Tài liệu Năng lượng và hàm sóng của nguyên tử hydro trong từ trường hiệu ứng zeemann

  • Số trang: 45 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 141 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 20010 tài liệu

Mô tả:

Năng lượng và hàm sóng của nguyên tử Hydro trong từ trường hiệu ứng Zeemann
Luáûn vàn täút nghiãûp Giaïo viãn hæåïng dáùn: Nguyãùn Xuán Tæ Pháön: MÅÍ ÂÁÖU 1. LÊ DO CHOÜN ÂÃÖ TAÌI Khoa hoüc ngaìy caìng phaït triãøn. Noï âoìi hoíi con ngæåìi khäng ngæìng hoüc hoíi vaì nghiãn cæïu. Âoï cuîng laì quan âiãøm chung cuía caïc nhaì baïc hoüc. Coìn âäúi våïi caïc nhaì váût lyï hoüc âiãöu âoï vä cuìng cáö n thiãút. Chàóng haûn luïc âáöu, caïc nhaì váût lyï hoüc âaî âæa ra mäüt hãû thäúng lyï thuyãút dæûa trãn nãön taíng væîng chàõc cuía cå hoüc Newton vaì lyï thuyãút âiãûn tæì cuía Maxwell. Váût lyï hoüc cäø âiãøn cho kãút quaí phuì håüp våïi thæûc nghiãûm. Noï laì mäüt hãû thäúng lyï thuyãút hoaìn chènh vaì chàût cheî. Nhæng âãún thãú kyí XIX, váût lyï hoüc cäø âiãøn khäng thãø giaíi thêch âæåüc caïc hiãûn tæåüng váût lyï nhæ: bæïc xaû cuía váût âen tuyãût âäúi, sæû taïch vaûch quang phäø cuía nguyãn tæí Hydro trong træåìng ngoaìi.... Sæû ra âåìi cuía cå hoüc læåüng tæí chênh laì lyï thuyãút cå såí âáöu tiãn giuïp con ngæåìi tçm hiãøu vaì chinh phuûc thãú giåïi vi mä. Ngaìy nay, mäüt trong nhæîng âäúi tæåüng nghiãn cæïu quan troüng cuía váût lyï hiãûn âaûi laì thãú giåïi vi mä. Chênh vç váûy, män cå hoüc læåüng tæí âaî tråí thaình mäüt hoüc pháön quan troüng khäng thãø thiãúu âäúi våïi sinh viãn chuyãn ngaình váût lyï. Trong thåìi gian hoüc män naìy coï mäüt váún âãö âaî tháût sæû thu huït täi âoï laì: khi âàût nguyãn tæí Hydro trong tæì træåìng ngoaìi thç mæïc nàng læåüng cuía noï bë taïch thaình nhiãöu mæïc khaïc nhau vaì gáy ra sæû taïch vaûch quang phäø. Hiãûn tæåüng âoï âæåüc goüi laì “hiãûu æïng Zeemann” . Váún âãö naìy coï âãö cáûp âãún trong chæång trçnh hoüc, nhæng chæa âaïp æïng nhæng váún âãö maì täi cáön biãút nhæ: mæïc nàng læåüng vaì haìm soïng cuía noï âæåüc tênh cuû thãø nhæ thãú naìo?. Âãø giaíi quyãút váún âãö trãn, täi quyãút âënh choün vaì nghiãn cæïu âãö taìi: “Nàng læåüng vaì haìm soïng cuía nguyãn tæí Hydro trong tæì træåìng hiãûu æïng Zeemann”. Âoï laì mäüt váún âãö khoï khàn vaì phæïc taûp, do âoï ta chè giaíi âãún gáön âuïng báûc mäüt maì thäi. 2. CAÏC GIAÍ THUYÃÚT CUÍA ÂÃÖ TAÌI: - Nàõm væîng lyï thuyãút nhiãùu loaûn Hiãøu lyï thuyãút biãøu diãùn Váûn duûng lyï thuyãút nhiãùu loaûn âãö giaíi baìi toaïn hiãûu æïng Zeemann 3. PHÆÅNG PHAÏP NGHIÃN CÆÏU: Âáy laì mäüt âãö taìi thuáön tuïy vãö lyï thuyãút. Do âoï phæång phaïp nghiãn cæïu chuí yãúu laì phæång phaïp lyï thuyãút 4. CAÏC BÆÅÏC THÆÛC HIÃÛN ÂÃÖ TAÌI: • Nghiãn cæïu lyï thuyãút: lyï thuyãút nhiãùu loaûn vaì lyï thuyãút biãøu diãùn. • Tçm hiãøu vãö hiãûu æïng Zeemann. Váûn duûng lyï thuyãút nhiãùu loaûn âãø giaíi baìi toaïn hiãûu æïng Zeemann. • Sæí duûng têch phán Beta - Euler âãø tênh mæïc nàng læåüng vaì haìm soïng cuía nguyãn tæí Hydro khi âàût trong tæì træåìng. • Viãút baïo caïo. • Baío vãû luáûn vàn SVTH:Lã Thë Thu Hàòng Trang 1 Luáûn vàn täút nghiãûp Giaïo viãn hæåïng dáùn: Nguyãùn Xuán Tæ Pháön: NÄÜI DUNG Chæång 1 SÅ LÆÅÜC VÃÖ LYÏ THUYÃÚT BIÃØU DIÃÙN 1.1 Biãøu diãùn caïc traûng thaïi læåüng tæí: 1.1.1 Haìm soïng trong biãøu diãùn toüa âäü (“r - biãøu diãùn”): ρ Âãø biãøu diãùn traûng thaïi cuía hãû, ngæåìi ta sæí duûng haìm Ψa( r , t ). Trong âoï chè säú a xaïc âënh traûng thaïi cuía hãû læåüng tæí (traûng thaïi a). Do âoï, chè säú a âæåüc goüi laì chè säú traûng thaïi. Viãûc mä taí traûng thaïi nhåì haìm soïng phuû thuäüc toaû âäü âæåüc goüi laì haìm soïng trong biãøu diãùn toaû âäü hay “r- biãøu diãùn”. Bçnh phæång modun haìm soïng trong biãøu diãùn toaû âäü bàòng máût âäü xaïc suáút tçm tháúy haût åí toüa âäü âang xeït. Âáöu tiãn ta nghiãn cæïu traûng thaïi åí mäüt