố là hữu hạn, chỉ có các số p1 , p2 ,..., pn . Đặt m p1 . p2 .... pn + 1 . Khi đó m là một số nguyên và m > 1 nên m có ít nhất = một ước số nguyên tố p. Ta thấy (m, pi ) = 1 với mọi i = 1, 2,..., n . Do đó p ≠ pi với mọi i. Điều này trái với giả thiết đã lập. Vậy tập hợp các số nguyên tố là vô hạn. Tại thời điểm của Zeno Elea, phép chứng minh này đã được giới thiệu và trong một số trường hợp nó đã được sử dụng thành thạo. Sau đó Aristotle có lẽ là người đầu tiên nghiên cứu qui tắc logic của chứng minh. Ông thật sự là người đầu tiên làm nổi bậc hình dạng của chứng minh, từ đó logic hình thức ra đời. Nhưng Aristole chủ 6 yếu chỉ giới hạn ở tam đoạn luận. Sau đó các nhà Stoics đã đi xa hơn nội dung để khởi đầu cho logic mệnh đề. Và bảng chân trị đầu tiên xuất hiện, các chữ cái được dùng làm kí hiệu để thay thế cho nội dung của mệnh đề, điều này cho phép chúng ta chỉ cần làm việc trên các chữ cái khi ta đã nắm được chân trị của các mệnh đề đó. Như vậy, lĩnh vực logic đã phát triển mạnh mẽ trong giai đoạn đầu này. Trong những thế kỉ sau, chủ yếu là sự phát triển của logic cổ điển, đặc biệt là trong thế kỉ 19. I.1.1. Cơ sở lý thuyết Cơ sở lý thuyết của phép chứng minh này là hai định luật cơ bản của lôgic hình thức và một số đẳng thức lôgic dưới đây: Định luật bài trung: một mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai. Định luật phi mâu thuẫn: một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai Các đẳng thức lôgic cơ bản: P ⇒Q =Q ⇒ P P∧Q ⇒ R = P∧ R ⇒ Q (P ⇒ (Q ∧ Q )) ⇒ P = 1 ( ( P ⇒ 0) ⇒ P) = 1 I.1.2. Cơ chế của phép chứng minh phản chứng Để chứng minh mệnh đề P ⇒ Q là đúng, ta giả sử rằng P đúng và phủ định của Q. Từ đó lập luận đưa ra mệnh đề R và phủ định của R (R ở đây cũng có thể là P hoặc cũng có thể là Q). Điều này trái với luật bài trung và luật loại trừ. Như vậy điều giả sử của ta là sai hay mệnh đề P ⇒ Q là đúng. Việc chứng minh mệnh đề P ⇒ Q là đúng dựa vào các đẳng thức lôgic sau: (( Q ∧ P) ⇒ P ) = 0(trái giả thiết) ( Q ∧ P) ⇒ 0 (vô lý) ( Q ∧ P) ⇒ (R ∧ R) (Mâu thuẫn) 7 I.1.3. Các bước suy luận phản chứng Ta cần chứng minh mệnh đề P ⇒ Q Bước 1. Giả sử Q là sai (hay Q là đúng). Bước 2. Từ điều giả sử ta suy ra một số tính chất hoặc quan hệ mới, mà những tính chất mới này dẫn đến điều vô lí, chứng tỏ điều ta giả sử là sai hay Q đúng. Điều vô lí ở đây có thể thuộc một trong các dạng sau: - Điều trái với giả thuyết. - Điều trái với một kiến thức đã biết. - Điều trái với giả sử phản chứng. Khi xác định phủ định của mệnh đề cần chứng minh Q , ta cần lưu ý: i) Luật phủ định của phủ định P = P ii) Qui tắc De Morgan P ∧ Q = P ∨ Q , P ∨ Q = P ∧ Q iii) Luật giao hoán P ∧ Q = Q ∧ P , P ∨ Q = Q ∨ P iv) Luật kết hợp P ∧ (Q ∧ R) = ( P ∧ Q) ∧ R , P ∨ (Q ∨ R) = ( P ∨ Q) ∨ R v) Luật phân bố P ∧ (Q ∨ R) = ( P ∧ Q) ∨ ( P ∧ R) , P ∨ (Q ∧ R) = ( P ∨ Q) ∧ ( P ∨ R) vi) Luật lũy đẳng P ∧ P = P, P∨P = P vii) Luật về phần tử bù P ∧ P = 0, P∨ P = 1 viii) Luật trung hòa P ∧ 1 = P P, P ∨0 = ix) Luật