Tài liệu Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm ( phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hỗ thể cao vô hạn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------------- Nguyễn Đình Nam NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƢỚC LÊN SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM ( PHONON ÂM ) GIAM CẦM TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VÔ HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------------- Nguyễn Đình Nam NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƢỚC LÊN SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM ( PHONON ÂM ) GIAM CẦM TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VÔ HẠN Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số : 604401 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. NGUYỄN QUANG BÁU Hà Nội - 2011 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam MỤC LỤC Mở đầu……………………………………………………………………………1 Chương 1 : Lý thuyết gia tăng phonon âm ( sóng âm ) trong bán dẫn khối và trong dây lượng tử trong trường hợp phonon không giam cầm. 4 1.1 Lý thuyết gia tăng phonon âm ( sóng âm ) trong bán dẫn khối………….4 1.1.1 Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn khối……………………………………………………………………...4 1.1.2 Lý thuyết gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối (trường hợp hấp thụ một phonon)…………………………………………………………7 1.1.3 .Ảnh .hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon .lên hệ số gia tăng sóng âm và điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối…………...11 1.2 Lý thuyết gia tăng phonon âm (sóng âm) trong dây lượng tử trong trường hợp phonon không giam cầm…………………………………………...14 1.2.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong dây lượng tử…………………………………………………………………...…..14 1.2.2 Biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm………………..18 1.2.3 Hệ số hấp thụ sóng âm trong trường hợp hấp thụ một photon…21 1.2.4 Hệ số hấp thụ sóng âm trong trường hợp hâp thụ nhiều photon..24 Chương 2 : Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của điện tử và phonon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn và phương trình động lượng tử cho phonon giam cầm…………………………………………………27 2.1 Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của điện tử và phonon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn…………………………27 2.2 Phương trình động lượng tử cho phonon giam cầm………………….28 2.2.1 Hamilton của hệ điện tử-phonon âm giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn………………………………………………………28 2.2.2 Phương trình động lượng tử cho phonon âm giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn……………………………………………..29 1 Cao học 2009 - 2011 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam Chương 3 : .Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích .thước lên .sự gia .tăng sóng âm. (phonon âm) giam cầm .bởi trường .bức xạ laser trong .dây lượng tử hình trụ .hố. thế cao vô hạn…………………………………………………………………...46 3.1 Biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn………...46 3.2 Tính toán số, vẽ đồ thị và bàn luận……………………………….