Tài liệu Một vài tính chất về nghịch đảo của hệ số nhị thức (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CAO THỊ THÚY HẰNG MỘT VÀI TÍNH CHẤT VỀ NGHỊCH ĐẢO CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CAO THỊ THÚY HẰNG MỘT VÀI TÍNH CHẤT VỀ NGHỊCH ĐẢO CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Mở đầu 1 Chương 1. Một vài tính chất của hệ số nhị thức 4 1.1 Hệ số nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Hàm tổng lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Hàm tổng của tích các hệ số nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Định lý Faulhaber cho lũy thừa của hệ số nhị thức . . . . . . . . . . . Chương 2. Một vài tính chất về nghịch đảo của hệ số nhị thức 11 17 2.1 Tổng của nghịch đảo hệ số nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Tổng lũy thừa nghịch đảo của hệ số nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . 33 Chương 3. Một số bài tập hệ số nhị thức trong toán phổ thông 38 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 1 Mở đầu Trong toán học, định lý khai triển nhị thức là một định lý toán học về việc khai triển hàm mũ của tổng. Cụ thể, kết quả của định lý này là việc khai triển một nhị thức bậc n thành một đa thức có n + 1 số hạng: n (x + a) = n   X n k=0 k x(n−k) ak với   n n! = k (n − k)!k! là số tổ hợp chập k của n phần tử và được gọi là hệ số nhị thức. Định lý này đã được độc lập chứng minh bởi hai người đó là nhà toán học và cơ học Isaac Newton tìm ra trong năm 1665 và nhà toán học James Gregory tìm ra trong năm 1670. Định lý này đặc biệt quan trọng, đã được giảng dạy ở các bậc trung học và được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán liên quan. Trong nhiều chủ đề, như giải tích tổ hợp, lý thuyết đồ thị, và lý thuyết số, hệ số nhị thức thường xuất hiện một cách tự nhiên và đóng vai trò quan trọng. Ví dụ, các hệ số trong khai triển nhị thức chính là các hàng của tam giác Pascal. Trong toán tổ hợp, số Catalan là dãy các số tự nhiên xuất hiện nhiều trong các bài toán đếm, dãy số Catalan có công thức tổng quát là các hệ số nhị thức. Nghịch đảo của hệ số nhị thức cũng xuất hiện nhiều trong các tài liệu toán học và nhiều kết quả về đẳng thức nghịch đảo của hệ số nhị thức được tìm ra. Tuy nhiên, ta biết rằng rất khó để tính các giá trị tổng nghịch đảo của hệ số nhị thức. Sury, Wang và Zhao [5] đã chứng minh với λ 6= −1 có biểu diễn sau: n n−m X X λm+r n−m−r X n − m − r (−1)i λr
n = (n + 1) (λ + 1)r+1 i=0 i m+1+i r r=m r=0 n X λn+1 (λ + 1)r+1 + (n + 1) . (λ + 1)n+2 r=m r + 1 (1) 2 D. H. Lehmer cũng chứng minh nếu |x| < 1, thì X (2x)2m 2x
