Tài liệu Một vài ứng dụng của các

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - - - o0o - - - - - - - NGUYỄN ĐỨC ÁNH MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CÁC TẬP MỜ TRỰC GIÁC g -ĐÓNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC VINH-2007 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - - - o0o - - - - - - - NGUYỄN ĐỨC ÁNH MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CÁC TẬP MỜ TRỰC GIÁC g -ĐÓNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 Cán bộ hướng dẫn khoa học PGS. TS. TRẦN VĂN ÂN VINH-2007 MỤC LỤC Mục lục 1 Lời nói đầu 2 Chương 1. Tập mờ trực giác và không gian tôpô mờ trực giác 4 1.1. Tập mờ trực giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Không gian tôpô mờ trực giác . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2. Một vài ứng dụng của các IFS g-đóng trong không gian tôpô mờ trực giác 13 2.1. Các không gian tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Không gian IFg-Chính qui . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Không gian IFg-chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4. Một vài định lí bảo tồn . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 1 LỜI NÓI ĐẦU Năm 1965 L. A. Zadeh đưa ra khái niệm tập mờ (fuzzy set), đến năm 1968 C. L. Chang đã xây dựng khái niệm không gian tôpô mờ. Sau đó đã có rất nhiều học giả nghiên cứu và mở rộng các khái niệm này. Năm 1983 khái niệm tập mờ trực giác (intuitionistic fuzzy set) được K. Atanassov công bố như là một sự mở rộng của khái niệm tập mờ. Từ đó nhiều khái niệm toán học mờ khác nhau đã được định nghĩa và nghiên cứu dựa trên tập mờ trực giác. Vào năm 1997 D. Coker [2] giới thiệu khái niệm không gian tôpô mờ trực giác. Việc nghiên cứu các tính chất tôpô của loại không gian này được các nhà toán học trên thế giới quan tâm nhiều trong những năm gần đây. Nhiều kết quả đạt được là một sự tổng quát các kết quả của tôpô đại cương. Năm 1970, khái niệm tập đóng suy rộng trong không gian tôpô (generalized closed sets in topology) được N. Levine giới thiệu nhằm mở rộng khái niệm tập đóng trong tôpô . Trong bài báo Some applications of generalized closed sets in fuzzy topological spaces, M. E. El-Shafei [3] đã ứng dụng khái niêm tập đóng suy rộng trong trường hợp không gian tôpô mờ để xây dựng nên khái niệm không gian F T 1 - một sự mở rộng 2 tương tự và khái quát cho không gian T 1 được đề xuất bởi W. Dunham. 2 Trong bài báo này tác giả cũng đã xây dựng có hệ thống các không gian tách F T1 , F T2 , F T3 , . . . và các mối quan hệ giữa chúng. Với suy nghĩ mở rộng các kết quả của M. E. El-Shafei trong trường hợp không gian tôpô mờ trực giác, chúng tôi đã chọn đề tài này. Mục đích của luận văn này là hệ thống lại các khái niệm tập mờ trực giác, không gian tôpô mờ trực giác và các tính chất của chúng; nghiên cứu các ứng dụng của tập mờ trực giác đóng suy rộng trong việc xây dựng các không gian tôpô mờ trực giác "tách" và các liên hệ giữa chúng. 