…53 Kết luận ………………………………………………………………………....58 Tài liệu tham khảo……………………………………………………………....60 Phụ lục…………………………………………………………………………..63 Danh mục các hình vẽ…………………………………………………………...67 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 3.1 :Biểu diễn sự phu thuộc của tốc độ gia tăng phonon âm (hệ số gia tăng phonon âm) vào vectơ sóng của phonon qz …………………………………….54 Hình 3.2 : Biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng phonon âm (hệ số gia tăng phonon âm) vào tần số trường sóng điện từ (bức xạ Laser)…………………….55 Hình 3.3 :Biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng phonon âm (hệ số gia tăng sóng âm) vào cường độ trường điện từ E o ………………………………………56 Hình 3.4 : Biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng sóng âm (hệ số gia tăng phonon âm) vào nhiệt độ T……………………………………………………...57 2 Cao học 2009 - 2011 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam MỞ ĐẦU Khoa học vật liệu ngày càng phát triển, các thành tựu của nó ngày càng được ứng dụng rộng rãi. Các nhà khoa học quan tâm, nghiên cứu các tính chất vật lý của vật liệu, trong đó có hiệu ứng giảm kích thước. Trong cấu trúc bán dẫn, khi chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm chặt dọc theo dọc theo một 0 tọa độ với vùng rắt hẹp không quá vài trăm A và chiều rộng này so sánh được với chiều dài bước sóng De Broglie thì hiệu ứng giảm kích thước xuất hiện. Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên các tính chất của bán dẫn thấp chiều nói chung và dây lượng tử nói riêng. Khi chuyển từ hệ bán dẫn khối sang hệ thấp chiều 2D, 1D hay 0D, do hiệu ứng giảm kích thước gây nên làm thay đổi một loạt các tính chất vật lý cả về định tính và định lượng. Chính điều này đã làm sơ sở để tạo ra các linh kiện điện tử thế hệ mới siêu nhỏ, đa năng và thông minh làm việc theo những nguyên lý hoàn toàn mới. Dây lượng tử là một ví dụ điển hình về hệ khí điện tử một chiều. Hiện nay, dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ phương pháp MBE hay MOCVD. Trong cấu trúc dây lượng tử, chuyển động của điện tử được giới hạn 2 chiều làm cho điện tử chỉ có thể chuyển động tự do theo một chiều. Sự giam cầm điện tử trong hệ này làm thay đổi khả năng chuyển động của điện tử. Chính điều này dẫn tới một số hiện tượng mới. Các hiện tượng này khác với các hiện tượng trong các bán dẫn khối. Trong các loại dây lượng tử thì dây lượng tử hình trụ là loại hay được sử dụng nhất trong các nghiên cứu lý thuyết. Hiệu ứng giảm kích thước (trong bán dẫn thấp chiều) ảnh hưởng lên các tính chất vật lý làm các tính chất vật lý thay đổi, trong đó có sự thay đổi tốc độ gia tăng phonon âm (gia tăng sóng âm), hấp thụ phonon bởi trường sóng điện từ (trường bức xạ laser) do tương tác điện tử - phonon gây ra. Sự gia tăng sóng âm bởi trường bức xạ laser là một đề tài được nghiên cứu rộng rãi trong bán dẫn khối [22,23,24,28,30,33], bán dẫn thấp chiều [4,5,16] trong trường hợp chưa xét đến ảnh hưởng của phonon giam cầm. Sự gia tăng phonon âm (sóng âm) có thể hiểu là khi điện tử hấp thụ năng lượng sóng điện từ (phonton) thì nó đồng thời có thể hấp thụ và phát xạ phonon âm. Trong một số điều kiện được thỏa mãn, quá trình phát xạ áp đảo (trội hơn) quá trình hấp thụ phonon và dẫn đến tại đó có sự gia tăng phonon âm (sóng âm). 3 Cao học 2009 - 2011 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam Còn trong trường hợp xét tới ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước tức ảnh hưởng của điện tử giam cầm và phonon giam cầm, đã có một số tác giả nghiên cứu trong các hệ hai chiều (siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, hố lượng tử) [4,5,16] nhưng chưa ai làm trong hệ một chiều nói chung và trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn nói riêng. Do đó trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu đề tài “Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn ”. Phương pháp nghiên cứu: Để giải quyết bài toán vật lý thuộc loại này, ta có thể áp dụng nhiều phương pháp khác nhau của vật lý lý thuyết. Từ góc độ lý thuyết cổ điển Boltzmann, .. còn từ góc độ lý thuyết lượng tử, ta có thể sử dụng phương pháp hàm Green, phương pháp tích phân phiếm hàm, phương pháp phương trình động lượng tử. Mỗi phương pháp đều có những ưu nhược điểm khác nhau khi áp dụng cho các loại bài toán vật lý cụ thể khác nhau. Trong luận văn này chúng tôi đã sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử (nhờ phương trình chuyển động Heisenberg và Hamiltonian cho hệ điện tử-phonon trong hình thức luận lượng tử hóa lần hai) để giải quyết bài toán. Ngoài ra, trong phần tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết thu được, chúng tôi sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab trên hệ điều hành Windows. Phương pháp này đã tỏ rõ ưu việt khi giải quyết các bài toán vật lý tương tự trong bán dẫn thấp chiều và cho phép thu nhận biểu thức giải tích, tính số và vẽ đồ thị các đại lượng vật lý đặc trưng cho hiệu ứng. Luận văn đã đưa ra được biểu thức giải tích cho tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn, sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng sóng âm vào vectơ sóng âm, tần số sóng âm , tần số trường bức xạ laser. Trong luận văn đã thực hiện khảo sát và tính toán số trong trường hợp cụ thể đối với mẫu dây lượng tử hình trụ GaAs/GaAsAl. So sánh các kết quả thu được với trường hợp không xét đến ảnh hưởng của phonon giam cầm ta thấy rằng tốc độ gia tăng sóng âm giam cầm mạnh hơn. Đặc biệt, biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm còn phụ thuộc vào m,m’ là chỉ số giam cầm đặc trưng cho phonon giam cầm, khi cho m,m’ tiến tới 0 ta dễ dang thu lai được kết quả như trong trường hợp phonon không giam cầm. Bố cục luận văn gồm 3 chương, ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục với 67 trang, 33 tài liệu tham khảo. 4 Cao học 2009 - 2011 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam Chương 1: Lý thuyết gia tăng phonon âm (sóng âm) trong bán dẫn khối và trong dây lượng tử trong trường hợp phonon không giam cầm. Chương 2: Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của điện tử và phonon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn và phương trình động lượng tử cho phonon giam cầm. Chương 3 : Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn. Các kết quả chính thu được trong luận văn là mới mẻ và có giá trị khoa học nhất định, được báo cáo và in toàn văn trong proceedings của hội nghị vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 36 ở Quy Nhơn (8-2011). Ngoài ra những vấn đề phát triển và liên quan đến đề tài luận văn về hiệu ứng giảm kích thước cũng đã được chúng tôi công bố thành các công trình [7,8,11,14] CHƢƠNG 1 LÝ THUYẾT GIA TĂNG SÓNG ÂM TRONG BÁN DẪN KHỐI VÀ TRONG DÂY LƢỢNG TỬ (NHƢNG KHÔNG KỂ ĐẾN ẢNH HƢỞNG CỦA GIAM CẦM PHONON) 1.1. Lý thuyết gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối. 1.1.1. Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho phonon trong bán dẫn khối. 5 Cao học 2009 - 2011 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối khi có mặt trường sóng điện từ E  E 0 sin(t ) được xác định bởi biểu thức : 2 1   e     H (t )   p  A(t )  a p a p   q bqbq   C a  a (b   bq )      q p  q p  q c  p 2m  q p ,q (1.1) Trong đó ap và ap ( bq và bq ) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của  2 1   e   p  A ( t )  là năng lượng điện tử;  q là năng 2m  c    lượng của phonon âm; p và ( p  q) là trạng thái của điện tử trước và sau khi tán  xạ; p (q ) là vectơ sóng của điện tử (phonon) trong bán dẫn khối, c là vận tốc ánh điện tử (phonon);  ( p)  sáng; m và e tương ứng là khối lượng và điện tích của điện tử; C q là hằng số tương tác điện tử - phonon, A(t ) là thế vectơ và trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, xác định bởi biểu thức:  1 d A(t )    E 0 sin(t ) c dt (1.2) Từ Hamilton (1.1) ta có:  1   e   i b   b  , H (t )   p A(t )    q  t 2m p  t q t c  2 b  , a  a     q p p  t       a (b    b  )  .   k bq , bk bk    Ck bq , a p k p k k  t t p,k  k (1.3) Thực hiện các phép biến đổi, và chú ý các hệ thức toán tử, ta có: i  b    b  C   a   a   q q t q p pq p t t q t (1.4) Ta thiết lập phương trình cho a p q a p t : 6 Cao học 2009 - 2011 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước i   1   e     a   a    a   a  , H (t )     p ' c A(t )  t pq p t  pq p t  t 2m p '   Nguyễn Đình Nam 2         a pq a p t , a p 'a p '   t       h   a   a  , b b     C  a   a  , a  a (b    b )  p q p t k k  pq p t p 'k p ' k k   t p ',k k  t k k  (1.5) Thực hiện biến đổi đại số toán tử biểu thức (1.5), ta thu được kết quả :    eq     i a   a          A(t )  a   a  pq mc t pq p t  p  p q p t       b )    a   a  (b    b )       C a a ( b     p k p k  k  p p k  k k  k    k t t t   (1.6) Suy ra : t  a   a   i  dt  C  p q p t  1 k k    t           a p a p k (bk  bk )    a p k a p (bk  bk )    t   t   e 1  exp i (      )(t  t )  i qA ( t ) dt  2 2 p p q 1 mc t   (1.7) Thay (1.7) vào (1.4), ta có: t   b   i  b    C C  dt   q q t  q k  1 t q t p,k k          a p a p k (bk  bk )   a p k a p (bk  bk )    t   t   e 1  exp i(      )(t  t )  i qA ( t ) dt  2 2 p p q 1 mc t     t  (1.8) Trong gần đúng bậc hai của Cq , ta có thể bỏ qua bq t , và sẽ thu được: 1 7 Cao học 2009 - 2011 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam t  b   i  b   C 2  (n   n   )  dt b   q q t q p p q  1 q t t q t p,k 1 t   e 1  exp i (      )(t  t )  i qA ( t ) dt  2 2 p p q 1 mc t   (1.9) Trong đó :  cE   A(t )  cE  sin(t )dt  0 cos(t ) 2 0 2 2 2  (1.10) Thay (1.10) vào (1.9) đồng thời sử dụng biểu thức biến đổi sau :  exp(  iz sin )=  J n ( z) exp(  in ) n=- J n ( z ) là các hàm Bessel đối số thực ta sẽ có : t     b   i  b   C 2  ( n  n )  dt1 bq  q q t q p p p q  t q t t 1      eE q   eE q   exp i (      )(t  t )  il t  ist  J l  02 J s  02  1 p p q 1 l ,s   m   m    (1.11) Phương trình (1.11) chính là phương trình động lượng tử của phonon trong bán dấn khối. 1.1.2 Lý thuyết gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối (trƣờng hợp hấp thụ một phonon). Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:    it B (  )   bq e dt  q  t    b   1  B  ( )eit d  q t 2  q Và :  b   i b  q t t q t (1.12) 8 Cao học 2009 - 2011 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam Từ phương trình (1.11) và (1.12) ta có t i b   i  b   C 2  (n   n   )  dt b    q t q q t qp p p q  1 q t 1      eE q   eE q     J  0 J s  0  exp i (      )(t  t )  il t  ist 1 p p q 1 l ,s  l  m2   m2    (1.13) Hay viết dưới dạng khác: 1  it d  i  1  B  ( )eit d   B (  ) e   q q 2  2  q      eE q   eE q    C 2  (n   n   )  J  0 J s  0   q p p pq l ,s  l  m2   m2      t  1 it d  exp i (      )(t  t )  il t  ist   dt  B  ( )e 1 1 p p q 1 2  q       eE q   eE q    C 2  (n   n   )  J  0 J s  0   q p p p q l ,s  l  m2   m2      B  ( )eit ilt ílt 1  q  d  2  i (       l     i ) p p q i   Với :  ( x) là hàm Delta-Dirac. Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lại có:  it ilt íst d   B    ( s  l ) eit d    Bq ( )e    q Suy ra : 1  it d   i  1  B  ( )eit d   Bq ( )e  q q 2  2       eE q   eE q    C 2  (n   n   )  J  0 J s  0   q p p p q l ,s  l  m2   m2      it  1  Bq   ( s  l )  e  d  2  i (       l     i ) p p q i (1.14) Từ phương trình (1.14) ta thu được : 9 Cao học 2009 - 2011 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam n n  p p q 2 i B  ( )  i  B  ( )  C     q q q q p i (       l     i ) p p q      eE q   eE q     J  0 J s  0  B    ( s  l ) l ,s  l  m2   m2  q   eE0 Từ (1.15) đặt a  m2 (1.15) n n  p p q   (       l    i ) ;   0  ( )   p p q p q (1.16) Ta sẽ có: 2       (   ) B ( )  C  Jl  aq J s  aq    (  l )Bq   ( s  l ) q q q l ,s q (1.17) Trong phương trình (1.17) các số hạng với l  s bên vế phải sẽ cho đóng góp hằng số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn số hạng với l  s . Vậy có thể đặt l=s trong công thức (1.17) và thu được phương trình tán sắc: 2  2  (  l )  0    (   ) B ( )  C  Jl  aq   q q q l  q (1.18) Từ phương trình tán sắc, ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm:     2  2   Jl  aq   n   n p q   p   p q  l   q (1.19) q l  p p  (q )   Im( )   C  Coi sóng âm đồng nghĩa với phonon âm, từ công thức chung (1.19) ta tính  hệ số hấp thụ sóng âm  (q ) cho bán dẫn. Xét cho trường hợp khí điện tử suy biến và trong trường hợp hấp thụ một photon, với giả thiết q>>pF,    F , thu được hệ số hấp thụ sóng âm:   2   2m2  eE0q   q m   q m       (q )    pF     2 4 s  m   2 q   2 q    10 Cao học 2009 - 2011 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam  eE 0 Trong đó :  là khối lượng riêng, s là vận tốc sóng âm,   m PF là xung lượng Fermi của điện tử;  ( z ) lầ hàm có bước nhảy: 1 z0 0 z0  ( z)    Ở điểm q  2m ,  (q ) sẽ đổi dấu và với:  2m  pF  pF  q  2m sẽ xuất hiện sự gia tăng sóng âm  (q )  0  Đối với trường hợp bán dẫn không suy biến và hấp thụ một phonon: coi  eE0   đối số của hàm Bessel rất nhỏ sao cho aq    1 với   m . Biểu thức đối với hàm phân bố của điện tử:   p2   2 ; A  n  n   Aexp  0 p  2mkT   mkT   3/2    (1.20) Hằng số tương tác điện tử - phonon âm: C q 2   2q V 2 s 0 (1.21) Vói V0 thể tích của tinh thể, thương chọn V0=1;  - hằng số thế biến dạng. S – vận tốc sóng âm.  - mật độ tinh thể. Đặt (1.20), (1.21) vào công hức chung (1.19). Chuyển từ tổng sang tích  phân theo p , thu được bểu thức đối với hệ số hấp thụ sóng âm đối với trường hợp hấp thụ một photon như sau: 1/2 2  q             exp 2Sqq  sh   2  2 kT        4   q         exp   S    2  2  q    exp 2S    sh  q q  q q  2kT  4m2        2  n0   m  (q )   s  2kT    11 (1.22) Cao học 2009 - 2011 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam Ở đây : m S  q 2q 2kT K là hằng số Boltzmann; N0 là mật độ điện tử; T là nhiệt độ của hệ. Từ công thức (1.22), trong trường hợp bất đẳng thức q   được thực hiện,  ta có  (q )  0 và ứng với nó ta có hệ số hấp thụ sóng âm. Ngược lại, trong vùng  sóng âm thỏa mãn bất đẳng thức q   ta có  (q )  0 và có dạng tường minh sau: 2 1/2 2 4    2  n0   m        2  q           (q )  sh sh 2 S    exp  S        q q  q q  s  2kT   2   2kT  4m2         (1.23)  Công thức (1.23) chứng tỏ lúc này hệ số hấp thụ sóng âm (  (q )  0 ) đã  chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm (  (q )  0 ). Nghĩa là ta có hệ số gia tăng sóng âm bởi trường bức xạ Laser trong bán dẫn không suy biến trong trường hợp hấp thụ một photon. 