Tài liệu Một số vấn đề về lý thuyết galois luận văn tốt nghiệp đại học

0 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ----------------------------------- PHẠM THỊ THÙY LINH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT GALOIS KHÓA LUẬN CỬ NHÂN KHOA HỌC NGÀNH TOÁN HỌC VINH - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ------------------------------------- PHẠM THỊ THÙY LINH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT GALOIS NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. ĐÀO THỊ THANH HÀ VINH - 2011 MỤC LỤC MỞ ĐẦU...................................................................................................................1 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ....................................................................3 Chương 2: LÝ THUYẾT GALOIS........................................................................5 2.1. Tự đẳng cấu trường ...........................................................................................5 2.2. Nhóm Galois ......................................................................................................7 2.3. Đa thức tách được và mở rộng tách được.........................................................12 2.4. Một số tính chất của nhóm Galois ...................................................................14 2.5. Tính không giải được của phương trình bậc 5 .................................................20 Chương 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG ..........................................................................24 KẾT LUẬN ...........................................................................................................32 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................33 1 MỞ ĐẦU Lý thuyết Galois là một trong những lý thuyết đẹp đẽ nhất của đại số, tập hợp nhiều kiến thức và phương pháp của các lĩnh vực toán học khác nhau, nhằm giải quyết các bài toán cổ điển và những vấn đề quan trọng khác của đại số hiện đại. Lý thuyết Galois sẽ tạo ra một bước tiến quan trọng trong phương pháp được sử dụng một thế kỉ rưỡi sau đó để chinh phục Định lý cuối cùng của Fermat. Nguồn gốc của lý thuyết Galois là vấn đề giải các phương trình đại số bằng căn thức, đó là một trong những vấn đề quan trọng nhất của toán học. Từ thế kỷ XVI, nhiều thế hệ các nhà toán học đã phải vất vả để tìm các công thức nghiệm cho các phương trình bậc  5 , nhưng mãi đến thế kỷ XIX vấn đề này mới được giải quyết bởi nhà toán học Nauy N. Abel (1802-1829) và nhà toán học Pháp E. Galois (18111833). Họ đã chỉ ra rằng không thể giải được các phương trình bậc  5 bằng căn thức. Công trình của họ chứa đựng những ý tưởng cực kì độc đáo và chính những ý tưởng đó đã mở đường cho sự ra đời của đại số hiện đại. Vì những lý do trên chúng tôi chọn đề tài khóa luận "Một số vấn đề về lý thuyết Galois" để nghiên cứu. Trong khóa luận này, chúng tôi hệ thống hóa lại một số kết quả của lý thuyết Galois. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm ba chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về lý thuyết trường có sử dụng trong Chương 2 và Chương 3. Chương 2: Một số vấn đề về lý thuyết Galois. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số định nghĩa, tính chất của lý thuyết Galois và ứng dụng của lý thuyết Galois vào giải các phương trình đại số. Chương 3: Bài tập áp dụng, đưa ra một số bài tập vận dụng các kết quả của Chương 2. Khóa luận được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của TS. Đào Thị Thanh Hà. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn 2 sâu sắc nhất đối với cô về sự giúp đỡ nhiệt tình, nghiêm túc và những góp ý thiết thực cho tác giả trong quá trình hoàn thành khóa luận. Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy, cô trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Đại số đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ trong thời gian qua. Xin cảm ơn lớp 48B Toán đã động viên, giúp đỡ tác giả trong thời gian làm khóa luận này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do trình độ và thời gian có hạn nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo góp ý của thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 5 năm 2011 Tác giả 3 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Mệnh đề. Nếu K là một trường có đặc số nguyên tố p thì a  a p là một tự đơn cấu ( ) p : K  K 1.2. Mệnh đề. Nếu của trường K . và K (u ) K (v ) là hai mở rộng đơn đại số của trường K , theo thứ tự sinh bởi hai nghiệm u và v của cùng một đa thức bất khả quy q  K [ x] , thì K (u )  K (v ) Đặc biệt có một đẳng cấu trường duy nhất  :  (u )  v và K (u )  K (v )  (a)  a sao cho , a  K . 1.3. Mệnh đề. Cho một trường K và một phần tử u thuộc một mở rộng của K . (i). Nếu u là siêu việt trên K thì mở rộng đơn K ( x) K (u ) đẳng cấu với trường các phân thức hữu tỉ theo một biến x với hệ tử thuộc K qua một đẳng cấu trường.  : K ( x )  K (u ) sao cho  ( x)  u và  (a)  a với mỗi a  K . (ii). Nếu u là đại số trên K thì u là nghiệm của một đa thức bất khả quy q  K [ x] và mở rộng đơn K (u ) đẳng cấu với trường K [ x ] /( q ) qua một đẳng cấu:  u : K [ x ] /( q )  K (u ) sao cho  ( x  ( q ))  u và  ( a  ( q ))  a với mọi a  K 1.4. Định lý. Nếu một phần tử u trong mở rộng của trường K là đại số trên K thì (i) u là nghiệm của một đa thức bất khả quy q  c 0  c1 x  ...  c n x n  K [ x] (ii) Mọi đa thức K [ x] . f  K [ x] (c n  K * ) nhận u làm nghiệm, là một bội của đa thức q trong 4 (iii) Mở rộng đơn đại số K (u ) của K gồm các phần tử  có thể đặt đưới dạng một đa thức duy nhất theo u có hệ tử trong K   a 0  a1 u  ...  a n 1u n 1 , ai  K 1.5. Định lý. Nếu F là một mở rộng hữu hạn của trường K thì mọi phần tử v  F là đại số trên K và v là nghiệm của một đa thức bất khả quy q  n  [F : K ] , q  K [ x] với bậc bậc của mở rộng F trên K . 1.6. Tính chất của đồng cấu trường. Một đồng cấu trường hoặc là đơn cấu hoặc là đồng cấu tầm thường. 