√ sin−1 x. 2m = 2 m 1 − x m m≥1 Yang và Zhao tìm ra biểu diễn của các tổng ∞ X n=1 ∞ X n=1 εn n(n + k) εn n(n + k)
2n , n
, và 2n+k n ∞ X εn n2 (n + k) n=1 ∞ X n=1 εn n(n + k) 2n n
, 2n+2k n+k
, trong đó |ε| = 1, và k là một số nguyên dương tùy ý với k > 1. Gần đây, Dzhumadil’daev và Yeliussizov khảo sát trường hợp tổng lũy thừa của hệ số nhị thức với lũy thừa âm ζk (m) = −1 ∞  X i+k−1 i=1 k . Mục tiêu của luận văn này là nghiên cứu một số tổng hữu hạn, một số chuỗi vô hạn liên quan đến hàm nghịch đảo của hệ số nhị thức. Xuất phát từ những lí do đó nên em mạnh dạn chọn đề tài: “Một vài tính chất về nghịch đảo của hệ số nhị thức” dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nông Quốc Chinh. Luận văn gồm 3 chương chính là: Chương 1: Một vài tính chất của hệ số nhị thức Chương 2: Một vài tính chất về nghịch đảo của hệ số nhị thức Chương 3: Một số bài tập hệ số nhị thức trong toán phổ thông. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nông Quốc Chinh. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới PGS. TS. Nông Quốc Chinh, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn này. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Toán - Tin, Phòng Đào Tạo, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn cao học. Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. 3 Thái Nguyên, ngày 08 tháng 07 năm 2016 Tác giả luận văn Cao Thị Thúy Hằng 4 Chương 1 Một vài tính chất của hệ số nhị thức 1.1 Hệ số nhị thức Hệ số nhị thức được định nghĩa bởi  n!     , n ≥ m; n = m!(n − m)!  m 0 n < m, trong đó n và m là các số nguyên không âm. Nguồn gốc của tên gọi hệ số nhị thức xuất phát từ định lý quan trọng sau. Định lý 1.1.1 (Định lý nhị thức). Hệ số của xn−k y k trong khai triển của (x + y)n là
n . Nói cách khác, ta có công thức k           n n n n n n n−1 n n−2 2 n n−1 (x + y) = x + x y+ x y + ··· + xy + y . 0 1 2 n−1 n Chứng minh. Ta chứng minh kết quả bằng phương pháp qui nạp theo n. Với n = 0, 1 công thức hiển nhiên đúng. Giả sử công thức đúng với n. Ta chỉ ra nó đúng với n + 1. Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có biến đổi: (x + y) n+1 n   hX n r n−r i = (x + y) (x + y) = xy (x + y) r r=0 n   n   X X n r+1 n−r n r n−r+1 x y + xy = r r r=0 r=0 n 5      i hn ni n n+1 h n n n = y + + xy + + x2 y n−1 0 0 1 1 2    n+1  h n  ni n n+1 X n + 1 r n+1−r n + ··· + + x y+ x = xy . n−1 n n r r=0 Từ đó suy ra (x + y)n+1 = n+1 P r=0 n+1 r
