Tài liệu 'mũ logarit chương 2. gt. dạng 10. các bài toán tìm min max của biểu thức file word.image.marked

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC. Câu 1. Cho 0 < a < 1 < b , ab > 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = loga ab + 4 . (1 - loga b ).loga ab b A. P = 2 . Chọn B. P = 4 . C. P = 3 . D. P = -4 . Lời giải D. Do 0 < a < 1 < b , ab > 1 nên suy ra loga b < 0 . Mặt khác ta có logb ab > 0 Û logb a + 1 > 0 Û Ta có P = loga ab + 1 + loga b loga b > 0 Þ loga b + 1 < 0 . 4 4 = 1 + loga b + (1 - loga b )(logab-1 a + logab-1 b ) (1 - loga b ).loga ab b = 1 + loga b + 4 4 . = 1 + loga b + æ ö 1 + log b log b 1 ÷÷ a a (1 - loga b )çççç1 - log b + 1 - log ÷÷ b è a a ø Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : -P = (-1 - loga b ) + Suy ra P £ -4 . 4 ³ 4. -1 - loga b Đẳng thức xẩy ra Û 1 + loga b = -2 Û loga b = -3 Û a 3b = 1 . Câu 2. 9x . Tính tổng 9x + 3 æ 1 ö÷ æ 2 ö÷ æ 3 ö÷ æ 2016 ö÷ ÷÷ + f çç ÷÷ + f çç ÷÷ + ... + f çç ÷ S = f ççç çè 2017 ÷ø çè 2017 ø÷ çè 2017 ÷÷ø + f (1). è 2017 ÷ø Cho hàm số f (x ) = A. S = Chọn 4035 . 4 B. S = 8067 . 4 C. S = 1008. Lời giải D. S = 8071 . 4 A. Xét f (x ) + f (1 - x ) = 9x 91-x 9x 9 9x 3 + = + = + x x 1-x x x x 9 + 3 9 + 3 9 + 3 9 + 3.9 9 +3 9 +3 9x + 3 = 1. 9x + 3 é æ 1 ö ù é ù ÷÷ + f æçç 2016 ö÷÷ú + ê f æçç 2 ö÷÷ + f æçç 2015 ö÷÷ú + ... Khi đó S = êê f çç ÷ ç çè 2017 ÷÷øúú êê çè 2017 ÷÷ø çè 2017 ÷÷øúú êë è 2017 ÷ø û ë û = Trang 1 é æ 1008 ö ù ÷÷ + f æçç 1009 ö÷÷ú + f 1 = 1 + 1 + ... + 1 + f 1 = 1008 + 9 = 1008 + 3 = 4035 . + êê f ççç ( )  ( ) ÷÷ çè 2017 ÷ø÷ú 4 4 9+3 1008 soá ëê è 2017 ø ûú Câu 3. Cho m = loga trị nhỏ nhất. ( ab ) , với a > 1, b > 1 và P = log b + 16 log a . Tìm m sao cho P đạt giá 2 a 3 B. m = A. m = 1 . Chọn 1 . 2 b C. m = 4 . D. m = 2 . Lời giải A. ì ï 1 ï m = (1 + loga b ) ï Vì a > 1, b > 1 , ta có: í 3 ï ï log b ï a >0 ï î Đặt t = loga b , (t > 0) Þ P = (loga b ) + 2 = 12 . Dấu “ = ” xảy ra khi t 2 = 16 8 8 8 8 16 = t2 + = t 2 + + ³ 3. 