2 3 Với mục đích trên luận văn được chia làm hai chương Chương 1. Tập mờ trực giác và không gian tôpô mờ trực giác. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm về các tập tập mờ trực giác, không gian tô pô mờ trực giác và các tính chất cơ bản của chúng đã được giới thiệu trong [2]. Chương 2. Một vài ứng dụng của các tập IFS g-đóng trong không gian tô pô mờ trực giác. Trong chương này đầu tiên chúng tôi định nghĩa khái niệm hai tập mờ trực giác tựa trùng. Đây là khái niệm cơ bản để xây dựng nên các khái niệm các không gian tôpô mờ trực giác "tách" IF T1 , IF T2 , IF T3 , IF T4 . Chúng tôi cũng đưa ra các khái niệm tập mờ trực giác đóng suy rộng, mở suy rộng. Từ đó xây dựng các không gian tôpô mờ trực giác IF T 1 , không gian IF G-chính qui, IF G-chuẩn 2 tắc. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS. TS. Trần Văn Ân. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại học, các thầy giáo, cô giáo trong khoa đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình công tác và học tập tại trường. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích khoa Toán, trường Đại học Vinh đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tác giả xin cảm ơn các bạn học viên Cao học khoá 13, đặc biệt là Cao học 13 Giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt thời gian học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn ngày được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả CHƯƠNG 1 TẬP MỜ TRỰC GIÁC VÀ KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC 1.1. TẬP MỜ TRỰC GIÁC Lí thuyết tập mờ (fuzzy set) là một sự mở rộng của lí thuyết tập hợp cổ điển. Theo lí thuyết tập hợp của Cantor mối quan hệ thành viên của các phần tử trong một tập hợp được đánh giá theo một điều kiện rõ ràng-một phần tử hoặc thuộc hoặc không thuộc tập hợp. Mối quan hệ này được mô tả bởi một hàm đặc trưng χA χA (x) = nếu x ∈ A nếu x ∈ A. / 1 0 Ngược lại, lí thuyết tập mờ cho phép đánh giá từ từ về quan hệ thành viên giữa một phần tử và một tập hợp. Quan hệ này được đặc trưng bởi một hàm liên thuộc (membership function) µ nhận giá trị trong đoạn [0; 1]. Một tập mờ A trên một tập cổ điển X được đồng nhất với một hàm liên thuộc µA : X → [0; 1], x → µA (x). Từ lí thuyết tập mờ K. Atanassov đã phát triển lên lí thuyết tập mờ trực giác. Trong lí thuyết tập mờ trực giác, mối quan hệ thành viên giữa một phần tử và một tập hợp được đặc trưng bởi hai hàm số nhận giá trị trong đoạn [0; 1] - hàm liên thuộc µ lượng giá mức độ sự có mặt của phần tử trong tập hợp và hàm không liên thuộc (nonmembership function) γ lượng giá mức độ sự không có mặt của phần tử trong tập hợp. 1.1.1 Định nghĩa ([2]). Cho X là tập cố định khác rỗng. Một tập mờ trực giác A (viết tắt là IFS A) là tập hình thức: A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X}, 4 (1.1) 5 trong đó các hàm µA : X −→ I = [0, 1] và γA : X −→ I = [0, 1] lần lượt là các hàm chỉ mức độ sự có mặt và mức độ sự không có mặt của phần tử x ∈ X trong tập A và 0 ≤ µA (x) + γA (x) ≤ 1. 