xr y n+1−r . Vậy ta suy ra công thức đúng với n + 1. Tóm lại, công thức đúng với mọi số nguyên không âm n.  Ta có thể áp dụng định lý nhị thức theo nhiều cách khác nhau để thu được các công thức khác nhau liên quan đến hệ số nhị thức. Ví dụ, thay x = y = 1, thì ta được           n n n n n n 2 = + + + ··· + . 0 1 2 n−1 n Thay x = 1, y = −1, thì ta được           n n n n n n 0= − + − + · · · + (−1) . 0 1 2 3 n Hệ số nhị thức thỏa mãn nhiều công thức quan trọng. Định lý 1.1.2. Hệ số nhị thức thỏa mãn các công thức sau:     n n = ; k n−k       n−1 n−1 n + = ; k−1 k k           n n n n n + + + ··· + = 2n . 0 1 2 n−1 n (1.1) (1.2) (1.3) Chứng minh. Theo định nghĩa ta có:     n! n n n! = = = . k!(n − k!) (n − k)!(n − (n − k))! n−k k Xét đẳng thức n! (n − 1)! (n − 1)! = + . k!(n − k)! (k − 1)!(n − k)! k!(n − k − 1)! Chia cả hai vế của đẳng thức với (n − 1)! rồi nhân cả hai vế của đẳng thức với (k − 1)!(n − k − 1)!, đẳng thức trở thành n 1 1 = + . k(n − k) n−k k Đẳng thức dưới đúng nên (1.2) đúng. Thay x = y = 1 vào công thức hệ số nhị thức ta thu được (1.3).  6 1.2 Hàm tổng lũy thừa Tổng của lũy thừa các số nguyên không âm liên tiếp được nghiên cứu rất nhiều bởi các nhà toán học từ thời cổ đại, hai cái tên đặc biệt đáng nhớ là: Jacob Bernoulli (1654-1705) và Johann Faulhaber (1580-1635). Trong lý thuyết số, số Bernoulli Bn là một dãy số hữu tỷ. Các giá trị đầu tiên của dãy là 1 1 1 1 1 B0 = 1, B1 = ± , B2 = , B3 = 0, B4 = − , B5 = 0, B6 = , B7 = 0, B8 = − . 2 6 30 42 30 1 1 Nếu giá trị B1 = − thì dãy số được gọi là dãy Bernoulli loại một. Nếu giá trị B1 = 2 2 thì dãy số được gọi là dãy Bernoulli loại hai. Ta thấy Bn = 0 với số lẻ n > 1. Dãy Bernoulli có công thức đệ quy là m Bm (n) = n − m−1 X k=0  m Bk (n) , k m−k+1 B0 (n) = 1. Dãy Bernoulli loại một được suy ra từ công thức đệ quy bằng cách lấy n = 0, và dãy Bernoulli loại hai được suy ra từ công thức đệ quy bằng cách lấy n = 1. Định lý 1.2.1 (Faulhaber [1]).  p  1 X p+1 k = Bj np+1−j , p + 1 j j=0 k=1 n X p 1 với Bj là các số Bernoulli, B1 = . 2 Chứng minh. Đặt Sp (n) = n X kp, k=1 trong đó p là số nguyên không âm. Định nghĩa hàm sinh theo biến z G(z, n) = ∞ X 1 Sp (n) z p . p! p=0 Biến đổi ∞ X n n X ∞ n X X X 1 1 p p G(z, n) = (kz) = (kz) = ekz p! p! p=0 k=1 k=1 p=0 k=1 = ez · 1 − enz 1 − enz = . 1 − ez e−z − 1 7 Ta thấy G(z, n) là một hàm theo biến z do vậy z có thể là một số phức bất kỳ. Tiếp theo, xét hàm sinh của đa thức Bernoulli Bj (x) ∞ X zezx zj = Bj (x) , ez − 1 j! j=0 trong đó Bj = Bj (0) là các số Bernoulli. Khai triển hàm sinh như sau: ! ∞ ∞ X X (−z)j−1 (nz)l G(z, n) = Bj − j! l! j=0 l=1 ∞ X p X z (−1)j 1 Bj np+1−j j!