Tài liệu Nghiệm tổng quát cho phương trình monge ampere

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* HOÀNG PHƯƠNG ANH NGHIỆM TỔNG QUÁT CHO PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* HOÀNG PHƯƠNG ANH NGHIỆM TỔNG QUÁT CHO PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN VĂN BẰNG HÀ NỘI – 2018 Mục lục Lời cảm ơn 1 Lời cam đoan 2 Lời nói đầu 4 1 Nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere 6 1.1 Ánh xạ pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Tính chất của ánh xạ pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Nghiệm nhớt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5.1 Nguyên lý cực đại Aleksandrov . . . . . . . . . 24 1.5.2 Nguyên lý cực đại Aleksandrov-Bakelman- Pucci 25 1.5.3 Nguyên lý so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampere 34 2.1 Bài toán Dirichlet thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Bài toán Dirichlet không thuần nhất . . . . . . . . . . 39 2.3 Nghiệm nhớt là nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . 47 2.4 Ellipsoid có thể tích nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . 50 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh Lời cảm ơn Để hoàn thiện khóa luận em đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy cô, đặc biệt là TS.Trần Văn Bằng, người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô trong trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tận tình dạy bảo em trong suốt quá trình học tập tại khoa. Khóa luận chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn nữa. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày...tháng...năm 2018 Sinh viên Hoàng Phương Anh 1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh Lời cam đoan Khóa luận được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng. Khóa luận có sự tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học trong và ngoài nước. Em xin cam đoan kết quả của khóa luận này là không sao chép từ bất cứ khóa luận nào. Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan của mình. Hà Nội, ngày...tháng...năm 2018 Sinh viên Hoàng Phương Anh 2 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh BẢNG KÍ HIỆU R Tập số thực Rn Không gian Euclide thực n chiều P(Rn ) Họ tất cả các tập con của Rn x = (x1 , · · · , xn ) Phần tử của Rn x·y p x21 + · · · + x2n P Tích vô hướng của x và y, bằng ni=1 xi yi BR (x0 ) Hình cầu mở tâm x0 ∈ Rn bán kính R A Bao đóng của tập con A dist(x, A) Khoảng cách từ điểm x đến tập A C k (Ω) Tập các hàm khả vi liên tục đến cấp k trên Ω Du(x), D2 u(x) Gradient và Hessian của hàm u tại x ∆u(x) Laplace của hàm u tại x ∂u(x) Ánh xạ pháp hay dưới