thống trị P ∧ 0 = 0, P∨1= 1 x) Luật hấp thụ P ∧ ( P ∨ Q) = P , P ∨ (P ∧ Q) = P xi) Luật chứng minh phản chứng thứ nhất P ⇒ Q = Q ⇒ P xii) Luật phản chứng thứ hai P ⇒ Q = P ∧ Q . Định lý: Nếu P(x) là hàm mệnh đề xác định trên tập A thì ta có: i) ∀x ∈ A, P( x ) =∃x ∈ A, P( x ) ii) ∃x ∈ A, P( x ) =∀x ∈ A, P( x ) Ví dụ 8 Chứng minh rằng: “Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau”. Mệnh đề phải chứng ming có dạng P ∧ Q ⇒ R : (a ⊥ c) ∧ (b ⊥ c) ⇒ (a // b) . Để chứng minh gián tiếp ta phủ định mệnh đề P ∧ Q ⇒ R có dạng P ∧ Q ∧ R : (a ⊥ c) ∧ (b ⊥ c) ∧ (a không song song b) . Ta có  a⊥c  b⊥c  ⇒ qua I có hai đường thẳng a, b cùng vuông góc với c (vô lí). a ∩b = I  Vậy (a ⊥ c) ∧ (b ⊥ c) ∧ (a không song song b) là sai nên (a ⊥ c) ∧ (b ⊥ c) ⇒ (a // b) là đúng (đpcm). I.2. Chứng minh phản chứng và chứng minh mệnh đề phản đảo Chứng minh bằng phản chứng hay chứng minh mệnh đề phản đảo đều là phương pháp chứng minh gián tiếp mệnh đề cần chứng minh. Giữa hai phương pháp này có gì giống và khác nhau? Theo Hoàng Chúng viết trong “Những yếu tố logic trong môn Toán ở trường Phổ Thông cấp II” thì ông xem chứng minh mệnh đề phản đảo cũng là phép chứng minh phản chứng: Nhiều khi, để chứng minh mệnh đề P ⇒ Q bằng phản chứng, ta phủ định kết luận ( Q ) và từ đó rút ra kết luận logic là phủ định của giả thiết ( P ). Trong trường hợp này là chứng minh mệnh đề phản đảo của mệnh đề đã cho. Bên cạnh đó, một số nhà nghiên cứu phân biệt phép chứng minh phản chứng với chứng minh mệnh đề phản đảo. Để minh họa, chúng tôi giới thiệu ví dụ của Cambrésy-Tant, Cambrésy và Carpentier về chứng minh mệnh đề 6 trong tập Cơ bản của Euclide và định lí hình học không gian. Ví dụ 1. Cho ∆ABC có B̂ = Ĉ . Chứng minh rằng AB = AC . Chứng minh phản chứng (của Euclide): Giả sử AB ≠ AC . Không mất tính tổng quát, có thể giả sử AB > AC . 9 Trên cạnh AB, tồn tại một điểm D (không trùng với A) sao cho DB = AC . Xét ∆ABC và ∆DCB, ta có: AC = DB ∧ ∧ ACB = D BC (gt) BC chung Suy ra ∆ABC = ∆DCB (c.g.c). Điều này vô lý vì D là một điểm thuộc cạnh AB và không trùng với A. Vậy AB = AC . Chứng minh mệnh đề phản đảo: Nếu AB ≠ AC , ta có thể giả sử AB > AC . Trên cạnh AB, tồn tại một điểm D (không trùng với A) sao cho DB = AC . Hai tam giác ABC và DCB không bằng nhau vì chúng không thể chồng khít lên nhau. ∧ ∧ Suy ra A C B ≠ D B C , nghĩa là Ĉ ≠ B̂ . Ta gọi mệnh đề P: “ Tam giác ABC có B̂ = Ĉ ”. Mệnh đề Q: “AB = AC” Mệnh đề cần chứng minh: P ⇒ Q Thoạt nhìn hai chứng minh trên dường như là giống nhau, giống từ điểm xuất phát, con đường đi,… Tuy nhiên, bản chất của nó là khác nhau. Để chứng minh mệnh đề P ⇒ Q Euclide đã chứng minh theo cấu trúc logic P ∧ Q ⇒ R ∧ R , trong đó R: hai tam giác bằng nhau. Còn cấu trúc logic của chứng minh mệnh đề phản đảo là đi chứng minh mệnh đề Q ⇒ P . Ví dụ 2. Nếu một đường thẳng song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng thì nó song song với mặt phẳng đó. Chứng minh bằng phản chứng Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng δ ⊂ ( P ) , một đường thẳng d ⊄ ( P ) và d δ . Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và δ . Giả sử d ∩ ( P ) = O . Khi đó O ∈ ( P ) ∩ (Q) 10 Mà = δ (P ) ∩ (Q) nên O ∈ δ Suy ra O= d ∩ δ (mâu thuẫn với giả thiết). Vậy d  ( P ) . Chứng minh bằng mệnh đề phản đảo Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d cắt (P) tại điểm O. Đường thẳng δ ⊂ ( P ) ( δ bất kì). Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và δ . Khi đó = δ (P ) ∩ (Q) mà O ∈ (P ) ∩ (Q) (do O ∈ d ) nên O ∈ δ Suy ra O= d ∩ δ hay d và δ không song song. Trong ví dụ này phép chứng minh phản chứng theo cấu trúc P ∧ Q ⇒ P . I.3. Quan niệm của các nhà Toán học về phép chứng minh phản chứng I.3.1. “Phê phán” chứng minh phản chứng Arnauld viết trong quyển Các yếu tố mới của hình học của ông rằng: Một chứng minh không chỉ đòi hỏi phải có sự gắn kết chặt chẽ của các lập luận để thuyết phục được tính chất đó là đúng mà còn phải giải thích nguyên nhân vì sao nó đúng. Theo quan niệm này thì ông không chấp nhận lập luận của phép chứng minh phản chứng. Vào cuối thế kỉ 19, đầu thế kỉ 20 đã xảy ra cuộc tranh cãi ngay sau khi phát hiện ra mâu thuẫn trong lý thuyết tập hợp. Các nghịch lí nảy sinh từ lý thuyết Cantor mà tiểu biểu là nghịch lí của Russell. Russell đã xét tập hợp S = { X | X không phải là phần tử của X}. Vấn đề ông đặt ra là S có phải là phần tử của chính nó không ? Có hai khả năng xảy ra: i) Nếu S là phần tử của chính nó, theo cách cho tập hợp S thì S không phải là phần tử của S. ii) Nếu S không là phần tử của chính nó thì nó là tập hợp thỏa mãn cách cho tập hợp S nên S là phần tử của chính nó. Rõ ràng đây là một nghịch lí. Trước đó cũng đã có các nghịch lí tương tự nhưng không được phát biểu bằng ngôn ngữ hình thức của toán học nên chúng bị bỏ qua. Ví dụ như nghịch lí chàng nối nói: “Cái tôi đang nói là sai”, hay nghịch lí 11 chàng cắt tóc: “Trong một làng nọ, có một chàng cắt tóc cắt tóc cho tất cả những ai trong làng không tự cắt tóc lấy”. Các kiểu nghịch lí như trên đã khuấy động một cuộc tranh cãi về nền tảng của Toán học. Nếu có một nghịch lí không giải quyết được trong bất kì ngành học nào thì nền tảng logic của ngành đó sẽ sụp đỗ hoàn toàn. Các nhà Toán học hoặc là ủng hộ Cantor, hoặc là chống đối hoàn toàn lý thuyết tập hợp này. David Hilbert nói: “không ai có thể đuổi chúng ta ra khỏi thiên đàng mà Cantor đã tạo cho chúng ta”. Henri Poincaré bảo: “các thế hệ sau sẽ xem lý thuyết tập hợp như một thứ bệnh”. Các nhà Toán học và logic học thời đó đã đưa ra một vài phương pháp để giải quyết các nghịch lí này: i) Trường phái logic đề nghị dùng logic hình thức để làm toán, với hy vọng là logic hình thức sẽ xóa bỏ được sự mù mờ của ngôn ngữ phổ thông. Lí thuyết của chủ nghĩa logic nằm ở chỗ tìm ra cách trình bày lại lí thuyết của tập hợp mà việc trình bày này tránh được nghịch lí của Russell và có thể cho phép đặt lại nền tảng của Toán học dựa trên logic. Các nhà toán học theo