3 t 2 . . t t t t t loga b 8 Û t3 = 8 Û t = 2 . t Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 12 khi loga b = 2 . Suy ra m = Câu 4. ( Giá trị nhỏ nhất của P = loga b 2 æ ç + 6 ççlog b ççè a b ÷÷ö ÷÷ với a , b là các số thực thay đổi thỏa a ÷ø 2 b > a > 1 là mãn A. 30 . B. 40 . Chọn C. 18 . D. 60 . Lời giải C. (log b ) a ) 2 1 (1 + 2) = 1 . 3 2 2 æ ç + 6 ççlog b ççè a æ ö÷ æ ö÷ 2 2 b ö÷÷ b çç çç ÷ . a ÷÷ = 4 (loga b ) + 6 ç1 + log b a ÷÷÷ ÷÷ = 4 (loga b ) + 6 çlog b ç ççè a ÷ ÷ø ç aø è ø÷ a a 2 2 2 æ ö÷ çç 2 ÷÷ æ ö÷ çç 2 ÷÷ 1 1 ç ÷÷ + 6 çç1 + ÷÷ = 4 (loga b ) + 6 çç1 + çè çç loga b - 2 ÷ø b ÷÷ ÷÷ çç log a è a ø 2 = 4 (loga b ) 2 2 æ æ t - 1 ö÷ æ t - 1 ö÷ 1 ö÷ 2 2 ç ç ç ÷ ÷ = 4t + 6 çç Đặt t = loga b Þ P = 4t + 6 ç1 + ÷ ³ 2 4t .6 ççt - 2 ÷÷÷ Theo BĐT çè t - 2 ÷ø÷ èt - 2 ø÷ è ø 2 2 2 Cosy Þ Pmin æ t - 1 ö÷ ÷÷ Dấu bằng xảy ra khi: = 2 4t .6 ççç èt - 2 ÷ø 2 2 Trang 2 é æ ö ê2t = 6 çç t - 1 ÷÷ ê çèt - 2 ÷÷ø æ t - 1 ö÷ ÷÷ Û ê 4t 2 = 6 çç ê æ ö çèt - 2 ÷ø ê2t = - 6 çç t - 1 ÷÷ ÷ ê çèt - 2 ÷ø êë 2 é êt ê ê ê é2t(t - 2) = 6(t - 1) é2t 2 - (4 + 6)t + 6 = 0 êt ê ê ê Ûê Ûê Ûê 2 ê2t(t - 2) = - 6(t - 1) ê2t - (4 - 6)t - 6 = 0 ê ë ë êt ê ê êt ê ë Câu 5. 4+ 64 4+ 6+ = 4 4- 6 = 4 4+ 6+ = 4 = 22 22 22 22 Cho m và n là các số nguyên dương khác 1 . Gọi P là tích các nghiệm của phương trình 8 (logm x )(logn x ) - 7 logm x - 6 logn x - 2017 = 0 . Khi P là một số nguyên, tìm tổng m + n để P nhận giá trị nhỏ nhất? A. m + n = 20 . B. m + n = 48 . C. m + n = 12 . Chọn D. m + n = 24 . Lời giải C. Đặt t = logm x , lúc đó x = m t Phương trình trở thành ( ) 8t logn m t - 7t - 6 logn m t - 2017 = 0 Û 8t 2 logn m - 7t - 6t logn m - 2017 = 0 Û 8 (logn m )t 2 - (7 + 6 logn m )t - 2017 = 0 Ta có D = (7 + 6 logn m ) + 4.2017.8 logn m 2 Lúc đó x 1 = m 1 ; x 2 = m 2 t x 1.x 2 = m t1 +t2 t =m 7 +6 logn m 8 logn m = P nguyên Lần lượt thử các đáp án ta chọn được đáp án C. Câu 6. Cho hai số thực a, b thỏa mãn 1 £ b < a 3 . Biểu thức ( æ bö P = 2 ççç1 + loga ÷÷÷ + 4 - 2 loga2 b a ÷ø è 3 A. 67 . B. 31455 . 