1.7. Định lý. Cho K là một trường và q là một đa thức bất khả quy bậc n của K [ x] . Nếu F là một mở rộng hữu hạn của K với bậc ( n, m )  1 thì q cũng là một đa thức bất khả quy của [F : K ]  m F [ x] . sao cho 5 CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT GALOIS 2.1. Tự đẳng cấu trường 2.1.1. Định nghĩa. Cho E là một trường, một tự đồng cấu của trường E là một ánh xạ T : E  E , sao cho : T (u  v )  Tu  Tv T (uv )  T (u ).T (v ) , với u , v  E (1) Nếu tự đồng cấu T không tầm thường, nghĩa là Tu  0 kéo theo u  0 , u  E , thì ta phải có T :E E T (1)  1 , và khi đó T là đơn ánh. Đặc biệt, mọi tự đồng cấu là toàn ánh thì cũng là song ánh, tức là một tự đẳng cấu của trường E . Nếu T là một tự đẳng cấu của trường E , thì T cũng là tự đẳng cấu của nhóm cộng, đồng thời cũng là tự đẳng cấu của nhóm nhân các phần tử khác 0 của E Khi đó T (0)  0 T (1)  1 ; T ( u )  T (u ) T (u 1 )  (Tu ) 1 , , u  E u  0, u  E 2.1.2. Mệnh đề. Tất cả các tự đẳng cấu của trường E tạo thành một nhóm. Ký hiệu là Aut K (E ) . Chứng minh. Vì tích TS của hai tự đẳng cấu T và S của trường E là một tự đẳng cấu của trường E . Ánh xạ nghịch T -1 của mỗi tự đẳng cấu T của E là một tự đẳng cấu và ánh xạ đồng nhất I của E là một tự đẳng cấu. Do đó tất cả các tự đẳng cấu của trường E tạo thành một nhóm . □ 6 Bây giờ, cho K là một trường và E là mở rộng của K . Ta biết E cũng là không gian vectơ trên trường K hay E có cấu trúc của K  không gian vectơ. Một tự đồng cấu của K – không gian vectơ là một ánh xạ T : E  E sao cho T (u  v )  T (u )  T (v ) T ( av)  a.T (v ) (2) với u , v  E và  a  K . Một tự đồng cấu thỏa mãn (2) và là song ánh thì được gọi là tự đẳng cấu của K  không gian vectơ E . Để ý, khi E là một mở rộng của trường K , một tự đồng cấu của K  không gian vectơ E không nhất thiết là tự đồng cấu của trường E , (vì điều kiện (1) không thỏa mãn). Ngược lại một tự đồng cấu của trường E cũng là tự đồng cấu của K  không gian vectơ E nếu chỉ và nếu T giữ cố định mọi phân tử của trường K , tức T ( a )  a , a  K (3) 2.1.3. Định nghĩa. Cho E là một mở rộng của trường K , một tự đồng cấu T của trường E thỏa mãn (3) (tức là giữ cố định mọi phần tử của trường K ) được gọi là một K – tự đồng cấu của E . 2.1.4. Mệnh đề. Nếu E là một mở rộng của trường K , các K – tự đẳng cấu của trường E tạo thành một nhóm, ký hiệu là Aut (E ) Aut K (E ) , nhóm con của nhóm . Chứng minh. Aut K (E )   do tự đẳng cấu đồng nhất của trường E là một K – tự đẳng cấu. Tích của hai K – tự đẳng cấu là một K – tự đẳng cấu. Nghịch đảo của một K –tự đẳng cấu là một K – tự đẳng cấu. Do đó Aut K (E ) là một nhóm. □ Đảo lại, cho sẵn một trường E , ta có thể xét các phần tử của E được giữ cố định qua những tự đẳng cấu của E . 2.1.5. Mệnh đề. Cho trường E và một tự đồng cấu T  0 của E . Khi đó, tập hợp 7 K T  {a  E / Ta  a} là một trường con của trường E và T là một Chứng minh. Vì T  0, ta có T (1)  1 nên KT  1 KT tự đồng cấu của trường E . hay KT   . Với a, b  K T ta có T ( a  b)  Ta  Tb  a  b T ( ab)  (Ta )(Tb )  ab cho nên a  b  KT và ab  KT . Với a  KT , a  0 ta có T  a 1    Ta   a 1 1 cho nên a 1  KT . Vậy KT là trường con của E và T là KT  tự đồng cấu của E . 2.1.6. Hệ quả. Cho E là một trường và □  là tập hợp các tự đẳng cấu của trường sao cho với  T   là một E . Khi đó, tập hợp K  các phần tử a  E Ta  a  là một tập hợp những K – tự đẳng cấu của trường E . Chứng minh. Với mỗi T   , theo Mệnh đề 2.1.5 ta có tập hợp trường con của E và K T   a  E / Ta  a  là một trường con của E . Do đó, giao K  = T  E và mỗi T  KT là một trường con của  hiển nhiên là mét K – tự đẳng cấu của E . □ Trường con K  thường được gọi là trường các phần tử bất biến đối với tập hợp  các tự đẳng cấu của E . Đặc biệt với   Aut (E ) ta có trường con K  của E gồm các phần tử bất biến qua mọi tự đẳng cấu của E , chính là trường con nguyên tố P của E . 