Tài liệu NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT PHI TUYẾN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Thanh Phúc NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Thanh Phúc NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT PHI TUYẾN Chuyên ngành: Mã số: Toán giải tích 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CÁM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin kính gởi lời cám ơn sâu sắc và chân thành nhất tới PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn – Khoa Toán Tin – Trường Đại Học Sư Phạm TP.Hồ Chí Minh vì sự tận tình giúp đỡ và chỉ bảo của thầy đối với tôi trong thời gian làm luận văn. Tôi cũng xin gởi lời cám ơn đến Quý Thầy Cô Trường Đại Học Sư Phạm TP.Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt khóa học. Tôi xin cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Phòng Khoa Học Công Nghệ và Phòng Sau Đại Học – Trường Đại Học Sư Phạm TP.Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tại trường. Xin gởi lời cám ơn đến quý thầy, cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý và phản biện cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh nhất. Cuối cùng xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm và động viên giúp tôi hoàn thành luận văn này. TP. Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2015. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 Chương 1. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM BỊ CHẶN ................................................................... 4 1.1. Phát biểu bài toán .................................................................................. 4 1.2. Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm bị chặn của phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính ........................................................... 4 1.3. Định lí về sự tồn tại của nghiệm bị chặn ............................................ 12 1.4. Định lí về sự duy nhất của nghiệm bị chặn......................................... 25 Chương 2. NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT PHI TUYẾN ĐỐI SỐ LỆCH .................. 34 2.1. Phát biểu bài toán ................................................................................ 34 2.2. Nghiệm bị chặn của bài toán (2.1), (2.2) ............................................ 35 2.3. Nghiệm bị chặn của phương trình vi phân hàm bậc nhất phi tuyến đối số lệch ........................................................................................... 47 2.4. Ví dụ .................................................................................................... 50 KẾT LUẬN .................................................................................................... 