1.1.2 Nhận xét ([2]). Một tập mờ trực giác A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X} trong X có thể đồng nhất với một cặp sắp thứ tự (µA , γA ) trong I X × I X hay một phần tử trong (I × I)X . Để đơn giản, chúng tôi dùng kí hiệu A = x, µA , γA thay cho IFS A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X}. 1.1.3 Ví dụ ([2]). Mỗi tập mờ µA trong tập X khác rỗng rõ ràng là một IFS có dạng A = { x, µA (x), 1 − µA (x) : x ∈ X}. Sau đây là một số định nghĩa các quan hệ và các phép toán giữa các IFS: 1.1.4 Định nghĩa ([2]). Cho X là tập khác rỗng và A, B là các IFS có dạng A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X}, B = { x, µB (x), γB (x) : x ∈ X}. Khi đó: a) A ⊆ B khi và chỉ khi µA (x) ≤ µB (x) và γA (x) ≥ γB (x), ∀x ∈ X. b) A = B khi và chỉ khi A ⊆ B và B ⊆ A. c) Ac = { x, γA (x), µA (x) : x ∈ X}. d) A ∩ B = { x, µA (x) ∧ µB (x), γA (x) ∨ γB (x) : x ∈ X}. e) A ∪ B = { x, µA (x) ∨ µB (x), γA (x) ∧ γB (x) : x ∈ X}. f) 0∼ = { x, 0, 1 : x ∈ X} ; 1∼ = { x, 1, 0 : x ∈ X}. g) [ ]A = { x, µA (x), 1 − µA (x) : x ∈ X}. h) A = { x, 1 − γA (x), γA (x) : x ∈ X}. Chú ý là các phép toán ∧ và ∨ được hiểu như sau: µA (x)∧µB (x) = min{µA (x), µB (x)} , γA (x)∨γB (x) = max{γA (x), γB (x)}, Ac gọi là phần bù của A. 6 Chúng ta có thể mở rộng các phép toán giao và hợp trong Định nghĩa 1.1.4 một họ tuỳ ý các IFS như sau: 1.1.5 Định nghĩa ([2]). Cho {Ai : i ∈ J} là một họ tuỳ ý các IFS trong X. Khi đó: Ai = { x, a) i∈J Ai = { x, b) i∈J γAi (x) : x ∈ X}; µAi (x), i∈J i∈J γAi (x) : x ∈ X}, µAi (x), i∈J i∈J µAi (x) = inf{µAi (x) : i ∈ J} trong đó i∈J µAi (x) = sup{µAi (x) : i ∈ J}. và i∈J Dưới đây là một số tính chất cơ bản của các bao hàm thức và phần bù: 1.1.6 Hệ quả ([2]). Cho A, B, C là các IFS trong X. Khi đó: a) Nếu A ⊆ B và C ⊆ D thì A ∪ C ⊆ B ∪ D và A ∩ C ⊆ B ∩ D; b) Nếu A ⊆ B và A ⊆ C thì A ⊆ B ∩ C; c) Nếu A ⊆ C và B ⊆ C thì A ∪ B ⊆ C; d) Nếu A ⊆ B và B ⊆ C thì A ⊆ C; e) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c , (A ∩ B)c = Ac ∪ B c ; f) Nếu A ⊆ B thì B c ⊆ Ac ; g) (Ac )c = A; h) 1c = 0∼ ∼ , 0c = 1∼ . ∼ 1.1.7 Định nghĩa ([4]). Giả sử X là một tập khác rỗng và c ∈ X là một phần tử cố định trong X. Nếu α, β ∈ [0, 1] là hai số thực cố định sao cho α + β ≤ 1, thì IFS c(α, β) = x, cα , 1 − c1−β (1.2) được gọi là một điểm mờ trực giác (IFP) trong X, trong đó cα và c1−β là các điểm mờ trong X, xác định bởi: 7 α nếu x = c 1 − β nếu x = c ; c1−β (x) = 0 nếu x = c 0 nếu x = c. c được gọi là giá của c(α,β) , α, β lần lượt được gọi là giá trị và phi giá cα (x) = trị của c(α,β) . 1.1.8 Định nghĩa ([4]). Một điểm mờ cα được gọi là thuộc vào một tập mờ µ và kí hiệu cα ∈ µ, nếu α ≤ µ(c). 1.1.9 Định nghĩa ([4]). Một IFP c(α,β) được gọi là thuộc vào một IFS A = x, µA , γA của X và kí hiệu c(α,β) ∈ A, nếu α ≤ µA (c) và β ≥ γA (c). 1.1.10 Định lý ([4]). Giả sử A = x, µA , γA là một IFS của X. Khi đó c(α,β) ∈ A khi và chỉ khi cα ∈ µA và c1−β ∈ 1 − γA . 