2.1.7. Định lý. Cho H là một nhóm hữu hạn gồm các tự đẳng cấu nào đó của trường E . Ký hiệu K  K H là trường con của E gồm các phần tử bất biến đối với H thì bậc [ E : K ] của mở rộng của E trên K không vượt quá cấp của nhóm H. 8 2.2. Nhóm Galois Nhóm các tự đẳng cấu của một trường quan trọng nhất là nhóm các tự đẳng cấu của một trường những số đại số trên trường Q các số hữu tỉ. Trước hết ta tìm cách xác định ảnh của một số đại số qua một tự đẳng cấu. Tổng quát, hai phần tử u và v thuộc một mở rộng của trường K được gọi là liên hiệp trên K nếu u và v đều là nghiệm của một đa thức bất khả quy của K [ x] . 2.2.1. Mệnh đề. Cho F là một mở rộng hữu hạn của một trường K , với bất kỳ T  Aut K (F ) và u  F , Tu liên hiệp với u trên K . Chứng minh. Vì F là mở rộng hữu hạn của một trường K nên u  F thì u là đại số trên K và u là nghiệm của đa thức bất khả quy tối tiểu của nó là q  a0  a1 x  ...  an 1 x n 1  x n  K [ x ] Với bất kỳ T  Aut K (F ) , vì T bảo toàn tổng và tích trong F và Ta  a với a  K cho nên q (u )  0 trong F kéo theo T ( a 0  a1u  ...  a n 1u n 1  u n )  a 0  a1 (Tu )  ...  a n 1 (Tu ) n 1  (Tu ) n  0 Đẳng thức này chứng tỏ Tu cũng là nghiệm của đa thức bất khả q , do đó Tu và u liên hiệp trên K . □ 2.2.2. Ví dụ. Xét trường E hữu tỷ sinh bởi 2 và i Q( 2 , i) là mở rộng bậc 4 của trường Q các số 1 . Trên trường trung gian F  Q (i ) , E là mở rộng bậc 2 sinh bởi một trong hai nghiệm liên hiệp  2 của đa thức bất khả quy x 2  2  Q  x  . Theo Định lý 1.2, có một S  AutQ(i) ( E ) đổi 2 thành Mặt khác, ta có mở rộng trường Q  Q (i )  i 2  2 E. . Cơ sở của E trên Q là 1 , . Do đó mỗi phần tử u  E có dạng u  ab 2  ci  d 2i, nên tác dụng của S trên u là Su  a  b 2  ci  d 2i a, b, c, d  Q 2 , i, 9 Tương tự trên trường trung gian Q ( 2) , E là mở rộng bậc 2 sinh bởi một trong hai nghiệm liên hiệp  i của đa thức bất khả quy x 2 1  Q (i ) , cho nên có một T  AutQ(i) ( E ) chuyển i thành  i và tác dụng của T trên mỗi phần tử u  a  b 2  ci  d 2i  E là như sau Tu  a  b 2  ci  d 2i Nói ngắn gọn là T chuyển mỗi phần tử thành liên hiệp phức của nó. Tích TS cũng là một tự đẳng cấu của trường E = Q ( 2 , i) , giữ cố định mỗi số hữu tỷ. Như thế, ta có 4 phần tử của nhóm AutQ ( E ) đó là các tự đẳng cấu với tác dụng của chúng trên các phần tử sinh I và i như sau :  2 2  i  i T 2 S  2 2  i  i  2 2  i  i TS  2  2  i  i Ta chứng tỏ rằng nhóm AutQ ( E ) chỉ có 4 phần tử này. Theo Mệnh đề 2.2.1, với E là mở rộng hữu hạn của trường Q, bất kỳ một số liên hiệp  2 I , S , T , TS Q (E) chuyển 2 thành và chuyển i thành một số liên hiệp  i . Như thế tác dụng của U trên các phần tử sinh tự đẳng cấu U  Aut 2 và i phải trùng với tác dụng của một trong bốn trên các phần tử sinh đó. Vậy U  I , S , T , TS . Bảng nhân của các tự đẳng cấu này có thể suy trực tiếp từ tác dụng của chúng trên các phần tử sinh. Ta có S2  I ; T2  I ; ST  TS Đây là bảng nhân của nhóm bốn phần tử gọi là nhóm Klein. Vậy nhóm các tự đẳng cấu của trường Q ( 2 , i) trên Q đẳng cấu với nhóm Klein. 