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 56 MỘT SỐ KÝ HIỆU • N là tập hợp tất cả các số tự nhiên. • [0, +∞) . R là tập hợp tất cả các số thực, R= + • C ([ a, b ];R ) : Tập các hàm liên tục trên đoạn [ a, b ] . Khi đó C ([ a, b ];R ) với chuẩn u C sup { u (t ) : t ∈ [ a, b ]} là một không gian Banach. = • Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) : Tập các hàm số liên tục u : [ a, +∞ ) → R . Với ta có u sup { u (t ) : t ≥ a} . u ∈ Cloc ([ a, +∞[ ; R )= • C0 ([ a, +∞ ) ;R ) : Tập các hàm số liên tục u : [ a, +∞ ) → R sao cho tồn tại def giới hạn hữu hạn u ( +∞ ) = tlim u (t ) . →+∞ • C loc ([ a, +∞ ) ; R ) : Tập các hàm số u : [ a, +∞ ) → R liên tục tuyệt đối trên mỗi khoảng con compact của [ a, +∞ ) . • C 0 ([ a, +∞= ) ; R ) C0 ([ a, +∞ ) ; R )  Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) . • L ([ a, b ]; R ) : các hàm khả tích Lebesgue trên đoạn [ a, b] . Khi đó L ([ a, b ]; R ) với chuẩn f = ∫ f dx là một không gian Banach. b a • Lloc ([ a, +∞ ) ; R ) : Tập các hàm số p : [ a, +∞ ) → R khả tích Lebesgue với topo hội tụ trung bình trên mỗi khoảng con compact của [ a, +∞ ) . • K : Tập hợp các hàm số F : Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) → L ([ a, +∞ ) ; R ) là toán tử loc liên tục thỏa mãn điều kiện Carathéodory địa phương, nghĩa là với mỗi r > 0 , tồn tại qr ∈ Lloc ([ a, +∞ ) ; R ) để F (v)(t ) ≤ qr (t ) hầu khắp nơi trên [ a, +∞ ) , với v ∈ Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) thỏa v ≤ r • ( ) ( ) K ab : Tập hợp các hàm số F : C [ a, b ] ;R → L [ a, b ];R là toán tử liên tục thỏa mãn điều kiện Carathéodory, nghĩa là với mỗi r > 0 , tồn tại qr ∈ Lloc ([ a, b ]; R ) để F (v)(t ) ≤ qr (t ) hầu khắp nơi trên [ a, +∞ ) , với v ∈ C ([ a, b ]; R ) thỏa v ≤ r . • K ([ a, b ] × A; B ) : Tập hợp các hàm số f : [ a, b ] × A → B thỏa mãn điều kiện Carathéodory ( A ⊂ R n , B ⊂ R ); nghĩa là ∀x ∈ A , f (., x) : [ a, b ] → B là hàm đo được, f (t , . ) : A → B là hàm số liên tục theo biến thứ hai (hầu khắp nơi trên [ a, b] ) và với mỗi r > 0 , tồn tại qr ∈ L ([ a, b ];R ) để f (t , x) ≤ qr (t ) hầu khắp nơi trên [ a, b] , với mọi x ∈ R n , x ≤ r . • ch: Tập hợp các hàm số ω : Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) → R là hàm tuyến tính bị chặn không tầm thường. • W0 : Tập hợp các hàm số ω : C0 ([ a, +∞ ) ; R ) → R là hàm tuyến tính bị chặn không tầm thường. • H : Tập hợp các hàm số h : Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) → R là hàm liên tục thỏa mãn với mỗi r > 0 tồn tại M r ∈ R+ thỏa mãn h(v) ≤ M r cho mỗi • v ≤r. Lab : Tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục l : C ([ a, b ];R ) → L ([ a, b ];R ) sao cho với mỗi l ∈ Lab tồn tại η ∈ L ([ a, b ]; R+ ) thỏa mãn l (v)(t ) ≤ η (t ) v C , t ∈ [ a, b ] , v ∈ C ( [ a, b ] ; R ) . • Pab : Tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục l ∈ Lab sao cho ) ( l C ([ a, b ]; R+ ) ⊂ L ([ a, b ]; R+ ) . • P : Tập hợp các l : Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) → Lloc ([ a, +∞ ) ;R ) toán tử tuyến tính liên tục sao cho l ( Cloc ([ a, +∞ ) ; R+ ) ) ⊂ Lloc ([ a, +∞ ) ; R+ ) và l (1) ∈ L ([ a, +∞ ) ;R + ) . • L : Tập hợp các l : Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) → Lloc ([ a, +∞ ) ;R ) toán tử tuyến tính liên tục sao cho với mỗi l ∈ L tồn tại l ∈ P để l (v)(t ) ≤ l ( v ) (t ) hầu khắp nơi trên [ a, +∞ ) , với mọi v ∈ Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) . • K loc ([ a, +∞ ) × A; B ) : Tập hợp các hàm số f : [ a, +∞ ) × A → B thỏa mãn điều kiện Carathéodory địa phương ( A ⊂ R n , B ⊂ R ); nghĩa là với mọi x ∈ A , f (., x) : [ a, +∞ ) → B là hàm đo được trên mỗi khoảng con compact của [ a, +∞ ) , f (t , . ) : A → B là hàm số liên tục theo biến thứ hai (với hầu hết các t ≥ a ) và với mỗi r > 0 , tồn tại qr ∈ Lloc ([ a, +∞ ) ;R ) để f (t , x) ≤ qr (t ) hầu khắp nơi trên [ a, +∞ ) , ∀x ∈ R n , x ≤ r . • Đặt 1, t ∈ [ a, b ] . 0, t ∉ [ a, b ] χ ab (t ) =  Khi đó với u ∈ Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) (hoặc u ∈ C0 ([ a, +∞ ) ; R ) ), q ∈ Lloc ([ a, +∞ ) ; R ) , l ∈ L , F ∈ K ω ∈ ch ( ω ∈ W0 ), h ∈ H và t ≥ a ta có các ký hiệu sau = θb (u )(t ) χ ab (t )(t )u (t ) + (1 − χ ab (t ))u (b) qb (t ) = χ ab (t )q (t ) lb (u )(t ) = χ ab (t )l (θb (u ))(t ) Fb (u )(t ) = χ ab (t ) F (θb (u ))(t ) ω b (u ) = ω (θb (u )) hb (u ) = h(θb (u )) Trong luận văn khi ta nói một đẳng thức hay bất đẳng thức xảy ra trên [ a, b] hay [ a, +∞ ) nghĩa là đẳng thức hay bất đẳng thức đó chỉ xảy ra hầu khắp • nơi trên [ a, b ] hay [ a, +∞ ) . Khi nói dãy hàm {un } hội tụ đều về một hàm số u trên [ a, +∞ ) nghĩa là dãy hàm đó hội tụ đều về u trên mỗi tập con compăct của [ a, +∞ ) . 1 MỞ ĐẦU Các phương trình vi phân hàm đã xuất hiện từ thế kỉ 18 như một công cụ toán học cho những bài toán trong vật lí và hình học. Tuy nhiên cho đến cuối thế kỉ 19 chúng mới chỉ được biết đến trong các áp dụng cụ thể và chưa có nghiên cứu một cách hệ thống về chúng. Đầu thế kỉ 20, sự quan tâm dành cho phương trình vi phân hàm tăng lên, đặc biệt là đối với các ứng dụng trong cơ khí, sinh học và kinh tế. Ở thời điểm đó, các nhà toán học đi theo hướng nghiên cứu này đã xây dựng nên các lý thuyết định tính cho phương trình vi phân hàm và những lý thuyết đó vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Vào thập niên 1970, những phát kiến lớn trong việc xây dựng lý thuyết bài toán biên cho phương trình vi phân hàm đã được đề xuất và nền tảng cho lý thuyết về bài toán biên cho phương trình vi phân hàm đã được xây dựng. Các công cụ về giải tích hàm và topo là những công cụ hiệu quả nhất để nghiên lĩnh vực này. Tuy nhiên việc nghiên cứu các bài toán biên cụ thể cho phương trình vi phân hàm mới chỉ thành công phần nào. Vẫn còn nhiều khó khăn trong việc nghiên cứu về phương trình vi phân hàm ngay cả trong trường hợp phương trình là tuyến tính. Trong những năm gần đây những nỗ lực nghiên cứu này đã thành công trong trường hợp của một số bài toán biên cho phương trình vi phân hàm. Đặc biệt là trong các công trình của các tác giả I. Kiguradze và B. Puza, những điều kiện tinh vi đảm bảo cho tính giải được và giải được duy nhất của một lớp rộng các bài toán biên cho phương trình vi phân hàm đã được phát hiện. Phương pháp chính được sử dụng là phương pháp tiên nghiệm và các kỹ thuật về bất đẳng thức đạo hàm. Nội dung chính của luận văn là trình bày lại các kết quả nghiên cứu của các tác giả Robert Hakl, Alexander Lomtatidze và Ioannis P. Stavroulakis trong các tài liệu [2], [3] và [4]. 