Tài liệu NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TRUNG HÒA PHI TUYẾN BẬC CAO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quang Phục NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TRUNG HÒA PHI TUYẾN BẬC CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quang Phục NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TRUNG HÒA PHI TUYẾN BẬC CAO Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. Lê Hoàn Hóa Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình học tập và làm luận văn , tôi đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ, động viên của quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, của gia đình và bạn bè đồng nghiệp. Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc và chân thành nhất đến PGS. TS. Lê Hoàn Hóa, người đã tận tình hướng dẫn, có những ý kiến đóng góp quý báu giúp tôi hoàn thành tốt luận văn của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian quý báu và những góp ý sâu sắc cho buổi bảo vệ luận văn của tôi. Tôi xin cảm ơn tất cả quý thầy cô Khoa Toán – Tin và quý thầy cô phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt khóa học. Tôi xin cảm ơn Quý thầy cô, các bạn bè đồng nghiệp trường THPT Trường Chinh, các bạn học viên cao học Toán Giải Tích K22 đã luôn động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập. Sau cùng tôi xin gửi tất cả tình cảm yêu thương và lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, những người thân yêu của tôi đã tạo niềm tin, là chỗ dựa vững chắc giúp tôi học tập và hoàn thành tốt luận văn của mình. 1 LỜI CAM ĐOAN Trong quá trình làm luận văn này, tôi đã nghiên cứu, tìm hiểu và tham khảo sách vở, các bài báo toán học của các nhà khoa học và luận văn thạc sĩ của các khóa trước, tôi có sử dụng một số kết quả đã được chứng minh để hoàn thành luận văn của mình. Nhưng tôi xin cam đoan không sao chép luận văn đã có và xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm với lời cam đoan của mình. 2 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ 2 MỤC LỤC .................................................................................................................... 3 MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 4 1. Lý do chọn đề tài. ............................................................................................................ 4 2. Mục đích của đề tài. ........................................................................................................ 4 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. ................................................................................ 4 4. Phương pháp nghiên cứu. .............................................................................................. 5 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu: ................................................ 5 CHƯƠNG 1: BẬC TÔPÔ........................................................................................... 6 1.1. Bậc Brouwer ................................................................................................................. 6 1.2. Bậc Leray Schauder..................................................................................................... 