thåìi âiãøm nháút âënh nãn trong biãøu diãùn haìm soïng ta khäng cáön viãút pháön phuû thuäüc vaìo thåìi gian maì chè cáön viãút pháön ρ phuû thuäüc vaìo toüa âäü Ψa( r ) maì thäi Nãúu toaïn tæí L̂ biãøu diãùn biãún säú âäüng læûc L thç caïc haìm riãng cuía noï láûp thaình mäüt hãû âáöy âuí: ρ ρ Ψa( r )= ∑ CnUn( r ) n Våïi Cn: hãû säú phán têch ρ Un( r ): haìm riãng cuía toaïn tæí L̂ Caïc haìm riãng naìy laì âaî biãút, do âoï nãúu ta biãút âæåüc táút caí caïc hãû säú C n thç ρ haìm soïng Ψa( r ) hoaìn toaìn xaïc âënh. Nghéa laì táûp håüp caïc hãû säú cuía C n hoaìn toaìn coï ρ thãø thay thãú cho Ψa( r ) âãø mä taí traûng thaïi cuía hãû. Ta noïi ràòng táûp håüp caïc hãû säú C n laì haìm soïng cuía hãû åí traûng thaïi a trong “L - biãøu diãùn”. Nhæ váûy, âãø mä taí traûng thaïi cuía hãû læåüng tæí ta coï thãø mä taí bàòng haìm soïng trong biãøu diãùn toaû âäü hay trong caïc biãøu diãùn khaïc Sau âáy ta seî xeït haìm soïng trong biãøu diãùn xung læåüng vaì biãøu diãùn nàng læåüng. 2.2.2 Haìm soïng trong biãøu diãùn nàng læåüng (“E - biãøu diãùn”): Âãø âån giaín, ta xeït traûng thaïi cuía haût chuyãøn âäüng trong træåìng ngoaìi, nàng læåüng cuía haût laì ám vaì do âoï giaï trë cuía nàng læåüng laì giaïn âoaûn. Nãúu En: laì trë riãng cuía toaïn tæí nàng læåüng. ρ Un( r ): haìm riãng tæång æïng trë riãng E n Thç theo tênh cháút âuí cuía hãû haìm riãng ta coï: SVTH:Lã Thë Thu Hàòng Trang 2 Luáûn vàn täút nghiãûp Giaïo viãn hæåïng dáùn: Nguyãùn Xuán Tæ ρ ρ Ψa( r )= ∑ CnUn( r ) n Caïc hãû säú phán têch C n laì haìm soïng mä taí traûng thaïi a cuía haût trong “E - biãøu diãùn”. Do âoï Ta kyï hiãûu: C n= ϕa(En). Báy giåì ta chuyãøn âäøi haìm soïng trong “E - biãøu diãùn” sang “r - biãøu diãùn” vaì ngæåüc laûi, âäöng thåìi tçm âiãöu kiãûn âãø chuáøn hoaï haìm soïng trong “E - biãøu diãùn”. a. Chuyãøn âäøi haìm soïng trong “E - biãøu diãùn” sang “r - biãøu diãùn” vaì ngæåüc laûi: Tæì tênh cháút âáöy âuí cuía hãû haìm riãng, ta coï cäng thæïc chuyãøn âäøi haìm soïng trong “E - biãøu diãùn” sang “r - biãøu diãùn” laì: ρ ρ Ψa( r )= ∑ ϕa(En).Un( r ) (1.1) n Vaì ngæåüc laûi, ta coï thãø chuyãøn âäøi haìm soïng trong “r - biãøu diãùn” sang ‘E biãøu diãùn” nhæ sau: ρ Nhán hai vãú cuía (1.1) våïi U m*( r ) vaì láúy têch phán hai vãú ta âæåüc ρ ρ ρ ρ * ρ * ρ (1.2) ∫Um ( r )Ψa( r ) d( r ) = ∑ ϕa(En) ∫ Um ( r )Un( r ) d( r ) n ρ ρ ρ ∫U ( r )Ψa( r ) d( r ) = * m Våïi ∑ ϕa(En)δmn n 1 khi m = n 0 khi m ≠ n δmn = (1.2) tråí thaình ρ ρ ρ ϕa(Em) = ∫Um*( r )Ψa( r ) d( r ) (1.3) (1.3) chênh laì daûng chuyãøn âäøi haìm soïng trong “r - biãøu diãùn” sang “E biãøu diãùn”. b. Âiãöu kiãûn chuáøn hoïa trong “E - biãøu diãùn”: Nãúu haìm soïng trong biãøu diãùn toaû âäü âæåüc chuáøn hoaï thç: ρ ρ * ρ (1.4) ∫ Ψa ( r )Ψa( r ) d( r ) = 1 ρ ρ maì: Ψa( r )= ∑ ϕa(En) Un( r ) n ρ ρ ⇒ Ψa ( r )= ∑ ϕa*(Em) Um*( r ) * m Thay vaìo (1.4): ρ ρ ρ ∑ ϕa*(Em) ∑ ϕa(En) ∫ Um*( r ) Un( r )d( r ) = 1 m ⇔ ∑ ϕa (Em) ∑ ϕa(En) δ m ⇔ n * mn =1 n ∑ ϕa*(Em) ϕa(Em) =1 m ⇔ ∑ |ϕa(Em)|2 =1 (1.5) m SVTH:Lã Thë Thu Hàòng Trang 3 Luáûn vàn täút nghiãûp Giaïo viãn hæåïng dáùn: Nguyãùn Xuán Tæ Âàóng thæïc (1.5) chênh laì âiãöu kiãûn chuáøn hoïa cuía haìm soïng trong “E - biãøu diãùn”. 1.1.3 Haìm soïng trong biãøu diãùn xung læåüng: Trë riãng cuía toïan tæí xung læåü ng coï phäø liãn tuûc nãn haìm riãng æïng våïi trë ρ ρ̂ ρ riãng P cuía toaïn tæí P trong “r - biãøu diãùn” âæåüc viãút laì: ΨPρ ( r ) vaì haìm âæåüc chuáøn hoaï vãö haìm delta. Tæïc laì: ∫ ρ ρ 0 khi p ≠ p′ ρ ρ ρ ΨP ( r ) ΨPρ ( r ) d( r ) = δ ( pρ−pρ′ ) = ρ ρ ∞ khi p = p′ * ρ Tæång tæû nhæ trong “E - biãøu diãùn”, haìm soïng mä taí traûng thaïi cuía hãû læåüng ρ tæí trong “P - biãøu diãùn” cuîng âæåüc viãút laì ϕ a ( p) Do âoï cäng thæïc chuyãøn âäøi haìm soïng tæì “P-biãøu diãùn” sang “r-biãøu diãùn” nhæ sau: ρ ρ ρ Ψa ( r )= ∫ ϕa ( p) Ψpρ( r) Vaì tæì cäng thæïc hãû säú phán têch ta coï cäng thæïc