vi phân của hàm u tại x χE (x) Hàm đặc trưng của tập hợp E |E| Độ đo Lebesgue n chiều của tập hợp E ⊂ Rn h.k.n. Hầu khắp nơi |x| Chuẩn của phần tử x, bằng 3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh Lời nói đầu Phương trình Monge-Ampere là phương trình có dạng det D2 u(x) = f (x), x ∈ Ω, trong đó Ω ⊂ Rn là một tập mở, f (x) là hàm đã cho. Phương trình này là một phương trình phi tuyến, có vai trò quan trọng trong hình học cũng như trong nhiều lĩnh vực khác. Vì thế phương trình đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới, xem [5] và các tài liệu trong đó. Nhờ sự phát triển của lý thuyết dưới vi phân, lý thuyết phân bố, lý thuyết nghiệm nhớt, các nhà toán học đã đạt được nhiều kết quả tốt về phương trình Monge-Ampere. Trong khóa luận này chúng tôi tìm hiểu về khái niệm nghiệm suy rộng và nghiệm nhớt của phương trình Monge-Ampere, mối quan hệ giữa chúng và một số tính chất định tính như các nguyên lý cực đại Alexandrov, Alexandrov-Bakelman-Pucci và nguyên lý so sánh nghiệm; ứng dụng vào nghiên cứu bài toán Dirichlet và hình học. Nội dung chính của khóa luận được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày khái niệm ánh xạ pháp hay dưới vi phân và một số tính chất của ánh xạ pháp; khái niệm nghiệm suy rộng, nghiệm nhớt của phương trình MongeAmpere và các nguyên lí cực đại, nguyên lí so sánh. Chương 2 trình bày kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampere, mối quan hệ giữa nghiệm nhớt và nghiệm suy rộng, sự tồn tại của ellipsoid có thể tích nhỏ nhất chứa một tập lồi. 4 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh Do trình độ có hạn nên khóa luận không tránh khỏi có những thiếu sót. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. 5 Chương 1 Nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere Cho Ω là một tập con mở của Rn và u : Ω → R là hàm số xác định trên Ω. Trong khóa luận này chúng ta sẽ sử dụng một số kí hiệu quen thuộc sau đây: Với x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn , thì chuẩn của x xác định bởi q |x| = x21 + · · · + x2n và biểu thức x · y = x 1 y1 + · · · + x n yn là tích vô hướng của các véc tơ x, y ∈ Rn . Tập hợp BR (x0 ) = {x ∈ Rn : |x − x0 | < R} là hình cầu tâm x0 bán kính R trong Rn . C k (Ω) là không gian tất cả các hàm có đạo hàm đến cấp k liên tục trên Ω, k = 0, 1, 2, · · · . Khi k = 0 ta thường viết đơn giản C 0 (Ω) bởi 6 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh C(Ω). Nếu u ∈ C 1 (Ω) thì Du(x) = (ux1 , · · · , uxn ) là gradient của hàm u tại điểm x ∈ Ω. Nếu u ∈ C 2 (Ω) thì D2 u(x) = [uxi xj ]n×n là (ma trận) Hessian của hàm u tại x ∈ Ω. Với x0 ∈ Ω, một siêu phẳng giá của hàm số u tại điểm (x0 , u(x0 )) là một hàm affin l(x) = u(xo ) + p.