2 Luận văn muốn giới thiệu một cách hệ thống một số kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm bị chặn cho phương trình vi phân hàm bậc nhất phi tuyến u '(t ) = F (u )(t ) (1) ω (u ) = h(u ) (2) với điều kiện biên Trong đó F : Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) → Lloc ([ a, +∞ ) ; R ) là toán tử liên tục thỏa mãn điều Carathéodory kiện ω : Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) → R là địa hàm phương tuyến ( F là tính liên hàm tục phi tuyến), (tương ứng ω : C0 ([ a, +∞ ) ; R ) → R là hàm tuyến tính liên tục) và h : Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) → R là hàm liên tục thỏa mãn với mỗi r > 0 tồn tại M r ∈ R+ thỏa mãn h(v) ≤ M r cho mỗi v ≤ r . Trường hợp đặc biệt của điều kiện (2) là u (a ) = h(u ) (3) Kết quả chính của luận văn là đưa ra các điều kiện đảm bảo cho sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm bị chặn của phương trình vi phân hàm (1) thỏa mãn điều kiện (2) hoặc thỏa mãn điều kiện (3). Trong luận văn này, các kết quả cụ thể của bài toán (1), (2) cũng được đưa ra trong trường hợp đặc biệt của phương trình (1) là phương trình vi phân bậc nhất phi tuyến đối số lệch u '(t )= m ∑ ( p (t )u (t k =1 k k (t )) − g k (t )u ( mk (t )) ) + f ( t , u (t ), u (n 1 (t )), ... , u (n n (t )) ) (1’) Trong đó f ∈ Kloc ([ a, +∞ ) × R n +1; R ) , ta có pk , g k ∈ L ([ a, +∞ ) ; R+ ) và các hàm số τµν k , k , j : [ a, +∞ ) → [ a, +∞ ) là đo được bị chặn trên mỗi khoảng con compact của [ a, +∞ ) , với m, n ∈ N , k = 1,..., m , j = 1,..., n . Luận văn có 2 chương 3 Chương 1. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM BỊ CHẶN Chương 1 trình bày các kết quả tổng quát về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm bị chặn của phương trình vi phân hàm bậc nhất phi tuyến (1), (2). Chương 2. NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC NHẤT PHI TUYẾN ĐỐI SỐ LỆCH. Trong chương 2 chúng ta sẽ áp dụng các kết quả tổng quát có trong chương 1 để tìm một số điều kiện tồn tại và duy nhất của nghiệm bị chặn của bài toán (1), (3). Áp dụng kết quả này ta sẽ tìm một số điều kiện để bài toán (1’), (3) có nghiệm bị chặn, nghiệm bị chặn là duy nhất. 4 Chương 1. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM BỊ CHẶN 1.1. Phát biểu bài toán Trong chương này chúng ta xét sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm bị chặn cho phương trình vi phân hàm bậc nhất phi tuyến u '(t ) = F (u )(t ) (1.1) ω (u ) = h(u ) (1.2) với điều kiện biên Trong đó F ∈ K , ω ∈ ch (hay ω ∈ W0 ) và h ∈ H . Nghiệm của phương trình (1.1) là hàm số u ∈ Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) sao cho u thỏa mãn (1.1) hầu khắp nơi trên [ a, +∞ ) . Nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) là một nghiệm của phương trình (1.1) thuộc miền xác định của h , ω và thỏa mãn đẳng thức (1.2). Cùng với bài toán (1.1), (1.2) ta xét bài toán u '(t ) = Fb (u )(t ) (1.1 0 ) ω b (u ) = hb (u ) (1.2 0 ) 1.2. Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm bị chặn của phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính Xét bài toán sau trên [ a, b ] = u '(t ) l (u )(t ) + q (t ) (1.3) ω (u ) = c (1.4) u '(t ) = l (u )(t ) (1.3 0 ) ω (u ) = 0 (1.4 0 ) và bài toán thuần nhất tương ứng Trong đó l ∈ Lab , q ∈ L ([ a, b ]; R ) , c ∈ R , ω : C ([ a, b ]; R ) → R là toán tử tuyến tính liên tục. Xét bài toán sau trên [ a, +∞ ) 5 u '(t ) = l (u )(t ) , ω (u ) = 0 (1.5) u '(t ) = lb (u )(t ) , ω b (u ) = 0 (1.6) và bài toán tương ứng Trong đó l ∈ Lab , ω : C ([ a, b ]; R ) → R là toán tử tuyến tính liên tục, c ∈ R , lb , ω b được định nghĩa như trong mục kí hiệu. Ta có các mệnh sau Mệnh đề 1.1 (Định lí 1.1, trang 46, [2]) Bài toán (1.3), (1.4) có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu bài toán bài toán thuần nhất tương ứng (1.3 0 ), (1.4 0 ) chỉ có nghiệm tầm thường. Mệnh đề 1.2 Giả sử bài toán (1.3 0 ), (1.4 0 ) chỉ có nghiệm tầm thường. Khi đó, tồn tại r0 > 0 sao cho với mọi q ∈ L ([ a, b ]; R ) , c ∈ R và nghiệm u của (1.3), (1.4) ta có đánh giá u C   t   ≤ r0  c + sup  ∫ q ( s )ds : t ∈ [a, b]     a    (1.7) Chứng minh R) Ta có R × L ([ a, b ];= {(c, q) : c ∈ R, q ∈ L ([ a, b]; R )} là không gian tuyến tính. Trên R × L ([ a, b ]; R ) xét chuẩn  t  c + sup  ∫ q ( s )ds : t ∈ [a, b] . Khi đó (c, q ) =  a  R × L ([ a, b ]; R ) là một không gian Banach. Gọi Ω là quy tắc biến mỗi (c, q) ∈ R × L ([ a, b ]; R ) thành nghiệm của bài toán (1.3), (1.4). Theo mệnh đề 1.1, Ω là một hàm số xác định trên R × L ([a, b]; R ) . Ta có Ω là một toán tử tuyến tính. Thật vậy Với (c1 , q1 ), (c2 , q2 ) ∈ R × L ([a, b]; R ) , λ1 , λ2 ∈ R thì = (c, q ) λ1 (c1 , q1 ) + λ2 (c2 , q2 ) ∈ R × L ([a, b]; R ) . 6 Ta có u = Ω(c, q ) là nghiệm của bài toán u '(t ) = l (u )(t ) + ll u ) λ1c1 + λ2c2 1q1 (t ) + 2 q2 (t ) , ω (= (1.8) u1 = Ω(c1 , q1 ) là nghiệm của bài toán = u '(t ) l (u )(t ) + l1q1 (t ) , ω (u ) = λ1c1 u2 = Ω(c2 , q2 ) là nghiệm của bài toán = u '(t ) l (u )(t ) + l2 q2 (t ) , ω (u ) = λ2c2 Do l và ω là các ánh xạ tuyến tính liên tục nên ta suy ra ′ ′ ′ (llllllll 1u1 + 2u2 ) = 1.u1 + 2 .u2 =l ( 1u1 + 2u2 ) + ( 1q1 (t ) + 2 q2 (t )) ω (λ1u1 + λ2u2 ) =λ1ω (u1 ) + λ2ω (u2 ) =λ1c1 + λ2c2 Do đó λ1u1 + λ2u2 là nghiệm của bài toán (1.8). Theo mệnh đề 1.1, ta có λ1u1 + λ2u2 = u. Vậy Ω còn là một toán tử tuyến tính. Hơn nữa, theo định lí 3.2 ([2]), Ω là một toán tử liên tục. Đặt r0 là chuẩn của Ω . Ta có Ω(c, q) C ≤ r0 (c, q) , với mọi (c, q) ∈ R × L ([a, b]; R ) . Do đó, với mỗi q ∈ L ([ a, b ]; R ) , c ∈ R và nghiệm u bài toán (1.3), (1.4) thỏa mãn (1.7). Mệnh đề 1.3 (Mệnh đề 2.3, trang 14, [4]) Giả sử bài