2.2.3. Định nghĩa. Cho một trường K , một đa thức 0  f  K [ x] bậc n , và N  K (u1 ,..., u n ) là trường nghiệm của f . Nhóm Aut K ( N ) được gọi là nhóm 10 f ( x)  0 Galois của phương trình (hay nhóm Galois của đa thức f ), hay nhóm Galois của trường N trên K . Cho N  K (u1 ,..., u n ) là trường nghiệm của đa thức Để miêu tả các tự đẳng cấu T của nhóm Galois Aut K ( N ) f  K [ x] của f bậc n . ta có những nhận xét sau : Theo Mệnh đề 2.2.1, T chuyển mỗi nghiệm ui thành một nghiệm vì T là đẳng cấu nên T chuyển hai nghiệm phân biệt phân biệt Tu i  Tu j của f ui  u j Tu i của f và thành hai nghiệm . Vì thế T cảm sinh một hoán vị  trên tập hợp các nghiệm phân biệt  u1 ,..., u k  của f sao cho Tu 1  u  1 ,..., Tu k  u  k ( k  n) , (4) Mặt khác, mọi phần tử   N  K (u1 ,..., u k )   h(u1 ,...u k )  K [u1 ,...,u k ] . Vì T giữ cố định mỗi hệ tử của đa thức h , nên có thể đặt dưới dạng một đa thức các đẳng thức của (4) cho ta T  T ( h(u1 ,..., u k ))  h(u 1 ,..., u k ). Công thức này cho thấy T được hoàn toàn định bởi giá trị của T tại các nghiệm, hay T được hoàn toàn xác định bởi hoán vị (4). Vì tích của hai hoán vị thu được bằng cách áp dụng lần lượt hai tự đẳng cấu tương ứng theo thứ tự, nên các hoán vị (4) tạo thành một nhóm, đẳng cấu với nhóm các đẳng cấu. Các hoán vị Aut K ( N ) (4) không nhất thiết phải gồm tất cả các hoán vị của các nghiệm phân biệt u1 ,..., u k mà chỉ gồm các hoán vị bảo toàn tất cả các đa thức theo các nghiệm với các hệ tử trong K , cho nên chúng tương ứng được với các T  Aut K (N ) . tự đẳng cấu Ta có thể tóm tắt các kết quả này như sau. 2.2.4. Định lý. Cho K là một trường và một đa thức nghiệm phân biệt u1 ,..., u k trong trường nghiệm bậc n  1 có k f  K [ x] N  K (u1 ,..., u k ) với nhóm Galois G  Aut K (N ) . Khi đó, mỗi T  G xác định một hoán vị  của tập hợp {u1 ,..., u k } sao cho Tu i  ui và đảo lại, tự đẳng cấu T được hoàn toàn xác định bởi hoán vị  . 2.2.5. Hệ quả. Nhóm Galois G của mọi đa thức f  K [ x] có bậc n  1 đẳng cấu với một nhóm các hoán vị của tập hợp các nghiệm phân biệt của f . 11 f  K [ x] 2.2.6. Hệ quả. Với mỗi đa thức bậc n  1 , nhóm Galois của f có cấp là một ước số của n !. 2.2.7. Ví dụ. Xét đa thức [ x] q  x 4  2x 2  9 . Đa thức q là đa thức bất khả quy của Q . Bằng cách viết x 4  2 x 2  9  ( x 2  3) 2  4 x 2  ( x 2  3) 2  ( 2ix ) 2  [( x  i ) 2  2][(x  i ) 2  2]  (x  i  2 )( x  i  2 )( x  i  2) ( x  i  Ta thấy q có 4 nghiệm phân biệt là : u1  i  2 , u2  i  q  Q [ x] Trường nghiệm của 2, u3  i  2 , u4  i  2. là N  Q (u1 , u 2 , u 3 , u 4 )  Q ( 2 , i) Theo Ví dụ 2.2.2 đây là mở rộng bậc 4 của Q và nhóm Galois G  AutQ ( N ) gồm 4 tự đẳng cấu là I , S , T , TS sao cho : S 2  T 2  (TS ) 2  I Tác dụng của chúng trên các phân tử sinh 2 i TS T  2 ảnh của i và i như sau : S I ảnh của 2 2  2 -i i 2 - i Từ đó có thể biểu diễn các đẳng cấu bằng các nhóm hoán vị của các nghiệm phân biệt u1 , u 2 , u 3 , u 4 : I S u1 u1 u2 u3 u4 u2 u2 u1 u4 u3 u3 u3 u4 u1 u2 u4 u4 u3 u2 u1 Hoán vị (1) (12)(34) T (13)(24) TS (14)(23) Trong đó, các tự đẳng cấu đã được biểu diễn bởi các hoán vị của tập hợp 4 phần tử {u1 , u 2 , u 3 , u 4 }  1,2,3,4  đặt dưới dạng phân tích thành tích các xích. Nhóm các hoán vị của 4 nghiệm phân biệt u1 , u 2 , u 3 , u 4 của q là nhóm có cấp là 4!