(x − x0 ) sao cho u(x) ≥ l(x) với mọi x ∈ Ω. Kí hiệu P(Rn ) là họ tất cả các tập con của Rn . 1.1 Ánh xạ pháp Ánh xạ pháp hay dưới vi phân của một hàm là công cụ quan trọng để nghiên cứu nghiệm suy rộng của phương trình đạo hàm riêng. Định nghĩa 1.1. Ánh xạ pháp của u còn gọi là dưới vi phân của u, là hàm đa trị ∂u : Ω → P(Rn ) xác định bởi ∂u(x0 ) = {p : u(x) ≥ u(x0 ) + p.(x − x0 ), với mọi x ∈ Ω}. Với E ⊂ Ω, chúng ta định nghĩa ∂u(E) = S x∈E ∂u(x). Lưu ý rằng, tập ∂u(x0 ) có thể bằng rỗng. Gọi S = {x ∈ Ω : ∂u(x) 6= ∅}. Nếu u ∈ C 1 (Ω) và x ∈ S thì ∂u(x) = {Du(x)} và thường viết đơn giản là ∂u(x) = Du(x). Điều này nghĩa là nếu u khả vi thì ánh xạ pháp là gradient. Nếu u ∈ C 2 (Ω) và x ∈ S, thì Hessian của u là ma trận xác định không âm, nghĩa là D2 u(x) ≥ 0. Điều này chứng tỏ rằng, nếu u là C 2 , thì S là tập các điểm trên đó đồ thị của u là lồi. 7 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh Thực vậy, theo khai triển Taylor 1 u(x + h) = u(x) + Du(x).h + hD2 u(ξ)h, hi, 2 trong đó ξ nằm trên đoạn thẳng giữa x và x + h. Vì u(x + h) ≥ u(x) + Du(x).h với mọi h đủ nhỏ nên ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 1.1. Với hàm khả vi, ta đã biết ánh xạ pháp của nó chính là gradient. Ví dụ này sẽ đề cập tới việc tính ánh xạ pháp của một hàm không khả vi điển hình, hàm số u có đồ thị là một hình nón trong |x − x0 | . Đồ thị Rn+1 . Cho Ω = BR (x0 ) trong Rn , h > 0 và u(x) = h R của u, với x ∈ Ω, là một nón với trục thẳng đứng trong Rn+1 với đỉnh tại điểm (x0 , 0) và đáy nằm trên siêu phẳng xn+1 = h. Với hàm này ta có   h x − x0   , nếu 0 < |x − x0 | < R R |x − x | 0 ∂u(x) =   Bh/R (0), nếu x = x0 . Thật vậy, nếu 0 < |x − x0 | < R, thì u khả vi tại x nên giá trị của ∂u chính là gradient. Nếu x = x0 thì từ định nghĩa của ánh xạ pháp, h p ∈ ∂u(x0 ) nếu và chỉ nếu |x − x0 | ≥ p.(x − x0 ) với mọi x ∈ BR (x0 ). R p h Nếu p 6= 0 và chúng ta chọn x = x0 + R , thì ta suy ra |p| ≤ . Rõ |p| R h ràng là nếu |p| ≤ thì p ∈ ∂u(x0 ). Vậy ta có điều cần chứng minh. R Tiếp theo chúng ta sẽ đề cập tới một số tính chất của ánh xạ pháp. 8 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.2 Hoàng Phương Anh Tính chất của ánh xạ pháp Bổ đề 1.1. Nếu Ω ⊂ Rn mở, u ∈ C(Ω) và K ⊂ Ω là compact thì ∂u(K) là compact. Chứng minh. Giả sử {pk } ⊂ ∂u(K) là một dãy. Chúng ta khẳng định rằng pk bị chặn. Thật vậy, với mọi k tồn tại xk ∈ K sao cho pk ∈ ∂u(xk ), nghĩa là u(x) ≥ u(xk ) + pk .