7 1.3. Ánh xạ Fredholm ......................................................................................................... 9 1.4. Bậc trùng lặp của ánh xạ L-Compact ...................................................................... 10 1.5. Sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử ........................................................... 13 CHƯƠNG 2: NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO ................................................................................................................... 18 2.1. Một số bổ đề................................................................................................................ 18 2.2. Một số kết quả chính ................................................................................................. 21 CHƯƠNG 3. NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TRUNG HÒA PHI TUYẾN BẬC CAO .................................................................. 37 3.1. Một số Bổ đề ............................................................................................................... 37 3.2. Một số kết quả chính ................................................................................................. 41 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 54 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Lí thuyết phương trình vi phân đóng vai trò quan trong trong ứng dụng thực tiễn của Toán học. Hầu hết các quá trình tự nhiên đều tuân theo một quy luật nào đó mà phương trình vi phân có thể mô tả được. Bằng chứng là các ngành Toán học, Cơ học, Vật lí, Hóa học, sinh vật, kinh tế, Sinh thái môi trường …và xã hội học đều liên quan đến phương trình vi phân. Vì thế phương trình vi phân là một môn học cần thiết cho hầu hết các ngành ở bậc Cao đẳng, Đai học. Một trong những vấn đề mà các nhà toán học đã, đang và sẽ tiếp tục nghiên cứu về phương trình vi phân là sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm. Hiểu được tầm quan trọng của vấn đề trên nên tôi chọn đề tài” Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân hàm bậc cao và phương trình vi phân hàm trung hòa phi tuyến bậc cao ” để tìm hiểu và nghiêm cứu sâu hơn về vai trò và ứng dụng của nó trong cuộc sống và trong các lĩnh vực liên quan. 2. Mục đích của đề tài. Mục đích của luận văn này là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân hàm bậc cao và phương trình vi phân hàm trung hòa phi tuyến bậc cao bằng cách sử dụng lý thuyết bậc trùng lặp được phát triển bởi Mawhin. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Trong phạm vi nghiên cứu của luận văn này tôi chỉ tập trung nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân hàm bậc cao và phương trình vi phân hàm trung hòa phi tuyến bậc cao có dạng sau: a/ Phương trình vi phân hàm bậc cao: = x ( n ) (t ) n −1 ∑ b  x i =o i (i ) = bi , i 0,1..., n − 1 là hằng số, k là số (t )  + f (t, x(t − τ (t ))) + p (t ) , trong đó k dương lẻ, f ∈ C1 ( 2 , ), ∀x ∈ , p ∈ C (, ), p(t + T ) =p(t ) . b/ Phương trình vi phân hàm trung hòa phi tuyết bậc cao: o ( Ax) (m) (t= ) f ( x(t )) x '(t ) + g (t , ∫ x(t + s )dα ( s )) + e(t ) , trong