=24. Còn 2) 12 nhóm Galois G  Aut (Q ( 2 , i) Q ) của trường nhiệm N  Q ( 2 , i) của q chỉ là nhóm cấp 4, gồm các tự đẳng cấu tương ứng với 4 hoán vị : hoán vị đồng nhất và ba hoán vị cấp 2, chúng tạo thành nhóm con của nhóm S 4 tất cả các hoán vị. Nhóm Galois G  AutQ(Q ( 2 , i) )   I , S , T , ST  có ba nhóm con xyclic cấp 2 là [S ] , [T ] , [TS ] Vì S  AutQ(i) ( N ) , cho nên với dây chuyền giảm các nhóm con G  [ S ]  {I } ta có dây chuyền tăng các trường con cố định tương ứng Q  Q (i ) Q( 2 , i) Một dây chuyền tăng các trường con như thế đưa đến cách giải phương trình đã cho nhờ kết nối nghiệm của những phương trình đơn giản hơn. x 2  1, Tương tự, vì T  AutQ ( y2  2 2) (N ) nên tương ứng với dây chuyền giảm các nhóm con G  [T ]   I  là dây chuyền tăng các trường con được giữ cố định QQ( 2)  N Q ( 2,i ) biểu thị sự kết nối nghiệm của những phương trình đơn giản hơn : x2  2, y 2  1 . Sau cùng, vì TS giữ cố định mỗi phần tử của trường con Q ( ứng với dây chuyền giảm các nhóm con G  [TS ]  {I } là dây chuyền tăng các trường con QQ( 2i )  N Q( 2,i ) biểu thị sự kết nối nghiệm của phương trình : x 2  2 , y 2  1 . 2.3. Đa thức tách được và mở rộng tách được 2i ) nên tương 13 0  f  K  x 2.3.1. Định nghĩa. Cho K là một trường, một đa thức gọi là tách được trên K nếu N  f bậc n được có n nghiệm phân biệt trong một trường nghiệm K ; trong trường hợp ngược lại, đa thức được gọi là không tách được trên K. Một mở rộng hữu hạn F của trường K được gọi là mở rộng tách được trên K nếu mọi phần tử u  F là nghiệm của một đa thức tách được f  K  x  . Có một cách đơn giản để trắc nghiệm về tính tách được hay không tách được của một đa thức cho sẵn f  a0  a1 x  ....  a n x n  K  x  . Tiêu chuẩn tách được của đa thức được phát biểu như sau. 0  f  K [ x] 2.3.2. Mệnh đề. Cho K là một trường, một đa thức trên K nếu và chỉ nếu K  x f và đạo hàm hình thức f là tách được nguyên tố cùng nhau trong . Ký hiệu ước chung lớn nhất của khẳng định rằng f f f , K  x trong là tách được nếu và chỉ nếu ( f f thì trong N [ x] , f f  c x  u1  1 .... x  u k  n Cố định một chỉ số i  1,..., k thì đạo hàm của f f f  ), , định lý trên , f ) = 1 Chứng minh. Gọi N là trường nghiệm của đa thức các nghiệm phân biệt của là ( 0  f  K  x , nếu u1 ,..., u k là có thể viết dưới dạng : nk (0  c  N ) , là: f '  cni ( x  u1 ) n1 ...( x  u i ) ni 1 ...( x  u k ) nk  c  n j ( x  u1 ) n1 ...( x  u j ) n j 1 j i Do đó, nếu ni  1 thì x  ui ...( x  u k ) nk là ước của f  , nếu ni  1 thì x  ui không là ước của f Lập luận này với i thay đổi cho suy ra rằng trừ khi n1  n 2  ...  n k  1 , Như vậy N f tức trừ khi tách được trên f f và f có một ước chung khác 1, tách được. N [ x] nếu và chỉ nếu ( f , f )  1 . Ngoài ra, với là một mở rộng của K , theo thuật toán Euclid tìm ước chung lớn nhất, ước 14 chung lớn nhất của trong N [ x] . f và f  trong K [ x] cũng là ước chung lớn nhất của chúng □ 2.3.3. Hệ quả. Với mọi trường K , một đa thức bất khả quy q  K [ x ] tách được trên K trừ khi đạo hàm hình thức q  0 . Chứng minh. Vì q là đa thức bất khả quy trên K nên (q, q )  1 trừ khi q  0 . Vậy q tách được trên K trừ khi q   0 . □ 2.3.4. Hệ quả. Nếu K là một