(p + 1 − j)! p=0 j=0   p ∞ p Xz 1 X j p+1 Bj np+1−j . = (−1) j p! p + 1 p=0 j=0 = Do đó p   p 1 X j p+1 k = (−1) Bj np+1−j . p + 1 j j=0 k=1 n X p Chú ý rằng Bj = 0 với mọi j lẻ lớn hơn 1. Do đó, nếu định nghĩa B1 = được nhân tử (−1)j và ta viết lại công thức tổng lũy thừa như sau  p  n X 1 X p+1 p k = Bj np+1−j . p + 1 j=0 j k=1 1 ta bỏ qua 2  Ví dụ 1.2.2. n X i= i=1 n X n2 n n(n + 1) + = , 2 2 2 n3 n2 n n(n + 1)(2n + 1) + + = , 3 2 6 6 i=1  2 n X n4 n3 n2 n(n + 1) 3 + + = , i = 4 2 4 2 i=1 n X i2 = i4 = i=1 n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1) 30 6n5 + 15n4 + 10n3 − n , 30 n X [n(n + 1)]2 (2n2 + 2n − 1) i5 = 12 i=1 = (1.4) (1.5) (1.6) 8 = 2n6 + 6n5 + 5n4 − n2 . 12 Công thức (1.4) còn được gọi là công thức số tam giác. Công thức (1.5) còn được gọi là công thức số hình chóp vuông. Công thức (1.6) có tên gọi là công thức bình phương số tam giác. Faulhaber đã đưa ra nhận xét rằng tổng lũy thừa lẻ có thể được biểu diễn thành một đa thức theo t = n(n + 1)/2. Ví dụ 2  n X n(n + 1) 3 = t2 , i = 2 i=1 n X i5 = i=1 n X i7 = i=1 4t3 − t2 , 3 12t4 − 8t3 + 2t2 . 6 Ông tính các tổng này cho đến tận mũ 17. Chứng minh đầu tiên của định lý Faulhaber được trình bày bởi Jacobi. Công thức tổng quát cho tổng lũy thừa lẻ có thể được viết thành Định lý 1.2.3 (Faulhaber [1]). n X i=1 2p+1 i  p  X 1 2p + 2 = 2p+2 (2 − 22i )B2i ((8t + 1)p+1−i − 1). 2 (2p + 2) i=0 2i Tổng lũy thừa lẻ là bội của t2 và tổng lũy thừa chẵn có thể được biểu diễn theo tổng lũy thừa lẻ. Cụ thể, nếu n X i2p+1 = c1 t2 + c2 t3 + · · · + cp tp+1 , i=1 thì ta có n X i=1 1.3 i2p = 2n + 1 (2c1 t + 3c2 t2 + · · · + (p + 1)cp tp ). 2(2p + 1) Hàm tổng của tích các hệ số nhị thức Dzhumadil’daev và Yeliussizov [1] mở rộng hàm tổng lũy thừa của số nguyên sang hàm tổng lũy thừa của số nhị thức fk,m (N ) = N −1  X i=0 m i+k−1 . k 9 Với k = 1 ta thu được tổng lũy thừa như thông thường f1,m (N ) = N −1 X im . i=1 Trong mục này, ta sẽ chỉ ra fk,m (N ) là một đa thức theo biến N và do đó nó có thể được khảo sát như đa thức fk,m (x) với biến x bất kỳ. Với m âm, Dzhumadil’daev và Yeliussizov thu được các kết quả về tổng nghịch đảo hệ số nhị thức. Phần nội dung này sẽ được trình bày ở Mục 2.2, còn trong mục này, chúng tôi chỉ trình bày kết quả về m > 0. Trước tiên, ta cần các công cụ sau. Gọi m = 1k1 · · · mkm là một đa tập hợp trong đó l được lặp kl lần, l = 1, . . . , m. Đặt Sm là tập tất cả các hoán vị của m và đặt K = k1 + · · · + km . Với mỗi hoán vị σ = σ(1) . . . σ(K) ∈ Sm , nếu i = K hoặc σ(i) > σ(i + 1), i < K thì i được gọi là một chỉ số giảm (descent index). Số giảm des(σ) (descent number) được định nghĩa là số chỉ số