đó −r 4 ( Ax)(t ) = x(t ) − kx(t − τ ), f ∈ C (, ), g ∈ C ( 2 , ) tuần hoàn với chu kì ω > 0 , e ∈ C (, ) tuần hoàn với chu kì ω > 0 , r > 0 , m nguyên dương , k ,τ ∈  là 2 hằng số, α : [ −r , 0] →  là hàm biến thiên và bị chặn. 4. Phương pháp nghiên cứu. Tra cứu các tài liệu và các tạp chí toán học dưới sự hướng dẫn của thầy PSG.TS. LÊ HOÀN HÓA 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu: Cùng với sự phát triển của ngành Toán Giải tích, Đại số, Hình học vi phân, Đa tạp… phương trình vi phân luôn được hiện đại hóa. Bên cạnh đó công cụ máy tính điện tử với các phần mềm chuyên dùng đã làm tăng khả năng ứng dụng thực tiễn của môn học này. Việc xác định tồn tại nghiệm tuần hoàn của phường trình vi phân hàm có ý nghĩa quan trọng trong việc giải quyết các bài toán. Từ đó, ta có thể giải quyết các bài toán khi nghiên cứu các hiện tượng Tự nhiên và Xã hội. Trong những năm gần đây, ngày càng có nhiều nghiên cứu cho thấy tầm quan trọng của phương trình vi phân hàm được ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau trong các ngành khoa học và đời sống như: Vật lý, Sinh học, Sinh thái học, Sinh lý học, Môi trường, Kinh tế, Địa chất, Khảo cổ học…. 5 CHƯƠNG 1: BẬC TÔPÔ 1.1. Bậc Brouwer Cho Ω ⊂  n là tâp mở. Hàm số f : Ω →  n gọi là khả vi tại x0 ∈ Ω nếu tồn tại ma trận gọi là 0(h) h f '( x0 ) , thỏa mãn f ( x0 + h=) f ( x0 ) + f '( x0 )h + 0(h) , trong đó x0 + h ∈ Ω và → 0 khi h → 0 . Kí hiệu C k (Ω) là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k. Nếu f khả vi tại x0 , gọi J f ( x0 ) = det f '( x0 ) là Jacobian của f tại x0 . Nếu J f ( x0 ) = 0 thì x0 gọi là điểm tới hạn của f kí hiệu S f (Ω=) {x ∈ Ω:J f (x)=0} là tập các điểm tới hạn của f trong Ω . Nếu f −1 ( y ) ∩ S f (Ω) =∅ thì y gọi là điểm đều của f. Ngược lại thì gọi y là điểm kì dị của f. Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω ⊂  n là tâp mở bị chặn và f ∈ C1 (Ω) . Nếu p ∉ f (∂Ω) và J f ( p ) ≠ 0 thì ta định nghĩa bậc tôpô của f trên tập Ω tại điểm p bởi : deg( f , Ω, p ) = 0 nếu f −1 ( p ) = ∅ . ∑ signJ f ( x) , trong đó deg( f , Ω, p) = x∈ f −1 ( p ) Mệnh đề 1.1.2. Cho Ω ⊂  n là tâp mở bị chặn, f : D →  n liên tục và p ∉ f (∂Ω) . Khi đó tồn tại r > 0 sao cho với mọi f1 , f 2 : Ω →  n liên tục, f1 , f 2 ∈ C1 (∂Ω) và f − fi < r , i = 1, 2 thì deg(f1 , Ω, = p) deg(f 2 , Ω, p) . Ánh xạ f1 , f 2 được gọi là C1 − xấp xỉ của f. n n Định nghĩa 1.1.3. Cho Ω ⊂  là tâp mở bị chặn, f : Ω →  liên tục và p ∉ f (∂Ω) . Ta định nghĩa bậc tôpô của f trên tập Ω tại điểm p: deg( f , Ω, p=) deg( f1 , Ω, p) trong đó f1 1 là C − xấp xỉ của f. n n Định lí 1.1.4. Cho Ω ⊂  là tập mở bị chặn v à f : Ω →  là ánh xạ liên tục. Nếu p ∉ f (∂Ω) , thì tồn tại số nguyên deg( f , Ω, p ) thỏa mãn các điều kiện sau: 6 1 khi và chỉ khi p ∈ Ω , trong đó I kí hiệu cho ánh xạ (1)(Tính chuẩn) deg( I , Ω, p) = đồng nhất. (2)(Tính khả nghiệm) Nếu deg( f , Ω, p) ≠ 0 thì phương trình f ( x) = p có nghiệm trong Ω. (3)(Tính đồng luân) Nếu ft ( x) :[0,1] × Ω →  n liên tục và p ∉ ∪ ft (∂Ω) thì deg( ft , Ω, p) t∈[0,1] không phụ thuộc vào t ∈ [0,1] . (4)(Cộng tính) Giả sử Ω 1 , Ω 2 là hai tập con rời nhau của Ω và p ∉ f (Ω \ (Ω1 ∪ Ω 2 )) . Khi đó deg( f , Ω, p=) deg( f , Ω1 , p) + deg( f , Ω 2 , p) . (5) deg( f , Ω, p) là hằng số trên thành phần liên thông của  n \ f (∂Ω) . n n Định lí 1.1.5. Cho Ω ⊂  là tập mở bị chặn, 1 ≤ m < n và f : Ω →  liên tục, đặt , Ω, y ) deg( g m , Ω ∩  m , y ) , trong đó gm là giới hạn g= I − f . Nếu y ∉ (I− f)(∂Ω) thì deg( g= của g trên Ω ∩  . m 1.2. Bậc Leray Schauder Bổ đề 1.2.1. Cho E là không gian Banach thực, Ω ⊂ E là tập con mở bị chặn và T : Ω → E là ánh xạ compact. Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại không gian hữu hạn chiều F T x − Tx < ε và ánh xạ liên tục Tε : Ω → F thỏa mãn ε với mọi x ∈ Ω . Chứng minh: Từ T (Ω) là compact tương đối trong E, với mọi ε > 0 , tồn tại tập con hữu hạn {x1 , x2 ,..., xn } ⊂ Ω thỏa mãn T (Ω) ⊂  i =1 B(Txi , ε ) . n Bây giờ ta xác định ánh xạ Tε : Ω → F =span{Tx1 , Tx2 ,..., Txn } như sau: n Tε x = ∑ i =1 φi ( x) Γ( x) n max{0, ε − Tx − Txi } và Γ( x) = Txi với mọi x ∈ Ω , trong đó φ= ∑ φi ( x) . i ( x) i =1 Khi đó có thể kiểm tra được Tε thỏa mãn yêu cầu. 7 Bổ đề 1.2.2. Cho E là không gian Banach thực, B ⊂ E là tập con đóng và T : B → E là ánh xạ compact. Giả sử Tx ≠ x với mọi x ∈ B . Khi đó tồn tại ε 0 > 0 thỏa mãn x ≠ tTε1 x + (1 − t )Tε 2 x 1, 2 với mọi t ∈ [0,1] và x ∈ B , trong đó ε i ∈ (0, ε 0 ) và Tε : B → Fε , i = i i như ở Bổ đề (1.2.1). Chứng minh: Giả sử kết luận là sai. Khi đó tồn tại ε1j → 0, ε1j → 0, t j → t0 , x j ∈ B sao cho t jTε j x j + (1 − t j )Tε j x j = x j với j = 1, 2... . Do tính compact của T nên (Tx j )∞j =1 có dãy con gọi 1 2 là Tx j hội tụ về y ∈ E . k Từ Bổ đề (1.2.1) suy ra Tε x j → y với i = 1, 2 . i jk k Do đó x j → y ∈ B . Suy ra Ty = y , ta gặp mâu thuẫn. k Định nghĩa 1.2.3. Cho E là không gian Banach thực, Ω ⊂ E là tập mở bị chặn và T : Ω → E là ánh xạ compact. Giả sử 0 ∉ ( I − T )(∂Ω) . Khi đó theo Bổ đề (1.2.2) tồn tại ε 0 > 0 sao cho x ≠ tTε x + (1 − t )Tε x , với mọi 1 2 t ∈ [0,1], x ∈ ∂Ω , trong đó ε i ∈ (0, ε 0 ) và Tε i : Ω → Fε i , i =1, 2 như ở Bổ đề (1.2.1). Do đó bậc Brouwer deg( I − Tε , Ω ∩ Fε , 0) tồn tại và ta định nghĩa : = deg( I − T , Ω , 0) deg( I − Tε , Ω ∩ Fε , 0) , trong đó ε ∈ (0, ε 0 ) . Từ tính đồng luân của bậc Bouwer ta có deg( I − Tε1 , Ω ∩ span{Fε1 ∪ Fε 2 = }, 0) deg( I − Tε 2 , Ω ∩ span{Fε1 ∪ Fε 2 }, 0) . Nhưng Tε : Ω ∩ span{Fε ∪ Fε } → Fi , i =1, 2 . i 1 2 Theo định lí (1.1.5) ta có: deg( I − Tε , Ω ∩ span{Fε ∪ Fε = }, 0) deg( I − Tε , Ω ∩ Fε }, 0) và 1 1 deg( I − Tε 2 , Ω ∩ span{Fε1 ∪ Fε 2 = }, 0) deg( I − Tε 2 , Ω ∩ Fε 2 }, 0) . 8 2 1 1 Do đó ta có: deg( I − Tε , Ω ∩ Fε = }, 0) deg( I − Tε , Ω ∩ Fε }, 0) và bậc được định nghĩa ở 1 1 2 2 (1.2.3) là xác định tốt. Tổng quát, nếu p ∉ ( I − T )(∂Ω) , ta xác định deg( I − T , Ω, = p ) deg( I − T − p, Ω, 0) . Định lí 1.2.4. Bậc Leray Schauder có các tính chất : (1)(Tính chuẩn) deg( I , Ω, 0) = 1 khi và chỉ khi 0 ∈ Ω . (2)(Tính khả nghiệm) Nếu deg( I − T , Ω, 0) ≠ 0 thì phương trình Tx = x có nghiệm trong Ω . (3)(Tính đồng luân) Cho Tt :[0,1] × Ω → E là ánh xạ Compact liên tục và Tt x ≠ x với mọi (t, x) ∈ [0,1] × ∂Ω . Khi đó deg( I − Tt , Ω, 0) không phụ thuộc vào t ∈ [0,1] . (4) (Cộng tính) Cho Ω1 , Ω 2 là hai tập con mở không giao nhau của Ω và 0 ∉ (I− T)(Ω \ (Ω1 ∪ Ω 2 )) . Khi