chuyãøn traûng thaïi tæì “r - biãøu diãùn” sang “p - biãøu diãùn” nhæ sau: ρ ρ ρ ρ ϕa ( p) = ∫ Ψ*pρ( r) Ψa( r ) d( r ) ρ Våïi Ψpρ( r) = 3 2  1    e  2πη  i ρρ ( p, r ) η 1.2 Daûng toaïn tæí trong caïc biãøu diãùn: ) ρ Cho toaïn tæí tuyãún tênh A taïc duûng lãn haìm Ψa( r ) ( traûng thaïi a) seî cho haìm ρ Ψb( r )(traûng thaïi b) nhæ sau: ) ρ ρ (1.6) A Ψa( r ) = Ψb( r ) v Xeït phæång trçnh (1.6) trong “L - biãøu diãùn”. ) ρ ρ ρ Phán têch Ψa( r ) vaì Ψb( r ) theo haìm riãng Un( r ) cuía toaïn tæí L . ρ ρ Ψa( r ) = ∑ ϕ a ( L n ) Un( r ) n ρ ρ Ψb( r ) = ∑ ϕ b ( L n ) Un( r ) n trong âoï ϕa (L n ) , ϕ b ( L n ) laì haìm soïng mä taí traûng thaïi a vaì traûng thaïi b trong “L- biãøu diãùn” Thay vaìo (1.6) ta âæåüc: ) A ρ ρ ∑ ϕ a (L n ) Un( r ) = ∑ ϕ b (L n ) Un( r ) n (1.7) n ρ ρ Nhán 2 vãú phæång trçnh (1.7) våïi U m*( r ) vaì láúy têch phán theo r ta âæåüc: ) ρ ρ ρ ρ ρ ρ [Um*( r ) A Un( r )d( r )] ϕ a (L n ) = ∑ ∫ ϕ b ( L n ) Um*( r )Un( r )d( r ) ∑ ∫ n n ) ρ ρ * ρ Âàût Amn= ∫ U m ( r ) A Un( r )d( r ) ρ (r) SVTH:Lã Thë Thu Hàòng Trang 4 Luáûn vàn täút nghiãûp Giaïo viãn hæåïng dáùn: Nguyãùn Xuán Tæ ∑ Amn ϕa (L n ) = ∑ δmn ϕ b (L n ) n ⇔ n ∑ Amn ϕa (L n ) = ϕ b (L m ) (1.8) ) Phæång trçnh (1.8) mä taí taïc duûng cuía toaïn tæí A trong “L - biãøu diãùn”. Nãúu ta kê hiãûu an= ϕ a ( L n ) , bm= ϕ b ( L m ) n (1.8) ⇔ ∑ Amnan = bm n Våïi m, n laì chè säú haìm riãng cuía toaïn tæí L̂ . Nãúu L̂ coï k haìm riãng thç ta coï k ∑ Amnan = bm (m=1, 2, 3....k) n=1 Ta coï hãû phæång trçnh: A11a1 + A12a2 + ...+A1kak = b1 (m=1) A21a1 + A22a2 + ...+A2kak = b2 (m=2) .............................................. (1.9) Ak1a1 + Ak2a2 + ...+Akka = bk (m=k) ) ) Caïc hãû säú A mn âàût træng cho toaïn tæí A , âæåüc goüi laì pháön tæí ma tráûn A trong ) “L - biãøu diãùn”. Nhæ váûy, toaïn tæí A âæåüc biãøu diãùn bàòng mäüt ma tráûn vuäng coï säú ) haìng bàòng säú cäüt , bàòng säú haìm riãng hoàûc trë riãng k cuía toaïn tæí L A11 A12 ... A1k ) A 21 A 22 ... A 2 k A = (A) = ... ... ... ... A k1 A k 2 ... Akk Haìm soïng ϕa(Ln) vaì ϕb(Ln) trong “L - biãøu diãùn” âæåüc biãøu diãùn dæåïi daûng ma tráûn k haìng, 1 cäüt.  a1   b1      a2 b2  (an )= (ϕa(Ln)) = (bm )=(ϕb(Lm)) =    ...   ...      a k  bk  Ta tháúy, (1.9) laì daûng khai triãøn cuía phæång trçnh ma tráûn (A)(ϕa(Ln)) = (ϕb(Lm)) Hay phæång trçnh biãún âäøi haìm soïng coï daûng: ) (1.10) A ϕa(Ln) = ϕb(Lm) ) Våïi A , ϕa(Ln), ϕb(Lm) laì caïc ma tráûn. ) v Báy giåì ta xeït toaïn tæí A trong biãøu diãùn cuía chênh noï: ) ρ Luïc naìy Un( r ) laì hãû haìm riãng cuía toaïn tæí A . Ta seî coï: ρ ) ρ ρ Amn = ∫Um*( r ) A Un( r )d( r ) ρ ρ ρ Amn = An ∫Um*( r ) Un( r )d( r ) SVTH:Lã Thë Thu Hàòng Trang 5 Luáûn vàn täút nghiãûp Giaïo viãn hæåïng dáùn: Nguyãùn Xuán Tæ ⇒ Amn=Anδmn ⇒ Amn = An khi m = n 0 khi m ≠ n ) Váûy, trong biãøu diãùn cuía chênh mçnh , toaïn tæí A laì mäüt ma tráûn cheïo (chè coï caïc pháön tæí trãn âæåìng cheïo chênh laì khaïc 0). Caïc pháön tæí ma tráûn laì trë riãng cuía toaïn tæí. Tæïc laì: A1 0 ) 0 A2 A = (A) = ... ... 0 0 ... ... 0 ... 0 ... ... Ak Sau âáy ta nghiãn cæïu toaïn tæí nàng læåüng trong biãøu diãùn cuía chênh noï. v Toaïn tæí nàng læåüng trong biãøu diãùn nàng læåüng: Láûp luáûn tæång tæû nhæ trãn ta coï: ρ ) ρ ρ Hmn = ∫Um*( r ) H Un( r )d( r ) ⇒ Hmn=Enδmn ) Nghéa laì trong biãøu diãùn nàng læåüng toaïn tæí H laì mäüt ma tráûn cheïo, coï caïc pháön tæí trãn âæåìng cheïo laì trë riãng cuía nàng læåüng. E 1 0 ... 0 Ĥ = (H) = 0 ... 0 E 2 ... 0 ... ... ... 