1.1.3 Ảnh hƣởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng sóng âm và điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối. Ta cũng có thể viết hệ số hấp thụ sóng âm (1.19) dưới dạng khác:     2  2  n          l             l     Jl  aq   q l  p q p q p q p q p p  (q )   C   (1.24)  Đặt     p q   p  l  q trong trường hợp   1 , dùng công thức biến đổi: 12 Cao học 2009 - 2011 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam     2   2  2    J      l   l  l      2   2   Ta sẽ thu được:       2   2   2   2  2       (q )  C   n     q p p    2   2   2   2    (1.25)  eE0  m Trong đó: Sử dụng:  q 2 pq q 2 pz q           l          pq p q 2m 2m q 2m 2m q  q 2 pq q 2 pz q           l          pq p q 2m 2m q 2m 2m q Công thức biến đổi tổng thành tích phân :  1 2 d .dP..P.  dPz ....    ...  3  p  2  0 Và xét bán dẫn không suy biến, ta sẽ có từ phương trình (1.22) phương trình sau: 2  2     dPz exp   Pz    2mkT  0    2 2     2 p q    q2 p q     2 q  2 z z        2m  2m  q        2m  2m  q                    2 2   2 2   q  p q   2   q  pz q     2    z    q q   2m 2m  2m 2m          (q )    P2 2   d .  dP..P. exp  3 0  2 mkT 0  2   A C q 13 (1.26) Cao học 2009 - 2011 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam Tiếp theo ta tính tích phân theo Pz, P của (1.26), ta nhận được:  2      2 m .n0   m   q2   2  (q )          exp   2   q  2m kT .2 2  s     2q kT            2       1/ 2      I   m  q        q   q2    q 2 kT  2m ! l 0      q 2 m    m   exp   2  2q kT  2  2    q  2    2m  q                   m  q2        1/ 2      I          q   q2    q 2kT  2m ! l 0          q  2m   (1.27) Cuối cùng ta thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng âm trong bán dẫn bởi trường bức xạ Laser đối với quá trình hấp thụ nhiều photon như sau:   2 n0  m   (q )    2  s  2kT  1/ 2 1/ 2  m 2  exp   2   2q kT        1/ 2      2 ! l 0  q    q  2m       q   exp    2  kT   q     q  2m   m exp   2  2q kT  q2   q    2m  2        m  I  2   q kT      m  I  2   q kT    q2   q      2m   q      q      2m    2 (1.28) Từ (1.28) ta thấy rằng nếu bất đẳng thức sau được thực hiện: 14 Cao học 2009 - 2011 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước        m  q2      q     2  2  I  2   q      q kT  2m   q      q  q  2m   2m  Thì  (q )  0 ,còn nếu:     2  q    q  2m  Nguyễn Đình Nam     m  q2   q    I  2    q kT  2m    (1.29)       m  q2    m  q2     q     2  q    I  2   I  2    q kT  2m    q      q kT  2m    q    2m   Ta có  (q )  0 và có dạng tường minh như sau: (1.30) 1/2 2 1/2   m 2      2 n0  m  m  q2  (q )    q      exp   2  exp   2  2  s  2kT   2q kT  2m  2q kT           m  q2     1/ 2    q       q      I  2  exp    2 ! l 0   kT   q      q kT  2m   q    2m      2  q    q  2m      m  q2     q     I  2    q kT  2m      (1.31)  Công thức (1.31) chứng tỏ rằng lúc này, hệ số hấp thụ sóng âm  (q )  0  đã chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm  (q )  0 . Nghĩa là một lần nữa ta thu nhận được hệ số gia tăng sóng âm ở trong cả trường hợp hấp thụ nhiều photon bởi trường bức xạ Laser. 1.2 Lý thuyết gia tăng sóng âm trong dây lƣợng tử (nhƣng không kể đến giam cầm). 1.2.1. Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho phonon trong dây lƣợng tử. 15 Cao học 2009 - 2011 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước Nguyễn Đình Nam Khi đặt thêm trường ngoài (chẳng hạn trường bức xạ Laser: E  E 0 sin(t ) ), sự tương tác điện tử - phonon được mô tả bằng Hamiltonian sau:    e   H(t)=   ε  k- A(t) a +  a  + ω  b  b  +  C (q) a +   a  (b  +b+  ). n,l  c n,l,k+q n',l',k q q  n,l,k n,l,k q q q q n,l ,n',l ' n,l ,n',l ' n,l,k  k,q (1.32) Trong đó:   e   A(t )  là phổ năng lượng của điện tử trong trường ngoài. c    n ,l  k  an,l ,k và an ,l ,k ( bq và bq ) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của điện tử  (phonon); q là tần số của phonon ứng với vecto sóng q , c là vận tốc ánh sáng.  là hằng số Planck, m và e tương ứng là khối lượng và điện tích của điện tử ; A(t ) là thế vectơ và trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, xác định bởi biểu thức:  1 d A(t )  E 0 sin(t ) c dt  Cn,l ,n ',l ' (q) là hằng số tương tác điện tử - phonon trong dây lượng tử, được tính bởi công thức:   Cn,l ,n ',l ' (q )=Cq I n,l ,n ',l ' (q )    iqr    2R iqr  2 Với: I n,l ,n',l ' (q )  n, l , k e n ', l ', k '    *(r ,  )e  (r ,  )dr R0 C q 2    2q 2  vsV Trong đó: V là thể tích chuẩn hóa;  là hằng số thế biến dạng; vs là tốc độ sóng âm,  là mật độ tinh thể. Trong biểu diễn Heisenberg, phương trình chuyển động của phonon có dạng: 16 Cao học 2009 - 2011 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước i Nguyễn Đình Nam     e       b   b  , H (t )       k  A(t )  b , a a   n,l   q  t t q t c   q n,l ,k n,l ,k  t n,l ,k            p bq , b p b p    Cn,l ,n ',l ', ( p ) bq , an,l ,k  p an ',l ',k (b p  b p )  . p t n,l ,n ',l '   t   p,k (1.33) Thực hiện phép biến đổi toán tử (chú ý các hệ thức toán tử) ta có: i    . b     b   C (q ) a    a   n,l ,n',l ' q q t t q t n , l , k  q n ', l ', k t n,l ,n',l ',k (1.34) Ta thiết lập phương trình cho an,l ,k q an ',l ',k : t     a   a    a    a  , H (t )   t n,l ,k q n',l ',k t  n,l ,k q n',l ',k  t      e          a    a  , b  b         p  A(t )   a    a  , a   a   n,l ,k q n',l ',k n1,l1, p n1,l1, p  t j j  n,l ,k q n',l ',k j j  t n ,l , p n1,l  c 11 i    Cn ,l ,n ',l ' ( j ) n ,l ,n ',l ' 1 1 1 1 11 1 1  p, j        an ',l ', p (b   b  )  . a   a  , a j j   n,l ,k q n',l ',k n1,l1, p j 1 1  t (1.35) Thực hiện phép biến đổi toán tử (chú ý các hệ thức toán tử) ta có: 17 Cao học 2009 - 2011 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước i Nguyễn Đình Nam       e         (k )   (k  q )    a  a q A(t )  a   a n,l t n,l ,k q n',l ',k t  n',l ' m*c  n,l ,k q n',l ',k t       a    a    C ( j ) (b   b  )  a    a n,l ,n',l ' j j  n,l ,k q n',l ',k  j n',l ',k q  j n',l ',k  t j (1.36) Để giải phương trình (1.36) trước tiên ta giải phương trình vi phân thuần nhất:    i a  a t n,l ,k q n',l ',k 0 0     e        (k )   (k  q )  q A(t )  a   a n',l ' n,l *c n,l ,k q n ',l ',k t m   t (1.37) Rồi tìm nghiệm của phương trình (1.36) bằng phương pháp biến thiên hằng số nghiệm của phương trình (1.37). Giải thiết ở t   hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động:  b  a   a 0 q t  n,l ,k q n',l ',k t  Ta tìm được nghiệm của phương trình (1.36):    i t a    a      C ( j ) (b   b  )  a    a    a     a    n , l , n ', l '  j j  n,l ,k q n',l ',k  j n',l ',k q  j n',l ',k  t   j n,l ,k q n',l ',k t 1 t  i     ie 1    exp   (k )   (k  q )  t  t  q A ( t ) dt dt 1 2 2 1 n,l  n',l '  *c t    m     (1.38) Thay phương trình (1.38) vào (1.34), ta được: 18 Cao học 2009 - 2011