(x − xk ) với mọi x ∈ Ω. Vì K là compact nên Kδ = {x : dist(x, K) ≤ δ} là compact và chứa trong Ω với mọi δ đủ nhỏ, và chúng ta có thể giả sử là (chuyển qua một dãy con nếu cần) xk → x0 . Khi đó xk + δw ∈ Kδ , và u(xk + δw) ≥ u(xk ) + δpk .w với mọi |w| = 1 và với mọi k. Nếu pk 6= 0 và w = pk |pk | , thì ta có maxKδ u(x) ≥ minK u(x) + δ|pk |, với mọi k. Vì u bị chặn địa phương nên khẳng định trên được chứng minh. Do vậy, tồn tại một dãy con hội tụ pkm → p0 . Chúng ta khẳng định rằng p0 ∈ ∂u(K), cụ thể p0 ∈ ∂u(x0 ). Thật vậy, ta có u(x) ≥ u(xkm ) + pkm .(x − xkm ) với mọi x ∈ Ω và vì u liên tục, bằng cách lấy giới hạn m → ∞ ta nhận được u(x) ≥ u(x0 ) + p0 .(x − x0 ) với mọi x ∈ Ω. Vậy p0 ∈ ∂u(x0 ) và ta có điều phải chứng minh. Nhận xét 1.1. Theo chứng minh trên, nếu u chỉ bị chặn địa phương trong Ω thì ∂u(E) bị chặn khi E bị chặn và Ē ⊂ Ω. Nhận xét 1.2. Với x0 ∈ Ω, tập ∂u(x0 ) lồi. Tuy nhiên, nếu K lồi và 2 K ⊂ Ω thì tập ∂u(K) không nhất thiết là lồi. Ví dụ, với u(x) = e|x| và K = {x ∈ Rn : |xi | ≤ 1, i = 1, ..., n}. Tập ∂u(K) là tập hình sao đối xứng quanh điểm gốc nhưng không lồi, xem Hình 1.1. 9 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh Hình 1.1: Ảnh ∂u(K) không lồi của một tập lồi K qua ánh xạ pháp Bổ đề 1.2. Nếu u là một hàm lồi trong Ω và K ⊂ Ω là compact, thì u Lipschitz đều trong K, nghĩa là, tồn tại một hằng số C = C(u, K) sao cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y| với mọi x, y ∈ K. Chứng minh. Vì u lồi, u có siêu phẳng giá tại bất kì x ∈ Ω. Đặt C = sup{|p| : p ∈ ∂u(K)}. Theo Bổ đề 1.1, C < ∞. Nếu x ∈ K, thì u(y) ≥ u(x) + p.(y − x) với p ∈ ∂u(x) và với mọi y ∈ Ω. Đặc biệt, nếu y ∈ K, thì u(y) − u(x) ≥ −|p||y − x|. Bằng cách thay đổi vai trò của x và y chúng ta nhận được kết luận của bổ đề. Bổ đề 1.3. Nếu Ω mở và u liên tục Lipschitz trong Ω, thì u khả vi h.k.n. trong Ω. Chứng minh. Xem [4], trang 81. 10 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh Bổ đề 1.4. Nếu u lồi hoặc lõm trong Ω, thì u khả vi h.k.n. trong Ω. Chứng minh. Suy trực tiếp từ các Từ Bổ đề 1.2 và 1.3. Nhận xét 1.3. Mọi hàm lồi trong Ω đều có đạo hàm riêng cấp hai h.k.n. trong Ω, xem [4], trang 242. Định nghĩa 1.2. Biến đổi Legendre của hàm số u : Ω → R là hàm số u∗ : Rn → R xác định bởi: u∗ (p) = sup(x.p − u(x)). x∈Ω Nhận xét 1.4. Nếu Ω bị chặn và u bị chặn trong Ω, thì u∗ hữu hạn. Ngoài ra, u∗ lồi trong Rn . Bổ đề 1.5. Nếu Ω mở và u là một hàm liên tục trong Ω, thì tập các điểm trong Rn thuộc vào ảnh qua ánh xạ pháp của nhiều hơn một điểm thuộc Ω có độ đo Lebesgue bằng không. Nghĩa là, tập S = {p ∈ Rn : tồn tại x, y ∈ Ω, x 6= y và p ∈ ∂u(x) ∩ ∂u(y)} có độ đo không. Điều này có nghĩa là tập các siêu phẳng giá tiếp xúc với đồ thị của u tại nhiều hơn một điểm có độ đo không. Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng Ω bị chặn bởi vì nếu trái lại thì ta viết Ω = ∪k Ωk , trong đó Ωk ⊂ Ωk+1 là các tập mở và Ωk là compact. Nếu p ∈ S, thì tồn tại x, y ∈ Ω, x 6= y và u(z) ≥ u(x) + p.(z − x), u(z) ≥ u(y) + p.(z − y) với mọi z ∈ Ω. Vì Ωk tăng nên x, y ∈ Ωm đối với một m nào đó, và rõ 11 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh ràng hai bất đẳng thức trên đúng với z ∈ Ωm . Nghĩa là, nếu Sm = {p ∈ Rn : tồn tại x, y ∈ Ω, x 6= y và p ∈ ∂(u|Ωm )(x)∩∂(u|Ωm )(y)} ta có p ∈ Sm , tức là, S ⊂ ∪m Sm và do đó ta chỉ cần chứng minh rằng mỗi Sm có độ đo không. Thật vậy, gọi u∗ là biến đổi Legendre của u. Theo Nhận xét 1.4 và Bổ đề 1.4, u∗ khả vi h.k.n. Đặt E = {p : u∗ không khả vi tại p}. Ta sẽ chứng tỏ rằng {p ∈ Rn : tồn tại x, y ∈ Ω, x 6= y và p ∈ ∂u(x) ∩ ∂u(y)} ⊂ E. Thật vậy, nếu p ∈ ∂u(x1 ) ∩ ∂u(x2 ) và x1 6= x2 , thì u∗ (p) = xi .p − u(xi ), i = 1, 2. Ngoài ra, u∗ (z) ≥ xi .z − u(xi ) và u∗ (z) ≥ u∗ (p) + xi .(z − p) với mọi z, i = 1, 2. Do đó nếu u∗ khả vi tại p thì Du∗ (p) = xi , i = 1, 2. Vậy ta có chứng minh của bổ đề. Định lý 1.1. Nếu Ω mở và u ∈ C(Ω), thì lớp S = {E ⊂ Ω : ∂u(E) là đo được Lebesgue} là một σ-đại số Borel. Hàm tập M u : S → R xác định bởi M u(E) = |∂u(E)| (1.1) là một độ đo, hữu hạn trên các tập compact, được gọi là độ đo Monge - Ampere liên kết với hàm u. Chứng minh. Theo Bổ đề 1.1 lớp S chứa mọi tập con compact của Ω. Ngoài ra, nếu Em là dãy bất kì các tập con của Ω, thì ∂u(∪m Em ) = 12 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh ∪m ∂u(Em ). Do đó, nếu Em ∈ S, m = 1, 2, .... thì ∪m Em ∈ S. Đặc biệt, ta có thể viết Ω = ∪m Km với Km compact và ta thu được Ω ∈ S. Để chứng minh S là một σ-đại số, ta cần phải chứng minh rằng nếu E ∈ S, thì Ω\E ∈ S. Ta dùng công thức như sau, nó có hiệu lực với bất kì tập E ⊂ Ω: ∂u(Ω\E) = (∂u(Ω)\∂u(E)) ∪ (∂u(Ω\E) ∩ ∂u(E)). (1.2) Theo Bổ đề 1.5, |∂u(Ω\E) ∩ ∂u(E)| = 0 với mọi tập E. Do đó từ (1.2) ta có Ω\E ∈ S khi E ∈ S. Tiếp theo ta chứng minh rằng M u là σ-cộng tính. Giả sử {Ei }∞ i=1 là một dãy các tập đôi một rời nhau trong S và đặt ∂u(Ei ) = Hi . Ta phải chứng minh rằng |∂u(∪∞ i=1 Ei )| = ∞ X |Hi |. i=1 ∞ Vì ∂u(∪∞ i=1 Ei ) = ∪i=1 Hi , nên ta cần chứng minh: |∪∞ i=1 Hi | = ∞ X |Hi |. (1.3) i=1 Ta có Ei ∩ Ej = ∅ với i 6= j. Khi đó, theo Bổ đề 1.5, |Hi ∩ Hj | = 0 với i 6= j. Chúng ta viết ∪∞ i=1 Hi = H1 ∪ (H2 \H1 ) ∪ (H3 \(H2 ∪ H1 )) ∪ (H4 \(H3 ∪ H2 ∪ H1 )) ∪ ..., trong đó, các tập ở vế phải đôi một rời nhau. Mà Hn = [Hn ∩ (Hn−1 ∪ Hn−2 ∪ ... ∪ H1 )] ∪ [Hn \(Hn−1 ∪ Hn−2 ∪ ... ∪ H1 )]. 