512 ) + 3 có giá trị lớn nhất bằng 3 C. 27 . Lời giải D. 455 . 8 Chọn A 1 £ b < a 3 Û loga 1 £ loga b £ 1 Û 0 £ loga b £ 1 Trang 3 ( æ bö P = 2 çç1 + loga ÷÷÷ + 4 - 2 loga2 b çè a ÷ø 3 ) 3 æ ö 1 + 3 = 2 log b + çç4 - loga2 b ÷÷÷ + 3 ÷ø çè 2 3 a 3 . Đặt x = loga b . æ 1 ö Xét P = 2x + çç4 - x 2 ÷÷÷ + 3 với 0 £ x £ 1 çè 2 ÷ø 3 3 æ 1 ö P ' = 6x - 3x çç4 - x 2 ÷÷÷ çè 2 ÷ø 2 2 æ 1 ö 6x 2 - 3x çç4 - x 2 ÷÷÷ = 0 Û çè 2 ÷ø 2 éx = 0 ê 2 ê æ 1 2 ö÷ ê ç êx - 3 ç4 - x ÷÷ = 0 (VN ) çè 2 ÷ø êë Lập bảng biến thiên ta có P (0) = 67 Câu 7. 16x . Tính tổng 16x + 4 æ 1 ÷ö æ 2 ÷ö æ 3 ö÷ æ 2017 ö÷ ÷÷ + f çç ÷÷ + f çç ÷÷ + ... + f çç ÷ S = f ççç çè 2017 ÷ø çè 2017 ø÷ çè 2017 ÷ø÷ . è 2017 ÷ø Cho hàm số f (x ) = A. S = Chọn 5044 . 5 B. S = 10084 . 5 C. S = 1008. Lời giải D. S = 10089 . 5 A. Nhận xét: Cho x + y = 1 16x 16y 16 + 4.16x + 16 + 4.16y + = =1 16x + 4 16y + 4 16 + 4.16x + 4.16y + 16 æ 1 ö÷ æ 2016 ö÷ æ 2 ö÷ æ 2015 ÷ö æ 1008 ö÷ æ 1009 ö÷ æ 2017 ö÷ ÷÷ + f çç ÷÷ + f çç ÷÷ + f çç ÷÷ + ... + f çç ÷÷ + f çç ÷÷ + f çç ÷ S = f çç çè 2017 ÷ø çè 2017 ÷ø çè 2017 ÷ø çè 2017 ÷ø çè 2017 ÷ø çè 2017 ÷ø çè 2017 ÷÷ø Ta có f (x ) + f (y ) = = 1 + 1 + ... + 1 + 1008 so hang Câu 8. 16 4 5044 . = 1008 + = 16 + 4 5 5 Cho 2 số dương a và b thỏa mãn log2 (a + 1) + log2 (b + 1) ³ 6 . Giá trị nhỏ nhất của S = a + b là A. min S = 12 . Chọn B. min S = 14 . C. min S = 8 . Lời giải D. min S = 16 . B. Ta có log2 (a + 1) + log2 (b + 1) ³ 6 Û log2 (a + 1)(b + 1) ³ 6 Û (a + 1)(b + 1) ³ 64 Trang 4 æa + b + 2 ö÷ 2 ÷÷ Û (a + b ) + 4 (a + b ) - 252 ³ 0 Mà 64 £ (a + 1)(b + 1) £ çç ÷ø çè 2 2 éa + b ³ 14 . Û êê êëa + b £ -18 (L ) Nên min S = 14 . Câu 9. 4x Cho hàm số f (x ) = x . Tính tổng 4 +2 æ 1 ö÷ æ 2 ö÷ æ 3 ö÷ æ 2017 ö÷ ÷÷ + f çç ÷÷ + f çç ÷÷ + ... + f çç ÷. S = f çç çè 2018 ÷ø çè 2018 ÷ø çè 2018 ÷ø çè 2018 ÷÷ø A. S = 2017 . 2 C. S = B. S = 2018. Lời giải 2019 . 