toán (1.5) chỉ có nghiệm bị chặn là nghiệm tầm thường. Khi đó tồn tại b0 ∈ ( a, +∞ ) sao cho với mọi b ≥ b0 thì bài toán tương ứng (1.6) chỉ có nghiệm tầm thường. Mệnh đề 1.4 Giả sử với b ∈ ( a, +∞ ) , tồn tại ρ > 0 , tồn tại toán tử l ∈ L để bài toán (1.6) chỉ có nghiệm tầm thường và với mỗi δ ∈ ( 0,1) , u ∈ C 0 ([ a, +∞ ) ; R ) thỏa mãn u′(t ) = lb (u )(t ) + δ  Fb (u )(t ) − lb (u )(t )  với t ≥ a (1.9) 7 ω b (u ) = δ hb (u ) (1.10) u ≤ρ (1.11) thì ta có bất đẳng thức Khi đó bài toán tương ứng (1.1 0 ), (1.2 0 ) có nghiệm u0 cũng thỏa mãn (1.11). Để chứng minh mệnh đề 1.4, trước hết ta xét bài toán sau trên [ a, b ] Trong đó Fˆ ∈ K ab , v '(t ) = Fˆ (v)(t ) (1.12) ωˆ (v) = hˆ(v) (1.13) ωˆ : C ([ a, b ]; R ) → R là hàm tuyến tính liên tục, hˆ : C ([ a, b ]; R ) → R là hàm số liên tục thỏa mãn với mọi r > 0 , tồn tại M r > 0 sao cho hˆ(v) ≤ M r với mỗi v 0 và hàm l ∈ Lab sao cho bài toán thuần nhất u '(t ) = lˆ(u )(t ) , ωˆ (u ) = 0 (1.14) chỉ có nghiệm tầm thường. Hơn nữa, với mỗi δ ∈ ( 0,1) và hàm số u ∈ C ([ a, b ]; R ) thỏa mãn u′(t ) = lˆ(u )(t ) + δ  Fˆ (u )(t ) − lˆ(u )(t )  với t ∈ [ a, b ] (1.15) ωˆ (u ) = δ hˆ(u ) (1.16) thì ta có bất đẳng thức u C ≤ρ Khi đó bài toán (1.12), (1.13) có một nghiệm u cũng thỏa mãn (1.17). Chứng minh (1.17) 8 Vì lˆ ∈ Lab , Fˆ ∈ K ab nên tồn tại η , η0 ∈ L ([ a, b ]; R+ ) và số thực α ∈ R+ sao cho lˆ(u )(t ) ≤ η (t ) u với t ∈ [ a, b ] , u ∈ C ([ a, b ]; R ) C Fˆ (u )(t ) ≤ η0 (t ) với t ∈ [ a, b ] , u hˆ(u ) ≤ α với t ∈ [ a, b ] , u C C ≤ 2ρ ≤ 2ρ Đặt γ= (t ) η0 (t ) + 2 ρη (t ) với t ∈ [ a, b ]  1 , 0≤s≤ρ  s  s ( s) = 2 − , ρ < s ≤ 2 ρ ρ   0 , s > 2 ρ = q0 (u )(t ) σ ( u C )  Fˆ (u)(t ) − lˆ(u)(t ) c0 (u ) = σ ( u C (1.18) với t ∈ [a, b] . ) hˆ(u) (1.19) Ta có q0 (u )(t ) ≤ γ (t ) , c0 (u ) ≤ α , với u ∈ C ([a, b]; R ) , t ∈ [a, b] . Với mỗi v ∈ C ([ a, b ]; R ) ta xét bài toán = u′(t ) lˆ(u )(t ) + q0 (v)(t ) , ωˆ (u ) = c0 (v) (1.20) Vì bài toán (1.14) chỉ có nghiệm tầm thường nên theo mệnh đề 1.1, bài toán (1.20) chỉ có duy nhất một nghiệm u . Hơn nữa theo mệnh đề 1.2, tồn tại β ∈ R+ sao cho u Suy ra u C ≤ β (α + γ C L   t   ≤ b  c0 (v) + sup  ∫ q0 (v)( s )ds : t ∈ [ a, b ]    a    ) Có u′(t ) ≤ η (t ) u C + γ (t ) . Đặt ρ 0 = β (a + γ L γ (t ) ) = constant , = * ρ0η (t ) + γ (t ) , t ∈ [ a, b ] . Suy ra u C ≤ ρ0 , u′(t ) ≤ γ * (t ) với t ∈ [ a, b ] (1.21) 9 Đặt Ω : C ([a, b]; R ) → C ([a, b]; R ) là toán tử biến mỗi v ∈ C ([ a, b ]; R ) thành nghiệm u của bài toán (1.20). Theo định lí 3.2 ([2]), ta có Ω là toán tử tuyến tính liên tục. Mặt khác, ta lại có Ω(v ) C t ≤ ρ0 t Ω(v)(t ) − Ω(v)( s ) ≤ ∫ γ (ξ )dξ ≤ ∫ γ * (ξ ) dξ với a ≤ s ≤ t ≤ b * s s Suy ra Ω ( C ([a, b]; R ) ) còn là tập compact tương đối trong C ([ a, b ]; R ) . Thật vậy, Vì η , η0 ∈ L ([ a, b ]; R+ ) , = γ * (t ) ρ0η (t ) + γ (t ) , t ∈ [a, b] , nên γ * ∈ L ([ a, b ]; R ) . Với mỗi u ∈ Ω ( C ([ a, b]; R ) ) , tồn tại dãy {un } ⊂ Ω ( C ([ a, b ]; R ) ) sao cho lim un (t ) = u (t ) đều trên [ a, b ] n →+∞ Với mỗi n ∈ N , tồn tại vn ∈ C ([ a, b ]; R ) , sao cho: un = Ω(vn ) . Ta có nlim Ω(vn )(t ) = u (t ) đều trên [a, b] . →+∞ t Và Ω(vn )(t ) − Ω(vn )( s) ≤ ∫ γ * (ξ ) dξ với a ≤ s ≤ t ≤ b với mọi n ∈ N . s t Suy ra u (t ) − u ( s) ≤ ∫ γ * (ξ ) dξ , a ≤ s ≤ t ≤ b , với mọi u ∈ Ω ( C ([ a, b]; R ) ) . s Giả sử {un } ⊂ Ω ( C ([ a, b ]; R ) ) . t Ta có γ ∈ L ([ a, b ]; R+ ) và un (t ) − un ( s) ≤ ∫ γ * (ξ ) dξ với mọi a ≤ s ≤ t ≤ b , n ∈ N . * s Từ đây ta suy ra dãy {un } liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [ a, b ] . Do đó, theo định lí Arzelà – Ascoli, {un } chứa một dãy con {un k } hội tụ đều về một hàm số u ∈ C ([a, b]; R ) . Do Ω ( C ([ a, b ]; R ) ) đóng, {un } ⊂ Ω ( C ([ a, b ]; R ) ) , nên u ∈ Ω ( C ([ a, b]; R ) ) . k 10 Ta có Ω : C ([ a, b ]; R ) → C ([ a, b ]; R ) là toán tử liên tục, C ([ a, b ]; R ) là tập lồi, đóng và Ω ( C ([ a, b ]; R ) ) là tập compact tương đối. Theo định lí Schauder, Ω có một điểm bất động u . Ta có Ω(u )(t ) = u (t ) với mọi t ∈ [ a, b ] . Đặt δ =σ ( u C ). (1.22) Khi đó u là nghiệm của bài toán (1.15), (1.16). Ta sẽ chứng minh δ = 1 . Thật vậy, nếu δ < 1 thì có một trong hai khả năng sau ρ< u u C C < 2ρ (1.23) ≥ 2ρ (1.24) Nếu (1.23) xảy ra thì khi đó theo (1.18), (1.22) ta có bất đẳng thức (1.17). Điều này là mâu thuẫn với (1.23). Nếu (1.24) xảy ra thì theo (1.18) ta có σ ( u C ) = 0 . Vậy u là nghiệm của bài toán (1.14). Vì bài toán (1.14) chỉ có nghiệm tầm thường nên ta suy ra u ≡ 0 . Điều này mâu thuẫn với (1.24). Vậy δ = 1 . Do đó u là nghiệm của bài toán (1.12), (1.13). Hơn nữa từ δ σ= = ( u C ) 1 ta suy ra u thỏa mãn (1.17). Chứng minh mệnh đề 1.4 Với mỗi u ∈ C ([ a, b ]; R ) , đặt uˆ (t ) = u (t ) nếu t ∈ [a, b] , u (t ) = u (b) nếu t > b (1.25) Ta thấy rằng uˆ ∈ C0 ([ a, +∞ ) ; R ) và u C = uˆ (1.26) Đặt Fˆ , lˆ là các toán tử xác định trên C ([ a, b ]; R ) như sau Fˆ (u )(t ) = F (uˆ )(t ) , lˆ(u )(t ) = l (uˆ )(t ) , t ∈ [ a, b ] , u ∈ Cloc ([ a, b ]; R ) (1.27) 11 Do F ∈ K , l ∈ L nên Fˆ ∈ K ab , lˆ ∈ Lab . Với mỗi u ∈ C ([ a, b ]; R ) đặt ωˆ (u ) = ω (uˆ ) , hˆ(u ) = h(uˆ ) (1.28) Với h ∈ H và ω ∈ ch (hoặc ω ∈ W0 ) thì ω̂ là toán tử tuyến tính liên tục từ C ([ a, b ]; R ) vào R . Hơn nữa do h ∈ H nên từ (1.28) ta suy ra với mọi r > 0 , tồn tại M r > 0 sao cho với mỗi hàm số thỏa mãn u C ≤ r thì hˆ(u ) ≤ M r . Giả sử bài toán (1.14) có nghiệm u ∈ C ([ a, b]; R ) . Từ (1.25) ta suy ra θ (uˆ )(t ) = uˆ (t ) với t ≥ a (1.29) Từ (1.14), (1.27), (1.29) ta suy ra u′(t ) = lb (u )(t ) với t ≥ a . Từ (1.28), (1.29), (1.14) suy ra ω b (uˆ ) = 0 . Vây û là nghiệm của bài toán (1.6). Vì bài toán (1.6) chỉ có nghiệm tầm thường nên uˆ ≡ 0 và do đó u ≡ 0 . Vậy bài toán (1.14) chỉ có nghiệm tầm thường. Với mỗi δ ∈ ( 0,1) và u ∈ C ([ a, b ]; R ) bất kì thỏa mãn các bất đẳng thức (1.15), (1.16), ta chứng minh u thỏa mãn bất đẳng thức (1.17). Với hàm û được xác định như trong (1.25), ta có u thỏa mãn (1.29). Từ (1.15), (1.27), (1.29) ta suy ra uˆ′(t ) = lb (uˆ )(t ) + δ  Fb (uˆ )(t ) − lb (uˆ )(t )  với t ≥ a (1.30) Từ (1.16) , (1.28), (1.29) ta được ωb (uˆ ) = δ hb (uˆ ) . Theo giả thiết của mệnh đề thì từ (1.30) và sự kiện ωb (uˆ ) = δ hb (uˆ ) ta được û ≤ ρ . Từ (1.26) ta suy ra u C ≤ρ. Như vậy, ta đã chứng minh được bài toán (1.14) chỉ có nghiệm tầm thường. Hơn nữa, với mỗi δ ∈ ( 0,1) và hàm số u ∈ C ([ a, b ]; R ) bất kì thỏa mãn (1.15), (1.16) ta luôn có (1.17). 