đó: deg( I − T , Ω, 0) = deg( I − T , Ω1 , 0) + deg( I − T , Ω 2 , 0) . Định lí 1.2.5. Cho E là không gian Banach và Ω ⊂ E la tập con mở bị chặn. Nếu f : Ω → E, S : E → E là ánh xạ compact liên tục và deg((I− S)(I− T), Ω= , p) ∑ deg(I− T, Ω, U ) deg(I− S, U , p) i∈I i i p ∉ (I− S)(I− T)(∂Ω) thì (I) U trong đó { i }i∈I là thành phần liên thông của E \ (I− T)(∂Ω) và deg(I− T, Ω, Ui ) là deg(I− T, Ω, z) với mọi z ∈ U i . Định lí 1.2.6. Cho E là không gian Banach, E0 là tập con đóng của E và Ω ⊂ E là tập con mở bị chặn. Nếu T : Ω → E0 là ánh xạ compact liên tục và p ∈ E0 thì deg(I− T, Ω, p= ) deg(I− T, Ω ∩ E0 , p) . 1.3. Ánh xạ Fredholm Định nghĩa 1.3.1. Cho X và Y là các không gian định chuẩn thực. Một ánh xạ tuyến tính L : D( L) ⊂ X → Y gọi là ánh xạ Fredholm nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: (1) Ker( L) có số chiều hữu hạn; 9 (2) Im( L) là đóng và Co ker( L) = Y / Im( L) có số chiều hữu hạn. - Khi L là ánh xạ Fredholm, chỉ số của nó kí hiệu Ind(L) là số nguyên, được xác định = bởi : Ind ( L ) dim( Ker(( L)) − dim(Co ker( L)) - Giả sử L là ánh xạ Fredholm. Từ định nghĩa trên và từ những kết quả cơ bản của Giải tích hàm tuyến tính, tồn tại những phép chiếu liên tục: P : X → X và Q : X → X thỏa mãn: Im( P) = Ker( L) , Ker(Q) = Im( L) Hơn nữa = X Ker( L) ⊕ Ker( P= ) , Y Im( L) ⊕ Im(Q) Khi đó thu hẹp Lp của L trên D( L) ∩ Ker( P) là song ánh vào Im( L) và ánh xạ ngược của nó K p : Im( L) → D( L) ∩ Ker( P) xác định. Ta kí hiệu K PQ : Y → D( L) ∩ Ker( P) là ánh xạ ngược tổng quát của L định bởi = K PQ K P ( I − Q) Mệnh đề 1.3.2. Cho X là không gian Banach và T : X → X là ánh xạ tuyến tính bị chặn . Khi đó, dim( Ker(T )) < ∞ và Im(T ) là đóng khi và chỉ khi với mọi xn ∈ B(0,1) sao ∞ cho Txn → y thì ( xn )1 có dãy con hội tụ. Mệnh đề 1.3.3. Cho X là không gian Banach, T : X → X là ánh xạ Fredholm bị chặn và K : X → X là ánh xạ compact tuyến tính liên tục. Khi đó T + K là ánh xạ Fredholm. 1.4. Bậc trùng lặp của ánh xạ L-Compact Định nghĩa l.4.1 Cho L : D( L) ⊂ X → Y là ánh xạ Fredholm, E là không gian metric và T : E → Y là ánh xạ. Ta nói T là L-Compact trên E nếu QT : E → Y , K PQT : E → X liên tục và QT ( E ) , K PQT ( E ) là tập compact, trong đó các kí hiệu được quy ước như ở phần (1.3). Bậc trùng lặp: Cho X, Y là không gian định chuẩn thực, L : D( L) ⊂ X → Y là ánh xạ Fredholm có chỉ số 0 và Ω là tập con mở bị chặn của X. Giả sử rằng F= L + T : D( L) ∩ Ω → Y là ánh xạ và T : Ω → Y là L-Compact trên 10 Ω . Giả sử J = JQ + K PQ . Dễ dàng 0 ∉ F ( D( L) ∩ ∂Ω) . Gọi J : Im(Q) → Ker( L) là đồng phôi. Đặt H PQ J J F = K PQ L + H PQ T = I − P + ( JQ + K PQ )T . kiểm tra rằng H PQ J J F ( D( L) ∩ ∂Ω) (vì nếu 0 ∈ H PQ F ( D( L) ∩ ∂Ω) thì = Vì vậy, 0 ∉ H PQ 0 K PQ ( Lx + Tx) + JQTx ) 0 . Do đó Lx + Tx = với x ∈ D( L) ∩ ∂Ω nào đó, QTx = 0 và ( I − Q )( Lx + Tx ) = 0 , ta gặp mâu thuẫn. Do T là L-Compact nên bậc Leray Schauder deg( I − P + ( JQ + K PQ )T , Ω, 0) xác định tốt và ta định nghĩa: 0) deg( I − P + ( JQ + K PQ )T , Ω, 0) gọi là bậc trùng lặp của L và –T trên DJ ( L + T , Ω, = Ω ∩ D( L) . Nhận xét: 1/ Nếu dim( = X ) dim(Y ) < +∞ và ta lấy L = 0 thì bất kì ánh xạ T liên tục trên Ω là Lj F = JT và ta có Compact. Nếu lấy P = I và Q = I thì suy ra K PQ = 0 , vì vậy H PQ DJ (T , Ω= , 0) deg( JT , Ω= , 0) sign(d etJ) deg(T , Ω, 0) . Hơn nữa, nều lấy J thỏa d etJ>0 , thì ta có DJ (T , Ω, 0) = deg(T , Ω, 0) là bậc Brouwer. 