0 ... E k Ta tháúy ràòng trong biãøu diãùn nàng læåüng, toaïn tæí nàng læåüng chè laì pheï p nhán våïi nàng læåüng. Tháût váûy: Tæång tæû (1.10) phæång trçnh biãún âäøi haìm soïng cho ta: (1.11) Ĥ ϕa(E) = ϕb(E ) Màût khaïc, theo (1.8 ) ta coï ϕa(En ) = ϕb(Em ) (1.12) ∑ H nm n Trong ∑ H mn ϕb (En) táút caí caïc säú haûng âãöu bàòng 0 træì säú haûng coï m=n. n (1.12) ⇔ ϕb(Em )=Hmϕa(Em )=Emϕa(Em ) ⇔ E m ϕa (Em) = ϕb (Em) Hay Eϕa (E) = ϕb (E) Tæì (1.11) vaì (1.13) suy ra: ) H ϕa (E) = Eϕa (E). ) nghéa laì H chè laì pheïp nhán våïi nàng læåüng v Toaïn tæí xung læåüng trong biãøu diãùn xung læåüng: SVTH:Lã Thë Thu Hàòng (1.13) Trang 6 Luáûn vàn täút nghiãûp Giaïo viãn hæåïng dáùn: Nguyãùn Xuán Tæ Phæång trçnh biãún âäøi haìm soïng cuía toaïn tæí xung læåüng trong biãøu diãùn xung læåüng laì : ρ ρ ρ ˆ Pϕ a ( p ) = ϕ b ( p) Màût khaïc, mäúi liãn hãû caïc haìm soïng trong biãøu diãùn xung læåüng cho ta: ρ ρ ρ ϕ b (p' ) = ∫ Ppρ'pρϕ a (p)dp ρ p ρρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ˆ Trong âoï Ppρ'pρ = ∫ ψ *pρ' ( r ) Pψ pρ ( r )d r = P ∫ ψ *pρ' ( r )ψ pρ ( r )d r = Pδ( p − p' ) ρ ρ r ρ ρ rρ ρ ρ ρ ρ ρ ⇒ ϕ b (p' ) = ∫ Pϕ a (p)δ(p − p' )dp = P' ϕ a (p' ) ρ p ρ ρ ρ ϕ b ( p ) = Pϕ a ( p ) Hay Tæì âoï ta suy ra: ρ ρ ρ ρ ˆ Pϕ a ( p ) = Pϕ a ( p ) Tæïc laì trong biãøu diãùn xung læåüng, toaïn tæí xung læåüng chè laì pheïp nhán våïi xung læåüng maì thäi. Ta læu yï ràòng toaïn tæí xung læåüng coï phäø liãn tuûc nãn noï laì mäüt ma trán cheïo liãn tuûc trong biãøu diãùn xung læåüng. v Toaïn tæí toaû âäü trong biãøu diãùn xung læåüng: Xeït haût chuyãøn âäüng trãn truûc ox.Trong “p x-biãøu diãùn “ phæång trçnh biãún âäøi haìm soïng cuía toaïn tæí toüa âäü x̂ laì : (1.14) x̂ϕ a (p x ) = ϕ b (p x ) Mäúi liãn hãû haìm soïng cho ta: ϕ b (p' x ) = ∫ χ p ' p ϕ a (p x )dp x x x px ) * = ∫ Ψ p′ ( x ) x Ψ p (x )dx Trong biãøu diãùn toaû âäü ) x ψ p (x) = x ψ p (x) våïi χp ' x pX x x x x iP x 1 Maì ta coï: ψ p ( x ) = eη 2πη iP x  ∂  1 x ψ p ( x ) = − iη ⇒  eη  ∂p x  2πη  ∂ = − iη ψ p (x) ∂p x x x x x x ⇒ χp '  x pX  ∂ = ∫ ψ *p ' ( x ) (−iη )ψ p ( x ) dx = − iη ∂p x (x ) = − iη  x x  ∂ ∂p x ∫ψ * p 'x ( x ) Ψ p X ( x )dx (x) ∂ δ( p x − p ' x ) ∂p x Âæa vaìo biãøu thæïc ϕ b (p' x ) ta âæåüc: SVTH:Lã Thë Thu Hàòng Trang 7 Luáûn vàn täút nghiãûp Giaïo viãn hæåïng dáùn: Nguyãùn Xuán Tæ ϕ b (p' x ) = ∫ ϕ a (p x ) (−iη px ∂ ) δ(p x − p' x ) dpx ∂p x = − iη ∫ ϕ a (p x ) d[δ( p x − p' x )] px ϕ b (p' x ) = − iη ϕ a (p x ) δ(p x − p' x ) p − (−iη) x ∫ ∂ϕ a (p x ) δ(p x − p' x ) dpx ∂p x Chuï yï ràòng têch phán láúy theo p x vaì trong miãön biãún thiãn cuía p x coï chæïa giaï trë p’ x. Nhæ váûy thç säú haûng âáöu cuía vãú phaíi bàòng khäng (theo tênh cháút haìm denta) ∂ ⇒ ϕ b ( p ' x ) = iη ϕ a (p' x ) ∂p' x ∂ Hay ϕ b ( p x ) = iη ϕ a (p x ) ∂p x So saïnh våïi (1.14) ta âæåüc: x̂ = iη ∂ ∂p x Tæång tæû caïc toaïn tæí toaû âäü khaïc ta coï: ∂ x̂ = iη ∂p x ∂ ŷ = iη ∂p y ẑ = iη ∂ ∂p z ρ ρ Tæì âoï ta dãø daìng suy ra: r̂ = iη∇ pρ 1.3 Biãøu thæïc giaï trë trung bçnh cuía biãún säú âäüng læûc dæåïi daûng ma tráûn: ) coï daûng. Giaï trë trung bçnh L cuía toaïn tæí L åí traûng thaïi a biãøu diãùn båíi haìm soïng Ψ Nãúu xeït haìm soïng âaî chuáøn hoaï thç: ρ) ρ ρ L = ∫ ψ *a ( r )L Ψ a ( r )d( r ) ρ (r) (1.15) ρ Trong “M- biãøu diãùn” Ψa ( r ) coï thãø viãút dæåïi daûng: ρ ρ Ψa ( r ) = ∑ C m U m ( r ) m Thay vaìo (1.15) ta âæåüc: ρ) ρ ρ L = ∫ ∑ C*n U *n ( r )L∑ C m U m ( r )d( r ) n m ) ρ ρ * * = ∑∑ C n C m ∫ U n LU m ( r )d( r ) n m = ∑∑ C *n C m L nm n (1.16) m Váûy (1.16) coï thãø viãút dæåïi daûng ma tráûn: SVTH:Lã Thë Thu Hàòng Trang 8 Luáûn vàn täút nghiãûp Giaïo viãn hæåïng dáùn: Nguyãùn Xuán Tæ L = (ϕ*a )(L)(ϕ a ) Trong âoï (L) , (ϕ*a ) , (ϕ a ) laì nhæîng ma tráûn biãøu diãùn toaïn tæí vaì caïc haìm soïng trong “M- biãøu diãùn”. Chuïng coï daûng: L11 L12 L 21 ... L k1 (L) = L 22 ... Lk2 ... L1k ... L 2 k ... ... ... L kk Våïi caïc pháön tæí âæåüc tênh: ρ ρ ρ L ij = ∫ U *i ( r )L̂U j ( r )d( r ) ρ (r) vaì  ϕ a (M1 )     ϕ a (M 2 )  (ϕ a ) = (ϕ a (M )) =   ...    