trường phái này: Frege, Russell, Whitehead,... Quan điểm của Russell là, logic và toán học về cơ bản có cùng bản chất, sự nghịch lí mà chúng ta vừa phát hiện ra cùng với các nghịch lí cổ điển khác có thể được xem là động lực phát triển của logic. Russell nhận xét rằng nguồn gốc của những nghịch lí này là một vòng lẩn quẩn, cái người ta nói lại trở thành chính nó, và do đó không có gì đúng cũng không có gì sai mà nó là vô nghĩa. Nếu muốn tránh vòng lẩn quẩn đó thì mỗi lần ta nói đến tổng thể để định nghĩa sự vật gì đó thì nó cần phải không thuộc vào tổng thể đó. Vì thế lí thuyết về các kiểu phân nhánh được tạo ra. Trong lí thuyết này, một lớp nào đó chứa bản thân nó thì trở thành vô lí, bởi vì một lớp nhất thiết phải bao hàm những phần tử bên trong nó. Thành tựu lón nhất của lí thuyết này là cứu vãn được những mâu thuẫn một cách rất hiệu quả. Nhưng việc phân cấp bậc lại làm nảy sinh vấn đề là đã bỏ đi tính toán học một cách đáng kể, do một số chứng minh toán học không tuân thủ tính phân cấp. Như vậy, việc 12 thực thi lí thuyết này giữ một vai trò chủ yếu trong việc phát triển logic. Nhưng nó lại thất bại so với mục tiêu ban đầu: lí thuyết tập hợp trở thành một công trình phức tạp, khó xác định. ii) Trường phái trực quan được khởi xướng khoảng năm 1908 bởi nhà toán học Hà Lan Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) cũng không chấp nhận lý luận của phương pháp chứng minh phản chứng. Một trong những luận điểm cơ bản nhất của trường phái trực quan về toán học là: ta phải làm toán mang tính xây dựng. Các khái niệm như các số tự nhiên 1, 2, 3 có thể "xây dựng" được từ trực quan con người. Khi định nghĩa một khái niệm mới, nó phải được xây dựng được bằng một số hữu hạn các bước. Đó cũng chính là lí do phương pháp chứng minh phản chứng không được chấp nhận trong trường phái này. Nhưng có một điều thú vị là một định lý cực kỳ nổi tiếng của Brouwer trong hình học tô-pô (định lý điểm bất động) lại được chứng minh bằng phản chứng. iii) Trường phái hình thức do Hilbert khởi xướng. Trước hết, Hilbert đã đặt ra một cách chính xác những qui tắc cú pháp và các qui tắc suy diễn bằng cách: sao cho mọi chứng minh đúng của mỗi định lí cổ điển có thể được trình bày bằng chứng minh hình thức xuất phát từ tiên đề. Về căn bản, Hilbert tin rằng các nhánh của toán học có thể được mô tả bằng một hệ thống tiên đề và một ngôn ngữ hình thức bậc nhất với cú pháp cụ thể. Ngôn ngữ này có thể được nghiên cứu như một đối tượng toán học, và nhờ đó ta có thể trả lời chắc chắn các câu hỏi kiểu như: "có thể nào nhánh toán học này có nghịch lý không?" (Dĩ nhiên nghịch lý đó phải được phát biểu bằng ngôn ngữ hình thức ấy.) Hilbert đề nghị là hình thức hóa tất cả các nhánh của toán học, sau đó chứng minh rằng tất cả các nhánh này đều không có nghịch lý. Vào cuối thế kỉ 20, người ta nhận ra rằng chủ nghĩa hình thức đã chiến thắng trong toán học. Những nhà Toán học theo trường phái Hilbert không những thành công trên lĩnh vực Toán