2/ Nếu X = Y và lấy L = I thì bất kì ánh xạ T compact liên tục trên Ω là L-Compact. Nếu lấy P= Q= 0 thì K= I= , J 0 :{0} → {0} PQ và J H PQ F= I + T . Do đó DJ ( L + T , Ω, 0) = deg( I + T , Ω, 0) là bậc Laray Schauder Định lí 1.4.2. Bậc trùng lặp của L và –T trên Ω có các tính chất: (1) Nếu Ω1 , Ω 2 là các tập mở không giao nhau của Ω sao cho 0 ∉ F ( D( L) ∩ Ω \ (Ω1 ∪ Ω 2 )) thì DJ ( L + T , Ω, 0) = deg( I + T , Ω1 , 0) + deg( I + T , Ω 2 , 0) (2) Nếu H (t , x) : [ 0,1] × Ω → Y là L-compact trên [ 0,1] × Ω và 0 ≠ Lx + H ( t , x ) với mọi (t , x) ∈ [ 0,1] × ∂Ω thì DJ ( L + H (t ,.), Ω, 0) không phụ thuộc vào t ∈ [ 0,1] (3) Nếu DJ ( L + T , Ω, 0) ≠ 0 thì 0 ∈ ( L + T )( D( L) ∩ Ω) 11 Hệ quả 1.4.3. Nếu T1 , T2 là L-Compact trên Ω và T1 x = T2 x với mọi x ∈ D( L) ∩ ∂Ω thì DJ ( L + T1 , Ω, 0) = DJ ( L + T2 , Ω, 0) Chứng minh: Đặt H (t , x) : [ 0,1] × Ω → Y xác định bởi H (t , x)= tT1 x + (1 − t ) T2 x với mọi (t , x) ∈ [ 0,1] × Ω . Khi đó H(t,.) là L-Compact. Từ (2) của định lí (1.4.2) ta có: D j ( L + T1 , Ω, 0)= D j ( L + T2 , Ω, 0) . Mệnh đề 1.4.4. Cho X, Y là các không gian định chuẩn thực, L : D( L) ⊂ X → Y là ánh xạ Fredholm có chỉ số 0, Y0 là không gian con hữu hạn chiều của Y thỏa mãn = Y Im( L) ⊕ Y0 và Ω là tập con mở bị chặn của X. Nếu T là L-Compact trên Ω ∩ D( L) T (Ω) ⊂ Y 0 và thì = DJ ( L + T , Ω, 0) sign det( J ) deg(T , Ω ∩ Ker( L), 0) , deg ở đây là bậc Brouwer. Chứng minh: Vì L là ánh xạ Fredholm có chỉ số 0, ta đặt = Y Im( L) ⊕ Y0 . Lấy Q : Y → Y với Im(Q) = Y0 J F = ( JQ + K PQ )( L + T ) = I − P + JT . QTx = Tx với x ∈ Ω và H PQ Từ ( P − JT )(Ω) ⊂ Ker( L) và I=P trên Ker( L) và từ định lí (1.2.6) ta có DJ ( L + T , Ω, = 0) deg( I − P + JT , Ω, = 0) deg( I − P + JT , Ω ∩ Ker( L), 0) Bổ đề 1.4.5. Cho A : Im(Q) → D( L) là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn PA : Im(Q) → Ker( L) là đồng phôi. Khi đó A H= AQ + K PQ PQ A −1 ( H PQ ) = L − LA( PA) −1 P + ( PA) −1 P là đồng phôi từ Y vào D(Y) và . Hơn nữa, nếu T là L-Compact trên Ω thì A A H PQ ( L + T ) = I − P + ( PA) −1 P + H PQ T A với H PQT : Ω → X compact. Chứng minh: A z= x khi và chỉ khi PAQz = Px và ( I − P) AQz + K PQ z = Lấy x ∈ D( L), H PQ ( I − P ) x , nghĩa là: Qz ( PA)−1 Qx, LAQz = = + ( I − Q) z Lx z = Lx − LA( PA) −1 Px + ( PA) −1 Px . 12 A A ( L + T ) = ( AQ + K PQ )( L + T ) = K PQ L + ( AQ + K PQ )T = ( I − P ) + H PQ T. Cuối cùng ta có H PQ A T là compact trên Ω . Từ giả thiết QT và K PQT là compact trên Ω nên H PQ Bổ đề 1.4.6. Cho PA, PQ : Im(Q) → Ker( L) A, B : Im(Q) → D( L) là đồng phôi là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn và T là L-Compact. B A deg( I − P + H PQ 0) deg( I − ( A − B)( PA) −1 P, B (0, r ), 0) deg( I − P + K PQ T , Ω, = T , Ω, 0) Khi đó với r > 0 bất kì. Hệ quả 1.4.7. Cho T là L-Compact trên Ω ∩ D( L) và A như ở (1.5.6). Khi đó A 0) deg( I − ( A − J )( PA) −1 P, B(0, r ), 0) deg( I − P + H PQ DJ ( L + T , Ω, = T , Ω, 0) với mọi r > 0 . Mệnh đề 1.4.8. Nếu T : X → Y