2 D. S = 2017. Chọn A 41-x 4 2 Ta có: f (1 - x ) = 1-x = = Þ f (1) + f (1 - x ) = 1 x 4 + 2 4 + 2.4 2 + 4x æ 1 ö÷ æ 2017 ö÷ æ 2 ö÷ æ 2016 ö÷ æ 1008 ö÷ æ 1010 ö÷ ÷÷ + f çç ÷÷ = 1, f çç ÷÷ + f çç ÷÷ = 1,..., f çç ÷÷ + f çç ÷=1 Do đó: f çç çè 2018 ÷ø çè 2018 ÷ø çè 2018 ÷ø çè 2018 ÷ø çè 2018 ÷ø çè 2018 ÷÷ø Þ S = 1008 + 1009 2017 = . 2018 2 9x - 2 Câu 10. Cho hàm số f (x ) = x . Tính giá trị của biểu thức 9 +3 æ 1 ö÷ æ 2 ÷ö æ 2016 ö÷ æ 2017 ö÷ ÷÷ + f çç ÷÷ + ... + f çç ÷÷ + f çç ÷. P = f çç çè 2017 ÷ø çè 2017 ÷ø çè 2017 ÷ø çè 2017 ÷÷ø A. 336 . B. 1008 . C. Lời giải Chọn 4039 . 12 D. 8071 . 12 C. 9x - 2 91-x - 2 1 Xét: f (x ) + f (1 - x ) = x + 1-x = . 9 +3 9 +3 3 Vậy ta có: æ 1 ö÷ æ 2 ö÷ æ 2016 ö÷ æ 2017 ö÷ 1008 é æ k ö÷ æ æ 2017 ö÷ k ö÷ùú ÷÷ + f çç ÷÷ + ... + f çç ÷÷ + f çç ÷÷ = å ê f çç ÷÷ + f çç1 ÷÷ + f çç ÷ P = f ççç ê ç çè 2017 ø÷ çè 2017 ø÷ çè 2017 ø÷ çè çè 2017 ø÷÷ ÷ 2017 ø÷úûú è 2017 ø÷ 1 ëê è 2017 ø . 1008 ÛP =å 1 Câu 11. 1 7 4039 + f (1) = 336 + = . 3 12 12 Cho x , y là các số thực thỏa mãn log 4 (x + y ) + log 4 (x - y ) ³ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = 2x - y . Trang 5 A. Pmin = 4 . B. Pmin = -4 . C. Pmin = 2 3 . D. Pmin = Lời giải C. ìïx - y > 0 Điều kiện: ï í ïïx + y > 0 î Từ điều kiện ta có: 2x > 0 Û x > 0 10 3 . 3 Đáp án ( ) Ta có: log 4 (x + y ) + log 4 (x - y ) ³ 1 Û log 4 x 2 - y 2 ³ 1 Û x 2 - y 2 ³ 4 Vì x 2 - y 2 ³ 4 và x > 0 ta có: x ³ y 2 + 4 P = 2x - y = 2 y 2 + 4 - y Xét: f (y ) = 2 y 2 + 4 - y Þ f '(y ) = 2y y2 + 4 - 1 Þ f '(y ) = 0 Û y = 2 5 Bảng biến thiên x y' 2 -¥ +¥ 5 0 y 2 3 Từ bảng biến thiên ta có: Pmin = 2 3 Câu 12. Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho loga 2019 + 22 log a 2019 + 32 log 3 a 2019 + ... + n 2 logn a 2019 = 10082 ´ 20172 loga 2019 A. 2017 . B. 2019 . Chọn C. 2016 . Lời giải D. 2018 . C. loga 2019 + 22 log a 2019 + 32 log 3 a 2019 + ... + n 2 logn a 2019 = 10082 ´ 20172 loga 2019 (*) Ta có n 2 logn a 2019 = n 2 .n.loga 2019 = n 3 loga 2019 . Suy ra é n(n + 1) ù ú .log 2019 VT (*) = 1 + 2 + ... + n .loga 2019 = ê a ê ú 2 ë û ( 3 3 3 ) 2 VP (*) = 10082 ´ 20172 loga 2019 . Khi đó (*) được: n 2 (n + 1)2 = 22.10082.20172 = 20162.20172 Þ n = 2016 . 