học mà còn trên các lĩnh vực khác. Chủ nghĩa hình thức đã thật sự tạo ra tư duy khoa học. Chúng ta có thể xem xét ví dụ về logic: Logic đã trở thành một hệ thống được hình thức hóa và cấu trúc hoàn chỉnh: bằng những bước liên tục theo một phương thức giống nhau, người ta đã vượt qua 13 được logic của mệnh đề (logic đơn giản nhất và cơ bản nhất) để đến những logic ngày càng phức tạp, mà những logic phức tạp này bắt nguồn từ những logic hàm số cho đến logic thông dụng và như thế tất cả diễn tả cấu trúc của tư duy logic cổ điển (logic cổ điển được xây dựng giống như logic truyền thống dựa trên hai giá trị đúng và sai). I.3.2. Ưu điểm của chứng minh phản chứng Bên cạnh những quan niệm “phê phán”, một số nhà toán học khác đánh giá cao phép phản chứng. I.3.2.1. Sự rõ ràng của phép chứng minh phản chứng Ví dụ 3. Cho ∆ABC và hai điểm D, E lần lượt thuộc cạnh AB và AC. Nếu AD AE = thì các đường thẳng DE và BC song song nhau. AB AC Chứng minh phản chứng. Giả sử DE và BC không song song. Khi đó qua D ta kẻ đường thẳng song song BC cắt AC tại F ( F ≠ E ) . Áp dụng định lí Thalet trong ∆ABC , ta có đẳng thức: Mà ta có AD AF = AB AC AF AE AD AE = = nên AB AC AB AC Từ đó suy ra AF = AE hay F ≡ E (điều này mâu thuẫn với cách xác định điểm F) Vậy các đường thẳng DE và BC song song nhau. Chứng minh trực tiếp. Lấy điểm F thuộc cạnh AC sao cho DF song song BC. Theo định lí Thalet, ta có: AD AF = AB AC 14 Mà ta có AD AE AF AE = = nên AB AC AB AC Từ đó suy ra AF = AE hay F ≡ E Do đó DE và BC song song. Ta thấy, chúng ta có thể dễ dàng chuyển đổi từ chứng minh phản chứng sang chứng minh trực tiếp. Tuy nhiên chứng minh trực tiếp sử dụng lý luận dường như là từ chứng minh phản chứng. Cách chứng minh trực tiếp cũng giải quyết thành công bài toán nhưng cách lập luận “Lấy điểm F thuộc cạnh AC sao cho DF song song BC” làm cho người đọc băn khoăn “tại sao lại bắt đầu như vậy?” . Trong khi đó phép chứng minh phản chứng giải thích rõ ràng giúp người đọc dễ hiểu hơn. Trong hai ví dụ đã nêu ở trên, chứng minh phản chứng đơn giản hơn nhiều so với chứng minh mệnh đề phản đảo bởi vì chứng minh mệnh đề phản đảo phức tạp hơn, đòi hỏi kiến thức toán học tinh vi hơn. I.3.2.2. Tính tự nhiên của phép chứng minh phản chứng Theo nghiên cứu của Cambrésy-Tant, Cambrésy và Carpentier đối với học sinh lớp 10 ở Pháp. Khi đưa ra hai bài toán: Bài toán 1. “Một người bạn của tôi tên là Pierre nói với tôi rằng: Tôi có thể sẽ đến nhà bạn vào chiều thứ 2. Nếu bạn không có ở nhà, tôi sẽ để lại trong hộp thư của bạn một là thư. Nhưng tôi lại không có ở nhà vào chiều thứ 2 và cũng không có lá thư nào trong hộp thư khi tôi về. Pierre có đến tìm tôi không?” Bài toán 2. “Chứng minh với mọi số thực x ≠ −2 , ta có x +1 ≠ 1. x+2 Hai bài toán trên được đưa ra cho hai nhóm học sinh. Đối với bài toán 1, dường như ngay lập tức học sinh nhóm 2 có ngay câu trả lời: “Pierre đã không đến”. Học sinh nhóm 1 thì có vẻ gặp chút khó khăn trong việc đưa ra lập luận để giải