13 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh Từ Bổ đề 1.5, |Hn ∩ (Hn−1 ∪ Hn−2 ∪ ... ∪ H1 )| = 0 và ta thu được: |Hn | = |Hn \(Hn−1 ∪ Hn−2 ∪ ... ∪ H1 )|. Từ đây ta có (1.3), do đó có điều phải chứng minh. Ví dụ 1.2. Nếu u ∈ C 2 (Ω) là một hàm lồi, thì độ đo Monge-Ampere M u liên kết với u thỏa mãn Z det D2 u(x)dx, M u(E) = (1.4) E với mọi tập Borel E ⊂ Ω. Để chứng minh (1.4), chúng ta dùng kết quả sau: Định lý 1.2 (Định lý Sard, [6]). Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở và g : Ω → Rn là một C 1 -hàm trong Ω. Nếu S0 = {x ∈ Ω : det g 0 (x) = 0}, thì |g(S0 )|= 0. Đầu tiên chúng ta chú ý rằng, vì u lồi và thuộc C 2 (Ω), nên Du là một-một trên tập A = {x ∈ Ω : D2 u(x) > 0}. Thực vậy, lấy x1 , x2 ∈ A với Du(x1 ) = Du(x2 ). Từ tính lồi u(z) ≥ u(xi ) + Du(xi ).(z − xi ) với mọi z ∈ Ω, i = 1, 2. Do đó, u(x1 ) − u(x2 ) = Du(x1 ).(x1 − x2 ) = Du(x2 ).(x1 − x2 ). Theo công thức Taylor, u(x1 ) = u(x2 ) + Du(x2 ).(x1 − x2 ) Z 1 + thD2 u(x2 + t(x1 − x2 )) (x1 − x2 ), x1 − x2 idt. 0 14 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh Do đó tích phân bằng 0 và hàm dưới dấu tích phân phải triệt tiêu với 0 ≤ t ≤ 1. Vì x2 ∈ A, nên x2 + t(x1 − x2 ) ∈ A với t đủ nhỏ. Do đó, x1 = x2 . Nếu u ∈ C 2 (Ω), thì g = Du ∈ C 1 (Ω). Chúng ta có M u(E) = |Du(E)| và Du(E) = Du(E ∩ S0 ) ∪ Du(E\S0 ). Vì E ⊂ Rn là tập Borel, nên E ∩ S0 và E\S0 cũng là các tập Borel. Vì vậy, từ công thức đổi biến và định lý Sard, M u(E) = M u(E ∩ S0 ) + M u(E\S0 ) Z Z 2 = det D u(x)dx = det D2 u(x)dx, E\S0 E điều này cho ta (1.4). Ví dụ 1.3. Nếu u(x) là hàm có đồ thị hình nón trong Ví dụ 1.1, thì độ đo Monge-Ampere liên kết với u là M u = |Bh/R |δx0 , trong đó δx0 là hàm delta Dirac tại x0 . 1.3 Nghiệm suy rộng Định nghĩa 1.3. Cho v là một độ đo Borel được xác định trong Ω, một tập con mở và lồi của Rn . Hàm lồi u ∈ C(Ω) là một nghiệm suy rộng, hoặc nghiệm Aleksandrov, của phương trình Monge-Ampere det D2 u = v 15 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh nếu độ đo Monge-Ampere M u liên kết với u xác định bởi (1.1) bằng v. Bổ đề sau suy ra khái niệm nghiệm suy rộng là đóng đối với phép qua giới hạn đều. Nghĩa là, nếu uk là các nghiệm suy rộng của D2 u = v trong Ω và uk → u đều trên các tập con compact của Ω, thì u cũng là một nghiệm suy rộng của D2 u = v trong Ω. Bổ đề 1.6. Cho uk ∈ C(Ω) là các hàm lồi sao cho uk → u đều trên các tập con compact của Ω. Chúng ta có (i) Nếu K ⊂ Ω là compact, thì lim sup ∂uk (K) ⊆ ∂u(K), k→∞ và từ bổ đề Fatou lim sup |∂uk (K)| 6 |∂u(K)|. k→∞ (ii) Nếu U mở sao cho U ⊂ Ω, thì ∂u(U ) ⊆ lim inf ∂uk (U ), k→∞ trong đó bất đẳng thức đúng tại hầu hết mọi điểm của tập ở phía bên trái, và theo Bổ đề Fatou |∂u(U )| 6 lim inf |∂uk (U )|. k→∞ Chứng minh. (i) Nếu p ∈ lim supk→∞ ∂uk (K), thì với mỗi n tồn tại kn và xkn ∈ K sao cho p ∈ ∂ukn (xkn ). Bằng cách chọn một dãy con xj 16