giảm của σ. Số Euler am,p (Eulerian number) được định nghĩa là số hoán vị có p chỉ số giảm, am,p = |{σ ∈ Sm | des(σ) = p}|. Với m = 11 21 · · · m1 , K = 1 + 1 + · + 1 = m, ta thu được số Euler am,p thông thường và đẳng thức Worpitzky như sau X  x + m − p x = am,p . m p>0 m Ví dụ 1.3.1. Cho m = 12 22 . Khi đó, Sm là tập các hoán vị của m, Sm = S12 22 = {1122, 1212, 2112, 2121, 2211, 1221}, và số giảm des(1122) = 1, des(1212) = 2, des(2112) = 2, des(2121) = 3, des(2211) = 2, des(1221) = 2. Do đó, a12 22 ,1 = 1, a12 22 ,2 = 4, aa2 22 ,3 = 1, và a12 22 ,i = 0, nếu i 6= 1, 2, 3. 10 Định lý 1.3.2 ([1]). . Với bất kỳ số nguyên không âm k1 , . . . , km ,  m  Y x + ki − 1 i=1 ki X x + K − p = am,p , K p>0 trong đó am,p là các số Euler của phép hoán vị của đa tập hợp m = 1k1 · · · mkm . Ví dụ 1.3.3. Nếu m = 12 22 , thì  2       x+1 x+3 x+2 x+1 = +4 + . 2 4 4 4 Đặt fk1 ,...,km (N ) = N −1  X i=0    i + k1 − 1 i + km − 1 ··· , k1 km (1.7) trong đó k1 ≤ · · · ≤ km . Ta chứng minh hàm tổng của tích các hệ số nhị thức là đa thức. Định lý 1.3.4 ([1]). Cho 0 ≤ k1 ≤ · · · ≤ km . Khi đó, tổng (1.7) cảm sinh một đa thức fk1 ,...,km (x) có bậc K + 1 với hệ số hữu tỷ. Hơn nữa, đa thức fk1 ,...,km (x) chia hết cho
x+km −1 . km +1 Chứng minh. Theo Định lý 1.3.2,  −1  XN X X N + K − p i+K −p fk1 ,...,km (N ) = am,p = am,p , K K + 1 p>0 i=0 p>0 với bất kỳ số nguyên dương N. Cho nên, ta có thể thay bất kỳ biến x vào N và thu được fk1 ,...,km (x) ∈ Q[x], deg fk1 ,...,km (x) = K + 1. Nếu km = 0, thì k1 = · · · = km = 0 và f0,...,0 (N ) = N − 1. Do đó, f0,...0 (x) = x − 1. Nên, trong trường hợp này tính chia hết của fk1 ,...,km (x) cho
x+km −1 là hiển nhiên. km +1 Giả sử km > 0, xét một đa thức khác ∆f (x) = fk1 ,...,km (x + 1) − fk1 ,...,km (x). 11 Theo (1.7),     x + k1 − 1 x + km − 1 ∆f (x) = ··· . k1 km Do đó, ∆f (x) có km không điểm: 0, −1, . . . , −(km − 1). Do vậy, fk1 ,...,km (1) − fk1 ,...,km (0) = ∆f (0) = 0, fk1 ,...,km (0) − fk1 ,...,km (−1) = ∆f (−1) = 0, ...... fk1 ,...,km (−(km − 2)) − fk1 ,...,km (−(km − 1)) = ∆f (−(km − 1)) = 0. Nếu km > 0 thì i+km −1 km
= 0 với i = −km + 1. Do đó, fk1 ,...,km (−km + 1) = 0. Do đó, ta thu được đa thức fk1 ,...,km (x) với km + 1 không điểm 1, 0, −1, . . . , −(km − 1). Điều này có nghĩa fk1 ,...,km (x) chia hết cho x+km −1 km +1
 Đặt fk,m (x) = fk,k,...,k (x). Nói cách khác, fk,m (x) là đa thức xác định bởi hệ thức sau fk,m (N ) = N −1  X i=0 m i+k−1 . k (1.8) Hệ quả 1.3.5 ([1]). Đa thức fk,m (x) có các tính chất sau • fk,m (x) ∈ Q[x], • deg fk,m (x) = km + 1, • fk,m (x) chia hết cho 1.4 x+k−1 k+1