1.1.11 Định lý ([4]). Giả sử A = x, µA , γA và B = x, µB , γB là các IFS của X. Khi đó A ⊆ B khi và chỉ khi c(α,β) ∈ A kéo theo c(α,β) ∈ B với mọi IFP c(α,β) của X. 1.1.12 Định lý ([4]). Giả sử A = x, µA , γA là một IFS của X. Khi đó A= {c(α,β) c(α,β) ∈ A}. (1.3) 1.1.13 Định nghĩa ([2]). Cho X và Y là hai tập khác rỗng và f : X → Y là một ánh xạ. A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X} là một IFS trong X và B = { y, µB (y), γB (y) : y ∈ Y } là một IFS trong Y . a) Tạo ảnh f −1 (B) của B dưới ánh xạ f là một IFS trong X được xác định bởi: f −1 (B) = { x, µf −1 (B) (x), γf −1 (B) (x) : x ∈ X}, (1.4) trong đó µf −1 (B) (x) = µB (f (x)) và γf −1 (B) (x) = γB (f (x)). b) Ảnh f (A) của A qua ánh xạ f là một IFS trong Y được xác định bởi f (A) = { y, µf (A) (y), γf (A) (y) : y ∈ Y }, (1.5) trong đó: µf (A) (y) = sup µA (x), nếu f −1 (y) = ∅ x∈f −1 (y) 0, nếu ngược lại, (1.6) 8 inf γf (A) (y) = x∈f −1 (y) γA (x), nếu f −1 (y) = ∅ 1, (1.7) nếu ngược lại. 1.1.14 Định lý ([2]). Giả sử A và Ai (i ∈ J) là các IFS trong X, B và Bi (i ∈ J) là các IFS trong Y , f : X → Y là một ánh xạ. Khi đó: a) Nếu A1 ⊆ A2 thì f (A1 ) ⊆ f (A2 ), b) Nếu B1 ⊆ B2 thì f −1 (B1 ) ⊆ f −1 (B2 ), c) A ⊆ f −1 (f (A)), (nếu f đơn ánh thì A = f −1 (f (A))), d) f (f −1 (B) ⊆ B, (nếu f là ánh xạ lên thì f (f −1 (B)) = B), e) f −1 ( Bi ) = f −1 (Bi ), f) f ( Ai ) = f (Ai ), f −1 (Bi ), f (Ai ), g) f ( Ai ) ⊆ f −1 ( Bi ) = (nếu f là đơn ánh thì f ( Ai ) = h) f −1 (1∼ ) = 1∼ , f −1 (0∼ ) = 0∼ , i) f (0∼ ) = 0∼ , j) Nếu f là ánh xạ lên thì f (1∼ ) = 1∼ , k) f −1 (B)c = f −1 (B c ), l) Nếu f là ánh xạ lên thì f (A)c ⊆ f (Ac ), m) Nếu f là đơn ánh thì f (Ac ) ⊆ f (A)c . f (Ai )), 9 1.2. KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC 1.2.1 Định nghĩa ([2]). Một tôpô mờ trực giác (viết tắt là IFT) trên tập X khác rỗng là một họ τ gồm các IFS trong X thoả mãn 3 tiên đề sau (T1): 0∼ , 1∼ ∈ τ ; (T2): G1 ∩ G2 ∈ τ, ∀ G1 , G2 ∈ τ ; (T3): Gi ∈ τ với họ tuỳ ý {Gi : i ∈ J} ⊆ τ . Khi đó cặp (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô mờ trực giác (viết tắt là IFTS) và mỗi IFS trong τ được gọi là một tập mở mờ trực giác trong X (viết tắt là IFOS). Sau đây chúng tôi trình bày một số ví dụ về không gian tôpô mờ trực giác. Để cho thuận tiện, một IFS A = x, µA , γA trong tập cố định X = {x1 , x2 , . . . , xn }, với µA (xi ) = ai , γA (xi ) = bi , i = 1, ..., n được chúng tôi kí hiệu: A = x, xn x1 x2 xn x1 x2 , ,..., , , ,..., a1 a2 an b1 b2 bn . 1.2.2 Ví dụ ([2]). Cho tập X = {a, b, c} và A = x, a b c a b c , , , , , 0, 5 0, 5 0, 4 0, 2 0, 4 0, 4 , a b c a b c , , , , , 0, 4 0, 6 0, 2 0, 5 0, 3 0, 3 a b c a b c C = x, , , , , , 0, 5 0, 6 0, 4 0, 2 0, 3 0, 3 a b c a b c D = x, , , , , , 0, 4 0, 5 0, 2 0, 5 0, 4 0, 4 B = x, , , . Khi đó họ τ = {0∼ , 1∼ , A, B, C, D} là một IFT trên X. 1.2.3 Ví dụ ([2]). Cho tập X = {1, 2} và các IFS Gn (n ∈ N+ ) như sau: Gn = x, 1 n n+1 , 2 n+1 n+2 Khi đó họ τ = {0∼ , 1∼ } ∪ {Gn : n ∈ , 1 , 2 1 1 n+2 n+3 N+ } là một . IFT trên X. 10 1.2.4 Mệnh đề ([2]). Cho (X, τ ) là một IFTS. Khi đó chúng ta có thể xây dựng nhiều IFT trên X theo cách sau: a) τ0,1 = {[ ]G : G ∈ τ }; b) τ0,2 = { G : G ∈ τ }. 