ϕ (M )   a k  (ϕ*a ) = (ϕ*a (M )) = (ϕ*a (M 1 ) ϕ*a (M 2 ) ... ϕ*a (M k ) ) 1.4 Phæång trçnh Schrödinger phuû thuäüc thåìi gian, phæång trçnh Heisenberg viãút daûng ma tráûn. Trong caïc chæång træåïc ta xeït sæû biãún âäøi traûng thaïi theo toüa âäü, tæïc laì sæû phuû thuäüc cuía haìm soïng theo toüa âäü. Báy giåì ta xeït sæû biãún âäøi haìm soïng theo thåìi gian ρ ρ Báy giåì ta phán têch haìm soïng Ψ (r , t ) theo caïc trë riãng cuía U n ( r ) . ρ ρ (1.17) Ψ ( r , t ) = ∑ C n (t )U n ( r ) n ρ Trong âoï: U n ( r ) laì pháön phuû thuäüc vaìo toüa âäü Sæû phuû thuäüc vaìo gian thãø hiãûn C n(t), phæång trçnh Schrödinger coï daûng: ) ρ ρ ∂ HΨn (r , t ) = iη Ψ (r , t ) ∂t Thay vaìo (1.17) ta coï : ) ρ ρ ∂ Hψ n ( r , t ) = iη ∑ C n (t )U n ( r ). ∂t n * ρ Nhán 2 vãú våïi Ψm ( r ) vaì láúy têch phán theo r. ρ) ρ ρ ρ ρ ∂ ∑n C n (t )∫ U *m (r )HU n (r )d(x ) = iη ∂t ∑n C n (t ) ∫ U * m (r )U n (r )d( r ). ∂ ∑n H mn C n (t ) = iη ∂t C m (t ). Våïi m= 1,2... d Hay ∑ H mn C n (t ) = iη C m (t ) (1.18) dt n SVTH:Lã Thë Thu Hàòng Trang 9 Luáûn vàn täút nghiãûp Giaïo viãn hæåïng dáùn: Nguyãùn Xuán Tæ (vç Cm chè phuû thuäüc vaìo thåìi gan) Nãúu Un(r) laì caïc hãû haìm riãng cuía toaïn tæí nàng læåüng thç (1.18) tråí thaình: dC (t ) E m C m (t ) = iη m dt dC m (t ) iE m ⇔ =− dt C m (t ) η iE t ⇔ ln C m (t ) = − m + ln C m (0) η ⇔ C m (t ) = C m (0).e − iE m t η (1.19) Váûy åí traûng thaïi dæìng haìm soïng phuû thuäüc vaìo thåìi gian coï daûng (1.19). Báy giåì ta seî tçm phæång trçnh Heisenberg viãút daûng ma tráûn. Láúy âaûo haìm cuía (L ) theo cäng thæïc (1.16) theo thåìi gian: ∂L dC * dC m dL = ∑∑ C*n nm C m + ∑∑ n L nm C m + ∑∑ C*n L nm (1.20) ∂t dt dt dt n m n m n m Theo (1.18): dC ∑λ H mλC λ = iη dtm dC* * * ∑λ H nλ C λ = −iη dtn ) Vç H laì toaïn tæí liãn håüp, nãn H *nλ = H λn . Nãn: ∑ H λn C λ = −iη * λ dC*n dt Thay caïc giaï trë vaìo (1.20): Säú haûng 2: dC*n 1 L nm C m = − ∑∑∑ C *λH λn L nm C m ∑∑ dt iη n m λ n m Säú haûng 3: dC m 1 = ∑∑∑ C*n H mλL nm C λ dt iη n m λ n m Hoaïn vë 2 chè säú λ & n trong säú haûng thæï 2 coï daûng: 1 − ∑∑∑ C *n H nλL λm C m iη n m λ Hoaïn vë 2 chè säú m & λ trong säú haûng thæï 3 coï daûng: 1 C*n H λm L nλC m ∑∑∑ iη n m λ ∑∑ C SVTH:Lã Thë Thu Hàòng * n L nm Trang 10 Luáûn vàn täút nghiãûp Giaïo viãn hæåïng dáùn: Nguyãùn Xuán Tæ ∂L dL 1 = ∑∑ C*n nm C m − ∑∑∑ C*n H nλL λm C m dt iη n m λ ∂t n m 1 + ∑∑∑ C*n L nλH λm C m iη n m λ dL 1  ∂L  = ∑∑ C*n  nm + ∑ (L nλH λm − H nλL λm )C m dt iη λ n m   ∂t  ∂L 1  = ∑∑ C *n  + ∑ (LH − HL ) C m n m  nm  ∂t iη λ ) ) Trong âoï L & H laì nhæîng ma tráûn biãøu diãùn caïc toaïn tæí L vaì H . dL Theo cäng thæïc trë trung bçnh dt dL dL = Ψ* Ψ. dt dt Váûy ta coï phæång trçnh ma tráûn:  dL   dL 1  (1.21a)   =  + (LH − HL )  nm  dt  nm  dt iη ⇒ Hay  dL   dL  1 (1.21b)   =  nm  + (LH − HL)nm  dt  nm  dt  iη (1.21a) hay (1.21b) chênh laì phæång trçnh Heisenberg viãút dæåïi daûng ma tráûn. Lyï thuyãút biãøu diãùn maì chuïng ta væìa så læåüc âäi neït åí pháön trãn laì mäüt trong nhæîng pháön quan troüng cuía cå hoüc læåüng tæí. Noï laì nãön taíng âãø nghiãn cæïu nhæîng lyï thuyãút khaïc, mäüt trong säú âoï laì lyï thuuyãút nhiãùu loaûn. Ta seî nghiãn cæïu mäüt pháön lyï thuyãút âoï åí pháön sau. SVTH:Lã Thë Thu Hàòng Trang 11 Luáûn vàn täút nghiãûp Giaïo viãn hæåïng dáùn: Nguyãùn Xuán Tæ Chæång 2 HIÃÛU ÆÏNG ZEEMANN& NÀNG LÆÅÜNG NGUYÃN TÆÍ HYDRO TRONG TÆÌ TRÆÅÌNG 2.1 Hiãûu æïng Zeemann: Nàm 1896 nhaì váût lyï ngæåìi Haì Lan Pieter Zeemann âaî tiãún haình mäüt thê nghiãûm nhàòm nghiãn cæïu tæång taïc giæîa momen tæì nguyãn tæí våïi mäüt tæì træåìng ngoaìi. Trong thê nghiãûm naìy, ngæåìi ta âàût nguyãn tæí trong tæì træåìng ngoaìi vaì ngæåìi so saïnh quang phäø kêch thêch cuía nguyãn tæí våïi quang phäø cuía noï khi khäng âàût trong tæì træåìng ngoaìi. Kãút quaí khi coï tæì træåìng ngoaìi, mäùi vaûch âæåüc taïch ra thaình nhiãöu vaûch quang phäø riãng biãût. Sæû xuáút hiãûn caïc vaûch quang phäø naìy naìy chæïng toí coï thãm nhæîng mæïc nàng læåüng giaïn âoaûn. Hiãûn tæåüng naìy goüi laì “hiãûu æïng Zeemann”. ÅÍ âáy ngæåìi ta cáön phán biãût roî 2 loaûi “hiãûu æïng