trường có đặc số 0, thì mọi đa thức bất khả quy của đều tách được trên K . K [ x] Chứng minh. Nếu K có đặc số 0 và nếu một đa thức bất khả quy q  hạng tử dẫn đầu đầu n.a n x n 1  0 an x n với 0  an  K , n  1 , K  x với thì đa thức đạo hàm q  có hạng tử dẫn cho nên q   0 . Theo Mệnh đề 2.3.2, q là đa thức tách được trên K . □ 2.3.5. Hệ quả. Nếu K là một trường có đặc số 0 thì trường nghiệm của mọi đa thức bất khả quy bậc n của K  x chứa đúng n nghiệm liên hiệp phân biệt của q. Chứng minh. Theo Hệ quả 2.3.4 đa thức bất khả quy q  K  x là đa thức tách được . Do đó và f có n nghiệm phân biệt u1 , u 2 ,..., u n trong một trường nghiệm N của q □ N  K (u1 , u 2 ,..., u n ) . 2.3.6. Hệ quả 4. Nếu K là một trường có đặc số 0 thì mọi mở rộng hữu hạn F của K đều là tách được trên K . Chứng minh. Vì F là mở rộng hữu hạn của trường K nên F là mở rộng đại số trên K (theo Định lý 1.5 ). Do đó với mọi u  F thì u là đại số trên K . Suy ra, tồn tại một đa thức bất khả quy q  K [ x] có bậc n  1 nhận u làm nghiệm với mọi u  F . Theo Hệ quả 2.2.4, q là đa thức tách được trên K . Vậy F là mở rộng tách được trên K . □ 15 Để ý rằng, đối với mỗi trường K có đặc số nguyên tố p , các Hệ quả 2.3.4, 2.3.5, 2.3.6 không còn hiệu lực. Ví dụ, đa thức bất khả quy tách được trên K  Z p (t ) vì đạo hàm f  = f  x p  t  K [x ] ( x p  t )  = p.x p 1  0 không . 2.4. Một số tính chất của nhóm Galois Để có các tính chất tổng quát về nhóm Galois của những phương trình đại số, ta cần phân tích kỹ lưỡng hơn các trường nghiệm. 2.4.1. Bổ đề. Cho một đẳng cấu trường S : K  K  . (i). Nếu K (u ) và K (u ) lần lượt là các mở rộng đơn sinh bởi nghiệm u của một đa thức bất khả quy q  K [ x] và bởi nghiệm u của đa thức thì S có thể mở rộng thành một đẳng cấu sao cho S *u  u  . S * : K (u )  K (u ) (ii). Nếu N và N  theo thứ tự là trường nghiệm của một đa thức thức f   Sf  K [x] thì S có thể mở rộng thành một đẳng cấu Hơn nữa, nếu đa thức S* : N  N f là tách được trên K thì có đúng q   Sq  K [x] , f  K [ x] S*: N và đa  N m  [N : K ] mở rộng của S . Chứng minh. (i) Nếu u là nghiệm của đa thức bất khả quy theo Định lý 1.4 , mỗi phần tử của mở rộng đơn K (u ) q  Q [ x] bậc n thì có dạng duy nhất a 0  a1u  ...  a n 1u n 1 , ai  K Vì q là đa thức bất khả quy của K [ x ] . Ngoài ra, từ K [ x] q (u )  0 nên ,có q   Sq là đa thức bất khả quy của Sq (Su )  q (u )  0 với u   Su , do đó có mở rộng đơn K (u ) . Vậy tự đẳng cấu trường S : K  K  có thể mở rộng thành một tự đẳng cấu S * : K (u )  K (u ) bằng cách đặt S * (a0  a1u  ...  an1u n1 )  Sa0  (Sa1 )u   ...  (San1 )u  n1 với mọi phần tử a0  a1u  ...  a n 1u n 1  K (u ) . (ii) Chứng minh bằng quy nạp trên bậc m  [N : K ] . Trường hợp m  1 là tầm thường vì khi đó N  K . Với m  1 giả sử bổ đề đúng với mọi trường nghiệm có bậc trên một trường con bé hơn m . Vì m  1 , đa thức nghiệm không thuộc K , cho nên bậc q  d  1. f f  K [ x] có ít nhất một có ít nhất một ước bất khả quy Gọi u là một nghiệm của q trong N , vì q   Sq q  K [ x] với là ước của f   Sf 16 nên trường nghiệm N  chứa một nghiệm u  của q  , và theo (i) đẳng cấu đã cho có thể mở rộng thành một đẳng cấu : S S * : K (u )  K (u ), S * u  u , q (u )  0 q (u )  0, (5) Vì trường nghiệm N được