1.2.5 Định nghĩa ([2]). Giả sử (X, τ1 ), (X, τ2 ) là hai IFTS trên X. Khi đó ta nói τ1 bị chứa trong τ2 (kí hiệu τ1 ⊆ τ2 ) nếu với mỗi G ∈ τ1 thì G ∈ τ2 . Trong trường hợp này chúng ta cũng nói τ1 yếu hơn τ2 . 1.2.6 Mệnh đề ([2]). Cho {τi : i ∈ J} là một họ các IFT trên X. Khi đó τi là một IFT trên X. Hơn nữa, τi là IFT yếu nhất chứa trong các τi . 1.2.7 Định nghĩa ([2]). Phần bù Ac của một IFOS A trong một IFTS (X, τ ) được gọi là tập đóng mờ trực giác trong X (viết tắt là IFCS). 1.2.8 Định nghĩa ([2]). Giả sử (X, τ ) là một IFTS và A = x, µA , γA là một IFS trong X. Khi đó bao đóng mờ và phần trong mờ của A được xác định bởi: cl(A) = {K : K là IFCS trong Xvà A ⊆ K}, int(A) = {G : G là IFOS trong Xvà G ⊆ A}. 1.2.9 Nhận xét ([2]). Có thể chỉ ra rằng cl(A) là một IFCS và int(A) là một IFOS trong X, và a) A là một IFCS trong X khi và chỉ khi cl(A) = A; b) A là một IFOS trong X khi và chỉ khi int(A) = A. 1.2.10 Ví dụ ([2]). Xét IFTS (X, τ ) trong Ví dụ 1.2.2. Nếu F = x, thì int(F ) = x, a b c a b c , , , , , 0, 55 0, 55 0, 45 0, 3 0, 4 0, 3 b c a b c a , , , , , 0, 4 0, 5 0, 2 0, 5 0, 4 0, 4 , và cl(F ) = 1∼ . 11 1.2.11 Mệnh đề ([2]). Với mỗi IFS A trong IFTS (X, τ ) ta có: i) cl(Ac ) = (int(A))c ; ii) int(Ac ) = (cl(A))c . 1.2.12 Định lý ([2]). Cho (X, τ ) là một IFTS và A, B là các IFS trong X. Khi đó ta có các tính chất sau: a) int(A) ⊆ A; b) A ⊆ cl(A); c) A ⊆ B ⇒ int(A) ⊆ int(B); d) A ⊆ B ⇒ cl(A) ⊆ cl(B); e) int(int(A)) = int(A); f) cl(cl(A)) = cl(A); g) int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B); h) cl(A ∪ B) = cl(A) ∪ cl(B); i) int(1∼ ) = 1∼ ; j) cl(0∼ ) = 0∼ . 1.2.13 Định nghĩa ([2]). Giả sử f : (X, τ ) → (Y, ∆) là một ánh xạ từ IFTS (X, τ ) vào IFTS (Y, ∆). Khi đó: 1) f được gọi là liên tục (hay IF -liên tục) nếu f −1 (B) là một IFOS của X với mọi IFOS B của Y hay nói tương đương, f −1 (B) là một IFCS của X với mọi IFCS B của Y . 2) f được gọi là mở (hay IF -mở) nếu f (A) là một IFOS của Y với mỗi IFOS A của X. 3) f được gọi là đóng (hay IF -đóng) nếu f (A) là một IFCS của Y với mỗi IFCS A của X. 4) f được gọi là đồng phôi nếu f là song ánh, liên tục và mở. 12 1.2.14 Định lý ([2]). Giả sử f : (X, τ ) → (Y, ∆) là một ánh xạ từ IFTS (X, τ ) vào IFTS (Y, ∆). Khi đó các khẳng định sau là tương đương: 1) f là ánh xạ liên tục. 2) f (cl(A)) ⊆ cl(f (A)) với mỗi IFS A của X. 3) cl(f −1 (B)) ⊆ f −1 (cl(B)) với mỗi IFS B của Y . 4) f −1 (int(B)) ⊆ int(f −1 (B)) với mỗi IFS B của Y . CHƯƠNG 2 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CÁC IFS G-ĐÓNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC 2.1. CÁC KHÔNG GIAN TÁCH Trong bài báo [3] M. E. El-Shafei có nêu lên khái niệm hai tập mờ tựa trùng. Đây một khái niệm để nói lên sự "giao nhau của hai tập mờ". Xét hai tập mờ µ và λ trên tập cố định X. Tập mờ µ được gọi là tựa trùng (quasi-coincident) với λ, kí hiệu µ q λ, nếu tồn tại x ∈ X sao cho µ(x) + λ(x) > 1, trong trường hợp ngược lại, ta viết µ q λ. Khái niệm này phù hợp với khái niệm về sự giao nhau của hai tập hợp cố định. Với A và B là hai tập con của tập hợp cố định X thì A ∩ B = ∅ khi và chỉ khi χA q χB , ngược lại A ∩ B = ∅ khi và chỉ khi χA q χB . Với mọi tập mờ µ ta luôn có µ q(1 − µ). Sau đây chúng tôi định nghĩa khái niệm hai tập mờ trực giác tựa trùng. 