là ánh xạ tuyến tính và hoàn toàn liên tục, Ker ( L + T ) = {0} và Ω ⊂ X là tập con mở bị chặn khác rỗng thỏa mãn 0 ∉ ∂Ω thì 0, 0 ∉ Ω DJ ( L + T , Ω, 0) =  1, 0 ∈ Ω Chứng minh: Từ định nghĩa, ta có DJ ( L + T , Ω, = 0) deg( I − P + K PQT , Ω, 0) . Kết luận có được từ giả thiết và định lí (1.2.4) Mệnh đề 1.4.9. Nếu Ω ⊂ X là tập mở bị chặn với 0 ∈ Ω , Ω là tập đối xứng qua 0 và T −Tx với mọi x ∈ ∂Ω ∩ D( L) thì là L-Compact trên Ω ∩ D( L) sao cho T (− x) = DJ ( L + T , Ω, 0) là số lẻ. 1.5. Sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử Gọi X, Y là các không gian định chuẩn thực, L : D(L) ⊆ X → Y là ánh xạ Fredholm tuyến tính chỉ số 0 và Ω ⊂ X là tập con mở bị chặn với D(L) ∩ Ω ≠ ∅ 13 Định lí 1.5.1. Gọi 0 ∈ Ω và Ω là tập đối xứng qua 0 và T : Ω → Y là L-Compact. Nếu Lx − Tx ≠ t (− L x − T (− x)) với mọi (t, x) ∈ (0,1] × D(L) ∩ ∂Ω thì Lx − Tx = 0 có nghiệm trên  D ( L ) ∩ Ω . Chứng minh: Xét ánh xạ H (t, x) :[0,1] × Ω → Y định bởi H (t, x) = 1+ t 1− t Tx − T (− x) 2 2 với mọi (t, x) ∈ [0,1] × Ω . Khi đó H (t,.) là một đồng luân của các ánh xạ L-compact. Nếu Lx − H (t, x) = 0 với (t, x) ∈ [0,1) × D( L) ∩ ∂Ω nào đó thì Lx − Tx= 1− t (− L x − T (− x)) . 1+ t Điều này mâu thuẫn với giả thiết . Ta cũng có thể giả sử rằng Lx − Tx ≠ 0 với x ∈ ∂Ω . Nếu không thì kết luận là đúng. Do đó ta có D J (L− H(t,.), Ω, 0) không phụ thuộc vào t ∈ [0,1] Dễ thấy H (0, x) = − H(0, − x) nên theo định lí (1.5.9), ta có D J (L− H(0,.), Ω, 0) ≠ 0 suy ra D j (L− T, Ω, 0)= D j (L− H (1,.), Ω, 0)= D j (L− H(0,.), Ω, 0) ≠ 0 do đó Lx − Tx = 0 có nghiệm trong D(L) ∩ Ω . Định lí 1.5.2. Cho T1 , T2 : Ω → Y là L-compact. Nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (1) Lx − tT1 x − (1 − t) T2 x ≠ 0 với mọi (t, x) ∈ (0,1) × D(L) ∩ ∂Ω (2) D j (L− T2 , Ω, 0) ≠ 0 thì Lx − T1x = 0 có nghiệm trong D(L) ∩ Ω . Chứng minh: Ta có thể giả sử rằng Lx − T1x ≠ 0 với mọi x ∈ ∂Ω . Nếu không thì kết luận là đúng. Gọi H (t, x) :[0,1] × Ω → Y định bởi H (t, x)= tT1 x + (1 − t) T2 x với mọi (t, x) ∈ [0,1] × Ω Theo giả thiết, ta có Lx − H (t, x) ≠ 0 với mọi (t, x) ∈ [0,1] × D(L) ∩ ∂Ω . 14 Suy ra D j (L− T1 , Ω, 0)= D j (L− T2 , Ω, 0) ≠ 0 Do đó Lx − T1x = 0 có nghiệm trong D(L) ∩ Ω . Định lí 1.5.3. Cho T1 , T2 : Ω → Y là L-compact. Nếu L + T2 là ánh xạ 1-1 trên Ω và Lx − tT1 x + (1 − t)(T2 x − p) với mọi (t, x) ∈ (0,1) × D(L) ∩ ∂Ω , trong đó p ∈ (L+ T2 )(D(L) ∩ Ω) 0 có nghiệm trong D(L) ∩ Ω thì Lx − T1x = Chứng minh: 1 và từ định Từ L + T2 là ánh xạ 1-1 và p ∈ (L+ T2 )(D(L) ∩ Ω) , ta có DJ (L+ T2 − p, Ω, 0) = lí (1.5.2) suy ra Lx − T1x = 0 có nghiệm trong D(L) ∩ Ω . Định lí 1.5.4. Cho A : X → Y là ánh xạ L-compact tuyến tính liên tục với Ker(L − A) = {0} và T : Ω → Y là L-compact. Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: (1) 0 ∈ Ω và λ∂Ω ⊂ Ω với mọi λ ∈ (0,1) (2) (T − A)(D(L) ∩ ∂Ω) ⊂ (L− A)(D(L) ∩ Ω) . Khi đó Lx = Tx có nghiệm trên D( L) ∩ Ω Chứng minh: Đặt H (t, x) =− (1 t Ax + tTx với mọi (t, x) ∈ [0,1] × Ω . Ta có Lx ≠ H (t , x) với mọi (t, x) ∈ (0,1) × D( L) ∩ ∂Ω . Nếu điều này không đúng thì khi đó tồn tại (t, x) ∈ (0,1) × D( L) ∩ ∂Ω sao cho Lx = H (t , x) . Khi đó ta có (L− A)= x λ (T − A) x ∈ λ (T − A)(D(L) ∩ ∂Ω) ⊂ λ (T − A)(D(L) ∩ Ω) (L− A)(D(L) ∩ λ Ω) ⊂ (L− A)(D(L) ∩ Ω) = Điều này mâu thuẫn vì L − A là ánh xạ 1-1. 