. Định lý Faulhaber cho lũy thừa của hệ số nhị thức Theo kết quả bên trên, ta suy ra f1,m (N ) = PN −1 i=1 im là một đa thức theo N có bậc m + 1. Theo định lý Faulhaber, đa thức f1,m (x) chia hết cho cho đa thức f1,1 (x) = x(x − 1)/2. Với m lẻ, đa thức f1,m (x) chia hết cho f1,1 (x)2 và thương là một đa thức theo f1,1 (x). Với m chẵn, đa thức f1,m (x) có thể được biểu diễn thành tích của f1,1 (x)(2x − 1) và một đa thức theo f1,1 (x). 12 Định lý sau là dạng tương tự của định lý Faulhaber cho tổng lũy thừa của hệ số nhị thức. Định lý 1.4.1 ([1]). Tồn tại các đa thức Qk,m (x) ∈ Q[x], sao cho 
 x+k−1 2  Qk,m ((2x + k − 2)2 ), nếu m, k lẻ và m > 1;  k+1  
x+k−1 fk,m (x) = (2x + k − 2)Qk,m ((2x + k − 2)2 ), nếu k lẻ và m chẵn; k+1      x+k−1
Qk,m ((2x + k − 2)2 ), nếu ngược lại. k+1 Ví dụ 1.4.2. Ta có N −1  X 3  2 i+2 N + 2 (2N + 1)2 − 10 , f3,3 (N ) = = 15 3 4 i=0 2   N −1  X i+2 N +2 5(2N + 1)2 − 41 = f3,2 (N ) = (2N + 1) , 3 4 420 i=0 2  2 N −1  X i+1 N + 1 3N 2 − 2 f2,2 (N ) = = . 2 3 10 i=0 Để chứng minh Định lý 1.4.1, ta cần dựa trên khái niệm hàm phản xạ được giới thiệu bởi Knuth [2] và một vài bổ đề như sau. Hàm f (x) được gọi là r-phản xạ (r-reflective) nếu với mọi x, ta có f (x) = f (−x − r); và f (x) được gọi là phản-r-phản xạ (antin-r-reflective) nếu với mọi x, ta có f (x) = −f (−x − r). Nói cách khác, các hàm phản xạ là các hàm chẵn hoặc lẻ được dịch chuyển r/2. Chú ý 1.4.3. • Tổng của hàm hàm (phản-)r-phản xạ là hàm (phản-)r-phản xạ. • Tích của hai hàm r-phản xạ là hàm r-phản xạ. • Tích của hàm phản-r-phản xạ với hàm r-phản xạ là hàm phản-r-phản xạ. • Tích của hai hàm phản-r-phản xạ là hàm r-phản xạ. Bổ đề 1.4.4 ([1]). Đặt ∇f (x) = f (x) − f (x − 1). Giả sử rằng f (0) = f (−r) = 0 và hàm f được xác định trên tập các số nguyên. Khi đó ta có các kết quả sau: • nếu hàm ∇f là (r − 1)-phản xạ, thì f là phản-r-phản xạ và 13 • nếu hàm ∇f là phản-(r − 1)-phản xạ, thì f là r-phản xạ. Chứng minh. Giả sử rằng ∇f là (r − 1)-phản xạ. Khi đó ta có f (N ) − f (0) = N X ∇f (i) = i=1 N X f (−i − r + 1) = f (−r) − f (−N − r), i=1 từ đó f (N ) = −f (−N − r), kéo theo f là phản-r-phản xạ. Nếu ∇f là phản-r-phản xạ, thì f (N ) − f (0) = N X ∇f (i) = − i=1 N X ∇f (−i − r + 1) = −f (−r) + f (−N − r). i=1 Nên f (N ) = f (−N − r) và f là r-phản xạ.  Bổ đề 1.4.5 ([2]). Một đa thức f (x) là r-phản xạ khi và chỉ khi nó có thể được biểu diễn thành một đa thức theo x(x + r) (hoặc (2x + r)2 ); nó là phản-r-phản xạ khi và chỉ khi nó có thể được biểu diễn thành 2x + r nhân với một đa thức của x(x + r) (hoặc (2x + r)2 ). Bổ đề 1.4.6 ([1]). Đa thức x+k−1 k