2.1.1 Định nghĩa. Giả sử A = x, µA , γA và B = x, µB , γB là các IFS trên X. Khi đó A được gọi là tựa trùng với B và kí hiệu A q B, nếu tồn tại x ∈ X sao cho: µA (x)+(1−γB (x)) > 1 hoặc µB (x)+(1−γA (x)) > 1. Trong trường hợp ngược lại ta viết A q B. 2.1.2 Nhận xét. Giả sử A = x, µA , γA , B = x, µB , γB là hai IFS trên X và µ, ν là hai tập mờ trên X. Khi đó: 1) A q B khi và chỉ khi tồn tại x ∈ X sao cho µA (x) > γB (x) hoặc µB (x) > γA (x). 2) A q B khi và chỉ khi với mọi x ∈ X, µA (x) ≤ γB (x) và µB (x) ≤ γA (x). 13 14 3) A q B khi và chỉ khi B q A. 4) A q Ac . 5) µ q ν khi và chỉ khi x, µ, 1 − µ q x, ν, 1 − ν . Sau đây chúng tôi chứng minh một số bổ đề thường xuyên sử dụng sau này. 2.1.3 Bổ đề. Giả sử A, B, C là các IFS trên X. Khi đó: i) Nếu A q B và C ⊆ B thì A q C; ii) A q B khi và chỉ khi A ⊆ B c ; iii) c(α,β) ∈ A khi và chỉ khi c(α,β) q Ac . Chứng minh. i) Vì A q B nên với mọi x ∈ X thì µA (x) ≤ γB (x) và µB (x) ≤ γA (x). Vì C ⊆ B nên µC (x) ≤ µB (x) và γC (x) ≥ γB (x). Suy ra µA (x) ≤ γC (x) và µC (x) ≤ γA (x). Do đó A q C. ii) Ta có A q B khi và chỉ khi với mọi x ∈ X thì µA (x) ≤ γB (x) và µB (x) ≤ γA (x). Điều này tương đương với A ⊆ B c = x, γB (x), µB (x) . iii) Rõ ràng iii) là một trường hợp của ii) 2.1.4 Bổ đề. Giả sử (X, τ ) là một IFTS, c(α,β) là một IFP của X và A = x, µA , γA là một IFS trên X. Khi đó: i) c(α,β) q cl(A) khi và chỉ khi U q A với mỗi IFOS U chứa c(α,β) ; ii) Nếu A q U , thì cl(A) q U với mỗi U ∈ τ . Chứng minh. i) Điều kiện cần. Giả sử c(α,β) q cl(A) và IFOS U chứa c(α,β) . Ta cần chứng minh U q A. Giả sử ngược lại U q A. Theo bổ đề 2.1.3 suy ra A ⊆ U c = x, γU , µU là IFCS. Điều này kéo theo cl(A) ⊆ U c hay cl(A) q U . Mà c(α,β) ∈ U suy ra c(α,β) q cl(A). Điều này mâu thuẫn với c(α,β) q cl(A). Vậy U q A. Điều kiện đủ. Giả sử với mọi IFOS U chứa c(α,β) thì U q A. Ta cần chứng minh c(α,β) q cl(A). Giả sử ngược lại c(α,β) q cl(A). Khi đó c(α,β) ⊆ cl(A)c . Đặt U = (cl(A))c = x, γcl(A) , µcl(A) , ta có c(α,β) ∈ U và U là 15 IFOS. Theo giả thiết điều kiện đủ thì U q A. Suy ra tồn tại x ∈ X sao cho γcl(A) (x) > γA (x) hoặc µcl(A) (x) < µA (x). Điều này mâu thuẫn với A ⊆ cl(A). Vậy c(α,β) q cl(A). ii) Giả sử U ∈ τ và A q U . Ta cần chứng minh cl(A) q U . Thật vậy, vì A q U nên A ⊆ U c là IFCS. Suy ra cl(A) ⊆ U c . Do đó cl(A) q U . 2.1.5 Định nghĩa. IFS A = x, µA , γA được gọi là mở chính qui nếu A = int(cl(A)). IFS A = x, µA , γA được gọi là đóng chính qui nếu A = cl(int(A)). Tập tất cả các IFS mở chính qui của IFTS X kí hiệu là RO(X). Tập tất cả các IFS đóng chính qui của IFTS X kí hiệu là RC(X). 