25x . 25x + 5 æ 1 ö÷ æ 2 ö÷ æ 3 ö÷ æ 4 ö÷ æ 2017 ö÷ ÷÷ + f çç ÷÷ + f çç ÷÷ + f çç ÷÷ + ... + f çç ÷ Tính tổng S = f çç çè 2017 ø÷ çè 2017 ÷ø çè 2017 ÷ø çè 2017 ÷ø çè 2017 ÷÷ø . Câu 13. Cho hàm số f (x ) = Trang 6 A. S = 6053 . 6 Chọn B. S = 12101 . 6 C. S = 1008. D. S = Lời giải 12107 . 6 C. Sử dụng máy tính cầm tay để tính tổng ta tính được kết quả: S = 1008. Câu 14. Cho f (x ) = 2016x . Tính giá trị biểu thức 2016x + 2016 æ 1 ö÷ æ 2 ö÷ æ 2016 ö÷ ÷÷ + f çç ÷÷ + ¼ + f çç ÷ S = f ççç çè 2017 ÷ø çè 2017 ÷÷ø è 2017 ÷ø A. S = 2016 B. S = 2017 C. S = 1008 2016 D. S = Lời giải Chọn C. 2016 Ta có: f (1 - x ) = ® f (x ) + f (1 - x ) = 1 2016 + 2016 æ 1 ö÷ æ 2 ö÷ æ 2016 ö÷ æ 1 ö÷ æ 2016 ö÷ æ 2 ÷ö ÷÷ + f çç ÷÷ + ¼ + f çç ÷÷ = f çç ÷÷ + f çç ÷÷ + f çç ÷ Suy ra S = f çç çè 2017 ø÷ çè 2017 ÷ø çè 2017 ÷ø çè 2017 ÷ø çè 2017 ø÷ çè 2017 ÷÷ø x æ 2015 ö÷ æ 1008 ö÷ æ 1009 ö÷ ÷÷ + ... + f çç ÷÷ + f çç ÷ + f ççç çè 2017 ø÷ çè 2017 ÷ø÷ = 1008 . è 2017 ø÷ ( ) Câu 15. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 20x 2 + 20x - 1283 e 40x trên tập hợp các số tự nhiên là B. -163.e 280 . A. -1283 . C. 157.e 320 . D. -8.e 300 . Lời giải Chọn B. ( ) ( ) y ¢ = (40x + 20)e 40x + 20x 2 + 20x - 1283 40e 40x = 800x 2 + 840x - 51300 e 40x 342 300 ;x = . 40 40 Bảng xét dấu đạo hàm y¢ = 0 Þ x = - x -¥ y¢ + y (7 ) = -163.e 280 ; y (8) = 157.e 320 . - 342 40 0 - 300 = 7, 5 40 0 + +¥ Vậy min y = -163.e 280 . Câu 16. Cho hàm số f (x ) = 9x . 9x + 3 Trang 7 æ 1 ö÷ æ 2 ö÷ æ 3 ö÷ ÷÷ + f çç ÷÷ + f çç ÷÷ + ... + f (1)? Tính tổng S = f çç çè 2007 ø÷ A. S = 2016 . çè 2007 ø÷ çè 2007 ø÷ C. S = B. S = 1008 . 4015 . 4 D. S = 4035 . 4 Lời giải Chọn C. 9 9 9 9x f (1 - x ) = 1-x = = = . x 9 9 +3 9 + 3.9 9 + 3.9x +3 9x 9x 1-x Þ f (x ) + f (1 - x ) = Þ 9 9x 9x 9 9x .(9 + 3.9x ) + 9.(9x + 3) 9x +1 + 3.92x + 9x +1 + 27 + = = x +1 = 1. 