Zeemann” thæåìng vaì “hiãûu æïng Zeemann” dë thæåìng. Lyï thuyãút âáöy âuí vãö hiãûu æïng Zeemann dë thæåìng hay hiãûu æï ng Zeemann thæåìng chè coï thãø âæåüc xáy dæûng trãn cå såí lyï thuyãút Derac, trong âoï khäng thãø khäng xeït âãún hiãûu æïng tæång âäúi tênh, maì caí hiãûu æïng spin næîa. Âãø hiãøu roî baín cháút naìy, chuïng ta nhåï laûi ràòng khi nguyãn tæí âàût trong tæì træåìng, nàng læåüng toaìn pháön cuía noï gäöm hai pháön : näüi nàng cuía nguyãn tæí vaì nàng læåüng tæång taïc cuía mämen tæì nguyãn tæí våïi tæì træåìng. Âäü låïn cuía nàng læåüng tæång taïc âæåüc xaïc âënh bàòng cæåìng âäü tæì træåìng, sæû âënh hæåïng vaì âäü låïn cuía mämen tæì. Nãúu tæì træåìng khäng låïn làõm, tæång taïc spin qué âaûo nguyãn tæí låïn hån tæång taïc cuía mämen tæì qué âaûo vaì mämen tæì spin xeït riãng leí trong tæìng træåìng håüp. Våïi âiãöu kiãûn âoï, mäúi liãn kãút giæîa mämen tæì spin vaì mämen tæì qué âaûo khäng bë phaï våî nghéa laì trong tæì træåìng liãn kãút Russell Saunders váùn âæåüc thæûc hiãûn. Ta âaî biãút trong liãn kãút naìy, táút caí caïc spin cuía electron ρ liãn kãút våïi nhau taûo thaình spin toaìn pháön S cuía nguyãn tæí , coìn táút caí caïc mämen qué ρ âaûo cuía caïc electron liãn kãút våïi nhau tao thaình mämen qué âaûo toaìn pháön L cuía SVTH:Lã Thë Thu Hàòng Trang 12 Luáûn vàn täút nghiãûp Giaïo viãn hæåïng dáùn: Nguyãùn Xuán Tæ ρ ρ ρ ρ ρ nguyãn tæí vaì mämen toaìn pháön cuía nguyãn tæí J = L + S . Nhæ váûy S tæång taïc våïi L ρ nghéa laì trong nguyãn tæí coï tæång taïc spin qué âaûo. Tæång æïng våïi J mämen toaìn ρ pháön µ cuía nguyãn tæí tæång taïc våïi tæì træåìng. Nãúu læåüng tæí säú cuía mämen toaìn pháön laì j thç säú caïc hæåïng khaí dé cuía mämen tæì âäúi våïi tæì træåìng seî laì 2j+1. Mäùi hæåïng æïng våïi mäüt nàng læåüng tæång taïc. Do âoï mæïc nàng læåüng cuía nguyãn tæí trong traûng thaïi coï mämen toaìn pháön j khi âàût trong tæì træåìng seî taïch thaình 2j+1 mæïc con. Nãúu tæì træåìng yãúu nàng læåüng tæång taïc cuía mämen tæì våïi tæì træåìng seî nhoí hån nàng læåüng tæång taïc spin qué âaûo. Do âoï âäü taïch cuía mæïc nàng læåüng thaình 2j+1 mæïc con khi âàût trong tæì træåìng seî nhoí hån âäü taïch âa tuyãún tæû nhiãn gáy båíi tæång taïc spin qué âaûo. Tæång taïc cuía tæì træåìng våïi nguyãn tæí trong træåìng håüp naìy âæåüc coi nhæ mäüt nhiãùu loaûn. Hiãûn tæåüng taïch vaûch quang phäø trong tæì træåìng yãúu âæåüc goüi laì hiãûu æïng Zeemann dë thæåìng. Säú vaûch taïch ra coï thãø låïn hån 3 cuû thãø khi âàût nguyãn tæí Natri trong tæì træåìng yãúu, mäùi vaûch keïp âäi seî taïch thaình 10 vaûch. Nhæng nãúu mämen spin toaìn pháön cuía nguyãn tæí bàòng khäng nghéa laì: ρ ρ ρ S =0. Khi âoï J = L , mäùi vaûch quang phäø seî taïch thaình 3 vaûch, mäüt sæû taïch nhæ thãú âæåüc goüi laì hiãûu æïng Zeemann thæåìng. Noï laì træåìng håüp riãng cuía hiãûu æïng Zeemann dë thæåìng. Hiãûu æïng Zeemann thæåìng xaîy ra åí caïc nguyãn tæí coï mämen toaìn pháön bàòng khäng, nghéa laì åí caïc quang phäø cuía caïc vaûch âån. Nãúu tæì træåìng âuí maûnh so våïi nàng læåüng tæång taïc cuía mämen tæì våïi tæì træåìng låïn hån nàng læåüng tæång taïc spin qué âaûo thç liãn kãút giæîa mämen qué âaûo vaì mämen spin bë phaï våî. Mämen tæì spin vaì mämen tæì qué âaûo tæång taïc våïi tæì træåìng âäüc láûp våïi nhau. Hiãûn tæåüng phaï våî liãn kãút spin qué âaûo trong tæì træåìng maûnh goüi laì hiãûu æïng Pachen-Back. Trong træåìng håüp naìy quan saït âæåüc hiãûu æïng Zeemann thæåìng. Do âoï ta coï thãø noïi ràòng, hiãûu æïng Pachen-Back chuyãøn hiãûu æïng Zeemann dë thæåìng thaình hiãûu æïng Zeemann thæåìng trong caïc tæì træåìng maûnh. SVTH:Lã Thë Thu Hàòng Trang 13 Luáûn vàn täút nghiãûp Giaïo viãn hæåïng dáùn: Nguyãùn Xuán Tæ 2.2 Giaï trë nàng læåüng cuía nguyãn tæí khi âàût noï trong tæì træåìng ngoaìi 2.2.1 Sæû taïch mæïc nàng læåüng khi âàût nguyãn tæí trong tæì træåìng: Xeït mäüt nguyãn tæí hoaï trë 1 nàòm trong tæì træåìng ngoaìi âãöu. Electron hoaï trë cuía nguyãn tæí chëu taïc duûng âäöng thåì i cuía tæì træåìng ngoaìi vaì cuía âiãûn træåìng gáy båíi haût nhán nguyãn tæí vaì caïc låïp electron bãn trong. Giaí thiãút âiãûn træåìng xuyãn tám vaì goüi U(r) laì thãú nàng cuía electron trong træåìng naìy. Hæåïng cuía tæì træåìng doüc theo truûc oz vaì láúy vectå A dæåïi daûng: −χ y 2 −χ Ay = x 2 Ax = (2.1) Az =0 Dæûa vaìo cäng thæïc χ =rotA, ta coï thãø choün tæì træåìng sao cho: χ x= χ y=0, χ z= χ (2.2) Âæa thãú vectå A vaìo trong Hamilton Ĥ = 1 e eη (P + A ) 2 − eV + U + (σˆ χ) 2m c 2mc ta thu âæåüc phæång trçnh Pauli iη ∂ψ η2 2 iηe ∂ψ ∂ψ =− ∇ ψ + U ( r )ψ − χ( x −y ) ∂t 2m 2m 0 c ∂y ∂x e2 ηe ηe + χ 2 ( x 2 + y 2 )ψ + + (σ z )χψ 2 2m 0 c 2 m 0 c 8m 0 c (2.3). Nãúu tæì træåìng yãúu, ta coï thãø boí qua säú haûng chæïa χ 2, chênh säú haûng naìy xaïc âënh caïc hiãûu æïng nghëch tæì yãúu. Toaïn tæí ∂ ∂ iη( y − x ) = L̂ z ∂x ∂y (2.4) Laì toaïn tæí thaình pháön cuía mämen qué âaûo. Goüi Ĥ 0 laì Hamilton cuía electron khi khäng âàût trong tæì træåìng: η2 2 ∇ +U (r) Ĥ 0 = − 2m Ta viãút âæåüc: ∂ψ χe iη = Ĥ 0 ψ + (L̂ z + ησˆ z )ψ 2m 0 c ∂t SVTH:Lã Thë Thu Hàòng (2.5) (2.6) Trang 14 Luáûn vàn täút nghiãûp Giaïo viãn hæåïng dáùn: Nguyãùn Xuán Tæ Trong træåìng håüp coï thãø boí qua säú haûng chæïa χ 2, ta coï thãø cho säú haûng biãøu diãùn taïc duûng cuía tæì træåìng lãn electron laì thãú nàng ∆U cuía læåîng cæûc tæì våïi mämen ρ µ e µ̂ = − (L̂ z + ησˆ z ) 2m c nàòm trong træåìng χ ∆Û = (−µˆ χ) = χe (L̂ z + ησˆ z ) 2m 0 c (2.7) Âãø xaïc âënh traûng thaïi dæìng ta tçm haìm soïng dæåïi daûng: − iEt (2.8) ψ( x, y, z, t ) = ψ( x, y, z)e η Trong âoï E laì nàng læåüng traûng thaïi dæìng . Thay (2.8) vaìo (2.6) ta âæåüc: Ĥ 0 ψ + χe (L̂ z + ησˆ z )ψ = Eψ 2m 0 c (2.6’) Trong “Sz -biãøu diãùn “ ta coï: σzψ = 1 0 ψ1 + ψ1 . = 0 − 1 ψ 2 − ψ1 eχ  Ĥ 0 ψ 1 + 2m c (L z + η)ψ 1 = Eψ 1  0 (2.6’) ⇔  e χ Ĥ ψ + (L − η)ψ 2 = Eψ 2  0 2 2m 0 c z (2.9) (2.10) Giaíi hãû phæång trçnh trãn ta tçm âæåüc nghiãûm: ψ  η ψ' nλm =  nλm  , E= E 0nλ , S z = 2  0   0  η  , E= E 0nλ , S z = − ψ' ' nλm =  2  ψ nλm  (2.11) (2.11’) Trong âoï: ψ nλm = R nλ (r )ψ λm (θ, ϕ) (2.12) thay (2.11) vaì (2.11’) vaìo (2.10) ta tçm âæåüc hai nghiãûm: SVTH:Lã Thë Thu Hàòng Trang 15 Luáûn vàn täút nghiãûp Giaïo viãn hæåïng dáùn: Nguyãùn Xuán Tæ ψ ' nλm , E= E 'nλm = E 0nλ + η χeη (m + l) , S z = 2m 0 c 2 ψ' ' nλm , E= E' ' nλm = E 0nλ + η χeη (m − l) , S z = − 2m 0 c 2 (2.13) (2.13’) Caïc nghiãûm naìy chæïng toí ràòng, nãúu boí qua säú haûng chæïa χ 2 caïc haìm soïng seî khäng âäøi, âiãöu âoï coï nghéa laì nguyãn tæí khäng bë biãún daûng khi coï tæì træåìng ngoaìi taïc duûng. Coìn âäúi våïi nàng læåüng, noï bàõt âáöu phuû thuäüc vaìo sæû âënh hæåïng cuía mämen tæì âäúi våïi hæåïng cuía træåìng, nhæ váûy phuû thuäüc vaìo læåüng tæí säï m. Kãút quaí laì caïc mæïc nàng læåüng khi khäng coï tæì træåìng thç truìng nhau, nhæng khi coï tæì træåìng taïc duûng thç taïch ra ( suy biãún theo m bë khæí). Ta xeït så âäö taïch mæïc cuía caïc säú haûng S vaì P. Sæû taïch mæïc cuía P laì do xeït âãún táút caí caïc giaï trë khaí dé cuía m khi λ=1 (m=1, -1, 0). Sæû taïch cuía mæïc S ( λ=0, m=0) chè do spin cuía electron gáy ra. Âoï laì kãút quaí khaï quan troüng cuía lyï thuyãút vãö spin cuía electron, âoï chênh laì sæû taïch vaûch quang phäø maì Stern vaì Gerlach âaî quan saït tháúy trong thê nghiãûm. Sæû taïch vaûch quang phäø dáùn âãún kãút quaí laì caïc dåìi chuyãøn khaí dé tàng lãn vaì do âoï caí säú caïc vaûch quang phäø quan saït âæåüc cuîng tàng lãn. Âoï chênh laì hiãûu æïng Zeemann thæåìng. 