sinh bởi K và các nghiệm của K (u ) và các nghiệm này của K (u ) với bậc f   Sf trên [ N : K (u )]  K (u ). * Su , N được sinh bởi , cho nên N là trường nghiệm của m . d f trên Tương tự, ta có N  là trường nghiệm của [ N : K (u )]  Vì khẳng định rằng đẳng cấu f f m  m, d giả thiết quy nạp trên đây cho ở (5) có thể mở rộng thành một đẳng cấu S * : N  N . Khi giả thiết thêm đa thức f  K [ x] tách được trên K thì ước bất khả quy q bậc d trên đây của f , phải có đúng d nghiệm u phân biệt. Và d cách chọn nghiệm u này sẽ cho ta d cách chọn mở rộng * Su m.( lại có thể mở rộng ra N theo m )m d mở rộng S* : N  N * Su . Theo giả thiết quy nạp mỗi m  [ N : K (u )] d cách khác nhau, vậy có của S . □ Tính duy nhất (sai khác một đẳng cấu) của trường nghiệm được phát biểu trong 2.4.2. Mệnh đề. Với K là một trường, hai trường nghiệm N và N  của cùng một đa thức cho sẵn f  K [ x] là đẳng cấu, có một đẳng cấu duy nhất từ N lên N  giữ cố định mỗi phần tử của K . Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 2.4.1 với K  K  và đẳng cấu S là tự đẳng cấu đồng nhất I : K  K suy ra điều phải chứng minh. □ Theo Mệnh đề 2.4.2, các nhóm Galois G  Aut K (N ) và G   Aut K (N ) của f  K [ x] của (trong Định nghĩa 2.2.3) là đẳng cấu; điều này có nghĩa là nhóm Galois f  K [ x] là duy nhất (sai khác một đẳng cấu) . Tính chất nhóm Galois của một đa thức tách được, cho bởi : 17 2.4.3. Định lý. Nếu K là một trường, và N là trường nghiệm của [N : K ] f f  K [ x] thì nhóm Galois là mộtđa thức tách được trên K G  Aut K (N ) có cấp bằng bậc của trường nghiệm N trên K . Hơn nữa, các phần tử của các nghiệm được giữ bất biến bởi mọi tự đẳng cấu thuộc nhóm Galois G chỉ là các phần N tử của K . Chứng minh. Vì f là đa thức tách được trên K , nên theo Bổ đề 2.4.1(ii) tự đẳng cấu đồng nhất I : K  K có thể mở rộng thành Theo định nghĩa của nhóm Galois, m  [N : K ] m  [N : K ] tự đẳng cấu T : N  N . tự đẳng cấu này của N đều thuộc nhóm Galois G  Aut K (N ) . Ngược lại mỗi T  Aut K (N ) giữ cố định mỗi phần tử của K nên T là một mở rộng của tự đẳng cấu đồng nhất I của K . Vậy nhóm Galois G  Aut K (N ) có đúng m  [N : K ] phần tử hay G có cấp là [N : K ] . Bây giờ gọi K  là tập hợp các phần tử của N bất biến qua mọi tự đẳng cấu T  G  Aut K (N ) . Theo Hệ quả 2.1.6, K  là trường con của N và K  K  . Do đó, mọi tự đẳng cấu T  G là mở rộng của tự đẳng cấu đồng nhất I  : K   K  trên N . Vì N là trường nghiệm trên K  nên theo Bổ đề 2.4.1(ii) có đúng rộng như thế của I  , còn theo trên, G có tất cả [ N : K ]  [ N : K ] . [N : K ] [ N : K ] mở phần tử, cho nên Vì K  K  đẳng thức này về bậc mở rộng kéo theo K  K  . Vậy chỉ có các phần tử của trường nghiệm N thuộc K là bất biến qua mọi tự đẳng cấu của N thuộc nhóm Galois G của N trên K . □ Để ý, phần thứ hai của Định lý 2.4.3 khẳng định rằng, đối với trường nghiệm N của nhóm Galois G của đa thức f  K [ x] a  N \ K , tồn tại một tự đẳng cấu T thuộc G tách được, thì với mỗi phần tử sao cho Ta  a . Một hệ quả khác của Bổ đề 2.4.1 về mở rộng trên đây là tính "chuẩn tắc" của một trường nghiệm. 2.4.4. Định nghĩa. Một mở rộng hữu hạn F của một trường K được gọi là chuẩn tắc trên K nếu mọi đa thức bất khả quy q  K [ x] có một nghiệm trong F