9x + 3 9 + 3.9x (9x + 3)(9 + 3.9x ) 9 + 3.92x + 9x +1 + 27 æ 1 ö÷ æ 2006 ö÷ æ 2 ö÷ æ 2005 ö÷ æ 1003 ö÷ æ 1004 ö÷ ÷÷ + f çç ÷÷ = 1; f çç ÷÷ + f çç ÷÷ = 1;....; f çç ÷÷ + f çç ÷ = 1. f çç çè 2007 ÷ø çè 2007 ÷ø çè 2007 ÷ø çè 2007 ø÷ çè 2007 ÷ø çè 2007 ÷÷ø Vậy æ 1 ö÷ æ 2 ö÷ æ 3 ö÷ 9 3 4015 ÷÷ + f çç ÷÷ + f çç ÷÷ + ... + f (1) = 1 + 1 + ... + 1 + S = f ççç = 1003 + = . ç ç 9+3 4 4 è 2007 ø÷ è 2007 ø÷ è 2007 ø÷ Câu 17. Cho x , y là các số dương thỏa mãn xy £ 4y - 1 . Giá trị nhỏ nhất của P= 6 (2x + y ) A. 45 . x + ln x + 2y là a + ln b . Giá trị của tích ab là y B. 81 . C. 108 . Lời giải: D. 115 . Chọn B - Ta có: 2 ì æ1 ö÷ æ1 ö÷ ï x 1 4 1 x chia 2 ve ïx , y > 0 ç ç ÷ ÷ ¾¾¾¾ ® < + = 2.2. + 4 + 4 = 2 + 4 £ 4 Þ £ 4. ç ç í 2 ÷ ÷ 2 2 cho y ÷ ÷ ï ç ç xy £ 4 y 1 y y y y y y y è ø è ø ï î - Đặt t = x Þ 0 < t £ 4 ¾¾® D = (0; 4ùúû y - Biến đổi biểu thức P về dạng: æ 1ö 6 1 t 2 - 6t - 12 P = 6 ççç2 + ÷÷÷ + ln (t + 2) Þ P ' (t ) = - 2 + = 2 =0Û t ø÷ t +2 t t (t + 2) è éx = 3 - 21 Ï D ê ê êx = 3 + 21 Ï D ë Lập bảng biến thiên, từ đó ta thấy rằng, trong khoảng (0; 4ùú thì hàm P(t) nghịch biến û Trang 8 ì ï ïa = 27 27 nên min P (t ) = P (4) = + ln 6 Þ ï í 2 Þ a.b = 81 ¾¾® Đáp án ï 2 ï b=6 ï ï î Câu 18. Cho f (x ) = 2016x 2016x + 2016 A. S = 2016 . Chọn B. æ 1 ö÷ æ 2 ö÷ æ 2016 ö÷ ÷÷ + f çç ÷÷ + ... + f çç ÷÷ . Tính giá trị biểu thức S = f çç çè 2017 ø÷ B. S = 2017 . Lời giải çè 2017 ø÷ çè 2017 ø÷ D. S = 2016 . C. S = 1008 . C. Ta có f (x ) = 1 1 + 2016 1 -x 2 . Với a + b = 1 Þ f (a ) + f (b ) = 1. æ 1 ö÷ æ 2 ö÷ æ 2016 ö÷ ÷÷ + f çç ÷÷ + ... + f çç ÷÷ = 1.1008 = 1008. Do đó, S = f çç çè 2017 ø÷ Vậy S = 1008 . çè 2017 ø÷ çè 2017 ø÷ Câu 19. Xét các số thực a, b thỏa mãn a > b > 1 . Tìm giá trị lớn nhất PMax của biểu thức P= æ b ö÷ 7 -1 ç ÷+ . + log a ç çèa ø÷÷ 4 logb2 a A. PMax = 2 . B. PMax = 1 . C. PMax = 0 . D. PMax = 3 . Lời giải Chọn B. æ b ö÷ 7 æ ö -1 çç ÷ + = - log2 b + log b + 3 = - ççlog b - 1 ÷÷ + 1 £ 1 P= + log a ç ÷ a a çè a 4 2 ÷ø÷ logb2 a èa ø÷ 4 2 Þ PMax = 1 . Trang 9