2.1.6 Bổ đề. Giả sử (X, τ ) là một IFTS, U là một IFS của X. Khi đó: 1) G = int(cl(U )) là IFS mở chính qui; 2) H = cl(int(U )) là IFS đóng chính qui. Chứng minh. i) Nhờ Định lí 1.2.12 ta có G = int(cl(U )) ⊆ cl(U ) là IFCS. Suy ra cl(G) ⊆ cl(U ). Điều này kéo theo int(cl(G)) ⊆ int(cl(U )) hay int(cl(G)) ⊆ G. (1) Mặt khác, G ⊆ cl(G). Suy ra int(G) ⊆ int(cl(G)). Điều này kéo theo G ⊆ int(cl(G)). (2) Từ (1) và (2) suy ra G = int(cl(G)). Vậy G là IFS mở chính qui. ii) Ta có int(U ) ⊆ cl(int(U )) = H. Suy ra int(U ) ⊆ int(H). Điều này kéo theo cl(int(U )) ⊆ cl(int(H)) hay H ⊆ cl(int(H)). (3) Mặt khác, int(H) ⊆ H. Suy ra cl(int(H)) ⊆ cl(H). Điều này kéo theo cl(int(H)) ⊆ H. (4) Từ (3) và (4) suy ra H = cl(int(H)). Vậy H là IFS đóng chính qui. 2.1.7 Định nghĩa. Giả sử A = x, µA , γA là một IFS trong IFTS (X, τ ). Khi đó: 1) A được gọi là đóng mở rộng (hay g-đóng) nếu cl(A) ⊆ U với U là IFOS và A ⊆ U ; 2) A được gọi là mở mở rộng (hay g-mở) nếu Ac là g-đóng. 16 2.1.8 Nhận xét. Trong không gian X với tôpô thông thường thì hoặc tập {x} là tập đóng hoặc X \ {x} là tập g-đóng, với mọi x ∈ X. Tuy nhiên điều này không đúng trong không gian tôpô mờ trực giác. Ví dụ sau sẽ chỉ ra rằng tồn tại những điểm mờ trực giác không là IFCS và phần bù của nó cũng không là IFS g-đóng trong một không gian tôpô mờ trực giác. Ví dụ. Giả sử X = {a; b} và τ = {0∼ ; 1∼ ; A; B; C}, trong đó A= x, a b a b , , , 1 0, 5 0 0, 5 , B= x, a b a b , , , 0, 5 1 0, 5 0 , C= x, b a b a , , , 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 . Khi đó (X, τ ) là một IFTS và tập tất cả các IFCS của (X, τ ) là {0∼ ; 1∼ ; Ac ; B c ; C c = C}. a b a b , , , . Khi đó b(0,6;0,4) không 0 0, 6 1 0, 4 a b a b là IFCS. Đặt F = (b(0,6;0,4) )c = x, , , , thì F ⊆ A, 1 0, 4 0 0, 6 tuy nhiên cl(F ) = 1∼ A. Do đó F không là IFS g-đóng. Xét IFP b(0,6;0,4) = x, 2.1.9 Định nghĩa. IFTS (X, τ ) được gọi là IF T 1 -không gian nếu với 2 mỗi IFS g-đóng trong X là một IFCS. 2.1.10 Định nghĩa. Giả sử (X, τ ) là một IFTS. Khi đó: 1) X được gọi là IF T1 -không gian nếu với mỗi IFP x(α,β) của Xthì x(α,β) là IFCS; 2) X được gọi là IF T2 -không gian nếu với các IFP x(α,β) , y(r,s) mà x(α,β) q y(r,s) thì tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U, y(r,s) ∈ V và U q V ; 3) X được gọi là IF T2 1 -không gian nếu với IFP x(α,β) , y(r,s) mà 2 x(α,β) q y(r,s) thì tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U, y(r,s) ∈ V và cl(U ) q cl(V ); 17 4) X được gọi là IF R2 -không gian (hay IF -chính qui) nếu với IFP x(α,β) và IFCS F mà x(α,β) q F thì tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U , F ⊆ V và U q V ; 5) X được gọi là IF R3 -không gian (hay IF -chuẩn tắc) nếu với các IFCS F1 và F2 mà F1 q F2 thì tồn tại các IFOS U và V sao cho F1 ⊆ U , F2 ⊆ V và U q V ; 6) X được gọi là IF T3 -không gian nếu X là IF R2 -không gian và IF T1 không gian; 7) X được gọi là IF T4 -không gian nếu X là IF R3 -không gian và IF T1 không gian. 2.1.11 Định lý. Nếu (X, τ ) là IF T1 -không gian thì (X, τ ) là IF T 1 2 không