2.2.2 Caïc mæïc nàng læåüng nguyãn tæí Báy giåì ta chuyãøn sang nghiãn cæïu caïc tênh cháút cuía caïc nguyãn tæí nhiãöu electron . Nguyãn tæí nhiãöu electron laì mäüt hãû gäöm caïc haût nhán vaì electron. Âäúi våïi hãû naìy, nàng læåüng toaìn pháön, mämen xung læåüng toaìn pháön vaì hçnh chiãúu cuía noï lãn mäüt truûc naìo âoï laì nhæîng âaûi læåüng baío toaìn. Âäúi våïi chuyãøn âäüng trong træåìng âäúi xæïng xuyãn tám, nàng læåüng, mämen xung læåüng vaì hçnh chiãúu cuía mämen xung læåüng âãöu baío toaìn nãn khäng nhæîng nguyãn tæí xeït vãö toaìn bäü, maì caí electron riãng leí cuîng coï thãø âæåüc âàûc træng bàòng caïc læåüng tæí säú n, λ,m. Træåìng håüp træåìng khäng phaíi laì træåìng Coulomb, caïc mæïc nàng læåüng khäng chè phuû thuäüc vaìo n maì coìn caí λ næîa. Vç nàng læåüng cuía electron khäng phuû thuäüc vaìo sæû âinh hæåïng cuía mämen cå cuía noï trong khäng gian, do âoï khäng phuû thuäüc vaìo læåüng tæí säú m. Nhæ váûy âãø âàûc træng cho caïc traûng thaïi cuí a nguyãn tæí thç phaíi nãu lãn caïc traûng thaïi cuía electron trong nguyãn tæí. Caïc traûng thaïi dæìng cuía nguyãn tæí trong pheïp gáön âuïng phi tæång âäúi tênh âæåüc xaïc âënh bàòng phæång trçnh Schr ödinger cho hãû caïc electron chuyãøn âäüng trong træåìng cuía haût nhán vaì cuía electron tæång taïc âiãûn våïi nhau. Trong phæång trçnh naìy hoaìn toaìn khäng coï caïc toaïn tæí spin cuía electron. Âäúi våïi hãû chuyãøn âäüng trong træåìng âäúi xæïng xuyãn tám khäng nhæîng mämen qué âaûo ρ toaìn pháön L baío toaìn, maì caí tênh chàôn leí cuía traûng thaïi cuîng baío toaìn. Do âoï mäùi ρ traûng thaïi dæìng cuía nguyãn tæí âãöu âæåüc âàûc træng bàòng giaï trë xaïc âënh cuía mämen L vaì tênh chàôn leí cuía noï. Ngoaìi ra caïc haìm soïng toaû âäü cuía traûng thaïi dæìng cuía hãû haût âäöng nháút coï tênh âäúi xæïng hoaïn vë. Âäúi våïi mäüt hãû haût electron, mäüt giaï trë xaïc âënh SVTH:Lã Thë Thu Hàòng Trang 16 Luáûn vàn täút nghiãûp Giaïo viãn hæåïng dáùn: Nguyãùn Xuán Tæ cuía mämen toaìn pháön s tæång æïng våïi mäüt loaûi âäúi xæïng xaïc âënh. Do âoï mäùi traûng thaïi dæìng cuía nguyãn tæí cuîng âæåüc âàûc træng bàòng spin toaìn pháön s. Mæïc nàng læåüng våïi caïc giaï trë s vaì λ âaî cho suy biãún tæång æïng våïi giaï trë ρ ρ khaí dé khaïc nhau cuía vectå S vaì L trong khäng gian. Âäü bäüi suy biãún theo caïc hæåïng ρρ S, L láön læåüt bàòng 2 λ+1 vaì 2s+1 do âoï âäü bäüi suy biãún cuía mæïc våïi caïc λvaì s âaî cho bàòng têch (2 λ+1)(2s+1). Tuy nhiãn trong tæång taïc âiãûn tæì cuía caïc electron coï caïc hiãûu æïng tæång âäúi tênh phuû thuäüc vaìo caïc spin cuía chuïng. Do âoï nàng læåüng cuía nguyãn tæí khäng nhæîng ρ ρ chè phuû thuäüc vaìo âäü låïn cuía vectå L vaì S , maì coìn phuû thuäüc vaìo sæû sàõp xãúp tæång häø giæîa chuïng. Noïi mäüt caïch chàût cheî, nãúu xeït âãún caïc tæång taïc tæång âäúi tênh, caïc ρ ρ mämen L vaì S , xeït riãng leí seî khäng baío toaìn. Chè coï âënh luáût baío toaìn mämen toaìn ρ ρ ρ pháön J = L + S laì mäüt âënh luáût chênh xaïc coï tênh phäø biãún, âæåüc suy ra tæì tênh âàóng hæåïng cuía khäng gian âäúi våïi hãû kên. Do âoï caïc mæïc nàng læåüng chênh xaïc phaíi âæåüc âàûc træng bàòng caïc giaï trë j cuía momen toaìn pháön. Tuy nhiãn, thæåìng caïc hiãûu æïng tæång âäúi tênh tæång âäúi nhoí, nãn coï thãø coi laì mäüt nhiãùu loaûn. Do aính hæåíng cuía nhiãùu loaûn naìy, mæïc suy biãún våïi caïc λ, s âaî cho seî taïch thaình hai daîy caïc mæïc ráút xêt nhau khaïc nhau caïc giaï trë j. Trong pheïp gáön âuïng cáúp mäüt caïc mæïc âoï âæåüc xaïc âënh bàòng phæång trçnh thãú kyí, coìn caïc haìm soïng cuía chuïng laì caïc täø håüp tuyãún tênh cuí a haìm soïng cuía mæïc suy biãún ban âáöu våïi caïc λ vaì s âaî cho. Nhæ váûy do caïc hiãûu æïng tæång âäúi tênh, mæïc nàng læåüng våïi caïc giaï trë λ vaì s âaî cho taïch thaình mäüt loaût caïc mæïc våïi caïc giaï trë j khaïc nhau. Mäüt sæû taïch nhæ thãú âæåüc goüi laì cáúu truïc tãú vi (hay sæû taïch âa tuyãún) cuía mæïc Nhæ âaî biãút, j láúy caïc giaï trë tæì λ+s âãún λ − s . Do âoï mæïc våïi caïc L, S âaî cho taïch thaình 2s+1 nãúu λ>s hay thaình 2 λ+1 nãúu λ - Xem thêm -