1. Từ giả thiết và từ mệnh đề (1.4.8) suy ra DJ (L− A, Ω, 0) = 0 với x ∈ D(L) ∩ ∂Ω nào đó, thì kết luận là đúng. Nếu Lx − Tx = 15 Nếu không thì ta có DJ (I− T , Ω, 0)= DJ (L− A, Ω, 0) ≠ 0 Do đó Lx − Tx = 0 có nghiệm trên D( L) ∩ Ω Định lí 1.5.5. Cho T1 , T2 : Ω → Y là ánh xạ L-compact. Gọi Z ⊂ Y là không gian con Y Im( L) ⊕ Z và T2 (Ω) ⊂ Z . Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: = với (1) Lx − (1 − t )T2 x − tT1 x ≠ 0 với mọi (t, x) ∈ (0,1) × D(L) ∩ ∂Ω (2) T2 x ≠ 0 với mọi x ∈ Ker( L) ∩ ∂Ω (3) deg(TKer ( L ) , Ω ∩ K er( L)) ≠ 0 , trong đó TKer ( L ) là thu hẹp của T2 trên Ker( L) ∩ Ω Khi đó Lx = T1 x có nghiệm trên D( L) ∩ Ω . Chứng minh: Đặt H= L − T2 và gọi Q : Y → Y là phép chiếu sao cho Im(Q) = Z và Ker(Q) = Im( L) . Khi đó QT2 = T2 và Hx = 0 khi và chỉ khi QHx = 0, (I− Q) H x = 0 , nghĩa là T2 x = 0 và Lx = 0 . Do đó từ giả (2) và mệnh đề (1.4.4), ta có T2 , Ω, 0) deg(TKer ( L ) , Ω ∩ K er( L), 0) ≠ 0 . DJ (L −= Từ định lí (1.5.2) suy ra Lx = T1 x có nghiệm trên D( L) ∩ Ω . Hệ quả 1.5.6. Cho T : Ω → Y là L-compact. Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: (1) Lx − tTx ≠ 0 với mọi (t, x) ∈ (0,1) × (D(L) \ K er(L)) ∩ ∂Ω (2) Tx ∉ Im( L) với mọi x ∈ Ker( L) ∩ ∂Ω (3) deg(QTKer ( L ) , Ω ∩ K er( L), 0) ≠ 0 , trong đó Q : Y → Y là phép chiếu thỏa mãn. Ker(Q) = Im( L) Khi đó Lx = Tx có nghiệm trên D( L) ∩ Ω . Chứng minh: Đặt Z = Im(Q) và T2 = QT như trong định lí (1.5.5). 16 Từ giả thiết (2) ta có QTx ≠ 0 với mọi x ∈ Ker( L) ∩ ∂Ω Giả sử Lx − (1 − t) QT x − tTx = 0 với (t , x) ∈ (0,1) × D(L) ∩ ∂Ω nào đó. Nếu Tx ∈ Im( L) thì QTx = 0 và x ∈ ( D(L) \ K er(L)) ∩ ∂Ω suy x ∈ ( D(L) \ K er(L)) ∩ ∂Ω điều này mâu thuẫn với giả thiết (1) Nếu Tx ∉ Im( L) thì QTx = Tx ⇒ Tx = Lx ∈ Im( L) , ta gặp mâu thuẫn. Vậy Lx − (1 − t) QT x − tTx ≠ 0 với mọi (t , x) ∈ (0,1) × D(L) ∩ ∂Ω Do đó điều kiện của định lí (1.5.5) được thỏa mãn Vậy Lx = Tx có nghiệm trên D( L) ∩ Ω . 17 ra 0 và Lx − tTx = CHƯƠNG 2: NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO Trong chương này chúng ta nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương = x (n) (t) trình n −1 ∑ b [x i =0 (i ) i vi phân hàm bậc cao có (t)]k + f (t, x(t − τ (t))) + p(t) , dạng dưới đây: (I) trong đó = bi , i 0,1,..., n − 1 là các hằng số, k là số dương lẻ, f ∈ C1 ( 2 , ), p ∈ C(, ) với p (t + T) = p (t) 2.1. Một số bổ đề Bổ đề 2.1.1. Cho n1 > 1 , α ∈ [0,+∞) là các hằng số, s ∈ C(, ) với s(t + T) = s (t) , và s (t) ∈ [-α ,α ] ∫ T 0 t ∈ [0,T] . với mọi Khi đó với ∀x ∈ C1 (, ), x(t + T) =x(t) , n1 T x(t) − x(t − s(t)) 1 dt ≤ 2α n1 ∫ x '(t ) dt . n ta có (1.1) 0 Bổ đề 2.1.2 Cho k ≥ 1 , α ∈ [0,+∞) là các hằng số, s ∈ C(, ) với s(t + T) = s (t) , và s (t) ∈ [-α ,α ] ∫ T 0 t ∈ [0,T] . với mọi x k (t) − x k (t − s(t)) k +1 k dt ≤ 2α k +1 k Khi đó với k +1 k +1 T T   k k (k − 1) ∫ x(t ) dt + ∫ x '(t ) dt  . 0 0   1 Chứng minh: Đặt F (t) = x k (t) . Khi đó ta có: ∫ T 0 x k (t) − x k (t − s(t)) ≤ 2α k +1 k ∫ T 0 F '(t ) k +1 k (k +1) k = dt k +1 k ∫ T 0 T F (t) − F (t − s(t)) dt = 2α ∫ kx (t ) x'(t) 0 ∀x ∈ C1 (, ), x(t + T) =x(t) , k −1 k +1 k (k +1) k dt 18 dt (1.2) ta có