là (k −1)-phản xạ nếu k chẵn và phản-(k −1)-phản xạ nếu k lẻ. Chứng minh. Ta có   (x + k − 1)(x + k − 2) . . . (x) x+k−1 (x + k − 1)! = , = k!(x − 1)! k! k  −x k  (−x)! (−x)(−x − 1) . . . (−x − k + 1) = k!(−x − k)! k! k (−1) x(x + 1) . . . (x + k − 1) = . k! = Từ đó suy ra     x+k−1 k −x = (−1) . k k Vậy nếu k chẵn thì x+k−1 k
là (k − 1)-phản xạ, còn nếu k lẻ thì x+k−1 k
là (k − 1)-phản  xạ. Theo Định lý 1.3.4, tồn tại đa thức gk,m (x) ∈ Q[x] sao cho   x+k−1 fk,m (x) = gk,m (x). k+1 14 Bổ đề 1.4.7 ([1]). Tính phản xạ của hàm fk,m và gk,m là • fk,m (x) là (k −2)-phản xạ nếu km+1 là chẵn và phản-(k −2)-phản xạ nếu km+1 lẻ. • gk,m (x) là (k − 2)-phản xạ nếu (m − 1)k là chẵn và phản-(k − 2)-phản xạ nếu (m − 1)k lẻ. Chứng minh. Đặt ∇f = f (x) − f (x − 1). Vì ∇fk,m (x) =
x+k−2 m , k ta thấy rằng ∇fk,m (x) là (k − 3)-phản xạ nếu km là chẵn và phản-(k − 3)-phản xạ nếu ngược lại. Theo Định lý 1.3.4, f (0) = f (−(k − 2)) = 0. Do đó, theo Bổ đề 1.4.4, fk,m (x) là phản-(k − 2)-phản xạ nếu km chẵn và (k − 2)-phản xạ nếu ngược lại. Do gk,m = fk,m
x+k−1 k+1 nên theo Bổ đề 1.4.6, gk,m (x) là (k − 2)-phản xạ nếu km − k chẵn và phản-(k − 2)-phản xạ nếu ngược lại. Bổ đề 1.4.8 ([1]). Cho k là một số lẻ. Khi đó fk,m (x) chia hết
2 nếu m là chẵn và chia hết x+k−1 nếu m là lẻ và m > 1. k+1  x+k−1 k+1
(2x + k − 2) Chứng minh. Giả sử rằng m chẵn. Theo Bổ đề 1.4.7, hàm gk,m là phản(k − 2)-phản xạ. Điều kiện phản(k − 2)-phản xạ với x = 2−k cho ta 2       2−k 2−k 2−k − k + 2 = gk,m gk,m − = −gk,m . 2 2 2
Do vậy, gk,m 2−k = 0 và g(x) chia hết cho (2x + k − 2). 2 Xét trường hợp m lẻ (m > 1). Theo Bổ đề 1.4.7, hàm gk,m là (k − 2)-phản xạ. Ta có     x+k x+k−1 fk,m (x + 1) − fk,m (x) = gk,m (x + 1) − gk,m (x) k+1 k+1  m x+k−1 = . k Cho nên, với i = 0, −1, . . . − (k − 1), ta thu được (k + 1)gk,m (i + 1) − (i − 1)gk,m (i) = 0. Nói cách khác, kgk,m (1) = −gk,m (0), (k − 1)gk,m (0) = −2gk,m (−1), 15 (k − 2)gk,m (−1) = −3gk,m (−2) .. . gk,m (−(k − 2)) = −kgk,m (−(k − 1)). Cho nên, gk,m (1) = (−1)k gk,m (−(k − 1)) = −gk,m (−(k − 1)). Vì gk,m (x) là (k − 2)-phản xạ, điều kiện phản xạ với x = 1 cho ta gk,m (1) = gk,m (−(k − 1)). Vì gk,m (1) = 0 và gk,m (−(k − 1)) = · · · = gk,m (−1) = gk,m (0) = gk,m (1) = 0. Do đó, gk,m (x) chia hết x+k−1 k+1
và fk,m (x) chia hết
x+k−1 2 . k+1  Chứng minh của Định lý 1.4.1 Gọi m và k là hai số nguyên dương lẻ và m > 1. Theo