gian. Chứng minh. Giả sử (X, τ ) là IF T1 -không gian và A là một IFS gđóng bất kì của X. Xét một IFP bất kì x(α,β) ∈ Ac suy ra A ⊆ (x(α,β) )c . Vì X là IF T1 nên x(α,β) là IFCS, suy ra (x(α,β) )c là IFOS. Mà A là IFS g-đóng nên cl(A) ⊆ (x(α,β) )c . Suy ra x(α,β) ∈ cl(A)c . Từ đó ta có Ac ⊆ cl(A)c . Điều này kéo theo A = cl(A) hay A là IFCS. Như vậy với A là IFS g-đóng bất kì của X thì A là IFCS. Do đó (X, τ ) là IF T 1 -không gian. 2 2.1.12 Định lý. IFTS (X, τ ) là IF T1 -không gian khi và chỉ khi với hai IFP bất kì x(α,β) và y(r,s) của X mà x(α,β) q y(r,s) thì tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U , y(r,s) ∈ V và x(α,β) q V , y(r,s) q U . Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử X là IF T1 -không gian, x(α,β) và y(r,s) là hai IFP bất kì của X thoả mãn x(α,β) q y(r,s) . Vì X là IF T1 nên x(α,β) = cl(x(α,β) ), y(r,s) = cl(y(r,s) ). Đặt U = cl(y(r,s) )c , V = cl(x(α,β) )c thì U và V là các IFOS. Từ x(α,β) q y(r,s) suy ra x(α,β) q cl(y(r,s) ). Suy ra x(α,β) ∈ cl(y(r,s) )c = U . Tương tự cl(x(α,β) ) q y(r,s) suy ra y(r,s) ∈ cl(x(α,β) )c = V . Rõ ràng cl(x(α,β) ) q cl(x(α,β) )c hay x(α,β) q V . Tương tự cl(y(r,s) ) q cl(y(r,s) )c hay y(r,s) q U . 18 Điều kiện đủ. Giả sử với hai IFP bất kì x(α,β) và y(r,s) của X mà x(α,β) q y(r,s) thì tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U , y(r,s) ∈ V và x(α,β) q V , y(r,s) q U . Ta cần chứng minh X là IF T1 -không gian. Thật vậy, xét x(α,β) là một IFP bất kì của X. Ta sẽ chứng minh x(α,β) là IFCS hay (x(α,β) )c là IFOS. Lấy IFP bất kì y(r,s) ∈ (x(α,β) )c . Suy ra y(r,s) q x(α,β) . Theo giả thiết điều kiện đủ tồn tại các IFOS Uyrs và Vxαβ sao cho y(r,s) ∈ Uyrs , x(α,β) ∈ Vxαβ và y(r,s) q Vxαβ , x(α,β) q Uyrs . Từ x(α,β) q Uyrs suy ra Uyrs ⊆ (x(α,β) )c . Ta có (x(α,β) )c ⊆ Do đó (x(α,β) )c = = {y(r,s) y(r,s) ∈ (x(α,β) )c } {Uyrs y(r,s) ∈ (x(α,β) )c } ⊆ (x(α,β) )c . {Uyrs y(r,s) ∈ (x(α,β) )c } là IFOS. Vậy X là IF T1 - không gian. Từ định nghĩa IF T2 -không gian và định lí 2.1.12 ta suy ra ngay hệ quả sau: 2.1.13 Hệ quả. Nếu X là IF T2 -không gian thì X là IF T1 -không gian. 2.1.14 Định lý. Một IFTS (X, τ ) là IF R2 -không gian khi và chỉ khi với mỗi IFP x(α,β) trong X và với mỗi IFOS U chứa x(α,β) thì tồn tại một IFOS V chứa x(α,β) sao cho cl(V ) ⊆ U . Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử (X, τ ) là IF R2 -không gian, x(α,β) là một IFP của X và U là một IFOS của X thoả mãn x(α,β) ∈ U . Ta cần chứng minh tồn tại một IFOS V sao cho x(α,β) ∈ V và cl(V ) ⊆ U . Thật vậy, vì x(α,β) ∈ U suy ra x(α,β) q U c . Vì X là IF R2 và U c là IFCS nên tồn tại các IFOS V và W sao cho x(α,β) ∈ V , U c ⊆ W và V q W . Từ V q W theo bổ đề 2.1.4 suy ra cl(V ) q W . Suy ra cl(V ) ⊆ W c . Mà từ U c ⊆ W suy ra W c ⊆ U . Do đó cl(V ) ⊆ U . Điều kiên đủ. Giả sử với mỗi IFP x(α,β) trong X và với mỗi IFOS U chứa x(α,β) thì tồn tại một IFOS V chứa x(α,β) sao cho cl(V ) ⊆ U , ta cần chứng minh X là IF R2 . Giả sử IFP x(α,β) và IFCS F của X sao cho x(α,β) q F .