12 Theo bổ đề 1.5 thì bài toán (1.12), (1.13) có nghiệm u thỏa mãn u C ≤ ρ . Ta dễ dàng chứng minh được hàm số û được xác định như (1.25) chính là nghiệm của bài toán (1.1 0 ), (1.2 0 ) với uˆ (+∞) = u (b) và û ≤ ρ . 1.3. Định lí về sự tồn tại của nghiệm bị chặn Định lí 1.6 Cho ω ∈ ch , giả sử tồn tại l ∈ L thỏa mãn nghiệm bị chặn của bài toán (1.5) chỉ là nghiệm tầm thường. Giả sử thêm rằng tồn tại và hàm số liên tục c : R+ → R+ thỏa mãn h (v ) ≤ c ( v ) với mọi v ∈ C0 ([ a, +∞ ) ; R ) Hơn nữa, trên tập {v ∈ C0 ([ a, +∞ ) ; R ) : ω (v) ≤ c ( v t t a a )} (1.31) ta có các bất đẳng thức ∫ [ F (v)(s) − l (v)(s)] ds ≤ ∫ q ( s, v ) ds với t ≥ a F (v)(t ) − l (v)(t ) ≤ η (t ) v với t ≥ a, v ≥ ρ1 (1.32) (1.33) trong đó q ∈ Kloc ([ a, +∞ ) × R+ ; R ) , η ∈ Lloc ([ a, +∞ ) ; R+ ) và ρ1 > 0 . Giả sử rằng các hàm số c và q thỏa mãn  t  sup  ∫ q ( s, x)ds : t ∈ [ a, +∞ )  < +∞ với mọi x ∈ R+  a    t   lim  c( x) + sup  ∫ q ( s, x)ds : t ∈ [ a, +∞ )   = 0 x →+∞    a    (1.34) (1.35) Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm bị chặn. Để chứng minh định lí ta có một số bổ đề sau Bổ đề 1.7 Giả sử tồn tại ρ > 0 và b0 ∈ ( a, +∞ ) sao cho với mỗi b ≥ b0 thì phương trình (1.1 0 ) có nghiệm ub thỏa mãn ub ≤ ρ (1.36) 13 Khi đó phương trình (1.1) có một nghiệm bị chặn u . Hơn nữa, tồn tại dãy {ub }n =1 ⊂ {ub }b ≥ b thỏa mãn +∞ n 0 lim ubn (t ) = u0 (t ) đều trên [ a, +∞ ) (1.37) n →+∞ Chứng minh Vì ub là nghiệm của (1.1 0 ) nên ta có θb (ub )(t ) = ub (t ) với t ≥ a . Vì ub là nghiệm của phương trình (1.1 0 ) nên ta có đánh giá t t s s ∫ ub′ (ξ )dξ ≤ ∫ Fb (ub )(ξ ) dξ với a ≤ s ≤ t ub (t ) − ub (= s) (1.38) Do F ∈ K nên từ bất đẳng thức (1.38) ta suy ra họ {ub }b ≥ b liên tục đồng bậc và 0 bị chặn đều trên mỗi khoảng con compact của [ a, +∞ ) . Theo định lí Arzelà – Ascoli, tồn tại dãy {u } +∞ bn n =1 ⊂ {ub }b ≥ b 0 và hàm u ∈ Cloc ([ a, +∞ ) ; R ) thỏa mãn lim bn = +∞ và (1.37). Từ (1.36) và (1.37) suy ra u ≤ ρ . Hiển nhiên, ta có n →+∞ θb (ub )(t ) = ub (t ) với mọi t ≥ a . Do ub là nghiệm của phương trình (1.1 0 ) với n n n n mỗi b = bn nên ta có ta có t u= ubn (a ) + ∫ F (ubn )( s )ds với mọi t ≥ a bn (t ) a Do F liên tục nên từ (1.37) ta suy ra t u= (t ) u (a ) + ∫ F (u )( s )ds với t ≥ a a Vậy u là nghiệm bị chặn của phương trình (1.1). Bổ đề 1.8 Giả sử tồn tại l ∈ L thỏa mãn nghiệm bị chặn của bài toán (1.5) chỉ là nghiệm tầm thường. Hơn nữa, tồn tại hàm số liên tục c : R+ → R+ sao cho bất đẳng thức (1.31) được thỏa mãn và trên tập {v ∈ C0 ([ a, +∞ ) ; R ) : ω (v) ≤ c ( v )} các bất đẳng