Bổ đề 1.4.8, tồn tại đa thức Rk,m (x) sao cho gk,m (x) = x+k−1 Rk,m (x). Hàm gk,m (x) k+1 là (k − 2)-phản xạ và do đó, Rk,m (x) cũng (k − 2)-phản xạ. Nên, theo Bổ đề 1.4.5, tồn tại đa thức Qk,m (x) ∈ Q[x] sao cho Rk,m (x) = Qk,m ((2x + k − 2)2 ). Trong trường hợp này  2 x+k−1 fk,m (x) = Qk,m ((2x + k − 2)2 ). k+1 Nếu k lẻ và m chẵn, khi đó hàm gk,m là phản-(k − 2)-phản xạ. Theo Bổ đề 1.4.5, tồn tại đa thức Qk,m (x) ∈ Q[x], sao cho gk,m (x) = (2x + k − 2)Qk,m ((2x + k − 2)2 ). Do đó,   x+k−1 fk,m (x) = (2x + k − 2)Qk,m ((2x + k − 2)2 ). k+1 Nếu ngược lại, nếu k lẻ và m chẵn hoặc k chẵn thì gk,m (x) = Qk,m ((2x + k − 2)2 ). Ta có   x+k−1 fk,m (x) = Qk,m ((2x + k − 2)2 ). k+1  Trong phần cuối cùng của chương, chúng tôi xin trình bày một số trường hợp đặc biệt của Định lý 1.4.1. 16 Nếu k = 1, thì tồn tại đa thức Q1,m (x) ∈ Q[x], sao cho đa thức f1,m (N ) = có thể được biểu diễn thành: 
  x 2 Q1,m ((2x − 1)2 ), 2 f1,m (x) =
 x  (2x − 1)Q1,m ((2x − 1)2 ), 2 PN −1 i=1 im nếu m lẻ và m > 1; nếu m chẵn. x(x − 1) +1 nên đa thức Q1,m ((2x−1)2 ) = Q1,m (8 x(x−1) + 2 2
1) có thể được viết thành đa thức theo x2 = x(x−1) . Do đó, định lý Faulhaber là trường 2 Chú ý 1.4.9. Do (2x−1)2 = 8 hợp đặc biệt của Định lý 1.4.1. Nếu k = 2, thì với bất kỳ m > 0, tồn tại một đa thức Q2,m (x) ∈ Q[x], sao cho   x+1 f2,m (x) = Q2,m (x2 ). 3 Vì  x+1 3  = x(x2 − 1) , 6 điều này kéo theo f2,m (x) là một đa thức lẻ.
2 Nếu k = 3, thì f3,3 (x) = x+2 Q3,3 (x), trong đó 4 Q3,3 (x) = 1 (4x2 + 4x − 9). 15 Khi đó với mỗi số nguyên dương m, (m > 1), tồn tại một đa thức Q3,m ∈ Q[x], sao cho  2 x+2 f3,m (x) = Q3,m (Q3,3 (x)), nếu m lẻ, và 4   x+2 f3,m (x) = (2x + 1)Q3,m (Q3,3 (x)), nếu m chẵn. 4 17 Chương 2 Một vài tính chất về nghịch đảo của hệ số nhị thức Có rất nhiều kết quả liên quan tới hệ số nhị thức. Tuy nhiên, các vấn đề liên quan đến nghịch đảo hệ số nhị thức nói chung là rất khó. Để tính tổng liên quan đến nghịch đảo hệ số nhị thức, người ta thường sử dụng tích phân, đây là một phương pháp hiệu quả. Ý tưởng là dựa vào hàm Euler Beta được định nghĩa bằng β(p, q) = Γ(p)Γ(q) , Γ(p + q) để suy ra Γ(r + 1)Γ(n − r + 1) 1 r!(n − r)!
= = (n + 1) n = n! Γ(n + 1) r Z 1 tr (1 − t)n−r dt. (2.1) 0 Với phương pháp này, rất nhiều các đẳng thức liên quan đến nghịch đảo hệ số nhị thức đã được chứng minh ([1, 3, 5, 6]). 2.1 Tổng của nghịch đảo hệ số nhị thức Ở trong mục 1.3, chúng tôi đã trình bày về các hàm tổng lũy thừa hệ số nhị thức, trong mục này, chúng tôi trình bày về hàm tổng lũy thừa nghịch đảo của hệ số nhị thức. Trong lĩnh vực nghiên cứu này, Sury, Wang và Zhao ([5]) đã tìm ra nhiều công thức thú vị. Định lý 2.1.1 ([5]). Trong vành Q[T ] các đa thức hữu tỉ, đẳng thức n n X X T r (1 − T )n−r T n+1 (1 − T )n−r
= (n + 1) n r+1 r r=m r=m